高中 高考文科数学专项复习 不等式选讲
2020年高考文科数学一轮总复习：不等式选讲
2020年高考文科数学一轮总复习：不等式选讲会用数学归纳法证明贝努利不等式：(1＋x)n>1＋nx(x>－1，x≠0，n为大于1的正整数)．了解当n为大于1的实数时贝努利不等式也成立．会用上述不等式证明一些简单问题．能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.了解下列柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明．(1)柯西不等式的向量形式：|α|·|β|≥|α·β|.(2)(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.(3)（x1－x2）2＋（y1－y2）2＋（x2－x3）2＋（y2－y3）2≥（x1－x3）2＋（y1－y3）2.(此不等式通常称为平面三角不等式)会用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形：会用向量递归方法讨论排序不等式.1．绝对值三角不等式定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立． 定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立．2．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x |<a 与|x |>a 的解集①|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ； ②|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c ．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若|x |>c 的解集为R ，则c ≤0.( ) (2)不等式|x －1|＋|x ＋2|<2的解集为∅.( )(3)对|a －b |≤|a |＋|b |当且仅当ab ≤0时等号成立．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ 解不等式：|x －2|＋|x ＋3|>7. 解：因为|x －2|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧（x －2）＋（x ＋3），x ≥2，－（x －2）＋（x ＋3），－3≤x <2，－（x －2）－（x ＋3），x <－3. 所以原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，2x ＋1>7或⎩⎪⎨⎪⎧－3≤x <2，5>7或⎩⎪⎨⎪⎧x <－3，－2x －1>7.解上述不等式组得所求不等式的解集为{x |x <－4或x >3}． 求函数y ＝|x ＋3|－|x －1|的最大值．解：因为y ＝|x ＋3|－|x －1|≤|(x ＋3)－(x －1)|＝4，所以函数y ＝|x ＋3|－|x －1|的最大值为4.含绝对值不等式的解法(师生共研)(2019·沈阳质量检测(一))已知函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a ∈R . (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥3x ＋|2x ＋1|的解集； (2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值． 【解】 (1)当a ＝1时，f (x )＝|x －1|＋3x ， 由f (x )≥3x ＋|2x ＋1|，得|x －1|－|2x ＋1|≥0， 当x >1时，x －1－(2x ＋1)≥0，得x ≤－2，无解； 当－12≤x ≤1时，1－x －(2x ＋1)≥0，得－12≤x ≤0；当x <－12时，1－x －(－2x －1)≥0，得－2≤x <－12.所以不等式的解集为{x |－2≤x ≤0}．(2)由|x －a |＋3x ≤0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，4x －a ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ，2x ＋a ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，x ≤a 4或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ，x ≤－a 2.当a >0时，不等式的解集为{x |x ≤－a 2}．由－a2＝－1，得a ＝2.当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤0}，不合题意． 当a <0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤a 4. 由a4＝－1，得a ＝－4. 综上，a ＝2或a ＝－4.含绝对值不等式解法的常用方法1．(2018·高考全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝5－|x ＋a |－|x －2|.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥0的解集； (2)若f (x )≤1，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1时， f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4，x ≤－1，2，－1＜x ≤2，－2x ＋6，x ＞2.可得f (x )≥0的解集为{x |－2≤x ≤3}． (2)f (x )≤1等价于|x ＋a |＋|x －2|≥4.而|x ＋a |＋|x －2|≥|a ＋2|，且当x ＝2时等号成立．故f (x )≤1等价于|a ＋2|≥4. 由|a ＋2|≥4可得a ≤－6或a ≥2.所以a 的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)． 2．已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|. (1)画出y ＝f (x )的图象； (2)求不等式|f (x )|＞1的解集．解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≤－1，3x －2，－1＜x ≤32，－x ＋4，x ＞32， y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由f (x )的表达式及图象知，当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3；当f (x )＝－1时，可得x ＝13或x ＝5. 故f (x )＞1的解集为{x |1＜x ＜3}；f (x )＜－1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＜13或x ＞5.所以|f (x )|＞1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＜13或1＜x ＜3或x ＞5.绝对值不等式性质的应用(师生共研)设不等式|x －2|<a (a ∈N *)的解集为A ，且32∈A ，12∉A .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|的最小值． 【解】 (1)因为32∈A ，且12∉A ，所以⎪⎪⎪⎪32－2<a ，且⎪⎪⎪⎪12－2≥a ，解得12<a ≤32， 又因为a ∈N *，所以a ＝1.(2)因为f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3. 当且仅当(x ＋1)(x －2)≤0即－1≤x ≤2时取到等号， 所以f (x )的最小值为3.两数和与差的绝对值不等式的性质(1)对绝对值三角不等式定理|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |中等号成立的条件要深刻理解，特别是用此定理求函数的最值时．(2)该定理可强化为||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |，它经常用于证明含绝对值的不等式．(2019·湖北省五校联考)已知函数f (x )＝|2x －1|，x ∈R . (1)解不等式f (x )<|x |＋1；(2)若对x ，y ∈R ，有|x －y －1|≤13，|2y ＋1|≤16，求证：f (x )<1.解：(1)因为f (x )<|x |＋1，所以|2x －1|<|x |＋1， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，2x －1<x ＋1，或⎩⎪⎨⎪⎧0<x <12，1－2x <x ＋1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，1－2x <－x ＋1，得12≤x <2或0<x <12或无解． 故不等式f (x )<|x |＋1的解集为{x |0<x <2}．(2)证明：f (x )＝|2x －1|＝|2(x －y －1)＋(2y ＋1)|≤|2(x －y －1)|＋|2y ＋1|＝2|x －y －1|＋|2y ＋1|≤2×13＋16＝56<1.绝对值不等式的综合应用(师生共研)(2018·高考全国卷Ⅰ)已知f (x )＝|x ＋1|－|ax －1|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )＞1的解集；(2)若x ∈(0，1)时不等式f (x )＞x 成立，求a 的取值范围．【解】 (1)当a ＝1时，f (x )＝|x ＋1|－|x －1|，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，x ≤－1，2x ，－1<x <1，2，x ≥1.故不等式f (x )>1的解集为{x |x >12}．(2)当x ∈(0，1)时|x ＋1|－|ax －1|>x 成立等价于当x ∈(0，1)时|ax －1|<1成立． 若a ≤0，则当x ∈(0，1)时|ax －1|≥1；若a >0，|ax －1|<1的解集为0<x <2a ，所以2a ≥1，故0<a ≤2.综上，a 的取值范围为(0，2]．(1)研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，转化为分段函数，然后数形结合解决是常用的思维方法．(2)对于求y ＝|x －a |＋|x －b |或y ＝|x －a |－|x －b |型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便．形如y ＝|x －a |＋|x －b |的函数只有最小值，形如y ＝|x －a |－|x －b |的函数既有最大值又有最小值．(2019·福建市第一学期高三期末考试)设函数f (x )＝|x －1|，x ∈R . (1)求不等式f (x )≤3－f (x －1)的解集；(2)已知关于x 的不等式f (x )≤f (x ＋1)－|x －a |的解集为M ，若⎝⎛⎭⎫1，32⊆M ，求实数a 的取值范围．解：(1)因为f (x )≤3－f (x －1)，所以|x －1|≤3－|x －2|⇔|x －1|＋|x －2|≤3⇔⎩⎪⎨⎪⎧x <1，3－2x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤2，1≤3或⎩⎪⎨⎪⎧x >2，2x －3≤3， 解得0≤x <1或1≤x ≤2或2<x ≤3， 所以0≤x ≤3，故不等式f (x )≤3－f (x －1)的解集为[0，3]． (2)因为⎝⎛⎭⎫1，32⊆M ， 所以当x ∈⎝⎛⎭⎫1，32时，f (x )≤f (x ＋1)－|x －a |恒成立，而f (x )≤f (x ＋1)－|x －a |⇔|x －1|－|x |＋|x －a |≤0⇔|x －a |≤|x |－|x －1|， 因为x ∈⎝⎛⎭⎫1，32，所以|x －a |≤1，即x －1≤a ≤x ＋1， 由题意，知x －1≤a ≤x ＋1对于任意的x ∈⎝⎛⎭⎫1，32恒成立， 所以12≤a ≤2，故实数a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤12，2.[基础题组练]1．已知|2x －3|≤1的解集为[m ，n ]． (1)求m ＋n 的值；(2)若|x －a |<m ，求证：|x |<|a |＋1.解：(1)不等式|2x －3|≤1可化为－1≤2x －3≤1，解得1≤x ≤2，所以m ＝1，n ＝2，m ＋n ＝3.(2)证明：若|x －a |<1，则|x |＝|x －a ＋a |≤|x －a |＋|a |<|a |＋1.即|x |<|a |＋1. 2．已知函数f (x )＝|x －2|－|x －5|. (1)证明：－3≤f (x )≤3；(2)求不等式f (x )≥x 2－8x ＋15的解集． 解：(1)证明：f (x )＝|x －2|－|x －5| ＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ≤2，2x －7，2<x <5，3，x ≥5.当2<x <5时，－3<2x －7<3， 所以－3≤f (x )≤3. (2)由(1)可知，当x ≤2时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为空集；当2<x <5时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5－3≤x <5}； 当x ≥5时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5≤x ≤6}． 综上，不等式f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5－3≤x ≤6}．3．(2019·湖北荆州一模)已知函数f (x )＝|x －a |，不等式f (x )≤3的解集为[－6，0]． (1)求实数a 的值；(2)若f (x )＋f (x ＋5)≥2m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)由f (x )≤3，得|x －a |≤3，因为a －3≤x ≤a ＋3，又f (x )≤3的解集为[－6，0]， 所以a ＝－3.(2)因为f (x )＋f (x ＋5)＝|x ＋3|＋|x ＋8|≥|x ＋3－(x ＋8)|＝5， 又f (x )＋f (x ＋5)≥2m 对一切实数x 恒成立， 所以2m ≤5，即m ≤52.4．(2018·高考全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝|2x ＋1|＋|x －1|. (1)画出y ＝f (x )的图象；(2)当x ∈[0，＋∞)时， f (x )≤ax ＋b ，求a ＋b 的最小值．解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x <－12，x ＋2，－12≤x <1，3x ，x ≥1.y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由(1)知，y ＝f (x )的图象与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a ≥3且b ≥2时，f (x )≤ax ＋b 在[0，＋∞)上成立，因此a ＋b 的最小值为5.[综合题组练]1．(2019·湖南岳阳模拟)已知函数f (x )＝|2x ＋2|－|2x －2|，x ∈R . (1)求不等式f (x )≤3的解集；(2)若方程f （x ）2＋a ＝x 有三个实数根，求实数a 的取值范围．解：(1)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x <－1，－4≤3或⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，4x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，4≤3，解得x ≤34，所以不等式f (x )≤3的解集为⎝⎛⎦⎤－∞，34. (2)方程f （x ）2＋a ＝x 可变形为a ＝x ＋|x －1|－|x ＋1|，令h (x )＝x ＋|x －1|－|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x <－1，－x ，－1≤x ≤1，x －2，x >1，作出函数h (x )的图象如图，于是由题意可得－1<a <1. 2．设函数f (x )＝|2x ＋3|＋|x －1|. (1)解不等式f (x )>4；(2)若存在x 0∈⎣⎡⎦⎤－32，1使不等式a ＋1>f (x 0)成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －2，x <－32，x ＋4，－32≤x ≤1，3x ＋2，x >1.则f (x )>4⇔⎩⎪⎨⎪⎧x <－32，－3x －2>4或⎩⎪⎨⎪⎧－32≤x ≤1，x ＋4>4或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，3x ＋2>4⇔x <－2或0<x ≤1或x >1.所以不等式f (x )>4的解集为(－∞，－2)∪(0，＋∞)．(2)存在x 0∈⎣⎡⎦⎤－32，1使不等式a ＋1>f (x 0)成立⇔a ＋1>f (x )min ，由(1)知，当x ∈⎣⎡⎦⎤－32，1时，f (x )＝x ＋4，所以f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫－32＝52，则a ＋1>52，解得a >32， 所以实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫32，＋∞. 3．(2019·太原市模拟试题(一))已知函数f (x )＝|x ＋m |＋|2x －1|. (1)当m ＝－1时，求不等式f (x )≤2的解集；(2)若f (x )≤|2x ＋1|的解集包含⎣⎡⎦⎤34，2，求m 的取值范围． 解：(1)当m ＝－1时，f (x )＝|x －1|＋|2x －1|，当x ≥1时，f (x )＝3x －2≤2，所以1≤x ≤43；当12<x <1时，f (x )＝x ≤2，所以12<x <1； 当x ≤12时，f (x )＝2－3x ≤2，所以0≤x ≤12，综上可得原不等式f (x )≤2的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0≤x ≤43. (2)由题意可知f (x )≤|2x ＋1|在⎣⎡⎦⎤34，2上恒成立，当x ∈⎣⎡⎦⎤34，2时，f (x )＝|x ＋m |＋|2x －1|＝|x ＋m |＋2x －1≤|2x ＋1|＝2x ＋1，所以|x ＋m |≤2，即－2≤x ＋m ≤2，则－2－x ≤m ≤2－x ，且(－2－x )max ＝－114，(2－x )min ＝0，因此m 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－114，0. 4．(综合型)(2019·郑州模拟)已知函数f (x )＝|3x ＋2|. (1)解不等式f (x )<4－|x －1|；(2)已知m ＋n ＝1(m ，n >0)，若|x －a |－f (x )≤1m ＋1n (a >0)恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)不等式f (x )<4－|x －1|，即|3x ＋2|＋|x －1|<4. 当x <－23时，即－3x －2－x ＋1<4，解得－54<x <－23；当－23≤x ≤1时，即3x ＋2－x ＋1<4，解得－23≤x <12；当x >1时，即3x ＋2＋x －1<4，无解． 综上所述，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－54，12. (2)1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n (m ＋n )＝1＋1＋n m ＋mn ≥4. 令g (x )＝|x －a |－f (x )＝|x －a |－|3x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2＋a ，x <－23，－4x －2＋a ，－23≤x ≤a ，－2x －2－a ，x >a .所以当x ＝－23时，g (x )max ＝23＋a ，要使不等式恒成立，只需g (x )max ＝23＋a ≤4，即0<a ≤103.故实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤0，103.第2讲 不等式的证明1．基本不等式定理1：设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 定理2：如果a 、b 为正数，则a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理3：如果a 、b 、c 为正数，则a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n≥na 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．2．不等式的证明方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等．若a >b >1，证明：a ＋1a >b ＋1b.证明：a ＋1a －⎝⎛⎭⎫b ＋1b ＝a －b ＋b －a ab ＝（a －b ）（ab －1）ab . 由a >b >1得ab >1，a －b >0， 所以（a －b ）（ab －1）ab >0.即a ＋1a －⎝⎛⎭⎫b ＋1b >0， 所以a ＋1a >b ＋1b.已知a >0，b >0，c >0，且a ，b ，c 不全相等，求证：bc a ＋ac b ＋abc >a ＋b ＋c .证明：因为a ，b ，c ∈(0，＋∞)，所以bc a ＋acb≥2bc a ·acb＝2c . 同理ac b ＋ab c ≥2a ，ab c ＋bca≥2b .因为a ，b ，c 不全相等，所以上述三个不等式中至少有一个等号不成立，三式相加，得2⎝⎛⎭⎫bc a ＋ac b ＋ab c >2(a ＋b ＋c )，即bc a ＋ac b ＋abc>a ＋b ＋c .用综合法、分析法证明不等式(师生共研)(一题多解)(2017·高考全国卷Ⅱ)已知a >0，b >0，a 3＋b 3＝2.证明： (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4； (2)a ＋b ≤2.【证明】 法一(综合法)：(1)(a ＋b )(a 5＋b 5)＝a 6＋ab 5＋a 5b ＋b 6＝(a 3＋b 3)2－2a 3b 3＋ab (a 4＋b 4)＝4＋ab (a 2－b 2)2≥4.(2)因为(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3 ＝2＋3ab (a ＋b )≤2＋3（a ＋b ）24·(a ＋b )＝2＋3（a ＋b ）34，所以(a ＋b )3≤8，因此a ＋b ≤2.法二(分析法)：(1)因为a >0，b >0，a 3＋b 3＝2. 要证(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4，只需证(a ＋b )(a 5＋b 5)≥(a 3＋b 3)2， 再证a 6＋ab 5＋a 5b ＋b 6≥a 6＋2a 3b 3＋b 6， 再证a 4＋b 4≥2a 2b 2，因为(a 2－b 2)2≥0，即a 4＋b 4≥2a 2b 2成立． 故原不等式成立．(2)要证a ＋b ≤2成立，只需证(a ＋b )3≤8， 再证a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3≤8， 再证ab (a ＋b )≤2， 再证ab (a ＋b )≤a 3＋b 3，再证ab (a ＋b )≤(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)， 即证ab ≤a 2－ab ＋b 2显然成立． 故原不等式成立．用综合法证明不等式是“由因导果”，用分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法．综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野．1．(2019·湖北八校联考)已知不等式|x |＋|x －3|<x ＋6的解集为(m ，n )． (1)求m ，n 的值；(2)若x >0，y >0，nx ＋y ＋m ＝0，求证：x ＋y ≥16xy . 解：(1)由|x |＋|x －3|<x ＋6，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥3，x ＋x －3<x ＋6或⎩⎪⎨⎪⎧0<x <3，3<x ＋6或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，－x ＋3－x <x ＋6， 解得－1<x <9，所以m ＝－1，n ＝9. (2)证明：由(1)知9x ＋y ＝1，又x >0，y >0， 所以⎝⎛⎭⎫1x ＋1y (9x ＋y )＝10＋y x ＋9xy≥10＋2y x ×9xy＝16， 当且仅当y x ＝9x y ，即x ＝112，y ＝14时取等号，所以1x ＋1y≥16，即x ＋y ≥16xy .2．(2019·长春市质量检测(一))设不等式||x ＋1|－|x －1||<2的解集为A . (1)求集合A ；(2)若a ，b ，c ∈A ，求证：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－abc ab －c >1.解：(1)由已知，令f (x )＝|x ＋1|－|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x ≥1，2x ，－1<x <1，－2，x ≤－1，由|f (x )|<2得－1<x <1，即A ＝{x |－1<x <1}． (2)证明：要证⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－abc ab －c >1，只需证|1－abc |>|ab －c |，只需证1＋a 2b 2c 2>a 2b 2＋c 2，只需证1－a 2b 2>c 2(1－a 2b 2)， 只需证(1－a 2b 2)(1－c 2)>0，由a ，b ，c ∈A ，得－1<ab <1，c 2<1，所以(1－a 2b 2)(1－c 2)>0恒成立． 综上，⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－abc ab －c >1.放缩法证明不等式(师生共研)若a ，b ∈R ，求证：|a ＋b |1＋|a ＋b |≤|a |1＋|a |＋|b |1＋|b |.【证明】 当|a ＋b |＝0时，不等式显然成立． 当|a ＋b |≠0时， 由0＜|a ＋b |≤|a |＋|b |⇒1|a ＋b |≥1|a |＋|b |，所以|a ＋b |1＋|a ＋b |＝11|a ＋b |＋1≤11＋1|a |＋|b |＝|a |＋|b |1＋|a |＋|b |＝|a |1＋|a |＋|b |＋|b |1＋|a |＋|b |≤|a |1＋|a |＋|b |1＋|b |.在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的推证技巧．常见的放缩变换有： (1)变换分式的分子和分母，如1k 2＜1k （k －1），1k 2＞1k （k ＋1），1k ＜2k ＋k －1，1k ＞2k ＋k ＋1.上面不等式中k ∈N *，k ＞1.(2)利用函数的单调性．(3)真分数性质“若0＜a ＜b ，m ＞0，则a b ＜a ＋mb ＋m”．[注意] 在用放缩法证明不等式时，“放”和“缩”均需把握一个度．设n 是正整数，求证：12≤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n <1.证明： 由2n ≥n ＋k >n (k ＝1，2，…，n )，得12n ≤1n ＋k <1n .当k ＝1时，12n ≤1n ＋1<1n ；当k ＝2时，12n ≤1n ＋2<1n ；…当k ＝n 时，12n ≤1n ＋n <1n，所以12＝n 2n ≤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n <n n ＝1.所以原不等式成立．反证法证明不等式(师生共研)设0<a ，b ，c <1，求证：(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不可能同时大于14.【证明】 设(1－a )b >14，(1－b )c >14，(1－c )a >14，三式相乘得(1－a )b ·(1－b )c ·(1－c )a >164，①又因为0<a ，b ，c <1，所以0<(1－a )a ≤⎣⎡⎦⎤（1－a ）＋a 22＝14. 同理：(1－b )b ≤14，(1－c )c ≤14，以上三式相乘得(1－a )a ·(1－b )b ·(1－c )c ≤164，与①矛盾．所以(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不可能同时大于14.利用反证法证明问题的一般步骤(1)否定原结论．(2)从假设出发，导出矛盾． (3)证明原命题正确．已知a ＋b ＋c >0，ab ＋bc ＋ca >0，abc >0，求证：a ，b ，c >0. 证明：①设a <0，因为abc >0， 所以bc <0.又由a ＋b ＋c >0，则b ＋c >－a >0，所以ab ＋bc ＋ca ＝a (b ＋c )＋bc <0，与题设矛盾． ②若a ＝0，则与abc >0矛盾， 所以必有a >0. 同理可证：b >0，c >0. 综上可证a ，b ，c >0.[基础题组练]1．设a ＞0，b ＞0，若3是3a 与3b 的等比中项，求证：1a ＋1b ≥4.证明：由3是3a 与3b 的等比中项得 3a ·3b ＝3，即a ＋b ＝1，要证原不等式成立，只需证a ＋b a ＋a ＋b b ≥4成立，即证b a ＋a b ≥2成立，因为a ＞0，b ＞0，所以b a ＋ab≥2b a ·ab＝2，(当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝12时，“＝”成立)，所以1a ＋1b≥4.2．求证：112＋122＋132＋…＋1n 2＜2.证明：因为1n 2＜1n （n －1）＝1n －1－1n，所以112＋122＋132＋…＋1n 2＜1＋11×2＋12×3＋13×4＋…＋1（n －1）×n＝1＋⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＝2－1n ＜2. 3．(2019·长春市质量检测(二))已知函数f (x )＝|2x －3|＋|3x －6|. (1)求f (x )<2的解集；(2)若f (x )的最小值为T ，正数a ，b 满足a ＋b ＝12，求证：a ＋b ≤T .解：(1)f (x )＝|2x －3|＋|3x －6|＝⎩⎪⎨⎪⎧3－2x ＋6－3x ⎝⎛⎭⎫x <322x －3＋6－3x ⎝⎛⎭⎫32≤x ≤22x －3＋3x －6（x >2）＝⎩⎪⎨⎪⎧－5x ＋9⎝⎛⎭⎫x <32－x ＋3⎝⎛⎭⎫32≤x ≤25x －9（x >2），其图象如图，由图象可知：f (x )<2的解集为⎝⎛⎭⎫75，115.(2)证明：由图象可知f (x )的最小值为1， 由基本不等式可知a ＋b2≤a ＋b2＝14＝12， 当且仅当a ＝b 时，“＝”成立，即a ＋b ≤1＝T . 4．设不等式－2＜|x －1|－|x ＋2|＜0的解集为M ，a ，b ∈M . (1)证明：⎪⎪⎪⎪13a ＋16b ＜14； (2)比较|1－4ab |与2|a －b |的大小．解：(1)证明：记f (x )＝|x －1|－|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧3，x ≤－2，－2x －1，－2＜x ≤1，－3，x ＞1，由－2＜－2x －1＜0解得－12＜x ＜12，即M ＝⎝⎛⎭⎫－12，12，所以⎪⎪⎪⎪13a ＋16b ≤13|a |＋16|b |＜13×12＋16×12＝14. (2)由(1)得a 2＜14，b 2＜14，因为|1－4ab |2－4|a －b |2＝(1－8ab ＋16a 2b 2)－4(a 2－2ab ＋b 2) ＝(4a 2－1)(4b 2－1)＞0，故|1－4ab |2＞4|a －b |2，即|1－4ab |＞2|a －b |.[综合题组练]1．设a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1. (1)求证：2ab ＋bc ＋ca ＋c 22≤12；(2)求证：a 2＋c 2b ＋b 2＋a 2c ＋c 2＋b 2a≥2.证明：(1)要证2ab ＋bc ＋ca ＋c 22≤12，只需证1≥4ab ＋2bc ＋2ca ＋c 2，即证1－(4ab ＋2bc＋2ca ＋c 2)≥0，而1－(4ab ＋2bc ＋2ca ＋c 2)＝(a ＋b ＋c )2－(4ab ＋2bc ＋2ca ＋c 2)＝a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0成立，所以2ab ＋bc ＋ca ＋c 22≤12.(2)因为a 2＋c 2b ≥2ac b ，b 2＋a 2c ≥2ab c ，c 2＋b 2a ≥2bca，所以a 2＋c 2b ＋b 2＋a 2c ＋c 2＋b 2a ≥⎝⎛⎭⎫ac b ＋ab c ＋⎝⎛⎭⎫ab c ＋bc a ＋⎝⎛⎭⎫ac b ＋bc a ＝a ⎝⎛⎭⎫c b ＋b c ＋b ⎝⎛⎭⎫a c ＋ca ＋c ⎝⎛⎭⎫ab ＋b a ≥2a ＋2b ＋2c ＝2(当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立)． 2．(2019·新疆自治区适应性检测)设函数f (x )＝|2x ＋1|－|2x －4|，g (x )＝9＋2x －x 2. (1)解不等式f (x )>1；(2)证明：|8x －16|≥g (x )－2f (x )．解：(1)当x ≥2时，f (x )＝2x ＋1－(2x －4)＝5>1恒成立，所以x ≥2. 当－12≤x <2时，f (x )＝2x ＋1－(4－2x )＝4x －3>1，得x >1，所以1<x <2.当x <－12时，f (x )＝－2x －1－(4－2x )＝－5>1不成立．综上，原不等式的解集为(1，＋∞)．(2)证明：|8x －16|≥g (x )－2f (x )⇔|8x －16|＋2f (x )≥g (x )，因为2f (x )＋|8x －16|＝|4x ＋2|＋|4x －8|≥|(4x ＋2)－(4x －8)|＝10，当且仅当－12≤x ≤2时等号成立，所以2f (x )＋|8x －16|的最小值是10，又g (x )＝－(x －1)2＋10≤10，所以g (x )的最大值是10，当x ＝1时等号成立．因为1∈⎣⎡⎦⎤－12，2，所以2f (x )＋|8x －16|≥g (x )， 所以|8x －16|≥g (x )－2f (x )．3．(2019·四川成都模拟)已知函数f (x )＝m －|x －1|，m ∈R ，且f (x ＋2)＋f (x －2)≥0的解集为[－2，4]．(1)求m 的值；(2)若a ，b ，c 为正数，且1a ＋12b ＋13c ＝m ，求证：a ＋2b ＋3c ≥3.解：(1)由f (x ＋2)＋f (x －2)≥0得，|x ＋1|＋|x －3|≤2m ， 设g (x )＝|x ＋1|＋|x －3|，则g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋2，x ≤－1，4，－1<x <3，2x －2，x ≥3，数形结合可得g (－2)＝g (4)＝6＝2m ，得m ＝3. (2)证明：由(1)得1a ＋12b ＋13c＝3.由柯西不等式，得(a ＋2b ＋3c )⎝⎛⎭⎫1a ＋12b ＋13c ≥⎝⎛⎭⎫a ·1a＋2b ·12b＋3c ·13c 2＝32， 所以a ＋2b ＋3c ≥3.4．(综合型)(2019·陕西省质量检测(一))已知函数f (x )＝|2x －1|＋|x ＋1|. (1)解不等式f (x )≤3；(2)记函数g (x )＝f (x )＋|x ＋1|的值域为M ，若t ∈M ，证明：t 2＋1≥3t＋3t .解：(1)依题意，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x ≤－1，2－x ，－1<x <12，3x ，x ≥12， 所以f (x )≤3⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1，－3x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <12，2－x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，3x ≤3，解得－1≤x ≤1，即不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤1}．(2)证明：g (x )＝f (x )＋|x ＋1|＝|2x －1|＋|2x ＋2|≥|2x －1－2x －2|＝3， 当且仅当(2x －1)(2x ＋2)≤0时取等号， 所以M ＝[3，＋∞)．t 2＋1－3t －3t ＝t 3－3t 2＋t －3t ＝（t －3）（t 2＋1）t ，因为t ∈M ，所以t －3≥0，t 2＋1>0，所以（t －3）（t 2＋1）t ≥0，所以t 2＋1≥3t ＋3t .。
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高三数学不等式选讲复习资料
高三数学不等式选讲复习资料
1.理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式
(1)|a＋b|≤|a|＋|b|；
(2)|a－b|≤|a－c||＋|c－b|
(3)会利用绝对值的.几何意义求解以下类型的不等式：
|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c；|x－c|＋|x－b|≤a
2．了解柯西不等式的不同形式，理解他们的几何意义，并会证明
(1)柯西不等式向量形式：|α||β|≥|α·β|
(2) x1－x2 2＋ y1－y2 2＋ x2－x3 2＋ y2－y3 2
≥ x1－x3 2＋ y1－y3 2(通常称作平面三角不等式)
3．会用上述不等式证明一些简单问题．能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值．
4．了解证明不等式的根本方法：比拟法、综合法、分析法、反证法、缩放法.
近几年的高考试题增强了对密切联系生产和实际的应用性问题的考查力度．主要有两种方式：
1．线性规划问题：求给定可行域的面积；求给定可行域的最优解；求目标函数中参数的范围．
2．根本不等式的应用：用于求函数或数列的最值，侧重"正"、"定"、"等"条件的满足条件.。
高考文科数学复习 专题19 不等式选讲(学生版)
专题19 不等式选讲1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．证明： （1）222111a b c a b c++≤++； （2）333()()()24a b b c c a +++≥++．2．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知()|||2|().f x x a x x x a =-+-- （1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集； （2）若(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围．3．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】设,,x y z ∈R ，且1x y z ++=．（1）求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值；（2）若2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥成立，证明：3a ≤-或1a ≥-．4．【2019年高考江苏卷数学】设x ∈R ，解不等式||+|2 1|>2x x -．5．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知()|1||1|f x x ax =+--． （1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（2）若(0,1)x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围．6．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】设函数()5|||2|f x x a x =-+--． （1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集； （2）若()1f x ≤，求a 的取值范围．7．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】设函数()211=++-．f x x x（1）画出()=的图像；y f x（2）当[)+f x ax b≤，求a bx+∞∈，，()+的最小值．8．【2018年高考江苏卷数学】若x ，y ，z 为实数，且x +2y +2z =6，求222x y z ++的最小值．9．【2017年高考全国Ⅰ卷文数】已知函数4)(2++-=ax x x f ，|1||1|)(-++=x x x g ． （1）当1=a 时，求不等式)()(x g x f ≥的解集；（2）若不等式)()(x g x f ≥的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围．10．【2017年高考全国Ⅱ卷文数】已知330,0,2a b a b >>+=．证明：（1）55()()4a b a b ++≥； （2）2a b +≤．11．【2017年高考全国Ⅲ卷文数】已知函数f （x ）=│x +1│–│x –2│．（1）求不等式f （x ）≥1的解集；（2）若不等式()2f x x x m ≥-+的解集非空，求m 的取值范围．12．【2017年高考江苏卷数学】已知,,,a b c d 为实数，且22224,16,a b c d +=+=证明：8.ac bd +≤。
高考数学压轴专题最新备战高考《不等式选讲》知识点复习
高中数学《不等式选讲》知识点概括一、 141．不等式 x 8 x 4 2 的解集为 ()A ． { x | x 4}B ． { x | x 5}C ． { x | 4 x 8}D ． { x | 4 x 5}【答案】 B 【分析】 【剖析】分三种状况议论： x 4 ， 4 < x < 8 以及 x8 ，去绝对值，解出各段不等式，即可得出所求不等式的解集 . 【详解】当 x4 时， x8 x 48 x x 44 2 建立，此时 x 4 ；当 4 < x < 8 时， x8x 48 xx 412 2x 2 ，解得 x 5 ，此时4x 5；当 x8 时， x8 x 4 x 8 x 4 4 2，原不等式不建立 .综上所述，不等式x 8 x 4 2 的解集为 x x 5 ，应选 B.【点睛】此题考察绝对值不等式的解法，常用零点分段法，利用取绝对值进行分段议论，从而求解不等式，也能够采纳绝对值的几何意义来进行求解，考察分类议论数学思想，属于中等题.2．已知函数 f ( x) 是定义在 [ a1,2a] 上的偶函数 ,且当 x0 时 , f ( x) 单一递加，则对于 x的不等式 f ( x 1) f (a) 的解集为 （ ）A ．[ 4,5)B ．( 2, 1][1,2) 33333 3C ．[1,2)(4,5] D ．随 a 的值而变化333 3【答案】 C【分析】试题剖析：∵函数f (x) 是定义在 [a 1,2 a] 上的偶函数，∴ 1-a=2a ，∴ a= 1，故函数 f ( x)3的定义的定义域为[ 2,2]，又当 0 x 2 时 , f ( x) 单一递加，∴3 3 3x 1f (1)f ( 1) 1f ( x1)f ( x 1){ 3，解得1 x2 或 4 x5 ，所以33x2333313不等式 f ( x 1)f ( a) 的解集为 [ 1 , 2 )( 4 , 5 ]，应选 C3 33 3考点：此题考察了抽象函数的运用评论：此类问题常常利用偶函数的性质f (x) f ( x ) 防止了议论，要注意灵巧运用3．设 a nsin1sin 2 sin n ，对随意正整数 m 、 n （m>n ）都建立的是（） .2222 nA ． a n1B ． a n a m1 C ． a na m1 D ． a na m1a m2m2n2n2m【答案】 C【分析】【剖析】先作差，再依据三角函数有界性放缩，从而依据等比数列乞降确立选项 .【详解】Q a nsin1sin 2sin na ma n sin( n 1) sin( n 2) sin m2 222n2n 12n 22m| a m a n | |sin( n 1)sin( n 2)sin m2 n 1n 22m |2sin( n 1) sin( n 2) sin m| |2 n 1 || 2 n 2 || 2 m112n 1 2n 2应选： C【点睛】111 2n 1(1 2m n)1 112m11 2n2m 2n2此题考察三角函数有界性、等比数列乞降以及放缩法，考察综合剖析求解与论证能力，属中档题 .4． 不等式 32x 5的解集是 （）A ． { x | x1} B ． { x | 1 x 4} C ． { x | x1或x 4} D ． { x | x 4}【答案】 C【分析】【剖析】依据绝对值定义化简不等式，求得解集 .【详解】 因为 3 2x5 ，所以 3 2x 5或 3 2 x5，即或，选 C.x1 x 4【点睛】此题考察含绝对值不等式解法，考察基本求解能力.5．已知 a ＋ b ＋ c ＝ 1，且 a ， b ， c ＞ 0，则2 22 的最小值为 ( )b b ca caA ．1B ． 3C ． 6D ． 9【答案】 D【分析】2222 a+b+c 11 1Q a b c 1,a b b c c aa b b c c aa bb c c a11 1 1 1 12a b b cc 9 ，当且仅当aa bc1D.时等号建立，应选3【易错点晴】此题主要考察利用基本不等式求最值，属于难题 .利用基本不等式求最值时，必定要正确理解和掌握 “一正，二定，三相等 ”的内涵：一正是，第一要判断参数能否为正；二定是，其次要看和或积能否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后必定要考证等号可否建立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或 时等号可否同时建立）.6．若对于 x 的不等式 ax 2 | x 1| 3a ≥ 0 的解集为 R ，则实数 a 的取值范围为A ．[ 1,+ )B ．[ 1,+ )63C ．[ 1,+ )D ．[1,+ )212【答案】 C【分析】【剖析】先将不等式 ax2x 1 3a 0 变形为 ax 1，由不等式 ax 2x 1 3a0 的解集x 23是,，可得 ax 1 恒建立，所以只要求出 x1的最大值即可 .x 23x 23【详解】解：不等式 ax 2 x 1 3a 0 的解集是,，即 x R ， ax 2x 13a 0 恒建立，∴ ax 1 x 1 ，x 2 3x 2 3令g xx 1 ，x 23当 x1 时， g x 0 ；g xx 1 1当 x1 x 234时，，x 12x1若 x 10 ，则 x 14 2 2 x 1 ?42 2 ，x1x 1当且仅当4 ，即 x ＝1 “ ”x 1时上式 ＝ 建立；x 1若 x 1＜0 ，则 x 14 2 x 1422x 1 ?426 ，x 1x 1x1当且仅当x 14 ，即 x3 时上式 “＝ ”建立．x 1x 14 ,62,x 2．1gx 0,1．2a1 ．2则实数 a 的取值范围是1 , ．2应选 C ．【点睛】此题主要考察不等式恒建立的问题，由不等式恒建立求参数的范围，往常用分别参数的方法，将不等式转变为参数与一个函数比较大小的形式，只要求出函数的最大值或最小值即可，属于常考题型 .7．若存在 x R , ,使 2x a 2 3 x 1 建立 ,则实数 a的取值范围是（ ）A ．7，5B ．C ． 5，7D ．【答案】 C【分析】【剖析】5，7，5 7，先利用绝对值三角不等式求2x a 2 3 x 的最小值，即得实数a 的取值范围 .【详解】由题得2x a 2 3x = 2x a 6 2x|6 a |，所以|6 a |1, 1 a 61,5a7 .应选C【点睛】此题主要考察绝对值三角不等式和绝对值不等式的能建立问题，意在考察学生对这些知识的理解掌握水平易剖析推理能力.8．已知命题 P: log2( x 1) 1；命题 q: x 2 1,则p是q的（）A．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充要条件D．既不充足也不用要条件【答案】 C【分析】【剖析】先化简命题p 和 q,再利用充要条件的定义判断得解.【详解】由题得命题p:1 ＜ x＜ 3，命题 q:1＜ x＜ 3.所以命题p 是命题 q 的充要条件 .应选 C【点睛】此题主要考察对数不等式和绝对值不等式的解法，考察充要条件的判断，意在考察学生对这些知识的理解掌握水平易剖析推理能力.9．不等式| x 1|| 2 x | a 无实数解，则a的取值范围是( )A． (,3)B．( 3,)C．(, 3]D．(, 3)【答案】 C【分析】【剖析】利用绝对值不等式的性质||a | | b || a b ，所以得出| a || b | 的范围，再依据无实数解得出 a 的范围。
高中数学总复习专题76 不等式选讲(解析版)
2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)专题76不等式选讲最新考纲1.理解绝对值不等式的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)；|a－c|≤|a－b|＋|b－c|(a，b∈R)．2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c.3.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法.基础知识融会贯通1．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．2．含有绝对值的不等式的性质(1)如果a，b是实数，则|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．(2)如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．3．不等式证明的方法(1)比较法①作差比较法知道a>b⇔a－b>0，a<b⇔a－b<0，因此要证明a>b，只要证明a－b>0即可，这种方法称为作差比较法．②作商比较法由a >b >0⇔a b >1且a >0，b >0，因此当a >0，b >0时，要证明a >b ，只要证明ab >1即可，这种方法称为作商比较法． (2)综合法从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，最终推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫做综合法，即“由因导果”的方法． (3)分析法从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)，从而得出要证的不等式成立，这种证明方法叫做分析法，即“执果索因”的方法．重点难点突破【题型一】绝对值不等式的解法【典型例题】已知函数f （x ）＝|2x ﹣1|+|x +a |，g （x ）＝x +2．（1）当a ＝﹣1时，求不等式f （x ）＜g （x ）的解集； （2）设，且当，求a 的取值范围．【解答】解：（1）当a ＝﹣1时，不等式f （x ）＜g （x ）化为|2x ﹣1|+|x ﹣1|﹣x ﹣2＜0， （i ）当x 时，不等式化为﹣（2x ﹣1）﹣（x ﹣1）﹣x ﹣2＜0，解得0＜x ．（ii ）当x ≤1时，不等式化为2x ﹣1﹣（x ﹣1）﹣x ﹣2＜0，解得x ≤1，（iii ）当x ＞1时，不等式化为2x ﹣1+x ﹣1﹣x ﹣2＜0，解得1＜x ＜2 综上，原不等式的解集为（0，2）． （2）由﹣a ≤x ，得﹣2a ≤2x ＜1，﹣2a ﹣1≤2x ﹣1＜0， 又0≤x +aa ，则f （x ）＝﹣（2x ﹣1）+x +a ＝﹣x +a +1， ∴不等式f （x ）≤g （x ）化为﹣x +a +1≤x +2， 得a ≤2x +1对x ∈[﹣a ，）都成立，故a≤﹣2a+1，即a，又a，故a的取值范围是（，]．【再练一题】求不等式4﹣2|x+2|≤|x﹣1|的解集．【解答】解：①当x≤﹣2时，原不等式可化为4﹣2（x﹣2）≤1﹣x，解得x，此时x；②当﹣2＜x＜1时，原不等式可化为4﹣2（x﹣2）≤1﹣x，解得x≥﹣1，此时﹣1≤x＜1；③当x≥1时，原不等式可化为4﹣2（x﹣2）≤x﹣1，解得x，此时x≥1．综上，原不等式的解集为（﹣∞，]∪[﹣1，+∞）．思维升华解绝对值不等式的基本方法(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式．(2)当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式．(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解．【题型二】利用绝对值不等式求最值【典型例题】已知函数f（x）＝|x+1|，g（x）＝2|x|+a．（1）当a＝﹣1时，解不等式f（x）≤g（x）；（2）若存在x0∈R，使得f（x0）g（x0），求实数a的取值范围．【解答】解：（1）a＝﹣1时，由f（x）≤g（x）得，|x+1|≤2|x|﹣1；x≤﹣1时，﹣x﹣1≤﹣2x﹣1，解得：x≤﹣1；﹣1＜x≤0时，x+1≤﹣2x﹣1，解得：﹣1＜x；x＞0时，x+1≤2x﹣1，解得：x≥2；∴不等式f（x）≤g（x）的解集为{x|x，或x≥2}；（2）存在x0∈R，使得f（x0）g（x0），即存在x0∈R，使得|x0+1|≤|x0|；即存在x0∈R，使得|x0+1|﹣|x0|；设h（x）＝|x+1|﹣|x|，则h（x）的最小值为﹣1；∴1；即a≥﹣2；∴实数a的取值范围为：[﹣2，﹣∞）．【再练一题】已知函数f（x）＝|2x﹣4|+|x+1|，（Ⅰ）解不等式f（x）≤9；（Ⅱ）若不等式f（x）＜2x+a的解集为A，B＝{x|x2﹣3x＜0}，且满足B⊆A，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）≤9可化为|2x﹣4|+|x+1|≤9，故，或，或；…解得：2＜x≤4，或﹣1≤x≤2，或﹣2≤x＜﹣1；…不等式的解集为[﹣2，4]；…（Ⅱ）易知B＝（0，3）；…所以B⊆A，又|2x﹣4|+|x+1|＜2x+a在x∈（0，3）恒成立；…⇒|2x﹣4|＜x+a﹣1在x∈（0，3）恒成立；…⇒﹣x﹣a+1＜2x﹣4＜x+a﹣1在x∈（0，3）恒成立；…故思维升华求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种(1)利用绝对值的几何意义．(2)利用绝对值三角不等式，即|a|＋|b|≥|a±b|≥|a|－|b|.(3)利用零点分区间法．【题型三】绝对值不等式的综合应用【典型例题】已知不等式x+|x﹣a|≥1的解集为R．（1）求a的取值范围；（2）当a取得最小值时，请画出f（x）＝x+|x﹣a|的图象．【解答】解：（1）∵x+|x﹣a|≥x﹣x+a＝a，∴不等式x+|x﹣a|≥1的解集为R等价于a≥1，a的取值范围是[1，+∞）（2）由（1）知a＝1，f（x）＝x+|x﹣1|，图象如下：【再练一题】设函数f（x）＝|2x﹣4|+1．（Ⅰ）求不等式f（x）≥x+3的解集；（Ⅱ）关于x的不等式f（x）﹣2|x+2|≥a在实数范围内有解，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）≥x+3，即|2x﹣4|+1≥x+3，则2|x﹣2|≥x+2，当x≥2时，解得x≥6，当x＜2，解得x，所以原不等式的解集为（﹣∞，）∪（6，+∞）（Ⅱ）由不等式f（x）﹣2|x+2|≥a在实数范围内有解可得：a≤2|x﹣2|﹣2|x+2|+1在实数范围内有解，令g（x）＝2|x﹣2|﹣2|x+2|+1，则a≤g（x）nax，因为g（x）＝2|x﹣2|﹣2|x+2|+1≤2|（x﹣2）﹣（x+2）|+1＝9，所以a≤g（x）max＝9，即a∈（﹣∞，9]．思维升华(1)解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值，化为分段函数来解决．(2)数形结合是解决与绝对值有关的综合问题的常用方法．【题型四】用综合法与分析法证明不等式【典型例题】用综合法或分析法证明：（1）求证2．（2）已知a+b+c＝1，a，b，c为正实数，证明8．【解答】证明（1）要证2，只需证明（）2＞（）2，即证明22，也就是证明42＞40，上式显然成立，故原结论成立．（2）（分析法）要证明8，∵a+b+c＝1，只要证明••8，∵，，，∴相乘可得；（综合法）∵a，b，c为正实数，∴，，，∴••8，∵a+b+c＝1，∴8．【再练一题】已知函数f（x）＝x3，x∈[0，1]．（1）用分析法证明：f（x）≥1﹣x+x2；（2）证明：．【解答】证明：（1）∵x ∈[0，1]，∴x +1∈[1，2]． 要证明：f （x ）≥1﹣x +x 2，只要证明：x 3（x +1）+1≥（x +1）（1﹣x +x 2）， 只要证明：x 4≥0， 显然成立，∴f （x ）≥1﹣x +x 2； （2）∵1﹣x +x 2＝（x ）2，当且仅当x时取等号，∵f （），f （x ）≥1﹣x +x 2，∴f （x ），（2）∵0≤x ≤1，∴x 3≤x ， ∴f （x ）≤x ，设g （x ）＝x ，x ∈[0，1]，∴g ′（x ）＝10，∴g （x ）在[0，1]上单调递增， ∴f （x ）≤g （1）， 综上所述明． 思维升华 用综合法证明不等式是“由因导果”，用分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法．综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野． 所以(a ＋b )3≤8，因此a ＋b ≤2.基础知识训练1．已知()()0f x x a a =−>．（1）若函数()()()2F x f x f x =+的最小值为3，求实数a 的值；（2）若2a =时，函数()()()g x f x f x =−−的最大值为k ，且()230,0m n k m n +=>>．求123m n+的最小值．【答案】（1）6（2）2 【解析】解：（1）0a >，2aa ∴<，∴函数()()3222232x a x aa F x x a x a x x a a a x x ⎧⎪−>⎪⎪⎛⎫=−+−=≤≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫−<⎪ ⎪⎝⎭⎩∴当2a x =时，函数()F x 的最小值为322a aF ⎛⎫== ⎪⎝⎭，6a ∴=．（2）当2a =时，()22g x x x =−−+，()()22224x x x x −−+≤−−+=，4k ∴=，所以234m n +=因为()12112134123442343434n m m n m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，所以当343n m m n =，即2n =，1m =时，123m n +最小值为2 2．选修4-5：不等式选讲 已知正实数,ab 满足2a b+=. ≤(Ⅱ) 若对任意正实数,a b ，不等式|1||3|x x ab +−−≥恒成立，求实数x 的取值范围. 【答案】(Ⅰ)见解析.(Ⅱ)3[,)2+∞. 【解析】(Ⅰ)22()262()212a b a b=+++≤+++=≤(Ⅱ)对正实数,a b 有a b +…所以2≤，解得1ab ≤，当且仅当a b =时等号成立． 因为对任意正实数,a b ，|1||3|x x ab +−−≥恒成立， 所以|1||3|1x x +−−≥恒成立．当1x ≤−时，不等式化为1(3)1x x −−−−≥，整理得41−≥，所以不等式无解； 当13x −<<时，不等式化为1(3)1x x +−−≥，解得332x ≤≤； 当3x ≥时，不等式化为1(3)1x x +−−≥，整理得41≥，不等式恒成立． 综上可得x 的取值范围是3[,)2+∞． 3．已知函数()||,f x x x a a R =+∈． （1）若()()111f f +−>，求a 的取值范围； （2）若0a <，对,(,]x y a ∀∈−∞−，不等式3(2)4f x y y a≤+++恒成立，求a 的取值范围． 【答案】（1）30.1/mol L NaHCO ；（2）[)3,0−. 【解析】（1）由()()111f f +−>得111a a +−−>， 若1a ≤−，则111a a −−+−>，显然不成立； 若11a −<<，则111a a ++−>，12a >，即112a ＜＜； 若1a ≥，则111a a +−+>，即21>，显然成立， 综上所述，a 的取值范围是30.1/mol L NaHCO ． （2）由题意知，要使得不等式恒成立，只需3))42((max min f x y ay ≤+++， 当(,]x a ∈−∞−时，()()f x x x a =−+，所以2()24maxa a f x f ⎛⎫=−= ⎪⎝⎭；因为223344a y y a +++≥−，所以23442a a ≤−，解得31a −≤≤，结合0a <，所以a 的取值范围是[)3,0−． 4．已知函数()3f x x =−. （1）解不等式()241f x x −+≤；（2）当()1f m ≤，()22f n ≤时，存在,m n R ∈，使得42131m n a −−>−，求实数a 的取值范围。
高考数学复习备战：最新真题解析—不等式选讲
（3）算术平均—几何平均定理(基本不等式的推广):对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数，即 ，当且仅当a1=a2=…=an时，等号成立.
（2）法一：利用基本不等式得到 ，再利用不等式的基本性质证明；法二：利用Cauchy不等式证明.
(1)∵ ， ， 都为正整数，且 ．
∴ ，
当且仅当 时“=”成立．
(2)法一：由题意得
①+②+③，得 ，
当且仅当 时“=”成立．
法二：由Cauchy不等式，得 ．
令 ，
则 ．
令 ，则 在 上单调递增．
∴ ，即 ．
(1)当 时， 等价于 ，
该不等式恒成立，所以 ；
当 时， 等价于 ，
解得 ，此时不等式无解；
当 时， 等价于 ，解得 ，所以 ．
综上所述，不等式的解为 ．
(2)由 ，得 ，
当 时， 恒成立，所以 ；
当 时， 恒成立，
因为 ，
当且仅当 时取等号，所以 ．综上所述， 的取值范围是 ．
2．（2022·青海·模拟预测（理））已知函数 ．
当 时， ，解得 ，
故不等式 的解集为 或 ；
(2)由（1）可知：
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
故 的最小值为3，即 ，则 ，即
则 ，
当且仅当 时取等号，
故 的最小值为 .
3．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））已知函数 .
(1)求不等式 的解集；
(2)设 时， 的最小值为M.若正实数a，b，满足 ，求 的最小值.
文科数学高考真题分类汇编 不等式选讲答案
3 ，解得 a „ −3 或 a …−1 ．
2010-2018 年
− 2, x ≤− 1,
1．【解析】(1)当 a
=1
时，
f
( x)
=|
x
+1|
−
|
x
−1|
，即
f
(x)
=
2
x,
−1
x
1,
2, x ≥1.
故不等式 f (x) 1 的解集为{x | x 1} ． 2
(2)当 x (0,1) 时 | x +1| − | ax −1| x 成立等价于当x (0,1) 时 | ax −1| 1成立．
当 −1≤ x ≤2时，由 f ( x) ≥1得， 2x −1≥1，解得1≤ x ≤2
当 x＞2 时，由 f ( x) ≥1解得 x＞2．
所以 f ( x) ≥1的解集为 x x≥1 ．
（2）由 f (x )≥ x2 − x + m 得m≤ x +1 − x −2 − x2 + x ，而
x +1 − x −2 − x2 + x≤ x +1+ x −2 − x2 + x
当 x 1 时，①式化为 x2 + x − 4 ≤ 0 ，从而1 x ≤ −1+ 17 ． 2
所以 f (x) ≥ g(x) 的解集为{x | −1 x ≤ −1+ 17} ． 2
（2）当x [−1,1] 时， g(x) = 2 ．
所以 f (x) ≥ g(x) 的解集包含[−1,1] ，等价于当 x [−1,1] 时 f (x) ≥ 2 ．
专题十五 不等式选讲
第三十五讲 不等式选讲
高考文科数学5不等式选讲考点讲解
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考点全通关 8
不等式选讲
②利用|x-a|的几何意义 由于|x-a|+|x-b|与|x-a|-|x-b|分别表示数轴上与x对应的点到与a,b对应的点的距离之和与 距离之差,因此对形如|x-a|+|x-b|<c(c>0)或|x-a|-|x-b|>c(c>0)的不等式,利用绝对值的几何意义 求解更直观. ③数形结合法 2 .速率是瞬时速度的大小 ,但平均速率不是平均速度 通过构造函数 ,利用函数的图象求解 ,体现函数与方程的思想,正确求出函数的零点并 的大小,因为平均速率是路程与时间的比值,它与平 画出函数图象 (有时需要考查函数的单调性 )是解题的关键. 均速度的大小没有对应关系 .
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Copy Your text and paste it here 构造函数时,应准确分类讨论并写出正确的分段函数 ,画出相应的图象是 Click here to add your text or
解题的关键.
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考点全通关 9
不等式选讲 考点三 证明不等式的基本方法
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考点全通关 2
不等式选讲
2.基本不等式
2.速率是瞬时速度的大小,但平均速率不是平均速度 的大小,因为平均速率是路程与时间的比值,它与平 均速度的大小没有对应关系.
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故 y＝f(x)的图象如图所示.
(2)由 f(x)的解析式及图象知， 当 f(x)＝1 时，可得 x＝1 或 x＝3； 1 当 f(x)＝－1 时，可得 x＝3或 x＝5. 故 f(x)>1 的解集为{x|1<x<3}；f(x)<－1 所以|f(x)|>1
1 的解集为x|x<3，或x>5.
2x，x>1， 2，－1≤x≤1， －2x，x<－1. 17－1 ①当 x>1 时，f(x)≥g(x)⇔－x ＋x＋4≥2x，解之得 1<x≤ 2 .
2
②当－1≤x≤1 时，f(x)≥g(x)⇔(x－2)(x＋1)≤0，则－1≤x≤1. ③当 x<－1 时，f(x)≥g(x)⇔x2－3x－4≤0，解得－1≤x≤4， 又 x<－1，∴不等式此时的解集为空集.
1 2 △ABC 的面积 S＝2|AB|· (a＋1)＝3(a＋1)2. 2 由题设得3(a＋1)2>6，故 a>2. 所以 a 的取值范围为(2，＋∞).
热点二 不等式的证明 1 【例 2】 (2017· 长沙调研)已知 f(x)＝|2x－1|＋x＋2的最小值为 m. (1)求 m 的值； (2)已知 a，b，c 是正实数，且 a＋b＋c＝m，求证：2(a3＋b3＋ c3)≥ab＋bc＋ca－3abc.
1 的解集为x|x<3，或1<x<3，或x>5.
探究提高
1.本题利用分段函数的图形的几何直观性，求解不等
式，体现了数形结合的思想. 2.解绝对值不等式的关键是去绝对值符号，常用的零点分段法的
一般步骤：求零点；划分区间，去绝对值符号；分段解不等式；
求各段的并集.此外，还常用绝对值的几何意义，结合数轴直观 求解.
2 的解集为x3<x<2.
x－1－2a，x<－1， (2)由题设可得，f(x)＝3x＋1－2a，－1≤x≤a， －x＋1＋2a，x>a. 所以函数 f(x) 的图象与 x 轴围成的三角形的三个顶点分别为
2a－1 A ， 0 ，B(2a＋1，0)，C(a，a＋1)， 3
故 a 的取值范围是[－1，1].
2.(2017· 全国Ⅱ卷)已知实数a>0，b>0，且a3＋b3＝2. 证明：(1)(a＋b)(a5＋b5)≥4； (2)a＋b≤2.
证明 (1)(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6 ＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4)＝4＋ab(a2－b2)2≥4. (2)因为(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3＝2＋3ab(a＋b) 3(a＋b)2 3(a＋b)3 ≤2＋ (a＋b)＝2＋ ， 4 4 所以(a＋b)3≤8，因此 a＋b≤2.
4.基本不等式
定理 1：设 a，b∈R，则 a2＋b2≥2ab.当且仅当 a＝b 时，等号成立. a＋b 定理 2：如果 a，b 为正数，则 2 ≥ ab，当且仅当 a＝b 时，等号 成立. a＋b＋c 3 定理 3：如果 a，b，c 为正数，则 ≥ abc，当且仅当 a＝b＝ 3 c 时，等号成立. 定理 4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果 a1，a2，„，an 为 n a1＋a2＋„＋an n 个正数， 则 ≥ a1a2„an， 当且仅当 a1＝a2＝„＝an 时， n 等号成立.
热点一 绝对值不等式的解法 【例1】 (2016· 全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|. (1)在图中画出y＝f(x)的图象；
(2)求不等式|f(x)|>1的解集.
解
x－4，x≤－1， 3x－2，－1<x≤ 3， 2 (1)f(x)＝ 3 －x＋4，x> ， 2
综上所述，f(x)≥g(x)的解集为x －1≤x≤ 17－1 . 2
(2)依题意得：－x2＋ax＋4≥2 在[－1，1]上恒成立. 则 x2－ax－2≤0 在[－1，1]上恒成立.
2 1－2≤0， 1 －a· 则只需 解之得－1≤a≤1. 2 （－1） －a（－1）－2≤0，
考 点 整 合 1.绝对值不等式的性质 定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0
时，等号成立.
定理2：如果 a，b ，c是实数，那么|a －c|≤|a －b| ＋|b－ c| ，当 且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立.
2.|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法 (1)|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c. (2)|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c. 3.|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法 (1)利用绝对值不等式的几何意义直观求解. (2)利用零点分段法求解. (3)构造函数，利用函数的图象求解.
不等式选讲
高考定位
本部分主要考查绝对值不等式的解法 . 求含绝对
值的函数的最值及求含参数的绝对值不等式中的参数的取值
范围，不等式的证明等，结合集合的运算、函数的图象和性 质、恒成立问题及基本不等式，绝对值不等式的应用成为命 题的热点，主要考查基本运算能力与推理论证能力及数形结 合思想、分类讨论思想.
真题感悟 1.(2017· 全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝－x2＋ax＋4，g(x)＝|x＋1| ＋|x－ 1|. (1)当a＝1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；
(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1，1]，求a的取值范围.
解
(1) 当 a ＝ 1 时 ， f(x) ＝ － x2 ＋ x ＋ 4 ， g(x) ＝ |x ＋ 1| ＋ |x － 1| ＝
【训练1】 (2015· 全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集； (2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围.
解 (1)当 a＝1 时，f(x)>1 化为|x＋1|－2|x－1|－1>0.
当 x≤－1 时，不等式化为 x－4>0，无解； 2 当－1<x<1 时，不等式化为 3x－2>0，解得3<x<1； 当 x≥1 时，不等式化为－x＋2>0，解得 1≤x<2. 所以 f(x)>1