高中数学复习不等式人教版

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人教版高一必修一数学不等式解法步骤

人教版高一必修一数学不等式解法步骤高中数学不等式是数学学科的一个重要部分，不等式在实际生活和科学技术领域中都有着广泛的应用。

在高中必修一数学课程中，学生需要学习不等式的解法步骤，掌握不等式的基本概念和解题方法，提高解决实际问题的能力。

人教版高一必修一数学不等式解法步骤主要包括以下内容：1.不等式的基本概念和性质：首先，学生需要了解不等式的基本概念和性质。

不等式是指两个数或者两个代数式之间的大小关系，包括大于、小于、大于等于、小于等于等不等式关系。

在学习不等式的过程中，学生还需要掌握不等式的可加性、可乘性等基本性质，这些性质是解不等式问题的关键。

2.不等式的解法方法：解不等式是数学学科中的一个重要问题，不等式的解法方法有很多种，包括直接法、间接法、分情况讨论法、参数法等。

学生需要掌握这些解法方法，根据不同的不等式问题选择合适的解法，并且要熟练运用这些解法方法解决实际问题。

3.一元一次不等式的解法：在学习不等式的过程中，学生首先需要掌握一元一次不等式的解法。

一元一次不等式是指不等式中只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为一次的不等式。

解一元一次不等式的关键是通过变形和等价变换将不等式化为标准形式，然后通过对不等式进行加减乘除等操作来求解未知数的取值范围。

4.一元二次不等式的解法：学生在学习一元一次不等式之后，需要进一步学习一元二次不等式的解法。

一元二次不等式是指不等式中含有一个未知数，并且未知数的最高次数为二次的不等式。

解一元二次不等式一般需要借助图像或者特殊的代数方法来求解，学生需要掌握各种解法方法，并熟练应用到实际问题中去。

5.不等式组的解法：在学习一元不等式之后，学生还需要学习不等式组的解法。

不等式组是由多个不等式组成的一种复合不等式，解不等式组的关键是找出其解的交集或者并集，并求出满足所有不等式的未知数的取值范围。

学生需要通过练习不等式组的解题方法，提高解决实际问题的能力。

6.不等式问题的应用：在学习不等式的过程中，学生还需要了解不等式在实际问题中的应用。

人教版高中数学必修课件一元二次不等式及其解法

人教版高中数学必修5课件 -3.2一元二次不等式及其解法(共 17张PP T)
总结出：解一元二次不等式
ax2+bx+c>0、ax2+bx+c<0 的步骤是：
(1)化成标准形式 ax2+bx+c>0 (a>0)
ax2+bx+c<0 (a>0)
(2) 写出ax2+bx+c=0判定△的符号，
当x取 0 < x <5 时，y<0?
(3).由图象写出：
不等式x2 -5x>0 的解集为 ﹛x|x<0或x>5﹜ 。
不等式x2 -5x<0 的解集为 ﹛x| 0 <x <5﹜ 。
人教版高中数学必修5课件 -3.2一元二次不等式及其解法(共 17张PP T)
一元二次不等式及其解法
=(2x-1)2≥0
(2)解不等式 - x2 + 2x – 3 >0
解：整理，得 x2 - 2x + 3 < 0
因为△= 4 - 12 = - 8 < 0
方程 2 x2 - 3x – 2 = 0无实数根
所以原不等式的解集为ф
人教版高中数学必修5课件 -3.2一元二次不等式及其解法(共 17张PP T)
(3)求出方程的实根;画出函数图像
(4)（结合函数图象）写出不等式的解集.
简记为：一化—二判—三求—四写
人教版高中数学必修5课件 -3.2一元二次不等式及其解法(共 17张PP T)
人教版高中数学必修5课件 -3.2一元二次不等式及其解法(共 17张PP T)

人教高中数学必修一B版《均值不等式及其应用》等式与不等式说课复习(均值不等式)

答案：14
1 2
栏目导引
对均值不等式的理解下列结论正确的是( ) A．若 x∈R，且 x≠0，则4x＋x≥4 B．当 x>0 时， x＋ 1x≥2 C．当 x≥2 时，x＋1x的最小值为 2 D．当 0<x≤2 时，x－1x无最大值
第二章等式与不等式
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则 x＝±1，均不满足 x≥2；对于选项 D，x－1x在 0<x≤2 的范
围内单调递增，有最大值 2－12＝32. 【答案】 B
栏目导引
第二章等式与不等式
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应用均值不等式时的三个关注点
栏目导引
第二章等式与不等式
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－2 （2－x）2－4 x＋2＝－2，当且仅当 2－x＝2－4 x，得 x＝0 或 x＝4(舍去)，
即 x＝0 时，等号成立．
故 y＝x＋x－4 2的最大值为－2.

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A．2
B．2 2
C．3
D．4
)
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高中数学人教版_必修五_不等式_知识点最完全精炼总结

2012.3.264.公式： 1.两实数大小的比较⎪⎩⎪⎨⎧<-⇔<=-⇔=>-⇔>0b a b a 0b a b a 0b a b a 一.不等式(淮上陌客）3.基本不等式定理⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧-≤+⇒<≥+⇒>≥+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+≤+≥+⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧+≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤+≥+≥+2a 1a 0a 2a 1a 0ab ,a (2b aa b )b a (2b a ab 2b a 2b a ab 2b a ab )b a (21b a ab 2b a 2222222222倒数形式同号）分式形式根式形式整式形式2211222a b a b ab a b --++≤≤≤+2.不等式的性质：8条性质.3.解不等式(1)一元一次不等式(2)一元二次不等式：判别式△=b2- 4ac△>0 △=0△<0y=ax2+bx+c的图象(a>0)ax2+bx+c=0 (a>0)的根有两相异实根x1, x2 (x1<x2)有两相等实根x1=x2=没有实根ax2+bx+c>0(y>0)的解集{x|x<x1,或x>x2} {x|x≠}Rax2+bx+c<0 (y<0)的解集{x|x1< x <x2}ΦΦx1x2xyOyxO x1yxO⎪⎩⎪⎨⎧<<>>≠>)0a(abx)0a(abx)0a(baxab2-ab2-一元二次不等式的求解流程：一化：化二次项前的系数为正数. 二判：判断对应方程的根. 三求：求对应方程的根. 四画：画出对应函数的图象.五解集：根据图象写出不等式的解集. (3)解分式不等式：高次不等式：(4)解含参数的不等式：（1）(x – 2)(ax – 2)>0（2）x 2 – (a +a 2)x +a 3>0；（3）2x 2 +ax +2 > 0；注:解形如ax 2+bx+c>0的不等式时分类讨论的标准有：1、讨论a 与0的大小；2、讨论⊿与0的大小；3、讨论两根的大小；二、运用的数学思想：1、分类讨论的思想；2、数形结合的思想；3、等与不等的化归思想(4)含参不等式恒成立的问题：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧≠≤⋅⇔≤>⋅⇔>0)x (g 0)x (g )x (f 0)x (g )x (f 0)x (g )x (f 0)x (g )x (f 0)())((21>---n a x a x a x⎪⎩⎪⎨⎧用图象分离参数后用最值函数、、、321例1．已知关于x 的不等式在(–2，0)上恒成立，求实数a 的取值范围．例2．关于x 的不等式对所有实数x ∈R 都成立，求a 的取值范围.(5)一元二次方程根的分布问题：方法：依据二次函数的图像特征从：开口方向、判别式、对称轴、函数值三个角度列出不等式组，总之都是转化为一元二次20,31xx a x x >≤++恒成立，例3.若对任意则的取值范围.a22(3)210x a x a +-+-<)1(log 22++-=ax ax y不等式组求解. 二次方程根的分布问题的讨论：y()020f k b k a >⎧⎪⎪-<⎨⎪∆>⎪⎩1．x 1< x 2< kxOkx 1x 2xyO x 2x 1 k ()020f k b k a >⎧⎪⎪->⎨⎪∆>⎪⎩2．k < x 1< x xyO xx 1 k()0f k <3．x 1< k < x 24． k 1 < x 1 < x 2 < k 2 5． x 1 < k 1 < k 2 < x 2 1212()0()002f k f k b k k a >⎧⎪>⎪⎪⎨∆>⎪⎪<-<⎪⎩12()0()0f k f k >⎧⎨>⎩6． k 1 <x 1 < k 2 < x 2< k 3122()0()0()0f k f k f k >⎧⎪<⎨⎪>⎩ 4解线性规划问题的一般步骤：第一步：在平面直角坐标系中作出可行域；第二步：在可行域内找到最优解所对应的点；第三步：解方程的最优解，从而求出目标函数的最大值或最小值。

人教版高中数学课件-不等式

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第三章不等式
3．二元一次不等式組與簡單線性規劃問題 (1)會從實際情境中抽象出二元一次不等式組 (2)瞭解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區域表示二元一次不等式組 (3)會從實際情境中抽象出一些簡單的二元線性規劃問題，並能加以解決
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第三章不等式 4．基本不等式：a＋2 b≥ ab(a，b≥0) (1)了解基本不等式的证明过程 (2)会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题 5．不等式選講(理科選考) (1)理解絕對值的幾何意義，並能利用含絕對值不等式的幾何意義證明以下不等式 ①|a＋b|≤|a|＋|b|；②|a－b|≤|a－c|＋|c－b|； (2)會利用絕對值的幾何意義求解以下類型的不等式： |ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－c|＋|x－b|≤a
高考总Байду номын сангаас习数学
第三章不等式
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第三章不等式
已知
a，b
为正实数，比较
a－ b
b与 a
a－
b的大小．
[解]
(
a－ b
ba)－(
a－
b)＝(
a＋ b
b)－(
b＋ a
a)
＝a＋b－a＋b＝a＋b a－ b
ba
ab
∵a，b 为正实数
∴a＋b＞0， ab＞0，①当 a＞b 时 a－ b＞0，所以
a＋b a－ ab
b＞0
即有
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第三章不等式
3．已知 1≤x≤2，y＝1－1x，则 y 的取值得范围________． [解析] 由 1≤x≤2，∴12≤1x≤1，∴－1≤－1x≤－12 ∴0≤1－1x≤12，∴0≤y≤12 [答案] 0≤y≤12

人教版高中数学必修第一册知识点及题型总结---不等关系与不等式

目录不等关系与不等式 (2)考点1 ：不等关系与不等式 (2)考点2 :等式性质与不等式性质 (7)考点1:不等关系与不等式知识点一基本事实两个实数a，b,其大小关系有三种可能，即a=b. a<b.思考 F+1与2%两式都随x的变化而变化，其大小关系并不显而易见.你能想个办法，比较W+1与2%的大小吗？答案作差：x2+l-2x=（x-l）2^0,所以x2+1^2x.知识点二重要不等式bWR,有R+夕仝2db,当且仅当a=b时，等号成立.型1 ：用不等式（组）表示不等关系例1《铁路旅行常识》规左：一、随同成人旅行，身高在1.2〜L5米的儿童享受半价客票（以下称儿童票），超过1.5米的应买全价票，每一爼成人旅客可免费带一名身高不足1.2米的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票.十、旅客免费携带物品的体枳和重量是每件物品的外部长、宽、高尺寸之和不得超过160 厘米，杆状物品不得超过200厘米.重量不得超过20千克……设身高为加米），物品外部长、宽、高尺寸之和为P（厘米），请用不等式表示下表中的不等关系.解由题意可获取以下主要信息：（1）身高用力（米）表示•物体长、宽、高尺寸之和为P（厘米）;(2)题中要求用不等式表示不等关系•解答本题应先理解题中所提供的不等关系，再用不等式表示.身高在1.2〜1.5米可表示为1.20W1.5,身高超过1.5米可表示为Q1.5,身高不足1.2米可表示为*1.2,物依长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米可表示为PW160.如下表所示：变式某套试卷原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，若单价每提髙0.1元，销售量就可能相应减少2 000本.若把提价后试卷的立价设为X元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？解提价后销售的总收入为(8—讦尹X0.2》万元，那么不等关系'‘销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式(8—违尹X0.2》220(2.5Wx<6.5).题型2 :作差法比较大小例2已知e b均为正实数.试利用作差法比较”+沪与Hb+a，的大小.解•/，+，一(a2b+abr)=(a3—crb)+&—air)=a2(a—b)+b2(b—a)=(a—b)(a2—b2)=(a—b)2(a + b)・当a=b 时，a-b=Q. a3+b3=a2b+a^;当a^b时，(a-b)2>09 a+bX), a3-^b3>a2b+ab2.综上所述.变式已知;r<l,试比较W—1与R-h的大小.解 V(X3-1)-(2A2-2X)=X3-2X2+2X-1=(x3—X2)—(A2—2x+l)=x2(x—1)—(x—I)2= (x_ l)(x2-x+ l) = (x- 1｛卜-齐+ ||又V （x-|）2+|>0, x-KO,考点1 ：练习题1. 下列说法正确的是（）A. 某人月收入x 元不高于2 OOO 元可表示为“*2 000”B. 小明的身高为x,小华的身髙为），，则小明比小华矮可表示为“心，”C. 变量x 不小于a 可表示为“xMa”D. 变量y 不超过a 可表示为答案C解析对于A, x 应满足xW2 000,故A 错误；对于B, x, y 应满足xvy,故B 错误；C 正确；对于D, y 与“的关系可表示为“yWa”，故D 错误.2. 在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5 cm,人跑开的速度为每秒4 m, 为了使点燃导火索的人能够在爆破时跑到100 m 以外的安全区，导火索的长度x （cm ）应满足的不等式为（） A ・ 4X^2100 B ・ 4X 吉W10° ° 4X 吉>100 答案cD ・4X 着100解析导火索燃烧的时间*秒，人在此时间内跑的路程为4Xyr m .由题意可得4X 点 >100.3・设M=x2, N=-x-l,则M 与N 的大小关系是（） A. M>NB ・ M=N C. M<N答案AD.与x 有关解析 TM —"=工+乂+1=卜+少+弓>0,:.M>N,4.若>*i=2x 2—2x+L V2=x 2—4x —h 则yi 与尹2的大小关系是（）A. yi>y^2 B ・ yi =1^2.•・仗_1林_期+詐0,：.x 3-l<2x 2-2x.D ・随x 值变化而变化5・如图，在一个而积为200 m 2的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地，仓库的长a 大于宽b 的4倍，则表示上述的不等关系正确的是()答案C解析由题意知a>4b,根据面积公式可以得到@+4)0+4)=200,故选C.6. 某次数学智力测验，共有20道题，答对一题得5分，答错一题得一2分，不答得零分.某同学有一道题未答，设这个学生至少答对x 题，成绩才能不低于80分，列岀英中的不等关系： _______ •(不用化简) 答案 5x-2(19-x)^80, xWPT解析这个学生至少答对X 题，成绩才能不低于80分.即5x-2(19-x)^80, xGN 4.7. 某商品包装上标有重疑500±1克，若用x 表示商品的重量，则可用含绝对值的不等式表示该商品的重量的不等式为 _________ . 答案 |x-500|Wl解析：•某商品包装上标有重量500±1克，若用X 表示商品的重量，则一 1WX —500W1, "一 50001.8. ____________________________________ 若MR,则占与扌的大小关系为• • X 1 二厲一1一工_一&一1)2 • 1+W 2(1+F) — 2(1+F)、U9.已知a, bWR, b, y=a 2b~a.试比较x 与y 的大小.解因为 x —y =a i—b —a 1b^a =a 2(a — b)'¥a—b — (a —b)(g 2^V).所以当a>b 时，：r —y>0,所以x 刁；C ・ yi<y 2A. a>4b a>4b 9 C.\[(“+4)9+4)=200 2-2 m-仓库-2 m-绿地2ma>4b,D|4"=200解析B ・(a+4)(b+4)=200 答案当a=b时，x—y=O,所以x=y；当a<b时，x—3<0,所以10.已知甲、乙、丙三种食物的维生素A, B含捲及成本如下表:若用甲.乙、丙三种食物各xkg.ykg’kg配成100kg的混合食物，并使混合食物内至少含有56 000单位维生素A和63 000单位维生素B.试用x,表示混合食物成本c元，并写出x, y所满足的不等关系.解依题意得c=llx+刘+4z,又x+y+z=100, •••C=400+7X+5N600x+70Qy+4（XhM56 000,由］, 及z=100—x—800.Y+400V+500z^63 000•*Q+3&160,得｛L3x-y^l30.去+3舞160,3x-v^l30.•••x, y所满足的不等关系为（,亠0<y^Q.11・已知0勺01,0勺2<1,记N=ai+d2—1，则A/与N的大小关系是（）A. M<NB. M>NC. M=N D・无法确定答案B解析 TOva产 1、0勺2<1, •: —1<^1 —1<0, —1<^2 —1<0, /.Af—N=ag2—（心+。

人教版高二数学上向量的三角形不等式归纳

人教版高二数学上向量的三角形不等式归纳高二数学向量的三角形不等式1、∣∣a∣-∣b∣∣∣a+b∣∣a∣+∣b∣;① 当且仅当a、b反向时，左边取等号;② 当且仅当a、b同向时，右边取等号。

2、∣∣a∣-∣b∣∣∣a-b∣∣a∣+∣b∣。

① 当且仅当a、b同向时，左边取等号;② 当且仅当a、b反向时，右边取等号。

高中数学学习方法(1)记数学笔记，特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师在课堂中拓展的课外知识。

记录下来本章你觉得最有价值的思想方法或例题，以及你还存在的未解决的问题，以便今后将其补上。

(2)建立数学纠错本。

把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再犯。

争取做到：找错、析错、改错、防错。

达到：能从反面入手深入理解正确东西;能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药;解答问题完整、推理严密。

(3)熟记一些数学规律和数学小结论，使自己平时的运算技能达到了自动化或半自动化的熟练程度。

(4)经常对知识结构进行梳理，形成板块结构，实行整体集装，如表格化，使知识结构一目了然;经常对习题进行类化，由一例到一类，由一类到多类，由多类到统一;使几类问题归纳于同一知识方法。

(5)阅读数学课外书籍与报刊，参加数学学科课外活动与讲座，多做数学课外题，加大自学力度，拓展自己的知识面。

(6)及时复习，强化对基本概念知识体系的理解与记忆，进行适当的反复巩固，消灭前学后忘。

(7)学会从多角度、多层次地进行总结归类。

如：①从数学思想分类②从解题方法归类③从知识应用上分类等，使所学的知识系统化、条理化、专题化、网络化。

(8)经常在做题后进行一定的反思，思考一下本题所用的基础知识，数学思想方法是什么，为什么要这样想，是否还有别的想法和解法，本题的分析方法与解法，在解其它问题时，是否也用到过。

(9)无论是作业还是测验，都应把准确性放在第一位，通法放在第一位，而不是一味地去追求速度或技巧，这是学好数学的重要问题。

人教版高中数学必修第一册知识点及题型总结---不等关系与不等式

目录不等关系与不等式 (2)考点1：不等关系与不等式 (2)考点2：等式性质与不等式性质 (7)考点1：不等关系与不等式知识点一基本事实两个实数a，b，其大小关系有三种可能，即a>b，a＝b，a<b.思考x2＋1与2x两式都随x的变化而变化，其大小关系并不显而易见．你能想个办法，比较x2＋1与2x的大小吗？答案作差：x2＋1－2x＝(x－1)2≥0，所以x2＋1≥2x.知识点二重要不等式∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．题型1：用不等式(组)表示不等关系例1《铁路旅行常识》规定：一、随同成人旅行，身高在1.2～1.5米的儿童享受半价客票(以下称儿童票)，超过1.5米的应买全价票，每一名成人旅客可免费带一名身高不足1.2米的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票．……十、旅客免费携带物品的体积和重量是每件物品的外部长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米，杆状物品不得超过200厘米，重量不得超过20千克……设身高为h(米)，物品外部长、宽、高尺寸之和为P(厘米)，请用不等式表示下表中的不等关系.解由题意可获取以下主要信息：(1)身高用h(米)表示，物体长、宽、高尺寸之和为P(厘米)；(2)题中要求用不等式表示不等关系．解答本题应先理解题中所提供的不等关系，再用不等式表示．身高在1.2～1.5米可表示为1.2≤h ≤1.5，身高超过1.5米可表示为h >1.5，身高不足1.2米可表示为h <1.2，物体长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米可表示为P ≤160.如下表所示：变式某套试卷原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2 000本．若把提价后试卷的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？解提价后销售的总收入为⎝⎛⎭⎫8－x －2.50.1×0.2x 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式⎝⎛⎭⎫8－x －2.50.1×0.2x ≥20(2.5≤x <6.5)．题型2：作差法比较大小例2 已知a ，b 均为正实数．试利用作差法比较a 3＋b 3与a 2b ＋ab 2的大小．解 ∵a 3＋b 3－(a 2b ＋ab 2)＝(a 3－a 2b )＋(b 3－ab 2) ＝a 2(a －b )＋b 2(b －a )＝(a －b )(a 2－b 2)＝(a －b )2(a ＋b )．当a ＝b 时，a －b ＝0，a 3＋b 3＝a 2b ＋ab 2；当a ≠b 时，(a －b )2>0，a ＋b >0，a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2. 综上所述，a 3＋b 3≥a 2b ＋ab 2.变式已知x <1，试比较x 3－1与2x 2－2x 的大小．解 ∵(x 3－1)－(2x 2－2x )＝x 3－2x 2＋2x －1 ＝(x 3－x 2)－(x 2－2x ＋1)＝x 2(x －1)－(x －1)2 ＝(x －1)(x 2－x ＋1)＝(x －1)⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －122＋34，又∵⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0，x －1<0， ∴(x －1)⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －122＋34<0，∴x 3－1<2x 2－2x .考点1：练习题1．下列说法正确的是( )A ．某人月收入x 元不高于2 000元可表示为“x <2 000”B ．小明的身高为x ，小华的身高为y ，则小明比小华矮可表示为“x >y ”C ．变量x 不小于a 可表示为“x ≥a ”D ．变量y 不超过a 可表示为“y ≥a ” 答案 C解析对于A ，x 应满足x ≤2 000，故A 错误；对于B ，x ，y 应满足x <y ，故B 错误；C 正确；对于D ，y 与a 的关系可表示为“y ≤a ”，故D 错误．2．在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5 cm ，人跑开的速度为每秒4 m ，为了使点燃导火索的人能够在爆破时跑到100 m 以外的安全区，导火索的长度x (cm)应满足的不等式为( ) A ．4×x0.5≥100B ．4×x0.5≤100 C ．4×x0.5>100D ．4×x0.5<100答案 C解析导火索燃烧的时间x 0.5秒，人在此时间内跑的路程为4×x0.5m ．由题意可得4×x0.5>100. 3．设M ＝x 2，N ＝－x －1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M >N B ．M ＝N C ．M <N D ．与x 有关答案 A解析 ∵M －N ＝x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34>0， ∴M >N .4．若y 1＝2x 2－2x ＋1，y 2＝x 2－4x －1，则y 1与y 2的大小关系是( ) A ．y 1>y 2B ．y 1＝y 2C ．y 1<y 2D ．随x 值变化而变化答案 A5．如图，在一个面积为200 m 2的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地，仓库的长a 大于宽b 的4倍，则表示上述的不等关系正确的是( )A ．a >4bB ．(a ＋4)(b ＋4)＝200C.⎩⎪⎨⎪⎧a >4b ，(a ＋4)(b ＋4)＝200 D.⎩⎪⎨⎪⎧a >4b ，4ab ＝200 答案 C解析由题意知a >4b ，根据面积公式可以得到(a ＋4)(b ＋4)＝200，故选C.6．某次数学智力测验，共有20道题，答对一题得5分，答错一题得－2分，不答得零分．某同学有一道题未答，设这个学生至少答对x 题，成绩才能不低于80分，列出其中的不等关系：________.(不用化简) 答案 5x －2(19－x )≥80，x ∈N *解析这个学生至少答对x 题，成绩才能不低于80分，即5x －2(19－x )≥80，x ∈N *. 7．某商品包装上标有重量500±1克，若用x 表示商品的重量，则可用含绝对值的不等式表示该商品的重量的不等式为________．答案 |x －500|≤1解析 ∵某商品包装上标有重量500±1克，若用x 表示商品的重量，则－1≤x －500≤1， ∴|x －500|≤1.8．若x ∈R ，则x 1＋x 2与12的大小关系为________．答案x 1＋x 2≤12解析 ∵x 1＋x 2－12＝2x －1－x 22(1＋x 2)＝－(x －1)22(1＋x 2)≤0.∴x 1＋x 2≤12. 9．已知a ，b ∈R ，x ＝a 3－b ，y ＝a 2b －a ，试比较x 与y 的大小．解因为x －y ＝a 3－b －a 2b ＋a ＝a 2(a －b )＋a －b ＝(a －b )(a 2＋1)，所以当a >b 时，x －y >0，所以x >y ；当a ＝b 时，x －y ＝0，所以x ＝y ；当a <b 时，x －y <0，所以x <y .10．已知甲、乙、丙三种食物的维生素A ，B 含量及成本如下表：若用甲、乙、丙三种食物各x kg 、y kg 、z kg 配成100 kg 的混合食物，并使混合食物内至少含有56 000单位维生素A 和63 000单位维生素B.试用x ，y 表示混合食物成本c 元，并写出x ，y 所满足的不等关系．解依题意得c ＝11x ＋9y ＋4z ，又x ＋y ＋z ＝100，∴c ＝400＋7x ＋5y ，由⎩⎪⎨⎪⎧600x ＋700y ＋400z ≥56 000，800x ＋400y ＋500z ≥63 000及z ＝100－x －y ，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≥160，3x －y ≥130. ∴x ，y 所满足的不等关系为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≥160，3x －y ≥130，x ≥0，y ≥0.11．已知0<a 1<1,0<a 2<1，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M <N B ．M >N C ．M ＝N D ．无法确定答案 B解析 ∵0<a 1<1,0<a 2<1，∴－1<a 1－1<0，－1<a 2－1<0，∴M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1)＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝a 1(a 2－1)－(a 2－1)＝(a 1－1)(a 2－1)>0， ∴M >N ，故选B.12．若0<a 1<a 2，0<b 1<b 2，且a 1＋a 2＝b 1＋b 2＝1，则下列代数式中值最大的是( ) A ．a 1b 1＋a 2b 2 B ．a 1a 2＋b 1b 2 C ．a 1b 2＋a 2b 1 D.12答案 A解析令a 1＝0.1，a 2＝0.9；b 1＝0.2，b 2＝0.8.则A 项a 1b 1＋a 2b 2＝0.74；B 项，a 1a 2＋b 1b 2＝0.25；C 项，a 1b 2＋a 2b 1＝0.26，故最大值为A.13．一个盒子中红、白、黑三种球分别为x 个、y 个、z 个，黑球个数至少是白球个数的一半，至多是红球个数的13，白球与黑球的个数之和至少为55，则用不等式(组)将题中的不等关系表示为________．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧y 2≤z ≤x 3，y ＋z ≥55(x ，y ，z ∈N *)解析由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧y 2≤z ≤x 3，y ＋z ≥55(x ，y ，z ∈N *)．14．若a 1<a 2，b 1”“<”“＝”) 答案 >解析 a 1b 1＋a 2b 2－(a 1b 2＋a 2b 1) ＝a 1(b 1－b 2)＋a 2(b 2－b 1) ＝(b 1－b 2)(a 1－a 2)， ∵a 1<a 2，b 10， ∴a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 1.考点2：等式性质与不等式性质知识点一等式的基本性质 (1)如果a ＝b ，那么b ＝a . (2)如果a ＝b ，b ＝c ，那么a ＝c . (3)如果a ＝b ，那么a ±c ＝b ±c . (4)如果a ＝b ，那么ac ＝bc . (5)如果a ＝b ，c ≠0，那么a c ＝bc .知识点二不等式的性质题型1：利用不等式的性质判断或证明例1 (1)给出下列命题： ①若ab >0，a >b ，则1a <1b ；②若a >b ，c >d ，则a －c >b －d ；③对于正数a ，b ，m ，若a 0，则1ab>0，又a >b ，所以a ab >b ab ，所以1a <1b ，所以①正确；对于②，若a ＝7，b ＝6，c ＝0，d ＝－10，则7－0<6－(－10)，②错误；对于③，对于正数a ，b ，m ，若a 0，所以a b <a ＋m b ＋m ，③正确．综上，真命题的序号是①③.(2)已知a >b >0，c <d <0.求证：3a d<3b c. 证明因为c <d <0，所以－c >－d >0. 所以0<－1c <－1d.又因为a >b >0，所以－a d >－bc>0.所以3－ad>3－bc，即－3a d>－3b c，两边同乘－1，得3a d<3b c.变式若1a <1b <0，有下面四个不等式：①|a |>|b |，②a b 3. 则不正确的不等式的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 C解析由1a <1b <0可得b <a <0，从而|a |<|b |，①②均不正确；a ＋b <0，ab >0，则a ＋b <ab 成立，③正确；a 3>b 3，④正确．故不正确的不等式的个数为2.题型2：利用性质比较大小例2 若P ＝a ＋6＋a ＋7，Q ＝a ＋5＋a ＋8(a >－5)，则P ，Q 的大小关系为( ) A ．P <Q B ．P ＝Q C ．P >Q D ．不能确定答案 C解析 P 2＝2a ＋13＋2(a ＋6)(a ＋7)， Q 2＝2a ＋13＋2(a ＋5)(a ＋8)，因为(a ＋6)(a ＋7)－(a ＋5)(a ＋8)＝a 2＋13a ＋42－(a 2＋13a ＋40)＝2>0，所以(a ＋6)(a ＋7)>(a ＋5)(a ＋8)，所以P 2>Q 2，所以P >Q .变式下列命题中一定正确的是( ) A ．若a >b ，且1a >1b ，则a >0，b <0B ．若a >b ，b ≠0，则ab >1C ．若a >b ，且a ＋c >b ＋d ，则c >dD ．若a >b ，且ac >bd ，则c >d 答案 A解析对于A ，∵1a >1b ，∴b －a ab >0，又a >b ，∴b －a <0，∴ab <0， ∴a >0，b <0，故A 正确；对于B ，当a >0，b <0时，有ab<1，故B 错；对于C ，当a ＝10，b ＝2时，有10＋1>2＋3，但1<3，故C 错；对于D ，当a ＝－1，b ＝－2时，有(－1)×(－1)>(－2)×3，但－1<3，故D 错．题型3：利用性质比较大小例3 已知12<a <60,15<b <36.求a －b 和ab 的取值范围．解 ∵15<b <36，∴－36<－b <－15， ∴12－36<a －b <60－15，即－24<a －b <45. 又136<1b <115，∴1236<a b <6015，即13<a b <4. 故－24<a －b <45，13<a b <4.变式已知0<a ＋b <2，－10，那么下列不等式中正确的是( )A.1a <1bB.－a <bC ．a 2|b |答案 A解析 ∵a <0，b >0，∴1a <0，1b >0，∴1a <1b ，故选A.2．若a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则下列不等式一定成立的是() A ．a ＋c ≥b －c B ．ac >bcC.c 2a －b >0 D ．(a －b )c 2≥0答案 D解析 ∵a >b ，∴a －b >0，∴(a －b )c 2≥0，故选D.3．已知a >b >c ，则1b －c ＋1c －a 的值是( )A ．正数B ．负数C ．非正数D ．非负数答案 A解析 1b －c ＋1c －a ＝c －a ＋b －c (b －c )(c －a )＝b －a (b －c )(c －a )， ∵a >b >c ，∴b －c >0，c －a <0，b －a <0，∴1b －c ＋1c －a>0，故选A. 4．若x >1>y ，下列不等式不一定成立的是( )A ．x －y >1－yB ．x －1>y －1C ．x －1>1－yD ．1－x >y －x 答案 C解析利用性质可得A ，B ，D 均正确，故选C.5．已知a <0，b <－1，则下列不等式成立的是( )A ．a >a b >a b 2 B.a b 2>a b >a C.a b >a >a b 2 D.a b >a b 2>a 答案 D解析 ∵a <0，b <－1，∴a b>0，b 2>1， ∴0<1b 2<1，∴0>a b 2>a 1， ∴a b >a b 2>a . 6．不等式a >b 和1a >1b同时成立的条件是________．答案 a >0>b解析若a ，b 同号，则a >b ⇒1a <1b. 7．给出下列命题：①a >b ⇒ac 2>bc 2；②a >|b |⇒a 2>b 2；③a >b ⇒a 3>b 3；④|a |>b ⇒a 2>b 2.其中正确命题的序号是________．答案 ②③解析 ①当c 2＝0时不成立；②一定成立；③当a >b 时，a 3－b 3＝(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝(a －b )·⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＋34b 2>0成立； ④当b <0时，不一定成立．如：|2|>－3，但22<(－3)2.8．设a >b >c >0，x ＝a 2＋(b ＋c )2，y ＝b 2＋(c ＋a )2，z ＝c 2＋(a ＋b )2，则x ，y ，z 的大小顺序是________．答案 z >y >x解析 ∵a >b >c >0，y 2－x 2＝b 2＋(c ＋a )2－a 2－(b ＋c )2＝2ac －2bc＝2c (a －b )>0，∴y 2>x 2，即y >x .同理可得z >y ，故z >y >x .9．判断下列各命题的真假，并说明理由．(1)若a b ； (3)若a >b ，且k ∈N *，则a k >b k ；(4)若a >b ，b >c ，则a －b >b －c .解 (1)假命题．∵a 0，∴1a >1b不一定成立， ∴推不出c a <c b，∴是假命题． (2)假命题．当c >0时，c －3>0，则a b ，b >c 这两个条件，但是a －b ＝2<b －c ＝3，∴是假命题．10．若－1<a ＋b <3,2<a －b <4，求2a ＋3b 的取值范围．解设2a ＋3b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，x －y ＝3，解得⎩⎨⎧ x ＝52，y ＝－12.因为－52<52(a ＋b )<152，－2<－12(a －b )<－1，所以－92<52(a ＋b )－12(a －b )<132，所以－92<2a ＋3b <132. 11．下列命题正确的是( )A ．若ac >bc ，则a >bB ．若a 2>b 2，则a >bC ．若1a >1b，则a 0，b <0，其不成立；对于D ，其中a ≥0，b >0，平方后显然有a y >z ，x ＋y ＋z ＝0，则下列不等式中一定成立的是( )A ．xy >yzB ．xz >yzC ．xy >xzD ．x |y |>z |y | 答案 C解析因为x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，所以3x >x ＋y ＋z ＝0,3z <x ＋y ＋z ＝0，所以x >0，z <0.所以由⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >z ，可得xy >xz . 13．若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式成立的是( )A.1a <1bB ．a 2>b 2 C.a c 2＋1>b c 2＋1D ．a |c |>b |c |答案 C解析对于A ，若a >0>b ，则1a >0，1b<0，此时1a >1b，∴A 不成立；对于B ，若a ＝1，b ＝－2，则a 2b ，∴a c 2＋1>b c 2＋1恒成立，∴C 成立；对于D ，当c ＝0时，a |c |＝b |c |，∴D 不成立．14．有外表一样，重量不同的四个小球，它们的重量分别是a ，b ，c ，d ，已知a ＋b ＝c ＋d ，a ＋d >b ＋c ，a ＋c b >a >cB ．b >c >d >aC ．d >b >c >aD ．c >a >d >b答案 A解析 ∵a ＋b ＝c ＋d ，a ＋d >b ＋c ，∴a ＋d ＋(a ＋b )>b ＋c ＋(c ＋d )，即a >c .∴b <d .又a＋c<b，∴a<b.综上可得，d>b>a>c.。

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[答案] C
(理)若 a、b、c、d、x、y 是正实数，且 P＝ ab＋ cd，
Q＝ ax＋cy· bx＋dy，则( )
A．P＝Q
B．P≥Q
C．P≤Q
D．P>Q
[答案] C
(文)(2011·山东莱芜阶段测试)已知 a>0，b>0，且
2a＋3b＝1，则2a＋3b的最小值为(
)
A．24
B．25
C．26
D．27
解析：∵a>0，b>0,2a＋3b＝1， ∴2a＋3b＝2a＋3b(2a＋3b) ＝13＋6ab＋6ba≥13＋2 6ab·6ba＝25 等号在 a＝b＝15时成立， ∴2a＋3b的最小值为 25. 答案：B
D．[－4,4]
[答案] A
2．若 a>0，b>0，a，b 的等差中项是12，且 α＝a＋1a，
β＝b＋1b，则 α＋β 的最小值为( )
A．2
B．3
C．4
D．5
[答案] D
3．(文)(2011·绍兴抽样检测)已知 a≥0，b≥0，且 a
＋b＝2，则( )
A．ab≤12 C．a2＋b2≥2
B．ab≥12 D．a2＋b2≤3
解法 2：∵0<a<b，∴由基本不等式知a＋2 b> ab.
又 a＝22a<a＋2 b<22b＝b，a< ab<b，
∴a<
a＋b ab< 2 <b.
答案：B
利用基本不等式求最值
[例 2] (1)已知2x＋3y＝2(x>0，y>0)，求 xy 的最小值． (2)若 x、y∈R＋，且 2x＋8y－xy＝0.求 x＋y 的最小值．分析：(1)可利用基本不等式转化为 xy的不等式求解． (2)可消去一个变量，将 x＋y 用一个变量表示，再配凑出能运用基本不等式的条件．
第二节
基本不等式
知识归纳 1．基本不等式：对任意 a、b∈_R__＋_，有a＋2 b≥ ab成立，当且仅当 a＝b 时取等号． (1)x、y∈(0，＋∞)，且 xy＝P(定值)，那么当 x＝y 时，x＋y 有最_小__值 2 P. (2)x、y∈(0，＋∞)，且 x＋y＝S(定值)，那么当 x＝ y 时，xy 有最_大___值S42.
一批货物随 17 列货车从 A 市以 akm/h 匀速直达 B
市，已知两地铁路线长 400km，为了安全，两列车之
间的距离不得小于2a02km，那么这批货物全部运到 B
市，最快需要( )
A．6h
B．8h
C．10h
D．12h
解析：第一列货车到达 B 市的时间为4a00h，由于两
列货车的间距不得小于2a02km，
∴第
17
列货车到达时间最早为400＋16·2a02＝400＋
a
a
a
2a5≥8，当且仅当 a＝100(km/h)．∴最快需要 8h.
答案若 M＝a2＋a 4(a∈R，a≠0)，
则 M 的取值范围为( )
A．(－∞，－4]∪[4，＋∞)
B．(－∞，－4]
C．[4，＋∞)
R1＋R22－4R1R2 2R1＋R2
＝2RR1－1＋RR222>0，所以 RA>RB.
答案：A
(2011·陕西文，3)设 0<a<b，则下列不等式中正确
的是( )
A．a<b<
a＋b ab< 2
B．a<
a＋b ab< 2 a>0，且 a＋b＝1，
那么( )
A．2ab<aa4－－bb4<a＋2 ba>0，a＋b＝1，∴b>12，∴2ab<a＋2 b2＝
a＋b 2
，
且
a2
＋
b2>
a＋b2 2
＝
1 2
.
∴
a4－b4 a－b
＝
(a
＋
b)(a2
＋
b2)>a＋2 b.
又
a4－b4 a－b
－
b＝
a2
＋
b2－
b
＝
2b2
－
3b
＋
1
＝
(1
－
b)(1－2b)<0.故应选 B.
答案：B
解析：RA＝R1＋2 R2，RB＝R21R＋1RR22，
RA－RB＝R1＋2 R2－R21R＋1RR22＝
已知 a，b>0，求证：ba2＋ab2≥a＋4 b. 分析：可对ba2＋ab2与 a＋b 分别运用基本不等式，也可以对(a＋b)(ba2＋ab2)运用基本不等式．
基本不等式的实际应用 [例 4] (文)某食品厂定期购买面粉．已知该厂每天需用面粉 6 吨，每吨面粉的价格为 1800 元，面粉的保管等其它费用为平均每吨每天 3 元，购买面粉每次需支付运费 900 元． (1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？ (2)若提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于 210 吨时，其价格可享受 9 折优惠(即原价的 90%)，问该厂是否考虑利用此优惠条件？请说明理由．
解析：∵2xy＝8－(x＋2y)，故 8－(x＋2y)≤(x＋22y)2， ∴(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0 解得 x＋2y≥4 或 x＋2y≤－8(舍去) ∴x＋2y 的最小值为 4(当且仅当 x＝2y＝2 时取等号)．答案：B
利用基本不等式证明不等式
[例 3] 已知 a>0，b>0，a＋b＝1，求证：(1＋1a)(1＋1b)≥9. 分析：待证式左边展开就是 ab 的表达式，故可由条件先求 ab 的取值范围，再求关于 ab 的函数的值域；注意到 a ＋b＝1，也可以消去一个未知数展开整理，或对分子进行“1 的代换”，再展开证明．