高中数学不等式综合复习

不等式专题一．不等式的基本性质1. 不等式的基本概念（1） 不等（等）号的定义：.0;0;0b a b a b a b a b a b a <⇔<-=⇔=->⇔>- （2） 不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式. （3） 同向不等式与异向不等式.（4） 同解不等式与不等式的同解变形. 2.不等式的基本性质（1）a b b a <⇔>（对称性）（2）c a c b b a >⇒>>,（传递性）（3）c b c a b a +>+⇒>（加法单调性）（4）d b c a d c b a +>+⇒>>,（同向不等式相加） （5）d b c a d c b a ->-⇒<>,（异向不等式相减） （6）bc ac c b a >⇒>>0,.（7）bc ac c b a <⇒<>0,（乘法单调性）（8）bd ac d c b a >⇒>>>>0,0（同向不等式相乘）(9)0,0a b a b c d c d>><<⇒>（异向不等式相除） 11(10),0a b ab a b>>⇒<（倒数关系） （11）)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且（平方法则） （12）)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且（开方法则）二．一元二次不等式1.不等式的解法（1）整式不等式的解法（根轴法）.步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解. 特例① 一元一次不等式ax >b 解的讨论；一元一次不等式)0(0≠>+a b ax 的解法与解集形式当0>a 时，a b x ->, 即解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧->a b x x |当0<a 时 a b x -<，即解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<a b x x |②一元二次不等式ax 2+bx +c >0(a ≠0)解的讨论.一元二次不等式的解集0>∆0=∆0<∆二次函数cbx ax y ++=2（0>a ）的图象c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2一元二次方程()的根002>=++a c bx ax有两相异实根)(,2121x x x x <有两相等实根ab x x 221-==无实根的解集)0(02>>++a c bx ax{}21x x x x x ><或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2 R的解集)0(02><++a c bx ax{}21x x xx <<∅ ∅（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则()()x g x f ＞0()()0>⇔x g x f ()()0<x g x f ()()x g x f ⇔<0 ()()()()()⎩⎨⎧≠<⇔≥000x g x g x f x g x f ()()()()()⎩⎨⎧≠≤⇔≤000x g x g x f x g x f 切忌去分母（3）无理不等式：转化为有理不等式求解 1()0()()()0()()f x f x g x g x f x g x ⎧≥⎫⇒⎪⎬⇔≥⎨⎭⎪>⎩定义域○2⎩⎨⎧<≥⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥⇔>0)(0)()]([)(0)(0)()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或 ○3⎪⎩⎪⎨⎧<≥≥⇔<2)]([)(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f（4）.指数不等式：转化为代数不等式()()()()()(1)()();(01)()()(0,0)()lg lg f x g x f x g x f x a a a f x g x a a a f x g x a b a b f x a b>>⇔>><<⇔<>>>⇔⋅>（5）对数不等式：转化为代数不等式()0()0log ()log ()(1)()0;log ()log ()(01)()0()()()()a a a a f x f x f x g x a g x f x g x a g x f x g x f x g x >>⎧⎧⎪⎪>>⇔>><<⇔>⎨⎨⎪⎪><⎩⎩（6）含绝对值不等式○1应用分类讨论思想去绝对值； ○2应用数形思想； ○3应用化归思想等价转化 ⎩⎨⎧>-<>≤⇔>⎩⎨⎧<<->⇔<)()()()(0)()0)(),((0)()(|)(|)()()(0)()(|)(|x g x f x g x f x g x g x f x g x g x f x g x f x g x g x g x f 或或不同时为2：典型例题例1. 求下列不等式的解集 （1）02532>--x x ， （2）2232>-+x x （3）5321<-<x 的解集例2 解下列不等式.（1） 0)4)(23()7()12(632>----x x x x ，（2）232532≥-+-x x x例3.解不等式833>-++x x变式练习：1325<---x x例4：解关于x 的不等式（1）2(3)30x a x a -++>， （2）22<+ax变式练习：1、0)(322<+++a x a a x2、0222≤++ax x3、0)2)(2(>--ax x4、a x ≤-32例5.已知不等式052>+-b x ax 的解集是()2,3--，则不等式052>+-a x bx 的解集变式练习：若不等式20x ax b --<的解集为{|23}x x <<,则不等式210bx ax -->的解集为 __________.例6.若一元二次不等式042≤+-a x ax 的解集是R 则a 的取值范围是变式练习：1已知关于x 的不等式()()012422≥-++-x a x a 的解集为空集，求a 的取值范围。

2、若不等式a x x ≥++-12对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围。

三.基本不等式及其应用1.几个重要不等式 （1）0,0||,2≥≥∈a a R a 则若（2）)2||2(2,2222ab ab b a ab b a R b a ≥≥+≥+∈+或则、若（当仅当a=b 时取等号） （3）如果a ,b 都是正数，那么.2a b +（当仅当a=b 时取等号）极值定理：若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则：○1如果P 是定值, 那么当x=y 时，S 的值最小； ○2如果S 是定值, 那么当x =y 时，P 的值最大. 利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等.,3a b c a b c R +++∈(4)若、、则a=b=c 时取等号）0,2b aab a b>+≥(5)若则（当仅当a=b 时取等号）2222(6)0||;||a x a x a x a x a x a x a a x a >>⇔>⇔<-><⇔<⇔-<<时，或（7）||||||||||||,b a b a b a R b a +≤±≤-∈则、若 2.几个著名不等式（1）平均不等式： 如果a ,b 都是正数，那么2112a ba b +≤+（当仅当a=b 时取等号）即：平方平均数≥算术平均数≥几何平均数≥调和平均数（a 、b 为正数）：特别地，222()22a b a b ab ++≤≤（当a = b 时，222()22a b a b ab ++==）),,,(332222时取等c b a R c b a c b a c b a ==∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+++≥++ ⇒幂平均不等式：22122221)...(1...n n a a a na a a +++≥+++ 注：例如：22222()()()ac bd abcd +≤++. 常用不等式的放缩法：①21111111(2)1(1)(1)1n nn n n n n n nn-==-≥++--111)2n nn n ==≥+-（2）柯西不等式： 时取等号当且仅当（则若nn n n n n n n b a b a b ab a b b b b a a a a b a b a b a b a R b b b b R a a a a ====+++++++≤++++∈∈ 332211223222122322212332211321321))(();,,,,,,,,（3）不等式（特例）与凸函数、凹函数若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点1212,(),x x x x ≠有12121212()()()()()().2222x x f x f x x x f x f x f f ++++≤≥或 则称f(x)为凸（或凹）函数.3.不等式证明的几种常用方法比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法. 注：常用不等式的解法举例（x 为正数）： ①231124(1)2(1)(1)()22327x x x x x -=⋅--≤=②2222232(1)(1)12423(1)()223279x x x y x x y y --=-⇒=≤=⇒≤类似于22sin cos sin (1sin )y x x x x ==-，③111||||||()2x x x xxx+=+≥与同号，故取等应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

技巧二：凑系数 例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。

技巧三： 分离例3. 求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。

。

技巧四：换元技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()af x x x=+的单调性。

例：求函数2y =的值域。

练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值. （1）231,(0)x x y x x++=> （2）12,33y x x x =+>- (3)12sin ,(0,)sin y x x xπ=+∈2．已知01x <<，求函数y =.；3．203x <<，求函数y =的最大值.条件求最值1.若实数满足2=+b a ，则ba33+的最小值是 .变式：若44log log 2x y +=，求11x y+的最小值.并求x ,y 的值技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。