高中数学基本不等式专题复习
2023年高三一轮复习专题一基本不等式及其应用-教师版
高三一轮复习专题一基本不等式及其应用【考点预测】 1.基本不等式如果00>>b a ，，那么2b a ab +≤，当且仅当b a =时，等号成立．其中，2ba +叫作b a ，的算术平均数，ab 叫作b a ，的几何平均数．即正数b a ，的算术平均数不小于它们的几何平均数．基本不等式1：若a b ∈，R ，则ab b a 222≥+，当且仅当b a =时取等号； 基本不等式2：若a b ∈，+R ，则ab ba ≥+2（或ab b a 2≥+），当且仅当b a =时取等号. 注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件.（2）连续使用不等式要注意取得一致. 【方法技巧与总结】 1.几个重要的不等式（1）()()()20,00,0.a a R a a a a R ≥∈≥≥≥∈ （2）基本不等式：如果,a b R +∈，则2a bab +≥(当且仅当“a b =”时取“”). 特例：10,2;2a ba a ab a>+≥+≥（,a b 同号）. （3）其他变形：①()2222a b a b ++≥(沟通两和a b +与两平方和22a b +的不等关系式)②222a b ab +≤(沟通两积ab 与两平方和22a b +的不等关系式)③22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭(沟通两积ab 与两和a b +的不等关系式)④重要不等式串：)222,1122a b a b ab a b R a b+++≤≤≤∈+即 调和平均值≤几何平均值≤算数平均值≤平方平均值(注意等号成立的条件). 2.均值定理 已知,x y R +∈.（1）如果x y S +=(定值)，则2224x y S xy +⎛⎫≤=⎪⎝⎭(当且仅当“x y =”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”.（2）如果xy P =(定值)，则x y +≥=(当且仅当“x y =”时取“=”).即积为定值，和有最小值”. 3.常见求最值模型 模型一：)0,0(2>>≥+n m mn xnmx ，当且仅当m n x =时等号成立； 模型二：)0,0(2)(>>+≥+-+-=-+n m ma mn ma ax na x m a x n mx ，当且仅当m n a x =-时等号成立；模型三：)0,0(2112>>+≤++=++c a bac xc b ax c bx ax x ，当且仅当a cx =时等号成立； 模型四：)0,0,0(4)21)()(22mnx n m m n mx n mx m m mx n mx mx n x <<>>=-+⋅≤-=-（，当且仅当mnx 2=时等号成 立.【题型归纳目录】题型一：基本不等式及其应用 题型二：直接法求最值 题型三：常规凑配法求最值 题型四：消参法求最值 题型五：双换元求最值 题型六：“1”的代换求最值 题型七：齐次化求最值题型八：利用基本不等式解决实际问题【典例例题】题型一：基本不等式及其应用例1．（2022·江苏·高三专题练习）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF AB ⊥，设AC a =，BC b =，则该图形可以完成的无字证明为（ ）A ．0,0)2a ba b +≥>> B ．220,0)a b a b +≥>>C ．20,0)aba b a b ≤>>+ D ．0,0)2a b a b +>>【答案】D 【解析】 【分析】设,AC a BC b ==，得到2a br OF +==，2a b OC -=，在直角OCF △中，利用勾股定理，求得222=2a b FC +，结合FO FC ≤，即可求解.【详解】设,AC a BC b ==，可得圆O 的半径为122a br OF AB +===， 又由22a b a bOC OB BC b +-=-=-=， 在直角OCF △中，可得2222222()()222a b a b a b FC OC OF -++=+=+=，因为FO FC ≤，所以2a b +≤a b =时取等号． 故选：D.例2．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习（文））下列不等式中一定成立的是（ ） A ．()2111x x >∈+R B ．()12,sin sin xx k x k π+>≠∈Z C ．21ln ln (0)4x x x ⎛⎫+>> ⎪⎝⎭D ．()212x x x +≥∈R【答案】D 【解析】 【分析】 由211x +≥得211x +的范围可判断A ；利用基本不等式求最值注意满足一正二定三相等可判断B ；作差比较214x +与x 的大小可判断C ；作差比较21x +与2x 的大小可判断D.【详解】因为x ∈R ，所以211x +≥，所以21011x <≤+，故A 错误； 1sin 2sin x x+≥只有在sin 0x >时才成立，故B 错误； 因为2211042x x x ⎛⎫-+=-≥ ⎪⎝⎭，所以214x x +≥，所以21ln ln 4x x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，故C 错误；因为()221210x x x +-=-≥，所以212x x +≥，故D 正确. 故选：D.（多选题）例3．（2022·全国·高三专题练习）下列函数中最小值为6的是（ ） A ．9ln ln y x x=+B ．36sin 2sin y x x=+C ．233xxy -=+ D ．2y =【答案】BC 【解析】 【分析】根据基本不等式成立的条件“一正二定三相等”，逐一验证可得选项. 【详解】解：对于A 选项，当()0,1x ∈时，ln 0x <，此时9ln 0ln x x+<，故A 不正确.对于B 选项，36sin 62sin y x x =+≥，当且仅当36sin 2sin x x =，即1sin 2x =时取“=”，故B 正确.对于C 选项，2336x x y -=+≥=，当且仅当233x x -=，即1x =时取“=”，故C 正确.对于D 选项，26y ≥=，=27x =-无解，故D 不正确.故选：BC.（多选题）例4．（2022·江苏·扬州中学高三开学考试）设0a >，0b >，下列结论中正确的是（ ）A ．()1229a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭B ．()2221a b a b +≥++C ．22b a a b a b+≥+D ．22a b a b+≥+【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本不等式可判断ACD 选项的正误，利用特殊值法可判断B 选项的正误. 【详解】对于A 选项，()12222559b a a b a b a b ⎛⎫++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当a b =时，等号成立，A 对；对于B 选项，取1a b ==，则()2221a b a b +<++，B 错；对于C 选项，22b a b a +≥=，22a b a b +≥=， 所以，2222b a a b a b a b +++≥+，即22b a a b a b+≥+，当且仅当a b =时，等号成立，C 对；对于D 选项，因为222a b ab +≥，则()()2222222a b a b ab a b +≥++=+，所以，()()22222a b a b a ba b a b +++≥=≥++a b =时，两个等号同时成立，D 对.故选：ACD. 【方法技巧与总结】熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式解题，要注意对不等式等号是否成立进行验证.题型二：直接法求最值例5．（2022·河南河南·三模（理））已知二次函数()22f x ax x c =++（x ∈R ）的值域为[)0,∞+，则14c a+的最小值为（ ） A ．4- B ．4 C ．8 D ．8-【答案】B 【解析】 【分析】根据()f x 的值域求得1ac =，结合基本不等式求得14c a+的最小值.【详解】由于二次函数()22f x ax x c =++（x ∈R ）的值域为[)0,∞+，所以0Δ440a ac >⎧⎨=-=⎩，所以1,0ac c =>，所以144c a +≥=，当且仅当14c a =即12,2a c ==时等号成立.故选：B例6．（2022·湖北十堰·三模）函数()1111642x x x f x -=++的最小值为（ ） A ．4 B ．C ．3D ．【答案】A 【解析】 【分析】利用不等式性质以及基本不等式求解. 【详解】因为116224xx x +≥⨯，当且仅当1164x x =，即0x =时等号成立，1122222422x x x x -⨯+=⨯+≥=，当且仅当2222xx⨯=，即0x =时等号成立， 所以()f x 的最小值为4. 故选：A（多选题）例7．（2022·广东·汕头市潮阳区河溪中学高三阶段练习）已知a ，b 是两个正数，4是2a 与16b 的等比中项，则下列说法正确的是（ ） A ．ab 的最小值是1 B ．ab 的最大值是1 C ．11a b+的最小值是94D ．11a b +的最大值是92【答案】BC 【解析】 【分析】根据等比中项整理得44a b +=，直接由基本不等式可得ab 的最大值，可判断AB ；由111()(4)4a b a b +⋅+⋅展开后使用基本不等式可判断CD. 【详解】因为22164a b ⋅=，所以4422a b +=，所以4424a b ab +=，可得1ab ，当且仅当4a b =时等号成立， 所以ab 的最大值为1，故A 错误，B 正确．因为1111419()(4)(14)(524444b a a b a b a b +⋅+⋅=++++=， 故11a b +的最小值为94，无最大值，故C 正确，D 错误． 故选：BC【方法技巧与总结】直接利用基本不等式求解，注意取等条件.题型三：常规凑配法求最值例8．（2022·全国·高三专题练习（理））若11x -<< ，则22222x x y x -+=-有（ ）A ．最大值1-B ．最小值1-C ．最大值1D ．最小值1【答案】A 【解析】将给定函数化简变形，再利用均值不等式求解即得. 【详解】因11x -<<，则012x <-<，于是得21(1)1111[(1)]121212x y x x x -+=-⋅=--+≤-⋅---，当且仅当111x x-=-，即0x =时取“=”， 所以当0x =时，22222x x y x -+=-有最大值1-.故选：A例9．（2022·全国·高三专题练习）函数131y x x =+-(1)x >的最小值是（ ）A ．4B ．3C ．D ．3【答案】D 【解析】 由()13131y x x =-++-，利用基本不等式求最小值即可. 【详解】因为1x >，所以()131331y x x =-++≥-3=，当且仅当()1311x x -=-，即1x =+时等号成立.所以函数131y x x =+-(1)x >的最小值是3. 故选：D. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 例10．（2022·全国·高三专题练习）若0x >，0y >且x y xy +=，则211x yx y +--的最小值为（ ）A ．3B ．52C ．3D ．3+【答案】D 【解析】利用给定条件确定1,1x y >>，变形211x y x y +--并借助均值不等式求解即得. 【详解】因0x >，0y >且x y xy +=，则xy x y y =+>，即有1x >，同理1y >， 由x y xy +=得：(1)(1)1x y --=，于是得11222123()33111111x y x y x y x y +=+++=++≥+=+------当且仅当2111x y =--，即11x y =+=“=”，所以211x y x y +--的最小值为3+ 故选：D例11．（2022·上海·高三专题练习）若1x >，则函数211x x y x -+=-的最小值为___________.【答案】3 【解析】 【分析】由2111111x x y x x x -+==-++--，及1x >，利用基本不等式可求出最小值.【详解】由题意，()()()()222211111111111111x x x x x x x y x x x x x -++-+-+-+-+====-++----，因为1x >，所以111131y x x =-++≥=-，当且仅当111x x -=-，即2x =时等号成立.所以函数211x x y x -+=-的最小值为3.故答案为：3.例12．（2021·江苏·常州市北郊高级中学高一阶段练习）已知1xy =，且102y <<，则22416x yx y -+最大值为______．【解析】由1xy =且102y <<，可得1(2)y x x=>，可得40x y ->，再将22416x y x y -+化为18(4)4x y x y-+-后利用基本不等式求解即可． 【详解】解：由1xy =且102y <<，可得1(2)y x x =>，代入440x y x x-=->，又222441816(4)8(4)4x y x y x y x y xy x y x y--==≤=+-+-+-当且仅当844x y x y-=-，即4x y -= 又1xy =，可得x =y =时，不等式取等， 即22416x y x y -+，． 【方法技巧与总结】1．通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式． 2．注意验证取得条件．题型四：消参法求最值例13．（2022·浙江绍兴·模拟预测）若直线30(0,0)ax by a b --=>>过点(1,1)-，则___________.【答案】【解析】 【分析】将点(1,1)-代入直线方程可得3a b +=. 【详解】直线30ax by --=过点(1,1)-，则3a b += 又0,0a b >>，设t =0t >2126t a b =++++=+由()()2121292a b a b +++⎛⎫++≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12+=+a b ，即2,1a b ==时等号成立.所以2612t =+≤，即t ≤2,1a b ==时等号成立. 故答案为：例14．（2022·全国·高三专题练习）设正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，则当xy z取得最大值时，212x y z+-的最大值为（ ）A ．0B ．3C ．94D ．1【答案】D 【解析】 【分析】利用22340x xy y z -+-=可得143xy x y z y x=+-，根据基本不等式最值成立的条件可得22,2x y z y ==，代入212x y z++可得关于y 的二次函数，利用单调性求最值即可.【详解】由正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=， 2234z x xy y ∴=-+．∴22111434432?xy xy x y z x xy y x y y x===-++-， 当且仅当20x y =>时取等号，此时22z y =．∴222122121(1)1122x y z y y y y+-=+-=--+，当且仅当1y =时取等号， 即212xyz+-的最大值是1． 故选：D 【点睛】本题主要考查了基本不等式的性质和二次函数的单调性，考查了最值取得时等号成立的条件，属于中档题.例15．（2022·全国·高三专题练习（理））已知正实数a ，b 满足220ab a +-=，则4a b +的最小值是（ ） A ．2 B．2 C．2 D ．6【答案】B 【解析】 【分析】根据220ab a +-=变形得22a b =+，进而转化为a b b b +=++842， 用凑配方式得出()b b ++-+8222，再利用基本不等式即可求解. 【详解】由220ab a +-=，得22a b =+，所以()a b b b b b b +=+=++-⋅=+++888422222222， 当且仅当,a b b b ==+++28222，即a b ==2取等号. 故选：B.例16．（2022·浙江·高三专题练习）若正实数a ，b 满足32+=b a ab ，则2+a bab 的最大值为______． 【答案】12【解析】 【分析】由已知得a ＝23b b -，代入2+a b ab ＝32323bb b b b +--＝222b b -+＝﹣2 （112b -）2+12，然后结合二次函数的性质可求． 【详解】因为正实数a ，b 满足b +3a ＝2ab ， 所以a ＝23bb -，则2+a b ab ＝32323bb b b b +--＝222b b -+＝﹣2 （112b -）2+12， 当112b =，即b ＝2 时取得最大值12．故答案为：12． 【点睛】思路点睛：b +3a ＝2ab ，可解出a ，采用二元化一元的方法减少变量，转化为1b的一元二次函数，利用一元二次函数的性质求最值.例17．（2022·全国·高三专题练习）若,x y R +∈，23()()-=x y xy ，则11x y+的最小值为___________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据题中所给等式可化为211()xy y x-=，再通过平方关系将其与11x y +联系起来，运用基本不等式求解最小值即可. 【详解】因为23()()-=x y xy 且,x y R +∈，则两边同除以2()xy ，得211()xy y x-=，又因为224(111111()44)xy y y x xy xy x -+=+=+≥，当且仅当14xy xy =，即22x y ==211x y+.故答案为:2例18．（2022·浙江绍兴·模拟预测）若220,0,422>>+-=a b a b ab ，则12++ab a b的取值范围是_________．【答案】23⎡⎢⎣⎦【解析】 【分析】根据已知可得2(2)206a b ab +-=>，求得2a b +>2(2)26a b ab +=+结合基本不等式可求得02a b <+≤12++ab a b变形为14262a b a b ⎛⎫++ ⎪+⎝⎭，采用换元法，利用导数求得结果. 【详解】由题意220,0,422>>+-=a b a b ab 得：2(2)206a b ab +-=> ，则2a b +>，又222(2)26232+⎛⎫+=+≤+⨯ ⎪⎝⎭a b a b ab ，当且仅当2b a ==时取等号，故02a b <+≤2a b <+≤ 所以1142262ab a b a b a b +⎛⎫=++ ⎪++⎝⎭，令2,t a b t =+∈ ，则14()()6f t t t =+ ，222144()(1)66t f t t t -'=-=，2t << 时，()0f t '<，()f t 递减，当2t <≤时，()0f t '>，()f t 递增，故min 2()(2)3f t f ==，而f = ，f =，故2()[3f t ∈，即2[312ab a b ∈++，故答案为：23⎡⎢⎣⎦【方法技巧与总结】消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解.解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！题型五：双换元求最值例19．（2022·浙江省江山中学高三期中）设0a >，0b >，若221a b +=，则2ab -的最大值为（ ）A ．3B ．C ．1D ．2+【答案】D 【解析】【分析】法一：设c b =-，进而将问题转化为已知221a c +=，求ac 的最大值问题，再根据基本不等式求解即可；法二：由题知221()14a b +=进而根据三角换元得5cos ,(0)62sin a b πθθθθ⎧=⎪<<⎨=⎪⎩，再根据三角函数最值求解即可. 【详解】解：法一：（基本不等式）设c b =-2ab -=)a b ac -=，条件222211a b a c +=⇔+=，2212a c ac +=+≥，即2≤ac 故选：D.法二：（三角换元）由条件221()14a b +=，故可设cos sin 2a b θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即cos ,2sin a b θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 由于0a >，0b >，故cos 02sin 0θθθ⎧>⎪⎨>⎪⎩，解得506πθ<<所以，5cos ,(0)62sin a b πθθθθ⎧=⎪<<⎨=⎪⎩，22sin 22ab θ-=≤+当且仅当4πθ=时取等号.故选：D.例20．（2022·天津南开·一模）若0a >，0b >，0c >，2a b c ++=，则4a ba b c+++的最小值为______．【答案】2+ 【解析】 【分析】令2,,(0,0)c m c n m n -==>> ，则2m n +=，由此可将4a b a b c+++变形为421m n +-，结合基本不等式，即可求得答案。
高中数学《不等式》复习
高中数学《不等式》复习不 等 式 不等式的概念 不等关系 不等关系文字语言与符号语言的转换：大于、小于、不等于，不超过等 与不等式比较实数的大小 依据、比较方法 不等式不等式的性质：解证不等式问题的依据一元二次不等式：含有一个未知数，未知数的最高次数是2的不等式 一元二次 不等式及 其解法三个“二次”的关系：方程，函数，不等式 一元二次不等式的解法 三个二次之间的关系、含参数 求不等式的解集一元二次不等式问题 分式不等式及高次不等式的解法：转化法，穿根法二元一次 不等式 组 与简单的线性规划问题二元一次不等式 二元一次不等式 组 ：解集，几何意义 组 与平面区域平面区域：以线定界，以点定域简单的线性 相关概念：约束条件，目标函数，可行解，可行域，最优解规划问题解法 图解法 应用种类：效益最大，利润最大，耗材最少基本不等式及其应用基本不等式：常见的变形，重要不等式链 应用：最值问题，比较实数的大小，不等式的证明专题一 ⇨不等关系与不等式的性质 (1)不等式的性质是比较数的大小，求代数式的取值范围，证明不等式等的主要依据．尤 其注意“同向不等式”才可加，运用可乘性(乘除、乘方)时一定要注意符号． (2)比较数的大小是主要题型之一，常见方法有作差法、作商法、介值法(a>b，b>c⇒ a>c)， 注意解题过程中，配方、乘方、因式分解、配凑、放缩等技巧的运用． (3)证明不等式是常见题型，对于简单不等式的证明可直接由已知条件，利用不等式的 性质，通过对不等式变形得证． 对于不等式两边都比较复杂的式子，直接利用不等式的性质不易得证，可考虑将不等式 的两边作差，然后进行变形，根据条件确定每一个因式(式子)的符号，利用符号法则判断最 终的符号，完成证明． (4)求代数式的取值范围也是常见题型．解题时可借助性质、基本不等式、函数值域等 知识综合考虑，特别注意限制条件．例题 1 已知 a、b 为正实数，试比较 a ＋ b 与 a＋ b的大小． ba[分析] 利用作商法或作差法进行比较．[解析]ab 解法一：( ＋ )－(a＋b)baa ＝( －b)＋( b －a)＝a－b＋b－ababa＝ a－ba－ b ＝ aba＋ ba－ b 2ab∵a、b 为正实数，∴ a＋ b>0， ab>0，( a－ b)2≥0，∴ a＋ ba－b2≥0，当且仅当 a＝b 时，等号成立，abab ∴＋≥a＋b．baab＋bab 3＋ a 3解法二：＝a＋ b ab a＋ ba＋ b a＋b－ ab ＝ab a＋ b＝a＋b－ab ＝aba－ b 2＋ ab ＝1＋aba－ b 2 ≥1．ab当且仅当 a＝b 时，等号成立．ab 又∵ ＋ >0，a＋b>0，∴ a ＋ b ≥a＋b．baba『规律总结』 作差法是比较两式大小最常用的方法，作商法是必要的补充，无论是作差还是作商，都要进行合理地变形，以利于比较．专题二 ⇨一元二次不等式的应用(1)直接求解一元二次不等式常与集合运算相结合．(2)抓住三个二次之间的关系是解决一元二次不等式问题的关键．(3)含参数的一元二次不等与恒成立问题是常见题型，关键是等价转化与合理分类．构造函数法与判别式、根与系数的关系是常见思考方向．(4)高次不等式、分式不等式要等价转化． 例题 2 已知函数 y＝lg[(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1]的定义域是 R，求实数 a 的取值范围．[分析] 本题考查一元二次不等式与二次函数的关系，以及对数函数的性质．解题的关 键是由题意得出(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1>0 的解集是 R，从而转化为解决一元二次不等式问题．[解析] 由对数函数定义及题设条件，知(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1>0 的解集是 R． 当 a2－1＝0 时，a＝±1． 若 a＝1，则不等式(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1>0 可化简为 2x＋1>0，解得 x>－12，与已知矛 盾． 若 a＝－1，则不等式(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1>0 可化简为 1>0，此式恒成立，符合题意． 当 a2－1≠0 时，根据题意，有a2－1>0 Δ＝ a＋12－4a2－1<0，即a32a－2－1>20a－5>0a>1或a<－1 ，解得a>53或a<－1，即 a<－1，或 a>53．综上，a5 的取值范围是(－∞，－1]∪(3，＋∞)．『规律总结』 对有关复合函数的问题，我们往往采用“化复合函数为基本函数”的办法，使之一步步转化为我们熟知的题型．此题就是把一个复合函数求范围的问题转化为不等式恒成立的问题．专题三 ⇨简单的线性规划问题(1)求平面区域的面积通过“直线定界，特殊点定域”准确确定平面区域形状及分界点是解题关键，割补计算是主要方法．(2)线性规划问题求解方法是图解法．关键环节是：图形尽量准确，注意目标函数对应直线与图形边界线斜率大小关系，弄清所求最值与“目标函数”直线纵截距关系．(3)非线性目标函数最值，关键搞清“目标函数”表达式的几何意义．(4)整点问题，特别注意最优解不是边界点的找法．(5)含参数的问题．若约束条件中含有参数：此时可行域是可变的，应分情况作出可行域，结合条件求出不同情况下的参数值．若目标函数中含有参数：此时目标函数对应的直线是可变的，如果斜率一定，则对直线作平移变换；如果斜率可变，则要利用斜率与倾斜角间的大小关系分情况确定最优解的位置，从而求出参数的值．(6)实际应用问题，解答时关键是读懂题意，准确设出变量，抓住体现不等关系的词语列出不等式组与目标函数．确定最优解时，注意实际意义． x＋y≤4 例题 3 ：若变量 x、y 满足约束条件x－y≤23x－y≥0，则 3x＋y 的最大值是__10__．[解析] 首先根据题意所给的约束条件画出其表示的平面区域如下图所示，然后根据图 象可得：目标函数 z＝3x＋y 过点 B(3,1)时 z 取得最大值，即 zmax＝3×3＋1＝10，故应填 10．『规律总结』 求目标函数的最值一般采用图解法：①求二元一次函数 z＝ax＋by(ab≠0)的最值，将函数 z＝ax＋by 转化为直线的斜截式：y＝－abx＋zb，通过求直线的截距zb的最值间接求出z的最值．一般地，当b>0时，截距z b取最大值时，z 取最大值；截距zb取最小值时，z 也取最小值；当 b<0 时，截距zb取最大值时，z取最小值；截距zb取最小值时，z 取最大值.②目标函数 z＝ax＋by＋c 的最值的求解，可先求 ax＋by 的最值，再求 z＝ax＋by＋c的最值．专题四 ⇨基本不等式基本不等式的常见应用有：求最值、证明不等式、比较数的大小，解题关键是注意“一正、二定、三相等”的条件和合理变形、配凑、等价转化．例题 4 已知 x、y 都是正实数，且 x＋y－3xy＋5＝0，求 xy 的最小值．[分析] 合理变形，但应注意等号成立的条件．[解析] ∵x＋y－3xy＋5＝0∴3xy＝x＋y＋5≥2 xy＋5，∴3xy－2 xy－5≥0，∴( xy＋1)(3 xy－5)≥0，∴ xy≥53，即 xy≥295，等号成立的条件是 x＝y＝53， 故 xy 的最小值是295． 专题五 ⇨不等式与函数、方程的问题 例题 5 设 a∈R，关于 x 的一元二次方程 7x2－(a＋13)x＋a2－a－2＝0 有两个实根 x1、 x2，且 0<x1<1<x2<2，求 a 的取值范围． [分析] 令 f(x)＝7x2－(a＋13)x＋a2－a－2，它的图象是开口向上的抛物线，它在(0,1) 和(1,2)区间内与 x 轴相交，则有 f(0)>0，f(1)<0，f(2)>0，所以只需解关于 a 的不等式组f 0 >0 f 1 <0 f 2 >0，即可求得 a 的取值范围．[解析] 设 f(x)＝7x2－(a＋13)x＋a2－a－2，图象如图．∵x1、x2 是方程 f(x)＝0 的两个实根， 且 0<x1<1,1<x2<2．f 0 >0 ∴f 1 <0f 2 >0 a2－a－2>0 ⇒ 7－ a＋13 ＋a2－a－2<028－2 a＋13 ＋a2－a－2>0 a2－a－2>0 ⇒ a2－2a－8<0a2－3a>0 a<－1，或a>2 ⇒ －2<a<4a<0，或a>3⇒ －2<a<－1，或 3<a<4． ∴a 的取值范围是{a|－2<a<－1，或 3<a<4}． 『规律总结』 设一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a>0)对应的二次函数为 f(x)＝ax2＋bx ＋c(a>0)．结合图象可得：Δ>0 (1)方程 f(x)＝0 在区间(－∞，k)内有两个不等的实根，则有 －2ba<k f k >0k 为常数，Δ＝b2－4ac，以下同)．(其中Δ>0 (2)方程 f(x)＝0 在区间(k，＋∞)内有两个不等的实根，则有 －2ba>k．f k >0(3)方程 f(x)＝0 有一根大于 k，另一根小于 k，则有 f(k)<0． (4)方程 f(x)＝0 在区间(k1，k2)内有且只有一根(不包括重根)，则有 f(k1)·f(k2)<0(k1、 k2 为常数，以下同)． (5) 方 程 f(x) ＝ 0 在 区 间 (k1 ， k2) 内 有 两 个 不 等 的 实 根 ， 则 有Δ>0k1<－2ba<k2．f k1 >0，且f k2 >0 Δ>0 (6)方程 f(x)＝0 在区间(k1，k2)外有两个不等的实根，则有f k1 <0 ．f k2 <0专题六 ⇨数学思想方法的应用 例题 6 解关于 x 的不等式 x2－ax－2a2<0(a∈R)． [分析] 先将不等式左边分解因式，然后对两根的大小比较，分类求解不等式． [解析] 原不等式转化为(x－2a)(x＋a)<0． 对应的一元二次方程的根为 x1＝2a，x2＝－a． (1)当 a>0 时，x1>x2， 不等式的解集为{x|－a<x<2a}； (2)当 a＝0 时，原不等式化为 x2<0，无解； (3)当 a<0 时，x1<x2， 不等式的解集为{x|2a<x<－a}． 综上所述，当 a>0 时，原不等式的解集为{x|－a<x<2a}， 当 a＝0 时，原不等式的解集为∅， 当 a<0 时，原不等式的解集为{x|2a<x<－a}． 『规律总结』 解含参数不等式需分类的情况：(1)二次项系数为字母且没有给出具体范围时，要分大于 0、等于 0、小于 0 三类讨论． (2)利用单调性解题时，抓住使单调性变化的参数值，进行讨论． (3)对应方程的根无法判断大小时，要分类讨论． (4)若判别式含参数，则在确定解的情况时需分Δ>0、Δ＝0、Δ<0 三种情况进行讨论． 例题 7 若不等式 x2＋ax＋3－a>0 对于满足－2≤x≤2 的一切实数 x 恒成立，求实数 a的取值范围． [分析] 因为(x－1)的符号不确定，所以参变量 a 不能分离，只好研究二次函数 y＝x2＋ax＋3－a． [解析] 设 f(x)＝x2＋ax＋3－a，其函数图象为开口向上的抛物线，要使得对于满足－2≤x≤2 的一切实数 x 恒有 f(x)>0，只需满足： (1)Δ＝a2－4(3－a)<0；Δ＝a2－4 3－af 2 ＝7＋a>0(2)－a2>2≥0Δ＝a2－4 3－a ≥0f －2 ＝7－3a>0，或－a2<－2，解(1)(2)得，当－7<a<2 时，不等式 x2＋ax＋3－a>0 对于满足－2≤x≤2 的一切实数 x恒成立．『规律总结』 一元二次不等式恒成立可以转化为判别式Δ和开口方向应满足不等式组，也可利用函数最值进行转化，即转化为求函数的最值问题．第三章 学业质量标准检测一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设 M＝2a(a－2)＋7，N＝(a－2)(a－3)，则有( A )A．M＞NB．M≥NC．M＜ND．M≤N[解析] M－N＝(2a2－4a＋7)－(a2－5a＋6)＝a2＋a＋1＝(a＋12)2＋34＞0，∴M＞N.故选 A．2．设集合 A＝{x|(x＋1)(x－2)<0}，集合 B＝{x|1<x<3}，则 A∪B＝( A )A．{x|－1<x<3}B．{x|－1<x<1}C．{x|1<x<2}D．{x|2<x<3}[解析] A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|1<x<3}，∴A∪B＝{x|－1<x<3}，选 A．3．若 a＞b＞c，则下列不等式成立的是( B )A．a－1 c＞b－1 cB．a－1 c＜b－1 cC．ac＞bcD．ac＜bc[解析] ∵a＞b＞c，∴a－c＞b－c>0，11 ∴a－c＜b－c，故选 B．4．不等式1x<12的解集是( D )A．(－∞，2)B．(2，＋∞)C．(0,2)D．(－∞，0)∪(2，＋∞)[解析] 因1x<12，得1x－12＝22－xx<0，即 x(x－2)>0，解得 x<0 或 x>2，故选 D．5．不等式(x＋5)(3－2x)≥6 的解集是( D )A．x|x≤－1，或x≥92B．x|－1≤x≤29C．x|x≤－92或x≥1D.x|－92≤x≤1[解析] 解法一：取 x＝1 检验，满足排除 A；取 x＝4 检验，不满足排除 B、C；∴选 D．解法二：原不等式化为：2x2＋7x－9≤0，即(x－1)(2x＋9)≤0，∴－92≤x≤1，选 D．6．(2018－2019 学年度吉林省德惠市实验中学高二月考)已知关于 x 的不等式 x2－ax＋2a＞0 在 R 上恒成立，则实数 a 的取值范围是( A )A．(0,8)B．(1,8)C．(0,10) [解析] 由题意得 a2－8a＜0，D．(1,10)∴0＜a＜8，故选 A． 7．若关于 x 的不等式 2x2－8x－4－a≥0 在 1≤x≤4 内有解，则实数 a 的取值范围是(A)A．a≤－4B．a≥－4C．a≥－12D．a≤－12[解析] ∵y＝2x2－8x－4(1≤x≤4)在 x＝4 时，取最大值－4，当 a≤－4 时，2x2－8x－4≥a 存在解．故选 A．8．(2018－2019 学年度江西戈阳一中高二月考)设 f(x)＝ex,0＜a＜b，若 p＝f( ab)，q＝f(a＋2 b)，r＝ f a f b ，则下列关系正确的是( C )A．q＝r＜pB．p＝r＜qC．q＝r＞p [解析] f(x)＝ex 是增函数，D．p＝r＞q∵0＜a＜b，∴ ab＜a＋2 b，∴f( ab)＜f(a＋2 b)∴p＜q又 f(a＋2 b)＝ea＋2 b＝ eab，f a f b ＝ ea·eb＝ ea＋b，∴r＝q，故选 C．9．不等式(x－2a)(x＋1)(x－3)<0 的解集为(－∞，－1)∪(3,4)，则 a 的值为( D )A．－4B．－2C．4D．2[解析] 当 2a＝4 时，用穿针引线法易知不等式的解集满足题意，∴a＝2．10．下列函数中，最小值是 4 的函数是( C )A．y＝x＋4xB．y＝sinx＋si4nx(0<x<π) C．y＝ex＋4e－x(其中 e 为自然对数的底数)D．y＝log3x＋logx81 [解析] 当 x＜0 时，y＝x＋4x≤－4，排除 A；∵0＜x＜π，∴0＜sinx＜1.y＝sinx＋si4nx≥4.但 sinx＝si4nx无解，排除 B；ex＞0，y＝ex＋4e－x≥4.等号在 ex＝e4x即 ex＝2 时成立．∴x＝ln2，D 中，x＞0 且 x≠1，若 0＜x＜1，则 log3x＜0，logx81＜0，∴排除 D．11．(2016·全国卷Ⅰ理，8)若 a>b>1,0<c<1，则( C )A．ac<bcB．abc<bacC．alogbc<blogacD．logac<logbc[解析] 对于选项 A，考虑幂函数 y＝xc，因为 c>0，所以 y＝xc 为增函数，又 a>b>1，所以 ac>bc，A 错．对于选项 B，abc<bac⇔(ba)c<ba，又 y＝(ba)x 是减函数，所以 B 错．对于选项 D，由对数函数的性质可知 D 错，故选 C． 12．(2018－2019 学年度吉林省德惠市实验中学高二月考)函数 y＝xx2－＋12(x＞1)的最小值是( A )A．2 3＋2B．2 3－2C．2 3D．2[解析]y＝xx2－＋12＝x－12＋2 x－1 x－1＋3＝(x－1)＋x－3 1＋2，∵x＞1，∴(x－1)＋x－3 1＋2≥2x－1·3 x－1＋2＝2 3＋2，当且仅当 x－1＝x－3 1，即(x－1)2＝3，x－1＝ 3，x＝ 3＋1 时，等号成立．二、填空题(本大题共 4 个小题，每个小题 5 分，共 20 分，将正确答案填在题中横线上)13．不等式 2x2＋2x－4≤12的解集为__[－3,1]__．[解析] 不等式 2x2＋2x－4≤12化为 2x2＋2x－4≤2－1，∴x2＋2x－4≤－1，∴x2＋2x－3≤0，∴－3≤x≤1，∴原不等式的解集为[－3,1]． 14．函数 y＝a1－x(a>0，a≠1)的图象恒过定点 A，若点 A 在直线 mx＋ny－1＝0(m、n>0)上，则1m＋1n的最小值为__4__．[解析] 由题意知 A(1,1)，∴m＋n＝1，∵m>0，n>0，∴1m＋1n＝(1m＋1n)·1＝(1m＋1n)·(m＋n)＝nm＋mn＋2≥4．等号在nm＝mn时成立，由mnm＋ ＝mnn＝1，得 m＝n＝12．∴1m＋1n的最小值为 4．15．若mm2xx＋－11＜0(m≠0)对一切x≥4恒成立，则实数m1 的取值范围是__(－∞，－2)__．[解析] 依题意，对任意的 x∈[4，＋∞)，有 f(x)＝(mx＋1)(m2x－1)＜0 恒成立，结合图象分析可知⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0－1m＜41m 2＜4，由此解得m ＜－12，即实数m 的取值范围是(－∞，－12)．16．某校今年计划招聘女教师a 名，男教师b 名，若a 、b 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ≥5a －b ≤2a <7，设这所学校今年计划招聘教师最多x 名，则x ＝__13__．[解析] 由题意得x ＝a ＋b ，如图所示，画出约束条件所表示的可行域，作直线l ：b ＋a ＝0，平移直线l ，再由a ，b ∈N ，可知当a ＝6，b ＝7时，x 取最大值，∴x ＝a ＋b ＝13．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)若函数f (x )＝lg(8＋2x －x 2)的定义域为M ，函数g (x )＝1－2x －1的定义域为N ，求集合M 、N 、M ∩N ．[解析] 由8＋2x －x 2>0，即x 2－2x －8<0， ∴(x －4)(x ＋2)<0， ∴－2<x <4． ∴M ＝{x |－2<x <4}． 由1－2x －1≥0，得x －3x －1≥0， ∴x <1或x ≥3． ∴N ＝{x |x <1或x ≥3}．∴M ∩N ＝{x |－2<x <1或3≤x <4}．18．(本题满分12分)不等式(m 2－2m －3)x 2－(m －3)x －1<0对一切x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围．[解析] 由m 2－2m －3＝0，得m ＝－1或m ＝3． 当m ＝3时，原不等式化为－1<0恒成立； 当m ＝－1时，原不等式化为4x －1<0，∴x <14，故m ＝－1不满足题意．当m 2－2m －3≠0时，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －3<0Δ＝[－m －3]2＋4m 2－2m －3<0，即⎩⎪⎨⎪⎧－1<m <3－15<m <3，∴－15<m <3．综上可知，实数m 的取值范围是－15<m ≤3．19．(本题满分12分)(2018－2019学年度福建莆田一中高二月考)解关于x 的不等式m 2x 2＋2mx －3＜0(m ∈R )．[解析] 当m ＝0时，原不等式化为－3＜0，∴x ∈R ． 当m ≠0时，原不等式化为(mx －1)(mx ＋3)＜0， ∵m 2＞0，∴(x －1m )(x ＋3m)＜0．当m ＞0时，－3m ＜x ＜1m ，当m ＜0时，1m＜x ＜－3m．综上所述，当m ＝0时，原不等式的解集为R ； 当m ＞0时，原不等式的解集为(－3m ，1m )；当m ＜0时，原不等式的解集为(1m，－3m)．20．(本题满分12分)某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x (0<x <1)，则出厂价相应的提高比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x ．已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x 应在什么范围内？[解析] (1)依题意得y ＝[1.2×(1＋0.75x )－1×(1＋x )]×1 000×(1＋0.6x )(0<x <1)． 整理，得：y ＝－60x 2＋20x ＋200(0<x <1)． ∴本年度年利润与投入成本增加的比例的关系式为y ＝－60x 2＋20x ＋200(0<x <1)．(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧y － 1.2－1×1 000>00<x <1，即⎩⎪⎨⎪⎧－60x 2＋20x >00<x <1，解得：0<x <13，所以为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x 应满足0<x <13．21．(本题满分12分)若a ＜1，解关于x 的不等式axx －2>1 ．[解析] a ＝0时，不等式的解集为∅，ax x －2>1⇔a －1x ＋2x －2＞0 ⇔[(a －1)x ＋2](x －2)＞0． ∵a ＜1，∴a －1＜0． ∴化为(x －21－a)(x －2)＜0， 当0<a <1时，21－a >2，∴不等式的解为2<x <21－a ；当a <0时，1－a >1， ∴21－a<2， ∴不等式解为21－a<x <2，∴当0＜a ＜1时，不等式解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2＜x ＜21－a ；当a ＜0时，不等式解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |21－a ＜x ＜2；当a ＝0时，解集为∅． 22．(本题满分12分)已知关于x 的方程(m ＋1)x 2＋2(2m ＋1)x ＋1－3m ＝0的两根为x 1、x 2，若x 1<1<x 2<3，求实数m 的取值范围．[解析] 设f (x )＝(m ＋1)x 2＋2(2m ＋1)x ＋1－3m ，显然m ＋1≠0． (1)当m ＋1>0时，可画简图：则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1>0f 1<0f 3>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ m >－1m <－2m >－89，不等式组无解．(2)当m ＋1<0时，可画简图：则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1<0f 1>0f 3<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m <－1m >－2m <－89.得－2<m <－1．由(1)、(2)知m 的取值范围是(－2，－1)．。
完整版)高中数学不等式知识点总结
完整版)高中数学不等式知识点总结1、不等式的基本性质不等式有以下基本性质：①对称性：a>b等价于b<a。
②传递性：a>b。
b>c则a>c。
③可加性：a>b等价于a+c>b+c，其中c为任意实数。
同向可加性：a>b，c>d，则a+c>b+d。
异向可减性：a>b，cb-d。
④可积性：a>b，c>0则ac>bc，a>b，c<0则ac<bc。
⑤同向正数可乘性：a>b>0，c>d>0则ac>bd。
异向正数可除性：a>b>0，0bc。
a>b>0，则a^n>b^n，其中n为正整数且n>1.⑦开方法则：a>b>0，则√a>√b。
⑧倒数法则：a>b>0，则1/a<1/b。
2、几个重要不等式以下是几个重要的不等式：a/b+b/a>=2，当且仅当a=b时取等号。
a^2+b^2>=2ab，当且仅当a=b时取等号。
a+b/2>=√ab，当且仅当a=b时取等号。
a+b+c/3>=∛abc，当且仅当a=b=c时取等号。
a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca，当且仅当a=b=c时取等号。
a+b+c>=3√abc，当且仅当a=b=c时取等号。
a/b+b/c+c/a>=3，当且仅当a=b=c时取等号。
a-b|<=|a-c|+|c-b|，对任意实数a,b,c成立。
3、几个著名不等式以下是几个著名的不等式：a-b|<=√(a^2+b^2)，对任意实数a,b成立。
a+b)/2<=√(a^2+b^2)，对任意实数a,b成立。
a+b/2<=√(a^2+1)√(b^2+1)，对任意实数a,b成立。
a+b)/2<=√(a^2-ab+b^2)，对任意实数a,b成立。
a+b)/2>=√ab，对任意正实数a,b成立。
高三复习基本不等式练习题
高三复习基本不等式练习题不等式作为高中数学中的一个重要内容，占据了复习的重要一部分。
本文将提供一些基本不等式的练习题，供高三学生复习使用。
练习题1：解不等式组：{x+2>0, x-3<0}练习题2：求解不等式：(x+1)(x-3)<0练习题3：解不等式组：{x^2 - 4>0, x-1<0}练习题4：求解不等式：x^2 - 5x + 6>0练习题5：解不等式组：{x^2-4x+3>0, x^2+6x+8>0}练习题6：求解不等式：(x-2)(x+3)(x-7)<0练习题7：解不等式组：{x^3-9x^2+20x-12>0, x^2-4x+4>0}练习题8：求解不等式：(x-2)^2(x+4)>0练习题9：解不等式组：{x^3-x^2+4x-4>0, x^2 + 3x + 2>0}练习题10：求解不等式：(x-1)^3+8>0以上是关于高三复习基本不等式的一些练习题。
希望同学们能够认真思考，按照正确的解题步骤解答。
复习不等式时，应重点掌握不等式的基本性质和解不等式的方法，如辨别二次不等式的判别式、区间法等。
在解题过程中，也要注意进行化简和因式分解，以便于对不等式进行分类讨论。
基本不等式是高中数学中一个重要的内容，对于加深对不等式的理解和掌握不等式的解法有着重要的意义。
因此，同学们要多进行基本不等式的练习，理解和掌握不等式的性质和方法，为高考做好充分准备。
希望以上的练习题能够帮助到高三的同学们，祝大家能够在高三阶段取得优异的成绩！。
高三数学 第一轮复习 04：基本不等式
高中数学第一轮复习04基本不等式·知识梳理·模块01：平均值不等式一、平均值不等式有关概念1、通常我们称a b+2为正数a b 、a b 、的几何平均值。
2、定理：两个正数的算术平均数大于等于它们的几何平均值，即对于任意的正数b a 、，有2a b+≥，且等号当且仅当a b =时成立.3、定理：对于任意的实数b a 、，有2()2a b ab +≥，且等号当且仅当b a =时成立。
即对任意的实数b a 、，有222a b ab +≥，且等号当且仅当b a =时成立。
[注意事项]：222a b ab +≥和2a b+≥两者的异同：（1）成立的条件是不同的：前者只要求,a b 都是实数，而后者要求,a b 都是正数；（2）取等号的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当a b =时取等号”；（3）222a b ab +≥可以变形为：222a b ab +≤；2a b +≥可以变形为：2(2a b ab +≤。
4、平均值不等式的几何证明法：如图，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC a =,BC b =，过点C 作DC AB ⊥交圆于点D ，连接AD 、BD .易证~Rt ACD Rt DCB ∆∆，那么2CD CA CB =⋅，即CD =.这个圆的半径为2b a +，它大于或等于CD ，即ab ba ≥+2，其中当且仅当点C 与圆心重合，即a b =时，等号成立.[知识拓展]1、当0a b <≤时，2112a ba b a b+≤≤≤+（调和平均值≤几何平均值≤算术平均值≤平方平均值）2、123,,,,n a a a a 是n 个正数，则12na a a n+++ 称为这n个正数的算术平均数，称为这n 个正数的几何平均数，它们的关系是：12n a a a n+++≥ ，当且仅当12n a a a ===时等号成立.二、利用基本不等式求最值问题（1）“积定和最小”：a b +≥⇔如果积ab 是定值P ，那么当a b =时，和a b +有最小值；（2）“和定积最大”：2(2a b ab +≤⇔如果和a b +是定值S ，那么当a b =时，积ab 有最大值214S .[注意事项]：基本不等式求最值需注意的问题：（1）各数(或式)均为正；（2）和或积为定值；（3）等号能否成立，即“一正、二定、三相等”这三个条件缺一不可。
完整word版,高中数学不等式综合复习
不等式专题一．不等式的基本性质1. 不等式的基本概念（1） 不等（等）号的定义：.0;0;0b a b a b a b a b a b a <⇔<-=⇔=->⇔>- （2） 不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式. （3） 同向不等式与异向不等式.（4） 同解不等式与不等式的同解变形. 2.不等式的基本性质（1）a b b a <⇔>（对称性）（2）c a c b b a >⇒>>,（传递性）（3）c b c a b a +>+⇒>（加法单调性）（4）d b c a d c b a +>+⇒>>,（同向不等式相加） （5）d b c a d c b a ->-⇒<>,（异向不等式相减） （6）bc ac c b a >⇒>>0,.（7）bc ac c b a <⇒<>0,（乘法单调性）（8）bd ac d c b a >⇒>>>>0,0（同向不等式相乘）(9)0,0a b a b c d c d>><<⇒>（异向不等式相除） 11(10),0a b ab a b>>⇒<（倒数关系） （11）)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且（平方法则） （12）)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且（开方法则）二．一元二次不等式1.不等式的解法（1）整式不等式的解法（根轴法）.步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解. 特例① 一元一次不等式ax >b 解的讨论；一元一次不等式)0(0≠>+a b ax 的解法与解集形式当0>a 时，a b x ->, 即解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧->a b x x |当0<a 时 a b x -<，即解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<a b x x |②一元二次不等式ax 2+bx +c >0(a ≠0)解的讨论.0>∆0=∆0<∆二次函数cbx ax y ++=2（0>a ）的图象c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2一元二次方程()的根002>=++a c bx ax有两相异实根)(,2121x x x x <有两相等实根ab x x 221-==无实根的解集)0(02>>++a c bx ax{}21x x x x x ><或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2 R的解集)0(02><++a c bx ax{}21x x xx <<∅ ∅（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则()()x g x f ＞0()()0>⇔x g x f ()()0<x g x f ()()x g x f ⇔<0 ()()()()()⎩⎨⎧≠<⇔≥000x g x g x f x g x f ()()()()()⎩⎨⎧≠≤⇔≤000x g x g x f x g x f 切忌去分母（3）无理不等式：转化为有理不等式求解 1()0()()()0()()f x f x g x g x f x g x ⎧≥⎫⇒⎪⎬⇔≥⎨⎭⎪>⎩定义域○2⎩⎨⎧<≥⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥⇔>0)(0)()]([)(0)(0)()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或 ○3⎪⎩⎪⎨⎧<≥≥⇔<2)]([)(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f（4）.指数不等式：转化为代数不等式()()()()()(1)()();(01)()()(0,0)()lg lg f x g x f x g x f x a a a f x g x a a a f x g x a b a b f x a b>>⇔>><<⇔<>>>⇔⋅>（5）对数不等式：转化为代数不等式()0()0log ()log ()(1)()0;log ()log ()(01)()0()()()()a a a a f x f x f x g x a g x f x g x a g x f x g x f x g x >>⎧⎧⎪⎪>>⇔>><<⇔>⎨⎨⎪⎪><⎩⎩（6）含绝对值不等式○1应用分类讨论思想去绝对值； ○2应用数形思想； ○3应用化归思想等价转化 ⎩⎨⎧>-<>≤⇔>⎩⎨⎧<<->⇔<)()()()(0)()0)(),((0)()(|)(|)()()(0)()(|)(|x g x f x g x f x g x g x f x g x g x f x g x f x g x g x g x f 或或不同时为2：典型例题例1. 求下列不等式的解集 （1）02532>--x x ， （2）2232>-+x x （3）5321<-<x 的解集例2 解下列不等式.（1） 0)4)(23()7()12(632>----x x x x ，（2）232532≥-+-x x x例3.解不等式833>-++x x变式练习：1325<---x x例4：解关于x 的不等式（1）2(3)30x a x a -++>， （2）22<+ax变式练习：1、0)(322<+++a x a a x2、0222≤++ax x3、0)2)(2(>--ax x4、a x ≤-32例5.已知不等式052>+-b x ax 的解集是()2,3--，则不等式052>+-a x bx 的解集变式练习：若不等式20x ax b --<的解集为{|23}x x <<,则不等式210bx ax -->的解集为 __________.例6.若一元二次不等式042≤+-a x ax 的解集是R 则a 的取值范围是变式练习：1已知关于x 的不等式()()012422≥-++-x a x a 的解集为空集，求a 的取值范围。
高中数学专题复习基本不等式限时练习试卷与答案
高二数学专题复习（五）基本不等式1 限时练高二 ______班_____组 学号：_______ 姓名：______________ 一、【基础过关】（大约35分钟）.225,0.1的最大值求已知xx x +<.19,1.2的最小值求已知-+>x x x.)41(,410.3的最大值求已知x x x -<<4.(2020·上海,13)下列不等式恒成立的是( )A.a 2+b 2≤2abB.a 2+b 2≥-2abC.a+b ≥2√|ab |D.a+b ≥-2√|ab |5.(2015·福建,理5)若直线x a +yb =1(a>0,b>0)过点(1,1),求a+b 的最小值.6.(2015·湖南,文)若实数a ,b 满足1a +2b =√ab ,则ab 的最小值为( )A.√2B.2C.2√2D.47.(2019·天津,文13)设x>0,y>0,x+2y=4,则(x+1)(2y+1)xy的最小值为 .8.(2019·天津,理13)设x>0,y>0,x+2y=5,则√xy的最小值为.9.(2014·重庆,文9)若log4(3a+4b)=log2√ab,则a+b的最小值是()A.6+2√3B.7+2√3C.6+4√3D.7+4√3二、【能力提升】（大约5分钟）10.(2015·重庆,文14)设a,b>0,a+b=5,则√a+1+√b+3的最大值为.高二数学专题复习（五）基本不等式1限时练答案1. 302. 73.641A.由基本不等式可知a2+b2≥2ab,故A不正确;B.a2+b2≥-2ab⇒a2+b2+2ab≥0,即(a+b)2≥0恒成立,故B正确;C.当a=-1,b=-1时,不等式不成立,故C不正确;D.当a=0,b=-1时,不等式不成立,故D不正确.故选B.∵直线xa+yb=1过点(1,1),∴1a+1b=1.又a,b均大于0,∴a+b=(a+b)(1a+1b)=1+1+ba+ab≥2+2√ba·ab=2+2=4.故选C.由已知1a+2b=√ab,可知a,b同号,且均大于0.由√ab=1a+2b≥2√2ab,得ab≥2√2.即当且仅当1a=2b,即b=2a时等号成立,故选C.(x+1)(2y+1)xy=2xy+x+2y+1xy=2xy+5xy=2+5xy.∵x+2y=4,∴4≥2√2xy,∴2xy≤4.∴1xy≥12.∴2+5xy≥2+52=92.先化简,利用√xy 的范围求解.√xy=√xy=√xy =2√xy √xy≥2·√2√xy ·6√xy =4√3.当且仅当√xy =√xy,即xy=3时等号成立.由log 4(3a+4b )=log 2√ab ,得12log 2(3a+4b )=12log 2(ab ),所以3a+4b=ab ,即3b +4a =1. 所以a+b=(a+b )(3b +4a )=3ab +4ba +7≥4√3+7,当且仅当3ab =4ba ,即a=2√3+4,b=3+2√3时取等号.故选D .10.(2015·重庆,文14,5分,难度★★)设a ,b>0,a+b=5,则√a +1+√b +3的最大值0,a+b=5,所以(a+1)+(b+3)=9.令x=a+1,y=b+3,则x+y=9(x>1,y>3),于是=√x +√y,而(√x +√y )2=x+y+2√xy ≤x+y+(x+y )=18,所以√x +√y ≤3√2 .此时x=y ,即a+1=b+3,结合a+b=5可得a=3.5,b=1.5,故当a=3.5,b=1.5时,√a +1+√b +3的最大值为3√2.。
高中数学不等式复习
高中数学不等式复习高中数学-不等式复习不等式是数学中一个重要的概念，它描述了数与数之间的大小关系。
在高中数学中，学生需要掌握不等式的基本性质和解法，以应对各类与不等式相关的题目。
本文将对高中数学中的不等式进行复习总结，帮助学生加深对不等式的理解和应用。
一、基本概念与性质1. 不等式的定义：不等式是用不等号“<”、“>”、“≤”、“≥”等连接的两个数或两个代数式。
2. 不等式的解集：不等式的解集是满足不等式中给定条件的数的集合。
3. 不等式的表示方法：不等式可以通过图形、文字或代数式等形式进行表示。
4. 不等式性质：不等式具有传递性、加减性、乘除性等基本性质。
二、一元一次不等式1. 一元一次不等式的解法：通过加减、乘除等运算对不等式两边同时进行操作，得到等价的不等式，最终确定解集。
2. 一元一次不等式的图像：将一元一次不等式表示为一条直线，并用阴影部分表示不等式的解集。
三、一元二次不等式1. 一元二次不等式的解法：通过移项、配方、开方等方法将一元二次不等式转化为一元二次方程，并通过求解一元二次方程得到解集。
2. 一元二次不等式的图像：将一元二次不等式表示为抛物线，并用阴影部分表示不等式的解集。
四、复合不等式1. 复合不等式的解法：通过逐个考虑不等式的条件，将复合不等式分解成多个简单的不等式，并求解每个简单不等式得到解集，最终求得复合不等式的解集。
2. 复合不等式的图像：将复合不等式的图像表示为多个简单不等式的图像的交集或并集。
五、绝对值不等式1. 绝对值不等式的解法：将绝对值不等式根据绝对值的定义进行分类讨论，分别求解不等式得到解集。
2. 绝对值不等式的图像：将绝对值不等式的图像表示为绝对值函数的图像。
六、常见不等式的应用1. 不等式的应用：不等式在数学中有广泛的应用，如求解优化问题、证明不等式、判断数的范围等。
2. 常见不等式：包括加权平均不等式、柯西-施瓦茨不等式、均值不等式等。
以上就是对高中数学中不等式的复习总结。
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第11课：基本不等式与双√函数
一、双√函数 形如.0,0,>>+=q p x
q px y 图像如右图所示： （1）0>x 时，当p
q x =时取到pq y 2min =； （2）值域： （3）当0,0<<q p 时，函数图像关于X 轴对称，为二、四象限倒双√；
（4）当0<pq 时，不是双勾图像。
研究：以x
x y 23-=为例
二、基本不等式ab b a ≥+2
1、一正：只要b a 、为正，上式就是恒成立！
2、二定：当利用基本不等式求一端的最值时，则必须配凑出不等式另一端是定值！
积定和最小，____________________________；
3、三相等：用来验证等号能否取；当求最值时则是验证最值能否取到！成败的关键！ .)2(23的最小值示例：求函数>-+=x x x y
正确解法：
两者联系：
（1）基本不等式去等号时的值即为双勾函数的拐点，
（2）凡是利用“积定和最小”求最值的函数均可换元为双勾函数！
三、利用基本不等式求最值
类型一：形如()()0,1≠++
+=c a d cx b ax y 采取配积为定！ 1、求⎪⎭⎫ ⎝⎛>-+
=455434x x x y 的最小值 2、求⎪⎭⎫ ⎝⎛<-+=455433x x x y 的最大值
3、求()π,0,sin 2sin ∈+
=x x x y 的最小值的值域 4、求()的最小值01
1>-+=x e e y x x 的最小值
类型二：形如()0,2≠+++=c a d
cx c bx ax y 采取配凑——分离术！ 1、求0,92>++=x x x x y 的最小值 2、求0,192>+++=x x x x y 的最小值
3、求⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-∈+++=1,31,12122x x x x y 的值域 4、求4,1822-<+++=x x x x y 的最值
5、41622++=x x y 的最大值
6、4
2+=x x
e e y 的值域
类型三：常数代换法
例（1）的最小值求y x y x y x 11,3,0,0+=+>> （2）的最小值求y x y
x y x +=+>>,311,0,0
（3）的最小值求y x xy y x y x 43,53,0,0+=+>> （4）的最小值求x
x y x -+=
<<194,10
（5）的最小值求x x y x 2192,210-+=<<
（6）设正数x,y 满足x >y,x +2y =3,则1x−y +9x+5y 的最小值为( )
A ． 83
B ． 3
C ． 32
D ．
2√33
（7）设0<θ<π2，则1sinθ+3√3cosθ的最小值（ ）
A ． 等于7√3
B ． 等于203√3
C ． 等于8
D ． 不存在
类型四：和积转化法
例（1）.,8,0,0的最小值求xy y x xy y x ++=>> （2）.,8,0,0的最大值求y x y x xy y x +++=>>
变式（1）已知x >0，y >0，x +3y +xy =9，则xy 的最大值为__________
（2）已知x >0，y >0，x +3y +xy =9，则x +3y 的最小值为__________
类型五：和定求积最大值2
22,,⎪⎭
⎫ ⎝⎛+≤⇔+≤∈+b a ab b a ab R b a
例（1）.,4,,的最大值求ab b a R b a =+∈+ （2）.,42,,的最值求ab b a R b a =+∈+
（3）.,42,,的最值求ab b a R b a =+∈+
（4）.1,12,,222的最大值求b a b a R b a +=+∈+
课 后 练 习
1.已知a +2b =4,则2a +4b 的最小值为（ ）
A ． 16
B ． 8
C ． 4
D ． 2
2. 已知lgx +lgy =1，则2x +5y 的最小值是_____________________）
3. 函数y =x +x x−1(x ≥2)的最小值是__________．
4. 设正实数a,b 满足a +b =2，则1a +a 8b 的最小值为__________．
5. 已知a,b ∈R +，且(a +b)(a +2b)+a +b =9，则3a +4b 的最小值等于_______）
6．已知正数x,y 满足x +y =1，则1x +11+4y 的最小值为（ ）
A ． 73
B ． 2
C ． 95
D ． 43
18.16.14
.12
.232,0,02018.7D C B A y
x xy x y x ）的最小值为（
，则数南昌高一调研）已知实（+=+>>
.78,1522,0,0.822的最小值求若已知b a ab b a b a +=++>>。