高中数学基本不等式课件
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高中数学人教A版 必修第一册 基本不等式 课件
(2) 如果和x十y 等于定值S，那么当x=y 时，
1
积xy 有最大值 S²。
4
解答：
应用
例3：
(1) 用爸围一个面积为 100 m²的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆
最短?最短篱笆的长度是多少?
(2) 用一段长为 36 m 的篱笆围成一个矩形ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ园，当这个矩形的边长为多少时，菜园
的面积最大?最大面积是多少?
叫做正数a，b的算术平均数； ab 叫做正数a，b的几何平均数。
基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数
定义
变形公式： ab≤
+
( )²
a+b≥2
重点应用：用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件
“一正、二定、三相等”
2.2.2
基本不等式的证明
前面我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：
∀ a，b∈R，有a²+b²≥2ab (当且仅当a=b时，等号成立)
特别的，如果a＞0，b＞0，我们用 ， 分别代替上式中的a，b，可得
≤
+
(当且仅当a=b时，等号成立)
定义
基本不等式： ≤
其中：
a+b
2
+
(当且仅当a=b时，等号成立)
证明
证明方法一：作差法
证明方法二：借助完全平方公式
证明方法三：分析法
要证
≤
+
只要证 2 ≤ a+b
只要证 2 -a-b≤0
只要证 -( - )²≤0
只要证 ( − )²≥0
显然，最后一个成立，当且仅当a=b时，等号成
1
积xy 有最大值 S²。
4
解答：
应用
例3：
(1) 用爸围一个面积为 100 m²的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆
最短?最短篱笆的长度是多少?
(2) 用一段长为 36 m 的篱笆围成一个矩形ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ园，当这个矩形的边长为多少时，菜园
的面积最大?最大面积是多少?
叫做正数a，b的算术平均数； ab 叫做正数a，b的几何平均数。
基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数
定义
变形公式： ab≤
+
( )²
a+b≥2
重点应用：用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件
“一正、二定、三相等”
2.2.2
基本不等式的证明
前面我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：
∀ a，b∈R，有a²+b²≥2ab (当且仅当a=b时，等号成立)
特别的，如果a＞0，b＞0，我们用 ， 分别代替上式中的a，b，可得
≤
+
(当且仅当a=b时，等号成立)
定义
基本不等式： ≤
其中：
a+b
2
+
(当且仅当a=b时，等号成立)
证明
证明方法一：作差法
证明方法二：借助完全平方公式
证明方法三：分析法
要证
≤
+
只要证 2 ≤ a+b
只要证 2 -a-b≤0
只要证 -( - )²≤0
只要证 ( − )²≥0
显然，最后一个成立，当且仅当a=b时，等号成
高中数学新人教A版必修一基本不等式课件26张
解: 设第一、第二次购芯片的价格分别为每片a元和b元
那么甲公司两次购芯片的平均价格为10000a b a b ,
20000
2
乙公司两次购芯片的平均价格为 20000 2
10000 10000 1 1
a
b ab
构造积为定值,利用基本不等式求最值
例4、
求函数
y
1 x3
x(x
3)
的最小值
思考:求函数
a
(2)正 数 x , y满 足 x y 20, lg x lg y的 最 大 值 ____;
你会了
巅
小结评价
吗？
峰 1。本节课主要学习了基本不等式的证明 回 与初步应用。
眸
豁 2。注意公式的正用、逆用、变形使用。
然 3。牢记公式特征“正”、“定”、“等”, 开 它在求最值的题型中绽放绚丽的光彩。
(3)设x
R ,则y
x2
8 中,当x2 x
8 x
,x
2时,
ymin
8;
(4) y x 2 2 的最小值是2 x2 1
其中正确命题的有___(4_)___
例3、(1)用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园,问这
个矩形的长、宽各为多少时,所用篱笆最短。最短篱笆 是多少？ (2)一段长为36m的篱笆围成一矩形菜园,问这个矩形的 长、宽各为多少时,菜园的面积最大。最大面积是多少 ？
即
1 x
1 y
的最小值为 4
2
“=”号的条件是不同的, 故结果错。
正确解答是:
已知正数x、y满足2x+y=1,求
1 1 的最小值
解:
xy
1 1 xy
2x y 2x y
2.2基本不等式(第1课时) 高中数学人教版必修一 课件(共14张PPT).ppt
追问1. 基本不等式实质上就是比较大小，以前学习的比较大小的方法都有哪些?你会用这些
方法证明基本不等式吗？ 作差法
a b ab 1 (a b 2 ab)
2
ab 2
1 ( a b)2 0 2
ab
，即
ab a b 2
【师生共探，证明新知】
问题3. 我们从赵爽弦图得到了重要不等式，又通过代换得到了基本不等式。数学讲究严谨性，请
同学们想一想，可以用什么方法证明基本不等式？
追问2：除了以上的方法，你还能用其它的方法证明吗？
要证 只要证 要证①，只要证 要证②，只要证
2 ab a b
①
2 ab a b 0 ②
( a b)2 0 ③
要证③，只要证
( a b)2 0
④
显然，④成立，当且仅当a=b时，等号成立。
分析法（执果索因法）
a2 b2 2ab(a,b R) ，当且仅当 a b 时，等号成立。那么， 当 a 0,b 0 时，我们用 a , b 分别代替上式中的 a, b ，上述
不等关系变为什么？
a2 b2 2ab(a, b R) a b 2 ab
基本不等式 （均值不等式）
【合作交流，生成新知】
基本不等式的结构特征：
2.2 基本不等式
【创设情境，发现新知】
【地主分地的故事】 地主家有两个儿子，为了分家产，他分给大儿子一块长方形的地，分
给小儿子一块正方形的地，这两块地的周长相同。问：这样分家公平吗？
你分这块长 方形的地
你分这块正 方形的地
【合作交流，生成新知】
问题1. 上一节我们通过赵爽的弦图得出了一个重要不等式：
【师生共探，证明新知】 问题4. 以上的方法都是从代数的角度证明的，你能从几何的角度解释基本不等式吗？
方法证明基本不等式吗？ 作差法
a b ab 1 (a b 2 ab)
2
ab 2
1 ( a b)2 0 2
ab
，即
ab a b 2
【师生共探，证明新知】
问题3. 我们从赵爽弦图得到了重要不等式，又通过代换得到了基本不等式。数学讲究严谨性，请
同学们想一想，可以用什么方法证明基本不等式？
追问2：除了以上的方法，你还能用其它的方法证明吗？
要证 只要证 要证①，只要证 要证②，只要证
2 ab a b
①
2 ab a b 0 ②
( a b)2 0 ③
要证③，只要证
( a b)2 0
④
显然，④成立，当且仅当a=b时，等号成立。
分析法（执果索因法）
a2 b2 2ab(a,b R) ，当且仅当 a b 时，等号成立。那么， 当 a 0,b 0 时，我们用 a , b 分别代替上式中的 a, b ，上述
不等关系变为什么？
a2 b2 2ab(a, b R) a b 2 ab
基本不等式 （均值不等式）
【合作交流，生成新知】
基本不等式的结构特征：
2.2 基本不等式
【创设情境，发现新知】
【地主分地的故事】 地主家有两个儿子，为了分家产，他分给大儿子一块长方形的地，分
给小儿子一块正方形的地，这两块地的周长相同。问：这样分家公平吗？
你分这块长 方形的地
你分这块正 方形的地
【合作交流，生成新知】
问题1. 上一节我们通过赵爽的弦图得出了一个重要不等式：
【师生共探，证明新知】 问题4. 以上的方法都是从代数的角度证明的，你能从几何的角度解释基本不等式吗？
高中数学配套基本不等式公开课获奖课件
题型一
运用基本不等式证明简朴不等式
【例 1】 已知 x>0，y>0，z>0. 求证：xy＋xz xy＋yz xz ＋yz ≥8.
思维启迪 解析 探究提高 由题意，先局部运用基本不等式， 再利用不等式的性质即可得证．
第12页
题型分类·深度剖析
题型一
运用基本不等式证明简朴不等式
【例 1】 已知 x>0，y>0，z>0. 求证：xy＋xz xy＋yz xz ＋yz ≥8.
14分
方法二 y＝a＋1ab＋1b＝ab＋a1b＋ab＋ba
＝ab＋a1b＋a2a＋bb2＝ab＋a1b＋a＋ba2b－2ab＝a2b＋ab－2.
6分
令 t＝ab≤a＋2 b2＝14，即 t∈0，14.
第30页
题型分类·深度剖析
易错警示
9.忽视最值获得条件致误
典例：(14 分)已知 a、b 均为正实数，且 a＋b＝1，求 y＝a＋1ab＋1b的最 小值．
数学 苏（文）
§7.4 基本不等式
第七章 不等式
第1页
基础知识·．基本不等式
ab≤a＋2 b
难点正本 疑点清源
1．在应用基本不等式求
(1)基本不等式成立的条件：a≥ 0,b≥ 0 . 最值时，要把握不等式
(2)等号成立的条件：当且仅当 a＝b 时 成立的三个条件，就是
取等号．
“ 一 正 —— 各 项 均 为
【例 1】 已知 x>0，y>0，z>0. 求证：xy＋xz xy＋yz xz ＋yz ≥8.
思维启迪 解析 探究提高
利用基本不等式证明不等式是综 合法证明不等式的一种情况，证明
思路是从已证不等式和问题的已
人教A版必修第一册高中数学2.2基本不等式精品课件
知识梳理
a＋b
思考 1：不等式 a ＋b ≥2ab 与 ab≤ 2 成立的条件相同吗？
2
2
如果不同各是什么？
a＋b
不同，a ＋b ≥2ab 成立的条件是 a，b∈R； ab≤
成立的条件
2
2
2
是 a，b 均为正实数。
1
思考 2： a＋ ≥2(a≠0)是否恒成立？
a
1
1
只有 a>0 时，a＋ ≥2，当 a<0 时，a＋ ≤－2。
四周墙壁建造单价为每米 500 元，中间一条隔壁(为圆的直径)建造单价为每米 100 元，池底建造单价为每平
方米 60 元(池壁厚忽略不计)．(注：π≈3.14)
(1)如采用方案一，游泳池的长设计为多少米时，可使总造价最低？
(2)若方案一以最低总造价计算，试比较两种方案哪种方案的总造价更低？
例题解析
＝ 2，∴a≥ 2.
max
x＋y
例题解析
例 15 某校拟建一座游泳池，池的深度一定，现有两个方案，方案一：游泳池底面为矩形且面积为 200 平方
米，池的四周墙壁建造单价为每米 400 元，中间一条隔壁(与矩形的一边所在直线平行)建造单价为每米 100
元，池底建造单价每平方米 60 元(池壁厚忽略不计)；方案二：游泳池底面为圆且面积为 64π平方米，池的
40
900x·
＝36 000，当且仅当 900x＝
，即 x＝ 时取等号；
x
x
3
200
200
或者总造价为 200×60＋x＋
×2×400＋ x ×100，
x
200
200
最新湘教版高中数学《基本不等式》同步课件
基本不等式
一 基本不等式
在2.1.1节问题1中，我们通过著名的“赵爽弦图”提炼出如下不等关系： 当a≠b时，a2+b2>2ab． 不 难 发 现 ， 当 图 2.1-2(3) 中 E ， F ， G ， H 四 点 重 合 ， 即 a=b 时 ， 有 a2+b2=2ab．而且，我们可用作差比较法给出如下证明：
一 基本不等式
一般地，对于正数a,b，我们把 a b 称为a，b的算术平均数， ab 称为a，b的 2
几何平均数． 上述定理和推论中的不等式通常称为基本不等式.
一 基本不等式
例 5 设a，b为正数，证明下列不等式：
(1)
a+
1 a
≥2；
1
(2)
b a
a b
≥2
．
证明 (1)因为a，a 均为正数，由基本不等式，得
(a2+b2)－2ab=(a－b)2≥0.
一 基本不等式
据此，可得到如下定理: 定理 对任意a，b∈R，必有a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时等号成立.
特别地，当a≥0，b≥0时，用 a ， b 分别代替定理中的a，b可得： 推论 对任意a，b≥0，必有 a b≥ ab ，当且仅当a=b时等号成立. 2
(1) 4，16； (2) 3，12； (3) 1，4a2； (4) 5a，5a. 2. 已知a，b，c∈R，求证：a2+b2+c2≥ab+bc+ac. 3. 设a，b为正实数，求证：(a+b)(a2+b2)(a3+b3)≥8a3b3. 4. 求函数y＝(1＋x)·x2·(1－x)(0≤x≤1)的最大值．
返 回 目 录
结束
一 基本不等式
一 基本不等式
在2.1.1节问题1中，我们通过著名的“赵爽弦图”提炼出如下不等关系： 当a≠b时，a2+b2>2ab． 不 难 发 现 ， 当 图 2.1-2(3) 中 E ， F ， G ， H 四 点 重 合 ， 即 a=b 时 ， 有 a2+b2=2ab．而且，我们可用作差比较法给出如下证明：
一 基本不等式
一般地，对于正数a,b，我们把 a b 称为a，b的算术平均数， ab 称为a，b的 2
几何平均数． 上述定理和推论中的不等式通常称为基本不等式.
一 基本不等式
例 5 设a，b为正数，证明下列不等式：
(1)
a+
1 a
≥2；
1
(2)
b a
a b
≥2
．
证明 (1)因为a，a 均为正数，由基本不等式，得
(a2+b2)－2ab=(a－b)2≥0.
一 基本不等式
据此，可得到如下定理: 定理 对任意a，b∈R，必有a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时等号成立.
特别地，当a≥0，b≥0时，用 a ， b 分别代替定理中的a，b可得： 推论 对任意a，b≥0，必有 a b≥ ab ，当且仅当a=b时等号成立. 2
(1) 4，16； (2) 3，12； (3) 1，4a2； (4) 5a，5a. 2. 已知a，b，c∈R，求证：a2+b2+c2≥ab+bc+ac. 3. 设a，b为正实数，求证：(a+b)(a2+b2)(a3+b3)≥8a3b3. 4. 求函数y＝(1＋x)·x2·(1－x)(0≤x≤1)的最大值．
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结束
一 基本不等式
高中数学精品课件：第一章 基本不等式
(2)若 x<23，则 f(x)＝3x＋1＋3x－9 2有
A.最大值0
√C.最大值－3
B.最小值9 D.最小值－3
∵x<23，∴3x－2<0， f(x)＝3x－2＋3x－9 2＋3 ＝－2－3x＋2－93x＋3 ≤－2 2－3x·2－93x＋3＝－3. 当且仅当 2－3x＝2－93x，即 x＝－13时取“＝”.
教材改编题
1.已知 x>2，则 x＋x－1 2的最小值是
A.1
B.2
C.2 2
√D.4
∵x>2， ∴x＋x－1 2＝x－2＋x－1 2＋2≥2 x－2x－1 2＋2＝4， 当且仅当 x－2＝x－1 2，即 x＝3 时，等号成立.
2.(多选)若a，b∈R，则下列不等式成立的是
A.ba＋ab≥2
√B.ab≤a2＋2 b2
第一章
§1.4 基本不等式
考试要求
1.了解基本不等式的推导过程. 2.会用基本不等式解决简单的最值问题. 3.理解基本不等式在实际问题中的应用.
知识梳理
1.基本不等式： ab≤a＋2 b (1)基本不等式成立的条件： a>0，b>0 . (2)等号成立的条件：当且仅当 a＝b 时，等号成立.
a＋b (3)其中 2 叫做正数a，b的算术平均数， ab 叫做正数a，b的几何 平均数.
方法一 9－xy＝x＋3y≥2 3xy， ∴9－xy≥2 3xy， 令 xy＝t， ∴t>0， ∴9－t2≥2 3t， 即 t2＋2 3t－9≤0， 解得 0<t≤ 3，
∴ xy≤ 3，∴xy≤3， 当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号，∴xy的最大值为3.
方法二 ∵x＝91－＋3yy， ∴x·y＝91－＋3yy·y＝9y1－＋3yy2
人教版高中数学必修1《基本不等式》PPT课件
(二)基本知能小试 1．判断正误：
(1)当 x＞0 时，1x＋x 的最小值为 2. (2)已知 m＞0，n＞0，且 mn＝81，则 m＋n 的最小值为 18.
答案：(1)√ (2)√
() ()
2．下列不等式正确的是
A．a＋1a≥2
B．(－a)＋－1a≤－2
C．a2＋a12≥2
D．(－a)2＋－1a2≤－2
(2)已知 0＜x＜12，求 x(1－2x)的最大值；
(3)已知 x＞0，y＞0，且8x＋1y＝1，求 x＋2y 的最小值．
[解]
(1)
∵
x
＞
2
，
∴
x
－
2
＞
0
，
∴
x
＋
4 x－2
＝
x
－
2
＋
4 x－2
＋
2≥2 x－2·x－4 2＋2＝6.当且仅当 x－2＝x－4 2即 x＝4 时，等号成立．∴x＋
x－4 2的最小值为 6.
解析：∵a＞b＞c，∴a－b＞0，b－c＞0， ∴ a－bb－c≤a－b＋2 b－c＝a－2 c. 当且仅当 a－b＝b－c，即 2b＝a＋c 时，等号成立． 答案： a－bb－c≤a－2 c
题型二 利用基本不等式求最值 【学透用活】
(1) 利 用 基 本 不 等 式 求 最 值 ， 必 须 按 照 “ 一 正 ， 二 定 ， 三 相 等 ” 的 条 件 进 行．若具备这些条件，可直接运用基本不等式；若不具备这些条件，则应进行适 当地变形．
()
A．x≥2y
B．x＞2y
C．x≤2y
D．x＜2y
解析：∵不等式成立的前提条件是各项均为正，∴x－2y＞0，即 x＞2y. 故选 B.
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面积最大为81m2．
7
定理： （1）两个正数积为定值，和有最小值。 （2）两个正数和为定值，积有最大值。
应用要点：一正 二定 三相等
（1）a和b都必须是正数 （2）a与b的和或积必须是常数（定值） （3）等号成立的条件必须成立
8
定理： （1）两个正数积为定值，和有最小值。 （2）两个正数和为定值，积有最大值。
2
3
D
D
a2 b2
a
a
A
GFb
C
E
A E(FGH)
b
C
H
B
B
不等式： 一般地，对于任意实数a、b，我们有
a2 b2 2ab 当且仅当a=b时，等号成立。
4
基本不等式：
ab a b (a 0,b 0) 2
当且仅当a=b时，等号成立。
注意：
（1）两个不等式的适用范围不同。
§3.4基本不等式:
1
学习目标： 1．推导并掌握基本不等式．理解基本不等式的几何意义，并掌握定理 中的不等号“≤”取等号的条件是：当且仅 当这两个正数等．
3．熟练掌握基本不等式
ab a b 2
(a，b∈R＋)，会用基本不等式证明不等式．
解 ： 设 矩 形 菜 园 的 长 为 xm ， 宽 为 ym， 则
2结x+论2y2=：36．两个正数和为定值，则积有最大值
2
= SE=xx:y用≤ 2 x0c2 my 长的81铁，丝折成一个面积最大
当的且矩仅形当,应x=当y，怎即样：折x=?9，y=9时，面积S取得
最长大为值5c，m且，S宽m也ax=是815mcm2．时，面积最大为25cm2 所以：当矩形菜园的长为9m，宽为9m时，
x 1
1
(2)设0 x 1,则函数y x(1 x)的最大值是 __4__;
1 变式(2).设0 x 1 , y x(1 2x)最大值是 __8__ .
2
12
a2 b2 2ab
小结
1、当a，b∈R时，a2 b2 2ab 2、当a，b∈R+时，a b 2 ab
（2） ab 称为正数a、b的几何平均数
ab
2 称为它们的算术平均数。
5
zxxk
例1.用篱笆围一个面积为100m2矩形菜园，
问这个矩形的长、宽各为多少时，所
用篱笆最短，最短的篱笆是多少？
结解论：1设：这两个矩个形正菜数园积长、为宽定各值为，xm则，y和m有；所最用小篱值笆
为Lm；
E故xxy1=:10已0；知直角三角形的面积等于50，
值是（ B ）.
A．18 B．6 C．2 3 D．3 2
3. 已知x≠0，当x=___3_时，x2 小值是__1_8_.
81 x2
的值最小，最
4. 做一个体积为32 m3，高为2m 的长方体纸盒
，底面的长为_4m_，宽为_4m_时，用纸最少.
14
课后作业 1. （1）把36写成两个正数的积，当这两 个正数取什么值时，它们的和最小？ （2）把18写成两个正数的和，当这两个 正数取什么值时，它们的积最大？
2. 一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙 的矩形菜园，墙长18 m，问这个矩形的长 、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大 面积是多少？
15
16
应用要点：一正 二定 三相等
（1）a和b都必须是正数 （2）a与b的和或积必须是常数（定值） （3）等号成立的条件必须成立
9
例3.判断一下解题过程的正误
(1)已知x 0,求x 1 的最值; x
解 : x 1 2 x 1 2,原式有最小值2.
x
x
(2)已知x 1 时,求x2 1的最小值; 2 解 : x2 1 2 x2 1 2x,当且仅当x2 1 即x 1时, x2 1有最小值2x 2.
10
(3)已知x 3,求x 4 的最小值.
x
解 : x 4 2 x 4 4,原式有最小值4.
x
x
当且仅当x 4 ,即x 2时,等号成立. x
看谁做得快2：求以下问题中的最值
(1)若a 0,则当a (2)正数x, y满足x
3
__2__ 时,4a
y 20, lg x
9 a lg
有最小值 _1_2__;
y的最大值 __2__;
1
(3)x, y都为正数,且2 x y 2, xy的最大值是 __2__1.1
课下思考
例4.求以下问题中的最值
(1)设x 1, x 1 4 的最小值是 __4__;
x 1
变式(1).设x 1, x 4 的最小值是 __5__ .
等号成立的条件均为：a=b 3、两个正数积为定值，和有最小值。
两个正数和为定值，积有最大值。 4、一正二定三相等。
13
课堂练习： 1. 已知x>0，若 x 81 的值最小，则x为（B）. A． 81 B． 9 C．x 3 D．16
2. 若实数a，b，满足a+b=2 ，则 3a 3b 的最小
L（=当2x且两+2仅y条=当2直（x=x角y+=y1边）0时≥各4，为等多号=成4少0立；时），；两条直
故当角这个边矩的形和菜园最长小、，宽最各为小1值0m是时，多所少用？篱笆最短
；最短的篱笆是40m．
最小值是20m
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例2.用一段长为36m的篱笆围成一个矩形
菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少
时，菜园的面积最大，最大面积是多少？