高中数学复习及知识点：基本不等式
(完整版)高考数学-基本不等式(知识点归纳)
高中数学基本不等式的巧用一．基本不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
高一数学知识点不等式
高一数学知识点不等式不等式是数学中的一个重要概念，它在高一数学学习中占据着重要的地位。
本文将讨论高一数学中的不等式知识点，包括不等式的基本概念、解不等式的方法等内容。
1.不等式的基本概念不等式是指包含不等号（>、<、≥、≤）的数学表达式。
它描述了两个数之间的相对大小关系。
在不等式中，我们称表达式的两边为左边和右边，其中，不等号左侧的表达式通常称为不等式的“左端”，不等号右侧的表达式通常称为不等式的“右端”。
2.不等式的表示形式不等式可以有多种表示形式，下面是一些常见的表示形式：- 一元一次不等式：形如ax+b>0的不等式，其中a和b为已知实系数，x为未知实数。
- 一元二次不等式：形如ax^2+bx+c>0的不等式，其中a、b和c为已知实系数，x为未知实数。
- 绝对值不等式：形如|ax+b|<c的不等式，其中a、b为已知实系数，c为已知正实数，x为未知实数。
3.不等式的解集表示解不等式是指找出满足不等式条件的数的集合。
解集可以使用不等式符号表示，也可以使用区间表示。
下面是一些常见的解集表示形式：- 不等式符号表示：例如，解集{x | x>2}表示满足不等式x>2的所有实数x的集合。
- 区间表示：例如，解集(-∞, 2)表示所有小于2的实数的集合。
4.不等式的性质和运算规则不等式有一些特殊的性质和运算规则，包括以下几点：- 不等式两边同时加（减）一个相同的数，不等式方向不变。
- 不等式两边同时乘（除）一个正数，不等式方向不变。
- 不等式两边同时乘（除）一个负数，不等式方向改变。
- 对于绝对值不等式，需要考虑绝对值的正负情况来确定解集。
5.不等式的解法方法解不等式的方法主要包括代入法、图像法和数轴法等。
在解题过程中，我们可以运用不等式的性质和运算规则，根据具体题目的要求采取不同的解题方法。
6.不等式的应用不等式在高一数学中有广泛的应用，常见的应用场景包括以下几个方面：- 解决实际问题中的数量关系，如寻找最大值、最小值等。
高中数学不等式知识点归纳
高中数学不等式知识点归纳什么是不等式一般地，用纯粹的大于号“>”、小于号“,≥,≤,≠)连接的式子叫做不等式。
通常不等式中的数是实数，字母也代表实数，不等式的一般形式为F(x，y，……，z)≤G(x，y，……，z )（其中不等号也可以为中某一个），两边的解析式的公共定义域称为不等式的定义域，不等式既可以表达一个命题，也可以表示一个问题。
高中数学基本不等式知识点数学知识点1．不等式性质比较大小方法：（1）作差比较法（2）作商比较法不等式的基本性质①对称性：a > bb > a②传递性: a > b, b > ca > c③可加性: a > b a + c > b + c④可积性: a > b, c > 0ac > bc⑤加法法则: a > b, c > d a + c > b + d⑥乘法法则：a > b > 0, c > d > 0 ac > bd⑦乘方法则：a > b > 0, an > bn (n∈N)⑧开方法则：a > b > 0数学知识点2．算术平均数与几何平均数定理：（1）如果a、b∈R,那么a2 + b2 ≥2ab（当且仅当a=b时等号）（2）如果a、b∈R＋,那么（当且仅当a=b时等号）推广：如果为实数，则重要结论(1）如果积xy是定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2；（2）如果和x＋y是定值S，那么当x＝y时，和xy有最大值S2/4。
数学知识点3．证明不等式的常用方法：比较法：比较法是最基本、最重要的方法。
当不等式的两边的差能分解因式或能配成平方和的形式，则选择作差比较法；当不等式的两边都是正数且它们的商能与1比较大小，则选择作商比较法；碰到绝对值或根式，我们还可以考虑作平方差。
综合法：从已知或已证明过的不等式出发，根据不等式的性质推导出欲证的不等式。
高中数学不等式知识点
高中数学不等式知识点在高中数学的学习中，不等式是一个重要的内容板块，它不仅在数学领域有着广泛的应用，也对我们培养逻辑思维和解决实际问题的能力有着重要的作用。
下面我们就来详细梳理一下高中数学不等式的相关知识点。
一、不等式的基本性质1、对称性：若 a ＞ b，则 b ＜ a 。
2、传递性：若 a ＞ b 且 b ＞ c ，则 a ＞ c 。
3、加法法则：若 a ＞ b ，则 a ＋ c ＞ b ＋ c 。
4、乘法法则：若 a ＞ b 且 c ＞ 0 ，则 ac ＞ bc ；若 a ＞ b 且 c ＜0 ，则 ac ＜ bc 。
这些基本性质是我们解决不等式问题的基础，需要牢记并能熟练运用。
二、一元一次不等式形如 ax ＋ b ＞ 0 或 ax ＋ b ＜ 0 （a ≠ 0）的不等式称为一元一次不等式。
解一元一次不等式的一般步骤为：1、去分母（若有分母）。
2、去括号。
3、移项，将含未知数的项移到一边，常数项移到另一边。
4、合并同类项。
5、系数化为 1 ，注意当系数为负数时，不等号方向要改变。
例如，解不等式 2x ＋ 5 ＞ 7 ，移项得到 2x ＞ 7 5 ，即 2x ＞ 2 ，系数化为 1 得 x ＞ 1 。
三、一元二次不等式形如 ax²＋ bx ＋ c ＞ 0 或 ax²＋ bx ＋ c ＜ 0 （a ≠ 0）的不等式称为一元二次不等式。
解一元二次不等式的关键是求出其对应的二次方程的根。
通过判断二次函数图象的开口方向以及与x 轴的交点情况来确定不等式的解集。
例如，对于不等式 x² 2x 3 ＜ 0 ，先求出方程 x² 2x 3 ＝ 0 的根，即（x 3)（x ＋ 1) ＝ 0 ，解得 x ＝ 3 或 x ＝－1 。
因为二次函数开口向上，所以不等式的解集为－1 ＜ x ＜ 3 。
四、简单的绝对值不等式1、当|x| ＜ a （a ＞ 0）时，a ＜ x ＜ a 。
第二章-2.2-基本不等式高中数学必修第一册人教A版
≥
1
(13
5
+2
12
⋅
3
)
=
3 + 4
12
5,当且仅当
1
+ = 5,（变形确定常数）则3
1
12
= (9 + 4 +
+
5
=
3
,
+ 3 = 5,即 = 1, =
+ 4 =
1
时取等号.
2
故3 + 4的最小值为5.
（方法二思路清晰，过程简单易上手，对思维有较高要求，适合变形后等式一边为
1
1
4
≥ ，故A，B错误；
1
1
+
≥ 1，故C恒成立；
+ 2
1
1
2
≥
= 8，∴ 2 2 ≤ ,故D恒成立．
2
+
8
∵ ≤ 4 = + ,∴ + =
∵
+ 2
2
≤
2 +2
,∴
2
2 +
方法帮丨关键能力构建
题型1 利用基本不等式求最值的常见题型及求解技巧
例5（1） 函数 = 5 − 2 0 < < 2 的最大值是
常数的情况）
【学会了吗|变式题】
4.(2024·浙江省杭州二中期末)已知 > 0， >
值为( A
2
0，且
1
+
= 1，则2 +
)
A.5 + 4 2
完整版)高中数学不等式知识点总结
完整版)高中数学不等式知识点总结1、不等式的基本性质不等式有以下基本性质：①对称性：a>b等价于b<a。
②传递性：a>b。
b>c则a>c。
③可加性：a>b等价于a+c>b+c，其中c为任意实数。
同向可加性：a>b，c>d，则a+c>b+d。
异向可减性：a>b，cb-d。
④可积性：a>b，c>0则ac>bc，a>b，c<0则ac<bc。
⑤同向正数可乘性：a>b>0，c>d>0则ac>bd。
异向正数可除性：a>b>0，0bc。
a>b>0，则a^n>b^n，其中n为正整数且n>1.⑦开方法则：a>b>0，则√a>√b。
⑧倒数法则：a>b>0，则1/a<1/b。
2、几个重要不等式以下是几个重要的不等式：a/b+b/a>=2，当且仅当a=b时取等号。
a^2+b^2>=2ab，当且仅当a=b时取等号。
a+b/2>=√ab，当且仅当a=b时取等号。
a+b+c/3>=∛abc，当且仅当a=b=c时取等号。
a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca，当且仅当a=b=c时取等号。
a+b+c>=3√abc，当且仅当a=b=c时取等号。
a/b+b/c+c/a>=3，当且仅当a=b=c时取等号。
a-b|<=|a-c|+|c-b|，对任意实数a,b,c成立。
3、几个著名不等式以下是几个著名的不等式：a-b|<=√(a^2+b^2)，对任意实数a,b成立。
a+b)/2<=√(a^2+b^2)，对任意实数a,b成立。
a+b/2<=√(a^2+1)√(b^2+1)，对任意实数a,b成立。
a+b)/2<=√(a^2-ab+b^2)，对任意实数a,b成立。
a+b)/2>=√ab，对任意正实数a,b成立。
高三数学 第一轮复习 04：基本不等式
高中数学第一轮复习04基本不等式·知识梳理·模块01：平均值不等式一、平均值不等式有关概念1、通常我们称a b+2为正数a b 、a b 、的几何平均值。
2、定理：两个正数的算术平均数大于等于它们的几何平均值，即对于任意的正数b a 、，有2a b+≥，且等号当且仅当a b =时成立.3、定理：对于任意的实数b a 、，有2()2a b ab +≥，且等号当且仅当b a =时成立。
即对任意的实数b a 、，有222a b ab +≥，且等号当且仅当b a =时成立。
[注意事项]：222a b ab +≥和2a b+≥两者的异同：（1）成立的条件是不同的：前者只要求,a b 都是实数，而后者要求,a b 都是正数；（2）取等号的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当a b =时取等号”；（3）222a b ab +≥可以变形为：222a b ab +≤；2a b +≥可以变形为：2(2a b ab +≤。
4、平均值不等式的几何证明法：如图，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC a =,BC b =，过点C 作DC AB ⊥交圆于点D ，连接AD 、BD .易证~Rt ACD Rt DCB ∆∆，那么2CD CA CB =⋅，即CD =.这个圆的半径为2b a +，它大于或等于CD ，即ab ba ≥+2，其中当且仅当点C 与圆心重合，即a b =时，等号成立.[知识拓展]1、当0a b <≤时，2112a ba b a b+≤≤≤+（调和平均值≤几何平均值≤算术平均值≤平方平均值）2、123,,,,n a a a a 是n 个正数，则12na a a n+++ 称为这n个正数的算术平均数，称为这n 个正数的几何平均数，它们的关系是：12n a a a n+++≥ ，当且仅当12n a a a ===时等号成立.二、利用基本不等式求最值问题（1）“积定和最小”：a b +≥⇔如果积ab 是定值P ，那么当a b =时，和a b +有最小值；（2）“和定积最大”：2(2a b ab +≤⇔如果和a b +是定值S ，那么当a b =时，积ab 有最大值214S .[注意事项]：基本不等式求最值需注意的问题：（1）各数(或式)均为正；（2）和或积为定值；（3）等号能否成立，即“一正、二定、三相等”这三个条件缺一不可。
基本不等式中常用公式高一知识点
基本不等式中常用公式高一知识点摘要：1.引言：介绍基本不等式2.基本不等式的常用公式3.高一知识点中的基本不等式应用4.结论：基本不等式在高中数学中的重要性正文：【引言】在高中数学中，基本不等式是一个重要的知识点。
基本不等式能够帮助我们解决许多与不等式相关的问题，它在数学中有着广泛的应用。
今天我们将探讨基本不等式中的一些常用公式，并介绍它们在高一数学中的应用。
【基本不等式的常用公式】在基本不等式中，有一些常用的公式，它们可以帮助我们更方便地解决不等式问题。
这些公式包括：1.两个正数的算术平均数大于等于它们的几何平均数，即(a+b)/2 >= sqrt(ab)。
2.两个负数的算术平均数小于等于它们的几何平均数，即(a+b)/2 <= sqrt(-ab)。
3.一个正数和一个负数的算术平均数小于等于它们的几何平均数，即(a-b)/2 <= sqrt((-a-b)/2)。
【高一知识点中的基本不等式应用】在高一数学中，基本不等式在许多章节中都有应用，例如在解不等式、求最值等问题中。
下面我们通过一些例子来看一下基本不等式在高一数学中的应用。
例1：求解不等式x^2 - 3x + 2 > 0。
解：我们可以通过求解这个不等式的根，然后根据根的情况来确定不等式的解集。
首先，我们可以通过求解判别式来找到这个不等式的根：Δ= (-3)^2 - 4*1*2 = 9 - 8 = 1。
由于判别式大于0，所以这个不等式有两个实根，它们分别为x1 = 1 和x2 = 2。
因此，这个不等式的解集为x < 1 或x > 2。
例2：求函数f(x) = x^2 - 2x + 1 在区间[0, 1] 上的最小值。
解：我们可以通过求解函数的导数来找到函数的极值点。
首先，求解函数的导数：f"(x) = 2x - 2。
然后令导数等于0，解得x = 1。
将x = 1 带入原函数，得到f(1) = 1 - 2 + 1 = 0。
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x
（4）已知T x
4x2 2x
4x 1
5
,
x
>0,1@
，求函数
T
x
的值域
独家补充 2：已知 f x x a a ! 0 , x z 0
x
（1）判断 f x 的单调性并证明
B． ab 有最小值 D． 1 有最大值
a b
③狭义权方和不等式
独家补充 14：
（1）当 a,b, x,
y
!
0
时，求证：
a2 x
b2 y
t
a b 2
xy
（2）当 x, y ! 0 时，已知 1 2 2 ，求 x y 的最小值
xy
（3）当 x, y ! 0 时，已知 1 2 2 ，求 x 2y 的最小值
xy
（4）设 a ! 1,b ! 0, a b
2
，求
a
1
1
2 b
最小值
（5）已知实数
a
!
0
，
b
!
0
，
a
1
1
b
1
1
1 ，则 a 2b 的最小值为（
2
）
A． 2 2
B． 6 4 2
C． 3 2 2
D． 3 4 2
（6） x, y 为正实数，且 x y
1 ，则
x2 x2
（2）证明 f (x) 的奇偶性
（3）画出 g x x 4 x R, x z 0 的简图，并直接写出它单调区间
x
②对勾函数/飘带函数的应用
独家补充 3：
（1）函数 y x 10 2 d x d 7 的最小值为_________；函数 y x 10 2 d x d 7 的最
（）
A．
«¬ª
1 5
,1º»¼
B． >0,1@
C． f,1@
D． >1,5@
B． 2 3
C． 1 3
2
D． 4 2 3
独家补充 11： x, y 为正实数，且 x y
1 ，则
x2 x2
y2 y 1
的最小值是
（Ⅲ）柯西不等式
①柯西不等式的证明
独家补充 12：下面比较大小正确的是（ ）
A． ac bd 2 a2 b2 c2 d 2
的值为（ ） A．2
B． 3
2
C．3
D． 9
2
讲义例 5：已知 a ， b ! 0 ， a b
1 ，则
1 2a
1
b
2
1
的最小值是（
）
A． 9
5
B． 11
6
C． 7
5
D．1 2 2
5
独家补充
10：若
x
!
0
，
y
!
0
，且
x
1 1
x
1 2y
1，则 2x y 的最小值为（
）
A．2
②基本不等式的应用 1.基本不等式的直接使用 独家补充 5：
（1）函数 y x 10 2 d x d 7 的最小值为_________
x
（2）若 x ! 1，求函数 y 2 3x 4 的最大值为_________
x
（3）已知正实数 x, y 满足 2x y 1 ，则 xy 的最大值为_________
（2）已知 2x2 3y2 d 6 ，求 x 2y 的最大值
（3）已知 1 2 2 ，求 x 2y 的最小值
xy
讲义例 2：（2015 年上海市春季高考）
已知 a ! 0 ， b ! 0 ，若 a b 4 ，则（ ）
A． a2 b2 有最小值 C． 1 1 有最大值
ab
a
（2）已知 a,b 0, f ， 2a b 2 ，则 a 1 的取值范围是_________
ba
（3）设 a b 2 ，b ! 0 ，求 1 a 的最小值，并求当 1 a 取得最小值时，a,b
2a b
2a b
的值为？
（4）已知实数
a
，
b
满足
ab
!
0
，则
a
a
b
a
a 2b
A、 a ! 1
B、 a 3
C、 a d 3
D、 a t 1
（2）若不等式 x 4 x 3 d a 对一切 x R 恒成立，那么实数 a 的取值范围是
（）
A、 a ! 1
B、 a 1
C、 a d 1
D、 a t 1
（3）若关于 x 的不等式 x t2 2 x t2 2t 1 3t 无解，则实数 t 的取值范围是
x
x
大值为_________
（2）若 x ! 1，求函数 y 2 3x 4 的最大值为_________
x
（3）若 x ! 1，求 f x
x
1 x 1
的最小值
（4）若 x ! 1，求 f x
x2
2x x 1
2
的最小值
（Ⅱ）基本不等式
①基本不等式的证明 独家补充 4：若 a,b ! 0 ，证明： a b t 2 ab
独家补充 7：函数 h x
x2 x
22 2x
x 1 1
，若存在正实数
x1
,
x2
,
...,Leabharlann xn，其中n
N*
且
n
t
2
，
使得 h xn h x1 h x2 } h xn1 ，则 n 的最大值为？
2.基本不等式的凑配及齐次化思想 独家补充 8： （1）已知 a ! 0 ，则 a 4 a 的最小值为_________
B． ac bd 2 a2 b2 c2 d 2
C． ac bd 2 t a2 b2 c2 d 2
D． ac bd 2 ! a2 b2 c2 d 2
②柯西不等式的应用 独家补充 13： （1）求函数 y 3 x 5 4 6 x 的最大值
讲义例 1：（2015 年湖南省文科高考）
若实数 a ， b 满足 1 2 ab ，则 ab 的最小值为（ ）
ab
A． 2
B．2
C． 2 2
D．4
独家补充 6：
（1）若对任意正数
x
，不等式
x2
2
4
2a x
1
恒成立，则实数
a
的取值范围为？
（2）已知 a ， b 为正数， 4a2 b2 7 ，则 a 1 b2 的最大值为？
A． >8， f
B． >3， f
C． f，3@
D． f，8@
讲义例 3：已知 x 2 y xy x ! 0, y ! 0 ，则 2x y 的最小值为（ ）
A．10
B．9
C．8
D．7
独家补充 9：已知 x ! 0 ， y ! 0 ， 2x y 2xy ，若 x ay 的最小值为 8，则正实数 a
的最大值为？
3.“1”代法
讲义例 4：已知正实数 x ， y 满足 x y
3 ，则 4 1 的最小值（
xy
）
A．2
B．3
C．4
D． 10
3
讲义例 6：已知 m ! 0 ， n ! 0 ， 1 4 1 ，若不等式 m n t x2 2x a 对已知的 m ，
mn
n 及任意实数 x 恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ）
一.必考题型
第 3 讲 基本不等式
二.高频易错题型 三.压轴题型
四.习题+解答 （Ⅰ）对勾函数
①对勾函数/飘带函数的图象及性质
独家补充 1：已知 f x x a a ! 0 , x z 0
x
（1）判断 f x 在 0, a , a, f 上的单调性并证明
（2）证明 f (x) 的奇偶性
y2 y 1
的最小值是
（7）已知
a
!
1,
b
!
1
，则
a2 b
1
b2 a
1
最小值是
（Ⅳ）三角不等式
①三角不等式的证明 独家补充 15：证明: x y d x r y d x y
②三角不等式的应用
独家补充 16：
（1）若关于 x 的不等式 x 2 x 1 a 无解，则 a 的取值范围是（ ）