弹性力学及有限元

(2) 面力
Q —— 面力分布集度（矢量） F lim S 0 S
F Xi Yj Z k
—— 作用于物体表面单位面积上的外力
z
Q
X Y Z —— 面力矢量在坐标轴上投影
单位： 1N/m2 =1Pa (帕)
Z
k i
x O j
X
S Y
y
1MN/m2 = 106Pa = 1MPa (兆帕)
yx dzdx zx zx dz dxdy zx dxdy Xdxdydz 0 z
由其余两个平衡方程
可以得出与之相似的两个方 程。化简，除以dxdydz，得
z
F
F
y
0
和
0
空间问题的平衡微分方程 （纳维叶方程）

如物体处于运动状态,根据达朗伯(d’Alembert)原理,在体 力项中引入惯性力:
第2章
§2-1 §2-2 §2-3 §2-4 §2-5
应力分析与平衡方程
一点的应力状态、应力张量 主应力与主剪应力、应力张量不变量 八面体应力、应力强度 应力球张量和应力偏张量 平衡方程——应力和外力的关系
§2.1 一点的应力状态、应力张量
基本概念： 外力、应力、形变、位移。 1. 外力
体力、面力
程
一.几何方程
PA=dx PB=dy C C’ P P’ A A’ B B’ PC=dz
研究在oxy平面内投影的 变形，
O
x
一点的变形 线段的伸长或缩短； 线段间的相对转动； 考察P点邻域内线段的变形：
P
u
P
B
u u dx x
dx A
v
dy

A
v v dx x
PA dx
变形前
y’
y
e1’
x’ x

数学上，对坐标变换时服从一定坐标变换式的9个数所定 义的量叫二阶张量，应力张量通常表示为：
4. 斜面上的应力

作斜面abc垂直于x’轴，该斜面上的应力矢量为P。P在 坐标系下的三个分量为Px， Py 和Pz ，则
z
由斜面应力(Cauchy)公式
z’
Pz
P
y’ Py
Px
y
x’ x
xy
xy
yx
y
x
x
在用应力莫尔圆时必须用此规定求解问题
3. 应力张量
考察物体内任一点o，设oxyz为旧坐标系，其 单位矢量为e1、e2、e3，相应的应力分量为
z z’
设ox’y’z’为新坐标，其单位矢 量为e1’、e2’ 、e3’ 。相应的 应力分量为
e3’ e1
e3 e2’ e2
剪应力互等定理
O x
xz xy y yx y yz x zx zy z
y
yx
zx
zy
yz
应力符号的意义：
第2个下标 y 表示τ的方向. 应力正负号的规定： 正应力—— 拉为正，压为负。 剪应力—— 坐标正面上，与坐标正向一致时为正； 坐标负面上，与坐标正向相反时为正。
由外力引起的在 P点的某一面上内力分布集度 应力的法向分量 应力的切向分量

P ΔA
ΔQ

n
(法线)
应力分量 单位:

—— 正应力 —— 剪应力

与面力相同
MPa (兆帕)
应力关于坐标连续分布的
( x, y, z ) ( x, y , z )
(2) 一点的应力状态
通过一点P 的各个面上应力状况的集合 —— 称为一点的应力状态 x面的应力： x , xy , xz y面的应力： z面的应力：

同样方法研究另外两平面yoz和zox上投影线元的变形可 得到类似的方程。综合起来，得弹性力学几何方程。也 称柯西(Cauchy)方程
几何方程
说明：
（1） 几何方程反映任一点的位移(3个分量)与该点应变(6个分量)
间的关系，是弹性力学的基本方程之一。
（2） 当 位移分量u、v 、 w已知，则6个应变分量可完全确定；
八面体剪应力为：
八面体剪应力对于塑性理论具有重要意义，为了使用方便， 将它乘以 ，并称之为应力强度，用符号 来表示， 即
§2.4 应力球张量和应力偏张量

描述一点应力状态的9个应力分量构成一个对称应力张量
其中
称为应力张量的分量。

引入平均应力 则

应力张量可分解为两个张量之和

简写为 式中
运动微分方程
第三章
应变分析与几何方程
第二节有关力学基本概念描述已知: *在载荷作用下,物体的形状和位置要发生变化, *力学中用应变来度量一点形状的改变;用位移来 度量一点位置的改变. 如已知物体中每一点的位移,则受载物体的位 置和形状均可确定.即位移与应变之间存在一定 的关系.
描述位移与应变之间关系的方程称为几何方
称
为应力偏量，
为应力球形张量，
为单位张量。

球形张量是代表各向均匀拉伸或压缩的应力状态。
球形张量应力（静水应力）作用下，物体只产生各向 相同的线应变而无剪应变。对应物体的体积改变，而形状 不变。

应力偏量代表各面正应力中偏离静水应力的量，是正应力 之和为零的应力状态。该应力状态下，物体的体积不改变 而形状改变。 静水压力实验研究表明，在均匀受力情况下，即使应力达到 很大值，材料也不产生塑性变形。 故：应力球形张量不产生材料的塑性变形； 应力偏量是产生塑性变形的真正原因。
的平衡方程 M ee ' 0
整理，并略去微量后，得 yz zy 同样可以得出 xy yx , zx xz
剪应力互等定理
列出x轴方向的力的平衡方程
F
x
0
x x dx dydz x dydz yx yx dy dzdx x y
现在主应力空间里，考察通过物体内任一点M这 的一个微分面，该微分面的外法向n与三个应力 主轴呈等倾斜。这样的微分面共有8个，它们可组 成一个包含点M在内的无限小的正八面体，如图 所示。这些微分面上的应力，就称为八面体应力。
由于这些斜面的法线的方向余弦的绝对值都相等：
同时有： 于是得：
带入正应力的计算公式，可得八面体正应力为：
xy
第1个下标 x 表示τ所在面的法线方向；
z
z
O x
xz xy y yx y yz x zx zy z
y
yx
zx
zy yz
与材力中剪应力τ正负号规定的区别： 规定使得单元体顺时转的剪应力τ 为正，反之为负。
yx y
x
y
xy yx
y , yx , yz
z , zx , zy
x xy xz 用矩阵表示： yx y yz zx zy z
其中，只有6个量独立。
z
z
xy yx yz zy zx xz
PB dy
变形后
y

P
P A
ห้องสมุดไป่ตู้
u v u u dx x
v v dy y
u
A
v v dx x
B
u u dy y B v v dy y
u dy y
B
注：这里略去了二阶以上高阶无穷小量。
PA的正应变： u u dx u u x x x dx PB的正应变： v v dy v y v y dy y P点的剪应变：

3. 形变 (1) 一点形变的度量
形变 —— 物体的形状改变 （1）线段长度的改变 ——用线（正）应变ε度量 （2）两线段间夹角的改变。 ——用剪应变γ度量 （剪应变——两垂直线段夹角（直角）的改变量）
三个方向的线应变：
三个平面内的剪应变：
x , y , z xy , yz , zx

上述方程为 的齐次线性方程组， 且常数项都为 零。因为： ，故 不能同时为零， 所以方程组的系数行列式应为零，即

将行列式展开，得到求解主应力 应力张量 的特征方程。
的三次方程，称为
式中

设特征方程的三个根为
展开后有
，则

（特征方程）

比较上两式，有
对一个给定的应力状态，其主应力的大小和方向是确定的， 不随坐标系的变换而变化。故 是不随坐标系的变换 而变化的量，称为应力张量不变量。 分别称为应力张量的第一、第二、第三不变量。
由此可见，过某点的任意斜面上的应力分量，都可以用过该 点的平行于坐标面的微分面上的9个应力分量来表示。写成 矩阵的形式，即：
斜面上的总应力为： 斜面上的正应力为：
§2.2 主应力与应力张量不变量

设斜截面外法线方向为 为
，它的方向余弦

应力矢量P在坐标轴上的投影为：
将上式展开

当斜面法线方向满足上述方程时，该斜面上只有正应力，没有剪应 力，称该平面为主平面；主平面上的正应力称为主应力；主应力方 向（即主平面法线方向）称为主方向。
z C
z
A
O
应变的正负： 线应变： 伸长时为正，缩短时为负；
剪应变： 以直角变小时为正，变大时为负； x
x P
y
B y
§2.5 平衡(运动)微分方程
在物体内的任意一点P，割取一
个微小的平行六面体，棱边的长度
分别为PA=dx，PB=dy，PC=dz。 首先，以连接六面体前后两面
中心的直线 ee ' 为矩轴，列出力矩
反之，已知6个应变分量，不能确定位移分量。 （∵积分需要确定积分常数，由边界条件决定。）