2015年福建省漳州市高三5月适应性考试理科数学试题及答案

2015年漳州市普通高中毕业班适应性考试数学（理科）试卷考试时间：120分钟 满分：150分本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 注意事项：1. 答第Ⅰ卷前，考生务必需将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上.2. 每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.参考公式：样本数据x 1，x 2，… ，x n 的标准差 锥体体积公式V =31Sh 其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式球的表面积、体积公式V =Sh24S R =π，343V R =π 其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径第Ⅰ卷 （选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

第7题图1．已知集合{1,2,}M zi=，i为虚数单位，{3,4}N=，若{4}M N=，则复数z的共轭复数z的虚部是（）A．4i-B．4i C．4-D．42．下列命题中，正确的一个是（）A．200,ln(1)0x R x∃∈+< B．若q p⌝是成立的必要不充分条件，则q p⌝是成立的充分不必要条件C．22,2xx x∀>> D．若()x k k Zπ≠∈，则22sin3sinxx+≥3．执行右边的程序框图，若输出的S是127，则判断框内应该是( )A．n≤5 B．n≤6 C．n≤7 D．n≤84．将函数sin()cos()22y x xϕϕ=++的图象沿x轴向右平移8π个单位后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的取值不可能．．．是（）A．54π-B．4π-C．4πD．34π5．过抛物线2y＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O 是原点，若｜AF｜＝3，则△AOB的面积为A B C．6．函数()sin lnf x x x=⋅的部分图象为( )A． B． C． D．7．点(,)x y是如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括边界）的任意一点，若目标函数z＝x＋ay取得最小值的最优解有无数个，则yx a-的最大值是( )A ．23B ．25C ．16D ．148．在直角坐标平面上，(1,4),(3,1)OA OB ==-u u r u u u r, 且OA uur 与OB uu u r 在直线l 的方向向量上的投影的长度相等，则直线l 的斜率为( ) A ．14- B ．25 C ．25或43- D ．529．对于一个有限数列12(,,,)n p p p p =⋅⋅⋅，p 的蔡查罗和（蔡查罗是一位数学家）定义为 121()n S S S n++⋅⋅⋅+，其中12(1,)k k S p p p k n k N =++⋅⋅⋅+∈≤≤．若一个99项的数列（1299,,,)p p p ⋅⋅⋅的蔡查罗和为1000，那么100项数列1299(9,,,,)p p p ⋅⋅⋅的蔡查罗和为( ) A ．991 B ．992C ．993D ．99910．设函数)(x f y =在R 上有定义，对于任一给定的正数p ，定义函数⎩⎨⎧>≤=p x f p px f x f x fp)(,)(),()(，则称函数)(x f p 为)(x f 的“p 界函数”若给定函数2,12)(2=--=p x x x f ，则下列结论不成立的是（ ）A ．[][])0()0(p p f f f f = B ．[][])1()1(p p f f f f = C ．[][])2()2(f f f f p p =D ．[][])3()3(f f f f pp=第Ⅱ卷 （非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡相应位置上。

11．已知函数|1|(1)()3(1)xx x f x x -⎧=⎨>⎩≤，若()2f x =，则x = ． 12．若()()1203f x x f x dx =+⎰，则()10f x dx ⎰= .13．某校高三（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：（1）频率分布直方图中［80，90）间的矩形的高为 ． （2）若要从分数在［80，100］之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，至少有一份分数在［90，100］之间的概率为 ．14．定义：曲线C 上点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到l 的距离。

已知曲线21:C y x a=+到直线:l y x=的距离等于曲线222:(4)2C x y ++=到直线:l y x =的距离，则实数a = 。

15．已知函数21()()2f x x a =+的图象在点*(,())()n P n f n n N ∈处的切线n l 的斜率为n k ，直线n l 交x 轴，y 轴分别于点(,0)n n A x ，(0,)n n B y ，且11y =-，给出以下结论：①1a =-；②记函数*()()n g n x n N =∈，则函数()g n 的单调性是先减后增，且最小值为1；③当*n N ∈时，1ln(1)2n n n y k k ++<+；④当*n N ∈时，记数列的前n 项和为nS，则n S <． 其中，正确的结论有 （写出所有正确结论的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16．（本小题满分13分）设函数24()cos(2)2cos .3f x x x π=-+，(Ⅰ)求)(x f 的最大值，并写出使)(x f 取最大值时x 的集合；(Ⅱ)已知ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若3(),22f B C b c +=+=，3),22B C b c +=+=，求a 的最小值．17．（本小题满分13分）翡翠市场流行一种赌石“游戏规则”：翡翠在开采出来时有一层风化皮包裹着，无法知道其内的好坏，须切割后方能知道翡翠的价值，参加者先缴纳一定金额后可得到一块翡翠石并现场开石验证其具有的收藏价值．某举办商在赌石游戏中设置了甲、乙两种赌石规则，规则甲的赌中率为23，赌中后可获得20万元；规则乙的赌中率为0P （001P <<），赌中后可得30万元；未赌中则没有收获．每人有且只有一次赌石机会，每次赌中与否互不影响，赌石结束后当场得到兑现金额．（1）收藏者张先生选择规则甲赌石，收藏者李先生选择规则乙赌石，记他们的累计获得金额数为X （单位：万元），若30X ≤的概率为79，求0P 的大小；（2）若收藏者张先生、李先生都选择赌石规则甲或选择赌石规则乙进行赌石，问：他们选择何种规则赌石，累计得到金额的数学期望最大？18．（本小题满分13分）如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD 是直角梯形，侧棱SA⊥底面ABCD，AB垂直于AD和BC，SA= AB= BC = 2，AD = 1。

M是棱SB的中点．（1）求证：AM∥面SCD；（2）求面SCD与面SAB所成二面角的余弦值；（3）设点N是直线CD上的动点，MN与面SAB所成的角为θ，求sinθ的最大值。

19．（本小题满分13分）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>，其中b =，过椭圆E 内一点P (1,1)的两条直线分别与椭圆交于点,A C 和,B D ，且满足AP PC λ= ，BP PD λ=，其中λ为正常数． 当点C 恰为椭圆的右顶点时，对应的57λ=．（1）求椭圆E 的离心率；（2）求a 与b 的值；（3）当λ变化时，AB k 是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．20．（本小题满分14分）对于函数))((D x x f ∈，若D x ∈时，恒有)()(x f x f >'成立，则称函数)(x f 是D 上 的“J函数”．(Ⅰ)当函数x me x f x ln )(=是定义域上的“J函数”时，求实数m 的取值范围；(Ⅱ)若函数)(x g 为()+∞,0上的“J 函数”．（ⅰ）试比较)(a g 与)1(1g e a -的大小（其中0a >）；（ⅱ）求证：对于任意大于1的实数1x ，2x ，3x ，，n x 均有)(ln )(ln )(ln ))(ln(2121n n x g x g x g x x x g ++>+⋅⋅⋅++．21．(Ⅰ)（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换 已知矩阵1214A ⎛⎫=⎪-⎝⎭，（1）求A 的逆矩阵1A -； （2）求矩阵A 的特征值1λ、2λ和对应的一个特征向量1α 、2α．(Ⅱ)（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为40x y -+=，曲线C 的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数）． （1）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，点P 的极坐标为(4,)2π，判断点P 与直线l 的位置关系；（2）设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．(Ⅲ)（不等式选讲）（本小题满分10分）设函数1()1|3|2f x x x =-+- （1）求不等式()2f x >的解集；（2）若不等式()f x ≤1()2a x +的解集非空，求实数a 的取值范围.2015年漳州市普通高中毕业班适应性考试数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡相应位置上。

）11．1- 12．16- 13．0.016 3514．9415．①③④三、解答题：（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

） 16．（本小题满分13分）设函数24()cos(2)2cos .3f x x x π=-+(Ⅰ)求)(x f 的最大值，并写出使)(x f 取最大值时x 的集合； (Ⅱ)已知ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若3(),22f B C b c +=+=，求a 的最小值． 解：（1）)(x f 的最大值为2 ………………………………………4分 要使)(x f 取最大值，)(232,1)32cos(Z k k x x ∈=+=+πππ故x 的集合为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-=Z k k x x ,6ππ………6分（2）由题意，231]3)(2cos[)(=+++=+πC B C B f ，即.21)322cos(=+-ππA 化简得21)32cos(=-πA ……………………………………………………8分 ()0A π∈Q ，，)35,3(32πππ-∈-∴A ，只有332ππ=-A ，.3π=A ………10分在ABC ∆中，由余弦定理，bc c b bc c b a 3)(3cos22222-+=-+=π………11分由2=+c b 知1)2(2=+≤c b bc ，即12≥a ， (12)分当1==c b 时，a 取最小值.1…………………………………13分 17.（本小题满分13分）翡翠市场流行一种赌石“游戏规则”：翡翠在开采出来时有一层风化皮包裹着，无法知道其内的好坏，须切割后方能知道翡翠的价值，参加者先缴纳一定金额后可得到一块翡翠石并现场开石验证其具有的收藏价值．某举办商在赌石游戏中设置了甲、乙两种赌石规则，规则甲的赌中率为23，赌中后可获得20万元；规则乙的赌中率为0P （001P <<），赌中后可得30万元；未赌中则没有收获．每人有且只有一次赌石机会，每次赌中与否互不影响，赌石结束后当场得到兑现金额．（1）收藏者张先生选择规则甲赌石，收藏者李先生选择规则乙赌石，记他们的累计获得金额数为X （单位：万元），若30X ≤的概率为79，求0P 的大小；（2）若收藏者张先生、李先生都选择赌石规则甲或选择赌石规则乙进行赌石，问：他们选择何种规则赌石，累计得到金额的数学期望最大？解：（1）由已知得收藏者张先生赌中的概率为23，收藏者李先生赌中的概率为0P ，且两人赌中与否互不影响．记“这2人的累计获得金额数为X （单位：万元）”的事件为A ，则事件A 的对立事件为“50X =”． 因为032)50(P X P ==，所以027()1(50)139P A P X P =-==-=，求得013P =． （4分）（2）设收藏者张先生、李先生都选择规则甲赌中的次数为1X ，都选择规则乙赌中的次数为2X ，则这两人选择规则甲累计获奖得金额的数学期望为1(20)E X ， 选择规则乙累计获奖得金额的数学期望为1(30)E X ．由已知可得，12(20,)3X B ，20(20,)X B P ，所以34)(1=X E ，022)(P X E =，从而11480(20)20()2033E X E X ==⨯=，220(30)30()60E X E X P ==． （8分）若11(20)(30)E X E X >，则080603P >，解得0409P <<；若11(20)(30)E X E X <，则080603P <，解得0419P <<；若11(20)(30)E X E X =，则080603P =，解得049P =． （12分） 综上所述，当0409P <<时，他们都选择规则甲进行赌石时，累计得到金额的数学期望最大；当0419P <<时，他们都选择规则乙进行赌石时，累计得到金额的数学期望最大；当049P =时，他们都选择规则甲或规则乙进行赌石时，累计得到金额的数学期望相等．（12分）18．（本小题满分13分）如图，在四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，侧棱SA ⊥底面ABCD ，AB 垂直于AD 和BC ，SA = AB =BC = 2，AD = 1。