2016年高中数学联赛江苏初赛模拟试题05

ACA2016年高中数学联赛江苏初赛模拟试题五（时间：120分钟 满分：150）姓名_______________一、填空题：本大题共10小题，每小题7分，共70分． 1．若函数()f x 满足2()log ||f x x =+()f x 的解析式是______________ 2．如图，设P 为ABC ∆内一点，且2155AP AB AC =+，则ABP ∆的面积与ABC ∆的面积之比等于__________ 3．若33sin cos cos sin , 02θθθθθπ-≥-≤<，则角θ的取值范围是______________4．袋中装有m 个红球和n 个白球，4m n >≥，现从中任取两球，若取出的两个球是同色的概率等于取出的两个球是异色的概率，则满足关系40m n +≤的数组(, )m n 的个数为___________ 5．已知实系数一元二次方程2(1)10x a x a b +++++=的两个实根为1x 、2x ，且101x <<，21x >，则ba的取值范围是______________ 6．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱AB 上一点，过点P 在空间作直线l ，使l 与平面ABCD 和平面1111A B C D 均成30︒角，则这样的直线l 的条数为_____________ 7．已知θ为锐角，且cos31cos 3θθ=，则sin3sin θθ=____________ 8．设()f x 是以2为周期的奇函数，且2()35f -=，若sin α=，则(4cos 2)f α=__________9．若, , a b c 成等差数列，则直线0ax by c ++=被椭圆22128x y +=截得线段的中点的轨迹方程是______________10．设1x >，1y >，22min{log 2, log , log (8)}x y S y x =，则S 的最大值为______________二、解答题：本大题共4小题，每小题20分，共80分．11．设1(, )P x a y +、2(, )Q x y 、3(2, )R a y +是函数()2x f x a =+的反函数图像上三个不同点，且满足 1322y y y +=的实数有且只有一个，试求实数a 的取值范围．12．已知sin(2)3sin αββ+=，设tan x α=，tan y β=，记()y f x =；（1）求()f x 的表达式；（2）定义正数数列{}n a ：2111, 2() (*)2n n n a a a f a n N +==⋅∈，试求数列{}n a 的通项公式．13．如图，ABC的内心为I，过点A作直线BI的垂线，垂足为H，设D、E分别为内切圆I与边BC、CA的切点，求证：D、H、E三点共线．BDC14．如图，已知抛物线C ：24 (0)y px p =>，F 为C 的焦点，l 为准线，且l 与x 轴的交点为E ，过点F 任意作一条直线交抛物线C 于A 、B 两点；（1）若 (0)AF FB λλ=> ；求证：()EF EA EB λ⊥-；（2）设M 为线段AB 的中点，p 为奇素数，且点M 到x 轴的距离和点M 到准线l 的距离均为非零整数；求证：点M 到坐标原点的距离不可能是整数．2016年高中数学联赛江苏初赛模拟试题五答案一、填空题：1．若函数()f x满足2()log ||f x x =+()f x 的解析式是______________ 解：由||0x x >得0x >，脱掉绝对值号，有：21()log f x x =，∴221()log log f x x x==-．2．如图，设P 为ABC ∆内一点，且2155AP AB AC =+，则ABP ∆的面积与ABC ∆的面积之比等于__________解：构造平行四边形AM PN ，则25AM AB = ，15AN AC = ，NP AB ∥；||15||ABP ABCS AN S AC ∆∆==． 3．若33sin cos cos sin , 02θθθθθπ-≥-≤<，则角θ的取值范围是______________解法一：33sin cos cos sin θθθ-≥-，得21(sin cos )(2sin )02θθθ-+≥；212sin 02θ+>，∴sin cos 0θθ-≥，解得544ππθ≤≤． 解法二：原不等式可变形为33sin sin cos cos θθθθ+≥+，构造函数3()f x x x =+，则原不等式为(sin )(cos )f f θθ≥，易知()f x 在R 上是增函数，因此sin cos θθ≥，注意到02θπ≤<，解得544ππθ≤≤．4．袋中装有m 个红球和n 个白球，4m n >≥，现从中任取两球，若取出的两个球是同色的概率等于取出的两个球是异色的概率，则满足关系40m n +≤的数组(, )m n 的个数为___________ 解：记“取出两个红球”为事件A ，“取出两个白球”为事件B ，“取出一红一白两球”为事件C ；则2211222(), (), ()m n m n m n m n m nC C C CP A P B P C C C C +++===；由题意可知()()()P A P B P C +=，即2211m n m n C C C C +=⋅；也即2()m n m n +=-；从而m n +为完全平方数，又由4m n >≥及40m n +≤，得940m n ≤+≤；所以有：93m n m n +=⎧⎨-=⎩，或164m n m n +=⎧⎨-=⎩，或255m n m n +=⎧⎨-=⎩，或366m n m n +=⎧⎨-=⎩；解之可得：(, )(6, 3)m n =（舍去）；或(10, 6)，或(15, 10)，或(21, 15)；共有3组．5．已知实系数一元二次方程2(1)10x a x a b +++++=的两个实根为1x 、2x ，且101x <<，21x >，则ba的取值范围是______________ 解：设2()(1)1f x x a x a b =+++++，则101x <<，21x >，得(0)10(1)230f a b f a b =++>⎧⎨=++<⎩； 在直线坐标平面aOb 上作出上述不等式所表示平面区域， 如右图中阴影部分所示（不含边界），两直线10a b ++=与230a b ++=的交点是(2, 1)P -，ba表示经过坐标原点O 和可行域内的点(, )a b 的直线l 的斜率，显然，当l 过点(2, 1)P -时，斜率为12-； 当l 与直线230a b ++=平行时，斜率为2-，所以122b a -<<-．A A 6．如图，在正方体1111ABCD ABCD -中，P 为棱AB 上一点，过点P 在空间作直线l ，使l 与平面ABCD 和平面1111A B C D 均成30︒角，则这样的直线l 的条数为_____________ 解：由于二面角1C AB D --的平面角为45︒，所以在这个二面角及它的“对顶”二面角内，不存在过点P 且与平面ABCD 和平面11ABC D 均成30︒的直线，转而考虑它的补二面角，易知过点P 有且仅有两条直线与平面ABCD 和平面11ABC D 均成30︒，故满足条件的直线l 有2条．7．已知θ为锐角，且cos31cos 3θθ=，则sin 3sin θθ=____________ 解法1：由题意及三倍角的余弦公式得214cos 33θ-=，即2104cos 3θ=；故22sin3734sin 4cos 1sin 3θθθθ=-=-=． 解法2：设sin 3sin x θθ=，则1sin3cos3sin(3)2sin 223sin cos sin cos sin 2x θθθθθθθθθθ--=-===；故17233x =+=．8．设()f x 是以2为周期的奇函数，且2()35f -=，若sin α=，则(4cos 2)f α=__________解：∵sin α=，∴23cos212sin 5αα=-=，∴1222(4cos2)()()()3555f f f f α===--=-． 9．若, , a b c 成等差数列，则直线0ax by c ++=被椭圆22128x y +=截得线段的中点的轨迹方程是______________解：由20a b c -+=知，直线0ax by c ++=过定点 (1,2)P -，又点P 在椭圆上，∴P 为所截线段的一个端点，设另一端点为11 (,)Q x y ，PQ 的中点为00 (,)M x y ，则有0101(1)/2(2)/2x x y y =+⎧⎨=-⎩即10102122x x y y =-⎧⎨=+⎩，而点11 (,)Q x y 在椭圆上，代入椭圆方程中，有2200(21)(22)128x y -++=，故中点轨迹方程是221(1)2()122y x +-+=． 10．设1x >，1y >，22min{log 2, log , log (8)}x y S y x =，则S 的最大值为______________解：由题设得22log 2, log , log (8)x y S y S x S ≥≥≥，则22222233log 232log log (8)log log x y xS S x yyS+++≤==≤， 即2(2)(1)0S S -+≤；∴2S ≤，当且仅当 4x y =时取等号．二、解答题：11．设1(, )P x a y +、2(, )Q x y 、3(2, )R a y +是函数()2x f x a =+的反函数图像上三个不同点，且满足 1322y y y +=的实数有且只有一个，试求实数a 的取值范围．解：()2x f x a =+的反函数是12()log ()f x x a -=-，则12log y x =，22log ()y x a =-，31y =；∴由1322y y y +=，得：221log 2log ()x x a +=-；此方程等价于22()x ax x a >⎧⎨=-⎩；……………………………………………… （5分） （1）当0∆=，即12a =-时，方程有唯一实根12x =；……………………（10分）（2）当0∆>，即1a >-时，方程有两个实根1x a =+显然，1x a a =+满足条件，从而应有1a a +≤即0a ≥；…（15分）而0a =时，点P 、Q 重合，所以a 的取值范围是1{}(0, )2-+∞ ．………（20分）12．已知sin(2)3sin αββ+=，设tan x α=，tan y β=，记()y f x =；（1）求()f x 的表达式； （2）定义正数数列{}n a ：2111, 2() (*)2n n n a a a f a n N +==⋅∈，试求数列{}n a 的通项公式．解：（1）由sin(2)3sin αββ+=，得sin[()]3sin[()]αβααβα++=+-，即sin()cos 2cos()sin αβααβα+=+，即tan()2tan αβα+=．………（5分） ∴tan tan 2tan 1tan tan αβααβ+=-即21x y x xy +=-，解得212x y x =+；∴2()12xf x x =+．…（10分） （2）因为221222()12n n n n n a aa f a a +=⋅=+，所以2211112n n aa +=+，即2211112(2)2n n a a +-=-；…………………………（15分） 因此，21{2}n a -是首项为2，公比为12的等比数列； 所以121122()2n na --=，故n a =……………………………（20分）13．如图，ABC ∆的内心为I ，过点A 作直线BI 的垂线，垂足为H ，设D 、E 分别为内切圆I 与边BC 、CA 的切点，求证：D 、H 、E 三点共线．C D BB D C证法1：如图，设直线BI 与CA 边相交于K 点，连结AI 、DI 、EI 、DH 、EH ；∵BDI AHD ∠=∠，IBD ABH ∠=∠；∴IBD ABH ∆∆~；有：BD IB BH AB =，即BD HB BI AB=；…………………………………………（5分） 又∵HBD ABI ∠=∠，∴HBD ABI ∆∆~，有BHD BAI ∠=∠．① …（10分） ∵90AEI AHI ∠=∠=︒；∴A 、E 、H 、I 四点共圆，有EHK EAI ∠=∠．② 由①、②及BAI EAI ∠=∠，得BHD EHK ∠=∠；∴D 、H 、E 三点共线． ………………………………………………（20分）证法2：如图，连结DE 、EH 、AI 、EI ；∵90AEI AHI ∠=∠=︒，∴A 、E 、H 、I 四点共圆，有AEH AIB ∠=∠；……………………（5分）又∵I 为ABC ∆的内心，∴1290AIB C ∠=︒+∠； 从而1290AEH C ∠=︒+∠．…………………………………………………（10分） ∵CD CE =，∴1122(180)90DEC C C ∠=︒-∠=︒-∠； ∴180AEH DEC ∠+∠=︒；∴D 、H 、E 三点共线． …………………（20分）14．如图，已知抛物线C ：24 (0)y px p =>，F 为C 的焦点，l 为准线，且l 与x 轴的交点为E ，过点F 任意作一条直线交抛物线C 于A 、B 两点；（1）若 (0)AF FB λλ=> ；求证：()EF EA EB λ⊥-；（2）设M 为线段AB 的中点，p 为奇素数，且点M 到x 轴的距离和点M 到准线l 的距离均为非零整数；求证：点M 到坐标原点的距离不可能是整数．解：（1）法1：点F 的坐标为(, 0)p ，设直线l 的方程为x my p =+，代入24y px =；得：22440y pmy p --=；………①设11(, )A x y 、22(, )B x y ，则1y 、2y 是方程①的两个根，有212124, 4y y pm y y p +==-；由AF FB λ= ，得12y y λ=-；∵1122(, )(, )EA EB x p y x p y λλ-=+-+1212((1), )x x p y y λλλ=-+--又(2, 0)EF p = ，2114y x p =，2224y x p=；∴2211211222()2[(1)]2[(1)]44y y y yEF EA EB p x x p p p p y p y λλλ⋅-=-+-=+⋅++ 222121*********()411()0222p y y y y p y y y y y y y ++=++=+=，∴()EF EA EB λ⊥- ．……（10分） 法2：如图，设点A 、B 在准线l 上的射影分别为1A 、1B ，则1||||AF AA =、1||||BF BB =，从而AF FB λ= ，得11A A B B λ=； ∵1111, EA EA A A EB EB B B =+=+ ，∴11EA EB EA EB λλ-=- ；又∵11()EF EA EB λ⊥- ，∴11()0EF EA EB λ⋅-=； ∴()0EF EA EB λ⋅-= ，即()EF EA EB λ⊥-．……………………（10分） （2）设(, )M x y ，依题意x 、y 均为非零整数，由对称性，不妨设*x y N ∈、，则1222y y y pm +==，……②；∵点M 在直线AB 上，∴x my p =+；…………③ 由②、③消去m ，得22()y p x p =-；……………④假设||OM r =为正整数，则222x y r +=；…………⑤∵p 为奇质数，∴由④知，|p y ，从而|p x ；于是，由⑤知|p r ．令111, , x px y py r pr ===，111(*)x y r N ∈、、，则有2112(1)y x =-，222111x y r +=； 消去1y ，得2211122x x r +-=；即1111(1)(1)331x r x r +++-==⨯； 又111x r ++与111x r +-有相同的奇偶性，且111111x r x r ++>+-，∴11111311x r x r ++=⎧⎨+-=⎩，解得1111x r =⎧⎨=⎩；从而10y =，于是0y =，这与y 为正整数矛盾；故点M 到坐标原点O 的距离不可能是整数．。