2020版高中数学第一章集合章末复习课学案北师大版必修1
(教师用书)高中数学 第一章 集合教案 北师大版必修1
第一章集合§1集合的含义与表示(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系．(2)知道常用数集及其专用记号．(3)了解集合中元素的确定性、互异性、无序性．(4)会用集合语言表示有关数学对象．(5)培养学生抽象概括的能力．2．过程与方法(1)让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，感知集合的含义．(2)让学生归纳整理本节所学知识．3．情感、态度与价值观使学生感受到学习集合的必要性，增强学习的积极性．●重点难点重点：集合的含义与表示方法．难点：表示法的恰当选择．针对教材的内容，编排一系列问题，让学生亲历知识发生、发展的过程，积极投入到思维活动中来；通过与学生的互动交流，关注学生的思维发展，在逐渐展开中，引导学生用已学的知识、方法予以解决，并获得知识体系的更新与拓展，收到一定的预期效果；尤其是练习的处理，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，感受“观察——归纳——概括——应用”等环节．在知识的形成、发展过程中展开思维，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力，充分发挥了学生的主体作用，也提高了学生主体的合作意识，达到设计中所预想的目标．(教师用书独具)●教学建议集合是学生进入高中学习的第一节课，是学生学好数学所必须掌握好的一个知识点，同时集合是一个不加定义的原始概念，对于学生而言既熟悉又模糊，熟悉是因为学生在初中的数学学习和生活体验中掌握了大量集合的实例，模糊是由于对于集合含义的描述以及集合的数学表示、元素与集合的关系等理解的并不十分到位、准确．同时虽然本节课对于学生而言难度不大，但是其概念多、符号多，容易混淆，需要学生理解记忆．对于一些较简单的内容，应放手让学生多一些探究与合作．随着教育改革的深化，教学理念、教学模式、教学内容等教学因素都在不断更新，作为数学教师要更新教学观念，从学生的全面发展来设计课堂教学，关注学生个性和潜能的发展，使教学过程更加切合《课程标准》的要求．用全新的理论来武装自己，让自己的课堂更有效率．●教学流程创设情景，揭示课题，通过接触过的集合，举出部分例子⇒研探新知，给出集合的概念及集合的表示⇒质疑答辨，排难解惑，发展思维．思考：集合中元素有什么特点？⇒完成例1及其变式训练，巩固元素与集合的关系⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握集合中元素的特性⇒集合的表示方法各有什么特点？完成例3及变式训练⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识⇒巩固深化反馈矫正，完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正观察下列实例：(1)2013年1月1日之前，在腾讯微博注册的会员； (2)平面内到两定点的距离相等的点；(3)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥3，x 2<9的整数解；(4)方程x 2－4x ＋4＝0的实数根； (5)我们班经常参加体育锻炼的同学．上述实例中的研究对象哪些是确定的？ 【提示】 (1)(2)(3)(4)的研究对象是确定的． 集合⎩⎪⎨⎪⎧含义：一般地，指定的某些对象的全体称为集合，集合中的每个对象叫作这个集合的元素.表示⎩⎪⎨⎪⎧集合：通常用大写字母A ，B ，C ，…标记；元素：通常用小写字母a ，b ，c ，…标记.对于本班内所有女同学组成的集合，张三(男)、李四(女)分别与集合存在什么关系？ 【提示】 张三不在该集合内，李四在该集合内．给出下列集合：(1)小于10的所有正偶数组成的集合A ；(2)方程x 2＋2x ＋1＝0的根组成的集合为B ； (3)所有奇数组成的集合为C .1．你能将集合A 中的元素一一列举出来吗？ 【提示】 能.2,4,6,82．集合B中的元素满足的条件是什么？【提示】x2＋x＋1＝0.3．如何表示集合C?【提示】C＝{奇数}或{x|x＝2n＋1，n∈Z}．1．列举法把集合中的元素一一列举出来写在大括号内的方法．2．描述法用确定的条件表示某些对象属于一个集合并写在大括号内的方法叫描述法.1.有限集含有限个元素的集合．2．无限集含无限个元素的集合．3．空集不含有任何元素的集合.下列所给关系正确的个数是( )①π∈R；②3∉Q；③0∈N*；④|－4|∉N.A．1 B．2 C．3 D．4【思路探究】解答本题要先弄清“∈”和“∉”的区别与联系及特定的数集符号的含义，再进行判断．【自主解答】∵π是实数，3是无理数，0不是正整数，|－4|＝4是正整数，∴①②正确，③④不正确，正确的个数为2.【答案】 B1．判断一个元素是否属于某个集合，关键看其是否具有该集合的特征．2．N＋(N*)与N不同，前者表示正整数集，而后者表示非负整数集．给出下列关系，其中正确的有____． ①3∈Z ②0∈N ③12∈N ＋ ④3.14∈Q【解析】 ∵3不是整数，∴3∉Z ，故①错；∵0是自然数，∴0∈N ，故②正确；∵12不是正整数，∴12∉N ＋，故③错，∵3.14是有理数，∴3.14∈Q ，故④正确．【答案】 ②④已知集合A ＝{1,3，a 2＋a ，a ＋1}，若a ∈A ，求实数a 的值．【思路探究】 根据题中的条件a ∈A ，可分别列出关于a 的方程，然后求出a 的值即可，但要注意集合中元素的互异性．【自主解答】 ∵a ∈A ，A ＝{1,3，a 2＋a ，a ＋1}， ∴a ＝1或a ＝3或a ＝a 2＋a .当a ＝1时，a 2＋a ＝2，a ＋1＝2，这与集合中元素互异性矛盾，故舍去， 当a ＝3时，a 2＋a ＝12，a ＋1＝4，适合题意；当a ＝a 2＋a 即a ＝0时，a ＋1＝1，与集合中元素互异性矛盾，故舍去， 综上所述，所求实数a 的值是3.1．本题中，a 是集合A 的元素，但不能确定是哪一个元素，故有三种情况． 2．根据集合中元素的确定性可以解出字母的所有可能的值，再根据集合中元素的互异性对集合中的元素进行检验．另外，在利用集合中元素的特性解题时要注意分类讨论思想的运用．(2013·济南高一检测)已知集合A 是由三个元素m ，m 2＋1,1组成的，且2是A 中的一个元素，求m 的值．【解】 ∵2是A 中的一个元素，∴m ＝2或m 2＋1＝2， 即m ＝2或m ＝±1.当m ＝2时，集合A 中的元素为：2,5,1，符合题意．当m ＝1时，集合A 中的元素为：1,2,1不满足互异性，舍去．当m ＝－1时，集合A 中的元素为：－1,2,1符合题意． 综上知m ＝2或m ＝－1.用适当的方法表示下列集合．(1)化简式子x |x |＋y|y |(x ，y 为非零实数)所得结果构成的集合；(2)所有偶数组成的集合；(3)直角坐标系内第二象限的点组成的集合； (4)方程(x －1)(x 2－5)＝0的根组成的集合．【思路探究】 根据题目的特点，结合列举法、描述法的适用范围解答本题． 【自主解答】 (1)根据x ，y 值的符号，两项分别可得1或－1，化简的结果有3种情形，用列举法表示为{0,2，－2}；(2)偶数的表达式为2k (k ∈Z)．由于有无数个元素，用描述法表示为{x |x ＝2k ，k ∈Z}； (3)代表元素是有序数对(x ，y )，用描述法表示为{(x ，y )|x <0且y >0}； (4)方程有3个根，用列举法表示为{－5，1，5}．1．当集合中的元素个数较少时往往采用列举法表示．用列举法表示集合时，必须注意以下几点：(1)元素之间必须用“，”隔开； (2)集合的元素必须是明确的； (3)不必考虑元素出现的先后顺序； (4)集合中的元素不能重复； (5)集合中的元素可以是任何事物．2．用描述法表示集合，首先应弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示．给出下列说法：①在直角坐标平面内，第一、三象限的点的集合为{(x ，y )|xy >0}； ②方程x －2＋|y ＋2|＝0的解集为{－2,2}； ③集合{(x ，y )|y ＝1－x }与{x |y ＝1－x }是同一集合． 其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个【解析】 在直角坐标平面内，第一、三象限的点的横、纵坐标是同号的，且集合中的代表元素为点(x ，y )，故①正确；方程x －2＋|y ＋2|＝0等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝0，y ＋2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2， 解为有序实数对(2，－2)，即解集为{(2，－2)}或{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ＝2y ＝－2，故②不正确； 集合{(x ，y )|y ＝1－x }的代表元素是(x ，y )，集合{x |y ＝1－x }的代表元素是x ，一个是实数对，一个是实数，故这两个集合不相同．③不正确．【答案】 A忽视元素的特性致误已知－1∈{m －1,3m ，m 2－1}，求实数m 的值．【错解】 ∵－1∈{m －1,3m ，m 2－1}， ∴m －1＝－1或3m ＝－1或m 2－1＝－1， 即m ＝0或m ＝－13.【错因分析】 代入后，未对元素进行检验，忽视了元素的互异性．【防范措施】 1.解答含有字母的元素与集合之间的关系时，要有分类讨论的意识． 2．求解与集合有关的字母参数时，需利用集合元素的互异性来检验所求参数是否符合要求．【正解】 ∵－1是集合{m －1,3m ，m 2－1}中的元素， ∴当m －1＝－1时，m ＝0,3m ＝0，m 2－1＝－1.此时集合为{－1,0，－1}，不满足集合中元素的互异性． 当3m ＝－1时，m ＝－13，m －1＝－43，m 2－1＝－89.此时集合为{－43，－1，－89}，符合题意．当m 2－1＝－1时，m ＝0，m －1＝－1,3m ＝0.此时集合为{－1,0，－1}，不满足集合中元素的互异性． 综上可知实数m 的值为－13.1．集合在数学中是不加定义的，我们只对它进行描述性说明．集合中的“元素”所指的范围非常广泛，现实生活中我们看到的、听到的、闻到的、触摸到的、想到的各种事物或一些抽象的符号等，都可以看作“对象”，即集合中的元素．2．在理解集合概念的同时，必须掌握集合元素的确定性、互异性、无序性．3．集合元素的互异性，是集合的重要属性，实践证明，集合中元素的互异性常常被同学们在解题中忽略，从而导致解题的失误，因此在集合中的元素含有未知数时，求解完后一定要检验．4．表示集合可以用列举法或描述法，它们各有优点，一般有限集用列举法，无限集用描述法.1．下面说法错误的是( )A．所有著名的作家可以组成一个集合B．方程x2＋2x＋1＝0的解集中只有一个元素C．已知a≠b，“a、b构成的集合”与“b、a构成的集合”是同一集合D．如果x与－x是集合中的两个元素，那么x≠0【解析】“著名的作家”没有统一的标准，不确定，因而不能构成集合．【答案】 A2．下列说法正确的是( )A．由1,2,2,4构成集合时，该集合共有4个元素B．由1,2,3和3,2,1分别构成的两个集合不是相等集合C．若x∈Q，则x∈RD．对于任给一个元素a，则无法判断a是否是集合A中的元素【解析】结合集合中元素的互异性可知A不正确；结合集合中元素的确定性知D不正确；结合集合相等的概念可知B不正确；又∵x∈Q，则x是有理数，∴x是实数，即x∈R，故C正确．【答案】 C3．用符号∈或∉填空：(1)－2________N；(2)3.141 59________Q；(3)7________Z.【解析】－2不是自然数；3.141 59是有理数；7是无理数，它不是整数．【答案】(1)∉(2)∈(3)∉4．已知集合A中只有1，x，x2＋3x三个元素，且－2∈A，求实数x的值．【解】∵－2∈A，(1)当x＝－2时，x2＋3x＝－2，不满足集合中元素的互异性．(2)当x2＋3x＝－2时，可解得x＝－1或x＝－2(舍)．综上可知，实数x的值为－1.一、选择题1．下列各组对象能构成集合的有( )①美丽的小鸟；②不超过10的非负整数；③立方接近零的正数；④高一年级视力比较好的同学A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】①③中“美丽”“接近零”的范畴太广，标准不明确，因此不能构成集合；②中不超过10的非负整数有：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10共十一个数，是确定的，故能够构成集合；④中“比较好”，没有明确的界限，不满足元素的确定性，故不能构成集合．【答案】 A2．小于2的自然数集用列举法可以表示为( )A．{0,1,2} B．{1} C．{0,1} D．{1,2}【解析】小于2的自然数为0,1，应选C.【答案】 C3．下列各组集合，表示相等集合的是( )①M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}；②M＝{3,2}，N＝{2,3}；③M＝{(1,2)}，N＝{1,2}．A ．①B ．②C ．③D ．以上都不对【解析】 ①中M 中表示点(3,2)，N 中表示点(2,3)，②中由元素的无序性知是相等集合，③中M 表示一个元素：点(1,2)，N 中表示两个元素分别为1,2.【答案】 B4．集合A 中含有三个元素2,4,6，若a ∈A ，则6－a ∈A ，那么a 为( ) A ．2 B ．2或4 C ．4 D ．0【解析】 若a ＝2，则6－a ＝6－2＝4∈A ，符合要求； 若a ＝4，则6－a ＝6－4＝2∈A ，符合要求； 若a ＝6，则6－a ＝6－6＝0∉A ，不符合要求． ∴a ＝2或a ＝4. 【答案】 B5．(2013·曲靖高一检测)已知集合M 中含有3个元素；0，x 2，－x ，则x 满足的条件是( )A ．x ≠0 B．x ≠－1C ．x ≠0且x ≠－1D ．x ≠0且x ≠1【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2≠0，x 2≠－x ，－x ≠0，解得x ≠0且x ≠－1.【答案】 C 二、填空题6．用符号“∈”或“∉”填空(1)22________R,22________{x |x ＜7}； (2)3________{x |x ＝n 2＋1，n ∈N ＋}； (3)(1,1)________{y |y ＝x 2}； (1,1)________{(x ，y )|y ＝x 2}．【解析】 (1)22∈R ，而22＝8＞7， ∴22∉{x |x ＜7}． (2)∵n 2＋1＝3， ∴n ＝±2∉N ＋，∴3∉{x |x ＝n 2＋1，n ∈N ＋}．(3)(1,1)是一个有序实数对，在坐标平面上表示一个点，而{y |y ＝x 2}表示二次函数函数值构成的集合，故(1,1)∉{y |y ＝x 2}．集合{(x ，y )|y ＝x 2}表示抛物线y ＝x 2上的点构成的集合(点集)，且满足y ＝x 2，∴(1,1)∈{(x ，y )|y ＝x 2}．【答案】 (1)∈ ∉ (2)∉ (3)∉ ∈7．已知集合C ＝{x |63－x ∈Z ，x ∈N *}，用列举法表示C ＝________.【解析】 由题意知3－x ＝±1，±2，±3，±6， ∴x ＝0，－3,1,2,4,5,6,9. 又∵x ∈N *，∴C ＝{1,2,4,5,6,9}． 【答案】 {1,2,4,5,6,9}8．已知集合A ＝{－2,4，x 2－x }，若6∈A ，则x ＝________.【解析】 由于6∈A ，所以x 2－x ＝6，即x 2－x －6＝0，解得x ＝－2或x ＝3. 【答案】 －2或3 三、解答题9．选择适当的方法表示下列集合： (1)绝对值不大于3的整数组成的集合；(2)方程(3x －5)(x ＋2)＝0的实数解组成的集合； (3)一次函数y ＝x ＋6图像上所有点组成的集合．【解】 (1)绝对值不大于3的整数是－3，－2，－1,0,1,2,3，共有7个元素，用列举法表示为{－3，－2，－1,0,1,2,3}；(2)方程(3x －5)(x ＋2)＝0的实数解仅有两个，分别是53，－2，用列举法表示为{53，－2}；(3)一次函数y ＝x ＋6图像上有无数个点，用描述法表示为{(x ，y )|y ＝x ＋6}． 10．已知集合A 中含有a －2,2a 2＋5a,3三个元素，且－3∈A ，求a 的值． 【解】 由－3∈A ，得a －2＝－3或2a 2＋5a ＝－3. (1)若a －2＝－3，则a ＝－1， 当a ＝－1时，2a 2＋5a ＝－3， ∴a ＝－1不符合题意．(2)若2a 2＋5a ＝－3，则a ＝－1或－32.当a ＝－32时，a －2＝－72，符合题意；当a ＝－1时，由(1)知，不符合题意． 综上可知，实数a 的值为－32.11．已知数集A 满足条件：若a ∈A ，则11－a ∈A (a ≠1)，如果a ＝2，试求出A 中的所有元素．【解】 ∵2∈A ，由题意可知，11－2＝－1∈A ；由－1∈A 可知，11－ －1 ＝12∈A ；由12∈A 可知，11－12＝2∈A . 故集合A 中共有3个元素，它们分别是－1，12，2.(教师用书独具)集合A ＝{x |kx 2－8x ＋16＝0}，若集合A 只有一个元素，试求实数k 的值，并用列举法表示集合A .【思路探究】 明确集合A 的含义→对k 加以讨论→求出k 值→写出集合A 【自主解答】 (1)当k ＝0时， 原方程变为－8x ＋16＝0，x ＝2，此时集合A ＝{2}．(2)当k ≠0时，要使一元二次方程kx 2－8x ＋16＝0有两个相等实根． 只需Δ＝64－64k ＝0， 即k ＝1.此时方程的解为x 1＝x 2＝4， 集合A ＝{4}，满足题意．综上所述，实数k 的值为0或1.当k ＝0时，A ＝{2}；当k ＝1时，A ＝{4}．1．本题在求解过程中，常因忽略讨论k 是否为0而漏解．2．本题因kx 2－8x ＋16＝0是否为一元二次方程而分k ＝0和k ≠0而展开讨论，从而做到不重不漏．3．解答与描述法有关的问题时，明确集合中代表元素及其共同特征是解题的切入点．把本例中条件“有一个元素”改为“有两个元素”，求k 的范围． 【解】 由题意可知方程kx 2－8x ＋16＝0有两个实根．∴⎩⎪⎨⎪⎧k ≠0Δ＝64－64k ＞0解得k ＜1且k ≠0.所以k 的范围为{k |k ＜1且k ≠0}．人物介绍为科学而疯的人——康托尔康托尔(Contor ，Georg)(1845～1918)，德国数学家，集合论的创立人，康托尔自幼对数学有浓厚兴趣，23岁获博士学位，以后一直从事数学教学与研究．他所创立的集合论已被公认为全部数学的基础．1874年，康托尔的有关无穷的概念震撼了数学界．康托尔凭借古代与中世纪哲学著作中关于无限的思想而导出了关于数的本质的新思想模式，建立了处理数学中无限的基本技巧，从而极大地推动了分析与逻辑的发展．他发现了惊人的结果：有理数是可列的，而全体实数是不可列的．由于在研究无穷时往往推出一些合乎逻辑的但又很荒谬的结果(称为“悖论”)，许多大数学家唯恐陷进去而采取退避三舍的态度．在1874～1876年期间，30岁的康托尔向神秘的无穷宣战．他靠着辛勤的汗水，成功地证明了一条直线上的点能够和一个平面上的点一一对应，也能和空间中的点一一对应．这样看起来，1厘米长线段内的点与太平洋面上的点，以及整个地球内部的点都“一样多”．后几年，康托尔对这类“无穷集合”问题发表了一系列文章，通过严格证明得出了许多惊人的结论．康托尔的创造性工作与传统的数学观念发生了尖锐冲突，遭到一些人的反对、攻击甚至谩骂．有人说，康托尔的集合论是一种“疾病”，康托尔的概念是“雾中之雾”，甚至说康托尔是“疯子”．来自数学权威们的巨大精神压力终于摧垮了康托尔，使他心力交瘁，患了精神分裂症，被送进精神病医病．他在集合论方面许多非常出色的成果，都是在精神病发作的间歇时期获得的．真金不怕火炼，康托尔的思想终于大放光彩.1897年举行的第一次国际数学家会议上，他的成就得到承认，伟大的哲学家，数学家罗素称赞康托尔的工作“可能是这个时代所能夸耀的最巨大的工作”，可是这时康托尔仍然神志恍惚，不能从人们的崇敬中得到安慰和喜悦．§2集合的基本关系(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．(2)理解子集、真子集的概念．(3)能使用Venn图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用．2．过程与方法让学生通过观察身边的实例，发现集合间的基本关系，体验其现实意义．3．情感、态度与价值观(1)树立数形结合的思想．(2)体会类比对发现新结论的作用．●重点难点重点：集合间的包含与相等关系，子集与真子集的概念．难点：属于关系与包含关系的区别．本节的重点是理解集合间包含与相等的含义，其突破方法是让学生多结合实例，类比实数间的大小关系来学习集合间的包含关系．(教师用书独具)●教学建议教材从学生熟悉的实例出发，通过类比引入集合间的关系，同时，结合相关内容介绍子集、Venn图、真子集、空集等概念．在安排这部分内容时，教材注重体现逻辑思考的方法，如类比等．值得注意的问题：在讲解集合间的关系时，建议重视使用Venn图，这有助于学生体会直观图示对理解抽象概念的作用．随着学习的深入，集合符号越来越多，建议教学时引导学生区分一些容易混淆的关系和符号，例如∈与⊆的区别．●教学流程创设情境提出问题，思考：实数有相等关系，大小关系，类比实数之间的关系，联想集合之间是否具备类似的关系⇒概念形成．分析示例：给出集合的包含关系的相关定义，完成例1及变式训练⇒师生合作得出集合相等的概念. 通过实例的共性探究、理解相等概念，完成例2及互动探究⇒巩固深化，发展思维，加深对集合间关系的理解，完成例3及变式训练⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正给出下列集合：(1)A＝{1,2,3}，B＝{1,2,3,4,5}．(2)设集合A为衡水中学高一·三班全体男生组成的集合，集合B为高一·三班全体学生组成的集合．集合A中的元素与集合B有什么关系？【提示】集合A中的每一个元素都属于集合B.为了直观地表示集合间的关系，常用封闭曲线的内部表示集合，称为Venn图.给定两个集合A＝{0,1}，B＝{x|x2＝x}．1．集合B能否用列举法表示出来？【提示】能．B＝{0,1}．2．集合A中的元素与集合B中的元素，有什么关系？【提示】元素完全一样．对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，同时集合B 中的任何一个元素都是集合A中的元素，这时，我们就说集合A与集合B相等，记作A＝B.【问题导思】对于集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}．1．集合A是集合B的子集吗？【提示】是．2．集合B是集合A的子集吗？【提示】不是．3．集合A与集合B相等吗？【提示】不相等．(1)含义：对于两个集合A与B，如果A⊆B，并且A≠B，我们就说集合A是集合B的真子集，记作A B或B A.(2)当集合A不包含于集合B或集合B不包含集合A时，记作A B或B⊉A.2．性质(1)空集是任何集合的子集，对于任何一个集合A，都有∅⊆A.(2)对于集合A、B、C，若A⊆B，B⊆C，则A⊆C.已知集合M＝{x|x＜2且x∈N}，N＝{x|－2＜x＜2且x∈Z}．(1)试判断集合M、N间的关系．(2)写出集合M的子集、集合N的真子集．【思路探究】把用描述法表示的集合用列举法表示出来，以便于观察集合的关系写出子集与真子集．【自主解答】M＝{x|x＜2且x∈N}＝{0,1}，N＝{x|－2＜x＜2且x∈Z}＝{－1,0,1}．(1)M N.(2)M的子集为：∅，{0}，{1}，{0,1}，N的真子集为：∅，{－1}，{0}，{1}，{－1,0}，{－1,1}，{0,1}．1．写有限集合的所有子集，首先要注意两个特殊的子集：∅和自身；其次按含一个元素的子集，含两个元素的子集…依次写出，以免重复或遗漏．2．若集合A含n个元素，那么它的子集个数为2n；真子集个数为2n－1，非空真子集个数为2n－2.若{1,2,3} A⊆{1,2,3,4,5}，则集合A的个数为( )A．2 B．3 C．4 D．5【解析】集合{1,2,3}是集合A的真子集，同时集合A又是集合{1,2,3,4,5}的子集，所以集合A只能取集合{1,2,3,4}，{1,2,3,5}和{1,2,3,4,5}．若{0，a 2，a ＋b }＝{1，a ，b a}，求a2 013＋b2 013的值．【思路探究】 由0∈{1，a ，b a}先求出b ，再根据集合相等求a . 【自主解答】 因为{0，a 2，a ＋b }＝{1，a ，b a}， 所以0∈{1，a ，b a}．所以b ＝0，此时有{1，a,0}＝{0，a 2，a }．所以a 2＝1，a ＝±1.当a ＝1时，不满足互异性，所以a ＝－1. ∴a 2 013＋b 2 013＝－1.1．计算出a ＝±1后，易忽视集合中元素的互异性致误． 2．解决此类问题的步骤：(1)利用集合相等的条件，建立方程或方程组，求得参数；(2)把所得数值依次代入集合验证，若满足元素的三个特性，则所求是可行的，否则应舍去．若本例改为“{0，a ，b a}＝{1，－a 2，a ＋b }”，则a 2 013＋b2 013的值为多少？【解】 ∵0∈{1，－a 2，a ＋b } ∴－a 2＝0或a ＋b ＝0当－a 2＝0，即a ＝0时，{0，a ，b a}中矛盾．当a ＋b ＝0，即a ＝－b 时，{0，a ，b a}＝{0，a ，－1}， {1，－a 2，a ＋b }＝{1，－a 2,0}，即{0，a ，－1}＝{1，－a 2,0}， ∴a ＝1，b ＝－1. ∴a2 013＋b2 013＝0.设集合A ＝{x |－1≤x ≤6}，B ＝{x |m －1≤x ≤2m ＋1}，已知B ⊆A .求实数m 的取值范围【思路探究】 由B ⊆A 可得集合B ＝∅或B 中的任何一个元素都在集合A 中，可借助数轴解决．【自主解答】 当m －1>2m ＋1，即m <－2时，B ＝∅，符合题意． 当m －1≤2m ＋1，即m ≥－2时，B ≠∅. 由B ⊆A ，借助数轴表示如图所示．则⎩⎪⎨⎪⎧m －1≥－1，2m ＋1≤6，解得0≤m ≤52.综上所述，实数m 的取值范围是{m |m <－2或0≤m ≤52}．1．当已知一个集合是另一个集合的子集时，首先要考虑这个集合是否为空集． 2．已知集合间的关系，求参数范围的步骤： (1)化简所给集合； (2)用数轴表示所给集合；(3)根据集合间的关系，列出关于参数的不等式(组)； (4)求解．设集合A ＝{x |1<x ≤2}，B ＝{x |x <a }，若A B ，则a 的取值范围是( ) A ．{a |a ≥ 2} B ．{a |a <1} C ．{a |a >2}D ．{a |a ≤1}【解析】 在数 轴 上表示 两个集合A 、B ，要使A B ，则a >2.【答案】 C忽略空集的情况而致误(2013·济南高一检测)已知集合A ＝{x |x 2－4x ＋3＝0}，B ＝{x |mx －3＝0}，且B ⊆A ，求实数m 的值．【错解】 据题意知A ＝{1,3}，B ＝{3m}，∵B ⊆A ， ∴3m ＝1或3m＝3.即m ＝3或m ＝1.【错因分析】 忽略B ＝∅时的情况，直接认为m ≠0.【防范措施】 解答集合中有包含关系的题目时，一定要警惕“∅”这一陷阱，往往造成不必要的失分．【正解】 据题意知集合A ＝{1,3}， 当B ＝∅，即m ＝0时，满足B ⊆A .当B ≠∅，即m ≠0时，B ＝{x |mx －3＝0}＝{3m}．∵B ⊆A ， ∴3m ＝1或3m＝3，即m ＝3或m ＝1.综上所述，所求m 的集合为{0,1,3}．1．集合与集合之间的关系有包含关系，相等关系，其中包含关系有：包含于(⊆)、包含(⊇)，真包含于( )、真包含( )等，用这些符号时要注意方向，如A⊆B与B⊇A是相同的，但A⊆B，B⊆A是不同的．2．不能把“A⊆B”、“A B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为当A＝∅时，A⊆B，但A中不含任何元素；又当A＝B时，也有A⊆B，但A中含有B中的所有元素，这两种情况都有A⊆B.3．由于空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，所以在遇到“A⊆B”或“A B且B≠∅”时，一定要讨论A＝∅和A≠∅两种情况，A＝∅的情形易被忽视，应引起足够的重视．1．下列表述正确的有( )①空集没有子集；②任何集合都有至少两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若∅ A，则A≠∅.A．0个B．1个C．2个D．3个【解析】∅⊆∅，故①错；∅只有一个子集，即它本身．所以②错；空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，所以③错；而④正确，故选B.【答案】 B2．(2013·聊城高一检测)若M＝{x|x＞－1}，N＝{x|x＞0}，则( )A．M⊆N B．N⊆M C．M＝N D．M∈N【解析】 结合数轴可知N ⊆M . 【答案】 B3．已知集合A ＝{－1,3，m }，B ＝{3,4}，若B ⊆A ，则实数m ＝________. 【解析】 ∵B ⊆A ， ∴元素3,4必为A 中元素， ∴m ＝4. 【答案】 44．已知集合A ＝{x |a <x <a ＋1}，B ＝{x |2<x <9}．若A ⊆B ，求实数a 的取值集合． 【解】 ∵B ＝{x |2<x <9}，A ＝{x |a <x <a ＋1}，A ⊆B ，如图所示，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2a ＋1≤9，解得2≤a ≤8，∴实数a 的取值集合为{a |2≤a ≤8}.(见学生用书第81页)一、选择题1．下列五个关系式：①0⊆{0}；②0∈{0}；③∅＝{0}；④∅∈{0}；⑤∅ {0}，其中正确的是( ) A ．①③ B ．①⑤ C ．②④ D ．②⑤【解析】 本题考查元素与集合、空集与非空集合的关系，其中0∈{0}，∅ {0}． 【答案】 D2．已知M ＝{－1,0,1}和N ＝{x |x 2＋x ＝0}，其中能表示集合M 、N 关系的Venn 图是( )【解析】 由于N ＝{0，－1}，显然，N M .【答案】 B3．(2013·深圳检测)满足M {1,2,3}的集合M 的个数是( ) A ．8 B ．7 C ．6 D ．5【解析】 ∵M {1,2,3}，∴M 可能为∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}共7个．【答案】 B4．(2013·桂林检测)设A ＝{x |x >1}，B ＝{x |x >a }，且A ⊆B ，则实数a 的取值范围为( ) A ．a <1 B ．a ≤1 C．a >1 D ．a ≥1【解析】 如图，结合数轴可知a ≤1时，有A ⊆B .【答案】 B5．若集合A ＝{1,3，x }，B ＝{x 2,1}，且B A ，则满足条件的实数x 的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【解析】 因为B A ，则x 2＝3或x 2＝x .当x 2＝3时，x ＝±3，此时，A ＝{1,3，±3}，B ＝{3,1}，符合题意．当x 2＝x 时，x ＝0或x ＝1(舍去)，此时，A ＝{0,1,3}，B ＝{0,1}，符合题意，故x ＝0，± 3.【答案】 C 二、填空题6．已知 ∅ {x |x 2＋x ＋a ＝0}，则实数a 的取值范围是________． 【解析】 ∵∅ {x |x 2＋x ＋a ＝0}， ∴方程x 2＋x ＋a ＝0有实根， ∴Δ＝12－4a ≥0，∴a ≤14.故实数a 的取值范围是{a |a ≤14}．【答案】 {a |a ≤14}7．设集合A ＝{1,3，a }，B ＝{1，a 2－a ＋1}，且A ⊇B ，则a 的值为________． 【解析】 因为A ⊇B ，则a 2－a ＋1＝3或a 2－a ＋1＝a ，解得a ＝2或a ＝－1或a ＝1，结合集合元素的互异性，可确定a ＝－1或a ＝2.【答案】 －1或28．设a ，b ∈R ，集合{0，b a，b }＝{1，a ＋b ，a }，则b －a ＝________.【解析】 由于{0，ba ，b }＝{1，a ＋b ，a }，所以a ＋b ＝0，即a ＝－b ，所以b a＝－1，则a ＝－1，b ＝1.因此，b －a ＝2.【答案】 2 三、解答题9．设集合A ＝{1，a ，b }，集合B ＝{a ，a 2，ab }，且A ＝B ，求实数a ，b 的值．【解】 由集合相等的定义得⎩⎪⎨⎪⎧1＝a 2，b ＝ab ，①或⎩⎪⎨⎪⎧1＝ab ，b ＝a 2，②解①得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ∈R ，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0.解②得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1.由集合中元素的互异性，得a ＝－1，b ＝0.10．已知集合A ＝{x |1≤x ≤2}，B ＝{x |1≤x ≤a ，a ≥1}． (1)若A B ，求a 的取值范围； (2)若B ⊆A ，求a 的取值范围． 【解】 (1)若A B ，由图可知，a >2.故实数a 的取值范围为{a |a >2}． (2)若B ⊆A ，由图可知，1≤a ≤2.故实数a 的取值范围为{a |1≤a ≤2}．11．已知非空集合A ＝{x |x 2－ax ＋b ＝0}，B ＝{x |x 2－8x ＋15＝0}，且A ⊆B . (1)写出集合B 所有的子集； (2)求a ＋b 的值． 【解】 (1)∵B ＝{3,5}，∴集合B 的所有子集为∅，{3}，{5}，{3,5}． (2)∵A ≠∅且A ⊆B ，∴A ＝{3}或A ＝{5}或A ＝{3,5}． ①当A ＝{3}时，有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－4b ＝0，a2＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝9.∴a ＋b ＝15.②当A ＝{5}时，有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－4b ＝0，a2＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝10，b ＝25.∴a ＋b ＝35.③当A ＝{3,5}时，有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－4b >0，a ＝8，b ＝15.∴a ＋b ＝23. 综上知a ＋b ＝15或a ＋b ＝23或a ＋b ＝35.(教师用书独具)已知集合A ＝{x |－3≤x ≤4}，B ＝{x |2m －1＜x ＜m ＋1}，且B ⊆A .求实数m 的取值范围． 【思路探究】 借助数轴分析，注意B 是否为空集． 【自主解答】 ∵B ⊆A ， (1)当B ＝∅时，m ＋1≤2m －1， 解得m ≥2.(2)当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧－3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1＜m ＋1，解得－1≤m ＜2，综上得实数m 的取值范围为{m |m ≥－1}．1．解决此类问题通常先化简所给集合，再用数轴表示所给集合，根据端点间的大小关系，列出不等式求解，得到参数的取值范围．2．对集合B 分类讨论是解决此类题目的关键，注意不要忽视对B ＝∅的讨论．若本例把“B ⊆A ”改为“B A ”，其余条件不变，试求实数m 的取值范围． 【解】 (1)当B ＝∅时，2m －1>m ＋1，解得m >2. (2)当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧－3<2m －1，m ＋1<4，2m －1≤m ＋1，解得－1<m ≤2.综上得实数m 的取值范围为{m |m >－1}．§3集合的基本运算3．1 交集与并集(教师用书独具)●三维目标 1．知识与技能(1) 理解两个集合的交集与并集的运算的含义，会利用定义求简单集合的交集与并集． (2)能够用集合语言和图形语言(Venn 图和数轴)表示交集和并集． (3)让学生体会到图形(数形结合思想)对理解抽象概念的作用．(4)会利用数轴求无限集的交集、并集的运算，体会数形结合在解决问题中的作用． 2．过程与方法(1) 经历通过实例导入分析，然后再进行抽象概括得出结论的过程，让学生学会分析问题、解决问题的方法 .(2) 给学生渗透数形结合的数学思想． 3．情感、态度与价值观。
2020_2021学年高中数学第1章集合章末综合提升学案北师大版必修1
第1章集合[巩固层·知识整合][提升层·题型探究]学好集合的关键是把握“五个三”集合中的元素具有确定性、互异性和无序性．判断所给对象能否构成集合时，特别要注意它的“确定性”，在表示一个集合时，要特别注意它的“互异性”“无序性”．【例1】下列说法：①地球周围的行星能构成一个集合；②实数中不是有理数的所有数能构成一个集合；③{1,2,3}与{1,3,2}是不同的集合．其中正确的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3B[①是错误的，因为“周围”是个模糊的概念，随便找一颗行星无法判断其是否在地球的周围，因此它不满足集合元素的确定性．②是正确的，虽然满足条件的数有无数多个，但任给一个元素都能判断出其是否属于这个集合．③是错误的，因为集合中的元素具有无序性．]2.集合的三种表示方法集合的常用表示法有列举法、描述法和Venn图法．这三种表示方法各有特点，应结合具体问题适当选用．特别要注意的是，在用描述法表示集合时，一定要弄清代表元素是什么．【例2】 设集合A ＝{x |y ＝x 2}，B ＝{y |y ＝x 2}，C ＝{(x ，y )|y ＝x 2}，则下列关系中不正确的一个是( )A ．A ∩C ＝B ．B ∩C ＝C ．BAD ．A ∪B ＝CD [集合A 是数集，是二次函数y ＝x 2的自变量x 组成的集合，即A ＝R ；集合B 也是数集，是二次函数y ＝x 2的因变量y 组成的集合，即B ＝{y |y ≥0}；而集合C 是点集，是二次函数y ＝x 2图像上所有点组成的集合，所以A ∪B ＝R ≠C .]3．集合的三类按照集合中元素个数的多少，集合可分为有限集、无限集和空集三类．其中，空集是一个特殊的集合，它不含有任何元素，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在解决集合之间关系的问题时，它往往易被忽视而导致解题出现失误．【例3】 已知集合A ＝{x |－1≤x ≤3}，集合B ＝{x |m ＋1≤x ≤3m －2}，若A ∩B ＝B ，求实数m 的取值范围．[解] ∵A ∩B ＝B ， ∴BA .当B ＝时，m ＋1>3m －2，即m <32，此时满足BA ；当B ≠时，要使B A ，需满足⎩⎪⎨⎪⎧－1≤m ＋1，m ＋1≤3m －2，3m －2≤3，解得32≤m ≤53.综上可得，若A ∩B ＝B ，则实数m 的取值范围是m ≤53.4.集合与集合的三种关系在一般情况下，集合与集合的关系有两种，即包含与不包含，但包含又可分为真包含和相等，所以集合与集合之间可看作有三种关系．在判断集合与集合的关系时，要重视使用Venn 图，体会直观图对理解抽象概念的作用．【例4】 集合X ＝{x |x ＝2n ＋1，n ∈Z }，Y ＝{y |y ＝4k ±1，k ∈Z }，证明：X ＝Y . [思路探究] 要证明X ＝Y ，应证明XY ，且Y X .[解] ①设x 0∈X ，则x 0＝2n 0＋1，且n 0∈Z . 若n 0是偶数，可设n 0＝2m ，m ∈Z ， 则x 0＝4m ＋1，∴x 0∈Y ；若n0是奇数，可设n0＝2m－1，m∈Z，则x0＝2(2m－1)＋1＝4m－1，∴x0∈Y.∴不论n0是奇数还是偶数，都有x0∈Y.∴X Y.②设y0∈Y，则y0＝4k0＋1或y0＝4k0－1，k0∈Z.∵y0＝4k0＋1＝2×(2k0)＋1，或y0＝4k0－1＝2×(2k0－1)＋1，k0∈Z，又∵2k0∈Z,2k0－1∈Z，∴y0∈X，∴Y X.综上所述，X＝Y.5.集合的三种运算集合有交、并、补三种运算，设全集为U，已知集合A，B，则A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}，A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}，U A＝{x|x∈U，且x A}．解决具体集合的运算问题，关键在于把握集合的“元素构成”——集合由哪些元素组成；涉及与不等式有关的集合运算问题，应注意利用数轴来求解，特别要注意端点的取值；解决抽象集合的运算问题，应注意运用Venn图把它形象化、直观化．【例5】已知全集U＝{x|－4≤x≤4，x∈Z}，A＝{－1，a2＋1，a2－3}，B＝{a－3，a －1，a＋1}，且A∩B＝{－2}，求U(A∪B)．[思路探究]要求U(A∪B)，应先求出A∪B，这样问题就转化为求参数a的值．观察集合A、B中元素的特点，若A∩B＝{－2}，则只能a2－3＝－2成立．[解]∵A∩B＝{－2}，∴－2∈A.又∵a2＋1>0，∴a2－3＝－2，解得a＝±1.当a＝1时，A＝{－1,2，－2}，B＝{－2,0,2}，则A∩B＝{－2,2}与A∩B＝{－2}矛盾．∴a≠1.当a＝－1时，A＝{－1,2，－2}，B＝{－4，－2,0}，则A∩B＝{－2}符合题意．此时A∪B＝{－4，－2，－1,0,2}．又∵U＝{－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4}，∴U(A∪B)＝{－3,1,3,4}．集合中蕴涵的数学思想方法梁．在日常学习中，要注意数学思想方法在解题中的运用，要增强运用数学思想方法解决问题的意识，这样能在求解过程中迅速找到解题思路或简化解题过程．1.数形结合思想数形结合思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合．通过对图形的认识，数形结合的转化，可以培养思维的灵活性、形象性，使问题化难为易，化抽象为具体．通过“形”往往可以解决用“数”很难解决的问题．集合中常用的方法是数轴法和Venn 图法．【例6】 已知集合A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |x －m <2}． (1)若A ∩B ＝，求实数m 的取值范围；(2)若AB ，求实数m 的取值范围．[解] 由题意得A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |x <m ＋2}． (1)在数轴上画出集合A 和B ，若A ∩B ＝，则实数m ＋2落在－1的左边或与－1重合，∴m ＋2≤－1，即m ≤－3.(2)在数轴上画出集合A 和B ，若A B ，则实数m ＋2落在3的右边或与3重合，∴m ＋2≥3，即m ≥1.2.分类讨论思想分类讨论思想是数学思想中比较重要的一种思想，利用分类讨论思想解决分类讨论问题，已成为高考考查学生知识和能力的热点问题．首先，分类讨论问题一般都覆盖较多知识点，有利于对知识面的考查；其次，解分类讨论问题需要有一定的分析能力，一定的分类思想和技巧，有利于对能力的考查，运用分类讨论思想解决问题的关键是分类标准要明确，做到“不重不漏”．【例7】 已知集合A ＝{x |ax 2－3x ＋2＝0，a ∈R }，若集合A 中至多有一个元素，则实数a 的值是( )A ．a ＝0B ．a ≥98C ．a ＝0或a ≥98D ．不能确定[思路探究] 本题的实质是根据方程ax 2－3x ＋2＝0的实数根情况，确定实数a 的取值． C [由题意知可以分为有一个实根和没有实根和两个相等的实根三种情况讨论． (1)当a ＝0时，原方程可化为－3x ＋2＝0，解得x ＝23，符合题意；(2)当a ≠0时，由一元二次方程ax 2－3x ＋2＝0有两个相等实根或没有实根可得Δ＝9－8a ≤0，即a ≥98.综上可知，a ＝0或a ≥98.]3．转化与化归思想在解决一些集合问题时，当一种集合的表达形式不好入手时，常将其转化为另一种形式，使问题明朗化，如“A 是B 的子集”“A ∩B ＝A ”“A ∪B ＝B ”“AB ”等都是同一含义．另外，集合中数学语言的常见形式主要有三种，即文字语言、符号语言、图形语言，它们可以相互转化，通过合理的转化，往往能简捷迅速地得到解题思路．【例8】 若不等式0≤x ＋1≤2成立时，则关于x 的不等式x －a －1>0也成立．求实数a 的取值范围．[思路探究] 若从不等式的角度，难以解释“也成立”的含义，而用集合的语言，则问题就变得清晰起来．[解] 设集合A ＝{x |0≤x ＋1≤2}＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |x －a －1>0}＝{x |x >a ＋1}， 由题意有AB .由图可知a ＋1<－1，即a <－2.故所求实数a 的取值范围是a <－2. 4．补集思想对于比较复杂，难于从正面入手的数学问题，在解题时，调整思路，从问题的反面入手，探求已知和未知的关系，这时能化难为易，从而将问题解决，这就是补集思想．补集思想具有转换研究对象的功能，是转化思想的又一体现．集合中的补集运算常与方程、不等式等联系起来，特别是否定性的条件，如a A ，可转化为a ∈R A ，有时求解将会十分方便，省去一些复杂的讨论．【例9】 已知集合A ＝{x |x 2＋2ax －a <0}，且－1A ，求实数a 的取值范围． [思路探究] 由集合A 与R A 的互补关系可知，若－1A ，则－1∈R A ，即－1满足集合RA 中的不等式x 2＋2ax －a ≥0，由此可得到关于实数a 的不等式．[解] ∵A ＝{x |x 2＋2ax －a <0}， ∴R A ＝{x |x 2＋2ax －a ≥0}． 又∵－1A ，∴－1∈R A ，即－1∈{x |x 2＋2ax －a ≥0}． 将x ＝－1代入x 2＋2ax －a ≥0， 得1－2a －a ≥0，即a ≤13.∴实数a 的取值范围是a ≤13.。
高中数学 集合复习教学案 北师大版必修1 学案
年级高一
学科数学
课题
第一章复习
授课时间
撰写人
学习重点
集合的相关运算
学习难点
集合知识的综合运用。
学 习 目 标
（1）掌握集合、交集、并集、补集的概念及有关性质；
（2）掌握集合的有关术语和符号；
（3）运用性质解决一些简单的问题。
教 学 过 程
一 自 主 学 习
1什么叫交集、并集、补集？符号语言如何表示？图形语言？
A．A BB．A B
C．A=BD．A B
3.设全集 ，集合 ，集合 ，则（ ）.
A． B．
C． D．
4.满足条件{1,2,3} M {1,2,3,4,5,6}的集合M的个数是.
5.设集合 ， ，则 .
6. 设 ， ，且A∩B＝{2}，求A∪B.
7. 已知A={x|x<-2或x>3}，B={x|4x+m<0}，当A B时，某某数m的取值X围。
8.设A＝｛x｜x2－ax＋a2－19＝0｝，B＝｛x｜x2－5x＋6＝0｝，C＝｛x｜x2＋2x－8＝0｝．
（1）若A＝B，求a的值；
（2）若 A∩B，A∩C＝ ，求a的值．
四 课 后 反 思
五 课 后 巩 固 练 习
1.设全集 ，集合
， ，且 ，某某数p、q的值.
2.已知集合A={x|2x2+ax+2=0},B={x|x2+3x+2a=0}.若A∩B={2}.
(1)某某数a的值及集合A,B；
（2）设全集 ，求 ;
（3）写出 的所有子集
例2已知全集 ，若 ， ， ，求集合A、B.
例3 若 ， ，某某数a、m的值或取值X围．
2019_2020学年高中数学第1章集合1集合的含义与表示学案北师大版必修1
§1集合的含义与表示1．集合与元素的概念阅读教材P3“一般地”自然段及以上内容，完成下列问题．(1)集合：一般地，指定的某些对象的全体称为集合．集合常用大写字母A，B，C，D，…标记．(2)元素：集合中的每个对象叫作这个集合的元素．常用小写字母a，b，c，d，…表示集合中的元素．思考1：(1)某班所有的“大个子”能否构成一个集合？(2)某班身高高于170 cm的所有学生能否构成一个集合？[提示](1)不能构成一个集合，因为“大个子”无明确的标准．(2)能构成一个集合，因为标准确定．2．元素与集合的关系阅读教材P3～P4从“给定一个集合A”开始至“π∈R等”之间的内容，完成下列问题．(1)元素与集合的关系3.阅读教材P 4“集合的常用表示法”至P 5“一般地”以上内容，回答下列问题． (1)集合的表示法 ①列举法把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内的方法．符号表示为{，…，}． ②描述法用确定的条件表示某些对象属于一个集合，并写在大括号内的方法叫作描述法． 描述法的格式(2)元素的特性元素的三个特性是指确定性，互异性，无序性．思考2：(1)构成单词“bee”的所有字母组成的集合有多少个元素？(2)你会区分数集与点集吗？如集合A ＝{x |0<x <1}，B ＝{(x ，y )|y ＝2x －1}，哪个是数集？哪个是点集？[提示] (1)2个．(2)若一个集合中所有元素均是数，则这个集合称为数集．同样，若一个集合中所有元素均是点，这个集合称为点集，集合A 的代表元素是x ，x 是大于0且小于1的实数，故A 是数集；集合B 的代表元素是有序实数对(x ，y )，(x ，y )是一次函数y ＝2x －1图像上的点，故B 是点集．因此，形如{x |x 满足的条件，x ∈R }的集合是数集；形如{(x ，y )|x ，y 满足的条件，x ，y ∈R }的集合是点集．4．集合的分类阅读教材P 5从“一般地”到“练习”上方的内容，完成下列问题．集合⎩⎨⎧非空集合⎩⎪⎨⎪⎧有限集：含有有限个元素的集合.无限集：含有无限个元素的集合.空集：不含有任何元素的集合，用∅表示.[基础自测]1．若a 是R 中的元素，但不是Q 中的元素，则a 可以是( ) A ．3.14 B ．－5 C.37 D ．7[答案] D2．给出以下三个关系：①∅＝{0}；②0∈{(0,0)}；③0∈{0}．其中表述正确的是( ) A ．①③B ．②③C．③ D．①②③[答案]C3．集合{x∈N*|x2－1＝0}用列举法可表示为________．{1}[由x2－1＝0，得x＝±1.又x∈N*，则x＝1.故集合{x∈N*|x2－1＝0}用列举法可表示为{1}．]4．若1∈{x，x2}，则x＝________.－1[由1∈{x，x2}，得x＝1，或x2＝1，即x＝±1.当x＝1时，集合{x，x2}中的元素不具有互异性，故舍去．所以x＝－1.]【例1】(1)我们班的所有“帅男”；(2)不超过20的非负数；(3)直角坐标平面内第一象限的一些点；(4)3的近似值的全体．[解](1)“帅男”没有明确的标准，因此不能构成集合；(2)任给一个实数x，可以明确地判断是否为“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x>20或x<0”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合；(3)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；(4)“3的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以“3的近似值”不能构成集合．判断给定的对象能不能构成集合，关键在于是否给出一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能按此标准确定它是不是给定集合的元素1．下列各组对象可以组成集合的是( )A．数学必修1课本中所有的难题B．小于8的所有素数C．直角坐标平面内坐标轴上的一些点D．所有小的正数B[A中的“难题”，C中的“一些点”，D中的“小的正数”都没有明确的标准，因此，都不能组成集合，而B中小于8的素数是明确的，故选B.]【例2】(1)所有正奇数组成的集合；(2)方程x2－2＝0的解集；(3)在自然数集中，小于100的偶数组成的集合；(4)在平面直角坐标系内，所有第二象限的点组成的集合．[解](1){x|x＝2n＋1，n∈N}；(2){－2，2}；(3){x|x＝2n，n<50，且n∈N}；(4){(x，y)|x<0，且y>0}．1．用列举法表示集合的适用条件：(1)集合中的元素较少，能够一一列举出来时，适合用列举法；(2)集合中的元素较多，但呈现一定的规律性时，可通过列举部分元素作为代表，其他元素用省略号表示．2．用描述法表示集合应注意：(1)弄清元素的形式，比如是数，还是点；(2)元素具有怎样的属性．2．用适当的方法表示下列集合：(1)小于20的所有质数组成的集合；(2)大于－3且小于1的所有有理数组成的集合；(3)方程(x－1)(x2－1)＝0的解集；(4)二次函数y＝x2－9图像上的所有点组成的集合．[解](1){2,3,5,7,11,13,17,19}；(2){x∈Q|－3<x<1}；(3){－1,1}；(4){(x，y)|y＝x2－9}．[探究问题1．－3∈{x|x＝2n－1，n∈Z}吗？提示：由2n－1＝－3，得n＝－1，故－3∈{x|x＝2n－1，n∈Z}．2．当3∈{x|2x－1>a}时，求a的取值范围；当3∉{x|2x－1>a}时，a的取值范围又是什么呢？提示：当3∈{x|2x－1>a}时，a<2×3－1，所以a<5；当3∉{x|2x－1>a}时，a≥2×3－1，所以a≥5.已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a的值为________．[思路探究]从元素与集合的关系入手，求出a的值后，要注意验证集合的元素是否满足互异性．－1[若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1.当a＝1时，集合A有重复元素，所以a≠1；当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1，符合元素的互异性，所以a＝－1.]1．(变条件)若去掉本例中的条件“1∈A”，则实数a的取值范围是什么？[解]因为集合A中含有两个元素a和a2，所以a≠a2，即a≠0且a≠1.2．(变条件)若将本例中的“1∈A”改为“2∈A”，则a为何值？[解]因为2∈A，所以a＝2或a2＝2，即a＝2或a＝± 2.3．(变条件)若由a和a2构成的集合只有一个元素，则a为何值？[解]因为由a和a2构成的集合只有一个元素，所以a＝a2，即a＝0或a＝1.由集合中元素的特性求解字母取值(范围)的步骤1．研究对象能否构成集合，就是要看是否有一个确定的标准，能确定一个个体是否属于这个总体，如果有，能构成集合，如果没有，就不能构成集合．这是判断能否构成集合的依据．2．集合中元素的三个特性(1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，即按照明确的判断标准判断给定的元素，或者在这个集合里，或者不在这个集合里，二者必居其一．(2)互异性：对于给定的一个集合，它的任何两个元素都是不同的．若A是一个集合，a，b是集合A的任意两个元素，则一定有a≠b.(3)无序性：集合中的元素是没有顺序的，集合与其中元素的排列次序无关．如由元素a，b，c与由元素b，a，c组成的集合是相等的集合．这个性质通常用来判断两个集合的关系．1．思考辨析(1)著名的数学家能构成一个集合．( )(2)－1∈N.( )(3){x∈R|2x－3>0}是不等式2x－3>0的解集，它是一个无限集．( )[解析](1)×，因为“著名”无明确标准．(2)×，因为－1不是自然数．(3)√.[答案](1)×(2)×(3)√2．下列所给关系正确的个数是( )①π∈R；②3∉Q；③0∈N*；④|－4|∉N*.A．1 B．2 C．3 D．4B[只有①②正确，故选B.]3．若4∈{3，x＋1}，则实数x＝________.3[由4∈{3，x＋1}，得x＋1＝4，解得x＝3.]4．用适当的方法表示下列集合：(1)方程x(x2＋2x＋1)＝0的解集；(2)在自然数集中，小于1 000的奇数构成的集合．[解](1)因为方程x(x2＋2x＋1)＝0的解为0和－1，所以解集为{0，－1}．(2)在自然数集中，奇数可表示为x＝2n＋1，n∈N，故在自然数集中，小于1000的奇数构成的集合为{x|x＝2n＋1，且n<500，n∈N}．。
2020学年高中数学第1章集合章末复习课学案北师大版必修1(2021-2022学年)
第1章集合【例1】已知集合(）A．8 B．16 C.32 ﻩD．64[思路探究]先确定集合B中元素个数,再利用子集个数的计算公式求解．C[由上表知,B＝{-２,－１,0,1,２},1．用列举法表示集合,其默认的条件是集合中的元素各不相同,也就是说集合中的元素一定要满足互异性.２.判断集合中元素个数时,要注意相同的对象归入同一个集合时只能算作一个．３．若集合中的元素含有参数,要抓住集合中元素的互异性,采用分类讨论的方法进行研究．1.若集合A=｛x∈R|ax2＋ax＋1＝0｝中只有一个元素,则a＝( ）A.４ B．２ C.0 ﻩD．0或4Ａ [当ａ＝0时,A=∅，不合题意;当a≠0时，Δ=a2－4ａ＝0,解得a＝4。
]2．若2∈{２a-1，1-ａ2},则a=________。
错误!未定义书签。
[∵１-a２≤1,∴２a－1=2,解得a=＼ｆ(3，2).]【例2】已知集合⊆Ａ,求实数p的取值范围．[解]（1）当B＝∅时，Ｂ⊆A,由Δ=（-１)2－4ｐ〈0，解得p〉错误!。
(2)当B≠∅，且B⊆A时,方程ｘ2－x＋p=0存在两个正实根.由x1+ｘ2＝1>0,Δ=(－1）２－４p≥0,且x1ｘ2＝p＞0,得0<p≤错误!未定义书签。
由（1)(2)可得p的取值范围为｛p|p〉0｝.1．判断两集合关系的两种常用方法一是化集合，从表达式中寻找两集合间的关系;二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系.2.处理集合间关系问题的关键点已知两集合间的关系求参数时,关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系,进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常需要合理利用数轴、Vｅｎｎ图帮助分析.3.已知集合A={x∈Ｒ｜－2<x〈4｝,Ｂ＝{x|ｘ+3〉0},则A与B之间的关系为( )A.AＢB.A BＣ．Ａ＝ＢﻩD．A BA［B＝{x｜ｘ>-３｝,把集合A,B在数轴上表示出来由上图知,ＡB.］４.已知{ｘ|x2－５x＋6=0}⊆｛ａ，２，2a-1｝,求实数a的值．［解］由{x｜ｘ２-5x+６=0}＝{2,3}，得3∈{a，2,２a-1}，∴a=3,或２ａ－1＝３,解得a＝2或3。
高中数学必修一北师大版学案第一章 集合复习(二)(学生版)
课题：集合复习(二)☆学生版☆
学习目标: 、理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集
、理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；
并会用它们正确表示一些简单的集合.
、能使用图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.
学习重点：集合的交、并、补的运算.
学习难点：交、并、补的运算.
学法指导：根据“自主学习”中的问题，阅读教材内容，进行知识梳理，熟记基础知识。
将预习中不能解决的问题标出来，并填写到后面的“我的疑惑”处。
一、自主学习
一、复习集合运算的有关概念
（）交集:
（）并集:
（）补集:
二、复习集合运算的性质
（）∩∩φφ∩∩∩∩
（）∪∪φ∪∪∪∪
（）集合的并、交、补的关系
（）若∩,则,反之,亦然.
（）若∪,则．反之,亦然.
二、我的疑惑（请你将预习中未能解决的问题和有疑惑的问题写下来，在课堂上与老师和同学们探究解决。
）
四、课堂检测
、下列表述中错误的是（）
若若
、已知集合，集合{，}，则等于（）（）{} （）{，}
（）{，} （）{，，，}
3、若{},,,,求、的值.
、已知集合等于（）．{} ．{，}．{，} ．{，}
五、课堂小结
课题：集合复习(二)☆课时作业☆
六、作业检测（要求：写出必要的解答过程）
．已知集合表示的定义域的取值范围，表示的定义域的取值范围. 求.
2．设全集
，
求集合.。
高中数学 第一章 集合章末复习课学案 北师大版必修1
第一章集合章末复习课网络构建核心归纳知识点一集合的含义与表示(1)某些指定的对象集在一起就成为一个集合，简称集．其中每个对象叫作元素．集合中的元素具有确定性、互异性和无序性．(2)集合常用的表示方法有：列举法、描述法、图示法它们各有优点，要根据具体需要选择恰当的方法．知识点二元素与集合、集合与集合之间的关系元素与集合之间的关系是属于、不属于的关系，根据集合中元素的确定性，对于任意一个元素a要么是给定集合A中的元素(a∈A)，要么不是(a∉A)，不能模棱两可．对于两个集合A，B，可分成两类A⊆B，A B，其中A⊆B又可分为A B与A＝B两种情况．在解题时要注意空集的特殊性及特殊作用，空集是一个特殊集合，它不含任何元素，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．在解决集合之间的关系时，要注意不要丢掉空集这一情形．知识点三集合与集合之间的运算并、交、补是集合间的基本运算，Venn图与数轴是集合运算的重要工具．注意集合之间的运算与集合之间关系的转化，如A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B．要点一集合间的关系集合与集合之间的关系是包含和相等的关系，判断两集合之间的关系，可从元素特征入手，并注意代表元素．【例1】(1)已知A＝{x|－3<x<5}，B＝{x|x<a}，若满足A⊆B，则实数a的取值范围是________．(2)已知集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，集合B＝{y|ay＋1＝0}，若满足B⊆A，则实数a所能取的一切值为________．(3)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，集合B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为________．解析 (1)如下图，先在数轴上表示出A ，要满足A ⊆B ，依图形覆盖关系易知a ≥5．(2)A ＝{2，－3}．故分B ＝∅，B ＝{2}，B ＝{－3}三种情况来讨论，求得a 值为0，－12，13． (3)①B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≥m ＋1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，解得2≤m ≤3．②B ＝∅时，m ＋1>2m －1，解得m <2． 综合①②，可知m ≤3．答案 (1){a |a ≥5} (2)0，－12，13(3){m |m ≤3}【训练1】 已知全集U ＝{1,3，x 3＋3x 2＋2x }和它的子集A ＝{1，|2x －1|}．如果∁U A ＝{0}，求实数x 的值．解 ∵U ＝{1,3，x 3＋3x 2＋2x }，∁U A ＝{0}， ∴0∈U ，即x 3＋3x 2＋2x ＝0， 解得x ＝0或x ＝－1或x ＝－2，当x ＝0时，A ＝{1,1}与集合中元素互异性矛盾，舍去． 当x ＝－2时，A ＝{1,5}U 不符合题意，舍去．当x ＝－1时，A ＝{1,3}⊆U 符合题意． 因此，实数x 的值为－1． 要点二 集合的运算集合的运算是指集合间的交、并、补这三种常见的运算，在运算过程中往往由于运算能力差或考虑不全面而出现错误，不等式解集之间的包含关系通常用数轴法，而用列举法表示的集合运算常用Venn 图法，运算时特别注意对∅的讨论，不要遗漏．【例2】 已知集合A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{x |a ≤x ≤a ＋3}． (1)若(∁R A )∪B ＝R ，求实数a 的取值范围； (2)是否存在a ，使(∁R A )∪B ＝R 且A ∩B ＝∅？ 解 (1)A ＝{x |0≤x ≤2}，∴∁R A ＝{x |x <0，或x >2}．∵(∁R A )∪B ＝R .∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0，a ＋3≥2，∴－1≤a ≤0．(2)由(1)知(∁R A )∪B ＝R 时， －1≤a ≤0，而a ＋3∈[2,3]，∴A ⊆B ，这与A ∩B ＝∅矛盾．即这样的a 不存在．【训练2】 (1)已知集合U ＝{2,3,6,8}，A ＝{2,3}，B ＝{2,6,8}，则(∁U A )∩B ＝________． (2)已知集合A ＝{x ∈R ||x |≤2}，B ＝{x ∈R |x ≤1}，则A ∩B 等于( ) A ．{x |x ≤2} B ．{x |1≤x ≤2} C ．{x |－2≤x ≤2}D ．{x |－2≤x ≤1}解析 (1)∵U ＝{2,3,6,8}，A ＝{2,3}，∴∁U A ＝{6,8}． ∴(∁U A )∩B ＝{6,8}∩{2,6,8}＝{6,8}． (2)A ＝{x ∈R ||x |≤2}＝{x ∈R |－2≤x ≤2}，∴A ∩B ＝{x ∈R |－2≤x ≤2}∩{x ∈R |x ≤1}＝{x ∈R |－2≤x ≤1}． 答案 (1){6,8} (2)D要点三 定义新运算与集合运算的综合应用新定义型试题背景新颖、构思巧妙，主要通过定义一个新概念，或约定一种新运算，或给定一个新模型来创设新的问题情境，要求学生在阅读理解的基础上，依据题中提供的信息，联系所学的知识和方法，对信息进行转化，从而解决问题．这类问题的解题策略如下：(1)对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号．(2)细细品味新定义的概念、法则，对所提取的信息进行加工，探求解决方法，有时可以寻找相近知识点，明确它们的共同点和不同点．(3)对新定义中提取的知识整理转换．若是新定义的运算，直接按照运算法则计算即可；若是新定义的性质，一般要判断性质的适用性，考虑能否利用定义外延，也可以用特殊值法排除选项(选择题型)．【例3】 设M 和P 是两个非空集合，规定M －P ＝{x |x ∈M ，且x ∉P }，根据这一规定，M －(M －P )等于( )A ．MB ．PC ．M ∪PD ．M ∩P解析 由M －P ＝{x |x ∈M ，且x ∉P }⇔M －P ＝M ∩(∁U P )(U 为全集)，则M －(M －P )＝M －[M ∩(∁U P )]＝M ∩{∁U [M ∩(∁U P )]}＝M ∩[(∁U M )∪∁U (∁U P )]＝M ∩[(∁U M )∪P ]＝[M ∩(∁U M )]∪(M ∩P )＝∅∪(M ∩P )＝M ∩P .故选D答案 D【训练3】 若集合A 1，A 2满足A 1∪A 2＝A ，则称(A 1，A 2)为集合A 的一种分拆，并规定：当且仅当A1＝A2时，(A1，A2)与(A2，A1)为集合A的同一种分拆，则集合A＝{a1，a2，a3}的不同分拆种数是( )A．27种B．26种C．9种D．8种解析本题定义了一种新概念：集合的一种分拆．实际上还是集合的并集的应用，我们只需把每一种分拆的可能都考虑到，找出规律即可求得集合A的分拆种数．当A1为空集时，A2只有一种可能A2＝A，此时共有1种分拆；当A1含有一个元素时，A2可能含有两个元素或三个元素，此时共有6种分拆；当A1含有两个元素时，A2可能含有一个元素、两个元素或三个元素，此时共有12种分拆；当A1含有三个元素时，A2可能是空集，也可能含有一个元素、两个元素或三个元素，此时共有8种分拆．故集合A的不同分拆种数为27种．故选A．答案 A方向1 分类讨论思想在解决含有字母参数的问题时，常用到分类讨论思想．分类讨论时要弄清对哪个字母进行分类讨论，分类的标准是什么，分类时要做到不重不漏．本章中涉及到分类讨论的知识点为：集合元素互异性、集合运算中出现A⊆B，A∩B＝A，A∪B＝B等符号语言时对∅的讨论等．【例4－1】已知集合A＝{x|x2－mx＋1＝0}，B＝{x|x2－3x＋2＝0}，若A∩(∁U B)＝∅，求实数m的取值范围．解由A∩(∁U B)＝∅，得A⊆B，而B＝{1,2}，①当Δ＝m2－4<0时，A＝∅⊆B，此时－2<m<2；②当Δ＝m2－4＝0时，m＝±2，当m＝2时，A＝{1}⊆B，当m＝－2时，A＝{－1}B；③当Δ＝m2－4>0时，A有两个元素，若A⊆B，则A＝{1,2}，此时不存在相应的m．综上所述，m的取值范围为{m|－2<m≤2}．方向2 数形结合思想集合问题大都比较抽象，解题时要尽可能借助Venn图、数轴等工具利用数形结合思想将抽象问题直观化、形象化、明朗化，从而使问题获解．【例4－2】已知集合A＝{x|x<－1，或x≥1}，B＝{x|2a<x<a＋1，a<1}，B⊆A，求实数a的取值范围．解∵a<1，∴2a<a＋1，B≠∅．画出数轴分析，如图所示．由图知，要使B ⊆A ，需2a ≥1或a ＋1≤－1， 即a ≥12或a ≤－2，又∵a <1，∴实数a 的取值范围是{a |a ≤－2或12≤a <1}．【例4－3】 某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．解析 根据题意画出Venn 图，如图，设只喜欢篮球的人数为x ，则既喜欢篮球又喜欢乒乓球的人数为15－x ，只喜欢乒乓球人数为10－(15－x )．根据题意知喜欢篮球与乒乓球人数为30－8，则x ＋(15－x )＋[10－(15－x )]＝30－8，解得x ＝12，故只喜欢篮球的人数为12．答案 12。
北师版数学高一-高一数学必修一 第一章集合 小结与复习新学案
【必修1 】第 一 章 集 合小结与复习学时：1学时[学习引导]一、自主学习1.阅读P17—182. 按照学习要求，做出本章知识框图，发现知识间的内在联系.二、方法指导：本节课是一堂复习课，.同学们要认真梳理本章节的基本知识、技能、方法，，总结数学活动中获取的解题经验，领悟集合是一种数学语言，体会集合中蕴含的分类思想和数形结合思想。
[思考引导]一、提问题1．你认为本章节的重点是什么? 难点是什么？2．集合中的元素与代表字母的选取有关吗?3、集合中“属于”与“包含”的区别和联系是什么？4、集合的表示方法有哪些？特点是什么？5、用形的方法表示集合有几种？特点是什么？6．通过本章节的学习你感受了哪些数学思想？二、变题目1．下列选项中，M 与P 表示同一集合的是（） A.{(1,3)},{(3,1)}M P =-=- B.,{0}M P =∅= C.22{1,},{(,)1,}M y y x x R P x y y x x R ==+∈==+∈D.()22{1,},{11,}M y y x x R P t t y y R ==+∈==-+∈2．已知{}22,M x x a π=≥=，有下列四个式子：①a M ∈；②{}a M ；③a M ⊆；④{}a M π=，其中正确的是（ ）A.①②B.①④C.②③D.①②④3．集合U 、M 、N 、P ，如图所示，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）A.()U MC N P B.()U M C N P C.()U M C N P D.()U M C N P【总结引导】一、集合的含义及表示：注意集合元素的三要素及空集的含义二|、集合的基本关系：注意元素与子集，属于与包含之间的区别要搞清楚。
三、集合的基本运算：准确理解交、并、补的运算，并能用Venn 图或数轴来分析和解决相关问题。
[拓展引导]1．已知{}{}1,0,10,1A -=，且{}{}2,0,22,0,1,2A -=-，则满足条件的集合A 共有个.2．用适当的集合语言表示下列集合①直角坐标系中横坐标为1的点的集合；②满足不等式11326x <+<的奇数组成的集合.3．若2{11},{1,},A x x B y y x x ZA =-≤<==+∈ 求：,,,.R A D A D CB D B C4完成复习题一．撰稿：程晓杰 审稿：宋庆参考答案[思考引导]一、提问题2．没有3、“属于”是指元素与集合之间的关系；“包含”是指集合与集合之间的关系4、列举法、描述法、图示法；列举法能清楚的看到集合中的每一个元素，描述法则体现了集合中元素的特征，图示法可以直观的看出几个集合之间的关系6．等价转化、数形结合、分类与整合二、变题目1．D ；2．D ；2{(,)1,},{13}C x y y x x BD y y ==+∈=-≤≤3．A ；[拓展引导]1．4；2．① {}(,)1,x y x y R =∈ ② {}1,3,5,7 3．{11}A D x x =-≤<{13}A D x x =-≤≤{11}R C B D x x =-≤≤≤或1<x<2或2<x 3 {1,2,(1,2),(2,5)}B C =。
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第一章集合学习目标 1.系统和深化对集合基础知识的理解与掌握.2.重点掌握好集合间的关系与集合的基本运算．1．集合元素的三个特性：____________，____________，____________.2．元素与集合有且只有两种关系：________，________.3．已经学过的集合表示方法有__________，__________，__________，____________________.4．集合间的关系与集合的运算符号定义Venn图子集A⊆B x∈A⇒x∈B真子集A B A⊆B且存在x0∈B但x0∉A并集A∪B {x|x∈A或x∈B}交集A∩B {x|x∈A且x∈B}补集∁U A(A⊆U) {x|x∈U且x∉A}(1)∅⊆A；(2)A∪∅＝________；A∪A＝________；A∪B＝A⇔__________.(3)A∩∅＝________；A∩A＝________；A∩B＝A⇔__________.(4)A∪(∁U A)＝________；A∩(∁U A)＝________；∁U(∁U A)＝________.类型一集合的概念及表示法例1 下列表示同一集合的是( )A．M＝{(2,1)，(3,2)}，N＝{(1,2)}B．M＝{2,1}，N＝{1,2}C．M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，N＝{y|y＝x2＋1，x∈N}D．M＝{(x，y)|y＝x2－1，x∈R}，N＝{y|y＝x2－1，x∈R}反思与感悟要解决集合的概念问题，必须先弄清集合中元素的性质，明确是数集，还是点集等．跟踪训练1 设集合A＝{(x，y)|x－y＝0}，B＝{(x，y)|2x－3y＋4＝0}，则A∩B＝________. 类型二集合间的基本关系例2 若集合P＝{x|x2＋x－6＝0}，S＝{x|ax＋1＝0}，且S⊆P，求由a的可能取值组成的集合．反思与感悟(1)在分类时要遵循“不重不漏”的原则，然后对于每一类情况都要给出问题的解答．(2)对于两集合A ，B ，当A ⊆B 时，不要忽略A ＝∅的情况． 跟踪训练2 下列说法中不正确的是________．(只需填写序号) ①若集合A ＝∅，则∅⊆A ；②若集合A ＝{x |x 2－1＝0}，B ＝{－1,1}，则A ＝B ； ③已知集合A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x <a }，若A ⊆B ，则a >2. 类型三 集合的交、并、补运算例3 设全集为R ，A ＝{x |3≤x <7}，B ＝{x |2<x <10}，求∁R (A ∪B )及(∁R A )∩B .反思与感悟 求解用不等式表示的数集间的集合运算时，一般要借助于数轴求解，此法的特点是简单直观，同时要注意各个端点的画法及取到与否．跟踪训练3 已知集合U ＝{x |0≤x ≤6，x ∈Z }，A ＝{1,3,6}，B ＝{1,4,5}，则A ∩(∁U B )等于( ) A ．{1} B ．{3,6} C ．{4,5}D ．{1,3,4,5,6}例4 设全集U ＝R ，A ＝{x |0<x <2}，B ＝{x |x <1}．则图中阴影部分表示的集合为________． 反思与感悟 解决这一类问题一般用数形结合思想，借助于Venn 图和数轴，把抽象的数学语言与直观的图形结合起来．跟踪训练4 学校举办了排球赛，某班45名同学中有12名同学参赛，后来又举办了田径赛，这个班有20名同学参赛，已知两项都参赛的有6名同学，两项比赛中，这个班共有多少名同学没有参加过比赛？ 类型四 关于集合的新定义题例5 设A 为非空实数集，若对任意的x ，y ∈A ，都有x ＋y ∈A ，x －y ∈A ，且xy ∈A ，则称A 为封闭集．①集合A ＝{－2，－1,0,1,2}为封闭集； ②集合 A ＝{n |n ＝2k ，k ∈Z }为封闭集； ③若集合A 1，A 2为封闭集，则A 1∪A 2为封闭集； ④若A 为封闭集，则一定有0∈A . 其中正确结论的序号是________．反思与感悟 新定义题是近几年高考中集合题的热点题型，解答这类问题的关键在于阅读理解，也就是要在准确把握新信息的基础上，利用已有的知识来解决问题．跟踪训练5 设数集M ＝{x |m ≤x ≤m ＋34}，N ＝{x |n －13≤x ≤n }，且M ，N 都是集合{x |0≤x ≤1}的子集，如果b －a 叫作集合{x |a ≤x ≤b }(b >a )的“长度”，那么集合M ∩N 的“长度”的最小值是( )A.13B.23C.112D.5121．已知集合M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，P ＝M ∩N ，则P 的子集共有( ) A ．2个 B ．4个 C ．6个D ．8个2．下列关系中正确的个数为( ) ①22∈R ；②0∈N *；③{－5}⊆Z . A ．0 B ．1 C ．2 D ．33．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≥2}，B ＝{x |0≤x <5}，则集合(∁U A )∩B 等于( ) A ．{x |0<x <2} B ．{x |0<x ≤2} C ．{x |0≤x <2}D ．{x |0≤x ≤2}4．设全集I ＝{a ，b ，c ，d ，e }，集合M ＝{a ，b ，c }，N ＝{b ，d ，e }，那么(∁I M )∩(∁I N )等于( ) A ．∅ B ．{d } C ．{b ，e }D ．{a ，c }5．已知P ＝{y |y ＝a 2＋1，a ∈R }，Q ＝{m |m ＝x 2－4x ＋5，x ∈R }，则P 与Q 的关系不正确的是( ) A ．P ⊆Q B ．P ⊇Q C ．P ＝QD ．P ∩Q ＝∅1．要注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系，二是集合与集合的包含关系． 2．在利用集合中元素相等列方程求未知数的值时，要注意利用集合中元素的互异性这一性质进行检验，忽视集合中元素的性质是导致错误的常见原因之一．答案精析知识梳理1．确定性 互异性 无序性 2．∈ ∉3．列举法 描述法 Venn 图 常用数集字母代号 5．(2)A A A ⊇B (3)∅ A A ⊆B (4)U ∅ A 题型探究例1 B [A 选项中M ，N 两集合的元素个数不同，故不可能相同；B 选项中M ，N 均为含有1,2两个元素的集合，由集合中元素的无序性可得M ＝N ；C 选项中M ，N 均为数集，显然有M N ；D 选项中M 为点集，即抛物线y ＝x 2－1上所有点的集合，而N 为数集，即抛物线y ＝x 2－1上点的纵坐标，故选B.] 跟踪训练1 {(4,4)}解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，2x －3y ＋4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4.∴A ∩B ＝{(4,4)}．例2 解 由题意得，P ＝{－3,2}． 当a ＝0时，S ＝∅，满足S ⊆P ；当a ≠0时，方程ax ＋1＝0的解为x ＝－1a，为满足S ⊆P ，可使－1a ＝－3，或－1a＝2，即a ＝13，或a ＝－12.故所求集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，－12.跟踪训练2 ③解析 ∅是任何集合的子集，故①正确； ∵x 2－1＝0，∴x ＝±1，∴A ＝{－1,1}， ∴A ＝B ，故②正确；若A ⊆B ，则a ≥2，故③错误．例3 解 把全集R 和集合A 、B 在数轴上表示如下： 由图知，A ∪B ＝{x |2<x <10}， ∴∁R (A ∪B )＝{x |x ≤2或x ≥10}， ∵∁R A ＝{x |x <3或x ≥7}．∴(∁R A )∩B ＝{x |2<x <3或7≤x <10}． 跟踪训练3 B [∵U ＝{0,1,2,3,4,5,6}，B ＝{1,4,5}，∴∁U B ＝{0,2,3,6}，又∵A ＝{1,3,6}，∴A ∩(∁U B )＝{3,6}，故选B.] 例4 {x |1≤x <2}解析 图中阴影部分表示的集合为A ∩(∁U B )，因为∁U B ＝{x |x ≥1}，画出数轴，如图所示，所以A ∩(∁U B )＝{x |1≤x ＜2}．跟踪训练4 解 设A ＝{x |x 为参加排球赛的同学}，B ＝{x |x 为参加田径赛的同学}，则A ∩B ＝{x |x 为参加两项比赛的同学}．画出Venn 图(如图)，则没有参加过比赛的同学有45－(12＋20－6)＝19(名)． 答 这个班共有19名同学没有参加过比赛． 例5 ②④解析 ①集合A ＝{－2，－1,0,1,2}中，－2－2＝－4不在集合A 中，所以不是封闭集；②设x ，y ∈A ，则x ＝2k 1，y ＝2k 2，k 1，k 2∈Z ，故x ＋y ＝2(k 1＋k 2)∈A ，x －y ＝2(k 1－k 2)∈A ，xy ＝4k 1k 2∈A ，故②正确；③反例是：集合A 1＝{x |x ＝2k ，k ∈Z }，A 2＝{x |x ＝3k ，k ∈Z }为封闭集，但A 1∪A 2不是封闭集，故③不正确；④若A 为封闭集，则取x ＝y ，得x －y ＝0∈A .故填②④.跟踪训练5 C [方法一 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ＋34≤1，⎩⎪⎨⎪⎧n －13≥0，n ≤1，解得0≤m ≤14，13≤n ≤1.取字母m 的最小值0，字母n 的最大值1，可得M ＝{x |0≤x ≤34}，N ＝{x |23≤x ≤1}，所以M ∩N ＝{x |0≤x ≤34}∩{x |23≤x ≤1}＝{x |23≤x ≤34}，此时得集合M ∩N 的“长度”为34－23＝112.方法二 集合M 的“长度”为34，集合N 的“长度”为13.由于M ，N 都是集合{x |0≤x ≤1}的子集， 而{x |0≤x ≤1}的“长度”为1，由此可得集合M ∩N 的“长度”的最小值是(34＋13)－1＝112.]当堂训练1．B 2.C 3.C 4.A 5.D。