常微分方程期末试题A答案
《常微分方程》课程试题(A卷)答案
3、解：(1)求 的通解．由特征方程 得特征根为 ， ，其通解为 ．
(2)用待定系数法求非齐方程的特解．
设 ，则
， ，
代入原方程，比较两端 ， 系数，得
， ，
所以 ， ．故非齐通解为
．
4、证明:令 ③
则③是对应齐线性方程组的解组，并且可以证明是线性无关的．
事实上，假设③是线性相关的，则存在一组不全为零的常数
即 ．
这表明有一组不全为零的常数 使上式成立，这与 是线性无关的题设矛盾，因此③是线性无关的．
对方程组的任一解 ， 必是对应齐线性方程组的解．又因为③是对应齐线性方程组的基本解组，必存在一组常数 ，使得
即 ，
亦即 ，故
．
反之，若 ，对于
因为 是对应齐线性方程组的解， 也是对应齐线性方程组的解，而 是的方程组的一个解，故
(1)
其部分和是为 ，
因此，只须证明函数项级数(1)在 上一致收敛．由 的表示式
.
由李普希兹条件及上式，有
假设对于正整数 ，有不等式
.
则由李普希兹条件，当 时，有
由数学归纳法知，对一切正整数K，皆有
.
又由于 ，有 ，从而
(2)
(2)式右端恰是收敛的正项级数的一般项，由M一判别法，函数项级数(1)在 上一致收收敛，其和函数记为 .故函数序列 在 上一致收敛.
是方程组的解．
五、综合题
1、解：火车的质量是， ，速度为 ，加速度为 ，根据牛顿第二定律，有 ．
整理，得到路程s应满足的二阶常系数非齐线性方程
．
可求得方程通解
．
代入初始条件：当 时， ， ，得
， ．
故火车的运动规律为
《常微分方程》期末考试试卷
▆ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■《常微分方程》期末考试A 卷姓名： 专业：学号： 学习中心：一、 填空题（每个空格4分，共40分）1、 2230dy dy x y dx dx ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭ 是 阶微分方程，是 方程（填“线性”或“非线性” ）。
2、 给定微分方程2'=y x ，它的通解是 ，通过点（2，3）的特解是 。
3、 微分方程(,)(,)0+=M x y dx N x y dy 为恰当微分方程的充要条件是。
4、方程''21=-y x 的通解为 ，满足初始条件13|2,|5====x x y y 的特解为 。
5、微分方程22250+=d yy dx的通解为 。
6、微分方程22680-+=d y dyy dx dx的通解为 ，该方程可化为一阶线性微分方程组 。
二、求解下列微分方程（每小题8分，共32分）。
1、-=x y dye dx；2、24+=dyxy x dx ；3、22265t d x dxx e dt dt++=；4、2453dxx y dtdy x y dt⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩ .三、（8分）考虑方程2(9)(,),=-dyy f x y dx假设(,)f x y 及'(,)y f x y 在xOy 平面上连续，试证明：对于任意0x 及0||3<y ，方程满足00()y x y =的解都在(,)-∞+∞上存在。
四、（10分）设121111201A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求解方程组dX AX dt=满足初始条件1(0)00ϕ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的解()t ϕ。
五、（10分）叙述一阶微分方程的解的存在唯一性定理的内容，并给出唯一性的证明。
证明：见书。
▆。
2019-2019学年常微分方程(A)考试标准答案5页
安徽大学20 11 —20 12 学年第 一 学期《 常微分方程 》（A 卷）考试试题参考答案及评分标准一、 选择题（每小题5分，共20分）（1） (a)；（2） (d)；（3） (d)；（4）(b)；二、请判断下面各题是否正确，并简述理由（每小题5分，共15分）（1）正确 …………………………2分事实上，(),f x y 在H 上满足局部L -条件，因此方程满足初始条件的解存在且唯一 . ……5分（2）正确 …………………………2分事实上，作变换1x x ydt =⎰，则原方程可化为()111120x a t x dy y dt x '+⎡⎤⎣⎦+= …………………………4分 然后用常数变易法知可解 ……………5分（3）错误 …………………………2分事实上，二阶线性方程()()()12x a t x a t x f t '''++=与一类特殊的线性微分方程组()()()()()21010,,x Ax f t A f t a t a t f t ⎛⎫⎛⎫'=+== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭v v v v 矛盾. …………………5分三、计算题（每小题10分，共50分）（1）解：方程变形为()2222sin 1x y x x y x '+=++，令2u x y =+， 则2u y x ''=+， ………………5分可得22sin 1x u u x '=+，求解得()2csc cot 1u u C x -=+，………………7分由初始条件22y π⎛= ⎝⎭知，22C π=+。
……………………10分 （2）解：方程320dy dy x y dx dx ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭可写为32,dy y p xp p dx =+= 两边关于x 求导数，得到()2320p x dp pdx ++=当0p ≠时，计算11,2,,M N p x M N p x M p∂∂∂∂-∂∂===∂∂-因此()p p μμ== ……5分 上式两边乘以p 并积分之，得到4234p xp c += …………………………7分得到方程的通解为22334, 0212c x p p p c y p p ⎧=-⎪⎪≠⎨⎪=-⎪⎩ ……………9分 当0p =时，由方程可以直接得到0y =也是方程的解. ……………10分（3）解：作极坐标cos ,sin x r y r θθ== ……………2分2222220004222t t x y t r r f dxdy d rf dr rf dr πθπ+≤⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰ ……………5分 将原式两边关于t 求导数，得()()2488t f t tf t te πππ'-= ……………7分其通解为()()2244t f t t c e ππ=+ ……………9分 由初始条件()01f =求得特解为()()22441t f t t e ππ=+ ……………10分 （4）解：对应的齐次线性微分方程为90y y ''+=其通解为12sin 3cos3y c x c x =+ 当02x π≤≤时，求得9sin y y x ''+=有一特解为11sin 8y x =，于是其有121sin 3cos3sin 8y c x c x x =++ 由初始条件()()00,00y y '==代入，有特解为11sin 3sin 248y x x -=+。
常微分方程习题及答案
第十二章常微分方程(A)一、就是非题1.任意微分方程都有通解。
()2.微分方程的通解中包含了它所有的解。
()3.函数y=3sin x-4cos x就是微分方程y''+y=0的解。
()4.函数y=x2⋅e x就是微分方程y''-2y'+y=0的解。
()5.微分方程xy'-ln x=0的通解就是y=12(ln x)2+C(C为任意常数)。
(6.y'=sin y就是一阶线性微分方程。
()7.y'=x3y3+xy不就是一阶线性微分方程。
()8.y''-2y'+5y=0的特征方程为r2-2r+5=0。
()9.dydx=1+x+y2+xy2就是可分离变量的微分方程。
()二、填空题1.在横线上填上方程的名称①(y-3)⋅ln xdx-xdy=0就是。
②(xy2+x)dx+(y-x2y)dy=0就是。
③x dydx=y⋅lnyx就是。
④xy'=y+x2sin x就是。
⑤y''+y'-2y=0就是。
2.y'''+sin xy'-x=cos x的通解中应含个独立常数。
3.y''=e-2x的通解就是。
4.y''=sin2x-cos x的通解就是。
5.xy'''+2x2y'2+x3y=x4+1就是阶微分方程。
6.微分方程y⋅y''-(y')6=0就是阶微分方程。
7.y=1x所满足的微分方程就是。
)8.y '=9.2y的通解为。
x dx dy +=0的通解为。
y x5dy 2y 10.-=(x +1)2,其对应的齐次方程的通解为。
dx x +111.方程xy '-(1+x 2)y =0的通解为。
12.3阶微分方程y '''=x 3的通解为。
三、选择题1.微分方程xyy ''+x (y ')-y 4y '=0的阶数就是( )。
(完整版)常微分方程期末考试试卷
常微分方程期末考试试卷学院 ______ 班级 _______ 学号 _______ 姓名 _______ 成绩 _______一． 填空题 （30分）1．)()(x Q y x P dxdy+= 称为一阶线性方程，它有积分因子 ⎰-dx x P e )( ，其通解为 _________ 。
2．函数),(y x f 称为在矩形域R 上关于y 满足利普希兹条件，如果_______ 。
3． 若)(x ϕ为毕卡逼近序列{})(x n ϕ的极限，则有)()(x x n ϕϕ-≤ ______ 。
4．方程22y x dxdy+=定义在矩形域22,22:≤≤-≤≤-y x R 上，则经过点（0，0）的解的存在区间是 _______ 。
5．函数组t t t e e e 2,,-的伏朗斯基行列式为 _______ 。
6．若),,2,1)((n i t x i =为齐线性方程的一个基本解组，)(t x -为非齐线性方 程的一个特解，则非齐线性方程的所有解可表为 ________ 。
7．若)(t Φ是x t A x )('=的基解矩阵，则向量函数)(t ϕ= _______是)()('t f x t A x +=的满足初始条件0)(0=t ϕ的解；向量函数)(t ϕ= _____是)()('t f x t A x +=的满足初始条件ηϕ=)(0t 的解。
8．若矩阵A 具有n 个线性无关的特征向量n v v v ,,,21 ，它们对应的特征值分别为n λλλ ,,21，那么矩阵)(t Φ= ______ 是常系数线性方程组Ax x ='的一个基解矩阵。
9．满足 _______ 的点),(**y x ，称为驻定方程组。
二． 计算题 （60分）10．求方程0)1(24322=-+dy y x dx y x 的通解。
11．求方程0=-+x e dxdydx dy的通解。
12．求初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=--=0)1(22y y x dx dy1,11:≤≤+y x R 的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计。
常微分方程期末考试练习题及答案.
（ c>0） .
即： t 1
cy ，变量回代得：
x ln
c1 y +1 ( c1
c)
y
类型二： 形式： dy f ( a1x b1y c1 )
dx
a 2 x b2 c2
解法： 1. 当 c1=c2=0 时，
y
dy
f ( a1x b1y )
a1 f(
b1 x )
g( y)
dx
a2 x b2 y
y a2 b2 x
dx
分离变量得： dy dx ，两边同时积分，
y
得： y cex ，因而可设原方程的通解为： y c( x)ex ，则 dy dc( x) ex exc( x) ，
dx dx
将之入原方程，得：
dc( x) ex exc(x) c( x)ex sin x ，即： dc( x)
dx
dx
两边积分得： c(x) sin xe xdx ，而
a2 b2
a1x b1y c1 0
解方程组｛ a2x b2y c2 0 ，求交点 ( , ) , 令 x=X+α ， y Y ，则原方程化为： dX ( Y )
dY X
这是齐次方程。
例 5. 求解方程 dy 2x y 1 .
dx x 2 y 1
x1
解：｛ 2x y 1 0 得交点
x 2y 1 0
｛
y
M N ， (x, y) D .
yx
3. 解的形式： u c.
4. 解法： a. 朴素化简法：由 u M ，得 u( x, y) M ( x, y)dx ( y) ，
x
再由 u N ，得 ( y) y4 N (x, y)
常微分方程期末试题(A)答案
二、解下列一阶微分方程（每小题5分，共15分） 1、求解方程2)(d d xyx y x y -=； 解 令xu y =，则xux u y d d +='，代入原方程，得 2d d u u x u xu -=+，2d d u xu x -= 显然，0u =为方程的一个解，从而0y =为原方程的一个解。
当0≠u 时，分离变量，再积分，得C x xuu +=-⎰⎰d d 2 C x u+=ln 1，C x u +=ln 1 即通积分为： Cx xy +=ln2、求解方程)1(d d 2y x xyy-=； 解 当1≠y 时，分离变量得x x y y yd d 12=- 等式两端积分得12d d 1C x x y y y+=-⎰⎰122211ln 21C x y +=- 1222e ,e 1C x C C y --±==-方程的通积分为2e 12x C y --= 3、求解方程x y xy2e 3d d =+ 解 齐次方程的通解为 xC y 3e-=令非齐次方程的特解为 xx C y 3e)(-=代入原方程，确定出 C x C x+=5e 51)( 原方程的通解为 xC y 3e-=+x2e514、解方程0d 2d )3e (322=++y y x x y x x解 )3e (),(22y x y x M x +=，y x y x N 32),(=xNy x y M ∂∂==∂∂26 因此，原方程是全微分方程． 取)0,0(),(00=y x ，原方程的通积分为 C x y x x xx=+⎰0222)d 3e (或C x y x x x xx x=+⎰⎰02202d 3d e即 C y x x x x =++-232e )22( 5、求解方程2221)(x y x y y +'-'= 解 令x x =p y ='，则，原方程的参数形式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=='=2221x xp p y p y x x由x y y d d '=，有x p p x p x x p d )d 2()d (=-++-整理得 0)1d d )(2(=--xpx p 由20p x -=，解得2xp =，代入参数形式的第三式，得原方程的一个特解为 24x y =由01d d =-xp，解得C x p +=，代入参数形式的第三式，得原方程通解为2221C Cx x y ++=三、解下列方程组（每小题8分，共16分）。
临沂大学《常微分方程》期末考试复习题及参考答案
A、 阶 B、 解 C、 通解 D、 特解
正确答案： D
16、如果 f(x,y),f(x,y)/y 都在 xoy 平面上连续，那么方程 dy/dx= f(x,y)的任一解的存在区间 （2.0）
A、 必为(-∞,+∞) B、 必为(0,+∞) C、 必为(-∞, 0) D、 将因解而定
A、 y2-x=C B、 y-√x=C C、 y=x+C D、 y=-x+C
正确答案： BCD
三、 判断题 （共 10 题，20 分）
1、dy/dx=1+x+y2+xy2 是可分离变量的微分方程（2.0）
正确答案： 正确
2、方程 xydx + (2x2 + 3y2-20)dy = 0 的只与 y 有关的积分因子为 y（2.0）
正确答案： ABC
9、下列方程中，全微分方程为（2.0）
A、 (3x2 + 6xy2)dx+ (6x2y +4y2)dy=0 B、 edx+ (x·eY-2y)dy= 0 C、 y(x- -2y)dx-x2dy= 0 D、 (x2-y)dx-xdy= 0
正确答案： ABD
10、微分方程 2ydy-dx = 0 的通解不为（2.0）
6、微分方程 y" -2y + 2y= ex 的通解为 y=ex(c*cosx+c*sinx+1)（2.0）
正确答案： 正确
7、三阶常系数齐线性方程 y" -2y" +y= 0 的特征根是 1（2.0）
正确答案： 错误
8、微分方程 y -2y-3y = 0 的通解为 y=c*e-x+c*e3x（2.0）
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2．
3 方程即：
1,cos dy y y u y dx x x
x
=-= 1cos du u x u dx u +=- (4') cos dx udu x =- sin ln u x C =-+
sin ln y x C x
=-+ (8')
三、求解下列微分方程组 （810'18''+=）
1 特征方程 1,2det()(1)(9)0,1,9A E λλλλ-=--== (4')
11λ=对应向量 11⎛⎫ ⎪-⎝⎭
29λ=对应向量 11⎛⎫ ⎪⎝⎭
方程组的解 9121111t t x C e C e y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
(8')
2 方程组即：
31212213(1),(2),4(3)dy dy dy y y y y y dx dx dx
=-+=-=- 由(2) 得21x y C e -=代入 (1)： 111x dy y C e dx
-+= (4') 1112[]()x x x x y e e C e dx C e C x C ---=+=+⎰ 代入(3)
33124()x dy y e C x C dx
-+=+ 44412312331[())()333
x x x x x x C C y e e e C x C dx C e x e C e -----=++=-++⎰ (8') 由初始条件得1239,3,1C C C === 故
412339,9,3x x x x x y e xe y e y xe e -----=+==+(10')
四．求224cos x
y y y e x '''-+=的通解．(10)'
特征方程212220,1,1i i λλλλ-+==+=-
12(cos sin ),1x y C x C x e i =++是对应特征根，设特解
1(cos sin )x y xe A x B x =+ (5')
0,2A B ==
12(cos sin )2sin x x y C x C x e xe x =++ (10')
五．特征方程 2
0,p q λλλ++== 1 1,20,0,0p q λ>>< 零解渐进稳定 (5')
2 120,0,,0(p q p λλ>==-=单根）零解稳定 (5')
六、求出微分方程0y xy y '''--=在0x =处展开的两个线性无关的幂级数解（10'） 设幂级数解'1''2000,,(1)n n n n
n n n n n y nC x y nC x y n n C x ∞∞∞
--======-∑∑∑ 221(2)(1),2
n n n n n n n C nC C C C n ++++-==+ (5') 由''0101(0)1,(0)0(0)0,(0)1C y C y C y C y ========及得
24211224(2)!!
n
x x x y n =+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⨯ 321
23(21)!!
n x x y x n -=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅- (10')
七 特征方程2123100,2,5λλλλ+-===-故为不稳定鞍点 (5')
441,1,666
dy x y x kx k k k dx x y x kx --====-=++ 特殊方向 1,6
y x y x =-=
(10')。