数学人教版九年级上册22.1.3二次函数y=a(x-h)2 k的图象和性质(2)
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数学人教版九年级上册二次函数y=a(x-h)2 k的图像和性质.1.3二次函数y=a(x-h)2 k的图象和性质(3)
2Biblioteka x=－12讨论
即:
抛物线 有什么关系？
1 2 1 1 2 2 y (x 1 ) 1 y x 1 、 y x 、 2 2 2
1 2 向下平移 1 2 1 向左平移 y x y x 1 y (x 1 )2 1 2 1个单位 1个单位 2 2 1 2 向左平移 1 1 y x y (x 1 )2 2 1个单位 2 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 -1
a<0
图象
h>0 h>0
h>0
h<0
开口 对称性 顶点 增减性
开口向下 开口向上 a的绝对值越大，开口越小 直线ｘ＝ｈ
(ｈ,k)
顶点是最高点 在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减 顶点是最低点
运用性质，巩固练习
1、同步 2、例 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一 根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线 形水柱在与池中心的水平距离为 1 m 处达到最高，高度 为 3 m，水柱落地处离池中心 3 m，水管应多长？ y/m （ 1 ， 3 ） 3 2
2
1 2 y ( x 1 ) 1 2
的图像,并考虑它 解:先列表 描点
0 1 2 3 4 -3 -5.5
y
-4 -5.5
1 2
-3 -3
-2 -1.5
-1
2
-1 -1.5
2 x 1 ) 1 (1)抛物线 y ( 的开口
方向、对称轴、顶点?
对称轴是x=-1, 开口向下，
2
1
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x -1 -2 1 2 1 y x 顶点是（-1、-1） y ( x 1 ) 1 -3 2 2 -4 1 -5 2 (2)抛物线 y ( x 1 ) 1 -6 2 1 2 -7 1 2 y x y x 1 -8 2 2 -9 1 有什么关系? y x 1 -10
即:
抛物线 有什么关系？
1 2 1 1 2 2 y (x 1 ) 1 y x 1 、 y x 、 2 2 2
1 2 向下平移 1 2 1 向左平移 y x y x 1 y (x 1 )2 1 2 1个单位 1个单位 2 2 1 2 向左平移 1 1 y x y (x 1 )2 2 1个单位 2 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 -1
a<0
图象
h>0 h>0
h>0
h<0
开口 对称性 顶点 增减性
开口向下 开口向上 a的绝对值越大，开口越小 直线ｘ＝ｈ
(ｈ,k)
顶点是最高点 在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减 顶点是最低点
运用性质，巩固练习
1、同步 2、例 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一 根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线 形水柱在与池中心的水平距离为 1 m 处达到最高，高度 为 3 m，水柱落地处离池中心 3 m，水管应多长？ y/m （ 1 ， 3 ） 3 2
2
1 2 y ( x 1 ) 1 2
的图像,并考虑它 解:先列表 描点
0 1 2 3 4 -3 -5.5
y
-4 -5.5
1 2
-3 -3
-2 -1.5
-1
2
-1 -1.5
2 x 1 ) 1 (1)抛物线 y ( 的开口
方向、对称轴、顶点?
对称轴是x=-1, 开口向下，
2
1
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x -1 -2 1 2 1 y x 顶点是（-1、-1） y ( x 1 ) 1 -3 2 2 -4 1 -5 2 (2)抛物线 y ( x 1 ) 1 -6 2 1 2 -7 1 2 y x y x 1 -8 2 2 -9 1 有什么关系? y x 1 -10
人教版九年级上册22.1.3二次函数y=a(x-h)2 k图象和性质课件
的对称轴是直线 （ A）
2. 二次函数y=－(x－1)2+2有
（B ）
A. 最大值1
B. 最大值2
C. 最小值1
D. 最小值2
3. 将抛物线y=x2先向左平移2个单位，再向下平 移2个单位，那么所得抛物线的解析式是（ B ） A. y=(x+2)2+2 B. y=(x+2)2－2 C. y=(x－2)2+2 D. y=(x－2)2－2
问此球能否投中？
20
4米
3米
9
4米
在出手角度和力度都不变的情况下,小明的出手高 度为多少时能将篮球投入篮圈?
• 在出手角度、力度及高度都不变的情况下，则小明朝 着篮球架再向前平移多少米后跳起投篮也能将篮球投 入篮圈？
课后练习
A组
1. 抛物线y=(x－2)2－
A. x=2 C. x=
B. x=－2 D. x=－
x
… -4 -3 -2 -1 0 1 2 …
描点、连线
y1(x1)21 2
…
-5.5 -3 -1.5 -1
直线x=－1
-1.5
-3
-5.5
…
(1)抛物线 y1(x1)21
y 1
2
的开口方向、对称轴、顶点?
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x
-2
-3 -4
y1(x1)21
-5
2
4. 抛物线y=2(x－3)2+2的顶点坐标是（ B ）
A. (－3,2)
B. (3,2)
C. (－3,－2)
D. (3,－2)
5. 将抛物线y=－x2向右平移1个单位，再向上平移2 个单位后，得到的抛物线的解析式为 _____y_=_－__(_x_－__1_)_2+_2________．
2022-2022九年级数学上册 22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质(第1课时
15．直接写出符合下列条件的抛物线y＝ax2－1的函数关系式：
(1)经过点(－3，2)；
(2)与y＝12x2的开口大小相同，方向相反；
(3)当x的值由0增加到2时，函数值减少4.
解：(1)y＝13x2－1 (2)y＝－12x2－1 (3)－x2－1
第14题图
16．把y＝－12x2的图象向上平移2个单位． (1)求新图象的解析式、顶点坐标和对称轴； (2)画出平移后的函数图象； (3)求平移后的函数的最大值或最小值，并求对应的x的值．
它与抛物线y＝2x2的形状___相__同____．
2．抛物线y＝－3x2－2的开口向__下_____，对称轴是___y_轴_____，顶点 坐标是_(_0_，__－__2_)__．
3．若点(x1，y1)和(x2，y2)在二次函数y＝－
1 2
x2＋1的图象上，且x1＜x2
＜0，则y1与y2的大小关系为__y_1_＜__y_2_____．
18．若二次函数y＝ax2＋c，当x取x1，x2(x1≠x2)时，函数值相等，
则当x取x1＋x2时，函数值为( D
A．a＋c
B．a－c
) C．－c
D．c
19．廊桥是我国古老的文化遗产，如图所示是一座抛物线形廊桥的
示意图．已知抛物线对应的函数关系式为y＝－
1 40
x2＋10，为保护廊
桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏
△ABC的面积为__2___2___．
13．若抛物线y＝ax2＋c与抛物线y＝－4x2＋3关于x轴对称，则a＝ ___4____，c＝__－__3___．
14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋3与y轴交于A，过
点A作与x轴平行的直线交抛物线y＝
(1)经过点(－3，2)；
(2)与y＝12x2的开口大小相同，方向相反；
(3)当x的值由0增加到2时，函数值减少4.
解：(1)y＝13x2－1 (2)y＝－12x2－1 (3)－x2－1
第14题图
16．把y＝－12x2的图象向上平移2个单位． (1)求新图象的解析式、顶点坐标和对称轴； (2)画出平移后的函数图象； (3)求平移后的函数的最大值或最小值，并求对应的x的值．
它与抛物线y＝2x2的形状___相__同____．
2．抛物线y＝－3x2－2的开口向__下_____，对称轴是___y_轴_____，顶点 坐标是_(_0_，__－__2_)__．
3．若点(x1，y1)和(x2，y2)在二次函数y＝－
1 2
x2＋1的图象上，且x1＜x2
＜0，则y1与y2的大小关系为__y_1_＜__y_2_____．
18．若二次函数y＝ax2＋c，当x取x1，x2(x1≠x2)时，函数值相等，
则当x取x1＋x2时，函数值为( D
A．a＋c
B．a－c
) C．－c
D．c
19．廊桥是我国古老的文化遗产，如图所示是一座抛物线形廊桥的
示意图．已知抛物线对应的函数关系式为y＝－
1 40
x2＋10，为保护廊
桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏
△ABC的面积为__2___2___．
13．若抛物线y＝ax2＋c与抛物线y＝－4x2＋3关于x轴对称，则a＝ ___4____，c＝__－__3___．
14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋3与y轴交于A，过
点A作与x轴平行的直线交抛物线y＝
九年级数学上册第二十二章二次函数22.1二次函数的图象和性质22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质第
教材分析之前学生已经学过一次函数、反比例函数的图像和性质，以及会建立二次函数的模型和理解二次函数的图像相关概念和性质基础之上进行的。
是前面知识的应用和拓展，又为今后学习二次函数的应用及一元二次方程与二次函数之间的关系作预备。
充分体现了数形结合的思想，因此本课无论在知识上还是培养学生动手能力上都起了很大的作用。
学生已经会了上一节的二次函数图像及性质。
课标要求会用描点法画出二次函数的图像，通过图像了解二次函数的性质。
学情分析可能有些学生对二次函数还不理解，甚至还不会描点法画出函数图像，看图能力差，不能类比一次函数的一些观察图像的方法来学习二次函数的图像。
不能从图中获取相关的信息。
由于放假的原因，学生对上下平移和左右平移的知识有很多淡忘，所以完成本节知识在理解方面会有难点。
教学目标知识目标：让学生经历二次函数y＝a(x－h)2+k性质探究的过程，理解函数y＝a(x－h)2+k的性质，理解二次函数y＝a(x－h)2+k的图象与二次函数y＝ax2的图象的关系能力目标：通过画图象独立去探索交流图象的性质培养分析解决问题的能力。
能说出二次函数y ＝a(x－h)2+k的图象与二次函数y＝ax2的图象的关系。
情意目标：在学习中体会知识之间的联系，体会知识的发生发展过程和知识体系。
教学重点：会用描点法画出二次函数y＝a(x－h)2+k的图象，理解二次函数y＝a(x－h)2+k的性质。
能说出顶点坐标。
教学难点：理解二次函数y＝a(x－h)2+k的性质，理解二次函数y＝a(x－h)2+k的图象与二次函数y＝ax2关系。
教学手段导学案教学方法问答法、练习法、讨论法教学过程1、创设情境：:（组织方法）复习两个上下平移及左右平移的二次数学图像，对照图像说出开口方向、对称轴、顶点坐标、最值、性质。
详见导学案。
解决哪些教学目标：在学习中体会知识之间的联系，体会知识的发生发展过程和知识体系。
学生可能出现的困难：忘记或混淆上下平移和左右平移。
22.1.3 二次函数的y=a(x-h)2+k的图像和性质2024-2025学年人教版数学九年级上册
− 3
的解析式为 = −. − ，则=____
(3) 若抛物线 = + 的最小值为 4，且经过点(1，5)，
则该抛物线的解析式是_________，将此抛物线向下平移
3
= +
= +
个单位，得到的新的抛物线的解析式是__________.
课堂小结
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
第3课时 二次函数的
= ( − ) +的图像和性质
第1节 二次函数 = + 的图像和性质
第2节 二次函数 = ( − ) 的图象和性质
第3节 二次函数 = ( − ) +的图象和性质
九年级上册•人教版
学习目标
中的三条抛物线分别表示桥上的三条钢梁,轴表示桥面,轴经过中
间抛物线的最高点,左右两条抛物线关于轴对称.经过测算,中间抛
物线的函数解析式为 =
−
+ .
你能计算出中间抛物线的最高点离轴的高度吗?
O
猎豹图书
x
获取新知
例1
在同一直角坐标系中，通过画出二次函数 = + ，
1 x2
y
;把抛物线
2 向右 平移 1 个单位就
得到抛物线y - 12（x-1）
2
(
− )
平移
的图象还可以由抛物线
2
个单位得到.
y
O
-4
-2
2
y - 1（x-1）
2
2
4 x
-2
2
y - 1（x+1）
2
-4
-6
-8
的解析式为 = −. − ，则=____
(3) 若抛物线 = + 的最小值为 4，且经过点(1，5)，
则该抛物线的解析式是_________，将此抛物线向下平移
3
= +
= +
个单位，得到的新的抛物线的解析式是__________.
课堂小结
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
第3课时 二次函数的
= ( − ) +的图像和性质
第1节 二次函数 = + 的图像和性质
第2节 二次函数 = ( − ) 的图象和性质
第3节 二次函数 = ( − ) +的图象和性质
九年级上册•人教版
学习目标
中的三条抛物线分别表示桥上的三条钢梁,轴表示桥面,轴经过中
间抛物线的最高点,左右两条抛物线关于轴对称.经过测算,中间抛
物线的函数解析式为 =
−
+ .
你能计算出中间抛物线的最高点离轴的高度吗?
O
猎豹图书
x
获取新知
例1
在同一直角坐标系中，通过画出二次函数 = + ，
1 x2
y
;把抛物线
2 向右 平移 1 个单位就
得到抛物线y - 12（x-1）
2
(
− )
平移
的图象还可以由抛物线
2
个单位得到.
y
O
-4
-2
2
y - 1（x-1）
2
2
4 x
-2
2
y - 1（x+1）
2
-4
-6
-8
22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
栏目索引
2.(2016广东东莞月考)抛物线y=3x2+1的开口向
标为
.
(上或下),顶点坐
答案 上;(0,1) 解析 根据抛物线的解析式y=3x2+1可知其开口向上,顶点坐标为(0,1).
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
对应点的坐标为(1,0),所以平移后,所得抛物线相应的函数解析式为y=
-(x-1)2.
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
栏目索引
知识点三 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 6.(2017江苏宿迁中考)将抛物线y=x2向右平移2个单位,再向上平移1个 单位,所得抛物线相应的函数表达式是 ( ) A.y=(x+2)2+1 B.y=(x+2)2-1 C.y=(x-2)2+1 D.y=(x-2)2-1 答案 C 根据平移口诀“左加右减自变量,上加下减常数项”可知平 移得到的抛物线相应的函数表达式是y=(x-2)2+1.
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
栏目索引
4.(2018江苏盐城阜宁期中)对于二次函数y=(x-1)2+2的图象,下列说法正
确的是 ( )
A.开口向下
B.对称轴是x=-1
C.顶点坐标是(-1,2) D.与x轴没有交点
答案 D ∵y=(x-1)2+2,∴抛物线开口向上,对称轴为x=1,顶点坐标为
a的符号 图象
开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 最值
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
22.1.3 二次函数y=a(x-h)^2的图象和性质(课件)九年级数学上册(人教版)
2）两条抛物线的对称轴分别是：________
（-1，0）（1，0）
3）两条抛物线的顶点分别是________
高
大
大
4）顶点都是最____点，函数都有最____值，最_____值
y= 0
为_______________________________
相同
5）抛物线的增减性都______:
左侧
增大
在对称轴_____，y随x的增大而_____；
目录
复习巩固
探究新知
知识归纳
典例分析
典例分析
针对训练
典例分析
针对训练
针对训练
典例分析
针对训练
典例分析
典例分析
针对训练
典例分析
针对训练
针对训练
能力提升
归纳小结
布置作业
复习巩固
函数
图象
开口
方向
顶点
坐标
对称
轴
函数增减性
最值
k>0
当x＜0时，y随x的增大而减小；
a>0
向上
当x＞0时，y随x的增大而增大.
y =
|k|
ax2+k ______________个单位.
与y=ax2
的关系
向上
（k＞0）或
向下
（k＜0）平移
探究新知
探究新知
1)列表：
x
…
Hale Waihona Puke -3-2-10
1
2
3
…
…
2
0.5
0
0.5
2
4.5
8
…
y
…
8
4.5
2
（-1，0）（1，0）
3）两条抛物线的顶点分别是________
高
大
大
4）顶点都是最____点，函数都有最____值，最_____值
y= 0
为_______________________________
相同
5）抛物线的增减性都______:
左侧
增大
在对称轴_____，y随x的增大而_____；
目录
复习巩固
探究新知
知识归纳
典例分析
典例分析
针对训练
典例分析
针对训练
针对训练
典例分析
针对训练
典例分析
典例分析
针对训练
典例分析
针对训练
针对训练
能力提升
归纳小结
布置作业
复习巩固
函数
图象
开口
方向
顶点
坐标
对称
轴
函数增减性
最值
k>0
当x＜0时，y随x的增大而减小；
a>0
向上
当x＞0时，y随x的增大而增大.
y =
|k|
ax2+k ______________个单位.
与y=ax2
的关系
向上
（k＞0）或
向下
（k＜0）平移
探究新知
探究新知
1)列表：
x
…
Hale Waihona Puke -3-2-10
1
2
3
…
…
2
0.5
0
0.5
2
4.5
8
…
y
…
8
4.5
2
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图像和性质课件
人教版 九年级上
二次函数y=a（x-h）2+k 的图像和性质
导教入学新目课
标
一、复习回顾
回顾y=ax2的图象和性质：
1.二次函数y=ax2的图象是什么？
2.它具有怎样的图象特征和性质？ 3.你是怎么研究的？
y y=x2
0
x
导教入学新目课
标
1.二次函数y=ax2的图象是抛物线。
2.二次函数y=ax2的图象特征和性质： 对称轴是y轴，顶点是原点； 如果a＞0，抛物线开口向上，当x＜0时，y随x的增大而 减小，当x＞0时，y随x的增大而增大；
新教课学讲目解
标
练习：
抛物线y=-2x²向上移动1个单位后的对
称轴是
（D ）
A.直线x= 1
2
B.直线x=- 1
2
C.直线x=2
D.y轴
新教课学讲目解
标
2. 类比探究二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
新教课学讲目解
标
(1)自主学习：参照教材P33-34“探究”的填表、描点、
画图。
－4 －2 -2 -4 -6 -8
新教课学讲目解
标
(3)归纳与总结：
二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象特征和性质：
一般地，抛物线y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2形状相同，位 置不同． 把抛物线y＝ax2向上（下）向左（右）平移，可以得到 抛物线y＝a(x－h)2＋k． 平移的方向、距离要根据h，k的值来决定．
新教课学讲目解
标
么位置关系?
-1.5 -1 y
6
y=2x2+1
5
y=2x2
4
y=2x2-1
3
2 1
二次函数y=a（x-h）2+k 的图像和性质
导教入学新目课
标
一、复习回顾
回顾y=ax2的图象和性质：
1.二次函数y=ax2的图象是什么？
2.它具有怎样的图象特征和性质？ 3.你是怎么研究的？
y y=x2
0
x
导教入学新目课
标
1.二次函数y=ax2的图象是抛物线。
2.二次函数y=ax2的图象特征和性质： 对称轴是y轴，顶点是原点； 如果a＞0，抛物线开口向上，当x＜0时，y随x的增大而 减小，当x＞0时，y随x的增大而增大；
新教课学讲目解
标
练习：
抛物线y=-2x²向上移动1个单位后的对
称轴是
（D ）
A.直线x= 1
2
B.直线x=- 1
2
C.直线x=2
D.y轴
新教课学讲目解
标
2. 类比探究二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
新教课学讲目解
标
(1)自主学习：参照教材P33-34“探究”的填表、描点、
画图。
－4 －2 -2 -4 -6 -8
新教课学讲目解
标
(3)归纳与总结：
二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象特征和性质：
一般地，抛物线y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2形状相同，位 置不同． 把抛物线y＝ax2向上（下）向左（右）平移，可以得到 抛物线y＝a(x－h)2＋k． 平移的方向、距离要根据h，k的值来决定．
新教课学讲目解
标
么位置关系?
-1.5 -1 y
6
y=2x2+1
5
y=2x2
4
y=2x2-1
3
2 1
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=-5
<-5
练习２： 2 把抛物线y=５(x+１) 沿ｘ轴向右平移３ 个单位长度得到的新的二次函数解析式为 ＿＿＿＿＿， 把抛物线y=a(x-h) 2 向右平移２个单位， -3 得到抛物线y=-3(x+5) 2，则ａ＝＿＿，ｈ＝＿ ＿． -7
课堂小结：学习这节课你有什么收获
作业：已知抛物线y=a(x-m)2(a≠0)的对称轴 是直线x=3，且过点（2,-2）. （1）求此抛物线的解析式； （2）指出此抛物线的开口方向和顶点坐标； （3）此函数有最大值还是最小值，其值是多 少？ （4）若把此抛物线向右平移2个单位长度， 则得到的新抛物线对应的函数解析式是什么？
22.1.3二次函数y=a(x2 h) +k的图象和性质（2）
在同一直角坐标系中，画出下列 二次函数的图像 并分别指出它们的开口方向、 对称轴和顶点
在同一直角坐标系中，画出下列 二次函数的图像
观察三条抛物线的位置关系， 并分别指出它们的开口方向、 对称轴和顶点
直线x=-5
大