2016版二轮复习热考题型专攻练一 2.1.doc

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2016版高考数学大二轮总复习与增分策略(,理科)配套文档：专题二函数与导数第1讲

第1讲函数的图象与性质1．(2015·天津）已知定义在R上的函数f（x）＝2｜x－m|－1（m为实数）为偶函数，记a＝f（log0.53),b＝(log25),c＝f(2m），则a，b，c 的大小关系为（）A．a＜b＜c B．a＜c＜bC．c＜a＜b D．c＜b＜a2．（2014·福建）若函数y＝log a x（a>0，且a≠1)的图象如图所示，则所给函数图象正确的是（）3．（2015·课标全国Ⅱ）设函数f（x）＝错误!则f(－2）＋f（log212)等于( ）A．3 B．6 C．9 D．124．（2014·课标全国Ⅱ)已知偶函数f（x)在[0，＋∞)单调递减，f(2）＝0.若f(x－1)〉0,则x的取值范围是_________________________．1.高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主,难度中等偏下.2。

对图象的考查主要有两个方面：一是识图,二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题。

3.对函数性质的考查，则主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合一起考查,既有具体函数也有抽象函数.常以选择题、填空题的形式出现，且常与新定义问题相结合，难度较大。

热点一函数的性质及应用1．单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．利用定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则．2．奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函数的图象关于y轴对称,在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性．3．周期性：周期性是函数在定义域上的整体性质．若函数在其定义域上满足f（a＋x）＝f(x）(a不等于0），则其一个周期T＝｜a|.例1 （1)设奇函数y＝f(x) (x∈R），满足对任意t∈R都有f(t）＝f （1－t),且x∈错误!时，f（x)＝－x2，则f(3）＋f错误!的值等于________．（2）已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0,＋∞）上单调递增．若实数a满足f(log2a)＋f（log12a)≤2f（1），则a的取值范围是________．思维升华(1）可以根据函数的奇偶性和周期性，将所求函数值转化为给出解析式的范围内的函数值．(2)利用函数的单调性解不等式的关键是化成f(x1)〈f（x2）的形式．跟踪演练1 (1)已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且对于任意x∈R，恒有f（x－1)＝f（x＋1)成立,当x∈[－1，0］时，f（x)＝2x－1，则f(2 017）＝________。

高考化学二轮复习热考题型分级练三物质的量与阿伏加德罗常数含解析

高考化学二轮复习：热考题型分级练(三) 物质的量与阿伏加德罗常数(A级)1．设N A为阿伏加德罗常数的值，下列说法正确的是( )A．34 g H2O2中含有的阴离子数为1N AB．4.6 g乙醇中含有的C—H键的个数为0.6N AC．标准状况下，V L水含有的氧原子个数约为V22.4D．1 mol Fe2＋与足量的H2O2溶液反应，转移N A个电子2．设N A为阿伏加德罗常数的值，下列说法正确的是( )A．2.24 L NH3与1.8 g H2O中所含的电子数均为N AB．1 mol N2与3 mol H2充分反应后，转移6N A个电子C．22 g N2O与CO2的混合气体中含有1.5N A个O原子D．11 g D182O中含有6N A个中子3．设N A为阿伏加德罗常数的值，下列说法正确的是( )A．1 mol Mg在空气中完全燃烧生成MgO和Mg3N2，转移的电子数为N AB．室温时，1.0 L 0.01 mol·L－1的CH3COONa溶液中含有CH3COO－的数目为0.01N A C．Fe与水蒸气反应生成22.4 L氢气，转移电子数为2N AD．14 g分子式为C3H6的链烃中含有的C—H键的数目为2N A4．N A代表阿伏加德罗常数的值。

下列说法正确的是( )A．在标准状况下，11.2 L CH2Cl2分子中含氯原子数目为N AB．14 g Li投入100 mL 1 mol·L－1盐酸中转移电子数目为0.1N AC．1 L 0.1 mol·L－1 H2S溶液中H＋数目为0.2N AD．2.0 g含D2O和H182O的混合物中含中子数目为N A5．设N A为阿伏加德罗常数的值，下列说法正确的是( )A．0.1 mol 16OD－离子含有的电子、中子数均为1.0N AB．标准状况下，4.48 L己烷含有的分子数为0.2N AC．总质量为5.6 g的CaO和CaC2混合物中，所含离子总数小于0.2N AD．常温常压下，0.1 mol NH3与0.1 mol HCl充分反应后所得产物含0.1N A个分子6．用N A表示阿伏加德罗常数的值，下列叙述正确的是( )A．100 g质量分数是98%的浓硫酸中所含氧原子数为4N AB．标准状况下，33.6 mL氯气通入足量水中发生反应，转移电子数为1.5×10－3N AC．常温常压下，5.6 g乙烯与丁烯的混合物中含有的氢原子数目为0.8N AD．同温下，pH＝1体积为1 L的硫酸溶液所含氢离子数与pH＝13体积为1 L的氢氧化钠溶液所含氢氧根离子数均为0.1N A7．设N A表示阿伏加德罗常数值。

2016届高考数学三轮讲练测核心热点总动员(新课标版)专题01复数(原卷版)

2016年学易高考三轮复习系列：讲练测之核心热点【全国通用版】【名师精讲指南篇】【高考真题再现】1. 【2013新课标全国】若复数z 满足 (3－4i)z ＝|4＋3i |,则z 的虚部为 () A 、－4 B 、－45 C 、4 D 、452.【2013新课标全国】212(1)i i +=-( )（A ）112i -- （B ）112i -+（C ）112i + （D ）112i - 3. 【2014全国1高考理】=-+23)1()1(i i （） A. i +1 B. i -1 C. i +-1 D. i --14. 【2014高考全国1卷文】设i iz ++=11,则=||z （） A. 21 B. 22 C. 23 D. 2 5.【2015全国卷1】设复数z 满足1i 1z z+=-,则z =（）A ．1BCD ．26.【2015全国卷2】若a 为实数,且()()2i 2i 4i a a +-=-,则a =（）．A.1-B. 0C.1D. 2【热点深度剖析】从近三年的高考试题来看,复数的基本概念、复数相等的充要条件以及复数的代数运算是高考的热点,每套高考试卷都有一个小题,并且一般在前三题的位置上,主要考查对复数概念的理解以及复数的加减乘除四则运算． 2013年考查了复数的除法运算、复数的模、复数的概念,2014年考查了复数的除法运算.205年考查了复数的模及复数相等,近三年全国卷中共轭复数及复数的几何含义还没有考查,故预测2016年高考仍将以复数的基本概念以及复数的代数运算为主要考点,其中复数的除法运算及共轭复数是最可能出现的命题角度！【重点知识整合】1.基本概念：⑴a bi c di a c +=+⇔=且(,,,)c d a b c d R =∈；⑵复数是实数的条件：①0(,)z a bi R b a b R =+∈⇔=∈；②z R z z ∈⇔=；③20z R z ∈⇔≥.（3）复数是纯虚数的条件: ①z a bi =+是纯虚数0a ⇔=且0(,)b a b R ≠∈； ②z 是纯虚数0(0)z z z ⇔+=≠；③z 是纯虚数20z ⇔<.2.复数运算公式：设1z a bi =+,2(,,,)z c di a b c d R =+∈,12()()z z a c b d i ±=±+±,12()()()()z z a bi c di ac bd ad bc i =++=-++,1222222(0)z ac bd bc ad i z z c d c d +-=+≠++. 3.几个重要的结论： ⑴2222121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+；⑵22||||z z z z ⋅==；⑶若z 为虚数,则22||z z ≠.4.常用计算结论：⑴2(1)2i i ±=±；⑵11ii i +-=,11i i i -+=-；⑶1230()n n n n i i i i n N ++++++=∈；⑷1||11z z zz z =⇔=⇔=；12ω=-+,212ωω=--=,31ω=,210ωω++=. 【应试技巧点拨】 1.解决复数概念问题的方法及注意事项：(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题,只需把复数化为代数形式,列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．(2)解题时一定要先看复数是否为a bi +(,a b R ∈)的形式,以确定实部和虚部．2.复数是实数的条件：①0(,)z a bi R b a b R =+∈⇔=∈；②z R z z ∈⇔=；③20z R z ∈⇔≥.3.复数是纯虚数的条件: ①z a bi =+是纯虚数0a ⇔=且0(,)b a b R ≠∈； ②z 是纯虚数0(0)z z z ⇔+=≠；③z 是纯虚数20z ⇔<.4. 对复数几何意义的理解及应用(1)复数z 、复平面上的点z 及向量OZ 相互联系,即z a bi =+ (,a b R ∈)(),Z a b ⇔⇔ OZ ；(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系,因此可把复数、向量与解析几何联系在一起,解题时可运用数形结合的方法,使问题的解决更加直观．5. 复数的四则运算类似于多项式的四则运算,此时含有虚数单位i 的看作一类同类项,不含i 的看作另一类同类项,分别合并即可,但要注意把i 的幂写成最简单的形式,在运算过程中,要熟悉i 的特点及熟练应用运算技巧．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数,解题中要注意把i 的幂写成最简形式．【考场经验分享】1.目标要求：新课标对复数的要求较低,根据课标的要求,本部分内容的考查不会太难,一般出一道选择题(或填空题)考查基本概念与运算,与概率等结合的题目可能会出,但都比较容易解决．所以本热点必须得满分.2.注意问题：复数这个热点一般出现在试卷的前三道题目中,难度较低,但是解题时需加小心,千万不能因为不重视而导致失分.例如复数的实部和虚部要分清楚,例如1i -的实部是-1,虚部为1,运算时要注意21i =-.3.经验分享：学会必要的检验,例如将求解的复数代入验证,若复数为纯虚数时,实部等于0,要验证虚部不为0,利用复数相等进行复核等方法,确保万无一失.【名题精选练兵篇】1. 【2016安徽合肥市第二次质检】若i 是虚数单位,复数2i z i =+的虚部为（） A ．15- B ．25- C ．15 D ．252.【2016云南第一次统一检测】已知i 为虚数单位,则复数1i i+=（） A ．1i + B ．1i - C ．12i + D ．12i - 3.【2016新疆乌鲁木齐二诊】复数534i i+-对应的点在复平面的（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限4.【2016重庆3月模拟】若纯虚数z 满足(1)1i z ai -=+,则实数a =（）A ．0B ．-1或1C ．-1D ．15.【2016湖北七校2月联考】已知i b i i a +=+2,),(R b a ∈其中i 为虚数单位,则=-b a （） A ．3- B ．2-C ．1-D ．1 6.【2016哈尔滨师大附中东北师大附中辽宁省实验中学第一次联合模拟】若复数z 满足i zi +=1,则z 的共轭复数是（）A ．i --1B ．i +1C ．i +-1D ．i -17.【2016河北省衡水二调】已知复数z ,“0z z +=”是“z 为纯虚数”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8.【2016吉林长春质量监测（二）】复数1z ,2z 在复平面内对应的点关于直线y x =对称,且132z i =+,则2z =（）A. 32i -B. 23i -C. 32i --D. 23i +9.【2016辽宁省沈阳质量监测（一）】复数21z i=-（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10.【2015安徽省安庆五校联盟高三下学期3月联考】若复数i b i a 3-+（R b a ∈,）对应的点在虚轴上,则ab 的值是A ．15-B ．3C ．3-D ．1511. 【2015届吉林省长春市十一高中高三上学期阶段性考试】若复数i a a z )1(12-+-=（i 为虚数单位）是纯虚数,则实数=a （）A ．1±B ．1-C ．0D ．112. 【2015届云南省弥勒市高三年级模拟测试一】复数1z i =-,则1z z+对应的点所在的象限为（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限13. 【2015届高三下学期第二次统考（新课标2卷）】已知,,x y R i ∈为虚数单位,且(2)1x i y i --=-+,则(1)x y i ++的值为（）A ．4B ．4-C ．44i +D ．2i 14. 【2015届山东省德州市高三上学期2月期末统考】设1z i =-,则22z z+=（） A ．-1-i B ．-l+I C ．1-i D ．l+i15. 【2015届江西省景德镇高三第二质检】设z 是复数,()a z 表示满足1n z =的最小正整数n ,则对虚数单位i ,()a i =（）A.2 B ．4 C.6 D.816. 在复平面内,复数201532i iZ +-=对应的点位于（） (A)第四象限 (B)第三象限 (C)第二象限 (D)第一象限17. 如图,在复平面内,复数1z 和2z 对应的点分别是A 和B ,则21z z 等于（A ）12i + （B ）2i + （C ）12i -- （D ）2i -+18. 【2015安徽省安庆五校联盟高三下学期3月联考】已知i 是虚数单位,若()32i z i -⋅=,则z =（）（A ）1255i - （B ）2155i -+ （C ）2155i -- （D ）1255i + 【名师原创测试篇】 1. 复数2534z i =-在复平面内对应的点的坐标是（）A ．()3,4--B ．()3,4-C ．()3,4-D ．()3,42. 复若()1,2,3i z i =是复数,且集合{}11|(1)22A z z i i =+=-,{}2224|0z B z =+=,3z A B ∈,则3z = （）A ．2i ±B ．2±C ．2i -D ．2-3. 若复数()()1a a i z a R i+-=∈在平面直角坐标系中所对应的点在第三象限,则( ) A.01a << B.10a -<< C.0a < D 1a > 4. 若复数11a i z i i-=--+是实数（其中,a R i ∈是虚数单位）,则a = （）A ．1-B ．0C ．1D ．25. 已知复数121234,,z i z t i z z =+=+⋅且是实数,则实数t 等于（）A.34 B.43 C.43-D。

(全国卷)2016届高考英语二轮复习强化技能限时训练(二十资料

加强技术限时训练 ( 二十 )短文改错 +书面表达 ( 图画、图表类 )( 每组限时 35 分钟 )第一组Ⅰ . 短文改错假设英语课上老师要求同桌之间互换改正作文 , 请你改正你同桌写的以下作文。

文中共有 10 处语言错误 , 每句中最多有两处。

每处错误仅波及一个单词的增添、删除或改正。

增添 : 在缺词处加一个漏字符号( ∧), 并在其下边写出该加的词。

删除 : 把剩余的词用斜线(\) 划掉。

改正 : 在错的词下划一横线, 并在该词下边写出改正后的词。

注意 :1. 每处错误及其改正均仅限一词;2.只同意改正 10 处 , 多者 ( 从第 11 处起 ) 不计分。

Dear teachers and schoolmates,It ’ s great honor for me to be here today and share my experience of learning English withyou. I want to learn English well to take a better job,but I learn English in some difference ways. In class,I learn new words,useful expressions and grammar and take efforts to understand the texts under the help of our English teacher.After the class,I do a lot of exercises prepare for the college entrance examination. You also read news and watch videos on the Internet and from other source.I have a lot of fun especial when learning English with cartoon movies.Thanks for listening!答案及解析 : 第一句 :great前加a honor 在此处是可数名词。

【12份】2016高考数学(理)二轮复习：解答题中的10大热点考向及大题强化练共264张PPT

π π 函数在区间－6，3上单调递增的转化，找到不等关系，求得
k
的取值范围．
高考专题辅导与测试·数学
1．已知向量 m＝(2cos2x，sin x)，n＝(1,2cos x)． (1)若 m⊥n 且 0<x<π，试求 x 的值； (2)设 f(x)＝m· n，试求 f(x)的对称轴方程、对称中心、单调递增区间．
高考专题辅导与测试·数学
点津：解决本题的关键是要熟悉三角函数的图象，然后利用整体思想求解函数单调递减区间，在解决第三问时，要逐步变换，不要急于求成．
高考专题辅导与测试·数学
[ 典例 2]
已知函数 f(x) ＝ sin ωx ＋ 3cos
2
π ωx· cos 2－ωx
π (ω>0)，且函数 y＝f(x)的图象相邻两条对称轴之间的距离为2. (1)求
(1)根据表格提供的数据求函数 f(x)的解析式； 2π (2)根据(1)的结果，若函数 y＝f(kx)(k>0)的周期为 3 ，当
π kπ － 3 ≥－2， 3 2 k π π 所以解得 0<k≤4.11 分 ≤ ， 3 2 k>0，故k
3 的取值范围是0，4.12
分
高考专题辅导与测试·数学
点津：本题得分的关键有两点：一是由相邻两条对称轴之间 π 的距离为2，进而求得周期 T 和 ω，确定函数解析式；二是通过
解：(1)m⊥n⇒m· n＝0⇒2cos2x＋2sin xcos x＝0⇒cos 2x＋sin 2x＋1＝0⇒
π π 2sin2x＋4＝－1⇒sin2x＋4＝－
2 2 .4 分
π π 9π π 5π π 7π ∵0<x<π，∴2x＋4∈ 4， 4 .∴2x＋4＝ 4 或 2x＋4＝ 4 . π 3π ∴x＝2或 x＝考专题辅导与测试·数学

2016届高考数学二轮复习大专题综合测第2部分8

8 数学思想与数学方法时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(文)(2015·新课标Ⅰ文，10)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1－2，－log 2(x ＋1)，x ≤1，x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－14[答案] A[解析] 解法1：由已知条件可得函数图象：故f (a )＝－3＝－log 2(a ＋1)，可得a ＝7； f (6－a )＝f (－1)＝2－1－1－2＝－74.故本题正确答案为A ．解法2：由f (a )＝－3得⎩⎪⎨⎪⎧2a －1－2＝－3，a ≤1，或⎩⎪⎨⎪⎧－log 2(a ＋1)＝－3，a >1，解之得a ＝7， ∴f (6－a )＝f (－1)＝－74.解法3：由指数函数的性质知2x －1>0，∴2x －1－2>－2， ∵f (a )＝－3，∴－log 2(a ＋1)＝－3，∴a ＝7，∴f (6－a )＝f (－1)＝－74.(理)(2015·湖北文，7)设x ∈R ，定义符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，则( )A ．|x |＝x |sgn x |B ．|x |＝x sgn |x |C ．|x |＝|x |sgn xD ．|x |＝x sgn x[答案] D[解析] 对于选项A ，右边＝x |sgn x |＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，x ≠0，0，x ＝0，而左边＝|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，显然不正确；对于选项B ，右边＝x sgn|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，x ≠0，0，x ＝0，而左边＝|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，显然不正确；对于选项C ，右边＝|x |sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，x ≠0，0，x ＝0，而左边＝|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，显然不正确；对于选项D ，右边＝x sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0，0，x ＝0，－x ，x <0，而左边＝|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，显然正确；故应选D ．2．(文)如图，过抛物线y ＝ax 2(a >0)的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别为p 、q ，则1p ＋1q等于()A ．4aB ．2aC ．aD ．12a[答案] A[解析] 由于弦PQ 只要求过焦点F ，无论怎样的位置，结论都是一样的，故选取特殊位置．不妨设PQ ∥x 轴，则p ＝q ＝12a ，∴1p ＋1q＝4a .故选A ．(理)已知两定点A 、B 且|AB |＝4，动点P 满足|P A |－|PB |＝3，则|P A |的最小值是( ) A ．12B ．32C ．72D ．5[答案] C[解析] 由题作出示意图，分析得出P 在P ′点处|P A |min ，∴|AO |＝2，|OP ′|＝32.∴|P A |min ＝2＋32＝72.3．设[x ]表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x 、y ，有( ) A ．[－x ]＝－[x ] B ．[x ＋12]＝[x ]C ．[2x ]＝2[x ]D ．[x ]＋[x ＋12]＝[2x ][答案] D[解析] 选项A ，取x ＝1.5，则[－x ]＝[－1.5]＝－2，－[x ]＝－[1.5]＝－1，显然[－x ]≠－[x ]；选项B ，取x ＝1.5，则[x ＋12]＝[2]＝2≠[1.5]＝1；选项C ，取x ＝1.5，则[2x ]＝[3]＝3,2[x ]＝2[1.5]＝2，显然[2x ]≠2[x ]．4．(文)设0<a <b <1，则下列不等式成立的是( ) A ．a 3>b 3 B ．1a <1bC ．a b >1D ．lg(b －a )<0 [答案] D[解析] 取a ＝13，b ＝12，则(13)3<(12)3，排除A ；又3>2排除B ；a b ＝(13)12＝33<1，排除C ，故选D ．(理)(2015·福建文，12)“对任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，k sin x cos x <x ” 是“k <1”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件[答案] B[解析] 令f (t )＝sin t －t ，t ∈[0，π]，则f ′(t )＝cos t －1≤0恒成立，∴f (t )在[0，π]上单调递减，∴f (t )≤f (0)＝0，∴sin t ≤t ，令t ＝2x ，则0≤x ≤π2，因此当0<x <π2时可得sin x cos x <x ，当k <1时，有k sin x cos x <sin x cos x <x ，故必要性成立．令x ＝π3，则k sin x cos x <x ，即k <43π9，取k ＝43，满足k sin x cos x <x ，但此时k >1，故充分性不成立．5．(文)函数y ＝ax 2＋bx 与y ＝log|ba |x (ab ≠0，|a |≠|b |)在同一直角坐标系中的图象可能是( )[答案] D[解析] 对于选项A 、B ，对数函数单调递增，故⎪⎪⎪⎪b a >1，∴b a >1或b a <－1，－b 2a <－12或－b 2a >12，但A 、B 两项二次函数的对称轴都在⎝⎛⎭⎫0，12内，故A 、B 都不对．对于C 、D 两选项，对数函数单调递减，故0<⎪⎪⎪⎪b a <1，故－1<b a <1且b a ≠0，∴－12<－b 2a <12且－b2a≠0，选项C 二次函数的对称轴在⎝⎛⎭⎫－1，－12内，故C 不正确． (理)(2014·沈阳市质检)已知函数f (x )满足：①定义域为R ；②对任意x ∈R ，有f (x ＋2)＝2f (x )；③当x ∈[－1,1]时，f (x )＝1－x 2.若函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x(x ≤0)ln x (x >0)，则函数y ＝f (x )－g (x )在区间[－5,5]上零点的个数是( )A ．7B ．8C ．9D ．10[答案] D[解析] 如图，当x ≤0时，y ＝f (x )与y ＝e x 的图象有6个交点；当x >0时，y ＝f (x )与y ＝ln x 的图象有4个交点．故选D ．6．(2014·石家庄市质检)已知两定点A (－2，0)和B (2,0)，动点P (x ，y )在直线l ：y ＝x ＋3上移动，椭圆C 以A ，B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为( )A ．226 B ．426 C ．213D ．413[答案] B[解析] 如图，问题转化为在直线y ＝x ＋3上求一点P ，使得|P A |＋|PB |取最小值，作点A (－2,0)关于直线y ＝x ＋3的对称点A ′，连接A ′B 与直线y ＝x ＋3的交点P 即为所求．∴A ′(－3,1)，∴|A ′B |＝(－3－2)2＋(1－0)2＝26，∴|P A |＋|PB |＝|P A ′|＋|PB |＝|A ′B |＝26，∴椭圆的长轴长为2a ＝26，∴a ＝262，又∵椭圆的焦距2c ＝4，∴c ＝2，故离心率为e 的最大值为c a ＝2262＝426.7．(文)(2015·安徽文，4)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )A ．y ＝ln xB ．y ＝x 2＋1C ．y ＝sin xD ．y ＝cos x[答案] D[解析] 考查函数的奇偶性与零点．选项A ，y ＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，故y ＝ln x 不具备奇偶性，故A 错误；选项B ，y ＝x 2＋1是偶函数，但y ＝x 2＋1＝0无解，即不存在零点，故B 错误；选项C ，y ＝sin x 是奇函数，故C 错；选项D ，y ＝cos x 是偶函数，且y ＝cos x ＝0⇒x ＝π2＋k π，k ∈Z ，故D 项正确．(理)(2015·北京文，3)下列函数中为偶函数的是( ) A ．y ＝x 2sin x B ．y ＝x 2cos x C ．y ＝|ln x | D ．y ＝2－x[答案] B[解析] 根据偶函数的定义f (－x )＝f (x )，A 选项为奇函数，B 选项为偶函数，C 选项定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性，D 选项既不是奇函数，也不是偶函数，故选B ．8．(文)已知三条直线l 1：ax ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋1＝0，l 3：x ＋y ＋a ＝0能构成三角形，则( )A ．a ≠1B ．a ≠－1C ．a ≠±1D ．a ≠±1且a ≠－2 [答案] D[解析] 若构成三角形，三条直线应不交于同一点且任意两条不平行，考察选择支，当a ＝1时，l 1∥l 3，排除B ．a ＝－1时，l 1∥l 2，排除A ． a ＝－2时，可见⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋y ＋1＝0x －2y ＋1＝0x ＋y －2＝0交于同一点(1,1)排除C ，选D ．(理)曲线x 210－m ＋y 26－m ＝1(m <6)与曲线x 25－m ＋y 29－m ＝1(5<m <9)的( )A ．焦距相等B ．离心率相等C ．焦点相同D ．准线相同[答案] A[解析] ∵5<m <9，且m <6，∴5<m <6，∴x 25－m ＋y 29－m ＝1为双曲线，x 210－m ＋y 26－m＝1为椭圆，它们的离心率不可能相等，两曲线也不可能重合，排除B 、D ，而焦点也不同，一个在x 轴上，一个在y 轴上，故排除C ，故选A ．9．(2015·福建文，8)如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1,0)，且点C 与点D 在函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，－12x ＋1，x <0的图象上．若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于()A ．16B ．14C ．38D ．12[答案] B[解析] 解法1：由已知得，B (1,0)，C (1,2)，D (－2,2)，F (0,1)(F 为f (x )与y 轴的交点)，则矩形ABCD 面积为3×2＝6，阴影部分面积为12×3×1＝32，故该点取自阴影部分的概率等于326＝14.解法2：注意题中条件不难发现图中M 点为ON 的中点，故△CDM 的面积为矩形ABCD 面积的14，选B ．10．(2015·浙江文，4)设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l ⊂α，m ⊂β.( )A ．若l ⊥β，则α⊥βB ．若α⊥β，则l ⊥mC ．若l ∥β，则α∥βD ．若α∥β，则l ∥m[答案] A[解析] 选项A 为平面与平面垂直的判定定理，故正确；选项B 中，当α⊥β时，l ，m 可以垂直，也可以平行，也可以异面；选项C 中，l ∥β时，α，β可以相交；选项D 中，α∥β时，l ，m 也可以异面．故选A ．11．(文)(2015·西宁检测二)下列说法：①将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变；②设有一个线性回归方程y ^＝3－5x ，变量x 增加1个单位时，y 平均增加5个单位； ③线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^必过(x －，y －)；④设具有相关关系的两个变量x ，y 的相关系数为r ，则|r |越接近于0，x 和y 之间的线性相关程度越高；⑤在一个2×2列联表中，由计算得K 2的值，则K 2的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大．其中错误的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3[答案] C[解析] 方差反映一组数据的波动大小，将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变，故①正确；线性回归方程y ^＝3－5x 中，变量x 增加1个单位时，y 平均减小5个单位，故②不正确；线性回归直线y ^＝b ^x ＋a ^必过样本中心点，故③正确；根据线性回归分析中相关系数的定义，相关系数为r ，|r |越接近于1，相关程度越大，故④不正确；对分类变量x 与y 的随机变量的观测值K 2来说，K 2越大，“x 与y 有关系”的可信程度越大，故⑤正确．综上所述，错误结论的个数为2，故选C ．[易错分析] 本题易错在对基本概念或者基本性质掌握不扎实，纠错方法是逐个落实基本概念，切勿眼高手低，以致丢失一些基础分．(理)(2015·梧州二模)把一枚硬币任意抛掷三次，事件A ＝“至少一次出现反面”，事件B ＝“恰有一次出现正面”，则P (B |A )＝( )A ．37B ．38C ．78D ．18[答案] A[解析] P (AB )＝323＝38，P (A )＝1－123＝78，所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝37.12．(文)(2015·柳州市模拟)已知函数f (x )＝cos πx3，根据下列框图，输出S 的值为( )A ．670B ．67012C ．671D ．672[答案] C[解析] 由程序框图知，程序运行过程依次为：开始，S ＝0，n ＝1，y ＝f (1)＝cos π3＝12，y >0成立→S ＝0＋12＝12，n ＝1＋1＝2，n ≤2015成立→y ＝f (2)＝cos 2π3＝－12，y >0不成立→n ＝2＋1＝3，n ≤2015成立→y ＝f (3)＝cosπ＝－1，y >0不成立→n ＝3＋1＝4，n ≤2015成立→y ＝f (4)＝cos 4π3＝－12，y >0不成立→n ＝4＋1＝5，n ≤2015成立→y ＝f (5)＝cos 5π3＝12，y >0成立，S ＝12＋12＝1，n ＝5＋1＝6，n ≤2015成立→y ＝f (6)＝cos2π＝1，y >0成立，S ＝1＋1＝2，n ＝6＋1＝7，n ≤2015成立→y ＝f (7)＝cos 7π3＝12，…y ＝f (n )是周期为6的函数，当n ＝2015时，∵2015＝6×335＋5，∴输出的S ＝335×2＋12＋12＝671，选C ．(理)(2015·南昌市二模)安排A ，B ，C ，D ，E ，F 六名女工照顾甲、乙、丙三位老人，每两位义工照顾一位老人，考虑到义工与老人住址距离问题．义工A 不安排照顾老人甲，义工B 不安排照顾老人乙，安排方法共有( )A ．30B ．40C ．42D ．48[答案] C[解析] 若B 照顾甲，则有C 14C 24C 22种方法；若B 不照顾甲，则有C 24C 23C 22种方法，故适合条件的安排方法有C 14C 24C 22＋C 24C 23C 22＝42种．二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上) 13．(文)设坐标原点为O ，抛物线y 2＝4x 与过焦点的直线交于A 、B 两点，则OA →·OB →＝________.[答案] －3[解析] 由于没有限制直线AB 的位置，故取其特殊位置——与x 轴垂直的情形可得A (1,2)，B (1，－2)，∴OA →·OB →＝－3.[点评] 其一般解法为：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB ：x ＝my ＋1，将x ＝my ＋1代入y 2＝4x 中消去x 得，y 2－4my －4＝0，∴y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(my 1＋1)(my 2＋1)＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2＋m (y 1＋y 2)＋1＝(m 2＋1)·(－4)＋4m 2＋1＝－3.(理)已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A 、B 两点，且|AB |＝3，则OA →·OB →＝________.[答案] －12[解析] 因为直线方程中的三个系数a 、b 、c 均未知，因此直线位置不确定，故可利用条件|AB |＝3取特殊位置来解答．令A (－32，12)，B (32，12)，则|AB |＝3， ∴OA →·OB →＝－32×32＋12×12＝－12.14．(文)已知三个互不重合的平面α、β、γ，α∩β＝m ，n ⊂γ，且直线m 、n 不重合，由下列三个条件：①m ∥γ，n ⊂β；②m ∥γ，n ∥β；③n ⊂γ，n ∥β.能推出m ∥n 的条件是________． [答案] ①或③[解析] 构建长方体模型，如图，观察选项特点，可优先判断条件②：取平面α为平面ADD ′A ′，平面β为平面ABCD ，则直线m 为直线AD ．因m ∥γ，故可取平面γ为平面A ′B ′C ′D ′，因为n ⊂γ且n ∥β，故可取直线n 为直线A ′B ′.则直线AD 与平面A ′B 为异面直线，故m 与n 不平行．对于①：α、β取②中平面，取平面γ为平面BCC ′B ′，可取直线n 为直线BC ，故可推得m ∥n ；对于③：α，β取②中平面，取γ为平面AB ′C ′D ，取直线n 为直线B ′C ′故可推得结论：(理)已知两个实数集A ＝{a 1，a 2，…，a 60}与B ＝{b 1，b 2，…，b 25}．若从A 到B 的映射f 使得B 中每个元素都有原象，且f (a 1)≥f (a 2)≥…≥f (a 60)，则这样的映射共有________个．[答案] C 2459[解析] 由映射的定义及条件知，A 中每个元素在B 中都有象，B 中每个元素在A 中都有原象，可以多对一，但不能一对多．又由f (a 1)≥f (a 2)≥…≥f (a 60)知，象只能从大到小顺序排列，我们可以构造这样的数学模型来解决，将a 1，a 2，…，a 60依次排成一列，从所形成的59个空隙中选取24个用插板隔开，然后让集合B 中的元素按从大到小的顺序依次从左到右对应到这25个部分，每一部分有n 个元素，这n 个元素的象都是集合B 中的这一个元素，∴共有C 2459种对应方法．15．(2015·福建理，14)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log ax ，x ＞2)(a ＞0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．[答案] (1,2][解析] 当x ≤2时，－x ＋6≥4，要使得函数f (x )的值域为[4，＋∞)，只需f 1(x )＝3＋log a x (x ＞2)的值域包含于[4，＋∞)，故a ＞1，所以f 1(x )＞3＋log a 2，所以3＋log a 2≥4，解得1＜a ≤2，所以实数a 的取值范围是(1,2]．16．(文)抛物线y ＝x 2在x ＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D (包含三角形内部与边界)．若点P (x ，y )是区域D 内的任意一点，则x ＋2y 的取值范围是________．[答案] [－2，12][解析] 由于y ′＝2x ，所以抛物线在x ＝1处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.画出可行域(如图)．设x ＋2y ＝z ，则y ＝－12x ＋12z ，可知当直线y ＝－12x ＋12z 经过点A (12，0)，B (0，－1)时，z 分别取到最大值和最小值，此时最大值z max ＝12，最小值z min ＝－2，故z 的取值范围是[－2，12]．(理)(2014·新课标Ⅱ理，16)设点M (x 0,1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是________．[答案] [－1,1][解析] 在坐标系中画出圆O 和直线l ：y ＝1，其中M (x 0,1)在直线上，设l 与y 轴交点为A ，过M 作⊙O 的切线MB ，切点为B ，则∠OMB ＝∠OMA ≥45°，又当x 0＝1时，∠OMB ＝45°，∴当－1≤x 0≤1时，点N 存在， ∴－1≤x 0≤1.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)(文)(2014·江西理，16)已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋a cos(x ＋2θ)，其中a ∈R ，θ∈(－π2，π2)．(1)当a ＝2，θ＝π4时，求f (x )在区间[0，π]上的最大值与最小值；(2)若f (π2)＝0，f (π)＝1，求a 、θ的值．[审题要点] (1)已知a 和θ的值，求f (x )的最值，解题流程化简f (x )为一角一函形式→求ωx ＋φ的取值范围→求sin(ωx ＋φ)的取值范围→求f (x )的最值．(2)由f (π2)＝0，f (π)＝1，求a 、θ值解题流程由条件列关于a 、θ的方程组→解三角方程，结合θ∈(－π2，π2)求a 、θ的值．[解析] (1)f (x )＝sin(x ＋π4)＋2cos(x ＋π2)＝22(sin x ＋cos x )－2sin x ＝22cos x －22sin x ＝sin(π4－x )．因为x ∈[0，π]，从而π4－x ∈[－3π4，π4]．故f (x )在[0，π]上的最大值为22，最小值为－1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧f (π2)＝0，f (π)＝1.得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ(1－2a sin θ)＝0，2a sin 2θ－sin θ－a ＝1.又θ∈(－π2，π2)知cos θ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，θ＝－π6.[易错警示] 1.f (x )在[0，π]上最值与f (x )在R 上最值不同； 2．解a 、θ的方程组时，注意θ∈(－π2，π2)．(理)(2014·山东理，16)已知向量a ＝(m ，cos2x )，b ＝(sin2x ，n )，设函数f (x )＝a ·b ，且y ＝f (x )的图象过点(π12，3)和(2π3，－2)．(1)求m 、n 的值；(2)将y ＝f (x )的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求y ＝g (x )的单调递增区间．[审题要点] (1)由f (x )＝a ·b 可得f (x )解析式，由f (x )图象上两点坐标可求m 、n .(2)将f (x )化为“一角一函”形式→求g (x )→由g (x )图象上最高点与(0,3)最小距离为1，求φ→求g (x )的递增区间．[解析] (1)由题意知f (x )＝a ·b ＝m sin2x ＋n cos2x . 因为y ＝f (x )的图象过点(π12，3)和(2π3，－2)，所以⎩⎨⎧3＝m sin π6＋n cos π6，－2＝m sin 4π3＋n cos 4π3，即⎩⎨⎧3＝12m ＋32n ，－2＝－32m －12n ，解得m ＝3，n ＝1.(2)由(1)知f (x )＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋π6)．由题意知g (x )＝f (x ＋φ)＝2sin(2x ＋2φ＋π6)．设y ＝g (x )的图象上符合题意的最高点为(x 0,2)，由题意知x 20＋1＝1，所以x 0＝0，即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2)．将其代入y ＝g (x )得sin(2φ＋π6)＝1，因为0<φ<π，所以φ＝π6，因此g (x )＝2sin(2x ＋π2)＝2cos2x ，由2k π－π≤2x ≤2k π，k ∈Z 得 k π－π2≤x ≤k π，k ∈Z ，所以函数y ＝g (x )的单调递增区间为[k π－π2，k π]，k ∈Z .[易错警示] 1.注意左、右平移的区别．2．f (x )＝A sin(ωx ＋φ)与g (x )＝A cos(ωx ＋φ)型函数单调区间注意别弄混． [方法点拨] 三角变换、三角函数的图象与性质及解斜三角形高考命题一般规律是将三角函数的图象与性质与三角变换或者解三角形、平面向量结合在一起．18．(本题满分12分)(文)(2015·河南省八市质量监测)某校在2015年2月份的高三期末考试结束后为了研究本校的数学成绩，随机抽取了50名学生的数学成绩分析，现将成绩按如下方式分为7组，第一组[80,90)，第二组[90,100)，……第七组[140,150]，得到如图所示的频率分布直方图．(1)试估计该校数学的平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)为了具体了解本次考试的情况，从成绩在[130,150]的同学中任意抽取2人进行谈话，那么抽取的2人中恰好有一人的成绩位于[140,150]的概率是多少？[解析] (1)由频率分布直方图可知[120,130)的频率为：1－(0.01×10＋0.02×10＋0.03×10＋0.016×10＋0.008×10＋0.004×10)＝1－0.88＝0.12. 所以估计该校全体学生的数学平均成绩约为85×0.1＋95×0.2＋105×0.3＋115×0.16＋125×0.12＋135×0.08＋145×0.04＝8.5＋19＋31.5＋18.4＋15＋10.8＋5.8＝109.(2)根据频率分布直方图可知成绩在[130,140)有50×0.08＝4人，记为a 1，a 2，a 3，a 4, 成绩在[140,150]有50×0.04＝2人，记为b 1，b 2.从中任取2人有(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，a 4)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，a 3)，(a 2，a 4)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，a 4)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(a 4，b 1)，(a 4，b 2)，(b 1，b 2)，共15种抽法，恰好有一人的成绩位于[140,150]的有(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(a 4，b 1)，(a 4，b 2)，共有8种抽法，所以P ＝815，即恰好有一人的成绩位于[140,150]的概率是815.(理)(2015·湖南理，18)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球．在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列和数学期望．[解析] (1)记事件A 1＝{从甲箱中摸出的1个球是红球}，A 2＝{从乙箱中摸出的1个球是红球} ，B 1＝{顾客抽奖1次获一等奖}，B 2＝{顾客抽奖1次获二等奖}，C ＝{顾客抽奖1次能获奖}．由题意，A 1与A 2相互独立，A 1A 2与A 1A 2互斥， B 1与B 2互斥，且B 1＝A 1A 2，B 2＝A 1A 2＋A 1A 2，C ＝B 1＋B 2.因P (A 1)＝410＝25，P (A 2)＝510＝12，所以P (B 1)＝P (A 1A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝25×12＝15， P (B 2)＝P (A 1A 2＋A 1A 2)＝P (A 1A 2)＋P (A 1A 2) ＝P (A 1)(1－ P (A 2))＋(1－P (A 1))P (A 2) ＝25×(1－12)＋(1－25)×12＝12，故所求概率为P (C )＝ P (B 1＋B 2)＝P (B 1)＋P (B 2) ＝15＋12＝710. (2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验，由(1)知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为15，所以X ～B (3，15)．于是P (X ＝0)＝C 03(15)0(45)3＝64125， P (X ＝1)＝C 13(15)1(45)2＝48125， P (X ＝2)＝C 23(15)2(45)1＝12125，P (X ＝3)＝C 33(15)3(45)0＝1125. 故X 的分布列为X 的数学期望为E (X )＝3×15＝35.19．(本题满分12分)(文)(2014·哈三中一模)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠BAD ＝60°，Q 为AD 的中点．(1)若P A ＝PD ，求证：平面PQB ⊥平面P AD ；(2)若平面P AD ⊥平面ABCD ，且P A ＝PD ＝AD ＝2，点M 在线段PC 上，且PM ＝2MC ，求三棱锥P －QBM 的体积．[分析] (1)由四边形ABCD 为菱形，∠BAD ＝60°可知△ABD 为正三角形，P A ＝PD 和Q 为AD 中点表明PQ ⊥AD ；要证平面PQB ⊥平面P AD ，需在其中一个平面内找一条直线与另一个平面垂直，那么这条直线可能为PQ 或AD ，考虑△ABD 中Q 为边AD 的中点可知BQ ⊥AD ，故AD 即所找的直线，这样只要证明AD ⊥平面PQB 即可．(2)由于平面P AD ⊥平面ABCD ，交线为AD ，则在其中一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直，P A ＝PD ＝AD ，Q 为AD 的中点就提供这条直线，即PQ ⊥平面ABCD ．欲求V P －QBM ，由于PM ＝2MC ，∴可由V P －QBM ＝2V C －QBM ＝23V P －BQC 进行等积转化，也可以由CB ⊥平面PQB 得平面PBC ⊥平面PQB ，∴过M 作MH ⊥PB ，垂足为H ，则MH 为棱锥M －PQB 的高．[解析] (1)∵P A ＝PD ，Q 为AD 的中点，∴PQ ⊥AD ，又∵底面ABCD 为菱形，∠BAD ＝60°，∴BQ ⊥AD ，又PQ ∩BQ ＝Q ，∴AD ⊥平面PQB ，又∵AD ⊂平面P AD ，∴平面PQB ⊥平面P AD ；(2)∵平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，PQ ⊥AD ，∴PQ ⊥平面ABCD ，∴BC ⊂平面ABCD ，∴PQ ⊥BC ，又BC ⊥BQ ，QB ∩QP ＝Q ，∴BC ⊥平面PQB ，又PM ＝2MC ，∴V P －QBM ＝V M －PQB ＝13·12·3·3·23·2＝23.[方法点拨] 在立体几何证题中，要牢记线线平行、线面平行与面面平行之间可以相互转化，线线垂直、线面垂直与面面垂直之间可以相互转化，要注意结合图形寻找条件与结论之间的联系．(理) (2014·沈阳市质检)如图，BC 为圆O 的直径，D 为圆周上异于B 、C 的一点，AB 垂直于圆O 所在的平面，BE ⊥AC 于点E ，BF ⊥AD 于点F .(1)求证：BF ⊥平面ACD ；(2)若AB ＝BC ＝2，∠CBD ＝45°，求平面BEF 与平面BCD 所成锐二面角的余弦值． [审题要点] (1)由D 在圆周上知BD ⊥CD ．又AB ⊥平面BCD ，可知CD ⊥平面ABD ，欲证BF ⊥平面ACD ，由于BF ⊥AD ，只要找到平面ACD 内与BF 垂直的另一条直线即可，CD 即是要找的直线．(2)①要找出二面角的平面角，需找到二面角的棱，这样作图会很麻烦，注意到AB ⊥平面BCD ，从而平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABC ⊥平面BCD ，故E 、F 在底面上的射影分别在BC 、BD 上，故可用△BEF 与其射影三角形的面积来求二面角的余弦值；②由AB ⊥平面BCD 知AB →为平面BCD 的一个法向量，由于AE ⊥AC ，BF ⊥平面ACD ，故AC →是平面BEF 的法向量，则二面角的计算可转化为研究AB →与AC →的夹角；③从众多垂直关系中，找到建系方案，可用坐标法讨论．[解析] (1)证明：∵BC 为圆O 的直径，∴CD ⊥BD ， ∵AB ⊥圆O 所在的平面，∴AB ⊥CD ，且AB ∩BD ＝B ，∴CD ⊥平面ABD ．又∵BF ⊂平面ABD ，∴CD ⊥BF ，又∵BF ⊥AD ，且AD ∩CD ＝D ， ∴BF ⊥平面ACD ． (2)方法一：(向量法)由(1)知：BF ⊥平面ACD ，AC ⊂平面ACD ， ∴BF ⊥AC ，又BE ⊥AC ，且BE ∩BF ＝B ， ∴AC ⊥平面BEF ，即AC →是平面BEF 的一个法向量．又由已知AB 垂直于圆O 所在的平面，得AB →是平面BCD 的一个法向量， ∴平面BEF 与平面BCD 所成的锐角二面角与向量AC →与AB →所成的角相等，故所求锐角二面角的余弦值为cos ∠CAB ＝22.方法二：(射影面积法)过点F 作FG ∥AB ，交BD 于点G ，连接OG 、OE ，可知EO 、FG 都垂直于平面BCD ， ∴△BGO 是△BFE 在平面BCD 上的射影， ∵AB ＝BC ＝2，∠CBD ＝45°，∴BD ＝DC ＝2，又∵BF ⊥AD ，∴DF ＝BD 2AD ＝63＝13AD ，∴BG ＝23BD ＝223，∴S △BOG ＝12BO ·BG ·sin45°＝13.在Rt △ABD 中，由于BF ⊥AD 得BF ＝AB ·BD AD ＝2·26＝233，∵BF ⊥平面ACD ，EF ⊂平面ACD ，∴BF ⊥EF ，则在Rt △BEF 中，BE ＝2， ∴EF ＝BE 2－BF 2＝63， ∴S △BEF ＝12BF ·EF ＝23.设平面BEF 与平面BCD 所成锐二面角为θ，则 cos θ＝S △BDG S △BEF＝1323＝22.方法三：向量坐标法．如图，以O 为原点建立空间直角坐标系．则B (0，－1,0)，E (0,0,1)，D (1,0,0)，A (0，－1,2)， ∵BF ⊥AD ，∴DF ＝BD 2AD ＝63＝13AD ，得DF →＝13DA →，∴点F (23，－13，23)，BF →＝(23，23，23)，BE →＝(0,1,1)．设平面BEF 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则 ⎩⎪⎨⎪⎧ BF →·n 1＝0，BE →·n 1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧0·x ＋1·y ＋1·z ＝0，23·x ＋23·y ＋23·z ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－z ，x ＝0.不妨取平面BEF 的法向量n 1＝(0，－1，1)，而又由已知AB 垂直于圆O 所在的平面，得BA →是平面BDC 的一个法向量，即n 2＝BA →＝(0,0,2)，设平面BEF 与平面BCD 所在锐角二面角为θ，则cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2|n 1|·|n 2||＝22. 20．(本题满分12分)(文)(2015·河南六市联考)已知{a n }是一个公差大于0的等差数列，且满足a 3a 5＝45，a 2＋a 6＝14.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足：b 12＋b 222＋…＋b n2n ＝a n ＋1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n .[解析] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则依题设d >0. 由a 2＋a 6＝14，可得a 4＝7.由a 3a 5＝45，得(7－d )(7＋d )＝45，可得d ＝2. 所以a 1＝7－3d ＝1. 可得a n ＝2n －1.(2)设c n ＝b n2n ，则c 1＋c 2＋…＋c n ＝a n ＋1.即c 1＋c 2＋…＋c n ＝2n ，可得c 1＝2，且c 1＋c 2＋…＋c n ＋c n ＋1＝2(n ＋1)．所以c n ＋1＝2，可知c n ＝2(n ∈N *)．所以b n ＝2n ＋1，所以数列{b n }是首项为4，公比为2的等比数列．所以前n 项和S n ＝4(1－2n )1－2＝2n ＋2－4.(理)(2015·江西上饶市三模)已知数列{a n }的首项a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1. (1)求证：{a n ＋1}是等比数列； (2)求数列{na n }的前n 项和S n .[解析] (1)∵a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，则a n ＋1＋1a n ＋1＝2为常数，∴{a n ＋1}是等比数列． (2)∵a 1＝1，可得a n ＋1＝2n ，∴a n ＝2n －1，则na n ＝n ·2n －n ，设T n ＝1×2＋2×22＋…＋n ·2n ，则 2T n ＝1×22＋2×23＋…＋n ·2n ＋1 T n ＝－2－22－23－…－2n ＋n ·2n ＋1 ＝－2(1－2n )1－2＋n ·2n ＋1＝(n －1)2n ＋1＋2 ∴S n＝(n －1)2n ＋1－n 2＋n2＋2. 21．(本题满分12分)(文)设a >0且a ≠1，函数f (x )＝12x 2－(a ＋1)x ＋a ln x .(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在(3，f (3))处切线的斜率； (2)求函数f (x )的极值点．[分析] 第(1)问求f (x )在(3，f (3))处的斜率就是求f ′(3)；第(2)问求f (x )的极值点，由于f (x )中含参数a ，a 的取值变化会引起f (x )单调区间的改变，从而极值改变，故需分类讨论．[解析] (1)由已知x >0，当a ＝2时，f ′(x )＝x －3＋2x，曲线y ＝f (x )在(3，f (3))处切线的斜率为f ′(3)＝23.(2)f ′(x )＝x －(a ＋1)＋a x ＝x 2－(a ＋1)x ＋ax＝(x －1)(x －a )x.由f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝a ， ①若0<a <1，则当x ∈(0，a )时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；当x ∈(a,1)时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增．此时x ＝a 是f (x )的极大值点，x ＝1是f (x )的极小值点． ②若a >1，则当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；当x ∈(1，a )时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增．此时x ＝1是f (x )的极大值点，x ＝a 是f (x )的极小值点．综上，当0<a <1时，x ＝a 是f (x )的极大值点，x ＝1是f (x )的极小值点；当a >1时，x ＝1是f (x )的极大值点，x ＝a 是f (x )的极小值点． (理)已知函数f (x )＝12ax 2＋ln x ，其中a ∈R .(1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在(0,1]上的最大值是－1，求a 的值．[分析] (1)求函数f (x )的单调区间，按用导数法求单调区间的一般步骤求解，由于f (x )解析式中含参数，故需分类讨论．第(2)问可在第一问的基础上按区间上最值讨论方法令最大值等于－1列方程求解．[解析] (1)f ′(x )＝ax 2＋1x，x ∈(0，＋∞)．当a ≥0时，f ′(x )>0，从而函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a <0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝－1a，舍去x ＝－－1a. 此时，f (x )与f ′(x )的情况如下：单调递减区间是(－1a，＋∞)．(2)①当a ≥0时，由(1)得函数f (x )在(0,1]上的最大值为f (1)＝a2.令a2＝－1，得a ＝－2，这与a ≥0矛盾，舍去a ＝－2. ②当－1≤a <0时，－1a ≥1，由(1)得函数f (x )在(0,1]上的最大值为f (1)＝a 2. 令a2＝－1，得a ＝－2，这与－1≤a <0矛盾，舍去a ＝－2. ③当a <－1时，0<－1a<1，由(1)得函数f (x )在(0,1]上的最大值为f (－1a)．令f (－1a)＝－1，解得a ＝－e ，满足a <－1. 综上，当f (x )在(0,1]上的最大值是－1时，a ＝－e.22．(本题满分12分)(文)(2015·河南洛阳市期末)已知椭圆的中心是坐标原点O ，焦点在x 轴上，离心率为22，坐标原点O 到过右焦点F 且斜率为1的直线的距离为22. (1)求椭圆的标准方程；(2)设过右焦点F 且与坐标轴不垂直的直线l 交椭圆于P 、Q 两点，在线段OF 上是否存在点M (m,0)，使得|MP |＝|MQ |？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．[解析] (1)椭圆方程可设为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F (c,0)，(c >0)，则过右焦点F 的直线l 1：x －y －c ＝0，由坐标原点O 到l 1的距离为22. 则|0－0－c |2＝22，解得c ＝1. 又e ＝c a ＝22，故a ＝2，b ＝1.∴所求椭圆方程为x 22＋y 2＝1.(2)假设存在点M (m,0)(0<m <1)满足条件，使得以MP ，MQ 为邻边的平行四边形是菱形，则|MP |＝|MQ |，因为直线与x 轴不垂直，所以设直线l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2＝2，y ＝k (x －1)可得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0. ∴Δ＝8k 2＋8>0恒成立，∴x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2.设线段PQ 的中点为N (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝2k 21＋2k 2，y 0＝k (x 0－1)＝－k 1＋2k 2， ∵|MP |＝|MQ |，∴MN ⊥PQ ，∴k MN ·k PQ ＝－1，即－k 1＋2k 22k 21＋2k 2－m ·k ＝－1，∴m ＝k 21＋2k 2＝12＋1k2.∵k 2>0，∴0<m <12. (理)(2015·长春市质量监测)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的上顶点为(0,1)，且离心率为32.(1)求椭圆C 的方程；(2)证明：过椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1(m >n >0)上一点Q (x 0，y 0)的切线方程为x 0x m 2＋y 0yn2＝1；(3)从圆x 2＋y 2＝16上一点P 向椭圆C 引两条切线，切点分别为A 、B ，当直线AB 分别与x 轴、y 轴交于M 、N 两点时，求|MN |的最小值．[解析] (1)∵b ＝1，e ＝c a ＝32，∴a ＝2，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)当y >0时，y ＝n 1－x 2m 2，故y ′＝－nxm2·11－x 2m2，∴当y 0>0时，切线的斜率k ＝－n m 2x 0·11－x 20m2＝－nx 0m 2·1y 0n＝－n 2m 2·x 0y 0.∴切线方程为y －y 0＝－n 2m 2·x 0y 0(x －x 0)，∴n 2x 0x ＋m 2y 0y ＝m 2y 20＋n 2x 20＝m 2n 2，∴x 0x m 2＋y 0y n2＝1.当y 0＝0时，切线方程为x ＝±m ，满足x 0x m 2＋y 0yn2＝1.综上，过椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1上一点Q (x 0，y 0)的切线方程为x 0x m 2＋y 0yn2＝1.(3)设点P (x P ，y P )为圆x 2＋y 2＝16上一点，P A 、PB 是椭圆x 24＋y 2＝1的切线，切点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，过点A 的椭圆的切线为x 1x 4＋y 1y ＝1，过点B 的椭圆的切线为x 2x4＋y 2y ＝1.∵两切线都过P 点，∴x 1x P 4＋y 1y P ＝1，x 2x P4＋y 2y P ＝1.∴切点弦AB 所在直线的方程为xx P4＋yy P ＝1.∴N (0，1y P )，M (4x P，0)，∴|MN |2＝16x 2P ＋1y 2P ＝(16x 2P ＋1y 2P )·x 2P ＋y 2P 16＝116(x 2P y 2P ＋17＋16·y 2Px 2P ) ≥116(17＋216·x 2P y 2P ·y 2P x 2P )＝2516，当且仅当x 2P y 2P ＝16y 2Px 2P ，即x 2P ＝645，y 2P ＝165时取等号， ∴|MN |≥54，∴|MN |的最小值为54.反馈练习一、选择题1．(文)(2014·山东理，5)已知实数x 、y 满足a x <a y (0<a <1)，则下列关系式恒成立的是( ) A ．1x 2＋1>1y 2＋1B ．ln(x 2＋1)>ln(y 2＋1)C ．sin x >sin yD ．x 3>y 3[答案] D[解析] a x <a y (0<a <1)，∴x >y ，而幂函数y ＝x 3在定义域上为增函数， ∴x 3>y 3.[点评] 可以用特值检验法求解．(理)(2014·唐山市二模)若正数a 、b 、c 满足c 2＋4bc ＋2ac ＋8ab ＝8，则a ＋2b ＋c 的最小值为( )A ． 3B ．2 3C ．2D ．2 2[答案] D[解析] ∵c 2＋4bc ＋2ac ＋8ab ＝8，∴c (c ＋4b )＋2a (c ＋4b )＝8，∴(c ＋4b )(c ＋2a )＝8，∵a 、b 、c 都为正数，∴(c ＋4b )(c ＋2a )≤(c ＋4b ＋c ＋2a 2)2，∴(a ＋2b ＋c )2≥8，∴a ＋2b ＋c ≥2 2.2．(文)(2014·新课标Ⅱ文，5)等差数列{a n }的公差为2，若a 2，a 4，a 8成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝( )A ．n (n ＋1)B ．n (n －1)C ．n (n ＋1)2D ．n (n －1)2[答案] A[解析] ∵a 2，a 4，a 8成等比数列，{a n }的公差为2, (a 1＋6)2＝(a 1＋2)(a 1＋14)， ∴a 1＝2，∴S n ＝na 1＋n (n －1)d 2＝2n ＋n (n －1)2×2＝n (n ＋1)．(理)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6[答案] C[解析] S m －S m －1＝a m ＝2，S m ＋1－S m ＝a m ＋1＝3， ∴d ＝a m ＋1－a m ＝3－2＝1， S m ＝a 1m ＋m (m －1)2·1＝0，①a m ＝a 1＋(m －1)·1＝2， ∴a 1＝3－m .②②代入①得3m －m 2＋m 22－m2＝0，∴m ＝0(舍去)或m ＝5，故选C ．3．(文)(2014·哈三中二模)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，且a 2－c 2＝2b ，tan A tan C＝3，则b 等于( )A ．3B ．4C ．6D ．7[答案] B[解析] ∵tan Atan C ＝3，∴sin A cos C ＝3sin C cos A ，∴sin B ＝sin(A ＋C )＝4sin C cos A ，∴b ＝4c ·b 2＋c 2－a 22bc ，∴b 2＝2(a 2－c 2)＝4b ，∵b >0，∴b ＝4.(理)(2014·东北三省三校二模)已知方程|cos x |x ＝k 在(0，＋∞)上有两个不同的解α、β(α<β)，则下列的四个命题正确的是( )A ．sin 2α＝2αcos 2αB ．cos2α＝2αsin 2αC ．sin2β＝－2βsin 2βD ．cos2β＝－2βsin 2β[答案] C[解析] 令y ＝|cos x |，y ＝kx ，在同一坐标系中画出它们的图象，如图所示．∵α<β，∴0<α<π2，π2<β<π，检验可知，选C ．4．(文)将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图如图，后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示：则7个剩余分数的方差为A ．1169B ．367C ．36D ．677[答案] B[解析] 去掉最高最低分后的数据为87,90,90,91,91,94,90＋x ，由x －＝91＝87＋90＋90＋91＋91＋94＋(90＋x )7得x ＝4，则方差S 2＝[(87－91)2＋(90－91)2＋(90－91)2＋(91－91)2＋(94－91)2＋(91－91)2＋(94－91)2]＝367.(理)若随机变量X ～N (1,4)，P (X ≤0)＝m ，则P (0<X <2)＝( )A ．1－2mB ．1－m 2C ．1－2m 2D ．1－m[答案] A[解析] 本题可利用正态曲线的对称性解答．据题意知正态曲线关于直线x ＝1对称，故P (0<X <1)＝12－P (X ≤0)＝12－m ，因此P (0<X <2)＝2P (0<X <1)＝2(12－m )＝1－2m .5．已知α是三角形的最大内角，且cos2α＝12，则曲线x 2cos α＋y 2sin α＝1的离心率为( )A ．2B ． 3C ．1＋ 2D ．1＋ 3[答案] D[解析] ∵α是三角形的最大内角，∴π3≤α<π，∴2π3≤2α<2π，又∵cos2α＝12，∴2α＝5π3，∴α＝5π6，∴sin α＝12，cos α＝－32，∴曲线x 2cos α＋y 2sin α＝1为y 212－x 232＝1，∴a 2＝12，b 2＝32，c 2＝1＋32，∴离心率e ＝ca＝1＋32·21＝1＋ 3.6．(2014·甘肃省三诊)若圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0关于直线2ax ＋by ＋6＝0对称，则由点(a ，b )向圆所作的切线长的最小值是( )A ．2B ．4C ．3D ．6[答案] B[解析] 由题意知，直线2ax ＋by ＋6＝0，过圆心(－1,2)，∴a －b －3＝0，圆心(－1,2)到直线a －b －3＝0的距离为|－1－2－3|2＝32，∴所作的切线长的最小值是(32)2－(2)2＝4.7．(2014·邯郸市模拟)已知直线y ＝k (x ＋1)(k >0)与函数y ＝|sin x |的图象恰有四个公共点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)其中x 1<x 2<x 3<x 4，则有( )A ．sin x 4＝1B ．sin x 4＝(x 4＋1)cos x 4C ．sin x 4＝k cos x 4D ．sin x 4＝(x 4＋1)tan x 4[答案] B[解析] ∵直线y ＝k (x ＋1)(k >0)与y ＝|sin x |图象恰有四个公共点，如图∴当x ∈(π，2π)时，函数y ＝|sin x |＝－sin x ，y ′＝－cos x . 依题意，切点为(x 4，y 4)，∴k ＝－cos x 4，又x ∈(π，2π)时，|sin x 4|＝－sin x 4∴y 4＝k (x 4＋1)，即－sin x 4＝(－cos x 4)·(x 4＋1)， ∴sin x 4＝(x 4＋1)cos x 4，故选B ．8．(文)(2015·河北省衡水中学一模)某校今年计划招聘女教师a 名，男教师b 名，若a 、b 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ≥5，a －b ≤2，a <7.设这所学校今年计划招聘教师最多x 名，则x ＝( )A ．10B ．12C ．13D ．16[答案] C[解析] 如图所示，画出约束条件所表示的可行域，作直线l ：b ＋a ＝0，平移直线l ，再由a ，b ∈N ，可知当a ＝6，b ＝7时，x ＝a ＋b ＝13.(理)(2015·重庆文，10)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m ≥0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为( )A ．－3B ．1C ．43D ．3[答案] B [解析] 如图，由于不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m ≥0，表示的平面区域为三角形ABC ，且其面积等于43，再注意到直线AB ：x ＋y －2＝0与直线BC ：x －y ＋2m ＝0互相垂直，所以三角形ABC 是直角三角形；易知，A (2,0)，B (1－m ，m ＋1)，C (2－4m 3，2m ＋23)；从而S △ABC ＝12|2＋2m |·|m ＋1|－12|2＋2m |·|2m ＋23|＝43，化简得：(m ＋1)2＝4，解得m ＝－3，或m ＝1；检验知当m ＝－3时，已知不等式组不能表示一个三角形区域，故舍去；所以m ＝1；故选B ．9．(文)一个四面体的顶点在空间直角坐系O －xyz 中的坐标分别是(1,0,1)、(1,1,0)、(0,1,1)、(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可为()[答案] A[解析] 由已知条件作出四面体的直观图如图所示，将四面体BDC1A1补形为正方体ABCD－A1B1C1D1，容易看出四面体在zOx平面上的投影为ADD1A1(其中C1的投影为D1，B的投影为A)，且BC1的投影线为AD1，它是实线，故选A．(理)(2014·新课标Ⅰ理，12)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为()A．6 2 B．6C．4 2 D．4[答案] B[解析]由三视图可知，该几何体是一个三棱锥S－ABC，底面ABC为等腰直角三角形，直角边长AB＝BC＝4，侧面SBC⊥底面ABC，侧面SBC是一个等腰三角形，底边BC＝4，高SO＝4，故其最长的棱为SA，取BC的中点O，则SO⊥平面ABC，∴BO＝2，AO＝AB2＋DO2＝20，∴SA＝AO2＋SO2＝6.其直观图如图1，把该几何体放入正方体中如图2.10．(文)已知区域M ：x 2＋y 2－2x －2y －2≤0，区域N ：2－x ≤y ≤x ，随机向区域M 中投放一点．该点落在区域N 内的概率为( )A ．14B ．π4C ．18D ．π8[答案] A[解析] M ：(x －1)2＋(y －1)2≤4为以C (1,1)为圆心，2为半径的圆及其内部的平面区域；又区域N ：2－x ≤y ≤x ，如图可知，随机向区域M 内投放一点，则该点落在区域N 内的概率P ＝14.(理)(2015·湖北理，4)设X ～N (μ1，σ21)，Y ～N (μ2，σ22)，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是( )A ．P (Y ≥μ2)≥P (Y ≥μ1)B ．P (X ≤σ2)≤P (X ≤σ1)C ．对任意正数t ，P (X ≤t )≥P (Y ≤t )D ．对任意正数t ，P (X ≥t )≥P (Y ≥t ) [答案] D[解析] 由图象可知μ1<μ2，σ1<σ2，∴P (Y ≥μ2)＝12<P (Y ≥μ1)，P (X ≤σ2)>P (X ≤σ1)，对任意实数t ，P (X ≥t )<P (Y ≥t )，∴C 错，P (X ≤t )≥P (Y ≤t )正确，故选D ．11．当0<x <π2时，函数f (x )＝1＋cos2x ＋4sin 2x sin2x 的最小值为( )A ．－4B ．－2 2C ．4D ．2 2[答案] D[分析] 分式形式的函数的最值问题常考虑构造斜率模型求解，常常是过一个定点和一个动点的直线斜率．[解析] f (x )＝1＋cos2x ＋2(1－cos2x )sin2x ＝3－cos2x0－(－sin2x )，它表示点(0,3)与点(－sin2x ，cos2x )连线的斜率，而点(－sin2x ，cos2x )在x ∈(0，π2)时是圆x 2＋y 2＝1的左半圆(不含端点)，数形结合知当过(0,3)的直线与该半圆相切时，斜率最小，即f (x )最小．设切线方程为y ＝kx ＋3，则|3|k 2＋1＝1⇒k ＝22或k ＝－22(舍)，故f (x )的最小值为2 2.[方法总结] 1.形如直线的斜率、直线的方程、圆与圆锥曲线方程形式的代数式或等式可考虑以形助数．2．复数、向量中的最值问题或与模有关的问题常借助图形分析．3．三角函数问题中，求参数的取值范围(或恒成立)问题，图形的最高(低)点及对称，与其他曲线的交点等，常借助图象寻找关系．12．(文)函数f (x )在(0,2)上是减函数，且关于x 的函数f (x ＋2)是偶函数，那么( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫12<f ⎝⎛⎭⎫52<f (3) B ．f (3)<f ⎝⎛⎭⎫52<f ⎝⎛⎭⎫12 C ．f (3)<f ⎝⎛⎭⎫12<f ⎝⎛⎭⎫52 D ．f ⎝⎛⎭⎫52<f (3)<f ⎝⎛⎭⎫12 [答案] D [解析]。

【6份】新课标2016年高考数学(理)二轮复习：大题专项练(含答案)

【6份】新课标2016年高考数学（理）二轮复习：大题专项练（含答案）目录高考大题专项练(一) 函数 ........................................................................... 1 高考大题专项练(二) 三角函数与解三角形 ...................................................... 7 高考大题专项练(三) 数列 ............................................................................. 11 高考大题专项练(四) 立体几何 ...................................................................... 15 高考大题专项练(五) 解+析+几何 .................................................................. 20 高考大题专项练(六) 概率与统计 (26)高考大题专项练(一) 函数A 组1．(2015·东北三校联考)已知实数a 为常数，函数f (x )＝x ln x ＋ax 2. (1)若曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线过点A (0，－2)，求实数a 的值； (2)若函数y ＝f (x )有两个极值点x 1，x 2(x 1<x 2)． ①求证：－12<a <0；②求证：f (x 1)<0，f (x 2)>－12.2．(2015·长沙模拟)若函数f (x )是定义域D 内的某个区间I 上的增函数，且F (x )＝f （x ）x 在I 上是减函数，则称y ＝f (x )是I 上的“单反减函数”，已知f (x )＝ln x ，g (x )＝2x ＋2x ＋a ln x (a ∈R )．(1)判断f (x )在(0，1]上是否是“单反减函数”；(2)若g (x )是[1，＋∞)上的“单反减函数”，求实数a 的取值范围． 3．(2015·郑州二模)已知函数f (x )＝ax －1＋ln x ，其中a 为常数．(1)当a ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－1e 时，若f (x )在区间(0，e)上的最大值为－4，求a 的值； (2)当a ＝－1e 时，若函数g (x )＝|f (x )|－ln x x －b2存在零点，求实数b 的取值范围．B 组1．(2015·石家庄二模)已知f (x )＝e x －x －2(e 是自然对数的底数)． (1)求函数f (x )的图象在点A (0，－1)处的切线方程；(2)若k 为整数，且当x >0时，(x －k ＋1)f ′(x )＋x ＋1>0恒成立，其中f ′(x )为f (x )的导函数，求k 的最大值．2．(2015·汕头二模)设函数f (x )＝xln x－ax .(1)若函数f (x )在(1，＋∞)上为减函数，求实数a 的最小值；(2)若存在x 1，x 2∈[e ，e 2]，使f (x 1)≤f ′(x 2)＋a 成立，求实数a 的取值范围． 3．(2015·石家庄一模)已知函数f (x )＝2(a ＋1)ln x －ax ，g (x )＝12x 2－x .(1)若函数f (x )在定义域内为单调函数，求实数a 的取值范围；(2)证明：若－1<a <7，则对于任意x 1，x 2∈(1，＋∞)，x 1≠x 2，有f （x 1）－f （x 2）g （x 1）－g （x 2）>－1.答案 A 组1．解：(1)由已知：f ′(x )＝ln x ＋1＋2ax (x >0)，f ′(1)＝2a ＋1，即为切线斜率，切点P (1，a )，切线方程：y －a ＝(2a ＋1)(x －1)，把(0，－2)代入得a ＝1.(2)①证明：依题意f ′(x )＝0有两个不等实根x 1，x 2(x 1<x 2)，设g (x )＝ln x ＋2ax ＋1，则g ′(x )＝1x＋2a (x >0)，(ⅰ)当a ≥0时，g ′(x )>0，所以g (x )是增函数，不符合题意； (ⅱ)当a <0时，由g ′(x )＝0得x ＝－12a >0，列表如下：g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎫－12a ＝ln ⎝⎛⎭⎫－12a >0，解得－12<a <0. ②证明：由①知：f (x )，f ′(x )变化如下：由表可知f (x )在[x 1，x 2]上为增函数，又f ′(1)＝g (1)＝2a ＋1>0，故x 1<1<x 2，所以f (x 1)<f (1)＝a <0，f (x 2)>f (1)＝a >－12，即f (x 1)<0，f (x 2)>－12.2．解：(1)由于f (x )＝ln x 在(0，1)上是增函数，且F (x )＝f （x ）x ＝ln xx， ∵F ′(x )＝1－ln xx 2，∴x ∈(0，1)时，F ′(x )>0，F (x )为增函数，即f (x )在(0，1)上不是“单反减函数”．(2)∵g (x )＝2x ＋2x ＋a ln x ，g ′(x )＝2x 2＋ax －2x 2，∵g (x )是[1，＋∞)上的“单反减函数”，g ′(x )≥0在[1，＋∞)上恒成立， ∴g ′(1)≥0，即a ≥0，又G (x )＝g （x ）x ＝2＋2x 2＋a ln xx在[1，＋∞)上是减函数，∴G ′(x )≤0在[1，＋∞)上恒成立，即－4x 3＋a （1－ln x ）x 2≤0在[1，＋∞)上恒成立，即ax －ax ln x －4≤0在[1，＋∞)上恒成立，令p (x )＝ax －ax ln x －4，则p ′(x )＝－a ln x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，p （1）≤0，解得0≤a ≤4，综上a 的取值范围为[0，4]．3．解：(1)由题意f ′(x )＝a ＋1x ，令f ′(x )＝0，解得x ＝－1a ，因为a ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－1e ，所以0<－1a <e ，由f ′(x )>0解得0<x <－1a ，由f ′(x )<0解得－1a <x <e ，从而f (x )的单调增区间为⎝⎛⎭⎫0，－1a ，减区间为⎝⎛⎭⎫－1a ，e .所以f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫－1a ＝－1－1＋ln ⎝⎛⎭⎫－1a ＝－4，解得a ＝－e 2. (2)函数g (x )＝|f (x )|－ln x x －b 2存在零点，即方程|f (x )|＝ln x x ＋b2有实数根，由已知，函数f (x )的定义域为{x |x >0}，当a ＝－1e 时，f (x )＝－xe －1＋ln x ，所以f ′(x )＝－1e ＋1x ＝－x －e e x，当0<x <e 时，f ′(x )>0；当x >e 时，f ′(x )<0，所以f (x )的单调增区间为(0，e)，减区间为(e ，＋∞)，所以f (x )max ＝f (e)＝－1，所以|f (x )|≥1. 令h (x )＝ln x x ＋b2，则h ′(x )＝1－ln x x 2.当0<x <e 时，h ′(x )>0；当x >e 时，h ′(x )<0；从而h (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，所以h (x )max ＝h (e)＝1e ＋b2，要使方程|f (x )|＝ln x x ＋b2有实数根，只需h (x )max ＝h (e)＝1e ＋b 2≥1即可，则b ≥2－2e .故b 的取值范围为⎣⎡⎭⎫2－2e ，＋∞. B 组1．解：(1)f (x )＝e x －x －2，x ∈R ，f ′(x )＝e x －1，x ∈R ，f ′(0)＝0，曲线f (x )在点A (0，－1)处的切线方程为y ＝－1.(2)当x >0时，e x －1>0，所以不等式可以变形如下：(x －k ＋1)f ′(x )＋x ＋1>0⇔(x －k ＋1)(e x －1)＋x ＋1>0⇔k <x ＋1e x －1＋x ＋1.①令g (x )＝x ＋1e x －1＋x ＋1，则g ′(x )＝－x e x －1（e x －1）2＋1＝e x （e x －x －2）（e x －1）2.函数h (x )＝e x －x －2在(0，＋∞)上单调递增，而h (1)<0，h (2)>0.所以h (x )在(0，＋∞)上存在唯一的零点，故g ′(x )在(0，＋∞)上存在唯一的零点．设此零点为α，则α∈(1，2)．当x ∈(0，α)时，g ′(x )<0；当x ∈(α，＋∞)时，g ′(x )>0；所以，g (x )在(0，＋∞)上的最小值为g (α)．由g ′(α)＝0，可得e α＝α＋2，所以，g (α)＝α＋2∈(3，4)．由于①式等价于k <g (α)，故整数k 的最大值为3. 2．解：(1)由已知得x ＞0，x ≠1. 因f (x )在(1，＋∞)上为减函数，故f ′(x )＝ln x －1（ln x ）2－a ≤0在(1，＋∞)上恒成立．所以当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )max ≤0.又f ′(x )＝ln x －1（ln x ）2－a ＝－⎝⎛⎭⎫1ln x 2＋1ln x －a ＝－⎝⎛⎭⎫1ln x －122＋14－a ，故当1ln x ＝12，即x ＝e 2时，f ′(x )max ＝14－a .所以14－a ≤0，于是a ≥14，故a 的最小值为14.(2)命题“若存在x 1，x 2∈[e ，e 2]使f (x 1)≤f ′(x 2)＋a 成立”等价于“当x ∈[e ，e 2]时，有f (x )min ≤f ′(x )max ＋a ”．由(1)，当x ∈[e ，e 2]时，f ′(x )max ＝14－a ，∴f ′(x )max ＋a ＝14.问题等价于：“当x ∈[e ，e 2]时，有f (x )min ≤14”．①当a ≥14时，由(1)知f (x )在[e ，e 2]上为减函数，则f (x )min ＝f (e 2)＝e 22－a e 2≤14，故a ≥12－14e2.②当a <14时，由于f ′(x )＝－⎝⎛⎭⎫1ln x －122＋14－a 在[e ，e 2]上的值域为⎣⎡⎦⎤－a ，14－a . (i)－a ≥0，即a ≤0，f ′(x )≥0在[e ，e 2]恒成立，故f (x )在[e ，e 2]上为增函数，于是，f (x )min ＝f (e)＝e －a e ≥e>14，矛盾．(ii)－a <0，即0<a <14，由f ′(x )的单调性和值域知，存在唯一x 0∈(e ，e 2)，使f ′(x )＝0，且满足：当x ∈(e ，x 0)时，f ′(x )<0，f (x )为减函数；当x ∈(x 0，e 2)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数；所以f min (x )＝f (x 0)＝x 0ln x 0－ax 0≤14，x 0∈(e ，e 2)，所以a ≥1ln x 0－14x 0>1ln e 2－14e >12－14＝14，与0<a <14矛盾．综上得a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫12－14e 2，＋∞.3．解：(1)函数f (x )＝2(a ＋1)ln x －ax 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2（a ＋1）x－a ＝－ax ＋2（a ＋1）x.令m (x )＝－ax ＋2(a ＋1)，因为函数f (x )在定义域内为单调函数，所以f ′(x )≥0或f ′(x )≤0恒成立，即m (x )≥0或m (x )≤0恒成立，当a ＝0时，m (x )＝2>0，f ′(x )>0，f (x )在定义域内为单调递增函数；当a >0时，m (x )＝－ax ＋2(a ＋1)为减函数，只需m (0)＝2(a ＋1)≤0，即a ≤－1，不符合要求；当a <0时，m (x )＝－ax ＋2(a ＋1)为增函数，只需m (0)＝2(a ＋1)≥0，即a ≥－1，所以－1≤a ＜0，此时f (x )在定义域内为单调递增函数．综上所述，a ∈[－1，0]．(2)g (x )＝12x 2－x ＝12(x －1)2－12在区间(1，＋∞)上单调递增，不妨设x 1>x 2>1，则g (x 1)>g (x 2)，则f （x 1）－f （x 2）g （x 1）－g （x 2）>－1等价于f (x 1)－f (x 2)>－[g (x 1)－g (x 2)]，等价于f (x 1)＋g (x 1)>f (x 2)＋g (x 2)．设n (x )＝f (x )＋g (x )＝12x 2＋2(a ＋1)ln x －(a ＋1)x .法一：n ′(x )＝x ＋2（a ＋1）x－(a ＋1)≥2x ·2（a ＋1）x－(a ＋1)＝2－(a ＋1－2)2，由于－1<a <7，故n ′(x )>0，即n (x )在(1，＋∞)上单调递增，从而当1<x 2<x 1时，有f (x 1)＋g (x 1)>f (x 2)＋g (x 2)成立，命题得证．法二：n ′(x )＝x ＋2（a ＋1）x －(a ＋1)＝x 2－（a ＋1）x ＋2（a ＋1）x .令p (x )＝x 2－(a ＋1)x ＋2(a ＋1)，方程p (x )＝0的判别式Δ＝(a ＋1)2－8(a ＋1)＝a 2－6a －7＝(a －7)(a ＋1)<0，即p (x )＝x 2－(a ＋1)x ＋2(a ＋1)>0在－1<a <7时恒成立，说明n ′(x )>0，即n (x )在(1，＋∞)上单调递增．从而当1<x 2<x 1时，有f (x 1)＋g (x 1)>f (x 2)＋g (x 2)成立，命题得证．高考大题专项练(二) 三角函数与解三角形A 组1．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π)，且f ⎝⎛⎭⎫π6＝32. (1)求φ的值；(2)若f ⎝⎛⎭⎫θ2＝223且θ∈⎝⎛⎭⎫0，π6，求sin ⎝⎛⎭⎫θ－π3的值． 2．(2015·山东高考)△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知cos B ＝33，sin(A ＋B )＝69，ac ＝23，求sin A 和c 的值． 3．(2015·保定模拟)在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C .(1)求角A 的大小；(2)若a ＝10，cos B ＝255，D 为AC 的中点，求BD 的长．B 组1．(2015·大同模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，x ∈R ，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示． (1)求函数f (x )的解+析+式；(2)若g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋f (x －π6)，求函数g (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最值． 2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3tan A ·tan B －(tan A ＋tan B )＝3，且c ＝ 3.(1)求角C 的大小；(2)求△ABC 周长的取值范围．3．(2015·玉溪模拟)已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＝2cos A .(1)若cos C ＝63，求证：2a －3c ＝0； (2)若B ∈⎝⎛⎭⎫0，π3，且cos(A －B )＝45，求sin B 的值．答案. A 组1．解：(1)由f ⎝⎛⎭⎫π6＝32，可得sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝32，又0<φ<π，于是2×π6＋φ＝2π3，从而φ＝π3.(2)由(1)得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，由f ⎝⎛⎭⎫θ2＝223得sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝223，又θ∈⎝⎛⎭⎫0，π6，于是cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝13. 则sin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫θ＋π3－2π3＝sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3·cos 2π3－cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3sin 2π3＝223×⎝⎛⎭⎫－12－13×32＝－22＋36.2．解：在△ABC 中，由cos B ＝33，得sin B ＝63，因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝sin(A ＋B )＝69. 因为sin C ＜sin B ，所以C ＜B ，可得C 为锐角，所以cos C ＝539，因此sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝63×539＋33×69＝223. 由a sin A ＝csin C，可得a ＝c sin Asin C ＝223c 69＝23c .又ac ＝23，所以c ＝1.3．解：(1)因为2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C ，由正弦定理得2a 2＝(2b －c )b ＋(2c －b )c ，整理得2a 2＝2b 2＋2c 2－2bc ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝2bc 2bc ＝22，因为A ∈(0，π)，所以A ＝π4.(2)由cos B ＝255，得sin B ＝1－cos 2B ＝1－45＝55，所以cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝－⎝⎛⎭⎫22×255－22×55＝－1010，由正弦定理得b ＝a sin Bsin A ＝10×5522＝2，所以CD ＝12AC ＝1，在△BCD 中，由余弦定理得BD 2＝(10)2＋12－2×1×10×⎝⎛⎭⎫－1010＝13，所以BD ＝13.B 组1．解：(1)由题图可知，函数f (x )的最大值为A ＋B ＝3，最小值为－A ＋B ＝－1，解得A＝2，B ＝1.函数f (x )的最小正周期为T ＝2×⎣⎡⎦⎤5π12－⎝⎛⎭⎫－π12＝π，由2πω＝π解得ω＝2. 由f ⎝⎛⎭⎫－π12＝2sin ⎣⎡⎦⎤2×⎝⎛⎭⎫－π12＋φ＋1＝－1，得sin(φ－π6)＝－1，故φ－π6＝2k π－π2(k ∈Z )，解得φ＝2k π－π3(k ∈Z )．又|φ|<π，所以φ＝－π3.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1. (2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1，故g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋f ⎝⎛⎭⎫x －π6＝2sin[2(x ＋π6)－π3]＋1＋2sin[2⎝⎛⎭⎫x －π6－π3]＋1＝2sin 2x ＋2sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3＋2＝2sin 2x ＋2sin 2x cos 2π3－2cos 2x ·sin 2π3＋2＝sin 2x －3cos 2x ＋2＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋2. 设t ＝2x －π3，因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以t ∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，故sin t ∈⎣⎡⎦⎤－32，1，故g (x )的取值范围是[2－3，4]．2．解：(1)由3tan A ·tan B －(tan A ＋tan B )＝3，得3tan A ·tan B －3＝tan A ＋tan B ，所以tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B ＝－ 3.在△ABC 中，A ＋B ＝2π3，所以C ＝π3.(2)由c ＝3及正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝3sin π3＝2，可得a ＝2sin A ，b ＝2sin B ，所以a ＋b ＋c ＝2(sin A ＋sin B )＋3＝2[sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－A ]＋3＝3cos A ＋3sin A ＋3＝23sin(A ＋π6)＋ 3.因为0<A <2π3，所以π6<A ＋π6<5π6，所以12<sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6≤1，所以a ＋b ＋c 的取值范围为(23，33]．3．解：由sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＝2cos A ，得32sin A ＋12cos A ＝2cos A ，即sin A ＝3cos A ，因为A ∈(0，π)，且cos A ≠0，所以tan A ＝3，所以A ＝π3.(1)因为sin 2C ＋cos 2C ＝1，cos C ＝63，C ∈(0，π)，所以sin C ＝33，由正弦定理知a sin A ＝c sin C ，即a c ＝sin A sin C ＝3233＝32，即2a －3c ＝0.(2)因为B ∈⎝⎛⎭⎫0，π3，所以A －B ＝π3－B ∈⎝⎛⎭⎫0，π3，因为sin 2(A －B )＋cos 2(A －B )＝1，所以sin(A －B )＝35，所以sin B ＝sin[A －(A －B )]＝sin A cos(A －B )－cos A ·sin(A －B )＝43－310.高考大题专项练(三) 数列A 组1．(2015·安顺模拟)已知各项都不相等的等差数列{a n }的前6项和为60，且a 6为a 1和a 21的等比中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＋1－b n ＝a n (n ∈N *)，且b 1＝3，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和T n .2．(2015·哈尔滨模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 1＝2，S n ＋1＝2S n ＋2(n ∈N *)，b n＝S n ＋2.(1)求证：数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式；(3)若数列{c n }满足c n ＝a 1－12＋a 2－122＋…＋a n －12n (n ∈N *)，求{c n }的前n 项和T n .3．(2015·四平模拟)已知数列{a n }中，S n 为{a n }的前n 项和，a n ＋1＝S n －n ＋3，n ∈N *，a 1＝2.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝n S n －n ＋2(n ∈N *)，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：13≤T n ＜43(n ∈N *)．B 组1．已知{a n }是等差数列，公差为d ，首项a 1＝3，前n 项和为S n ·令c n ＝(－1)n S n (n ∈N *)，{c n }的前20项和T 20＝330.数列{b n }满足b n ＝2(a －2)d n －2＋2n －1，a ∈R .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＋1≤b n ，n ∈N *，求a 的取值范围．2．(2015·白银模拟)已知函数f (x )＝xx ＋3，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝f (a n )(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝3n 2a n a n ＋1，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求证：S n <12.3．已知等差数列{a n }的公差为－1，且a 2＋a 7＋a 12＝－6. (1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)若{b n }是首项为4，公比为12的等比数列，前n 项和为T n ，求证：当t ＞6时，对任意n ，m ∈N *，S n ＜T m ＋t 恒成立．答案 A 组1．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧6a 1＋15d ＝60，a 1（a 1＋20d ）＝（a 1＋5d ）2，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，a 1＝5， ∴a n ＝2n ＋3.(2)∵b n ＋1－b n ＝a n ，∴b n －b n －1＝a n －1(n ≥2，n ∈N *)， ∴b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 2－b 1)＋b 1 ＝a n －1＋a n －2＋…＋a 1＋b 1 ＝(n －1)(n ＋3)＋3 ＝n (n ＋2)．又当n ＝1时，也满足上式， ∴b n ＝n (n ＋2)(n ∈N *)． ∴1b n ＝1n （n ＋2）＝12⎛⎭⎫1n －1n ＋2， T n ＝12(1－13＋12－14＋…＋1n －1n ＋2)＝12(32－1n ＋1－1n ＋2)＝3n 2＋5n 4（n ＋1）（n ＋2）.2．解：(1)证明：∵S n ＋1＝2S n ＋2，∴S n ＋1＋2＝2(S n ＋2)，∴b n ＋1＝2b n ，又b 1＝4，∴数列{b n }是以4为首项，2为公比的等比数列． (2)由(1)可得，b n ＝4×2n －1＝2n ＋1，∴S n ＝b n －2＝2n ＋1－2，∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n ＋1－2)－(2n －2)＝2n ，∵a 1＝S 1＝2，代入上式也成立， ∴a n ＝2n (n ∈N *)． (3)∵a n －12n ＝1－12n ，∴c n ＝a 1－12＋a 2－122＋…＋a n －12n ＝n －(12＋122＋…＋12n )＝n ＋12n －1(n ∈N *)，∴T n ＝(1＋2＋…＋n )＋⎝⎛⎭⎫12＋122＋…＋12n －n ＝（n ＋1）n 2＋12⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12－n ＝n 2－n ＋22－12n . 3．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋1＝S n －n ＋3，a n ＝S n －1－（n －1）＋3（n ≥2），得a n ＋1－a n ＝a n －1，故a n ＋1－1＝2(a n－1)，∴{a n －1}从第二项起为公比等于2的等比数列．又a 2＝S 1－1＋3＝4，a 1＝2，a 2－1≠2(a 1－1)，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，3×2n －2＋1，n ≥2，n ∈N *. (2)证明：由(1)知S n ＝a n ＋1＋n －3＝3×2n －1＋n －2，故b n ＝n 3×2n －1.T n ＝13⎝⎛⎭⎫120＋221＋…＋n 2n －1，①12T n ＝13⎝⎛⎭⎫121＋222＋…＋n 2n ，② ①－②得，12T n ＝13(1＋121＋122＋…＋12n －1－n2n )＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎫12n1－12－n 2n ＝13⎝⎛⎭⎫2－n ＋22n ， ∴T n ＝43－2n ＋43×2n <43.∵b n >0，∴T n ≥T 1＝13，∴13≤T n ＜43. B 组1．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，因为c n ＝(－1)n S n ，所以T 20＝－S 1＋S 2－S 3＋S 4＋…＋S 20＝330，则a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 20＝330，即10(3＋d )＋10×92×2d ＝330，解得d ＝3，所以a n ＝3＋3(n －1)＝3n . (2)由(1)知b n ＝2(a －2)3n －2＋2n －1，b n ＋1－b n ＝2(a －2)3n －1＋2n －[2(a －2)3n －2＋2n －1]＝4(a －2)3n －2＋2n －1＝4·3n －2⎣⎡⎦⎤（a －2）＋12×⎝⎛⎭⎫23n －2.由b n ＋1≤b n ⇔(a －2)＋12×⎝⎛⎭⎫23n －2≤0⇔a ≤2－12×⎝⎛⎭⎫23n －2，因为2－12×⎝⎛⎭⎫23n －2随着n 的增大而增大，所以n ＝1时，2－12×⎝⎛⎭⎫23n －2取得最小值54.所以a ≤54.故a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，54. 2．解：(1)由已知a n ＋1＝a n a n ＋3，取倒数得1a n ＋1＝3a n ＋1，变形为1a n ＋1＋12＝3⎝⎛⎭⎫1a n ＋12，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋12是首项为1a 1＋12＝32，公比为3的等比数列，所以1a n ＋12＝32×3n －1＝12×3n，所以a n ＝23n －1.(2)证明：b n ＝2×3n （3n －1）（3n ＋1－1）＝13n －1－13n ＋1－1，所以S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝⎝⎛⎭⎫131－1－132－1＋⎝⎛⎭⎫132－1－133－1＋…＋(13n －1－13n ＋1－1)＝12－13n ＋1－1<12. 3．解：(1)由a 2＋a 7＋a 12＝－6得a 7＝－2，所以a 1＝4，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝5－n ，从而S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n （9－n ）2.(2)证明：由等比数列求和公式得T m ＝4⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12m1－12＝8⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12m，T m ≥T 1＝4. (或者：各项为正的等比数列T 1＝4为最小值)又S n ＝n （9－n ）2＝－12(n 2－9n )＝－12[⎝⎛⎭⎫n －922－814]，故(S n )max ＝S 4＝S 5＝10，当t ＞6时，对任意n ，m ∈N *，T m ＋t ＞T 1＋6≥10≥S n ，所以当t ＞6时，S n ＜T m ＋t 恒成立．高考大题专项练(四) 立体几何A组1.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1.设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E.求证：(1)DE∥平面AA1C1C；(2)BC1⊥AB1.2.(2015·昆明模拟)如图，ABEDFC为多面体，平面ABED与平面ACFD垂直，点O在线段AD上，OA＝1，OD＝2，△OAB，△OAC，△ODE，△ODF都是正三角形．(1)证明：BC∥EF；(2)求四棱锥F-OBED的体积．3．(2015·郑州模拟)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，PD⊥底面ABCD，∠ADC＝90°，AD＝2BC，Q为AD的中点，M为棱PC的中点．(1)证明：P A∥平面BMQ；(2)已知PD＝DC＝AD＝2，求点P到平面BMQ的距离．B组1．如图1，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，AB＝1，BC＝PC＝2.作如图2折叠：折痕EF∥DC，其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P叠在线段AD 上的点记为M，并且MF⊥CF.(1)证明：CF ⊥平面MDF ； (2)求三棱锥M -CDE 的体积． 2.如图，AB 为圆O 的直径，点E ，F 在圆O 上，且AB ∥EF ，矩形ABCD 所在的平面和圆O 所在的平面互相垂直，且AD ＝EF ＝AF ＝1，AB ＝2.(1)求证：平面AFC ⊥平面CBF ；(2)在线段CF 上是否存在一点M ，使得OM ∥平面ADF ，并说明理由．3．(2015·九江模拟)如图，直三棱柱ABC -A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝5，AA ′＝AB ＝6，D ，E 分别为AB 和BB ′上的点，且AD DB ＝BEEB ′＝λ. (1)求证：当λ＝1时，A ′B ⊥CE ；(2)当λ为何值时，三棱锥A ′CDE 的体积最小，并求出最小体积．答案 A 组1.证明：(1)由题意知，E 为B 1C 的中点，又D 为AB 1的中点，因此DE ∥AC .又因为DE ⊄平面AA 1C 1C ，AC ⊂平面AA 1C 1C ，所以DE ∥平面AA 1C 1C .(2)因为棱柱ABC -A 1B 1C 1是直三棱柱，所以CC 1⊥平面ABC .因为AC ⊂平面ABC ，所以AC ⊥CC 1.又因为AC ⊥BC ，CC 1⊂平面BCC 1B 1，BC ⊂平面BCC 1B 1，BC ∩CC 1＝C ，所以AC ⊥平面BCC 1B 1.又因为BC 1⊂平面BCC 1B 1，所以BC 1⊥AC .因为BC ＝CC 1，所以矩形BCC 1B 1是正方形，因此BC 1⊥B 1C . 因为AC ⊂平面B 1AC ，B 1C ⊂平面B 1AC ，AC ∩B 1C ＝C ，所以BC 1⊥平面B 1AC .又因为AB 1⊂平面B 1AC ，所以BC 1⊥AB 1. 2. 解：(1)证明：因为∠AOB ＝∠ODE ＝60°，所以OB ∥DE .由于∠AOC ＝∠ODF ＝60°，故OC ∥DF . 由于OB ∩OC ＝O ，ED ∩FD ＝D ，所以平面OBC ∥平面DEF .因为平面BEF ∩平面OBC ＝BC ，平面BEFC ∩平面DEF ＝EF ，所以BC ∥EF .(2)由OB ＝1，OE ＝2，∠EOB ＝60°，得S △OBE ＝12×1×2×sin 60°＝32，而△OED 是边长为2的正三角形，S △OED ＝34×4＝3，所以S 四边形OBED ＝S △OBE ＋S △OED ＝332. 过点F 作FQ ⊥AD ，交AD 于点Q ，由于平面ABED ⊥平面ACFD ，所以FQ ⊥平面ABED .所以FQ 就是四棱锥F -OBED 的高，且FQ ＝3，所以V F -OBED ＝13S 四边形OBED ·FQ ＝13×332×3＝32. 3．解：(1)如图，连接AC 交BQ 于N ，连接MN ，因为∠ADC ＝90°，BC ＝12AD ，Q 为AD 的中点，所以N 为AC 的中点．又M 为PC 的中点，即PM ＝MC ，则MN 为△P AC 的中位线，故MN ∥P A ，又MN ⊂平面BMQ ，所以P A ∥平面BMQ .(2)由(1)可知，P A ∥平面BMQ ，所以点P 到平面BMQ 的距离等于点A 到平面BMQ 的距离，所以V P -BMQ ＝V A -BMQ ＝V M -ABQ ，取CD 的中点K ，连接MK ，所以MK ∥PD ，MK ＝12PD ＝1，又PD ⊥底面ABCD ，所以MK ⊥底面ABCD .又BC ＝12AD ＝1，PD ＝CD ＝2，所以AQ ＝1，BQ ＝2，MQ ＝3，NQ ＝1，所以V P -BMQ ＝V A -BMQ ＝V M -ABQ ＝13·12·AQ ·BQ ·MK ＝13，S △BMQ ＝2，则点P 到平面BMQ 的距离d ＝3V P -BMQS △BMQ ＝22.B 组1．解：(1)∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD ⊥AD ，又四边形ABCD 是矩形，∴CD ⊥AD ，∵PD ⊂平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，且PD ∩CD ＝D ， ∴AD ⊥平面PCD ，∵CF ⊂平面PCD ，∴AD ⊥CF ，又MF ⊥CF ，MF ∩AD ＝M ，∴CF ⊥平面MDF . (2)∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD ⊥CD ，又CD ＝AB ＝1，PC ＝2，∴PD ＝ 3. 由(1)知CF ⊥平面MDF ，∴CF ⊥DF . ∴由S △PCD ＝12PD ×CD ＝12PC ×DF 得DF ＝32.∴CF ＝CD 2－DF 2＝12，∵EF ∥CD ，∴DE DP ＝CF CP ，∴DE ＝CF CP ×DP ＝34.∴S △CDE ＝12CD ×DE ＝12×1×34＝38.∵AD ⊥平面PCD ，即MD ⊥平面CDE ，且ME ＝PE ＝PC －ED ＝334，∴MD ＝ME 2－ED 2＝2716－316＝62， ∴三棱锥M -CDE 的体积为V M -CDE＝13S △CDE ×MD ＝13×38×62＝216. 2. 解：(1)证明：∵平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD ∩平面ABEF ＝AB ， CB ⊥AB ，CB ⊂平面ABCD ， ∴CB ⊥平面ABEF . ∵AF ⊂平面ABEF ， ∴AF ⊥CB ，又AB 为圆O 的直径，∴AF ⊥BF ，又BF ∩CB ＝B ，∴AF ⊥平面CBF .又AF ⊂平面AFC ，∴平面AFC ⊥平面CBF .(2)取CF 的中点记作M ，设DF 的中点为N ，连接OM ，AN ，MN ，则MN 綊12CD ，又AO 綊12CD ，则MN 綊AO ，∴四边形MNAO 为平行四边形，∴OM ∥AN ，又AN ⊂平面ADF ，OM ⊄平面ADF ， ∴OM ∥平面ADF .3．解：(1)证明：∵λ＝1，∴D ，E 分别为AB 和BB ′的中点，又AA ′＝AB ，且三棱柱ABC -A ′B ′C ′为直三棱柱， ∴平行四边形ABB ′A ′为正方形，∴DE ⊥A ′B ， ∵AC ＝BC ，D 为AB 的中点，∴CD ⊥AB ， ∵三棱柱ABC -A ′B ′C ′为直三棱柱， ∴CD ⊥平面ABB ′A ′， ∴CD ⊥A ′B ，又CD ∩DE ＝D ， ∴A ′B ⊥平面CDE ， ∵CE ⊂平面CDE ， ∴A ′B ⊥CE .(2)设BE ＝x ，则AD ＝x ，DB ＝6－x ，B ′E ＝6－x .由已知可得C 到平面A ′DE 的距离即为△ABC 的边AB 所对应的高h ＝AC 2－⎝⎛⎭⎫AB 22＝4，∴V A ′-CDE ＝V C -A ′DE＝13(S 四边形ABB ′A ′－S △AA ′D －S △DBE －S △A ′B ′E)·h ＝13[36－3x －12(6－x )x －3(6－x )]·h ＝23(x 2－6x ＋36)＝23[(x －3)2＋27](0<x <6)，∴当x ＝3，即λ＝1时，V A ′-CDE 有最小值18.高考大题专项练(五) 解+析+几何A 组1．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，e ＝12，其中F 是椭圆的右焦点，焦距为2，直线l与椭圆C 交于点A ，B ，点A ，B 的中点横坐标为14，且(其中λ>1)．(1)求椭圆C 的标准方程； (2)求实数λ的值． 2．(2015·宝鸡模拟)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 与CD .当直线AB 斜率为0时，|AB |＋|CD |＝3 2.(1)求椭圆的方程；(2)求由A ，B ，C ，D 四点构成的四边形的面积的取值范围．3．(2015·兰州模拟)在平面直角坐标系xOy 中，过定点C (0，p )作直线与抛物线x 2＝2py (p >0)相交于A 、B 两点．(1)若点N 是点C 关于坐标原点O 的对称点，求△ANB 面积的最小值；(2)是否存在垂直于y 轴的直线l ，使得l 被以AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由．B 组1．(2015·南昌模拟)已知圆E ：x 2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝94经过椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点F 1，F 2，且与椭圆C 在第一象限的交点为A ，且F 1，E ，A 三点共线．直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，且＝λ(λ≠0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)当△AMN 的面积取到最大值时，求直线l 的方程．2．(2015·哈尔滨模拟)已知曲线C 的方程为（x ＋1）2＋y 2＋（x －1）2＋y 2＝4，经过(－1，0)作斜率为k 的直线l ，l 与曲线C 交于A 、B 两点，l 与直线x ＝－4交于点D ，O 是坐标原点．(1)当＋＝2时，求证：k 2＝54；(2)是否存在实数k ，使△AOB 为锐角三角形？若存在，求k 的取值范围；若不存在，请说明理由．3．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的焦距为2，且过点⎝⎛⎭⎫2，62.(1)求椭圆E 的方程；(2)若点A ，B 分别是椭圆E 的左、右顶点，直线l 经过点B 且垂直于x 轴，点P 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，直线AP 交l 于点M .(ⅰ)设直线OM 的斜率为k 1，直线BP 的斜率为k 2，求证：k 1k 2为定值；(ⅱ)设过点M ，垂直BP 的直线为m ，求证：直线m 过定点，并求出定点的坐标．答案 A 组1．解：(1)由条件可知：c ＝1，a ＝2，故b 2＝a 2－c 2＝3，椭圆C 的标准方程是x 24＋y 23＝1.(2)由，可知A ，B ，F 三点共线，设点A (x 1，y 1)，点B (x 2，y 2)．若直线AB ⊥x 轴，则x 1＝x 2＝1，不合题意．当AB 所在直线l 的斜率k 存在时，设方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 24＋y 23＝1消去y 得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0.① Δ＝64k 4－4(4k 2＋3)(4k 2－12)＝144(k 2＋1)>0，因为⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3，所以x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3＝12，所以k 2＝14.将k 2＝14代入方程①，得4x 2－2x －11＝0，解得x ＝1±354.又因为＝(1－x 1，－y 1)，＝(x 2－1，y 2)，(其中λ>1)，所以λ＝1－x 1x 2－1＝3＋52. 2．解：(1)由题意知，e ＝c a ＝22，则a ＝2c ，b ＝c .∴|AB |＋|CD |＝2a ＋2b 2a ＝22c ＋2c ＝32，∴c ＝1.∴椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)①当两条弦中有一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，由题意知S 四边形＝12|AB |·|CD |＝12×22×2＝2.②当两弦斜率均存在且不为0时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，则直线CD 的方程为y ＝－1k(x －1)．将直线AB 的方程代入椭圆方程中，并整理得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0， ∴|AB |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝k 2＋1·22k 2＋11＋2k 2＝22（k 2＋1）1＋2k 2.同理，|CD |＝22⎝⎛⎭⎫1k 2＋11＋2k2＝22（k 2＋1）k 2＋2.∴S 四边形＝12·|AB |·|CD |＝12·22（k 2＋1）1＋2k 2·22（k 2＋1）k 2＋2＝4（k 2＋1）22k 4＋2＋5k 2＝4⎝⎛⎭⎫k ＋1k 22⎝⎛⎭⎫k ＋1k 2＋1＝2－22⎝⎛⎭⎫k ＋1k 2＋1. ∵2⎝⎛⎭⎫k ＋1k 2＋1≥2⎝⎛⎭⎫2k ·1k 2＋1＝9，当且仅当k ＝±1时取等号， ∴S 四边形∈⎣⎡⎭⎫169，2.综合①与②可知，S 四边形∈⎣⎡⎦⎤169，2. 3．解：(1)∵N 是C (0，p )关于坐标原点的对称点， ∴N (0，－p )．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．直线AB 的方程为y ＝kx ＋p ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，y ＝kx ＋p ，得x 2－2pkx －2p 2＝0. 由根与系数的关系得x 1＋x 2＝2pk ，x 1x 2＝－2p 2.于是S △ABN ＝S △BCN ＋S △ACN ＝12·2p |x 1－x 2|＝p （x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝p 4p 2k 2＋8p 2＝2p 2k 2＋2，∴当k ＝0时，(S △ABN )min ＝22p 2.(2)假设满足条件的直线l 存在，其方程为y ＝a .设AC 的中点为O ′，l 与以AC 为直径的圆相交于点P 、Q ，PQ 的中点为H ，则O ′H ⊥PQ ，O ′点的坐标为⎝⎛⎭⎫x 12，y 1＋p 2.∵|O ′P |＝12|AC |＝12x 21＋（y 1－p ）2＝12y 21＋p 2，|O ′H |＝⎪⎪⎪⎪a －y 1＋p 2＝12|2a －y 1－p |，∴|PH |2＝|O ′P |2－|O ′H |2＝14(y 21＋p 2)－14(2a －y 1－p )2＝⎝⎛⎭⎫a －p 2y 1＋a (p －a )， ∴|PQ |2＝(2|PH |)2＝4⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a －p 2y 1＋a （p －a ）. 令a －p 2＝0，得a ＝p 2，此时|PQ |＝p 为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为y ＝p2.B 组1．解：(1)∵F 1，E ，A 三点共线，∴F 1A 为圆E 的直径， ∴AF 2⊥F 1F 2.由x 2＋⎝⎛⎭⎫0－122＝94，得x ＝±2， ∴c ＝2，|AF 2|2＝|AF 1|2－|F 1F 2|2＝9－8＝1，2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝4，a ＝2. ∵a 2＝b 2＋c 2，∴b ＝2， ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)由题知，点A 的坐标为(2，1)， ∵＝λ(λ≠0)，∴直线的斜率为22，故设直线l 的方程为y ＝22x ＋m ，联立⎩⎨⎧y ＝22x ＋m ，x 24＋y22＝1，得x 2＋2mx ＋m 2－2＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， ∴x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝m 2－2， Δ＝2m 2－4m 2＋8>0，∴－2<m <2. 又|MN |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝1＋12·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝12－3m 2，点A 到直线l 的距离d ＝6|m |3， ∴S △AMN ＝12|MN |·d ＝1212－3m 2×63|m |＝22（4－m 2）m 2≤22×4－m 2＋m22＝2，当且仅当4－m 2＝m 2，即m ＝±2时等号成立，此时直线l 的方程为y ＝22x ±2. 2．解：(1)∵（x ＋1）2＋y 2＋（x －1）2＋y 2＝4>2，∴曲线C 是以F 1(－1，0)、F 2(1，0)为焦点，4为长轴长的椭圆． ∴曲线C 的方程为x 24＋y 23＝1，即3x 2＋4y 2＝12.∵直线l 经过点(－1，0)，斜率为k ， ∴直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)． ∵直线l 与直线x ＝－4交于点D ， ∴D (－4，－3k )．设A (x 1，kx 1＋k )，B (x 2，kx 2＋k )．由⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋4y 2＝12，y ＝k （x ＋1），得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0. ∴x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2.由＋＝2得2x 2－x 1＝－4.由2x 2－x 1＝－4和x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2得x 1＝43＋4k 2，x 2＝－4＋8k 23＋4k 2.∵x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2，∴43＋4k 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－4＋8k 23＋4k 2＝4k 2－123＋4k 2，化简得4k 4－k 2－5＝0，解得k 2＝54或k 2＝－1<0(舍去)．∴k 2＝54.(2)由(1)知，A (x 1，kx 1＋k )，B (x 2，kx 2＋k )，x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2.∵＝(x 1，kx 1＋k )，＝(x 2，kx 2＋k )，·＝x 1x 2＋(kx 1＋k )(kx 2＋k )＝(1＋k 2)x 1x 2＋k 2(x 1＋x 2)＋k 2＝－5k 2－123＋4k2<0，∴∠AOB >π2. ∴不存在实数k ，使△AOB 为锐角三角形．3．解：(1)由题意得2c ＝2，所以c ＝1，则a 2－b 2＝1，又2a 2＋32b 2＝1，所以2b 4－5b 2－3＝0，解得b 2＝3或b 2＝－12(舍去)，则a 2＝4，所以椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)(ⅰ)设P (x 1，y 1)(y 1≠0)，M (2，y 0)，则k 1＝y 02，k 2＝y 1x 1－2，因为A ，P ，M 三点共线，所以y 0＝4y 1x 1＋2，所以k 1k 2＝y 0y 12（x 1－2）＝2y 21x 21－4，因为P (x 1，y 1)在椭圆上，所以y 21＝34(4－x 21)，故k 1k 2＝2y 21x 21－4＝－32为定值．(ⅱ)由(ⅰ)知，直线BP 的斜率为k 2＝y 1x 1－2，所以直线m 的斜率为k m ＝2－x 1y 1，则直线m的方程为y －y 0＝2－x 1y 1(x －2)，即y ＝2－x 1y 1(x －2)＋y 0＝2－x 1y 1x －2（2－x 1）y 1＋4y 1x 1＋2＝2－x 1y 1·x ＋2（x 21－4）＋4y 21（x 1＋2）y 1＝2－x 1y 1x ＋2（x 21－4）＋12－3x 21（x 1＋2）y 1＝2－x 1y 1x ＋2－x 1y 1＝2－x 1y 1(x ＋1)，所以直线m 过定点(－1，0)．高考大题专项练(六) 概率与统计A 组1．(2015·西安模拟)甲、乙两名考生在填报志愿时都选中了A 、B 、C 、D 四所需要面试的院校，这四所院校的面试安排在同一时间．因此甲、乙都只能在这四所院校中选择一所做志愿，假设每位同学选择各个院校是等可能的，试求：(1)甲、乙选择同一所院校的概率； (2)院校A 、B 至少有一所被选择的概率．2．有编号为1，2，3的三个白球，编号为4，5，6的三个黑球，这六个球除编号和颜色外完全相同，现从中任意取出两个球．(1)求取得的两个球颜色相同的概率； (2)求取得的两球编号之积不小于10的概率．3．(2015·贵州模拟)从某校高三年级学生中抽取40名学生，将他们高中学业水平考试的数学成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：[40，50)，[50，60)，…，[90，100]后得到如图的频率分布直方图．(1)若该校高三年级有640人，试估计这次学业水平考试的数学成绩不低于60分的人数及相应的平均分(平均分保留到百分位)；(2)若从[40，50)与[90，100]这两个分数段内的学生中随机选取2名学生，求这2名学生成绩之差的绝对值不大于10的概率．B组1．(2015·贵阳模拟)据报道，全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点，一时间“英语考试该如何改”引起广泛关注．为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法，某媒体在该地区选择了3 600人进行调查，就“是否取消英语听力”问题进行了问卷调查统计，结果如下表：已知在全体样本中随机抽取1人，抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05.(1)现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取360人进行问卷访谈，问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？(2)已知y≥657，z≥55，若所选择的在校学生的人数低于被调查人群总数的80%，则认为本次调查“失效”，求本次调查“失效”的概率．2．某园艺师培育了两种珍稀树苗A与B，株数分别为8与12，现将这20株树苗的高度编写成如下茎叶图(单位：cm)：若树高在175 cm以上(包括175 cm)定义为“生长良好”，树高在175 cm以下(不包括175 cm)定义为“非生长良好”，且只有B“生长良好”的才可以出售．(1)对于这20株树苗，如果用分层抽样的方法从“生长良好”和“非生长良好”中共抽取5株，再从这5株中任选2株，那么至少有一株“生长良好”的概率是多少？(2)若从所有“生长良好”中选2株，求所选中的树苗都能出售的概率．3．(2015·九江模拟)某校数学课外兴趣小组为研究数学成绩是否与性别有关，先统计本校高三年级每个学生一学期数学成绩平均分(采用百分制)，剔除平均分在40分以下的学生后，共有男生300名，女生200名．现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，按性别分为两组，并将两组学生成绩分为6组，得到如下所示频数分布表．数学成绩与性别是否有关；(2)规定80分以上为优分(含80分)，请你根据已知条件作出2×2列联表，并判断是否有90%以上的把握认为“数学成绩与性别有关”．附表及公式K 2＝n （ad －bc ）（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）.答案 A 组1．解：(1)甲，乙选择院校的所有可能为：AA ，AB ，AC ，AD ，BA ，BB ，BC ，BD ，CA ，CB ，CC ，CD ，DA ，DB ，DC ，DD .共16种可能，甲、乙选择同一所院校的可能为：AA ，BB ，CC ，DD ，共4种可能．甲、乙选择同一所院校的概率为：416＝14.(2)院校A 、B 至少有一所被选择的概率为：1216＝34.2．解：从六个球中取出两个球的基本事件有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)，共计15个基本事件．(1)记事件A 为“取出的两个球是白球”，则这个事件包含的基本事件是(1，2)，(1，3)，(2，3)，共计3个基本事件，故P (A )＝315＝15.记事件B 为“取出的两个球是黑球”，同理可得P (B )＝15.记事件C 为“取出的两个球的颜色相同”，则C ＝A ＋B ，且A ，B 互斥，根据互斥事件的概率加法公式，得P (C )＝P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝25.(2)记事件D 为“取出的两球的编号之积不小于10”，则这个事件包含的基本事件是(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)，共计8个基本事件，得P (D )＝815.3．解：(1)由于图中所有小矩形的面积之和等于1，所以10×(0.005＋0.01＋0.02＋a ＋0.025＋0.01)＝1，解得a ＝0.03.根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为1－10×(0.005＋0.01)＝0.85. 由于高三年级共有学生640人，可估计该校高三年级数学成绩不低于60分的人数为640×0.85＝544.可估计不低于60分的学生数学成绩的平均分为 640×（0.2×65＋0.3×75＋0.25×85＋0.1×95）544≈77.94.(2)成绩在[40，50)分数段内的人数为40×0.05＝2，成绩在[90，100]分数段内的人数为40×0.1＝4，若从这6名学生中随机抽取2人，则总的取法有15种，如果2名学生的数学成绩都在[40，50)分数段内或都在[90，100]分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在[40，50)分数段内，另一个成绩在[90，100]分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10.则所取2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的取法为7种，所以所求概率P ＝715.B 组1．解：(1)∵抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05， ∴120＋x 3 600＝0.05，解得x ＝60. ∴持“无所谓”态度的人数共有3 600－2 100－120－600－60＝720， ∴应在持“无所谓”态度的人中抽取720×3603 600＝72人．(2)∵y ＋z ＝720，y ≥657，z ≥55，∴满足条件的(y ，z )有(657，63)，(658，62)，(659，61)，(660，60)，(661，59)，(662，58)，(663，57)，(664，56)，(665，55)，共9种．记本次调查“失效”为事件A ，若调查“失效”，则2 100＋120＋y <3 600×0.8，解得y <660. ∴事件A 包含(657，63)，(658，62)，(659，61)，共3种． ∴P (A )＝39＝13.2．解：(1)根据茎叶图知，“生长良好”的有8株，“非生长良好”的有12株，用分层抽样的方法抽取，每株被抽中的概率是520＝14，“生长良好”的有8×14＝2株，“非生长良好”的有12×14＝3株．设“生长良好”的2株为m 1，m 2，“非生长良好”的3株为n 1，n 2，n 3，则所有可能的基本事件有：(m 1，m 2)，(m 1，n 1)，(m 1，n 2)，(m 1，n 3)，(m 2，n 1)，(m 2，n 2)，(m 2，n 3)，(n 1，n 2)，(n 1，n 3)，(n 2，n 3)，共10个，至少有一株“生长良好”的有7个基本事件，所以所求概率为P 1＝710.(2)依题意，一共有8株生长良好，其中A 种树苗有5株，分别为A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，B 种树苗有3株，分别为B 1，B 2，B 3.所有可能的基本事件有：(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，A 4)，(A 1，A 5)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，A 3)，(A 2，A 4)，(A 2，A 5)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 3，A 4)，(A 3，A 5)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 3，B 3)，(A 4，A 5)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，(A 4，B 3)，(A 5，B 1)，(A 5，B 2)，(A 5，B 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)，共28个，所求事件包含的基本事件有：(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)，共3个，所以所求概率为P 2＝328.3．解：(1)男＝45×0.05＋55×0.15＋65×0.3＋75×0.25＋85×0.1＋95×0.15＝71.5，女＝45×0.15＋55×0.1＋65×0.125＋75×0.25＋85×0.325＋95×0.05＝71.5，从男、女生各自的平均分来看，并不能判断数学成绩与性别有关．(2)由频数分布表可知：在抽取的100名学生中，“男生组”中的优分有15人，“女生组”中的优分有15人，据此可得2×2列联表如下：可得K 2＝100×（15×25－15×45）60×40×30×70≈1.79，因为1.79<2.706，所以没有90%以上的把握认为“数学成绩与性别有关”．。

中考物理二轮复习易错题型训练—物态变化(含解析)

中考物理二轮复习易错题型训练—物态变化（含解析）一．选择题（共12小题）1．关于物态变化说法正确的是（）。

A．春季受到暖湿气流的影响，家中的地板很潮湿，连天花板都挂满了水珠，这是液化现象B．冰箱冷藏室利用冷凝管内制冷剂熔化吸热来制冷的C．瓶装液化气主要是通过降温的方式液化的D．天气寒冷的冬天，树枝上都出现了“雾凇”的美景是凝固现象【解析】A、夏天，暖湿气流中的水蒸气遇到温度较低的地板、天花板放出热量液化成小水滴，所以家中的地板很潮湿，甚至连天花板都挂满了水珠，故A 正确；B、电冰箱工作时，冷凝器里的液态制冷剂在冰箱冷藏室内的管子里迅速汽化，从冰箱内吸收热量，使冰箱内部的温度降低，故B错误；C、瓶装液化气主要是通过压缩体积的方式液化的，故C错误；D、天气寒冷的冬天，空气中的水蒸气会放出热量直接凝华成小冰晶附着在树枝上形成“雾凇”，故D错误。

故选：A。

2．很多俗语都是先辈们生活经验的总结，其中蕴含了深刻的物理知识，下列相关说法中错误的是（）A．霜前冷，雪后寒﹣﹣霜和雪都是由空气中的小水珠凝固而成的小冰晶B．雪落高山，霜降平原﹣﹣高山气温低，雪降落到地面不容易熔化所以经常看到雪C．水缸出汗，不用挑担﹣﹣水缸外表面的水是空气中水蒸气遇到冷的缸壁液化而来的D．扇子有凉风，宜夏不宜冬﹣﹣夏天扇扇子加快体表汗液蒸发，蒸发吸热制冷让人感觉凉爽【解析】A、霜和雪都是空气中的水蒸气遇冷凝华形成的固态小冰晶，故A错误；B、雪的熔点是0℃，高山气温低，达不到雪的熔点，所以雪降落到高山地面不容易熔化所以经常看到雪，故B正确；C、“水缸出汗，不用挑担”中，“汗”是空气中的水蒸气运动温度较低的水缸液化形成的小水珠，故C正确；D、夏天扇扇子，身上感到凉爽，这是因为扇来的风加快了身上汗液的蒸发，蒸发吸热制冷让人感觉凉爽，故D正确。

故选：A。

3．周末，小华在家中烧开水煮饺子。

当水烧开准备下饺子时，妈妈提醒她锅里的水量太少了，于是，小华又往锅里迅速加了一大碗冷水（水量比锅里的少）。

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热考题型专攻练一文字信息类(45分钟·100分)一、单项选择题(共10个小题，每小题6分，共60分)1.(2015·成都三模)抽动症是一种慢性精神病，多发于学龄儿童，其病因之一是多巴胺过度分泌。

多巴胺是一种相对分子质量仅153的神经递质，其分泌过多会引起人体内的甲状腺激素等多种激素的分泌异常，并导致内环境稳态失调。

下列相关叙述正确的是()A.多巴胺在兴奋传递过程中只能作用于神经元上的受体B.多巴胺从突触前膜进入突触间隙的方式为自由扩散C.多巴胺分泌异常对下丘脑和垂体的激素分泌有影响D.多巴胺与激素都有专一性，通过体液只运输给相应靶器官【解题指导】(1)题中关键信息：①多巴胺是一种神经递质。

②多巴胺分泌过多会引起人体内的甲状腺激素等多种激素的分泌异常。

(2)关键知识：①神经递质的释放是胞吐过程。

②多巴胺、激素的作用特点。

【解析】选C。

多巴胺在兴奋传递过程中除了能作用于神经元上的受体，还能影响激素的分泌，说明多巴胺也能作用于分泌细胞上的受体，A项错误。

多巴胺从突触前膜进入突触间隙的方式为胞吐，B项错误。

多巴胺分泌过多会引起人体内的甲状腺激素等多种激素的分泌异常，因此可以推测多巴胺分泌异常对下丘脑和垂体的激素分泌有影响，C项正确。

多巴胺与激素都有专一性，但是激素通过体液运输到全身各处，只作用于相应靶器官(细胞)，D项错误。

2.AKita小鼠是一种糖尿病小鼠，该小鼠由于胰岛素基因突变干扰了胰岛素二硫键的形成，造成大量错误折叠的蛋白质累积在内质网中，导致相关细胞的内质网功能持续紊乱，并最终启动该细胞的凋亡程序。

下列叙述不正确的是()A.AKita小鼠胰岛A细胞大量凋亡B.胰岛素空间结构的形成离不开内质网的加工C.内质网功能紊乱会诱发某些特定基因的表达D.AKita小鼠组织细胞吸收葡萄糖的速率减慢【解析】选A。

胰岛素是由胰岛B细胞合成并分泌的，因此AKita小鼠的胰岛B细胞大量凋亡，A项错误。

胰岛素空间结构的形成离不开内质网的加工，B项正确。

内质网功能紊乱导致的细胞凋亡是基因控制的，因此会诱发某些特定基因的表达，C项正确。

AKita小鼠胰岛素分泌不足，则其组织细胞吸收葡萄糖的速率减慢，D项正确。

3.(2015·哈尔滨四模)盐碱地中生活的某种植物，其细胞的液泡膜上有一种载体蛋白，能将细胞溶胶中的Na+逆浓度梯度运到液泡中，减轻Na+对细胞溶胶中酶的伤害。

下列叙述错误的是()A.该载体蛋白作用的结果有助于降低植物的耐盐性B.Na+进入液泡的过程体现了液泡膜有选择透过性C.该载体蛋白作用导致细胞吸水能力上升D.Na+进入液泡的过程属于主动运输【解析】选A。

该载体蛋白作用的结果可以减轻Na+对细胞溶胶中酶的伤害，有助于提高植物的耐盐性，A项错误。

Na+进入液泡的过程为主动运输，体现了液泡膜有选择透过性，B、D项均正确。

该载体蛋白作用导致细胞液浓度提高，细胞吸水能力上升，C项正确。

4.(2015·渭南三模)埃博拉病毒的粒子中心结构的核壳蛋白由螺旋状缠绕之基因体RNA与核壳蛋白质以及病毒蛋白(VP35、VP30、L)组成。

下列关于埃博拉病毒的描述，正确的是()A.埃博拉病毒的遗传物质是DNA，该遗传物质含5种元素B.埃博拉病毒的蛋白质是在其核糖体上合成的C.培养埃博拉病毒时，培养基必须具有活体细胞D.埃博拉病毒的蛋白VP35和VP30的空间结构相同【解析】选C。

病毒只有一种核酸，由题可知，埃博拉病毒含有的核酸为RNA，则其遗传物质就是RNA，A项错误。

病毒没有细胞结构，其蛋白质是在宿主细胞的核糖体上合成的，B项错误。

病毒没有细胞结构，不能独立进行生命活动，必须寄生在活细胞内才能进行增殖，C项正确。

蛋白VP35和VP30是不同的蛋白质，两种蛋白质的空间结构一定有差异，D项错误。

5.(2015·赣州三模)提取右螺旋壳椎实螺细胞质基质中的mRNA，将它注射到左螺旋壳椎实螺的受精卵中，结果该受精卵发育成右螺旋壳的椎实螺。

对此过程的理解正确的是()A.控制椎实螺外壳螺旋方向的是细胞质基因B.右螺旋壳椎实螺的mRNA在其细胞中可逆转录合成DNAC.此方法获得的右螺旋壳椎实螺可以稳定遗传D.右螺旋壳椎实螺的mRNA的注入不改变左螺旋壳椎实螺的遗传物质【解析】选D。

由题可知，注入左螺旋壳椎实螺的受精卵中的是右螺旋壳椎实螺细胞质基质中的mRNA，由于mRNA可以直接指导蛋白质的合成，因此不能判断控制椎实螺外壳螺旋方向的是细胞质基因，A项错误。

mRNA作为模板可合成蛋白质，而逆转录需要逆转录酶催化，本题中不存在逆转录的条件，B项错误。

此方法获得的右螺旋壳椎实螺是否可以稳定遗传，需要实验来证明，C项错误。

右螺旋壳椎实螺的mRNA的注入只改变了遗传性状，很可能不改变左螺旋壳椎实螺的遗传物质，D项正确。

6.(2015·宜昌三模)PM 2.5是指大气中直径小于或等于2.5μm的颗粒物，富含大量的有毒、有害物质，易通过肺部进入血液。

目前PM 2.5已成为空气污染指数的重要指标。

下列有关PM 2.5的推测不合理的是()A.PM 2.5进入人体的肺泡时还没有进入人体的内环境B.颗粒物中的酸性物质进入人体血液一定会导致血浆呈酸性C.PM 2.5可能成为过敏原，其诱发的过敏反应属于免疫异常D.颗粒物进入呼吸道引起咳嗽的反射中枢不在大脑皮层【解析】选B。

人体的肺泡不属于内环境，A项正确。

血浆中含有缓冲物质，少量的酸性物质进入不会导致血浆的pH发生较大变化，B项错误。

PM 2.5可能作为过敏原引发过敏反应，过敏反应是免疫异常引起的疾病，C项正确。

颗粒物进入呼吸道引起的咳嗽不受控制，因此其反射中枢不在大脑皮层。

【易错提醒】本题易错选D项，错因是认为咳嗽是大脑皮层控制的。

辨析的方法是可以结合自己的感受，凡是能有感觉或有意识控制的活动其反射中枢在大脑皮层，否则不在大脑皮层。

7.(2015·三门峡三模)Ⅱ型糖尿病患者存在高癌症风险，且可加速人体衰老。

在适宜强度的超声波作用下，癌细胞膜的通透性会改变，使化疗药物更易于进入细胞，增强对癌细胞的毒性。

下列叙述错误的是()A.Ⅱ型糖尿病患者体内癌细胞的增殖与有关细胞凋亡的基因不能正常表达有关B.人体衰老过程中，新陈代谢变慢，细胞和细胞核体积均变大的细胞数目逐渐增加C.胆固醇是癌细胞细胞膜的组成成分之一D.超声波可能使细胞膜中磷脂双分子层结构发生改变【解题指导】解答本题需获取以下信息：(1)Ⅱ型糖尿病患者存在高癌症风险，且可加速人体衰老。

(2)适宜强度的超声波作用可使癌细胞膜的通透性改变。

【解析】选B。

细胞癌变的本质就是有关细胞凋亡的基因不能正常表达，A项正确。

人体衰老过程中，细胞衰老增加，衰老的细胞中细胞核体积增大，细胞内水分减少，细胞皱缩，B 项错误。

胆固醇是各种细胞的细胞膜的组成成分之一，癌细胞细胞膜上也有，C项正确。

适宜强度的超声波作用可使癌细胞细胞膜的通透性改变，推测超声波可能使细胞膜中磷脂双分子层结构发生改变，D项正确。

8.研究发现小鼠大脑有“内置GPS”系统，是由大脑海马区的“网格细胞”和内嗅皮层的“定位细胞”形成神经网络回路，能精确定位和寻找路径的综合定位系统。

下列说法正确的是()A.“网格细胞”与“定位细胞”形成的神经网络回路是一个反射弧B.“网格细胞”上兴奋的传导是双向的，它与长期记忆的形成有关C.小鼠觅食返回时，两类细胞的Na+大量外流产生兴奋D.两类细胞能与其他细胞形成较多突触，并能释放信号分子【解题指导】(1)题中关键信息：神经网络回路的有关细胞都是大脑中的有关神经细胞。

(2)关键知识：反射弧要包括感受器、传入神经、神经中枢、传出神经和效应器五部分。

(3)形成位置感需要感觉器官、传入神经的配合。

【解析】选D。

“网格细胞”与“定位细胞”形成的神经网络回路是能精确定位和寻找路径的综合定位系统，结果是形成位置感，没有传出神经和效应器，则不是一个完整的反射弧，A项错误。

该神经网络回路是由多个神经元形成的，由于兴奋在通过突触时是单向的，则“网格细胞”上兴奋的传导也是单向的，B项错误。

神经细胞的兴奋是Na+内流导致的，C项错误。

两类细胞形成的神经网络回路是神经中枢的部分，神经细胞之间形成突触，兴奋通过突触需要神经细胞释放神经递质，D项正确。

9.一种捕食鱼类的芋螺向水中释放芋螺毒液，减慢猎物的运动速度并将其捕获。

芋螺毒液中除了神经毒素外，还发现大量转化型胰岛素，其结构类似鱼胰岛素。

据此分析不合理的是()A.芋螺毒液既影响鱼类的神经调节，又影响鱼类的激素调节B.芋螺毒液的作用使鱼出现低血糖导致鱼类运动能力降低而被捕食C.芋螺的神经毒素可能影响Na+、K+等离子在神经细胞上的跨膜运输D.芋螺神经毒素与鱼类细胞表面受体结合使胰岛素不能发挥功能【解题指导】解答本题需明确以下两点：(1)芋螺毒液中含有神经毒素。

(2)芋螺毒液中含有类似鱼胰岛素的转化型胰岛素。

【解析】选D。

芋螺毒液中除了神经毒素外，还发现大量转化型胰岛素，其结构类似鱼胰岛素，说明芋螺毒液既影响鱼类的神经调节，又影响鱼类的激素调节，A项正确。

芋螺毒液中含有类似鱼胰岛素的物质，可使鱼出现低血糖导致鱼类运动能力降低而被捕食，B项正确。

兴奋的产生与传导与Na+、K+等在神经细胞上的跨膜运输有关，因此芋螺的神经毒素可能影响Na+、K+等在神经细胞上的跨膜运输，C项正确。

芋螺神经毒素和胰岛素为不同的物质，由细胞膜上不同的受体与之结合，因此芋螺神经毒素与鱼类细胞表面受体结合不影响胰岛素发挥作用，D项错误。

10.(2015·西宁三模)据报道，在美国南部森林中生活着一种绿色变色蜥蜴，当矮壮健实的褐色蜥蜴侵入该森林，绿色变色蜥蜴被迫在树上生活，仅仅经过20代，绿色变色蜥蜴就长出更大、黏性更强的护趾，帮助它们在较高的领地上定居。

研究人员认为这一过程给人们展示了一个正在发生的生物进化过程，这是因为他们认为()A.树上的绿色蜥蜴种群中一定产生了新的基因B.褐色蜥蜴的入侵决定了绿色蜥蜴变异的方向C.褐色蜥蜴的入侵可能改变了绿色蜥蜴种群的基因频率D.褐色蜥蜴的入侵导致绿色变色蜥蜴种群中产生了生殖隔离【解析】选C。

树上的绿色变色蜥蜴不一定产生新的基因，A项错误。

褐色蜥蜴的入侵对绿色变色蜥蜴进行了选择，不能决定变异的方向，B项错误。

绿色变色蜥蜴发生了定向进化，说明绿色蜥蜴种群的基因频率发生了改变，C项正确。

褐色蜥蜴的入侵并没有导致绿色变色蜥蜴种群中产生生殖隔离，D项错误。

二、非选择题(共2个小题，共40分)11.(24分)(2015·衡水三模)肉毒杆菌毒素并非由活着的肉毒杆菌释放，而是先在肉毒杆菌细胞内产生无毒的前体毒素，在肉毒杆菌死亡后前体毒素游离出来，经肠道中的胰蛋白酶或细菌产生的蛋白酶作用后才具有毒性。