一维六方准晶狭长体中非对称静态裂纹与快速传播裂纹的分析解
一维六方压电准晶中圆孔边周期裂纹分析
一维六方压电准晶中圆孔边周期裂纹分析杨娟; 李星; 周跃亭【期刊名称】《《振动与冲击》》【年(卷),期】2019(038)018【总页数】10页(P62-71)【关键词】一维六方压电准晶; 周期裂纹; 圆孔; 保角变换; 场强度因子; 能量释放率【作者】杨娟; 李星; 周跃亭【作者单位】宁夏大学民族预科教育学院银川750002; 宁夏大学数学统计学院银川750021; 同济大学航空航天与力学学院上海200092【正文语种】中文【中图分类】O346.11984年准晶体的发现是近年来凝聚态物理的一大突破。
准晶作为一类新型材料，与传统材料相比，由于其独特的准周期结构，表现出与众不同的一些性能，在众多科学技术领域有广泛的应用前景。
由于准晶中相位子场的存在,导致准晶压电性能比传统晶体要复杂得多。
目前，含缺陷准晶材料的断裂问题研究已取得了大量的重要成果[1-4]。
压电准晶材料是一种特殊的压电材料,正是由于准晶材料具有压电效应这种特殊性能，与一般的压电材料相比,允许有五次或高于六次的旋转对称操作。
所以, 压电准晶材料比普通的压电材料有着良好的应用前景。
对于压电效应下的准晶断裂问题在近几年才有研究，目前压电准晶材料的方程已经初步建立[5],文献[6]指出,三维准晶和部分拥有中心对称的二维准晶是没有压电效应的,因此研究主要放在了一维压电准晶材料上。
在实际的工程应用中，材料破坏的形式多种多样，实际的结构也千变万化。
一般而言，材料开孔现象非常常见，比如机械结构中的螺栓孔，飞机蒙皮中的铆钉孔等。
在复杂的加载环境下，含孔洞的结构不可避免的会出现应力集中，在孔边诱发裂纹，从而导致材料的断裂破坏。
因此，研究孔边裂纹问题具有重要的理论意义和工程价值。
文献[7]采用Green函数法研究界面上含圆孔边界径向有限长度裂纹的两半无限压电材料对SH波的散射和裂纹尖端动应力强度因子问题。
文献[8]采用“镜像”和“剖分-契合”等方法,对SH波作用下半空间孔边界面裂纹的动应力问题进行了研究。
1维6方准晶有限摩擦的周期接触问题
1维6方准晶有限摩擦的周期接触问题马小丹【摘要】Sy using the complex variable method,the frictionally periodic contact problems in one-dimensional hexa-gonal quasicrystals were discussed. Sased on the Hilbert kernel integral formula and through periodic Riemann-Hil-bert boundary value problem is solved,the closed form solutions was obtained. Further,the explicit solutions of con-tact stress were given under the action of periodic straight horizontal basal punch,periodic straight inclined basal punch ,periodic circular basal punch. The results have showed that the contact stress in punches at arbitrary end had integrable singularity. If the effect phason field is neglected,the obtained results match with the corresponding re-sults of periodic contact problem in orthogonal anisotropic materials.%利用复变函数方法研究了1维6方准晶具有有限摩擦的周期接触问题。
一维六方准晶中具有四条裂纹的圆形孔口问题的解析解
几何方程为 ：
作 者 简介 ： 陈柱 （ ９ ２ ， ， １ ８ 一） 男 内蒙 古 呼 伦 贝 尔人 讲 师 ， 士 ， 究 方 向 为 连 续 介 质 力 学 、 理 金 融 硕 研 数
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因 子
１ 一 维 六 方 准 晶弹 性 的 基 本 理 论
在 一 维 六 方 准 晶 中 ， ／９：／表 示 声 子 场 位 移 分 用 ２ ／，， １／ ／ ， ， 量 ， 示相位子场位移分量 ， ： 表 用
［ ， ＝６ ， ， ３ ６ ， ３２ｌＷ ，ｌ ２ 占 Ｗ ［ｌ占 ８ ， ∞２ １ ８ ，３ ， ］ Ａ １ 笠 ３２ ６ ， ２ Ｗ Ｗ
ａ Ｉ ０ｏ ｌ ０， １＂ ＋ ｌ ｌ ２＂＝ ａ０２ ａ ＋ ２ ｌ ＝ ａ ３ ａ ３ ０， ０， １ １ ２ ＋ ＝
ａＨｌＯＨ２Ｏ ｌ ＋２ －
（ 对 非 对 称 共 线 裂 纹 和 一 对 对 称 共 线 裂 纹 ） 圆 形 孔 口的ｇ － 面 剪切 ｉ题 ， 出裂 纹 尖 端 一 的 ．－ ￣ ， － ＇ 给 Ｉ 应 力 强 度 因子 的解 析 解 。
关 键 词 ：一 维 六 方 准 晶 ； 有 四 条 裂 纹 的 圆 形 孔 １ ； 力强 度 因子 ；复 变 方 法 具 ３ 应 ＇
Ｈ ２ Ｒ３＂ Ｋ２ ＝２ ６ ∞＋ ｗ２
性 的普遍 解 ， 文献 ｆ 研 究 了一维六方 准 晶中 的椭 圆孔 ９ １
口 问 题 ， 献 『０研 究 了 一 维 六 方 准 晶 中 的 双 裂 纹 问 文 ｌ１ 题 ， 献 『１ ３分 别 研 究 了一 维 六 方 准 晶 中 的 直 位 错 、 文 ｌ １］ 运 动 位 错 以 及 裂 纹 与 位 错 的 相 互 作 用 本 文利 用 复 变 函 数 的方 法 ．通 过 引 入 适 当 的 保 角 映 射 研 究 了 一 维 六 方 准 晶 中 沿 准 周 期 方 向 穿 透 的 具 有 四条 裂 纹 的 圆 形 孔 １ 的反 平 面 剪 切 问 题 ．并 求 得 了 裂 纹 尖 端 的应 力 强 度 ２ ： １
一维六方准晶中椭圆孔边不对称裂纹问题的解析解
一维六方准晶中椭圆孔边不对称裂纹问题的解析解郭怀民;薛英;麻桂英【期刊名称】《兰州理工大学学报》【年(卷),期】2011(37)6【摘要】By means of the complex variable function method and using the technique of conformal mapping, the anti-plane shear problem of asymmetry cracks around an elliptic orifice in one-dimensional hexagonal quasicrystals was investigated and the solution of the stress intensity factor (SIF) was found out for the cracks of mode Ⅲ. Under the critical condition, not only the available result could be recovered but the solution of the SIFs at the crack tip in a circular orifice problem and two perpendicular crack problem was also found out for the asymmetry cracks in one-dimensional hexagonal quasicrystals.%利用复变函数方法,通过构造保角映射,研究一维六方准晶中椭圆孔边带不对称裂纹的反平面剪切问题,给出Ⅲ型裂纹问题的应力强度因子,在极限情形下,不仅可以还原为已有的结果,而且求得一维六方准晶中带裂纹的圆形孔口问题,两垂直裂纹问题在裂纹尖端的应力强度因子.【总页数】5页(P162-166)【作者】郭怀民;薛英;麻桂英【作者单位】包头师范学院数学科学学院,内蒙古包头014030;包头师范学院数学科学学院,内蒙古包头014030;包头师范学院数学科学学院,内蒙古包头014030【正文语种】中文【中图分类】O346.1【相关文献】1.一维六方准晶压电材料中栿型椭圆孔口带不对称裂纹的解析解 [J], 周彦斌;刘官厅2.一维六方准晶中带裂纹的椭圆孔口问题的解析解 [J], 郭怀民;乔文华3.一维六方准晶中带双裂纹的椭圆孔口问题的塑性模拟 [J], 梁晋燕;李梧4.一维六方准晶中带双裂纹的椭圆孔口问题的解析解 [J], 郭俊宏;刘官厅5.一维六方准晶中椭圆孔边裂纹的静态与动态分析 [J], 郭俊宏;刘官厅因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
点群6一维六方准晶中唇形裂纹的反平面问题
点群6一维六方准晶中唇形裂纹的反平面问题钟海英;刘官厅;郑文晶【摘要】通过引入适当的保角映射，利用复变方法，研究了裂纹面受剪切作用下无限大点群6一维六方准晶中唇形裂纹的断裂行为，给出唇形裂纹在裂纹尖端处的应力强度因子公式，得到了裂纹尖端处应力强度因子的解析解。
当唇形裂纹高度趋于0时，该解析解退化为无限大点群6一维六方准晶中有限长 Griffith 裂纹问题的解。
%In this article,by using the complex variable function method and a conformal mapping,the fracture problem of a lip-shape crack in a point group 6 of one-dimensional hexagonal quasicrystals strip is studied under anti-plane shear stress load in the crack surface.The analytic solution of the stress intensity factors at the crack tip is obtained.【期刊名称】《内蒙古师范大学学报（自然科学汉文版）》【年(卷),期】2015(000)003【总页数】5页(P285-289)【关键词】点群6一维六方准晶;唇形裂纹;应力强度因子;保角映射;解析解【作者】钟海英;刘官厅;郑文晶【作者单位】内蒙古师范大学数学科学学院，内蒙古呼和浩特 010022;内蒙古师范大学数学科学学院，内蒙古呼和浩特 010022;呼伦贝尔学院数学系，内蒙古呼伦贝尔 021008【正文语种】中文【中图分类】O346.1准晶是1984年发现的一种既不同于晶体,也不同于非晶体的新的固体结构和新材料,它是一种具有准周期长程平移对称性和长程取向对称性的固体[1].自准晶发现以来,关于含缺陷的准晶的断裂问题受到国内外许多研究者的关注,取得了许多重要成果[2-6].关于准晶裂纹问题的研究,前人多集中在点群6mm一维六方准晶,且裂纹多为线状裂纹或规则曲线的情形[7-13],而对于准晶中一些曲边多角形的裂纹问题的研究目前还不多见.唇形裂纹是工程中常见的缺陷及类型,对这类只有尖点的曲边多角形缺陷的断裂问题的研究有十分重要的意义.本文利用复变函数方法,通过引入适当的保角映射,研究了裂纹面受剪切作用下无限大点群6一维六方准晶中唇形裂纹的断裂行为,给出唇形裂纹在裂纹尖端处应力强度因子公式,得到了裂纹尖端处应力强度因子的解析解.取一维准晶准周期方向为坐标轴x3,垂直于准周期方向的平面为坐标平面x1-x2,建立空间直角坐标系.用u1,u2,u3表示声子场位移分量,ω表示相位子场位移分量,用[εi j,ω3j]=[ε11,ε22,ε33,ε23,ε31,ε12,ω31,ω32,ω33],[σi j,H3j]=[σ11,σ22,σ33,σ23,σ31,σ12,H31,H32,H33],表示声子场和相位子场的应变及应力分量.根据文献 [5],一维准晶弹性问题的广义虎克定律可表示为σi j=Ci jk lεk l+Ri j3lω3l, H3j=Rkl3jεk l+K3j3lω3l, i,j,k,l=1,2,3,其中: Ci jk l与K3j3l分别为声子场与相位子场的独立弹性常数; Ri j3l表示声子场与相位子场耦合的独立弹性常数.不计体力的静平衡方程为几何方程为.这里利用了张量记号,且∂j=∂/∂xj.方程(1)-(3)就是一维准晶弹性问题的基本方程. 引入紧缩张量记号11→1,22→2,33→3,23→4,31→5,12→6,且记K3131=K1, K3232=K2, K3333=K3, K3132=K4,R1133=R1, R2233=R2, R3333=R3, R2331=R4,R2332=R5, R3131=R6, R3132=R7, R1233=R8.对于点群6一维六方准晶,有以下关系成立:C11=C22, C13=C23, C44=C55, 2C66=C11-C12, C16=C26=C36=C45=0,K1=K2, K4=0, R1=R2, R5=R6, R4=-R7, R8=0.所以点群6一维六方准晶的非零独立弹性常数有11个:C11,C33,C12,C13,C44,K1,K3,R1,R3,R4,R6.因此,点群6一维六方准晶的广义虎克定律为这样方程(2)-(4)就是点群6一维六方准晶弹性问题的基本方程.当点群6一维六方准晶中的缺陷沿准周期方向x3穿透时,材料的几何性质将不随准周期方向改变,这时在垂直于准周期方向x3的周期平面x1-x2内为平面弹性问题,且有 =0,所有场变量仅依赖于坐标变量x1和x2.将 =0代入(2)-(4)式,可以得到两个相互分离的问题: 一是类似于各向同性晶体的平面应变问题,可以按经典弹性方法求解;二是关于声子场-相位子场耦合的偏微分方程,即σ23=σ32=2C44ε23+R4ω31+R6ω32,σ31=σ13=2C44ε31-R4ω32+R6ω31,H31=2R4ε23+2R6ε31+K1ω31, H32=2R6ε23-2R4ε31+K1ω32,,∂1σ31+∂2σ32=0, ∂1H31+∂2H32=0.方程(5)-(9)与一般的晶体方程完全不同,属于反平面问题,本文主要讨论该问题.将(8)式代入(5)-(7)式,再将所得结果代入(9)式,有C442u3+R62ω=0, R62u3+K12ω=0,其中.一般地,C44K1-R62=0,由此可以进一步得到2u3=0, 2ω=0.方程(10)即为点群6一维六方准晶在周期平面内的反平面弹性问题的控制方程.引入复变量.由于方程(10)中的u3和ω是调和函数,故它们可以表示成复变量z的任意解析函数φ1(z)和ψ1(z)的实部或虚部.不妨设u3(x1,x2)=Re φ1(z), ω(x1,x2)=Re ψ1(z).由(5),(6),(8)式有σ31=C44∂1u3+R6∂1ω-R4∂2ω, σ32=C44∂2u3+R4∂1ω+R6∂2ω.于是有σ31-i σ32=C44(∂1u3-i ∂2u3)+R6(∂1ω-i ∂2ω)-i R4(∂1ω-i ∂2ω).若设φ1(z)=u3(x1,x2)+i n1(x1,x2), ψ1(z)=ω(x1,x2)+i n2(x1,x2),则由Cauchy-Riemann关系,有-∂2u3=∂1n1, -∂2ω=∂1n2,代入(11)式得,其中.同理可得(z).(12)式和(13)式就是方程(5)-(9)的各应力分量的复表示.由(12)式和(13)式可得当z在弹性体边界取值时,(14)式即为方程(5)-(9)的边界条件的复表示.假设在点群6一维六方准晶中,沿准周期方向x3有一穿透性长为2a的唇形裂纹.在x1-x2平面内,考虑无穷远处不受力,在裂纹表面L上受沿准周期方向的剪切力τ,如图1所示.问题的边界条件为z→∞: σ23(z)=σ31(z)=H32(z)=H31(z)=0,z=t∈L: σ23(z)=-τ,H32(z)=-τ1.其中裂纹面上给出的相位子场应力-τ1只是一种数学模拟.由(12)式和(13)式可知,各应力分量的复表示为由(14)式可知,边界条件的复表示为引入保角映射[14],其中.由(18)式可得.该保角映射将z平面上唇形裂纹的外部区域映射到ζ平面上单位圆γ的内部,唇形裂纹的边界映射为单位周,且ω-1(a)→i,ω-1(-a)→-i,ω-1(i h)→1,ω-1(-i h)→-1. 假设在γ上,ζ=σ=ei θ,并记φ1(ω(ζ))=φ(ζ),ψ1(ω(ζ))=ψ(ζ),则有.因此,条件(16)可以写为(20)式两端同时乘以 ,并沿单位圆γ积分,其中ζ是圆内任意一点.由柯西积分公式可得(ζ).由无穷远处的柯西积分公式可得.由(17)式可得,ω′(ζ)在单位圆内只有二级极点ζ=0,应用复变函数论中的留数定理得.记(ζ),则将(21)-(24)式代入(20)式得,解得,积分得由(17)式可得ζ=ω-1(z)(由于有4个表达式比较长,在此省略不写),将其代入(27)式可以求得φ(z)和ψ(z)的表达式,它们就是带唇形裂纹的点群6一维六方准晶在反平面应变下的复变函数,将其代入(15)式便可求得应力场.由文献 [6]可知,ζ平面上声子场与相位子场在裂纹尖端ζ=ζ1处的应力强度因子可定义为.根据(17),(18),(19),(24),(28)式,可求得在裂纹尖端ζ=i处K.其中.(29)式即为点群6一维六方准晶中唇形裂纹在裂纹尖端处应力强度因子的解析解.特别地,当h→0,即β→0,K=1时,.该解析解退化为无限大点群6一维六方准晶中有限长Griffith裂纹的解,与文献 [6] 的结果一致.【相关文献】[1] Shechtman D,Blech I,Gratias D,et al. Metallic phase with long-range orientational order and no translational symmetry [J]. Phys Rev Lett,1984,53:1951-1953.[2] 王仁卉,胡承正,桂嘉年. 准晶物理学 [M]. 北京:科学出版社,2004.[3] 董闯. 准晶材料 [M]. 北京:国防工业出版社,1998:58-175.[4] 范天佑. 断裂理论基础 [M]. 北京:科学出版社,2003.[5] 刘官厅. 准晶弹性的复变方法与非线性发展方程的显示解 [M]. 呼和浩特:内蒙古人民出版社,2005.[6] 范天佑. 准晶数学弹性理论及应用 [M]. 北京:北京理工大学出版社,1999.[7] 郭俊宏,刘官厅. 一维六方准晶中具有不对称裂纹的圆形孔口问题的解析解 [J]. 应用数学学报,2007,30(6):1066-1075.[8] 杨丽星,刘官厅. 一维六方准晶中带三条不对称裂纹的圆形孔口问题的解析解 [J]. 数学的实践与认识,2010,40(2):148-156.[9] 郭怀民,乔文华. 一维六方准晶中带裂纹的椭圆孔口问题的解析解 [J]. 宁夏大学学报,2009,30(3):223-226.[10] 郭俊宏,刘官厅. 一维六方准晶中带双裂纹的椭圆孔口问题的解析解 [J]. 应用数学与力学,2008,29(4):439-446.[11] 皮建东,刘官厅,郭怀民. 一维六方准晶狭长体中共线裂纹问题的精确解 [J]. 内蒙古师范大学学报:自然科学汉文版,2006,35(4):391-396.[12] 皮建东,刘官厅,郭怀民. 一维六方准晶中圆弧裂纹及抛物线裂纹的反平面剪切问题 [J]. 内蒙古师范大学学报:自然科学汉文版,2008,37(4):435-440.[13] 施志昱,刘官厅. 点群6一维六方准晶中幂函数型曲线裂纹的反平面问题 [J].内蒙古大学学报:自然科学版,2012,43(3):237-243.[14] 匡震邦. 只有尖点的平面曲边多边形缺陷的应力分析 [J]. 力学学报,1979,14(2):218-228.。
狭长体中非对称快速传播裂纹的分析解
狭长体中非对称快速传播裂纹的分析解杨晓春;王鲁;范天佑【期刊名称】《力学学报》【年(卷),期】2000(032)004【摘要】This study presents an analytic solution for an asymmetrical fastpropagating semi-infinite crack in a strip. The formulation of complexfunction approach for solving dynamic crack problems given by Fan is thebasis of the present analysis. Meanwhile a conformal mapping is used totransform the region of the physical plane onto the upper half-plane inthe mapped plane. The Cauchy integral and analytic continuum are alsoused in the calculation. The analytic solution in closed form isobtained. When the crack is reduced to the symmetrical one, the resultsobtained here are reduced to those given by Fan, which servea check of the present work.rn In the work the dynamic stress intensity factors, dynamic crack openingand sliding displacements and the plastic zones at the dynamic crack tipfor Mode I and Mode II are determined. These results are significant, which may be used to simulate the instability of earthquake fault.%用复变函数方法得到了弹性狭长体中含有一非对称半无限裂纹的动力学问题的分析解.当裂纹速度V 0时,此动力学的解可还原成为静力学的解.该问题I型与II型静态与动态应力强度因子KI, KII得以确定, 并且具有解析的形式.【总页数】6页(P507-512)【作者】杨晓春;王鲁;范天佑【作者单位】宁夏大学数学与电算工程系,银川 750021 北京理工大学材料科学研究中心,北京 100081;北京理工大学材料科学研究中心,北京 100081;北京理工大学材料科学研究中心,北京 100081【正文语种】中文【中图分类】O346.1【相关文献】1.带有垂直于极化方向穿透的直裂纹的压电狭长体平面问题的解析解∗ [J], 高健;刘官厅2.一维六方压电准晶狭长体中动态与静态裂纹问题分析 [J], 郭怀民;麻桂英;赵国忠3.椭圆孔边动态裂纹快速传播问题的分析解 [J], 郭怀民;赵志云4.一维六方准晶中狭长体双半无限共线快速传播裂纹的精确分析解 [J], 韩飞;刘官厅;杜艳艳5.一维六方准晶狭长体中非对称静态裂纹与快速传播裂纹的分析解 [J], 郭俊宏;刘官厅因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
一维六方压电准晶材料中双周期裂纹反平面问题
一维六方压电准晶材料中双周期裂纹反平面问题崔江彦;安震海;王亚星【摘要】讨论无限大一维六方压电准晶材料中一类裂纹中心位于矩形顶点且成双周期分布的反平面问题,利用周期对称性、保角变化、椭圆函数及施瓦兹公式,给出该问题场势函数的封闭解,进而得到了裂纹尖端的强度因子.【期刊名称】《河北科技师范学院学报》【年(卷),期】2014(028)003【总页数】6页(P53-57,80)【关键词】一维六方准晶;双周期裂纹;椭圆函数;解析解【作者】崔江彦;安震海;王亚星【作者单位】宁夏大学数学与计算机学院,宁夏银川,750021;银川唐徕回民中学;银川唐徕回民中学;宁夏大学数学与计算机学院,宁夏银川,750021【正文语种】中文【中图分类】O346准晶是1984年在实验Al-Mn合金中发现的一种固体, 结构与晶体明显不同, 其弹性也不同于晶体。
准晶弹性除了普通的位移场和声子场之外, 还存在另一位移场和相位子场。
目前准晶材料主要应用于表面改性材料和结构材料增强相, 但是准晶材料在常温环境下呈脆性, 这大大限制了准晶材料的应用, 因此研究其断裂力学行为对材料的制作有着及其重要的理论意义。
长期以来, 学者对材料断裂力学的研究都集中在裂纹和夹杂中，自准晶材料被发现以来, 关于准晶各方面问题的研究已经取得了许多重要的成果, 尤其是用复变函数的方法研究准晶材料中一系列微观与宏观缺陷问题[1,2], 目前对准晶材料中的裂纹和位错等问题已有较系统的研究[3,4]. 双周期裂纹的相关问题在经典弹性力学中的研究比较多[5～10], 而准晶材料的双周期裂纹问题至今还未见相关报道。
本研究利用椭圆函数和解析函数理论讨论了一维压电六方准晶材料中一类裂纹中心位于矩形顶点呈双周期排列的反平面问题, 得到问题的封闭解。
1 问题分析一维六方压电准晶材料, 裂纹中心位于矩形顶点上并呈双周期分布的横截面图如图1所示。
图1 裂纹中心位于矩形顶点准晶材料的反平面问题, 其反平面应变u3和反平面位移w3以及电势φ可表示为[5]：其中，(1)本构方程[5]为：(2)其中，为材料系数。
1维6方压电准晶带4条裂纹的圆形孔口问题的解析解
1维6方压电准晶带4条裂纹的圆形孔口问题的解析解张峰;李星【摘要】利用复变函数方法与保角变换技巧,探讨了1维6方压电准晶中带有4条裂纹的圆形孔口的反平面Ⅲ型裂纹问题,得出了应力强度因子和电位移强度因子的解析解.由该解析解得出极限情形下的对称4裂纹圆形孔口、3条裂纹的圆形孔口、共线双裂纹圆形孔口、单裂纹圆形孔口、十字裂纹、T形裂纹对应的Ⅲ型裂纹应力强度因子和电位移强度因子的解析表达式.【期刊名称】《江西师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(039)001【总页数】6页(P50-54,100)【关键词】1维6方压电准晶;具4条裂纹的圆形孔口;复变函数方法;应力强度因子【作者】张峰;李星【作者单位】宁夏大学数学与计算机学院,宁夏银川750021;宁夏大学数学与计算机学院,宁夏银川750021;宁夏师范学院数学计算机系,宁夏固原756000【正文语种】中文【中图分类】O346.10 引言与基本理论D.Shechtman等［1］于1984年在快速冷却的铝锰合金中发现了1种电子衍射斑具有明显的5次对称性的相，并推断出该结构具有3维空间的彭罗斯拼图结构.D.Shechtman等揭示出原子在晶体内的堆积形态可以不重复、独特的原子排列形式，使得固体准晶具有高硬度、低密度、耐磨等独特的性能.因此，它成为了1种新型的材料，并将其广泛应用于航空航天和金属成型等工程领域［2］.相对于经典弹性理论而言，准晶的弹性理论更复杂，应用数学与力学学者就其弹性和缺陷问题做了一系列研究.文献［3－4］利用对称群对于准晶的弹性基本理论开展了相关研究.范天佑［5］基于经典弹性理论中的复变函数法，系统地总结了若干准晶平面弹性与断裂力学问题的复变方法.在此基础上，众多学者对简单的1维6方立方等准晶的弹性、位错、孔口和裂纹问题进行了研究［6－11］.文献［12］指出准晶具有压电效应，并建立了准晶的电弹性基本理论.而考虑准晶压电效应的研究相对较少，王旭等［11］研究了1维6方压电准晶中的动态螺旋位错，求出位错引起的应力位移场的分量的解析解.李星等［13－14］研究了1维6方压电准晶对称条形体中共线双半无限快速传播裂纹问题与一些简单裂纹的静力学与动力学问题的解析解.本文运用1维6方准晶的电弹性基本理论，将文献［15］中的具有4条裂纹的圆形孔口反平面问题推广到了1维6方压电准晶中，并给出了应力强度因子的解析解.取点群6mm 1维6方压电准晶的准周期方向为坐标轴x3，坐标平面为x1－x2垂直于准周期方向的平面，建立直角坐标系.根据文献［5，11］的广义胡克定律、几何方程、不计体力的运动平衡方程，当缺陷沿准晶的准周期方向穿透时1维6方压电准晶的反平面问题为(1)式最终可以归结为3个调和函数求解的问题，由复变函数理论［5，13］知，u3，ω，ψ 可表示为 3 个解析函数的实部，即其中Re表示实部，φj(z)(j=1，2，3)为3个解析函数，z=x1+ix2.1 问题研究设1个无限大1维6方压电准晶中有4条圆形孔口裂纹，裂纹长分别为a－R，b－R，c－R和c－R，裂纹沿准周期方向穿透，记边界为L，1个电场分布在无穷远处，电极化的方向作为准周期的方向，T是受到的电载荷，τ为无穷远处受到沿准周期方向的剪应力，如图1所示，则该问题转换为准晶在裂纹面上受到电位移和剪应力的作用，Z=－p，Z'=－q，Z″=－T，电非渗透型边界条件为其中l，m表示带4条裂纹的圆形孔口的外法线方向与x1，x2轴夹角的余弦值.若f(z)为解析函数，则∂f ∂x1=dfdz，∂f ∂x2=idfdz.若f(z)=P(x1，x2)+iQ(x1，x2)=Ref(z)+iImf(z)，由Cauchy－Riemann 关系知，由广义胡克定律和(2)式得将(5)、(6)式代入(3)式，再由(4)式知，(5)式可化为两边分别对s积分，并由得对z的不同位置进行讨论(见图2)，得到的结果［15］为(7)式两端关于z求导，并将(8)式代入得其中图1 具有4条裂纹的圆形孔口模型图2 包含具有4条裂纹的圆形孔口的无限大平面到单位圆的映射引入保角变换［15］其中a1=(a/R+R/a)/2，b1=(b/R+R/b)/2，c1=(c/R+R/c)/2.此映射将z平面的裂纹映射到ζ平面上的单位圆内部，从而ω－1(a)→1，ω－1(－b)→－1，ω－1(ic)→ D1，ω－1(－ic)→ J1，如图2所示.令ψi(ζ)= φi(z)，则将(10)式代入(9)式整理，然后将单位圆上的点ζ= σ=eiθ代入，得(11)式两边分别同时乘以1/［2πi(σ－ξ)］，并沿边界l积分得在单位圆内ψ'i(ζ)解析，由Cauchy积分公式得由于，则ω'(σ)·为单位圆外解析函数的边值.根据无穷远处的Cauchy积分公式，对于，有令，其中其中由(12)式可解得根据(4)式和(5)式得由(13)式代入(10)式可得φ'i(z)，然后代入(14)式解方程组，再利用保角映射的反演，则可得z平面内的应力场和位移场的表达式，由于结果较复杂，此处不予列出. 由(z→a)，F(ζ)→RY/2，ζ→1(z→a)得在裂纹尖端z=a处，对应于ζ平面内ζ=1处的声子场应力强度因子、相位子场应力强度因子、电位移强度因子分别为其中当1维6方压电准晶退化为1维6方准晶时，问题就退化为1维6方准晶中具有4条裂纹的圆形孔口，其声子场应力、相位子场应力强度因子分别为与文献［15］中的结果一致.2 几种特殊情形1)(i)当c→R时，问题为1维6方压电准晶中带非对称共线双裂纹的圆形孔口，由(15)式得其中(ii)当b→a时，问题为1维6方压电准晶中带有对称共线双裂纹的圆形孔口，由(16)式知(iii)当b→R时，问题为1维6方压电准晶中带有单裂纹的圆形孔口，由(16)式知2)当b→a时，问题为1维6方压电准晶中具有对称4裂纹的圆形孔口，由(15)式3)当b→R时，问题为1维6方压电准晶中具有3条裂纹的圆形孔口，由(15)式知其中4)(i)当R→0时，问题为1维6方压电准晶中具有非对称十字裂纹的圆形孔口，由(15)式知(ii)当b→a时，问题为1维6方压电准晶中具有对称十字裂纹的圆形孔口，由(17)式知(iii)当b→0时，问题为1维6方压电准晶中T形裂纹，由(17)式知(iv)当b→a，c→0时，问题为1维6方压电准晶中Griffith裂纹，由(17)式知当1维6方压电准晶退化为1维6方准晶时，问题为1维6方准晶中的Griffith 裂纹，声子场应力、相位子场应力强度因子分别为与文献［15］中的结果一致.3 结论本文得出了1维6方压电准晶中具有4条裂纹的圆形孔口问题的应力和电位移强度因子的解析解，从得到的结果可以看出:电位移并没有和应力发生耦合，电载荷不能改变应力场，只能改变电位移应力强度因子，声子场应力、相位子场应力以及电位移都受到裂纹尺寸的影响.当1维6方压电准晶退化为1维6方准晶时，与文献［15］的结论一致.得到的解析解在极限情形下可以给出1维6方压电准晶中对称4裂纹圆形孔口、3条裂纹的圆形孔口、共线双裂纹圆形孔口、单裂纹圆形孔口、十字裂纹、T形裂纹问题对应的III型裂纹应力强度因子和电位移强度因子的解析表达式.这在一定意义上验证理论推导的正确性.在自然界和工程应用中经常会遇到带裂纹的材料受到电载荷的作用，材料由裂纹尖端开始破坏是常有的，本文得到的结果可以作为理论依据，从而推进压电准晶材料的实际应用.4 参考文献【相关文献】［1］ 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摘
要 ： 复 变 函 数 方 法 求 解 了 一 维 六 方 准 晶 弹 性 狭 长 体 中 含 有 一 非 对 称 半 无 限 裂 纹 的 反 平 面 剪 切 问题 ， 用
给 出 了 Ⅲ型 裂 纹 问 题 的 应 力 强 度 因子 的分 析 解 。 得 结 果 在 一 些 特 殊 情 形 下 可 以退 化 为 已有 结 果 ． 裂 纹 的 动 力 所 对
Ｈ 在裂 纹顶端 附 近 （ ． 一± ０ 一ａ＜ ｘ ＜ Ｏ 作 用着 沿 ｚ 方 向 的剪应 力 一～ｒ ， 一一 ， ， ） 。 Ｈ。 而在狭 长体 的外 表面 （ 、 、 、 上 下 左 右表 面 ） 不受 外应 力作 用 ． 假设 ３ 轴 方 向为准 周期 方 向 ， 裂 纹穿 透 准周 期 方 向． ７ 。 且 由文
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作 者 简介 ；郭俊 宏 （９ ０ ） 男 ， １８ － ， 内蒙 古 乌 兰 察 布 市人 ， 京 航 空 航 天 大 学 博 士 研 究 生 ； 官 厅 （９ ６ ） 男 ， 北 刘 １ ６ ～ ， 内蒙 古 包 头 市 人 ， 蒙 古 师 范 内
相 位子场 耦合 的反 平 面弹性 问题 为
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第 ３ 卷 第 ６期 ７ ２０ ０ ８年 １ 月 １
内 蒙古 师 范 大 学 学报 （ 自然科 学 汉 文 版 ）
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ｎ ｅ ｏ ｇ ｌ ｒ ｌＵｎｖ ｒｉｙ （ ｔ ｒ ｌ ｃｅ ｃ ｄｔｏ ） ｏ ｒ ａ ｆＩ ｎ ｒＭ ｎ ｏｉ Ｎｏ ｍａ ｉｅ ｓｔ Ｎａ ｕ ａ ｉｎ ｅＥ ｉ ｎ ａ Ｓ ｉ
上述方 程组 最终 可化 为
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（） ３ 式是该 反平 面 问题 的控制方 程 ． 由复 变 函数理 论可 知 ， 。 甜 和 可 以表 示为 两个 解析 函数 的实 部或 虚部 ， 不
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收 稿 日期 ：２０ 一 １１ ０ ８Ｏ —４ 基 金项 目：国 家 自然科 学 基 金 资助 项 目 （０ ７ ０ ３ １ ７ １ ０ ） 北 京 市 教 育 委 员 会 共 建 项 目（ ＫｌＯ ６ ５ ２ １ ５ ２ １ ，０ ６ ０ ５ ； Ｘ ０ＯＯ２）
中 图 分 类 号 ： ４ ． ０３６１ 文献 标 识 码 ：Ａ 文 章 编 号 ：１０ — ７ ５ ２ ０ ） ６ ０ ０— ７ ０ １ ８ ３ （０ ８ ０ — ７ 的一种新 的固体结 构 和新材 料 ． 多实验 表 明 准 晶材料 具 有低 导电 导热 率 、 许 引， 良 好 的韧性 及无 黏性 等独 特 的性 能 ， 具有 广 阔的应 用前 景． 自准 晶被发 现 以来 ， 多研 究者 开展 了若 干研究 ， 许 并 取得 了一 系列 有重要 意 义 的研 究成 果 吖］ 由于准 晶存 在 缺 陷 ， 。 ． 而其 缺 陷 与 准 晶材 料 的应 用 密 切相 关 ， 所 以关 于准 晶缺 陷问题 的研究 倍受 关 注凹 ． 文 通过 引人 适 当 的保 角 变 换 ， 用 复变 函数 方 法 研究 了一 维 引 本 利 六方 准 晶狭 长体 中非对 称半 无 限裂纹 的反 平 面剪切 问题 ， 并对 裂 纹的 动力学 问题 进行 了研 究．
大学 教 授 ， 士 ， 要 从 事 内 插 空 间理 论 及 应 用 、 晶 弹性 与 缺 陷 力 学 以 及 非 线 性 发 展 方程 研 究． 博 主 准
・
７ ８・ ０
内 蒙古 师 范 大学 学 报 （ 自然 科 学 汉 文 版 ）
学 问 题 进 行 了 研究 ， 到 Ⅲ 型 动 态应 力 强 度 因 子 的 分 析 解 ， 得 当裂 纹 速度 Ｖ— Ｏ时 ， 力 学 解 还 原 为 静 力 学 解 ． 动 关 键 词 ： 维 六 方 准 晶 ；狭 长 体 ； 态裂 纹 ；动 态 裂 纹 ；应 力 强 度 因 子 ； 变 函数 方 法 一 静 复
１ 狭 长体 中非 对 称静 态 裂纹
在 一维六 方准 晶 中 ， Ｕ（ ＝ ， ，）表 示 声 子 场 位 移 分 量 ， 用 ：１ ２ ３ ＝ 用 表 示 相 位 子 场 位 移 分 量 ， 用 ， 训
（， Ｊ一 １ ２ ３ ， ， ）和 ， ， 一 １ ２ ３ Ｈ。（， ， ，）分别 表示 声子 场及 相位 子场 的应 变和应 力分 量． 如图 １ 所示 ， 一维 六 方 准 晶狭 长 体 中有 一 非 对 称半 无 限长裂 纹 ， 到上 下 边 界 的距离 分 别 为 Ｈ 和 设 它
Ｖｏ ． ７ Ｎｏ ６ １３ ．
Ｎ ＯＶ ２ ． ００８
一
维 六方 准 晶狭 长 体 中非对 称 静 态 裂 纹 与快 速 传 播 裂 纹 的分 析解
郭 俊 宏 ，刘 官厅
（ 北京 航天大学 固 １ 航空 ． 体力学 所， １０９； 研究 北景 ０１１
２ 内蒙 古 师 范 大 学 数 学科 学 学 院 ， 蒙 古 呼和 浩特 ０ ０２ ） ． 内 １ ０ ２