公式曲线
曲线积分的牛顿莱布尼茨公式
曲线积分的牛顿莱布尼茨公式
牛顿布莱尼茨公式通常也被称为微积分基本定理，揭示了定积分与被积函数的原函数或者不定积分之间的联系。
牛顿-莱布尼兹公式，又称为微积分基本定理,其内容是:若函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，且存在原函数F (x),则f(x)在[a,b]_上可积,且从a到b的定积分(积分号下限为a上限为b) : ff(x)dx=F (b)-F(a)。
牛顿布莱尼茨公式意义：
牛顿-莱布尼茨公式的发现，使人们找到了解诀曲线的长度，曲线围成的面积和曲面围成的体积这些问题的一般方
法。
它简化了定积分的计算，只要知道被积函数的原函数，总可以求出定积分的精确值或一-定精度的近似值。
牛顿-莱布尼茨公式是联系微分学与积分学的桥梁，它是微积分中最基本的公式之一。
它证明了微分与积分是可逆运算，同时在理论上标志着微积分完整体系的形成，从此微积分成为一门真正的学科。
牛顿-莱布尼茨公式是积分学理论的主干，利用牛顿一莱布尼茨公式可以证明定积分换元公式，积分第一中值定理和积分型余项的泰勒公式。
牛顿莱布尼茨公式还可以推广到二重积分与曲线积分，从-维推广到多维。
各种曲线计算公式
一、缓和曲线上的点坐标计算已知：①缓和曲线上任一点离ZH点的长度：l②圆曲线的半径：R③缓和曲线的长度：l0④转向角系数：K(1或－1)⑤过ZH点的切线方位角：α⑥点ZH的坐标：xZ，yZ计算过程：说明：当曲线为左转向时，K=1，为右转向时，K=-1，公式中n的取值如下：当计算第二缓和曲线上的点坐标时，则：l为到点HZ的长度α为过点HZ的切线方位角再加上180°K值与计算第一缓和曲线时相反xZ，yZ为点HZ的坐标切线角计算公式：二、圆曲线上的点坐标计算已知：①圆曲线上任一点离ZH点的长度：l②圆曲线的半径：R③缓和曲线的长度：l0④转向角系数：K(1或－1)⑤过ZH点的切线方位角：α⑥点ZH的坐标：xZ，yZ计算过程：说明：当曲线为左转向时，K=1，为右转向时，K=-1，公式中n的取值如下：当只知道HZ点的坐标时，则：l为到点HZ的长度α为过点HZ的切线方位角再加上180°K值与知道ZH点坐标时相反xZ，yZ为点HZ的坐标三、曲线要素计算公式公式中各符号说明：l——任意点到起点的曲线长度（或缓曲上任意点到缓曲起点的长度）l1——第一缓和曲线长度l2——第二缓和曲线长度l0——对应的缓和曲线长度R——圆曲线半径R1——曲线起点处的半径R2——曲线终点处的半径P1——曲线起点处的曲率P2——曲线终点处的曲率α——曲线转角值四、竖曲线上高程计算已知：①第一坡度：i1(上坡为“＋”，下坡为“－”)②第二坡度：i2(上坡为“＋”，下坡为“－”)③变坡点桩号：SZ④变坡点高程：HZ⑤竖曲线的切线长度：T⑥待求点桩号：S计算过程：五、超高缓和过渡段的横坡计算已知：如图，第一横坡：i1第二横坡：i2过渡段长度：L待求处离第二横坡点（过渡段终点）的距离：x 求：待求处的横坡：i解：d=x/Li=(i2-i1)(1-3d2+2d3)+i1六、匝道坐标计算已知：①待求点桩号：K②曲线起点桩号：K0③曲线终点桩号：K1④曲线起点坐标：x0，y0⑤曲线起点切线方位角：α0⑥曲线起点处曲率：P0(左转为“－”，右转为“＋”)⑦曲线终点处曲率：P1(左转为“－”，右转为“＋”)求：①线路匝道上点的坐标：x,y②待求点的切线方位角：αT计算过程：注：sgn(x)函数是取符号函数，当x<0时sgn(x)=-1，当x>0时sgn(x)=1，当x=0时sgn(x)=0。
曲线斜率k的计算公式
曲线斜率k的计算公式是：k=(y2-y1)/(x2-x1)。
其中，(x1,y1)和(x2,y2)是曲线上的两个点。
当这两个点非常接近时，所计算出的斜率就是曲线在该点处的切线斜率。
需要注意的是，这个公式只适用于直线或近似直线的曲线段。
对于非线性的曲线，需要使用微积分的知识来求取切线斜率。
在微积分中，函数f(x)在点x1处的导数就是曲线在该点处的切线斜率。
此外，当直线L的斜率存在时，斜截式y=kx+b也可以用来表示直线的斜率。
在这种情况下，k即为直线的斜率。
当x=0时，y=b是直线在y轴上的截距。
总之，曲线斜率的计算公式取决于所考察的曲线类型和具体的数学表达式。
曲线计算公式
2、缓和曲线偏角公式：
δn=30Ln2/RπLs
3、切线长T=m+(R+P)tan(β/2)
4、曲线长：
L=（Rπ(β-2β0）)/180+2Ls
5、外矢距E=(R+P)/cos(β/2Βιβλιοθήκη -R6、切曲差q=2T-L
7、切垂距m=Ls/2-Ls3/240R2
8、内移距P=Ls2/24R-Ls4/2688R3
一、圆曲线范围公式
已知：半径R.转向角β
1、切线长T=Rtan(β/2)
2、曲线长L=（Rπβ）/180
3、外矢距E=R(1/cos(β/2)-1)
4、切曲差q=2T-L
偏角公式δ=180C/2Rπ注C为所点弧长
二、缓和曲线范围公式
1、缓和曲线切线角βn=90Ln2/RπLs
Ln为所点n到直缓或缓直点曲线长
9、缓和曲线数学坐标公式：
X=Ls-Ln5/40R2Ls2
Y=Ln3/6RLs-Ln7/336R3Ls3
10、缓和曲线偏角公式：
δn=tan-1(y/x)
11、缓和曲线弦长公式:Ci=√(x2+y2)
Cc=Ln-Ln3/90R2+Ln5/3888R4(代数式
综合曲线中圆曲线范围坐标公式：
Xi=m+Li-Ls/2-(Li-Ls/2)3/6R2
Yi=p+(Li-Ls/2)2/2R-(Li-Ls/2)4/24R3
注：Li为圆曲线上任意点到ZH或HZ的曲线长（用于计算偏移值）
三、竖曲线计算公式
Y=X2/2R
各种曲线计算公式
一、公路平曲线坐标计算公式1、缓和曲线：Lb1 0{K,D}①T=A2/R ②L=J（K-O）+T ③B=T2 /2/A2 *180/π④M=（L-T）-（L5-T5）/40/A4+（L9-T9）/3456/A8-（L13-T13）/599040/A12+（L17-T17）/17542600/A165.N=(L3-T3)/6/A2-(L7-T7)/336/A6+(L11-T11)/42240/A10-(L15-T15) /9676800/A14+(L19-T19)/3530097000/A18⑥I=(L2-T2)*180/2/A2/π⑦X=C+Mcos(Q-ZB)-ZNsin(Q-ZB)+Dcon(Q+ZI+S)◢⑧Y=F+Msin(Q-ZB)+ZNcos(Q-ZB)+Dsin(Q+ZI+S)◢Goto 0注：A：缘和曲线参数 R：起点半径 J：曲率半径判定值（当曲率半径由小到大取1,否则取-1）（当起点半径到终点半径是由大或无穷大到小取+1，反之则取-1） K：欲求点里程 O：缘和曲线起点里程 C：缘和曲线起点X坐标Q：起始方位角（当J=-1时，方位角应+180。
） Z：偏角判定值(当J=1时，左偏为-1，右偏为1；当J=-1时，左偏为1，右偏为-1) D：距中桩的距离 S：斜交角度 F：缘和曲线起点Y坐标2、圆曲线Lb1 0{K,D}①L=K-0②X=C+R[sin(Q+L/R*180/π)-sinQ]+Dcos(Q+L/R*180/π+S)◢③Y=F-R[cos(Q+L/R*180/π)-cosQ]+Dsin(Q+L/R*180/π+S)◢ Goto 0注：K：欲求点里程 O：圆曲线起点里程 C：圆曲线起点X坐标 R：圆曲线半径 (左偏为负) Q：起始方位角 D：距中桩的距离 S：斜交角度 F：圆曲线起点Y坐标3、直线Lb1 0{K,D}①L=K-0②X=C+LcosQ+Dcos(Q+S)◢③Y=F+LsinQ+Dsin(Q+S)◢Goto 0注：K：欲求点里程 O：直线起点里程 C：直线起点X坐标 Q：起始方位角 D：距中桩的距离 S：斜交角度 F：直线起点Y坐标二、竖曲线计算公式Lb1 0①{K} ②L=K-（0-T）③H=M-IT+LI-ZL2 /2/R◢ Goto 0 注：K：欲求点里程;O：顶点里程;T：切线长;M：顶点高程;I：坡度;Z：竖曲线判定值三、预拱度计算公式Lb1 0①{K} ②H=D-(4D÷B2)×(B/2-(K-O)) 2◢ Goto 0注：D：跨中最大设计预拱度 H：要计算的预拱度 K：欲求点里程桩号（距支座的距离） O：起点桩号 B：本跨净长。
牛顿-莱布尼茨公式计算曲线的弧长
牛顿-莱布尼茨公式是微积分中一个非常重要的公式，它可以用来计算曲线的弧长。
在学习微积分的过程中，我们经常会遇到需要计算曲线弧长的情况，而牛顿-莱布尼茨公式提供了一个非常便捷和有效的方法。
让我们来看一下牛顿-莱布尼茨公式的表达式：\[ L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + (f'(x))^2} dx \]这里，\( L \)代表曲线的弧长，\( f(x) \)代表曲线的函数，\( f'(x) \)代表函数的导数。
公式的核心是利用积分来求曲线的弧长，通过对曲线的微小线段进行求和，从而得到整条曲线的长度。
接下来，让我们以一条简单的曲线\( y = x^2 \)为例来演示牛顿-莱布尼茨公式的计算过程。
我们假设要计算曲线在区间[0, 1]上的弧长。
第一步，我们需要求出函数\( y = x^2 \)的导数\( f'(x) \)，即\( 2x \)。
我们将\( f'(x) \)带入到公式中，得到：\[ L = \int_{0}^{1} \sqrt{1 + (2x)^2} dx \]接下来，我们可以利用定积分的性质来求解这个积分。
通过简单的换元和分部积分，我们最终可以得到曲线\( y = x^2 \)在区间[0, 1]上的弧长为\( \frac{\sqrt{5} + \ln(2 + \sqrt{5})}{4} \)。
这个结果非常直观地展现了牛顿-莱布尼茨公式的应用。
不仅如此，牛顿-莱布尼茨公式还可以应用于更加复杂的曲线和函数。
无论是求解圆的弧长、椭圆的弧长，还是一些特殊函数的弧长，牛顿-莱布尼茨公式都能够提供一个通用的计算方法。
牛顿-莱布尼茨公式是微积分中非常重要的一个公式，它可以有效地计算曲线的弧长。
通过对曲线的微小线段进行求和，利用积分来得到整条曲线的长度，这个公式为我们提供了一个非常便捷和实用的工具。
在实际应用中，只要我们掌握了牛顿-莱布尼茨公式的计算方法，并灵活运用积分的性质，就可以轻松地解决曲线弧长的计算问题。
曲线常用公式
1.碟形弹簧圓柱坐标方程：r = 5theta = t*3600z =(sin(3.5*theta-90))+24*t2.葉形线.笛卡儿坐標标方程：a=10x=3*a*t/(1+(t^3))y=3*a*(t^2)/(1+(t^3))3.螺旋线(Helical curve)圆柱坐标（cylindrical）方程：r=ttheta=10+t*(20*360)z=t*34.蝴蝶曲线球坐标方程：rho = 8 * t theta = 360 * t * 4 phi = -360 * t * 85.渐开线采用笛卡尔坐标系方程：r=1ang=360*ts=2*pi*r*tx0=s*cos(ang)y0=s*sin(ang)x=x0+s*sin(ang)y=y0-s*cos(ang)z=06.螺旋线.笛卡儿坐标方程：x = 4 * cos ( t *(5*360)) y = 4 * sin ( t *(5*360))z = 10*t7.对数曲线笛卡尔坐标系方程：z=0x = 10*ty = log(10*t+0.0001)8.球面螺旋线采用球坐标系方程：rho=4theta=t*180phi=t*360*209.双弧外摆线卡迪尔坐标方程：l=2.5b=2.5x=3*b*cos(t*360)+l*cos(3*t*360) Y=3*b*sin(t*360)+l*sin(3*t*360)10.星行线卡迪尔坐标方程：a=5x=a*(cos(t*360))^3y=a*(sin(t*360))^311.心脏线圓柱坐标方程：a=10r=a*(1+cos(theta)) theta=t*36012.圆内螺旋线采用柱座标系方程：theta=t*360r=10+10*sin(6*theta) z=2*sin(6*theta)13.正弦曲线笛卡尔坐标系方程：x=50*ty=10*sin(t*360)z=014.太阳线（这本来是做别的曲线的，结果做错了，就变成这样了）15.费马曲线（有点像螺纹线）数学方程：r＊r = a*a*theta圓柱坐标方程1: theta=360*t*5a=4r=a*sqrt(theta*180/pi)方程2: theta=360*t*5a=4r=-a*sqrt(theta*180/pi)由于Pro/e只能做连续的曲线，所以只能分两次做16.Talbot 曲线卡笛尔坐标方程：theta=t*360a=1.1b=0.666c=sin(theta)f=1x = (a*a+f*f*c*c)*cos(theta)/ay = (a*a-2*f+f*f*c*c)*sin(theta)/b17.4叶线（一个方程做的，没有复制）18.Rhodonea 曲线采用笛卡尔坐标系方程：theta=t*360*4x=25+(10-6)*cos(theta)+10*cos((10/6-1)*theta) y=25+(10-6)*sin(theta)-6*sin((10/6-1)*theta)19. 抛物线笛卡儿坐标方程：x =(4 * t)y =(3 * t) + (5 * t ^2)z =0：20.螺旋线圓柱坐标方程：r = 5theta = t*1800z =(cos(theta-90))+24*t21.三叶线圆柱坐标方程：a=1theta=t*380b=sin(theta)r=a*cos(theta)*(4*b*b-1)22.外摆线迪卡尔坐标方程：theta=t*720*5b=8a=5x=(a+b)*cos(theta)-b*cos((a/b+1)*theta) y=(a+b)*sin(theta)-b*sin((a/b+1)*theta) z=023. Lissajous 曲线theta=t*360a=1b=1c=100n=3x=a*sin(n*theta+c)y=b*sin(theta)24.长短幅圆内旋轮线卡笛尔坐标方程：a=5b=7c=2.2theta=360*t*10x=(a-b)*cos(theta)+c*cos((a/b-1)*theta) y=(a-b)*sin(theta)-c*sin((a/b-1)*theta)25.长短幅圆外旋轮线卡笛尔坐标方程：theta=t*360*10a=5b=3c=5x=(a+b)*cos(theta)-c*cos((a/b+1)*theta) y=(a+b)*sin(theta)-c*sin((a/b+1)*theta)26. 三尖瓣线a=10x = a*(2*cos(t*360)+cos(2*t*360))y = a*(2*sin(t*360)-sin(2*t*360))27.概率曲线！方程：笛卡儿坐标x = t*10-5y = exp(0-x^2)28.箕舌线笛卡儿坐标系a = 1x = -5 + t*10y = 8*a^3/(x^2+4*a^2)29.阿基米德螺线柱坐标a=100theta = t*400r = a*theta30.对数螺线柱坐标theta = t*360*2.2 a = 0.005r = exp(a*theta)31.蔓叶线笛卡儿坐标系a=10y=t*100-50solvex^3 = y^2*(2*a-x)for x32.tan曲线笛卡儿坐标系x = t*8.5 -4.25y = tan(x*20)33.双曲余弦x = 6*t-3y = (exp(x)+exp(0-x))/234.双曲正弦x = 6*t-3y = (exp(x)-exp(0-x))/235.双曲正切x = 6*t-3y = (exp(x)-exp(0-x))/(exp(x)+exp(0-x))36.一峰三驻点曲线x = 3*t-1.5y=(x^2-1)^3+137.八字曲线x = 2 * cos ( t *(2*180)) y = 2 * sin ( t *(5*360)) z = 038.螺旋曲线r=t*(10*180)+1 theta=10+t*(20*180) z=t39.圆x = cos ( t *(5*180)) y = sin ( t *(5*180)) z = 040.封闭球形环绕曲线rho=2theta=360*tphi=t*360*1041.柱坐标螺旋曲线x = 100*t * cos ( t *(5*180)) y = 100*t * sin ( t *(5*180)) z = 042.蛇形曲线x = 2 * cos ( (t+1) *(2*180)) y = 2 * sin ( t *(5*360))z = t*(t+1)柱坐标theta = t*360r=10+(8*sin(theta))^244.椭圆曲线笛卡尔坐标系a = 10b = 20theta = t*360x = a*cos(theta)y = b*sin(theta)柱坐标theta = t*360r=10+(3*sin(theta*2.5))^246.另一个花曲线theta = t*360r=10-(3*sin(theta*3))^2z=4*sin(theta*3)^247.改一下就成为空间感更强的花曲线了;) theta = t*360r=10-(3*sin(theta*3))^2z=(r*sin(theta*3))^248.螺旋上升的椭圆线a = 10b = 20theta = t*360*3x = a*cos(theta)y = b*sin(theta)z=t*1249.甚至这种螺旋花曲线theta = t*360*4r=10+(3*sin(theta*2.5))^2z = t*1650 鼓形线笛卡尔方程r=5+3.3*sin(t*180)+t theta=t*360*10z=t*1051 长命锁曲线笛卡尔方程：a=1*t*359.5b=q2*t*360c=q3*t*360rr1=w1rr2=w2rr3=w3x=rr1*cos(a)+rr2*cos(b)+rr3*cos(c) y=rr1*sin(a)+rr2*sin(b)+rr3*sin(c)51 长命锁曲线笛卡尔方程：a=1*t*359.5b=q2*t*360c=q3*t*360rr1=w1rr2=w2rr3=w3x=rr1*cos(a)+rr2*cos(b)+rr3*cos(c) y=rr1*sin(a)+rr2*sin(b)+rr3*sin(c)图51 52 簪形线球坐标方程：rho=200*ttheta=900*tphi=t*90*1053.螺旋上升曲线r=t^10theta=t^3*360*6*3+t^3*360*3*3 z=t^3*(t+1)54.蘑菇曲线rho=t^3+t*(t+1)theta=t*360phi=t^2*360*20*2055. 8字曲线a=1b=1x=3*b*cos(t*360)+a*cos(3*t*360) Y=b*sin(t*360)+a*sin(3*t*360)56.梅花曲线theta=t*360r=100+50*cos(5*theta)z=2*cos(5*theta)57.桃形曲线rho=t^3+t*(t+1)theta=t*360phi=t^2*360*10*1058.名稱:碟形弹簧建立環境:pro/e圓柱坐r = 5theta = t*3600z =(sin(3.5*theta-90))+2459.环形二次曲线笛卡儿方程：x=50*cos(t*360)y=50*sin(t*360)z=10*cos(t*360*8)60 蝶线球坐标：rho=4*sin(t*360)+6*cos(t*360^2) theta=t*360phi=log(1+t*360)*t*360笛卡尔：ang1=t*360ang2=t*360*20x=ang1*2*pi/360y=sin(ang1)*5+cos(ang2)z=sin(ang2)62.环形螺旋线x=（50+10*sin(t*360*15))*cos(t*360) y=(50+10*sin(t*360*15))*sin(t*360) z=10*cos(t*360*5)x=2*cos(t*360*10)+cos(t*180*10) y=2*sin(t*360*10)+sin(t*180*10) z=t*664.多变内接式弹簧x=3*cos(t*360*8)-1.5*cos(t*480*8)y=3*sin(t*360*8)-1.5*sin(t*480*8)z=t*865.柱面正弦波线方程r=30theta=t*360z=5*sin(5*theta-90)66. ufo （漩涡线）球坐标：rho=t*20^2theta=t*log(30)*60phi=t*720067. 手把曲线thta1=t*360*6r0=400r1=40r=r0+r1*cos(thta1)x=r*cos(thta0)y=r1*sin(thta1)z=068.篮子圆柱坐标r=5+0.3*sin(t*180)+t theta=t*360*30z=t*569. 圆柱齿轮齿廓的渐开线方程：x=10*cos(afa)+pi*10*afa/180*sin(afa)x=10*sin(afa)-pi*10*afa/180*cos(afa)z=0注：afa为压力角，取值范围是0到60，10为基圆半径。
弧长曲线积分公式
弧长曲线积分公式是用于计算曲线弧长的公式。
对于参数方程表示的曲线，其弧长可以通过积分来计算。
具体的弧长曲线积分公式如下：
设曲线的参数方程为x = f(t)，y = g(t)，a ≤t ≤b，则曲线的弧长可以表示为：
L = ∫[a, b] √[f'(t)²+ g'(t)²] dt
其中，f'(t) 和g'(t) 分别表示参数方程x = f(t) 和y = g(t) 的导数。
该公式的思想是将曲线划分成无穷小的线段，然后对每个线段的长度进行求和，最终得到整个曲线的弧长。
需要注意的是，当曲线的参数方程难以直接求导时，可能需要使用其他方法来计算弧长，例如使用数值积分或近似计算方法。
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1.碟形弹簧圓柱坐标方程：r = 5theta = t*3600z =(sin(3.5*theta-90))+24*t2.葉形线.笛卡儿坐標标方程：a=10x=3*a*t/(1+(t^3))y=3*a*(t^2)/(1+(t^3))3.螺旋线(Helical curve)圆柱坐标（cylindrical）方程：r=ttheta=10+t*(20*360)z=t*34.蝴蝶曲线球坐标方程：rho = 8 * ttheta = 360 * t * 4 phi = -360 * t * 85.渐开线采用笛卡尔坐标系方程：r=1ang=360*ts=2*pi*r*tx0=s*cos(ang)y0=s*sin(ang)x=x0+s*sin(ang)y=y0-s*cos(ang)z=06.螺旋线.笛卡儿坐标方程：x = 4 * cos ( t *(5*360)) y = 4 * sin ( t *(5*360))z = 10*t7.对数曲线笛卡尔坐标系方程：z=0x = 10*ty = log(10*t+0.0001)8.球面螺旋线采用球坐标系方程：rho=4theta=t*180phi=t*360*209.双弧外摆线卡迪尔坐标方程：l=2.5b=2.5x=3*b*cos(t*360)+l*cos(3*t*3 60)Y=3*b*sin(t*360)+l*sin(3*t*36 0)图910.星行线卡迪尔坐标方程：a=5x=a*(cos(t*360))^3y=a*(sin(t*360))^3图1011.心脏线圓柱坐标方程：a=10r=a*(1+cos(theta)) theta=t*360图1112.圆内螺旋线采用柱座标系方程：theta=t*360r=10+10*sin(6*theta) z=2*sin(6*theta)图1213.正弦曲线笛卡尔坐标系方程：x=50*ty=10*sin(t*360)z=0图1314.太阳线（这本来是做别的曲线的，结果做错了，就变成这样了）15.费马曲线（有点像螺纹线）数学方程：r＊r = a*a*theta圓柱坐标方程1: theta=360*t*5a=4r=a*sqrt(theta*180/pi)方程2: theta=360*t*5a=4r=-a*sqrt(theta*180/pi)由于Pro/e只能做连续的曲线，所以只能分两次做16.Talbot 曲线卡笛尔坐标方程：theta=t*360a=1.1b=0.666c=sin(theta)f=1x = (a*a+f*f*c*c)*cos(theta)/a y = (a*a-2*f+f*f*c*c)*sin(theta)/b17.4叶线（一个方程做的，没有复制）18.Rhodonea 曲线采用笛卡尔坐标系方程：theta=t*360*4x=25+(10-6)*cos(theta)+10*c os((10/6-1)*theta)y=25+(10-6)*sin(theta)-6*sin( (10/6-1)*theta)19. 抛物线笛卡儿坐标方程：x =(4 * t)y =(3 * t) + (5 * t ^2)z =020.螺旋线圓柱坐标方程：r = 5theta = t*1800z =(cos(theta-90))+24*t图2021.三叶线圆柱坐标方程：a=1theta=t*380b=sin(theta)r=a*cos(theta)*(4*b*b-1)图2122.外摆线迪卡尔坐标方程：theta=t*720*5 b=8a=5x=(a+b)*cos(theta)-b*cos((a/ b+1)*theta)y=(a+b)*sin(theta)-b*sin((a/b +1)*theta)z=023. Lissajous 曲线theta=t*360a=1b=1c=100n=3x=a*sin(n*theta+c)y=b*sin(theta)24.长短幅圆内旋轮线卡笛尔坐标方程：a=5b=7c=2.2theta=360*t*10x=(a-b)*cos(theta)+c*cos((a/b -1)*theta)y=(a-b)*sin(theta)-c*sin((a/b-1)*theta)25.长短幅圆外旋轮线卡笛尔坐标方程：theta=t*360*10a=5b=3c=5x=(a+b)*cos(theta)-c*cos((a/b +1)*theta)y=(a+b)*sin(theta)-c*sin((a/b+ 1)*theta)26. 三尖瓣线a=10x = a*(2*cos(t*360)+cos(2*t*360)) y = a*(2*sin(t*360)-sin(2*t*360))27.概率曲线！方程：笛卡儿坐标x = t*10-5y = exp(0-x^2)28.箕舌线笛卡儿坐标系a = 1x = -5 + t*10y = 8*a^3/(x^2+4*a^2)29.阿基米德螺线柱坐标a=100theta = t*400r = a*theta30.对数螺线柱坐标theta = t*360*2.2a = 0.005r = exp(a*theta)图3031.蔓叶线笛卡儿坐标系a=10y=t*100-50solvex^3 = y^2*(2*a-x)for x32.tan曲线笛卡儿坐标系x = t*8.5 -4.25y = tan(x*20)33.双曲余弦x = 6*t-3y = (exp(x)+exp(0-x))/2 图3334.双曲正弦x = 6*t-3y = (exp(x)-exp(0-x))/2图3435.双曲正切x = 6*t-3y = (exp(x)-exp(0-x))/(exp(x)+exp (0-x))36.一峰三驻点曲线x = 3*t-1.5y=(x^2-1)^3+137.八字曲线x = 2 * cos ( t *(2*180))y = 2 * sin ( t *(5*360))z = 038.螺旋曲线r=t*(10*180)+1theta=10+t*(20*180)z=t39.圆x = cos ( t *(5*180))y = sin ( t *(5*180))z = 040.封闭球形环绕曲线rho=2theta=360*tphi=t*360*1041.柱坐标螺旋曲线x = 100*t * cos ( t *(5*180)) y = 100*t * sin ( t *(5*180)) z = 042.蛇形曲线x = 2 * cos ( (t+1) *(2*180)) y = 2 * sin ( t *(5*360)) z = t*(t+1)43.8字形曲线柱坐标theta = t*360r=10+(8*sin(theta))^244.椭圆曲线笛卡尔坐标系a = 10b = 20theta = t*360x = a*cos(theta)y = b*sin(theta)45.梅花曲线柱坐标theta = t*360r=10+(3*sin(theta*2.5))^246.另一个花曲线theta = t*360r=10-(3*sin(theta*3))^2z=4*sin(theta*3)^247.改一下就成为空间感更强的花曲线了;)theta = t*360r=10-(3*sin(theta*3))^2z=(r*sin(theta*3))^248.螺旋上升的椭圆线a = 10b = 20theta = t*360*3x = a*cos(theta)y = b*sin(theta)z=t*1249.甚至这种螺旋花曲线theta = t*360*4r=10+(3*sin(theta*2.5))^2z = t*16 50 鼓形线笛卡尔方程r=5+3.3*sin(t*180)+ttheta=t*360*10z=t*1051 长命锁曲线：笛卡尔方程a=1*t*359.5b=q2*t*360c=q3*t*360rr1=w1rr2=w2rr3=w3x=rr1*cos(a)+rr2*cos(b)+rr3*c os(c)y=rr1*sin(a)+rr2*sin(b)+rr3*si n(c)52 簪形线球坐标方程：rho=200*ttheta=900*tphi=t*90*1053.螺旋上升曲线r=t^10theta=t^3*360*6*3+t^3*360*3 *3z=t^3*(t+1)54.蘑菇曲线rho=t^3+t*(t+1)theta=t*360phi=t^2*360*20*2055. 8字曲线a=1b=1x=3*b*cos(t*360)+a*cos(3*t*3 60)Y=b*sin(t*360)+a*sin(3*t*360) 56.梅花曲线theta=t*360r=100+50*cos(5*theta) z=2*cos(5*theta)57.桃形曲线rho=t^3+t*(t+1)theta=t*360phi=t^2*360*10*1058.名稱:碟形弹簧建立環境:pro/e圓柱坐r = 5theta = t*3600z =(sin(3.5*theta-90))+2459.环形二次曲线笛卡儿方程：x=50*cos(t*360)y=50*sin(t*360)z=10*cos(t*360*8)60 蝶线球坐标：rho=4*sin(t*360)+6*cos(t*360 ^2)theta=t*360phi=log(1+t*360)*t*36061.正弦周弹簧笛卡尔：ang1=t*360ang2=t*360*20x=ang1*2*pi/360y=sin(ang1)*5+cos(ang2)z=sin(ang2)62.环形螺旋线x=（50+10*sin(t*360*15))*cos(t *360)y=(50+10*sin(t*360*15))*sin(t *360)z=10*cos(t*360*5)63.内接弹簧x=2*cos(t*360*10)+cos(t*180 *10)y=2*sin(t*360*10)+sin(t*180* 10)z=t*664.多变内接式弹簧x=3*cos(t*360*8)-1.5*cos(t*4 80*8)y=3*sin(t*360*8)-1.5*sin(t*48 0*8)z=t*865.柱面正弦波线柱坐标：方程r=30theta=t*360z=5*sin(5*theta-90)66. ufo （漩涡线）球坐标：rho=t*20^2theta=t*log(30)*60 phi=t*720067. 手把曲线thta0=t*360thta1=t*360*6r0=400r1=40r=r0+r1*cos(thta1)x=r*cos(thta0)y=r1*sin(thta1)z=068.篮子圆柱坐标r=5+0.3*sin(t*180)+t theta=t*360*30 z=t*569. 圆柱齿轮齿廓的渐开线方程：afa=60*tx=10*cos(afa)+pi*10*afa/180 *sin(afa)x=10*sin(afa)-pi*10*afa/180*c os(afa)z=0注：afa为压力角，取值范围是0到60，10为基圆半径。