山东省乐陵市第一中学人教版数学必修二学案2.1直线与平面的夹角2
《直线与平面的夹角》 导学案
《直线与平面的夹角》导学案一、学习目标1、理解直线与平面夹角的定义。
2、掌握直线与平面夹角的求法。
3、能够运用直线与平面夹角的知识解决相关问题。
二、学习重难点1、重点（1）直线与平面夹角的定义。
（2）直线与平面夹角的求法。
2、难点（1）如何寻找直线在平面上的射影。
（2）运用空间向量求直线与平面的夹角。
三、知识回顾1、直线的方向向量：如果表示非零向量\（＼overrightarrow{a}＼）的有向线段所在直线与直线\（l\）平行或重合，则称向量\（＼overrightarrow{a}＼）为直线\（l\）的一个方向向量。
2、平面的法向量：如果表示非零向量\（＼overrightarrow{n}＼）的有向线段所在直线垂直于平面\（＼alpha\），则称向量\（＼overrightarrow{n}＼）为平面\（＼alpha\）的一个法向量。
四、新课导入在日常生活中，我们经常会遇到直线与平面相交的情况，比如斜插入地面的旗杆与地面所成的角。
那么如何来定量地描述直线与平面所成的角呢？这就是我们今天要学习的直线与平面的夹角。
五、知识讲解1、直线与平面夹角的定义平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。
特别地，如果一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；如果一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是\（0^｛＼circ}＼）的角。
2、直线与平面夹角的范围直线与平面夹角的范围是\（0^｛＼circ}，90^｛＼circ}＼）3、直线与平面夹角的求法（1）几何法①作出直线在平面内的射影，找到斜线与射影所成的角。
②通过解三角形求出该角。
（2）向量法①若直线的方向向量为\（＼overrightarrow{a}＼），平面的法向量为\（＼overrightarrow{n}＼），直线与平面所成的角为\（＼theta\），则\（＼sin\theta ＝｜＼cos\langle\overrightarrow{a}，＼overrightarrow{n}＼rangle| ＝＼dfrac{｜＼overrightarrow{a}＼cdot\overrightarrow{n}｜｝｛｜＼overrightarrow{a}｜｜＼overrightarrow{n}｜｝＼）②求出\（＼cos\langle\overrightarrow{a}，＼overrightarrow{n}＼rangle\）的值，再根据直线与平面夹角的范围，求出\（＼sin\theta\）的值。
人教版高中数学必修第二册两条直线的夹角(2)
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1 / 1 两直线的夹角〔2〕
教学目标
1、熟练掌握并应用两直线的夹角公式和到角公式
2、利用夹角知识解决有关对称问题
3、强化数形结合的思想，提高学生的解题能力
教学重点 夹角公式和到角公式的应用
教学难点 问题的分析
教学过程
一、复习
1、l 1：y=k 1x+b 1 l 2：y=k 2x+b 2，
那么l 1到l 2的角为θ，2
1121tan k k k k +-=θ l 1与l 2的夹角α，那么|1|
tan 2112k k k k +-=α 2、l 1： A 1x+B 1y+C 1=0 l 2：A 2x+B 2y+C 2=0
〔0,0,0212121≠+≠≠B B A A B B 〕，直线l 1到l 2的角是θ，2
1211221tan B B A A B A B A +-=θ 3、评练习册
二、例题
1、等腰三角形一腰所在直线l 1的方程是x-2y-2=0，底边所在直线方程l 2为x+y-1=0，
点〔-2，0〕在另一腰上，求这腰所在直线方程l 3
2、三角形ABC 的一条内角平分线CD 的方程是2x+y-1=0，两顶点A 〔1，2〕、B 〔-1，-1〕，求第三个顶点C 的坐标
3、求直线l 1:x-y-2=0关于直线l 2:3x-y+3=0的对称的直线方程
假设l 2换成：〔1〕x 轴〔2〕y 轴〔3〕y=x 〔4〕y=-x 时，情况怎样？。
人教B版高中数学选修(2-1)-3.2《直线与平面的夹角》参考学案2
3.2.3直线与平面所成的角一、学习目标1.理解并掌握直线与平面所成的角的定义；2.熟记直线与平面所成角的范围，会求直线与平面所成的角； 二、学习重点：求直线与平面所成的角 三、学习难点：求直线与平面所成的角的方法 四、学习过程（一）知识链接平面的垂线：垂直于平面的直线。
平面的斜线：与平面相交但不垂直的直线。
射影：过垂足和斜足的直线叫做斜线在平面上的射影。
（二）新知导学1.什么是直线和这个平面所成的角。
2.范围是什么？ （三）新知探究问题1.直线与平面所成角的定义 ，叫做这条直线和这个平面所成的角问题2 .直线与平面所成角的范围？ 注：l ⊥α时，所成角为90°； l // α时，所成角为0°。
问题3. 两条直线和一个平面所成的角相等，这两条直线一定平行吗？ （四）新知应用1.定义法求直线与平面所成角例1：在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，求： （1）直线1D B 与平面ABCD 所成角的正弦值。
（2）直线A 1B 和平面A 1B 1CD 所成的角；α APOCAA 1 C 1PABCD规律方法：求直线与平面所成的角一般要有三个步骤：(1)(2)证明：点明所求角；(3)计算：在直角三角形求出所求角。
变式(1)求正四面体的侧棱与底面所成角的正弦值。
变式(2)已知平面α外两点A 、B 到平面α的距离分别为1和2，A 、B 两点在平面α内的射影之间的距离为3，求直线AB 和平面α所成的角。
例2 ：如图，PD ⊥平面ABCD ，AD ⊥PC ，AD // BC ，PD : DC : BC = 1 : 1 :2，求直线PB 与平面PDC 所成角的大小。
例3：如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ABC = 90°，AB = BC = 1。
(1)求异面直线B 1C 1与AC 所成角的大小；(2)若直线A 1C 与平面ABC 所成角为45°，求三棱锥A 1—ABC 的体积。
人教版数学高一必修二导学案 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系
第二章、点、直线、平面之间的位置关系本章概述空间点、直线、平面之间的位置关系，直线与平面、平面与平面平行的判定及其性质以及直线与平面、平面与平面垂直的判定及其性质，它们是我们认识现实世界中物体的形状、大小与位置关系的重要工具和必要的基础知识，对培养空间想象力和逻辑推理能力有一定的辅助和推进作用．另外，本章始终采用直观感知、操作确认、思维论证、度量计算等方法认识和探索几何图形的结构及其性质．本章共分三大节：第一大节是介绍空间点、直线、平面之间的位置关系；第二大节是研究直线与平面、平面与平面平行的判定与性质；第三大节是研究直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质．学会准确地使用空间几何的数学语言表述几何对象的位置关系，体会公理化思想，培养逻辑思维能力，解决简单的推理论证及应用问题．本章重点是平面的基本性质，空间两直线、直线与平面、平面与平面间的平行与垂直关系．本章难点是直线、平面之间的平行与垂直关系的互相转化，异面直线所成的角及直线与平面所成的角的计算方法．2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.1平面【考纲要求】[学习目标]1．知道平面是不加定义的概念(原始概念)，初步体会平面的基本属性，会用图形与字母表示平面．2．能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系．3．能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，理解三个公理的地位与作用．[目标解读]1．用符号语言描述点、直线、平面之间的位置关系是重点；2．用文字语言、符号语言、图形语言描述三个公理是难点．【自主学习】1．平面(1)平面的概念几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的．几何里的平面是的．(2)平面的画法①水平放置的平面通常画成一个，它的锐角通常画成，且横边长等于其邻边长的，如图①.②如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用画出来．如图②.2．点、线、面之间的位置关系直线、平面都可以看成的集合．点P在直线l上，记作；点P在直线l外，记作；点A在平面α内，记作；点A在平面α外，记作；直线l在平面β内，记作；直线l在平面α外，记作.3．平面的基本性质公理内容图形符号公理1如果一条直线上的在一个平面内，那么这条直线在此平面内，，且，⇒l⊂α公理2的三点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线⇒存在唯一的α使A，B，C∈α公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条，⇒α∩β＝l，且P∈l是点构成的集合，几何中的很多符号规定都是源于将图形视为点集．故点与直线之间的关系，点与平面之间的关系用符号∈，∉表示，直线与平面之间的关系用⊂，⊄表示.【考点突破】要点一平面的概念及点、线、面的位置关系1.生活中的平面是比较平整、有限的，而立体几何中所说的平面是从生活中常见平面中抽象、概括出来的，是理想的、绝对平整的、无限延展的．立体几何中的平面无大小、厚薄之分，是不可度量的．2．平面通常用希腊字母α，β，γ等表示(常把这些字母写在代表平面的平行四边形的一个角上)，如平面α，平面β，平面γ等．也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称．典型例题1、根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：(1)A∈α，B∉α；(2)l⊂α，m∩α＝A，A∉l；(3)P∈l，P∉α，Q∈l，Q∈α.【思路启迪】正确理解立体几何中表示点、线、面之间位置关系的符号“∈”，“∉”，“⊂”，“⊄”，“∩”的意义，在此基础上，实现三种语言间的互译．【解】(1)点A在平面α内，点B不在平面α内；(2)直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上；(3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q.图形分别如图(1)、(2)、(3)所示．方法指导：三种语言的相互转换是一种基本技能，要注意符号语言的意义；由符号语言画相应图形时，要注意实、虚线反馈训练1、在下列命题中，正确命题的个数为()①书桌面是平面②8个平面重叠起来，要比6个平面重叠起来厚③有一个平面的长是50 m，宽是20 m④平面是绝对的平，无厚度，可以无限延展的抽象的数学概念A．1B．2C．3D．4要点二共面问题1.证明点线共面的主要依据(1)如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内(公理1)；(2)经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(公理2及其推论)．2．证明点线共面的具体操作(1)证明几点共面可先取不共线的三点确定一个平面，再证明其余各点都在这个平面内；(2)证明空间几条直线共面可先取两条相交(或平行)直线确定一个平面，再证明其余直线均在这个平面内．典型例题2、如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是AA1，CC1的中点，求证：D1，E，F，B共面．【思路启迪】先利用其中D1，E，F三点确定一平面，然后利用公理3证明四点共面．【证明】因为D1，E，F三点不共线，所以D1，E，F三点确定一个平面α.由题意得，D1E与DA共面于平面A1D且不平行，如图．分别延长D1E与DA相交于G，所以G∈直线D1E，所以G∈平面α.同理设直线D1F与DC的延长线交于H，则H∈平面α.又点G，B，H均在平面AC内，且点E是AA1的中点，AA1∥DD1，所以AG＝AD＝AB，所以△AGB为等腰三角形，所以∠ABG＝45°.同理∠CBH＝45°.又∠ABC＝90°，所以G，B，H共线于GH，又GH⊂平面α，所以B∈平面α，所以D1，E，F，B共面．方法指导：证明点、线共面问题的理论依据是公理1和公理2，及其推论，常用方法有：(1)先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”；(2)先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用“同一法”．反馈训练2、求证：两两平行的三条直线如果都与另一条直线相交，那么这四条直线共面．要点三点共线或线共点问题1.证明三点共线的依据是公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们还有其他的公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．也就是说一个点若是两个平面的公共点，则这个点在这两个平面的交线上．对于这个公理应进一步理解下面三点：①如果两个相交平面有两个公共点，那么过这两点的直线就是它们的交线；②如果两个相交平面有三个公共点，那么这三点共线；③如果两个平面相交，那么一个平面内的直线和另一个平面的交点必在这两个平面的交线上．2．证明线共点主要利用公理1、公理3作为推理的依据．典型例题3、如图，E、F、G、H分别是空间四边形AB、BC、CD、DA上的点，且直线EH与直线FG交于点O.求证：B、D、O三点共线．【思路启迪】解答本题只要证明点O在平面ABD与平面CBD的交线BD上即可。
人教版高中数学必修二 2.3.1 直线与平面垂直的判定学案+课时检测
人教版高中数学必修二第2章点、直线、平面之间的位置关系2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1直线与平面垂直的判定学案【学习目标】1．了解直线与平面垂直的定义．(重点)2．理解直线与平面垂直的判定定理，并会用其判断直线与平面垂直．(难点) 3．理解直线与平面所成角的概念，并能解决简单的线面角问题．(易错点) 【要点梳理夯实基础】知识点1直线与平面垂直的定义阅读教材P64倒数第1行以上的内容，完成下列问题．文字语言图形语言符号语言如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直，直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面，它们惟一的公共点P叫做垂足l⊥α[思考辨析学练结合]1. 判断正误(1)如果一条直线l 和一个平面内的无数条直线都垂直，则直线l和平面α互相垂直. （）(2)b是平面α内任一直线,a⊥α，则a⊥b. （）[答案](1)×(2)√2.直线与平面垂直定义中的关键词“任意一条直线”是否可以换成“所有直线”“无数条直线”？[答案]定义中的“任意一条直线”与“所有直线”是等效的，但是不可说成“无数条直线”，因为一条直线与某平面内无数条平行直线垂直，该直线与这个平面不一定垂直.3. 直线l ⊥平面α，直线m ⊂α，则l 与m 不可能( ) A ．平行 B ．相交 C ．异面D ．垂直[解析] 由直线与平面垂直的定义可知，l ⊥m ，l 与m 可能相交或异面，但不可能平行． [答案] A知识点2 直线与平面垂直的判定定理阅读教材P 65“例1”以上的内容，完成下列问题．文字语言图形语言符号语言一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥al ⊥ba ⊂αb ⊂αa ∩b ＝P ⇒l ⊥α[思考辨析 学练结合]1.线面垂直判定定理中，平面内两条相交直线和已知直线l 必须有公共点吗？[答案] 用线面垂直判定定理判定直线与平面垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，则是无关紧要的.2.一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是( )A ．平行B ．垂直C ．相交不垂直D ．不确定[解析] 直线和三角形两边垂直，由线面垂直的判定定理知，直线垂直三角形所在平面，则直线垂直第三边． [答案] B知识点3 直线与平面所成的角1.阅读教材P 66“探究”以下至“例2”以上的内容，完成下列问题．(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角．(2)范围：设直线与平面所成的角为θ，则0°≤θ≤90°.(3)画法：如图所示，斜线AP与平面α所成的角是∠P AO.2. 直线和平面所成的角有关概念对应图形斜线与平面α相交，但不和平面α 垂直，图中直线PA斜足斜线和平面的交点，图中点A射影过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影，图中斜线PA在平面α上的射影为AO直线与平面所成的角定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°的角取值范围[0°，90°]1.若直线l与平面α所成的角是0°角，则必然有l∥α吗？[答案]不一定.若直线l与平面α所成的角是0°角，则l∥α或l⊂α.2.若斜线段AB是它在平面α内射影长的2倍，则AB与平面α所成角的大小为()A．60°B．45°C．30°D．90°[解析]斜线段、垂线段以及射影构成直角三角形．如图所示，∠ABO即是斜线段AB与平面α所成的角．又AB＝2BO，所以cos ∠ABO＝OBAB＝12，所以∠ABO＝60°.[答案] A【合作探究析疑解难】考点1 线面垂直的定义及判定定理的理解[典例1] 下列说法中正确的个数是()①如果直线l与平面α内的两条相交直线都垂直，则l⊥α；②如果直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α；③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直．A．0 B．1C．2 D．3[点拨]利用线面垂直的定义及判定定理准确判断．[解答]由直线和平面垂直的定理知①对；由直线与平面垂直的定义知，②正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条直线垂直，故③不对；④正确．[答案] D1．下列说法中，正确的是()A．若直线l与平面α内无数条直线垂直，则l⊥αB．若直线l垂直于平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行C．若a∥b，a⊂α，l⊥α，则l⊥bD．若a⊥b，b⊥α，则a∥α[解析]当l与α内的任何一条直线都垂直时，l⊥α，故A错；当l⊥α时，l与α内的直线相交或异面，但不会平行，故B错；C显然是正确的；而D中，a 可能在α内，所以D错误．[答案] C考点2 线面垂直判定定理的应用[典例2] 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，S是△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC.(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.[点拨]题设条件中的三棱锥的三条侧棱相等，AB⊥BC，D是AC的中点，要证(1)需在平面ABC内找两条相交直线与SD垂直，故等腰三角形底边的中线是可以利用的垂直关系，要证(2)，需设法在平面SAC内找两条相交直线与BD 垂直，而(1)的结论可利用．[解答](1)∵SA＝SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC.连接BD.在Rt△ABC中，有AD＝DC＝DB，∴△SDB≌△SDA，∴∠SDB＝∠SDA＝90°，∴SD⊥BD.又AC∩BD＝D，∴SD⊥平面ABC.(2)∵AB＝BC，D是AC的中点，∴BD⊥AC.又由(1)知SD⊥BD，且AC∩SD＝D，∴BD⊥平面SAC.证线面垂直的方法1．线线垂直证明线面垂直：①定义法(不常用，但由线面垂直可得出线线垂直)；②判定定理最常用：要着力寻找平面内哪两条相交直线(有时作辅助线)；结合平面图形的性质(如勾股定理逆定理、等腰三角形底边中线等)及一条直线与平行线中一条垂直也与另一条垂直等结论来论证线线垂直．2．平行转化法(利用推论)(1)a∥b，a⊥α⇒b⊥α；(2)α∥β，a⊥α⇒a⊥β.2．如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝1，AA1＝2，∠B1A1C1＝90°，D为BB1的中点．求证：AD⊥平面A1DC1.【证明】∵AA1⊥底面ABC，平面A1B1C1∥平面ABC，∴AA1⊥平面A1B1C1，∴A1C1⊥AA1.又∠B1A1C1＝90°，∴A1C1⊥A1B1.而A1B1∩AA1＝A1，∴A1C1⊥平面AA1B1B.又AD⊂平面AA1B1B，∴A1C1⊥AD.由已知计算得AD＝2，A1D＝2，AA1＝2.∴AD2＋A1D2＝AA21，∴A1D⊥AD.∵A1C1∩A1D＝A1，∴AD⊥平面A1DC1.考点3 直线与平面所成的角探究1若下图中的∠POA是斜线PO与平面α所成的角，则需具备哪些条件？[提示]需要P A⊥α，A为垂足，OA为斜线PO的射影，这样∠POA就是斜线PO与平面α所成的角．探究2根据线面角的定义，我们可以如何求线面角的大小？[提示]作(或找)出斜线在平面内的射影，将空间角转化为平面角，放在三角形内求解．探究3求线面角的关键是什么？[提示]确定斜线在平面内的射影．[典例3] 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，(1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值；(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角．[点拨]解答本题关键是结合正方体的性质．[解答](1)∵直线A1A⊥平面ABCD，∴∠A 1CA为直线A1C与平面ABCD所成的角，设A1A＝1，则AC＝2，∴tan∠A1CA＝2 2.(2)连接A1C1交B1D1于O，在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1⊂平面A1B1C1D1，∴BB1⊥A1C1，又BB1∩B1D1＝B1，∴A1C1⊥平面BDD1B1，垂足为O.∴∠A1BO为直线A1B与平面BDD1B1所成的角，在Rt△A1BO中，A1O＝12A1C1＝12A1B，∴∠A1BO＝30°.即A1B与平面BDD1B1所成的角为30°.求直线和平面所成角的步骤1．寻找过斜线上一点与平面垂直的直线．2．连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角即为所求的角．3．把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角． [跟踪检测]3．如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点．求直线BE 与平面ABB 1A 1所成的角的正弦值.[解] 取AA 1的中点M ，连接EM ，BM ，因为E 是DD 1的中点，四边形ADD 1A 1为正方形， 所以EM ∥AD .又在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AD ⊥平面ABB 1A 1， 所以EM ⊥平面ABB 1A 1，从而BM 为直线BE 在平面ABB 1A 1上的射影，∠EBM 即为直线BE 与平面ABB 1A 1所成的角．设正方体的棱长为2，则EM ＝AD ＝2，BE ＝22＋22＋12＝3， 于是在Rt △BEM 中，sin ∠EBM ＝EM BE ＝23， 即直线BE 与平面ABB 1A 1所成的角的正弦值为23.【学习检测 巩固提高】题型一 直线和平面垂直的定义1. 直线l 与平面α内的无数条直线垂直，则直线l 与平面α的关系是( ) A. l 和平面α平行 B. l 和平面α垂直 C. l 在平面α内D. 不能确定[解析] 如图所示，直线l 和平面α平行，或直线l 和平面α垂直或直线l 在平面α内都有可能.故正确答案为D.[答案] D2.设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是()A.若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB.若l⊥α，l∥m，则m⊥αC.若l∥α，m⊂α，则l∥mD.若l∥α，m∥α，则l∥m[解析] 对于A，直线l⊥m，m并不代表平面α内任意一条直线，所以不能判定线面垂直；对于B，因l⊥α，则l垂直α内任意一条直线，又l∥m，由异面直线所成角的定义知，m与平面α内任意一条直线所成的角都是90°，即m⊥α，故B正确；对于C，也有可能是l，m异面；对于D，l，m还可能相交或异面.[答案] B1.直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解.实际上，“任何一条”与“所有”表达相同的含义.当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线.由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直.2.由定义可得线面垂直⇒线线垂直，即若a⊥α，b⊂α，则a⊥b.3.如图所示，已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，过点A作AE⊥PC于点E.求证：AE⊥平面PBC.[证明] ∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC.而PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.又∵AE⊂平面PAC，∴BC⊥AE.∵PC⊥AE，且PC∩BC＝C，∴AE⊥平面PBC.4.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC的中点，O是底面ABCD的中心，求证：EF⊥平面BB1O.[证明] ∵ABCD为正方形，∴AC⊥BO.又∵BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥BB1，又∵BO∩BB1＝B，∴AC⊥平面BB1O，又EF是△ABC的中位线，∴EF∥AC，∴EF⊥平面BB1O.[解题感悟]证线面垂直的方法有：(1)线线垂直证明线面垂直：①定义法(不常用，但由线面垂直可得出线线垂直)；②判定定理最常用：要着力寻找平面内哪两条相交直线(有时作辅助线)；结合平面图形的性质(如勾股定理逆定理、等腰三角形底边中线等)及一条直线与平行线中一条垂直也与另一条垂直等结论来论证线线垂直.(2)平行转化法(利用推论)：①a∥b，a⊥α⇒b⊥α；②α∥β，a⊥α⇒a⊥β.题型三直线与平面所成的角5.如图所示，已知正四面体ABCD的棱长a，E为AD的中点，连接CE.(1)求AD与平面BCD所成角的余弦值；(2)求CE与平面BCD所成角的正弦值.[解] (1)如图所示，过点A作AO⊥底面BCD，垂足为点O，连接OB，OC，OD. 则OB，OC，OD分别是AB，AC，AD在平面BCD上的射影.∴∠ADO为直线AD与平面BCD所成的角.又∵AB＝AC＝AD，∴OB＝OC＝OD.∴O为△BCD的外心.∵△BCD为正三角形，∴点O为重心.又正四面体棱长为a ， ∴OD ＝23a ×32＝33a. ∴cos ∠ADO ＝AD OD ＝33. ∴AD 与平面BCD 所成角的余弦值为33. (2) 取OD 的中点F ，连接EF ，CF. ∵E ，F 分别为△DAO 的边AD ，OD 的中点，∴EF 为△DAO 的中位线.∴EF ∥AO.又AO ⊥平面BCD ，∴EF ⊥平面BCD.∴FC 为EC 在平面BCD 上的射影.∴∠ECF 为CE 与平面BCD 所成的角.在Rt △EFC 中，EF ＝21AO. 而AO ＝22OD AD -＝22)a 33(-a ＝36a ， ∴EF ＝66a ， ∵E 为AD 的中点，∴CE ＝23AD ＝23a. ∴sin ∠ECF ＝CE EF ＝a a 2366＝32. ∴CE 与平面BCD 所成角的正弦值为32. 1.求直线和平面所成角的步骤：(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；(2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角即为所求的角；(3)把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角.人教版高中数学必修二第2章点、直线、平面之间的位置关系2.3.1直线与平面垂直的判定课时检测一、选择题1．下列命题中正确的个数是()①如果直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；②如果直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直．A．0 B．1 C．2 D．3[解析] 只有④正确．[答案] B2．垂直于梯形两腰的直线与梯形所在平面的位置关系是()A．垂直B．相交但不垂直C．平行D．不确定[解析]梯形的两腰所在直线相交，由线面垂直的判定定理知，垂直于梯形两腰的直线与梯形所在平面垂直，故选A.[答案] A3．在空间，下列命题正确的是（）(1)平行于同一直线的两条直线互相平行；(2)垂直于同一直线的两条直线互相平行；(3)平行于同一平面的两条直线互相平行；(4)垂直于同一平面的两条直线互相平行。
高中数学人教A版必修2《2.3.1直线与平面垂直的判定》教案2
必修二直线与平面垂直判定(一)教学目标1、知识与技能:掌握直线与直线、直线与平面垂直的定义以及直线与平面垂直判定定理及推论2、过程与方法:在教学过程中不断渗透数学思想,培养学生的数学能力.(1)空间想象能力:通过实际操作和联系实际,发展学生的几何直观能力;对空间图形位置关系的认识,遵循了从直观到抽象,从特殊到一般的过程,从平面到空间的过程;图形的运动,帮助学生理清空间关系,这些过程都培养了学生空间想象能力(2)逻辑思维能力:通过对判定定理和其推论的证明以及应用,加强学生逻辑思维能力和推理论证能力的培养.(3)转化的思想方法:把空间中的线面关系转化为熟知的线线关系.(4)应用意识和能力:用向量来证明直线与平面垂直判定定理培养了学生应用向量知识来解决实际问题得意识和能力.例题是实际问题培养了学生应用数学知识解决实际生活中的问题的应用意识.3、情感、态度与价值观: 直线与平面垂直判定定理的教学让学生体验“提出问题-------思考------实验发现-------猜想(调整猜想)------论证-----结论-------反思”这一研究问题的全过程,调动了学生发现并解决问题的积极性,教育学生在研究问题时要有严谨的态度,科学的方法.(二)教学重点与难点教学重点:直线与平面垂直的定义,直线与平面垂直判定定理及应用.教学难点:直线与平面垂直判定定理的发现与用向量知识进行证明的过程复习巩固目前学习的空间直线有哪些位置关系?新课讲解一、直线与平面垂直的概念(一)空间中直线与直线垂直:强调:(1)两直线交于一点或平移后交于一点(2)交角为直角特别强调两条异面直线垂直是指将其中一条直线平移与另一条直线相交且交角为直角.请学生在教室中找出一些互相垂直的异面直线.设计意图:通过身边的实例帮助学生理解空间中的直线与直线垂直(二)直线与平面垂直1、观察:旗杆与地面的位置关系,直立的人与地面的位置关系,吊灯的线与地面的位置关系.设计意图:通过一些实例使学生从直观上对线面垂直有一定的认识2、操作:一名学生演示一根细木棍l固定,另一支细木棍m绕的l中点保持垂直同时旋转(其他学生可以用两只笔进行实验),学生观察并思考:(1)木棍m所在直线运动轨迹是什么?(2)木棍l与木棍m的运动轨迹的位置关系是什么?教师演示电脑课件:两条直线垂直相交,其中一条旋转,形成一个平面.设计意图:通过实际操作让学生加深对线面垂直的理解;通过观察直线绕一点旋转成面的过,让学生体会直线不仅通过平移运动能成平面,旋转运动也能成平面,但注意旋转的条件,增强学生从运动的观点看线面关系的意识,同时培养学生的空间想象能力.3、直线与平面垂直的定义:文字语言:图形语言:符号语言:注:直线与平面垂直的定义中我们可以得到(1) 直线与平面垂直的性质:如果一条直线垂直于一个平面,那么它就和平面内的任意一条直线垂直.即 直线,l a l a αα⊥⊂⇒⊥平面且直线(2) 直线与平面垂直的判定:定义本身二、直线与平面垂直判断定理的教学思考:直线与平面互相垂直的定义为判段直线与平面平行提供了一种方法,但证明一条直线与平面内任意一条直线垂直是不可操作的,能否将这个条件简化,通过直线与平面内的有限条直线垂直来判断出直线与平面垂直呢?操作:拿一张矩形的纸对折后略微展开,判断折痕AB 与线段CB,BD 的位置关系; (,AB CB AB DB ⊥⊥);将折后的纸竖立在桌面上,观察折痕与桌面的关系.(折痕与桌面垂直)猜想:若学生猜想:若一条直线垂直与平面内的两条直线,则这条直线垂直于已知平面;反例,如图引导学生观察: “操作”中CB,BD 交于点D,因此调整猜想: 一条直线垂直与平面内的两条相交直线,则这条直线垂直于已知平面;论证:已知：直线,,a b l 和平面α，,a b αα⊂⊂,a b O ⋂=,且,la lb ⊥⊥求证：l α⊥ 证明：如图,设i r 与j r 分别是直线a ,b 上的单位向量, 平面α内任意一条直线c ,c r 是直线c 上一单位向量,l r 是直线l 上的单位向量,以{},i j r r 为基底, c r =m i r +n j r因为,l a l b ⊥⊥所以,l i l j ⊥⊥r r r r所以0,0l i l j ==r r r r gg 所以()0l c l mi n j ml i nl j =+=+=r r r r r r r r r gg g g 所以l c ⊥r r ,所以直线l c ⊥因为c 为平面α内任意一条直线所以l α⊥结论:直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这直线与这个平面垂直条数学语言：,,a b a b O l l a l b ααα⊂⊂⎫⎪⋂=⇒⊥⎬⎪⊥⊥⎭图形语言： 反思:判定一条直线与平面垂直的条件可以简化为:这条直线与平面内的一条直线垂直吗?不能,举反例设计意图:让学生经历“提出问题-------思考------实验发现-------猜想(调整猜想)------论证-----结论-------反思”这一研究问题的全过程,教给学生研究问题的方法,培养学生发现问题,研究问题,解决问题的意识和能力; “操作”同过直观培养了学生的空间想象能力, 从“操作”到“猜想”是从直观到抽象的过程,这个过程培养了学生把生活中的问题抽象成数学问题的能力;整个研究过程不断引导学生进行思考,能很好地调动学生的思维.选择向量的方法证明判定定理，既可以便于学生理解，又能巩固向量的知识，应用向量知识来解决问题，体现向量的工具作用，培养学生用向量知识解决几何问题的意识。
高中数学人教版必修2 2.2.1 直线与平面平行的判定 教案(系列二)
2.2 直线与平面平行的判定（第一课时）【教学内容解析】本节教材选自人教A版数学必修Ⅱ第二章第二节，本节内容在立体几何学习中起着承上启下的作用，具有重要的意义与地位．之前的课程已学过空间点、线、面的位置关系及4个公理．结合有关的实物模型，通过直观感知、合情推理、探究说理、操作确认，归纳出直线与平面平行的判定定理．本节课的教学重点是直线与平面平行的判定定理的初步理解和简单应用．本节课的学习对培养学生空间感与逻辑推理能力起到重要作用，特别是对线面平行的性质、面面平行的判定与性质的学习作用重大，因为研究过程渗透的数学思想都是化归与转化．【教学目标设置】通过直观感知——观察提炼——探究说理——操作确认的认识方法初步理解并掌握直线与平面平行的判定定理．初步掌握直线与平面平行的画法并能准确使用数学符号语言、文字语言表述判定定理，培养学生观察、探究、发现的能力和空间想象能力、逻辑思维能力．通过定理的运用，让学生学会在具体问题中正确使用定理，理解使用定理的关键是找平行线，并知道证明线线平行的一般途径．通过对空间直线与平面平行的判定定理的感知、提炼、论证以及应用的过程，培养学生发现规律、认识规律并利用规律解决问题的能力．在定理的获得和应用过程中进一步渗透化归与转化的数学思想，渗透立体几何中将空间问题降维转化为平面问题的一般方法．通过本节课的学习，进一步培养学生从生活空间中抽象出几何图形关系的能力，提高演绎推理、逻辑记忆的能力．让学生在观察、探究、发现中学习，在自主合作、交流中学习，体验学习的乐趣，增强自信心，树立积极的学习态度，提高学习的自我效能感．通过师生、生生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，增强主动与他人合作交流的意识．【学生学情分析】通过前面课程的学习，学生对简单几何体的结构特征有了初步认识，对几何体的直观图及三视图的画法有了基本的了解．结合他们生活和学习中的空间实例，学生对空间图形的基本关系也有了大致的了解，初步具备了最朴素的空间观念．由于刚刚接触立体几何不久，学习经验有限，学习立体几何所应具备的语言表达能力及空间想象能力相对不足，他们从生活实例中抽象概括出问题的数学本质的能力相对欠缺，从具体情境发现并归纳出直线与平面平行的判定定理以及对定理的理解是教学难点．【教学策略分析】新课程倡导学生自主学习，要求教师成为学生学习的引导者、组织者、合作者和促进者，使教学过程成为师生交流、积极互动、共同发展的过程．综合考虑教学内容与学生学情，本节课的教学遵循从具体到抽象的原则，适当运用多媒体辅助教学手段，借助实物模型，通过直观感知，合情推理，探究说理，操作确认，归纳出直线与平面平行的判定定理，将合情推理与演绎推理有机结合，让学生在观察分析、自主探索、合作交流的过程中，揭示直线与平面平行的判定定理、理解数学概念，领会数学思想方法，养成积极主动、勇于探索、自主学习的学习方式，发展学生的空间观念和空间想象能力，提高学生的数学逻辑思维能力．【教学过程】（一）复习回顾、铺陈蓄势【教学实录】教师简单回顾了之前学习的课程内容后，面向全体同学提出问题1：根据公共点的情况，空间中直线a和平面α有哪几种位置关系，并请一位学生代表上黑板作图表示直线与平面的位置关系，其余同学在座位上同步完成．接着，多媒体幻灯片展示了空间直线与平面的三种位置关系的三种语言表示．同时强调：我们把直线与平面相交或平行的位置关系统称为直线在平面外，用符号表示为a⊆/α．引导学生回顾总结空间直线与平面的三种位置关系是按照直线与平面的公共点的个数来分类的．直线在平面内的情形公理1已经解决，直线与平面相交的情形将在后续课程中研究，本节课我们将研究直线与平面平行这一位置关系．面向全体同学提出问题2：根据直线与平面平行的定义（没有公共点）来判定直线与平面平行你认为方便吗？谈谈你的看法．带领同学体会本节课学习的必要性，引出课题．设计意图：教学预设以生本教育观为指导，充分尊重学生的学习主体地位．从建构主义理论来看，学生原有认知结构是新授课的基础．本节课学生已有的知识储备是直线与平面平行的定义．教学预设从数学学科内部发展的顺序来说明本节课学习任务的确定，从数学学科内部发展的需要来引起认知冲突并说明本课学习的必要性，逻辑性强，利于知识系统的主动建构．（二）列举实例、直观感知面向全体同学提问：在日常生活中，哪些实例给我们以直线与平面平行的印象呢？αa （师生充分交流，学生容易指出教室的日光灯与地面平行、黑板的边缘与地面平行、足球场上球门的横梁与足球场平行等等．）设计意图：使学生有充分的具体情境下的认知体验，为后续内容做好铺垫，引导学生学自己身边的数学，学有用的数学．通过充分的直观感知，努力促进学生空间观念的构建．列举身边的实例后，面向全体同学抛出问题1：单凭感觉可靠吗？（让学生单凭直观感觉，判断直线a 与平面α是否平行）进而给出问题2：该怎样判定直线与平面平行呢？设计意图：问题1是为了设置一个有争议的情境，眼见不一定为实，进而调动学生的探究欲望．问题2是为下面动手操作、合作探究，发现判定定理作了一个引子，埋了一个伏笔．（三）动态演示、抽象概括从同学们列举的日光灯的实例出发，学生容易发现如果将日光灯平稳．．下降，最终日光灯管会平稳．．地落到地面内来，通过多媒体动态演示这一过程．将原来日光灯所在直线记作a ，平移到地面（记作平面α）内之后记作直线b ，同学们可以发现a //b （强调直线a ，b 没有公共点）．教师引导学生发现直线a 与b 没有公共点．在平面α内平移b ，得到直线c ，不难发现a //c （强调直线a ，c 没有公共点）．紧接着，提出问题，直线a 能与平面α内的无数条直线都平行吗？（能）教师追问，直线a 与平面α内的这无数条直线有公共点吗？（没有）教师带领全体同学思考一个问题：“反过来，直线a 与平面α内的无数条直线都平行，则a 与平面α平行吗？”（此处可能是需要突破的地方，视学生反应情况可以辅以几何画板软件展示无数条直线无限细密地“铺满”平面．）教师追问，直线a 与平面内的无数条直线都平行，a 与这些直线有公共点吗？（没有）结合几何画板的展示过程，提问：直线a 与平面α有公共点吗？（没有）教师继续追问：直线a 与平面α没有公共点意味着什么？（a //α）教师充分肯定同学们的发现后，揭示数学本质：平面α内的任一点均在直线a 的某条平行线上，于是，直线a 与平面α没有公共点，即a //α．之后，教师追问：“需要平面外的直线a 与平面α内的无数条直线都平行吗？”（不需要！）追问：符号语言：////a b a a b ααα⊆⎫/⎪⊂⇒⎬⎪⎭图形语言：“几条就可以了？”（一条！）“为什么？”（平面内的无数条直线都可以通过平面内的一条直线平移得到）教师此时可抓住时机，面向全体同学发问：大家能得到空间直线与平面平行的一个判定方法吗？定理5．1 （直线和平面平行的判定定理）平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线和此平面平行．（四）动手操作、实验确认接下来，教师引导学生通过动手实验操作，进一步确认定理的正确性．请全体同学将课本按如图所示的方式直立地放在桌面上，并借助多媒体动画演示，引导学生探究思考书页的边缘所在直线与桌面、与另一张书页所在平面的位置关系，进一步巩固对定理的理解．然后，请同学们考虑该定理用符号语言应当怎样表述？并请一位同学上黑板板演，教师及时纠正．经历了前面的探究过程，学生不难指出该定理前提条件的三个关键词：“平面外”、“平面内”、“平行”．接下来，请同学们指出我们在“空间图形的基本关系”一课中用图形表示空间直线与平面平行的合理性．为防止学生因为思维定势造成的负迁移，教师通过实物展示空间直线与平面平行的其它情形（将上图中直线a ，b 作水平旋转得到如图所示的情形）．同时强调只要在平面内找到一条．．直线与平面外的直线平行即可． 最后，教师引导学生指出此处渗透的处理立体几何问题的基本思想：将空间问题降维转化为平面问题解决（线线平行⇒线面平行）．设计意图：定理的发现与论证过程采用了“观察模型—直观感知—理性分析—抽象概括—操作确认—思考探究”的方式展开．新课程教材中回避了定理的理论证明，但考虑到数学的理性精神及良好的学情状况，在定理的生成过程中仍然强调了“说理”．在教师的引导下，经过推理，定理生成．考虑到学生主体未能直接动手操作，印象未必深刻．为此，设计了两个学生活动，让他们在动手操作中体会定理的正确性，给他们充分的思考时间与空间，让他们主动建构新知．定理生成后，①教师强调三种数学语言的转化，利用判定定理反观线面平行的图形表示的合理性，并通过直观演示，防止学生出现思维定势；②教师及时给出关于直线与平面平行的两个假命题，继续从反面强调定理成立的三个要素缺一不可．以上的教学预设与生成都是从学生的最近发展区设计问题，帮助学生主动辨明定理的实质，教师在其中板演的角色仍然是一个组织者和引导者，学习的主体是学生．（五）定理运用、形成技能（多媒体幻灯片演示）想一想：判断下列命题的真假并说明理由：①若一条直线不在平面内，则该直线与此平面平行（ ）②若一条直线与平面内的无数条直线平行，则该直线与此平面平行（ ）③如图，a 是平面α内的一条给定的直线，若平面α外的直线b 不平行于直线a ，则直线b 与平面α就不平行（ ）（教师带领全体同学辨析）证一证：如图1，已知空间四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，判断并证明 EF 与平面BCD 的位置关系．全班同学尝试解答的同时，请一位同学上黑板解答，教师及时规范学生的答题，适时点评．师生共同图1 图2总结出运用定理的关键是找线（平面内）线（平面外）平行．面向全体同学提问，初中平面几何中，我们学习了哪些判定直线与直线平行的方法？（利用三角形的中位线、梯形的中位线、平行四边形的对边、平行线分线段成比例定理的逆定理、同位角相等、内错角相等、同旁内角互补……）教师可以顺势给出一个简单的变式：如图2，将△ABD 改为梯形BDHG ，E 、F 分别是BG 、DH 的中点，判断并证明 EF 与平面BCD 的位置关系．最后，如果学情允许，给出如下的操作思考：如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 是棱A 1B 1的中点，过点 P 画一条直线使之与截面A 1BCD 1平行．问题提出后，给学生足够的时间思考讨论，学生取BB 1的中点，C 1D 1的中点得到画法应该不困难．难点是其它可能的情形．这里，到底讲到什么程度，也应当视学情而定，尊重课堂教学的生成．为使更多的同学有一个直观的体验，将借助几何动画将正方体运动起来，变换观察的角度，让他们有一个直观的体验．设计意图：“想一想”的设置是为了进一步从反例出发促使学生对判定定理的准确理解．“证一证”是为了让学生通过动手尝试证明问题，掌握运用定理解决问题的一般方法，并进一步从实践操作层面体会运用定理需满足的三个要点缺一不可，学生经历了解题过程后主动发现运用定理的关键是找平行线．“操作思考”更是借助一题多解关注不同层次的同学的不同发展需求，让不同的同学获得不同的发展．（六）收获感悟、总结提高先由学生口头总结，然后教师归纳总结：（多媒体幻灯片展示）一、直线与平面平行的判定定理；二、证明直线与平面平行的方法；三、运用判定定理时的几个要点；四、运用定理的关键：找平行线；五、立体几何的基本思想：化归．（七）分层作业 共同进步基本作业：1、如图，在空间四边形ABCD 中，E 、F 分别为AB 、AD 上的点．若AE AF，判断并证明EF与平面BCD的位置关系．AB AD拓展提高：1、如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱CC1上的点，试确定点E的具体位置使AC1//平面BDE．2、尝试严格地证明直线与平面平行的判定定理．附：板书设计反思与改进。
人教版高中数学必修二《直线与平面、平面与平面的位置关系》教学设计.pdf
人教版高中数学必修二《直线与平面、平面与平面的位置关系》教学设计一、教学目标本节课的教学目标主要包括：1.掌握直线和平面的基本概念，认识直线和平面在几何学中的重要性。
2.了解直线和平面的位置关系，掌握判断直线和平面相交的方法。
3.学会利用直线和平面的位置关系解题，并能运用所学知识解决实际问题。
二、教学内容本节课的教学内容主要包括以下几个方面：1.直线的定义和性质，包括直线的表示、直线的方程等。
2.平面的定义和性质，包括平面的表示、平面的方程等。
3.直线和平面的位置关系，包括直线与平面的相交规律、相交线的性质等。
4.利用直线和平面的位置关系解题，包括求直线与平面的交点、判断平面和平面的位置关系等。
三、教学过程1. 导入与概念讲解（15分钟）首先，通过简单的导入活动引起学生对直线和平面的兴趣，例如通过展示直线和平面在日常生活中的应用场景，引发学生思考直线和平面在几何学中的重要性。
接着，详细讲解直线的定义和性质，包括直线的表示方法、直线的方程等，并通过具体的例子帮助学生理解。
然后讲解平面的定义和性质，包括平面的表示方法、平面的方程等，并进行举例说明。
2. 直线和平面的位置关系（30分钟）在学生掌握了直线和平面的基本概念后，介绍直线和平面的位置关系。
讲解直线与平面相交的规律，包括直线穿过平面、直线与平面平行、直线在平面内等情况，并通过示意图进行解释。
引导学生发现直线与平面相交时的一些基本性质，如交点的性质、交线的性质等。
然后，通过实际例子和练习题，让学生自己判断直线和平面的位置关系，并运用所学知识解答问题。
在解答过程中，引导学生分析问题，运用合适的方法进行求解，培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
3. 应用题解析（30分钟）通过一些实际生活中的问题，例如建筑工程、道路规划等，引导学生运用所学知识解决实际问题。
解析一些典型的应用题，让学生理解并掌握解题的方法和技巧。
同时，通过小组讨论和课堂展示的方式，让学生分享自己的解题思路和答案，提高学生的合作和表达能力。
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直线与平面的夹角2
【学习目标】：理解直线和平面所成角的概念；会用向量法求直线和平面的夹角。
【自主学习】：讨论：如何利用法向量求线面角？
直线AB 与平面α所成的角θ，可看成是________________________ ，从而求线面角转化为求直线所在的向量与平面的法向量的所成的线线角，根据两个向量所成角的余弦公式cos ,a b a b a b =，我们可以得到如下向量法求解线面角的公式：
______________________。
【自主尝试】
1．已知向量是直线l 的方向向量，是平面α的法向量，若2
3,cos ->=<，则所成的角为与αl 2、正四棱锥S —ABCD ，O 为顶点在底面上的射影，P 为侧棱SD 的中点，且SO=OD ，则直线BC 与平面PAC 所成的角是（ ）
A 、300
B 、450
C 、600
D 、750
3、在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=2，AA 1=1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为（ ）
A 、
3 B 、5 C 、5 D 、5
3．在正方体AC 1中，（1）求平面A 1B 1CD 的法向量(2)求直线A 1B 与平面A 1B 1CD 所成的角。
【合作探究】
1、在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD=DC 。
求BD 与平面PAB 所成的角。
2.如图，三棱锥AB N AB AC PA AC AB ABC PA ABC P 为平面中，,2
1,,==⊥⊥-上一点，的中点分别是BC PB S M AN AB ,,,4=
（1）证明：SN CM ⊥ （2）求所成角的大小与平面CMN SN
3、正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为a ，侧棱长为a （1）建立适当的坐标系，写出点11C A B A 、、、的坐标； （2）求1AC 与侧面11A ABB 所成的角。
【反思与总结】：1、求法向量的方法
2、用向量法求直线与平面所成的角的方法
【达标检测】
1、正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的所有棱长相等，则AC 1与面BB 1C 1C 所成角的余弦值为（ ）
A 、4
B 、4
C 、2
D 、2
2、正三棱锥S —ABC 中，D 为AB 中点，且SD 与BC 所成的角为450，则SD 与底面所成角的正弦值为（ ）
A 、2
B 、13
C D。