福建省福州市第八中学高三第四次质检——数学(理)数学
福建省福州市(新版)2024高考数学统编版模拟(强化卷)完整试卷
福建省福州市（新版）2024高考数学统编版模拟(强化卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知，，若点满足，则P点的轨迹为（）A．椭圆B．双曲线C．双曲线的一支D．一条射线第(2)题在平面直角坐标系中，直线为双曲线的一条渐近线，则（）A．直线与圆相交B．直线与圆相切C．直线与圆相离D．直线与圆相切第(3)题已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示．为了了解该地区中小学生近视情况形成的原因，采用分层抽样的方法抽取部分学生进行调查，若抽取的小学生人数为70，则抽取的高中生中近视人数为（）A．10B．20C．25D．40第(4)题展开式中，的系数为（ ）A．B．320C．D．240第(5)题已知，，则（）A．B．C．D．第(6)题一矩形的一边在轴上，另两个顶点在函数的图像上，如图，则此矩形绕轴旋转而成的几何体的体积的最大值是（）A．B．C．D．第(7)题在正方体中，为正方形内（含边界）一动点，且满足，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围是（）A．B．C．D．第(8)题定义函数集．已知函数，，，．若函数，则在为奇函数的条件下，存在单调递减区间的概率为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知是上的单调递增函数，则实数a的取值可能为（）A．B．2C．1D．第(2)题在四棱锥中，底面ABCD是矩形，，，平面平面ABCD，点M在线段PC上运动（不含端点），则（）A．存在点M使得B．四棱锥外接球的表面积为C．直线PC与直线AD所成角为D．当动点M到直线BD的距离最小时，过点A，D，M作截面交PB于点N，则四棱锥的体积是第(3)题已知函数，函数的图象在点和点处的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，若，则（）A．B．的取值范围是C．直线AM与BN的交点的横坐标恒为1D．的取值范围是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知的定义域为,且是奇函数,当时,,.函数,则方程的所有的根之和为___________.第(2)题曲线的一条切线方程为，则______．第(3)题已知函数，曲线与x轴的两个相邻交点为P，Q，曲线与直线的一个交点为M，若，则实数______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题“十四冬”群众运动会于2024年1月13日至14日在呼和浩特市举办，有速度滑冰、越野滑雪等项目，参加的运动员是来自全国各地的滑冰与滑雪爱好者．运动会期间，运动员与观众让现场热“雪”沸腾，激发了人们对滑冰等项目的热爱，同时也推动了当地社会经济的发展．呼和浩特市某媒体为调查本市市民对“运动会”的了解情况，在15~65岁的市民中进行了一次知识问卷调查（参加者只能参加一次）．从中随机抽取100人进行调查，并按年龄群体分成以下五组：，绘制得到了如图所示的频率分布直方图，把年龄在区间和内的人分别称为“青少年群体”和“中老年群体”．(1)若“青少年群体”中有40人关注“运动会”，根据样本频率分布直方图完成下面的列联表，并根据小概率值的独立性检验，判断关注“运动会”是否与年龄样体有关；年龄群体运动会合计关注不关注青少年群体40中老年群体合计6040100(2)利用按比例分层抽样的方法，在样本中从关注“运动会”的“青少年群体”与“中老年群体”中随机抽取6人，再从这6人中随机选取3人进行专访．设这3人中“青少年群体”的人数为，求的分布列与数学期望．附：，其中．0.050.010.0013.841 6.63510.828第(2)题“T2钻石联赛”是世界乒联推出一种新型乒乓球赛事，其赛制如下：采用七局四胜制，比赛过程中可能出现两种模式：“常规模式”和“FAST5模式”.在前24分钟内进行的常规模式中，每小局比赛均为11分制，率先拿满11分的选手赢得该局；如果两名球员在24分钟内都没有人赢得4局比赛，那么将进入“FAST5”模式，“FAST5”模式为5分制的小局比赛，率先拿满5分的选手赢得该局.24分钟计时后开始的所有小局均采用“FAST5”模式.某位选手率先在7局比赛中拿下4局，比赛结束.现有甲、乙两位选手进行比赛，经统计分析甲、乙之间以往比赛数据发现，24分钟内甲、乙可以完整打满2局或3局，且在11分制比赛中，每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为；在“FAST5”模式，每局比赛双方获胜的概率都为，每局比赛结果相互独立.（Ⅰ）求4局比赛决出胜负的概率；（Ⅱ）设在24分钟内，甲、乙比赛了3局，比赛结束时，甲乙总共进行的局数记为，求的分布列及数学期望.第(3)题2022年北京冬奥会标志性场馆——国家速滑馆的设计理念来源于一个冰和速度结合的创意，沿着外墙面由低到高盘旋而成的“冰丝带”，就像速度滑冰运动员高速滑动时留下的一圈圈风驰电掣的轨迹，冰上划痕成丝带，22条“冰丝带”又象征北京2022年冬奥会.其中“冰丝带”呈现出圆形平面、椭圆形平面、马鞍形双曲面三种造型，这种造型富有动感，体现了冰上运动的速度和激情这三种造型取自于球、椭球、椭圆柱等空间几何体，其设计参数包括曲率、挠率、面积体积等对几何图形的面积、体积计算方法的研究在中国数学史上有过辉煌的成就，如《九章算术》中记录了数学家刘徽提出利用牟合方盖的体积来推导球的体积公式，但由于不能计算牟合方盖的体积并没有得出球的体积计算公式直到200年以后数学家祖冲之、祖暅父子在《缀术》提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，才利用牟合方盖的体积推导出球的体积公式原理的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.（Ⅰ）利用祖暅原理推导半径为的球的体积公式时，可以构造如图②所示的几何体，几何体的底面半径和高都为，其底面和半球体的底面同在平面内.设与平面平行且距离为的平面截两个几何体得到两个截面，请在图②中用阴影画出与图①中阴影截面面积相等的图形并给出证明；（Ⅱ）现将椭圆所围成的椭圆面分别绕其长轴、短轴旋转一周后得两个不同的椭球，（如图），类比（Ⅰ）中的方法，探究椭球的体积公式，并写出椭球，的体积之比.第(4)题在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为（t为参数）.以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为.（1）写出圆C的直角坐标方程；（2）设直线l与圆C交于A，B两点，，求的值.第(5)题已知椭圆的离心率为，直线经过椭圆的右焦点，且与椭圆交于点.(1)求椭圆的标准方程：(2)设椭圆的左焦点为，求的内切圆的半径最大时的值.。
福建省福州市第八中学2014届高三毕业班第一次质检数学(文)试题
A B C D第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：（每小题5分，共60分. 在给出的A、B、C、D四个选项中，只有一项符合题目要求，在答题纸的相应区域内作答）1.已知全集{}0,1,2,3,4U=，{1,2,3}A=，{0,2}B=，则)(BCAU等于A．{}1,2,3,4B．{}0,1,2,3C．{}1,2D．{}1,32.若a，b为平面向量，则“a=b"是“|a |=| b |”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.命题“2,220x x x∃∈++≤R”的否定是A．2,220x x x∃∈++>R B．2,220x x x∃∈++≥RC．2,220x x x∀∈++>R D．2,220x x x∀∈++≤R4.函数()sinf x x=的图象向左平移4π个单位后，所得图象的一条对称轴是A．4x=-πB．4x=πC．2x=πD．34x=π5.函数2cosy x x xππ⎛⎫=-≤≤⎪的图象是6.若直线l与幂函数ny x=的图象相切于点A(2,8)，则直线l的方程为A．12160x y--=B．40x y-=C．12160x y+-=D．640x y--=7.已知，则A. a<b<cB. c<a<bC. a<c<bD. c<b<a8.函数22f(x)sin x x=-的图象A.关于直线对称B.关于直线对称C.关于点对称D.关于点对称9.已知单位向量a、b，满足⊥a b，则函数2()()f x x=+a b（x∈R）A. 既是奇函数又是偶函数B. 既不是奇函数也不是偶函数C. 是偶函数D. 是奇函数10.下列函数f(x)中，满足“且”的是A. B. C. D.11.已知函数的图象恒在直线y = -2x 的下方，则实数a 的取值范围是 A.B.C.D.12．定义两个实数间的一种新运算“*”：()lg 1010,x y x y *=+,x y ∈R .对任意实数,,a b c ，给出如下结论：①()()c b a c b a ****=； ②a b b a **=； ③()()()**a b c a c b c +=++； 其中正确的个数是 A ． 0 B ．1 C ．2 D ．3第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填在答题卡的相应位置．13．已知复数1i z =-，z 为z 的共轭复数，则|Z |=14.若函数f (x )导函数为，则函数f (x )的单调递减区间是______.15．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ， 若22sin sin 2sin sin A B B C -=⋅，3c b =，则角A 的值为 ． 16．观察下列等式：12133+=； 781011123333+++=； 16171920222339333333+++++=； …则当m n <且,m n ∈N 表示最后结果.313232313333n n m m ++--++++= （最后结果用,m n 表示最后结果）． 三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知函数()sin())33f x x x ππ=-+-．（Ⅰ）求函数1y f (x )=-的单调递增区间；（Ⅱ）设函数()(1sin )()g x x f x =+，求()g x 的值域.18．(本小题满分12分）已知二次函数21f (x )ax bx =++为偶函数，且f(－1) =－1. (I )求函数f(x)的解析式；(II)若函数g(x) = f(x) + (2－k) x 在区间(－2,2)上单调递增，求实数k 的取值范围.19．（本题满分12分）在△ABC 中，AC=3，（1）求sin A 的值； （2）△ABC 的面积S=3，求BC 的值.20．（本题满分12分）数列{}n a 的前n 项和2n n S an b =+，已知112a =，256a =．（1）求数列{}n a 的前n 项和n S ；（2）求数列{}n a 的通项公式； （3）设21nn a b n n =+-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．21．(本小题满分12分）已知曲线32f (x )x bx cx =++在点A(-1,f(-1)),B(3,f(3))处的切线互相平行，且函数f(x)的一个极值点为x = 0.(I)求实数b,c 的值； (II )若函数1[3]2y f (x ),x ,=∈-的图象与直线y=m 恰有三个交点，求实数m 的取值范围；22．(本小题满分14分)已知函数()2e x f x ax bx =++．（Ⅰ）当0,1a b ==-时，求()f x 的单调区间； （Ⅱ）设函数()f x 在点()(),P t f t ()01t <<处的切线为l ，直线l 与y 轴相交于点Q .若点Q 的纵坐标恒小于1，求实数a 的取值范围．稿 纸福州八中2013—2014高三毕业班第一次质量检查数学(文)试卷参考答案及评分标准选填题：DACBBA BDCCAD2 （－1，3）3π 22n m - 解答题：17. 本题主要考查三角函数的恒等变换，三角函数的基本性质，考查运算求解的能力，化归与转化的思想．满分12分.解:（Ⅰ）()2sin()2sin 33f x x x ππ=+-=，………………………………3分 sin 2,2]()22y x k k k Z ππππ=∈函数的单调递增区间是[-+，∴1y f (x )=-的单调增区间是[2k -,2k ]k 22Z ππππ+∈ …………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，2()2(1sin )sin 2sin 2sin g x x x x x =+=+，………7分 设sin t x =，当x R ∈时，[1,1]t ∈-，则2211()222()22h t t t t =+=+-， ……………………………………………9分由二次函数的单调性可知，min 1()2h t =-，又(1)0,(1)4,h h -==max ()4h t ∴=, …………………………………………11分则函数()g x 的值域为1[,4]2-． …………………………………………………12分19.解：(1)由24π2Sin(A+4π)=1.因为0<A<π,即4π<A+π<5π. 所以A+4π=2π, 故A=4π.所以（2）由S=12AC·，得,由余弦定理得BC 2=AC 2+AB 2-2AC·ABcos A=9+8-2×3×故20.解：（1）由1112S a ==，得112a b =+；由21243S a a =+=，得4423a b =+． ∴223a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩， 故21n n S n =+ ………… 4分 （2）当2n ≥时，2232212(1)(1)(1)11(1)n n n n n n n n n n a S S n n n n n n ----++-=-=-==+++． 由于112a =也适合221n n n a n n +-=+． ∴通项221n n n a n n +-=+ ………8分（3）21111(1)1n n a b n n n n n n ===-+-++．∴数列{}n b 的前n 项和1211111111122311n n n T b b b b n n n n -=++++=-+-++-+--+ 1111nn n =-=++ ……… 12分22．本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查分类与整合思想、数形结合思想、化归与转化思想．满分12分．解：（Ⅰ）当0,1a b ==-时，()e xf x x =-，()e 1xf x '=-，……………………1分所以，当(,0)x ∈-∞时，()0f x '<；当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>；………3分 所以函数()f x 的单调递减区间为(),0-∞，单调递增区间为(0,)+∞．……4分 （Ⅱ）因为()2xf x e ax b '=++，所以()(),P t f t 处切线的斜率()2t k f t e at b '==++， 所以切线l 的方程为()()()22t t y e at bt e at b x t -++=++-，令0x =，得()21t y t e at =-- ()01t <<.………………………………6分当01t <<时，要使得点Q 的纵坐标恒小于1，只需()211t t e at --<，即()2110t t e at -++>()01t <<.……………… 7分 令()()211t g t t e at =-++，则()()2t g t t e a '=+，………………………………………………………… 8分 因为01t <<，所以1te e <<，①若21a ≥-即12a ≥-时，20te a +>， 所以，当()0,1t ∈时，()0g t '>，即()g t 在()0,1上单调递增，所以()(0)0g t g >=恒成立，所以12a ≥-满足题意.…………………………10分。
高中数学试题-2024~2025学年福州市高三年级第一次质量检测数学答案
2024-2025学年福州市高三年级第一次质量检测数学答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
15. （13分）已知数列{}n a 满足12a =，132n n a a +=+． （1）证明：数列{}1n a +是等比数列； （2）求{}n a 的前n 项和n S ．【解法一】（1）证明：因为132n n a a +=+，且12a =，所以10n a +≠， ··················································································· 1分 所以1132111n n n n a a a a ++++=++ ········································································ 3分 3(1)31n n a a +==+， ···································································· 5分 又113a +=，所以数列{}1n a +是以3为首项，3为公比的等比数列． ······························· 6分 （2）由（1）得13n n a +=，所以31n n a =−， ············································· 8分 所以()()()2313131n n S =−+−++−()233333n n =++++− ···························································· 10分13313n n +−=−− ············································································ 12分 133.2n n +−=− ············································································ 13分【解法二】（1）证明：因为132n n a a +=+，所以()113331n n n a a a ++=+=+， ····························································· 2分 因为12a =，所以1130a +=≠，所以10n a +≠， ········································ 4分 所以1131n n a a ++=+, 所以数列{}1n a +是以3为首项，3为公比的等比数列． ······························· 6分 （2）略，同解法一． 16. （15分）已知ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，且2cos cos cos a C C B =⋅． （1）求角C ；（2）若4a =，b =D 为AB 中点，求CD 的长． 【解法一】（1）因为2cos cos cos a C C B =+⋅， 由正弦定理，得2sin cos cos sin A C B C B C =·············································· 2分()B C =+ ·································································· 4分()πA −A =，······································································ 6分 因为0πA <<，则sin 0A ≠，所以cos C =， ·········································· 7分 由于0πC <<，则π6C =； ···································································· 8分 （2）因为D 为AB 中点，故()12CD CA CB =+， ······································ 10分22111πcos 4426CA CB CA CB =++ ············································ 13分 1113164442=⨯+⨯+ 314=，················································································· 14分 所以CD ． ······································································ 15分 【解法二】（1）因为2coscos cos a CC B =⋅，由余弦定理，得2222222cos 22a b c a c b a C ab ac+−+−=··························· 2分 ， ···························································· 4分所以cos C =， ················································································ 6分 由于0πC <<，则π6C =； ···································································· 8分 （2）由（1）知，π6ACB ∠=， 在ABC △中，由余弦定理，得2222cos c a b ab ACB =+−∠··································································· 10分 22424=+−⨯ 7=， ··························································································· 11分 故c =， ······················································································· 12分 因为D 为AB 中点，所以cos cos 0ADC BDC ∠+∠=，故222222022AD CD AC BD CD BC AD CD BD CD +−+−+=⨯⨯⨯⨯， ·········································· 13分22222240CD CD +−+−=，故CD ． ··········································································· 15分 【解法三】（1）略，同解法一或解法二； （2）由（1）知，π6ACB ∠=， 在ABC △中，由余弦定理，得2222cos c a b ab ACB =+−∠··································································· 10分22424=+−⨯ 7=， ··························································································· 11分故c =， ······················································································· 12分 所以222cos 2b c a A bc+−=2224+−==， ············································································· 13分 在ACD △中，由余弦定理， 得2222cos CD AC AD AC AD A =+−⋅222⎛=+− ⎝⎭⎝314=， ······················································································· 14分故CD ． ··········································································· 15分 17. （15分）如图，在四棱锥S ABCD −中，BC ⊥平面SAB ，∥AD BC ，1SA BC ==，SB =，o 45SBA ∠=．（1）求证：SA ⊥平面ABCD ；（2）若12AD =，求平面SCD 与平面SAB 的夹角的余弦值． 【解法一】（1）在△SAB 中， 因为1SA =，o 45SBA ∠=，SB =， 由正弦定理，得sin sin SA SBSBA SAB=∠∠， ········································································· 1分所以1sin 45︒， ······································································ 2分 所以sin 1SAB ∠=，因为0180SAB ︒<∠<︒，所以90SAB ∠=︒，所以SA AB ⊥． ··················································································· 4分 因为BC ⊥平面SAB ，SA ⊂平面SAB ，所以BC SA ⊥， ··················································································· 5分 又BCAB B =，所以SA ⊥平面ABCD ； ········································································· 6分 （2）解：由（1）知SA ⊥平面ABCD ，又,⊂AB AD 平面ABCD ，所以SA AB ⊥，SA AD ⊥，因为BC ⊥平面SAB ， ··········································································· 7分 ⊂AB 平面SAB ，所以BC AB ⊥，因为∥AD BC ，所以AD AB ⊥，所以,,SA AD AB 两两垂直． ··································································· 8分 以点A 为原点，分别以AD ，AB ，AS 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， ················································································ 9分 则1(1,1,0),,0,0,2(0,0,1),D S C ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以()1,1,1SC =−，1,0,12SD ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，设平面SCD 的法向量为1(,,)x y z =n ，则11,,SC SD ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩n n 即110,10,2SC x y z SD x z ⎧⋅=+−=⎪⎨⋅=−=⎪⎩n n 取2x =，则()12,1,1=−n ， ·································································· 11分显然平面SAB 的一个法向量()21,0,0=n ， ················································ 12分 所以cos ⋅=⋅121212n n n ,n n n ····································································· 13分==········································································· 14分 所以平面SCD 与平面SAB ． ··································· 15分 【解法二】（1）证明：设AB x =，在△SAB 中， 因为1SA =，o 45SBA ∠=，SB =， 由余弦定理，得2222cos SA SB AB SB S AB BA =∠+−⋅， · (1)分 所以212co 5s 4x =+−︒， (2)分所以221x +−=， 所以2210x x −+=，解得1x =． ························································································ 3分 所以2222SA AB SB +==，所以SA AB ⊥． ················································ 4分 因为BC ⊥平面SAB ，SA ⊂平面SAB ，所以BC SA ⊥， ··················································································· 5分 又BCAB B =，所以SA ⊥平面ABCD ； ········································································· 6分 （2）略，同解法一．【解法三】（1）设AB x =，在△SAB 中， 因为1SA =，o 45SBA ∠=，SB =， 由余弦定理，得2222cos SA SB AB SB S AB BA =∠+−⋅， (1)分所以212co 5s 4x =+−︒， ································································ 2分所以221x+−=，所以2210x x−+=，解得1x=． ························································································3分所以2222SA AB SB+==，所以SA AB⊥．················································4分因为BC⊥平面SAB，BC⊂平面ABCD，所以平面ABCD⊥平面SAB；·································································5分又平面ABCD平面SAB AB=，SA AB⊥，SA⊂平面SAB，所以SA⊥平面ABCD；·········································································6分（2）由（1）知SA⊥平面ABCD，过B作BM SA，则BM⊥平面ABCD，又,AB BC⊂平面ABCD，所以BM AB⊥，BM BC⊥，因为BC⊥平面SAB，···········································································7分又⊂AB平面SAB，所以BC AB⊥，所以,,BM BA BC两两垂直．··································································8分以点B为原点，分别以BA，BC，BM所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， ················································································9分则1(0,1,0),1,(,0,21,0,1),CS D⎛⎫⎪⎝⎭所以()1,1,1SC=−−，11,,02CD⎛⎫=−⎪⎝⎭，设平面SCD的法向量为1(,,)x y z=n，则11,,SCCD⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩nn即110,10,2SC x y zCD x y⎧⋅=−+−=⎪⎨⋅=−=⎪⎩nn取2y=，则()11,2,1=n， ···································································· 11分显然平面SAB的一个法向量()20,1,0=n， ··············································· 12分所以cos⋅=⋅121212n nn,nn n····································································· 13分=。
福建省福州市2024高三冲刺(高考数学)部编版考试(拓展卷)完整试卷
福建省福州市2024高三冲刺（高考数学）部编版考试(拓展卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题设是定义域为R的奇函数，且当时，，则方程的解集为（）A．B．C．D．第(2)题已知集合，集合B满足B A，则B可以为（）A．B．C．D．第(3)题已知（为虚数单位，），若复数满足，则（）A．1B．2C．3D．4第(4)题抛物线的焦点到准线的距离为（）A．2B．4C．6D．8第(5)题容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：分组[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)频数234542则根据样本数据估计落在区间[10,40)的概率为( )A．0.35B．0.45C．0.55D．0.65第(6)题若复数，则复数的虚部为（）A．B．C．D．第(7)题设全集U＝R，集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|x＜1}，则集合（）∪B＝（）A．（﹣∞，2）B．[2，+∞）C．（1，2）D．（﹣∞，1）∪[2，+∞）第(8)题（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题如图所示，在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（）A．直线与是异面直线B．直线与所成的角为C．直线与平面所成角的正切值为D．点到平面的距离为第(2)题设直线l：，圆C：，若直线l与圆C恒有两个公共点A，B，则下列说法正确的是（）A．r的取值范围是B．若r的值固定不变，则当时∠ACB最小C．若r的值固定不变，则的面积的最大值为D．若，则当的面积最大时直线l的斜率为1或第(3)题为了庆祝中国共产党成立100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进全体党员干部职工对党史的了解，某单位组织开展党史知识竞赛活动，将本单位全体党员党史知识竞赛的成绩（均位于之内）整理，得到如图所示的频率分布直方图．根据此频率分布直方图，下列结论正确的是（）A．本次成绩不低于80分的人数的占比为75％B．本次成绩低于70分的人数的占比为5％C．估计本次成绩的平均分不高于85分D．本次成绩位于的人数是其他人数的3倍三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题在锐角中，角，，所对的边分别为，，，向量，．若，则的取值范围是______．第(2)题若直线3x+4y+m=0与圆（为参数）没有公共点，则实数m的取值范围是____．第(3)题在正四棱柱中，，，M，N分别是，的中点，则平面截该四棱柱所得截面的周长为______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数且），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）说明是哪种曲线，并将的方程化为极坐标方程；（2）设点的极坐标为，射线与的交点为（异于极点），与的交点为（异于极点），若，求的值．第(2)题如图，在多面体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，，平面平面，(1)证明：平面；(2)求三棱锥的体积.第(3)题是抛物线的焦点，是抛物线上位于第一象限内的任意一点，过三点的圆的圆心为，点到抛物线的准线的距离为.（1）求抛物线的方程；（2）若点的横坐标为，直线与抛物线有两个不同的交点与圆有两个不同的交点，求当时，的最小值.第(4)题已知函数，其中.（1）证明：有唯一零点；（2）设为函数的零点，证明：①；②（参考数据，）.第(5)题如图，在四棱锥中，平面平面，底面是正方形，分别是的中点，平面经过点，且与棱交于点．(1)试用所学知识确定在棱上的位置；(2)若，求多面体的体积．。
试题精选_福建省福州市第八中学2015届高三第四次质检考试数学(文)调研试卷_精校完美版
福建省福州市第八中学2015届高三第四次质检考试数学（文）试题考试时间：120分钟 试卷满分：150分2014.12.15第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}{}20,1,2,3,30=M N x x x M N ==-<⋂，则A.{}0B.{}0x x <C.{}3x x 0<<D. {}1,22. 在复平面内，复数2013ii 1iz =+-表示的点所在的象限是A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．直线210(1)10x ay a x ay +-=--+=与平行，则a 的值为A ．12B ．102或C ．0D ．—2或04. 已知向量a ，b 的夹角为45°，且|a|＝1，|2a －b|＝10，则|b|＝A ． 2B ．2 2C ．3 2D ．4 2 5. 已知平面βα,，直线n m ,，下列命题中不．正确的是 A. 若α⊥m ，β⊥m ，则α∥β B. 若m ∥n ，α⊥m ，则α⊥nC. 若m ∥α，n =⋂βα，则m ∥nD. 若α⊥m ，β⊂m ，则βα⊥ 6. 函数2sin sin 4242x x y ππ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的一个单调递减区间为 A ．,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．[]0,π C ．3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[],2ππ 7．圆22446050x y x y x y +-++=--=截直线所得的弦长等于A B ．2C ．1D ．5根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9．4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为A ．63．6万元B ．67．7万元C ．65．5万元D ．72．0万元9.已知双曲线C ：22x a－22y b =1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C的方程为A ．220x －25y =1 B.25x －220y =1C.280x －220y =1 D.220x －280y =1 10. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，12n n S a +=，,则n S = A. 1)23(-nB. 12-nC. 1)32(-nD.121-n11．已知椭圆C ： x 24＋y 23＝1，M ，N 是坐标平面内的两点，且M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN|＋|BN|＝A ．4B ．8C ．12D ．1612．已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的集合：存在非零常数k ，对定义域中的任意x ，等式()f kx ＝2k＋()f x 恒成立．现有两个函数：()()0f x ax b a =+≠，()2log g x x =，则函数()f x 、()g x 与集合M 的关系为A.()()M x g M x f ∈∈, B ．()()M x g M x f ∈∉,C.()()M x g M x f ∉∈,D ．()()M x g M x f ∉∉,第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在答题纸上。
2021年福州质检数学试题及答案
2021年福州质检数学试题及答案2021年福州市初中毕业班质量检测数学试题一、选择题：（每小题4分，共40分） (1)?3的绝对值是（）． A．11 B．? C．?3 D．3 33(2)如图是五个大小相同的正方体组成的几何体，这个几何体的俯视图是（）．AB C D从正面看(3)中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划，“一带一路”地区覆盖总人口约为4 400 000 000人，将4 400 000 000科学记数法表示，其结果是（）． A．44×108 B．4.4×109 C．4.4×108 D．4.4×1010 (4)如图，数轴上M，N，P，Q四点中，能表示3的点是（）． A．M B．N C．P D．Q (5)下列计算正确的是（）．326A．8a?a?8 B．(?a)4?a4 C．a?a?a D．(a?b)2?a2?b2(6)下列几何图形不是中心对称图形的是（）．．A．平行四边 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形 (7)如图，AD是半圆O的直径，AD=12，B、C是半圆O上两点，若，AB=BC=CD 则图中阴影部分的面积是（）．A．6? B．12? C．18? D．24?(8)如图，正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度， A、B在格点上，现将线段AB向下平移m个单位长度，再向左平移n个单位长度，得到线段A’B’，连接AA’，BB’，若四福州质检数学试题1页共4页（泉州彭雪林制作）ABCD边形AA’B’B是正方形，则m+n的值是（）． A．3 B．4 C．5 D．6(9)若数据x1：x2，…，xn的众数为a，方差为b，则数据 x1+2，x2+2，…，xn+2的众数，方差分别是（）．A．a、b B．a、b +2 C．a+2、b D．a+2、b+2A B(10)在平面直角坐标系xOy中，A(0,2)，B(m，m-2)，则AB+OB的最小值是（）． A．25 B．4 C．23 D．2A D 二、填空题：（每小题4分，共24分）F (11) 2=________．B EC ?1(12)若∠a=40°，则∠a的补角是________． (13)不等式2x+1≥3的解集是________．(14)一个不透明的袋子中有3个白球和2个黑球，这些球除颜色外完全相同从袋子中随机摸出1个球，这个球是白球的概率是________．(15)如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，将△ABE沿AE折叠，得到△AFE若F恰好是CD的AD的值是________． AB4k(16)如图，直线y1=?x与双曲线y2=交于A、B两点，点C在x轴上，连x3中点，则接AC、BC．若∠ACB=90°，△ABC的面积为10，则k的值是________．三、解答题：（共86分）y A O C B x 2x2?2x?1)?(17)( 8分)先化简，再求值: (1?，其中x=2+1 x?1x?1(18)( 8分)C，E在一条直线上，AB∥DE，AC∥DF，且AC=DF 求证：AB=DE．福州质检数学试题2页共4页（泉州彭雪林制作）B C FD E(19) (8分)如图，在Rt△ABC中，∠C=900，∠B=540，AD是△ABC的角平分线．求作AB的垂直平分线MN交AD于点E，连接BE；并证明 DE=DB．(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)D CA B (20)( 8分)我国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章里，一次方程是由算筹布置而成的．如图1，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x、y的系数与应的常数项，把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组的形式表述出来，就是?筹图，列出方程组，并求解．?x?4y?10，请你根据图2所示的算6x?11y?34?图1图2(21)( 8分)如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB延长线相交于点P．若∠COB=2∠PCB，求证：PC是⊙O的切线．A O C PB (22)( 10分)已知y是x的函数，自变量x的取值范围是-3.5≤x≤4，下表是y与x的几组对应值：x y -3.5 4 -3 2 -2 1 -1 0 1 2 3 3.78 4 4 0.67 0.5 2.03 3.13 请你根据学习函数的经验，利用上述表格所反映出的y与x之间的变化规律，对该函数的图象与性福州质检数学试题3页共4页（泉州彭雪林制作）质进行探究．(1)如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的y点，画出该函数的图象；(2)根据画出的函数图象特征，仿照示例，完成下列表格中的函数变化规律：感谢您的阅读，祝您生活愉快。
福建省福州第八中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷(含简单答案)
福州第八中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学考试时间：120分钟试卷满分：150分一、单选题：本题共8小题.每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知随机变量服从两点分布，，则其成功概率（ ）A. 0B. 1C. 0.3D. 2. 已知数列为等比数列，若，则的值为（ ）A. -4B. 4C. -2D. 23. 设随机变量，若，则等于（）A. 0.2B. 0.7C. 0.8D. 0.94. 设是一个离散型随机变量，其分布列为则等于（ ）A. 1B. C.D. 5. 已知点P ，Q 分别为圆与上一点，则的最小值为（）A. 4B. 5C. 7D. 106. 已知，则（ ）A. 64B. 32C. 63D. 317. 若，则（ ）A. B. C. D. 为X ()0.7E X =0.7{}n a 2580a a +=64a a ()24,X N σ～()0.8P X m >=()8P X m >-X X234P1212q-22q q 1121+22:1C x y +=22:(7)4D x y -+=||PQ ()01223344414729n n n n n n nn C C C C C -+-+⋅⋅⋅+-⋅⋅=123n n n n n C C C C +++⋅⋅⋅+=()221ln ln π,ln ,33ea b c ===-c a b <<b c a <<c b a<<b a c<<8. 已知双曲线的左顶点为是双曲线的右焦点，点在直线上，且的离心率是（ ）A. B. C.D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 连续抛掷一枚骰子2次，记事件A 表示“2次结果中正面向上的点数之和为奇数”，事件B 表示“2次结果中至少一次正面向上的点数为偶数”，则（ ）A. 事件A 与事件B 不互斥 B. 事件A 与事件B 相互独立C. D. 10. 已知直线经过抛物线的焦点，与交于A ，两点，与的准线交于点，则（ ）A. B. 若，则C. 若，则的取值范围是 D.若，，成等差数列，则11. 甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有1个黑球的概率为，恰有2个黑球的概率为，则下列结论正确的是（ ）A. ，B. 数列是等比数列C. 数列是等比数列D. 的数学期望三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴上，且抛物线上有一点P (4，m )到焦点的距离为6.则抛物线C 的方程为________.2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>()0,,A F c C P 2x c=tan APF ∠C 2+4+()34P AB =()2|3P A B =()1x my =-()2:20E x py p =>F E B E l C 2p =3AF FB =m =()0,1N -AN AF⎡⎣FA AC FB FC BF=()*Nn n ∈nXn p n q 21627p =2727q ={}21n n p q +-{}21n n p q +-n X ()()*11N 3nn E X n ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭13. “畅通微循环，未来生活更舒适”．我国开展一刻钟便民生活圈建设，推进生活服务业“规范化、连锁化、便利化、品牌化、特色化、智能化”发展，以提质便民为核心，高质量建设国际消费中心城市，便民商业体系向高品质发展．某调研机构成立5个调研小组，就4个社区的便民生活圈的建设情况进行调研，每个调研小组选择其中1个社区，要求调研活动覆盖被调研的社区，共有派出方案种数为____________14. 设为的展开式的各项系数之和，，，表示不超过实数x 的最大整数，则的最小值为__________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 在中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且.（1）求A 的大小；（2）若，BC 边上高的长.16. 已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列．（1）求数列通项公式；（2）若，求前1012项和．17. 已知函数，.（1）当时，求函数的极值；（2）若任意且，都有成立，求实数的取值范围.18. 为了引导居民合理用电，国家决定实行合理的阶梯电价，居民用电原则上以住宅为单位（一套住宅为一户）.阶梯级别第一阶梯第二阶梯第三阶梯月用电范围（度）某市随机抽取10户同一个月的用电情况，得到统计表如下：居民用电户编号12345678910用电量（度）538690124214215220225420430的的*n n N a ∈，()()2+3+1n nx x -=23c t -R t ∈1222=[]+[]++[]555n n n b na a a n )22()+(+)n n t b c -ABC V 2cos 2a B c +=3b =c ={}n a 11a =125,,a a a {}n a 114(1)n n n n nb a a ++=-⋅{}n b 1012T 21()ln(1)14f x a x x =-++211()()1e 2x g x f x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭1a =-()f x 12,(1,)x x ∈+∞12x x ≠()()21211g x g x x x -≥-a [0,210](210,400](400,)+∞（1）若规定第一阶梯电价每度0.5元，第二阶梯超出第一阶梯部分每度0.6元，第三阶梯超出第二阶梯的部分每度0.8元，试计算某居民用电户用电450度时应交电费多少元？（2）现要从这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯电量的户数的分布列与期望；（3）以表中抽到的10户作为样本估计全市居民用电，现从全市中依次抽取10户，记取到第一阶梯电量的户数为，当时对应的概率为，求取得最大值时的值.19. 已知椭圆（常数），点，，为坐标原点．（1）求椭圆离心率的取值范围；（2）若是椭圆上任意一点，，求的取值范围；（3）设，是椭圆上的两个动点，满足，试探究的面积是否为定值，说明理由．的Y Yk =k P k P k 222:1x y aγ+=2a ≥(),1A a (),1B a -O P γOP mOA nOB =+m n +()11,M x y ()22,N x y γOM ON OA OB k k k k ⋅=⋅OMN V福州第八中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学简要答案一、单选题：本题共8小题.每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】D【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】A【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】C【8题答案】【答案】B二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．【9题答案】【答案】AD【10题答案】【答案】AD【11题答案】【答案】ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．【12题答案】【答案】y 2＝8x 【13题答案】【答案】240【14题答案】【答案】##02四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【15题答案】【答案】（1） （2）【16题答案】【答案】（1） （2）【17题答案】【答案】（1）极小值为，无极大值 （2）【18题答案】【答案】（1）259元 （2）分布列略，期望为 （3）4【19题答案】【答案】（1） （2） （3）的面积为定值，理由略.15π6A =3221n a n =-101220242025T =221,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭65e ⎫∈⎪⎪⎭[]1,1m n +∈-OMN V 2a。
福建省福州市第八中学2015届高三上学期第三次质检——数学(理)
福建省福州市第八中学 2015届高三上学期第三次质检数学（理）试题1.全集{0,1,2,3}U =，{2}U C M =，则集合M =A ．{1，3}B ．{0，1，3}C ．{0，3}D ．{2}2. 若角α的终边在第二象限且经过点(P -，则sin α等于A B ．C ．12-D ．123．已知数列{}n a 满足130n n a a ++=，243a =-，则{}n a 的前10项和等于A.106(13)---B. 103(13)--C. 101(13)9-- D.103(13)-+4．已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为3π，则a b +等于A ．1B C D ．25．下列说法正确的是A ．(0)0f =“”是“函数()f x 是奇函数”的充要条件B ．“向量,,a b c ，若a b a c ⋅=⋅，则b c =”是真命题C ．210x R x ∀∈+>“，”的否定是200,0x R x ∃∈+<“”D ．“若6a π=，则1sin 2α=”的否命题是“若6a π≠，则1sin 2α≠” 6．在ABC ∆中,内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ,若222222c a b ab =++,则ABC∆是A ．等边三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形8.已知函数2()f x x ax =-的图像在点(1(1))A f ，处的切线l 与直线320x y ++=垂直，若数列1()f n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则2014S 的值为 A. 20152016 B. 20142015 C. 20132014 D. 201220139．已知函数2sin()cos()22y x x ππ=+-与直线12y =相交，若在y 轴右侧的交点自左向右依次记为1M ，2M ，3M ，，则113M M 等于A ．π6B ．π7C ．π12D ．π13 10．已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意实数,a b R ∈满足**(2)(2)()()(),(2)2,(),()2n n n n n f f f a b af b bf a f a n N b n N n ⋅=+==∈=∈ 考察下列结论：①(0)(1)f f =；②()f x 为偶函数；③数列{}n a 为等比数列；④数列{}n b 为等差数列。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
福建省福州市第八中学2015届高三第四次质检考试数学（理）试题考试时间：120分钟试卷满分：150分本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)，第II卷第21题为选考题，其他题为必考题．本试卷满分150分．考试时间120分钟．参考公式：样本数据x1，x2，…，x n的标准差其中为样本平均数锥体体积公式V=Sh 其中S为底面面积，h为高柱体体积公式V=Sh其中S为底面面积，h为高球的表面积、体积公式，其中R为球的半径第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）1．已知，,则（）A．B．C．D．2．双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的渐近线方程为，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．3．已知命题：≤0，则( )A.是假命题；：≤0B.是假命题；：＞0C.是真命题；：≤0D.是真命题；：＞04．设，下面四个不等式中，正确的是（）①；②；③；④A．①和②B．①和③C．①和④D．②和④5. 已知为常数，则使得成立的一个充分而不必要条件是()A．B．C．D．6．已知点、、不在同一条直线上，点为该平面上一点，且，则( ) A．点P在线段AB上B．点P在线段AB的反向延长线上C．点P在线段AB的延长线上D．点P不在直线AB上7. 已知是圆：内一点，现有以为中点的弦所在直线和直线：，则（）A．，且与圆相交B．，且与圆相交C．，且与圆相离D．，且与圆相离8．若平面区域220,20,(1)x y y y k x -+≥⎧⎪Ω-≤⎨⎪≥+⎩：的面积为3，则实数的值为 ( ) A. B ． C ． D ．9. 已知函数),1(2)()(xf x f x f =满足当时，若在区间内，函数，有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D.10．已知抛物线，圆2222:()C x y p p +-=，直线，其中，直线与的四个交点按横坐标从小到大依次为，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题:本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．11. 已知两条直线1:(2)453++=-l m x y m ，互相垂直，则=_________.12. 已知则_________.13. 等差数列的前n 项和为, , ,当取最小值时, 等__________.14.若函数1,0,()(021,0xx a x f x a b x ⎧⎛⎫-≥⎪ ⎪=>⎨⎝⎭⎪-<⎩且，且的图象关于轴对称，则的最小值为__________. 15．设是已知平面上所有向量的集合，对于映射，记的象为。
若映射满足：对所有及任意实数都有()()()f a b f a f b λμλμ+=+，则称为平面上的线性变换。
现有下列命题：①设是平面上的线性变换，，则对任意实数均有;②对，则是平面上的线性变换；③设是平面上的线性变换，，若共线，则也共线；④若是平面上的单位向量，对，则是平面上的线性变换。
其中真命题是 （写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16. （本小题满分13分）在数列中，，11112(*)n n n n n N a a a a ++-=∈ （Ⅰ）求证数列为等差数列，并求它的通项公式； （Ⅱ）设数列的前项和为，是否存在正整数，使得2321(1)2014232n S S S n S n -+++-=成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.17. (本小题满分13分)已知函数22()sin cos 3cos ()f x x x x x m m R =+++∈．（Ⅰ）求函数的单调递增区间及对称轴方程；（Ⅱ）当时，的最大值为，求实数的值．18. (本小题满分13分) 已知()2sin()36f x x ππ=+，集合{|()2,0}M x f x x ==>，把M 中的元素从小到大依次排成一列，得到数列（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设数列满足：，，求的通项公式。
19．(本小题满分13分)某港湾的平面示意图如图所示，，，分别是海岸线上的三个集镇，位于的正南方向处，位于的北偏东方向处．（Ⅰ）求集镇，间的距离；（Ⅱ）随着经济的发展，为缓解集镇的交通压力，拟在海岸线上分别修建码头，开辟水上航线．勘测时发现：以为圆心，为半径的扇形区域为浅水区，不适宜船只航行．请确定码头的位置，使得之间的直线航线最短．20.（本小题满分14分）如图，正方形内接于椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，且它的四条边与坐标轴平行，正方形的顶点、在椭圆上，顶点、在正方形的边上．且．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点，平行于的直线在轴上的截距为，交椭圆于、两个不同点，求证：直线，与轴始终围成一个等腰三角形．21. （本小题满分14分）巳知函数2()22ln f x x ax a x =--，，其中.（Ⅰ）若是函数的极值点，求的值；（Ⅱ）若在区间上单调递增，求的取值范围；（Ⅲ）记，求证：.参考答案一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分．AABCC BCBAD二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分20分．11. 12 12. 13. 6 14. 8 15．①②③三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 解：（Ⅰ）22()sin cos 3cos f x x x x x m =+++1cos 21cos 22322x x x m -+=++⨯+………………………3分2cos 22x x m =+++2sin(2) 2.6x m π=+++………………………5分 由222,262k x k k πππ-+π≤+≤+π∈Z ，………………………6分 得,36k x k k ππ-+π≤≤+π∈Z ． ∴函数的单调增区间为[,](36k k k ππ-+π+π∈Z)．………………………7分 由得，∴函数的对称轴方程是.………………………8分（Ⅱ）∵当时，，………………………9分∴，………………………11分∴32sin(2)246m x m m π+≤+++≤+，……………………12分 ∴，解得．∴实数的值为5.…………………………………………13分（由得出的最大值为1，得2分；正确推出的最大值为，再得1分；正确求出m 的值得1分）18.解：（Ⅰ）由()2sin 236f x x ππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，得，即，其中，，………………3分 又，{}31,M x x k k N ∴==+∈，依题意，可得数列是首项为1，公差为3的等差数列，………………5分数列的通项公式为，………………6分（Ⅱ）当时， 112211()()()n n n n n b b b b b b b b ---=-+-++-+………………7分 =1211222n n a a a b --++++=()()123222211n n n --+++--+………………9分 =()()12123211 3.22312n n n n ----+=---…………11分当时，上式也成立，………………12分=（）………………13分19． 解法一：（Ⅰ）在△中，，， ，…1分根据余弦定理得，2222cos120AB OA OB OA OB =+-⋅⋅⋅22161026101962⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，…………………4分 所以．故，两集镇间的距离为14km ．………………6分（Ⅱ）依题意得，直线必与圆相切．设切点为，连接，则．………………7分 设，，， 在△中，由11sin12022MN OC OM ON ⋅=⋅⋅， 得，即， …………………………… …9分 由余弦定理得，222222cos1203c x y xy x y xy xy =+-=++≥， …………11分所以，解得， …………………12分当且仅当时，取得最小值．所以码头与集镇的距离均为km 时，之间的直线航线最短，最短距离为km ．…13分解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）依题意得，直线必与圆相切．设切点为，连接，则．设，则， ，……………………………7分在中，，所以3cos tan sin OC CM ααα==， ………………8分 在中，，所以3cos 3tan sin 33OC CN παππαα⎛⎫- ⎪⎝⎭==⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，……………9分所以3cos()3cos 3sin sin()3MN CM CN πααπαα-=+=+- 3cos sin()sin cos()33sin sin()3ππααααπαα⎡⎤-+-⎢⎥⎣⎦=-3sinπ= 1sin(2)62πα=+- ． ……………………11分 因为，所以，因此当，即时，有最大值，故有最小值，此时．所以码头与集镇的距离均为km 时，之间的直线航线最短，最短距离为km ． …13分20.解：（Ⅰ）∵CD ＝4105，∴点E (2105，2105)，…………………1分 又∵PQ ＝2105，∴点G (4105，105)，………………………2分 则⎩⎨⎧85a 2＋85b 2＝1，325a 2＋25b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8，b 2＝2， ………………………4分 ∴椭圆方程x 28＋y 22＝1. ………………………5分 （Ⅱ）设直线MA 、MB 的斜率分别为k 1，k 2，只需证明k 1＋k 2＝0即可，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则k 1＝y 1－1x 1－2，k 2＝y 2－1x 2－2，直线l 方程为y ＝12x ＋m ，代入椭圆方程x 28＋y 22＝1消去y ，得x 2＋2mx ＋2m 2－4＝0可得x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m 2－4. ………………………9分而k 1＋k 2＝y 1－1x 1－2＋y 2－1x 2－2＝（y 1－1）（x 2－2）＋（y 2－1）（x 1－2）（x 1－2）（x 2－2）＝（12x 1＋m －1）（x 2－2）＋（12x 2＋m －1）（x 1－2）（x 1－2）（x 2－2）＝x 1x 2＋（m －2）（x 1＋x 2）－4（m －1）（x 1－2）（x 2－2）＝2m 2－4＋（m －2）（－2m ）－4（m －1）（x 1－2）（x 2－2）＝2m 2－4－2m 2＋4m －4m ＋4（x 1－2）（x 2－2）＝0，………………………13分 ∴k 1＋k 2＝0，故直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形. …………14分（Ⅲ） 解法1：222()22ln ln 2F x x ax a x x a =--++分分 令，则，显然在上单调递减，在上单调递增，则，则， …………………………13分故． …………………………14分解法2：222()()()22ln ln 2F x f x g x x ax a x x a =+=--++22()(ln )x a x a =-+- …………………………9分 则表示上一点与直线上一点距离的平方．由得，让，解得，∴直线与的图象相切于点，……………………12分（另解：令，则，可得在上单调递减，在上单调递增，故，则，直线与的图象相切于点），点（1，0）到直线的距离为，…………………………14分。