2018年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案

2018年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案及评分标准

一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）

01．若关于x 的方程244310x mx m +--=有两个相等的实数根，则32

442m m m ++-的值为（ A ）

A ．3-

B ．2-

C ．1-

D ．1

【解答】依题意，2

1616(31)0m m D =++=，∴2310m m ++=，∴2

31m m =--，231m m +=-。

∴3222

442(31)44232123m m m m m m m m m ++-=--++-=+-=--=-。

02．如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为()m n m n <、

。原点O 为AD 的中点，A D E 、、在y 轴上。若二次函数2

y ax =的图像经过C F 、

两点，则n

m

=（ B ） A ．31+ B ．21+ C ．231- D ．221-

【解答】依题意，点C 的坐标为()2m m ，，点F 的坐标为()2

m

n n -+，。

由二次函数2

y ax =的图像经过C F 、两点得22

2()2

m

am m n a n ì=ïïíï+=-ïî，

消去a 得22

20n mn m --=。 ∴2210n n m m

骣-?=琪桫，解得21n m =+（舍负根）。∴21n m =+。 03．如图，G 为ABC △的重心，点D 在CB 延长线上且12BD BC =，直线DG 交AC 于点E ，则AE

AC

=

A ．25

B ．35

C ．37

D ．4

7

（ D ）

M

E G

F

B D

E

G

F

B

【解答】如图，连AG ，并延长交BC 于点F 。

∵G 为ABC △的重心且12BD BC =

，∴F 为BC 中点且21

AG GF =，DB BF FC ==。 过点F 作FM DE ∥，交AC 于点M ，则13CM CF CE CD ==，2

1

AE AG EM GF ==。

设CM k =，则3CE k =，2EM k =，4AE k =，∴7AC k =，44

77AE k AC k ==。

另解：如图，连AG ，并延长交BC 于点F 。∵G 为ABC △的重心且1

2

BD BC =，

∴F 为BC 中点且21AG GF =，DB BF FC ==，∴23FD DC =，2

1

AG GF =。

在AFC △中，由梅涅劳斯定理得1FD CE AG DC EA GF 鬃=，22131CE EA 鬃=，34CE EA =，∴4

7

AE AC =。

（第03题答题图2）

（第03题答题图1）

（第03题图） （第02题图）

04．如图，H O 、分别为ABC △的垂心和外心，45BAC

??，若ABC △的外接圆半径为2，则AH =

A

．

．．4 D

1 （ B ）

【解答】D ，连∵O 为ABC △的外心，∴BD 为O ⊙直径，DC BC ^，DA AB ^。

又∵H 为ABC △的垂心，∴AH BC ^，CH AB ^，∴AH DC ∥，CH DA ∥， ∴四边形AHCD 为平行四边形，AH DC =。 ∵45BAC ?，ABC △外接圆的半径为2， ∴45BDC BAC ??，4BD =，∴AH DC == 05．满足方程22

419151x xy y -+=的整数对()x y ，有（ C ）

A ．0对

B ．2对

C ．4对

D ．6对

【解答】方程2

2

419151x xy y -+=化为2

2

(2)15115x y y A -=-=。依题意，A 为完全平方数。

由2

151150A y =-≥得2

15115y ≤

。结合y 为整数得210y ≤，故2

0149y =，

，，。 当2

0y =时，215115151A y =-=，不是完全平方数。

当2

1y =时，215115136A y =-=，不是完全平方数。

当2

4y =时，2

1511591A y =-=，不是完全平方数。 当2

9y =时，2

2

15115164A y =-==。

∴方程化为22

9

(2)16y x y ìíï-=î

，即23(6)16y x ì=í-=î或23(6)16y x ì=-í+=î ∴364y x ì=í-=î或364y x ì=í-=-î或364y x ì=-í+=î或364y x ì=-í+=-î。 ∴103x y ì=í=î或23x y ì=í=î或23x y ì=-í=-î或103

x y ì=-í=-î。 ∴满足方程的整数对有(103)(23)(23)(103)----，

、，、，、，共4对。 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）

06．已知正整数a b c 、、

满足a b c >>且b c a c a b +++、、是三个连续正整数的平方，则222

a b c ++ 的最小值为 1297 。

【解答】依题意，设2

(1)b c n +=-，则2

a c n +=，2

(1)a b n +=+，其中n 为正整数且1n >。

∴2

2

2

2

2()(1)(1)32a b c n n n n ++=-+++=+，∴n 为偶数且232

2

n a b c +++=。

∴222424222

n n n n n a b c ++-===，，。∴6n ≥且当n 增大时222

a b c ++的值也随之增大。 又6n =时，30196a b c ===，，符合要求。∴222a b c ++的最小值为222

301961297++=。