江苏省盐城市伍佑中学10-11学年度高一下学期期中考试(数学)
2022-2023学年江苏省盐城市盐城一中高一(下)期中数学试卷【答案版】
2022-2023学年江苏省盐城市盐城一中高一（下）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数(1+3i)(2z −z)=10，其中i 是虚数单位，z 是z 的共轭复数，则z ＝（ ） A ．1+iB ．1﹣iC ．﹣1+iD ．﹣1﹣i2．已知向量a →=(1，2)，b →=(1，−1)，c →=(4，5)．若a →与b →−λc →垂直，则实数λ的值为（ ） A ．114B ．−314C ．−114D ．4113．已知cos(α+π6)=17，0＜α＜π，则sin α的值为（ ） A ．3√314B ．5√314C ．1114D ．13144．如图，一个矩形边长为2和4，绕它的长为4的边旋转一周后所得如图的一开口容器（下表面密封），P 是BC 中点，现有一只蚂蚁位于外壁A 处，内壁P 处有一米粒，若这只蚂蚁要先爬到上口边沿再爬到点P 处取得米粒，则它所需经过的最短路程为（ ）A ．√π2+36B ．√4π2+36C ．√π2+16D ．√4π2+15．已知A 、B 、C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，点P 满足OP →=16OB →+16OC →+23OA →，则△ACP 与△BCP 面积比为（ ） A ．5：6B ．1：4C ．2：3D ．1：26．《九章算术》涉及算术、代数、几何等诸多领域，书中有如下问题：“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高二丈，问积几何？”其意思为：“有一个圆台，下底周长为3丈，上底周长为2丈，高为2丈，那么该圆台的体积是多少？”已知1丈等于10尺，圆周率约为3，估算出这个圆台体积约有（ ） A ．434立方尺 B ．52779立方尺 C ．42734立方尺D ．105559立方尺7．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足a 2+c 2+ac ﹣b 2＝0，则−tanBcos 2A2−2√3sinBsin C2cos C2的取值范围为（ ） A ．(34，32)B ．(14，34)C ．(34，1]D ．（√34，3√34）8．已知正方形ABCD 的边长为2，现将△ADC 沿对角线AC 翻折，得到三棱锥D ﹣ABC ．记AC ，BC ，AD 的中点分别为O ，M ，N ，则下列结论错误的是（ ）A ．MN 与平面BOD 所成角的范围是(π4，π2)B ．三棱锥D ﹣ABC 体积的最大值为2√23C ．MN 与AC 所成角的范围是(π4，π2)D ．三棱锥D ﹣ABC 的外接球的表面积为定值二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．9．欧拉公式e xi ＝cos x +i sin x 是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥．依据欧拉公式，下列说法中正确的是（ ） A ．e 2i 对应的点位于第二象限 B ．e πi 为纯虚数 C ．xi √3+i的模长等于14D ．e π3i 的共轭复数为12−√32i 10．已知α，β是两个不重合的平面，m ，n 是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ） A ．若m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，则α⊥β B ．若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥n C ．若m ∥α，m ∥n ，则n ∥αD ．若m ∥n ，α∥β，则m 与α所成的角和n 与β所成的角相等11．《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为α、β，其中小正方形的面积为4，大正方形面积为9，则下列说法正确的是（ ）A ．每一个直角三角形的面积为54B ．3sin β﹣3cos α＝2C ．3sin β﹣3sin α＝2D ．cos(α−β)=5912．在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，BC ＝4，AA 1＝5，动点P 在平面ADD 1A 1内且满足AP →=λAD →+μAA 1→，0≤λ≤1，0≤μ≤1，则（ ）A ．无论λ，μ取何值，三棱锥P ﹣BCC 1的体积为定值30B ．当λ＝0时，BP +PC 1的最小值为√89 C ．当μ＝1时，直线PD 与直线CC 1恒为异面直线 D ．当λ+μ＝1时，BP ∥平面CB 1D 1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．化简√32tan20°−2cos20°= ．14．已知△ABC 是等腰直角三角形，∠A ＝90°，AB ＝AC ＝6，S 是△ABC 外接圆上一点，则SA →⋅(SB →+SC →)的取值范围是 ．15．山西应县木塔（如图1）是世界上现存最古老、最高大的木塔，是中国古建筑中的瑰宝，是世界木结构建筑的典范．如图2，某校数学兴趣小组为测量木塔的高度，在木塔的附近找到一建筑物AB ，高为8√3米，塔顶P 在地面上的射影为D ，在地面上再确定一点C （B ，C ，D 三点共线），测得BC 约为58米，在点A ，C 处测得塔顶P 的仰角分别为30°和60°，则该小组估算的木塔的高度为 米．16．如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，球的半径r ＝4，O 1，O 2分别为圆柱上、下底面的圆心，O 为球心，EF 为底面圆O 1的一条直径，若P 为球面和圆柱侧面的交线上一动点，线段PE 与PF 的和为PE +PF ，则PE +PF 的取值范围为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知sin （π﹣α）＝3cos α． （1）若α为锐角，求cos(α+π3)的值； （2）求tan(2α−π4)的值． 18．（12分）已知复数z =√2+√2i2．（1）若复数(√2z −m)2−2m 在复平面内对应的点在第二象限，求实数m 的取值范围；（2）若z 2，√2z +z 2在复平面（O 为坐标原点）内对应的点分别为B ，C ．求向量OB →在向量OC →上的投影向量n →的坐标．19．（12分）如图，在△ABC 中，AC ＝6，BC ＝2，∠ACB ＝60°，点D 为边AB 的中点，BE →=14BC →． （1）求|CD →|；（2）求△AOD 的面积S ．20．（12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2(a−b)c=2sinC−sinB sinA+sinB．（1）求cos A ；（2）若△ABC 的面积为√15，AD 为内角A 的角平分线，交BC 边于点D ，求线段AD 长的最大值． 21．（12分）如图（1），六边形ABCDEF 是由等腰梯形ADEF 和直角梯形ABCD 拼接而成，且∠BAD ＝∠ADC ＝90°，AB ＝AF ＝EF ＝ED ＝2，AD ＝CD ＝4，沿AD 进行翻折，得到的图形如图（2）所示，且∠AEC ＝90°．（1）求二面角C ﹣AE ﹣D 的余弦值； （2）求四棱锥C ﹣ADEF 外接球的体积．22．（12分）在面积为S 的△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2S(sinC sinB +sinAsinC )=(a 2+b 2)sinA ．（1）若△ABC 为锐角三角形，m 是关于x 的方程a 3x ﹣2S （c cos B +b cos C ）＝0的解，求m 的取值范围； （2）若a cos B ＝b cos A 且△ABC 的外接圆的直径为8，E ，F 分别在线段BC ，CA 上运动（包括端点），D 为边AB 的中点，且DE ⊥DF ，△DEF 的面积为S 1，令54√3DE 2+54√3DF 2+S 1=p ．求p 的最小值．2022-2023学年江苏省盐城市盐城一中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数(1+3i)(2z −z)=10，其中i 是虚数单位，z 是z 的共轭复数，则z ＝（ ） A ．1+iB ．1﹣iC ．﹣1+iD ．﹣1﹣i解：设z ＝a +bi （a ，b ∈R ），则z =a −bi ，(1+3i)(2z −z)=10⇔(1+3i)(a −3bi)=10⇔(a +9b)+(3a −3b)i =10⇒{a +9b =103a −3b =0⇒{a =1b =1，则z ＝a +bi ＝1+i ．故选：A ．2．已知向量a →=(1，2)，b →=(1，−1)，c →=(4，5)．若a →与b →−λc →垂直，则实数λ的值为（ ） A ．114B ．−314C ．−114D ．411解：∵b →=(1，−1)，c →=(4，5)，∴b →−λc →=（1，﹣1）﹣（4λ，5λ）＝（1﹣4λ，﹣1﹣5λ）， 又a →=(1，2)，且a →与b →−λc →垂直，∴1×（1﹣4λ）+2×（﹣1﹣5λ）＝0，即λ=−114． 故选：C ．3．已知cos(α+π6)=17，0＜α＜π，则sin α的值为（ ） A ．3√314B ．5√314C ．1114D ．1314解：因为cos(α+π6)=17＞0，0＜α＜π， 所以π6＜α+π6＜7π6，可得π6＜α+π6＜π2， 所以sin （α+π6）=√1−cos 2(α+π6)=4√37，则sin α＝sin[（α+π6）−π6]＝sin （α+π6）cos π6−cos （α+π6）sinπ6=4√37×√32−17×12=1114． 故选：C ．4．如图，一个矩形边长为2和4，绕它的长为4的边旋转一周后所得如图的一开口容器（下表面密封），P 是BC 中点，现有一只蚂蚁位于外壁A 处，内壁P 处有一米粒，若这只蚂蚁要先爬到上口边沿再爬到点P 处取得米粒，则它所需经过的最短路程为（ ）A ．√π2+36B ．√4π2+36C ．√π2+16D ．√4π2+1解：根据题意，将圆柱的侧面展开后得矩形ABCD ，其中AB =12×（2π×2）＝2π，AD ＝4， 原问题等价于在CD 上找一点Q ，使AQ +PQ 最短，作P 关于CD 的对称点E ，连接AE ，令AE 与CD 交于点Q ， 则得AQ +PQ 的最小值就是AE ，由于AB ＝2π，BE ＝BC +CE ＝6，则AE =√4π2+36． 故选：B ．5．已知A 、B 、C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，点P 满足OP →=16OB →+16OC →+23OA →，则△ACP 与△BCP 面积比为（ ） A ．5：6 B ．1：4C ．2：3D ．1：2解：如图，∵O 是△ABC 的重心，∴OA →+OB →+OC →=0→，∴OB →+OC →=−OA →，∵OP →=16OB →+16OC →+23OA →，∴6OP →=OB →+OC →+4OA →，∴6OP →=3OA →，即2OP →=OA →， ∴点P 为OA 的中点，即点P ，O 为BC 边中线AD 的两个三等分点， ∴S △ACP =13S △ACD =16S △ABC ，S △BCP =23S △ABC ， ∴S △ACP S △BCP=16×32=14．故选：B ．6．《九章算术》涉及算术、代数、几何等诸多领域，书中有如下问题：“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高二丈，问积几何？”其意思为：“有一个圆台，下底周长为3丈，上底周长为2丈，高为2丈，那么该圆台的体积是多少？”已知1丈等于10尺，圆周率约为3，估算出这个圆台体积约有（ ） A ．434立方尺 B ．52779立方尺 C ．42734立方尺D ．105559立方尺解：由已知，下底半径为5尺，上底半径为103尺，若S 1，S 2分别为上下底面面积，则圆台的体积为：13（S 1+S 2+√S 1S 2）h =13（1009π+25π+√1009×25π2）×20＝105559立方尺． 故选：D ．7．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足a 2+c 2+ac ﹣b 2＝0，则−tanBcos 2A2−2√3sinBsin C2cos C 2的取值范围为（ ） A ．(34，32)B ．(14，34)C ．(34，1]D ．（√34，3√34） 解：因为a 2+c 2+ac ﹣b 2＝0，所以cos B =a 2+c 2−b 22ac =−12， 由B 为三角形内角可得B ＝120°， 则−tanBcos 2A 2−2√3sinBsin C 2cos C2=√3cos 2A 2−2√3×√32sin C 2cos C 2=√3×1+cosA 2−32sin C=√32+√32cos A −32sin （60°﹣A ）=√32+√32cos A −32（√32cos A −12sin A ）=−√34cos A +34sin A +√32=√32sin （A ﹣30°）+√32，由0°＜A ＜60°，所以﹣30°＜A ﹣30°＜30°， 所以−12＜sin(A −30°)＜12，故√34＜√32sin （A ﹣30°）+√32＜3√34． 故选：D ．8．已知正方形ABCD 的边长为2，现将△ADC 沿对角线AC 翻折，得到三棱锥D ﹣ABC ．记AC ，BC ，AD 的中点分别为O ，M ，N ，则下列结论错误的是（ ）A ．MN 与平面BOD 所成角的范围是(π4，π2) B ．三棱锥D ﹣ABC 体积的最大值为2√23C ．MN 与AC 所成角的范围是(π4，π2)D ．三棱锥D ﹣ABC 的外接球的表面积为定值解：对于A 中，取AB ，AO 的中点E ，F ，分别连接ME ，EF ，NF ，NE ，因为E ，F ，N 分别为AB ，AO ，AD 中点，可得EF ∥BO ，NF ∥DO ， 因为EF ⊄平面BOD ，BO ⊂平面BOD ，所以EF ∥平面BOD ， 同理可证NF ∥平面BOD ， 又EF ∩NF ＝F ，所以平面NEF ∥平面BOD ，又因为AC ⊥平面BOD ，所以AC ⊥平面NEF ， 因为AC ∥ME ，所以ME ⊥平面NEF ，所以∠MNE 即为直线MN 与平面NEF 所成的角， 在折叠过程中，设BD 的长度为a ，则a ∈（0，2√2）， 由E ，N 为AD ，AB 的中点，所以NE =12BD ，在直角△MNE 中，可得tan ∠MNE =ME NE =12AC 12BD =AC BD =2√2a＞1，所以∠MNE 的取值范围为（π4，π2），即MN 与平面BOD 所成的角的范围为 （π4，π2），所以A 正确；对于B 中，当平面ACD ⊥平面ABC 时，D 到平面ABC 的距离最大， 即三棱锥D ﹣ABC 高的最大值为h ＝DO =√2， 此时三棱锥D ﹣ABC 的最大体积为V =13S △ABC •h =13×12×2×2×√2=2√23，所以B 正确； 对于C 中，因为ME ∥AC ，所以∠EMN 为异面直线MN 与AC 所成的角，所以tan ∠EMN =NE ME =12BD 12AC =BD AC =a221，所以∠EMN 的取值范围为（0，π4），所以MN 与AC 所成角的范围是（0，π4），所以C 不正确；对于D 中，由OA ＝OB ＝OC ＝OD =√2，所以三棱锥D ﹣ABC 外接球的球心为O ， 即外接球的半径R =√2，所以三棱锥D ﹣ABC 外接球的表面积为S ＝4πR 2＝8π（定值），所以D 正确． 故选：C ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．9．欧拉公式e xi ＝cos x +i sin x 是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥．依据欧拉公式，下列说法中正确的是（ ） A ．e 2i 对应的点位于第二象限 B ．e πi 为纯虚数 C ．xi √3+i的模长等于14D ．e π3i 的共轭复数为12−√32i 解：对于A ，由题意知e 2i ＝cos2+i sin2，则其对应的点为（cos2，sin2），且cos2＜0，sin2＞0， 所以e 2i 对应的点位于第二象限，选项A 正确；对于B ，由题意知e πi ＝cos π+i sin π＝﹣1为实数，选项B 错误；对于C ，xi√3+i =cosx+isinx2(cos π6+isin π6)=12[cos （x −π6）+i sin （x −π6）]，所以xi √3+i的模长为12，选项C 错误； 对于D ，由题意知e π3i=cos π3+i sin π3=12+√32i ，所以e π3i的共轭复数为12−√32i ，选项D 正确．故选：AD ．10．已知α，β是两个不重合的平面，m ，n 是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ） A ．若m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，则α⊥β B ．若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥n C ．若m ∥α，m ∥n ，则n ∥αD ．若m ∥n ，α∥β，则m 与α所成的角和n 与β所成的角相等解：若m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，可得α∥β，或α，β相交，故A 错误； 若m ⊥α，n ∥α，由线面平行和线面垂直的性质可得m ⊥n ，故B 正确； 若m ∥α，m ∥n ，则n 可以在α内，故C 错误；由m ∥n ，α∥β，由线面角的定义和面面平行的性质，可得m 与α所成的角和n 与β所成的角相等，故D 正确． 故选：BD ．11．《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为α、β，其中小正方形的面积为4，大正方形面积为9，则下列说法正确的是（ ）A ．每一个直角三角形的面积为54B ．3sin β﹣3cos α＝2C ．3sin β﹣3sin α＝2D ．cos(α−β)=59解：四个直角三角形全等，大正方形的面积为9，小正方形的面积为4， ∴每一个直角三角形的面积为54，A 正确；cos α＝sin β，∴3sin β﹣3cos α＝3sin β﹣3sin β＝0，故B 错误； cos α﹣sin α=23，sin β﹣cos β=23，且cos α＝sin β，sin α＝cos β，∴（cos α﹣sin α）（sin β﹣cos β）＝cos αsin β﹣cos αcos β﹣sin αsin β+sin αcos β＝sin 2β+cos 2β﹣cos （α﹣β）＝1﹣cos （α﹣β）=49，∴cos （α﹣β）=59，故D 正确； 3sin β﹣3sin α＝3sin β﹣3cos β＝3×23=2，C 正确． 故选：ACD ．12．在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，BC ＝4，AA 1＝5，动点P 在平面ADD 1A 1内且满足AP →=λAD →+μAA 1→，0≤λ≤1，0≤μ≤1，则（ ）A ．无论λ，μ取何值，三棱锥P ﹣BCC 1的体积为定值30B ．当λ＝0时，BP +PC 1的最小值为√89C ．当μ＝1时，直线PD 与直线CC 1恒为异面直线 D ．当λ+μ＝1时，BP ∥平面CB 1D 1解：由ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1为长方体，动点P 在平面ADD 1A 1内，点P 到平面BCC 1的距离恒为3，S △BCC 1=10，V P−BCC 1=13S △BCC 1•3＝10，故选项A 不正确；当λ＝0时，点P 在线段AA 1上，将矩形ABB 1A 1和矩形ACC 1A 1沿AA 1展开为矩形BCC 1B 1， 则BP +PC 1≥BC 1=√BB 12+B 1C 12=√89，故选项B 正确；当μ＝1时，由AP →=λAD →+μAA 1→，得AP →=λAD →+AA 1→，由0≤λ≤1， 故点P 在A 1D 1上，当λ＝1时，动点P 运动到点D 处时，由DD 1∥CC 1，即PD ∥CC 1，则此时的直线PD 与直线CC 1共面，故选项C 错误；当λ+μ＝1时，由AP →=λAD →+μAA 1→得动点P 在线段DA 1上， 连接BD ，DA 1，A 1B ，CD 1，BC ，B 1D 1，BD ∥B 1D 1，B 1D 1⊂平面CB 1D 1，BD ⊄平面CB 1D 1，则BD ∥平面CB 1D 1，同理DA 1∥平面CB 1D 1，BD ∩DA 1＝D ，则平面BDA 1∥平面CB 1D 1， BP ⊂平面BDA 1，故BP ∥平面CB 1D 1，选项D 正确．故选：BD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．化简√32tan20°−2cos20°= 12．解：√32tan20°−2cos20°=√32sin20°cos20°−2cos20°=√3cos20°2sin20°−2cos20°=√3cos20°−4sin20°cos20°2sin20°=√3cos20°−2sin40°2sin20°=√3cos20°−2sin(60°−20°)2sin20°=√3cos20°−2(√32cos20°−12sin20°)2sin20°=sin20°2sin20°=12．故答案为：12．14．已知△ABC 是等腰直角三角形，∠A ＝90°，AB ＝AC ＝6，S 是△ABC 外接圆上一点，则SA →⋅(SB →+SC →)的取值范围是 [0，72] ．解：已知△ABC 是等腰直角三角形，∠A ＝90°，AB ＝AC ＝6， 则BC =6√2，以△ABC 外接圆的圆心O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则A （﹣3，﹣3），设S(3√2cosθ，3√2sinθ)，θ∈[0，2π]，则SA →⋅(SB →+SC →)=2SA →⋅SO →=(−6√2cosθ，−6√2sinθ)⋅(−3−3√2cosθ，−3−3√2sinθ) =18√2(cosθ+sinθ)+36 =36cos(θ+π4)+36， 又θ∈[0，2π]，则sin(θ+π4)∈[−1，1]，则SA →⋅(SB →+SC →)∈[0，72]． 故答案为：[0，72]．15．山西应县木塔（如图1）是世界上现存最古老、最高大的木塔，是中国古建筑中的瑰宝，是世界木结构建筑的典范．如图2，某校数学兴趣小组为测量木塔的高度，在木塔的附近找到一建筑物AB ，高为8√3米，塔顶P 在地面上的射影为D ，在地面上再确定一点C （B ，C ，D 三点共线），测得BC 约为58米，在点A ，C 处测得塔顶P 的仰角分别为30°和60°，则该小组估算的木塔的高度为 41√3米．解：过点A 作AE ⊥PD 于点E ，如图所示：由题意得∠PCD ＝60°，∠P AE ＝30°，DE ＝AB ＝8√3米，BC ＝58米， 设CD ＝x 米，则PD =√3x 米，PE ＝（√3x ﹣8√3）米，在Rt △AEP 中，AE =√3PE ，则58+x =√3（√3x ﹣8√3），解得x ＝41， 在Rt △PCD 中，则PD =√3CD ＝41√3米．故答案为：41√3米．16．如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，球的半径r＝4，O1，O2分别为圆柱上、下底面的圆心，O为球心，EF为底面圆O1的一条直径，若P为球面和圆柱侧面的交线上一动点，线段PE与PF的和为PE+PF，则PE+PF的取值范围为[4+4√5，8√3]．解：由题可知点P在过球心与圆柱的底面平行的截面圆上，设P在底面的射影为P'，则PP′＝4，PE=√42+P′E2，PF=√42+P′F2，由勾股定理可得P'E2+P'F2＝64，令P'F2＝32﹣t，则P'E2＝32+t，其中﹣32≤t≤32，∴PE+PF=√48−t+√48+t，∴（PE+PF）2＝96+2√482−t2∈[96+32√5，192]，∴PE+PF∈[4+4√5，8√3]，∴PE+PF的取值范围为[4+4√5，8√3]．故答案为：[4+4√5，8√3]．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知sin（π﹣α）＝3cosα．（1）若α为锐角，求cos(α+π3)的值；（2）求tan(2α−π4)的值．解：（1）∵sin（π﹣α）＝sinα＝3cosα，sin2α+cos2α＝1，∴cos2α=110，又α为锐角，∴cos α=√1010，sin α=3√1010，∴cos(α+π3)=cos αcos π3−sin αsin π3=12×√1010−√32×3√1010=√10−3√3020．（2）由（1）知sin α＝3cos α，即tan α＝3， ∴tan2α=2tanα1−tan 2α=2×31−9=−34， ∴tan(2α−π4)=tan2α−11+tan2α=−1−341−34=−7．18．（12分）已知复数z =√2+√2i2．（1）若复数(√2z −m)2−2m 在复平面内对应的点在第二象限，求实数m 的取值范围；（2）若z 2，√2z +z 2在复平面（O 为坐标原点）内对应的点分别为B ，C ．求向量OB →在向量OC →上的投影向量n →的坐标． （1）因为z =√2+√2i2，所以(√2z −m)2−2m =(1−m +i)2−2m =(m 2−4m)+2(1−m)i ．因为复数(√2z −m)2−2m 在复平面内对应的点（m 2﹣4m ，2（1﹣m ））在第二象限， 所以{m 2−4m ＜02(1−m)＞0，解得0＜m ＜1，故实数m 的取值范围是（0，1）； （2）z =√2+√2i2，则z 2=(√2+√2i 2)2=2(1+2i−1)4=i ，√2z +z 2=1+2i ， z 2，√2z +z 2在复平面（O 为坐标原点）内对应的点分别为B ，C ， 则点B （0，1），C （1，2）， OB →=(0，1)，OC →=(1，2)， 故n →=OB →⋅OC →|OC →|2⋅OC →=（25，45）．19．（12分）如图，在△ABC 中，AC ＝6，BC ＝2，∠ACB ＝60°，点D 为边AB 的中点，BE →=14BC →．（1）求|CD →|；（2）求△AOD 的面积S ．解：（1）△ABC 中，点D 为边AB 的中点，所以CD →=12（CA →+CB →），又因为AC ＝6，BC ＝2，∠ACB ＝60°，所以CD →2=14（CA →2+2CA →•CB →+CB →2）=14×（36+2×6×2×cos60°+4）＝13， 所以|CD →|=√13．（2）△ABC 中，BE →=14BC →，所以CE →=34CB →，因为点O 在AE 上，所以EO →=λEA →，λ∈R ， 所以CO →−CE →=λ（CA →−CE →），设CO →=μCD →，则CO →=λCA →+（1﹣λ）CE →=λCA →+3(1−λ)4CB →，又CO →=μCD →=12μCA →+12μCB →，且CA →，CB →不共线， 所以{λ=12μ3(1−λ)4=12μ，解得λ=37，μ=67，所以CO →=67CD →，所以△AOD 的面积为S △AOD =17×12S △ABC =114×12×6×2×sin60°=3√314． 20．（12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2(a−b)c=2sinC−sinB sinA+sinB．（1）求cos A ；（2）若△ABC 的面积为√15，AD 为内角A 的角平分线，交BC 边于点D ，求线段AD 长的最大值． 解：（1）因为2(a−b)c=2sinC−sinB sinA+sinB ，所以由正弦定理，得2(a−b)c=2c−b a+b，即c 2+b 2−a 2=12bc ，故cosA =c 2+b 2−a 22bc=12bc 2bc =14．（2）由（1）知，sinA =√1−(14)2=√154， 又△ABC 的面积为√15， 则12bcsinA =√15，可得bc ＝8，又因为∠BAD=∠CAD=A2，cosA=14，所以sin2∠BAD=sin2∠CAD=1−cosA2=38，sin∠BAD=sin∠CAD=√64，于是S△ABC=12b⋅AD⋅sin∠CAD+12c⋅AD⋅sin∠BAD=√15，那么AD⋅(12⋅b⋅√64+12⋅c⋅√64)=√15，所以AD=4√10b+c≤4√102bc=√5（当且仅当b=c=2√2时等号成立），故AD的最大值为√5．21．（12分）如图（1），六边形ABCDEF是由等腰梯形ADEF和直角梯形ABCD拼接而成，且∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AF＝EF＝ED＝2，AD＝CD＝4，沿AD进行翻折，得到的图形如图（2）所示，且∠AEC＝90°．（1）求二面角C﹣AE﹣D的余弦值；（2）求四棱锥C﹣ADEF外接球的体积．解：（1）六边形ABCDEF是由等腰梯形ADEF和直角梯形ABCD拼接而成，且∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AF＝EF＝ED＝2，AD＝CD＝4，沿AD进行翻折，得到的图形立体图形，且∠AEC＝90°．在等腰梯形ADEF中，作EM⊥AD于M，则DM=AD−EF2=1，AM=3，EM=√3，∴AE =√3+9=2√3．连接AC ，则AC =4√2，∵∠AEC ＝90，∴EC =2√5，∴ED 2+DC 2＝EC 2，∴CD ⊥ED ； ∵CD ⊥AD ，AD ∩ED ＝D ，∴CD ⊥平面ADEF ．又AE ⊂面ADEF ， ∴CD ⊥AE ，又CE ⊥AE ，CE ∩CD ＝C ，∴AE ⊥面CDE ，∴AE ⊥DE ，又AE ⊥CE ， ∴∠CED 就是二面角C ﹣AE ﹣D 的平面角， 在Rt △CDE 中，cos ∠CDE =DE CE =225=√55， 所以二面角C ﹣AE ﹣D 的余弦值为√55． （2）取AD 的中点O 1，连接O 1E ，O 1F ，EF ＝2，AD ＝4，EF ∥AD ，所以四边形O 1DEF 、O 1AFE 均为平行四边形，所以O 1D ＝O 1A ＝O 1E ＝O 1F ＝2，所以O 1为等腰梯形ADEF 的外心， 取AC 的中点O ，连接OA ，OD ，OE ，OO 1，OO 1∥CD ，∵CD ⊥平面ADEF ．∴O 1O ⊥平面ADEF ．可得OC =OA =OD =OE =OF =2√2， 所以O 为四棱锥C ﹣ADEF 外接球的球心， 所以V =43π(2√2)3=64√23π． 22．（12分）在面积为S 的△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2S(sinC sinB +sinAsinC)=(a 2+b 2)sinA ．（1）若△ABC 为锐角三角形，m 是关于x 的方程a 3x ﹣2S （c cos B +b cos C ）＝0的解，求m 的取值范围； （2）若a cos B ＝b cos A 且△ABC 的外接圆的直径为8，E ，F 分别在线段BC ，CA 上运动（包括端点），D 为边AB 的中点，且DE ⊥DF ，△DEF 的面积为S 1，令54√3DE 2+54√3DF 2+S 1=p ．求p 的最小值． 解：（1）在△ABC 中，可得S =12bcsinA ， ∵2S(sinC sinB +sinAsinC )=(a 2+b 2)sinA ．结合正弦定理得：2×12bcsinA(c b +ac )=(a 2+b 2)sinA ， 化简可得：a 2+b 2﹣c 2＝ab ，∴cos C =12，又0＜C ＜π，∴C =π3．∵△ABC 为锐角三角形，∴A ∈（0，π2），B ＝π﹣A −π3，B ∈（0，π2），∴A ∈（π6，π2），∴m =2S(ccosB+bcosC)a 3=2S a 2⋅sinA sinA=bsinC a =√32sin(A+π3)sinA =√34（1+√3tanA ），∵tan A ∈（√33，+∞），∴1tanA∈(0，√3)， ∴m 的取值范围为（√34，√3）． （2）由a cos B ＝b cos A ，结合正弦定理可得sin （A ﹣B ）＝0， ∵﹣π＜A ﹣B ＜π，∴A ＝B ，由（1）可知C =π3， ∴△ABC 为正三角形，∴a ＝b ＝c ＝2R sin π3=4√3，设∠BDE ＝θ，0°≤θ≤90°． 在△BDE 和△ADF 中，可得DE sin60°=BD sin(120°−θ)，DF sin60°=AD sin(30°+θ)，化简得DE =3sin(60°+θ)，DF =3sin(30°+θ)． S 1=12DE ⋅DF =92sin(60°+θ)sin(30°+θ)，因为sin （60°+θ）sin （30°+θ）=(√32cosθ+12sinθ)(12cosθ+√32sinθ)=12sin2θ+√34，p =54√3DE 2+54√3PF 2+S 1＝6√3[sin 2（60°+θ）+sin 2（30°+θ）]+92•12sin2θ+√34＝6√3（1−cos(120°+2θ)2+1−cos(60°+2θ)2）+92•12sin2θ+√34＝6√3（1+√32sin2θ）+92•12sin2θ+√34=18（12si 2θ+√34）+92•12sin2θ+√34+3√32≥2√18(12sin2θ+√34)×92×112sin2θ+343√32≥18++3√32， 当且仅当sin2θ=1−√32时，等号成立．∴p 的最小值为18+3√32．。
江苏省盐城中学数学高一下期中经典测试卷(含答案解析)
一、选择题1．(0分)[ID ：12425]设曲线31x y x +=-在点25（，）处的切线与直线10ax y +-=平行，则a=（ ） A ．-4 B ．14- C ．14D ．4 2．(0分)[ID ：12407]下列命题正确的是（ ）A ．经过三点确定一个平面B ．经过一条直线和一个点确定一个平面C ．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面D ．四边形确定一个平面3．(0分)[ID ：12382]已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SC 为球O 的直径，且SC OA ⊥，SC OB ⊥，OAB 为等边三角形，三棱锥S ABC -的体积为433，则球O 的半径为( ) A ．3 B ．1 C ．2 D ．44．(0分)[ID ：12379]已知点(),P x y 是直线()400kx y k ++=>上一动点，,PA PB 是圆22:20C x y y +-=的两条切线，切点分别为,A B ，若四边形PACB 的面积最小值为2，则k 的值为（ ）A ．3B ．212C ．22D ．25．(0分)[ID ：12357]如图是水平放置的平面图形的斜二测直观图，其原来平面图形面积是（ ）A ． 22B ． 42C ．4D ．86．(0分)[ID ：12331]矩形ABCD 中，4AB =，3BC =，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --，则四面体ABCD 的外接球的体积是（ ）A ．12512πB ．1259πC ．1256πD ．1253π 7．(0分)[ID ：12389]在长方体1111ABCD A B C D -中，11111,2AA A D a A B a ===，点P 在线段1AD 上运动，当异面直线CP 与1BA 所成的角最大时，则三棱锥11C PA D -的体积为（ ）A ．34aB ．33aC ．32aD ．3a 3a 8．(0分)[ID ：12387]α，β为两个不同的平面，m ，n 为两条不同的直线，下列命题中正确的是（ ） ①若α//β，m ⊂α，则m//β； ②若m//α，n ⊂α，则m//n ；③若α⊥β，α∩β=n ，m ⊥n ，则m ⊥β ④若n ⊥α，n ⊥β，m ⊥α，则m ⊥β. A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④9．(0分)[ID ：12384]若圆22240x y x y +--=的圆心到直线0x y a -+=的距离为22，则a 的值为( ) A ．-2或2 B ．12或32 C ．2或0 D ．-2或010．(0分)[ID ：12359]若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是( )．A ．130B ．140C ．150D ．16011．(0分)[ID ：12419]陀螺是汉族民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗，北方叫做“打老牛”.陀螺的主体形状一般是由上面部分的圆柱和下面部分的圆锥组成.如图画出的是某陀螺模型的三视图，已知网格纸中小正方形的边长为1，则该陀螺模型的体积为（ ）A ．1073π B ．32453π+ C ．16323π+ D ．32333π+ 12．(0分)[ID ：12337]若圆的参数方程为12cos ,32sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数），直线的参数方程为21,61x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数），则直线与圆的位置关系是（ ） A ．相交且过圆心 B ．相交但不过圆心 C ．相切 D ．相离13．(0分)[ID ：12361]如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E 、F ，且EF=12．则下列结论中正确的个数为①AC ⊥BE ；②EF ∥平面ABCD ；③三棱锥A ﹣BEF 的体积为定值；④AEF ∆的面积与BEF ∆的面积相等，A ．4B ．3C ．2D ．114．(0分)[ID ：12362]如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：①BM 与ED 平行 ②CN 与BE 是异面直线③CN 与BM 成60︒角 ④DM 与BN 是异面直线 以上四个命题中，正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．415．(0分)[ID ：12360]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实（虚）线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）A ．64B ．643C ．16D ．163二、填空题16．(0分)[ID ：12493]设P ，A ，B ，C 是球O 表面上的四个点，PA ，PB ，PC 两两垂直，且1PA PB PC ===，则球O 的表面积为____________.17．(0分)[ID ：12492]已知平面α与正方体的12条棱所成角相等，设所成角为θ，则sin θ=______.18．(0分)[ID ：12463]已知圆22:20(0)M x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是22，则圆M 与圆22:(1)(1)1N x y -+-=的位置关系是_________．19．(0分)[ID ：12462]若一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方形，则此圆柱的体积为 .20．(0分)[ID ：12510]若圆的方程为2223()(1)124k x y k +++=-，则当圆的面积最大时，圆心坐标和半径分别为 、 ．21．(0分)[ID ：12500]如图，AB 是底面圆O 的直径,点C 是圆O 上异于A 、B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面，且1,2PO OB BC ===，点E 在线段PB 上，则CE OE +的最小值为________.22．(0分)[ID ：12431]已知棱长等于31111ABCD A B C D -，它的外接球的球心为O ﹐点E 是AB 的中点，则过点E 的平面截球O 的截面面积的最小值为________.23．(0分)[ID ：12439]三棱锥A BCD -中，E 是AC 的中点，F 在AD 上，且2AF FD =，若三棱锥A BEF -的体积是2，则四棱锥B ECDF -的体积为_______________．24．(0分)[ID ：12433]已知点(,)P x y 是直线4(0)y kx k =-->上的一个动点，PA ，PB 是圆22:20C x y y +-=的两条切线，A ，B 是切点，若四边形PACB 的面积的最小值为2，则实数k 的值为__________．25．(0分)[ID ：12456]已知四面体ABCD 的外接球球心O 在棱CD 上，3，CD=2，则A 、B 两点在四面体ABCD 的外接球上的球面距离是________.三、解答题26．(0分)[ID ：12588]如图，直角梯形BDFE 中，//,,2EF BD BE BD EF ⊥=腰梯形ABCD 中，//,,24AB CD AC BD AB CD ⊥==，且平面BDFE ⊥平面ABCD ．（1）求证：AC ⊥平面BDFE ；（2）若BF 与平面ABCD 所成角为4π，求二面角B DF C --的余弦值．27．(0分)[ID ：12575]如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ．求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1；（2）BE ⊥C 1E ．28．(0分)[ID ：12561]在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA C C ⊥底面ABC ，112AA AC AC AB BC =====，且点O 为AC 中点.(1)证明：1A O ⊥平面ABC ；(2)求三棱锥1C ABC -的体积.29．(0分)[ID ：12616]如图所示的等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，12AB AD BC CD a ====，E 为CD 中点．若沿AE 将三角形DAE 折起，并连接DB ，DC ，得到如图所示的几何体D-ABCE ，在图中解答以下问题：（1）设G 为AD 中点，求证：//DC 平面GBE ；（2）若平面DAE ⊥平面ABCE ，且F 为AB 中点，求证：DF AC ⊥．30．(0分)[ID ：12536]如图，正方体1111ABCDA B C D 的棱长为2，E F M 、、分别是1111C B C D ，和AB 的中点．（1）求证：1//MD 平面BEFD ．（2）求M 到平面BEFD 的距离．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题1．D2．C3．C4．D5．C6．C7．B8．B9．C10．D11．D12．B13．B14．B15．D二、填空题16．【解析】【分析】利用条件两两垂直且把三棱锥扩展为正方体球的直径即是正方体的体对角线长由球的表面积公式求解【详解】先把三棱锥扩展为正方体则正方体的体对角线的长为所以球的半径为所以球的表面积为【点睛】本17．【解析】【分析】棱与平面所成的角相等所以平面就是与正方体的12条棱的夹角均为θ的平面之一设出棱长即可求出【详解】因为棱与平面所成的角相等所以平面就是与正方体的条棱的夹角均为的平面设棱长为：易知故答案18．相交【解析】【分析】根据直线与圆相交的弦长公式求出的值结合两圆的位置关系进行判断即可【详解】解：圆的标准方程为则圆心为半径圆心到直线的距离圆截直线所得线段的长度是即则圆心为半径圆的圆心为半径则即两个19．2π【解析】试题分析：设圆柱的底面半径为r高为h底面积为S体积为V则有2πr=2⇒r=1π故底面面积S=πr2=π×(1π)2=1π故圆柱的体积V=Sh=1π×2=2π考点：圆柱的体积20．【解析】试题分析：圆的面积最大即半径最大此时所以圆心为半径为1考点：圆的方程21．【解析】【分析】首先求出即有将三棱锥展开当三点共线时值最小可证为中点从而可求从而得解【详解】在中所以同理所以在三棱锥中将侧面绕旋转至平面使之与平面共面如图所示当共线时取得最小值又因为所以垂直平分即为22．【解析】【分析】当过球内一点的截面与垂直时截面面积最小可求截面半径即可求出过点的平面截球的截面面积的最小值【详解】解：棱长等于的正方体它的外接球的半径为3当过点的平面与垂直时截面面积最小故答案为：【23．【解析】【分析】以B为顶点三棱锥与四棱锥等高计算体积只需找到三角形AEF与四边形ECDF的面积关系即可求解【详解】设B到平面ACD的距离为h三角形ACD面积为因为是的中点在上且所以所以又=2所以所以24．【解析】分析：画出图形（如图）根据圆的性质可得然后可将问题转化为切线长最小的问题进而转化为圆心到直线距离的最小值的问题处理详解：根据题意画出图形如下图所示由题意得圆的圆心半径是由圆的性质可得四边形的25．【解析】【分析】根据球心到四个顶点距离相等可推断出O为CD的中点且OA＝OB＝OC＝OD进而在△A0B中利用余弦定理求得cos∠AOB的值则∠AOB可求进而根据弧长的计算方法求得答案【详解】解：球心三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．D解析：D【解析】【分析】x 时的导数，再由两直线平行与斜率的关系求得a 求出原函数的导函数，得到函数在2值．【详解】 解：由31x y x +=-，得()()2213411x x y x x ---=---'=， ∴2'|4x y ==-， 又曲线31x y x +=-在点25（，）处的切线与直线10ax y +-=平行， ∴4a -=-，即4a =．故选D ．【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查两直线平行与斜率的关系，是中档题．2．C解析：C【解析】【分析】根据确定一个平面的公理及推论即可选出.【详解】A 选项，根据平面基本性质知，不共线的三点确定一个平面，故错误；B 选项，根据平面基本性质公理一的推论，直线和直线外一点确定一个平面，故错误；C 选项，根据公理一可知，不共线的三点确定一个平面，而两两相交且不共点的三条直线，在三个不共线的交点确定的唯一平面内，所以两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，正确；选项D,空间四边形不能确定一个平面，故错误；综上知选C.【点睛】本题主要考查了平面的基本性质公理一及其推论，属于中档题.3．C解析：C【解析】【分析】根据题意作出图形，欲求球的半径r ．利用截面的性质即可得到三棱锥S ABC -的体积可看成是两个小三棱锥S ABO -和C ABO -的体积和，即可计算出三棱锥的体积，从而建立关于r 的方程，即可求出r ，从而解决问题．【详解】解：根据题意作出图形：设球心为O ，球的半径r ．SC OA ⊥，SC OB ⊥，SC ∴⊥平面AOB ，三棱锥S ABC -的体积可看成是两个小三棱锥S ABO -和C ABO -的体积和．234312343S ABC S ABO C ABO V V V r r ---∴=+=⨯⨯⨯⨯=三棱锥三棱锥三棱锥， 2r ∴=．故选：C ．【点睛】本题考查棱锥的体积，考查球内接多面体，解题的关键是确定将三棱锥S ABC -的体积看成是两个小三棱锥S ABO -和C ABO -的体积和，属于中档题．4．D解析：D【解析】【分析】当且仅当PC 垂直于()400kx y k ++=>时，四边形PACB 的面积最小，求出PC 后可得最小面积，从而可求k 的值. 【详解】圆C 方程为()2211x y +-=，圆心()0,1C ，半径为1． 因为PA ，PB 为切线，221PC PA ∴=+且1=2122PACB S PA PA ⨯⨯⨯==四边形． ∴当PA 最小时，PACB S 四边形最小，此时PC 最小且PC 垂直于()400kx y k ++=>．又min 21PC k =+，222221+1k ⎛⎫∴=+，2k ∴=，故选D. 【点睛】圆中的最值问题，往往可以转化圆心到几何对象的距离的最值来处理，这类问题属于中档题. 5．C解析：C【解析】分析：由三视图还原实物图,再根据三角形面积公式求解.详解：在斜二测直观图中OB=2,OA=2, 所以在平面图形中OB=2,OA=4， OA ⊥OB ， 所以面积为12442S =⨯⨯=. 选C.点睛： 1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图． 2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．6．C解析：C 【解析】 【分析】由矩形的对角线互相平分且相等即球心到四个顶点的距离相等推出球心为AC 的中点，即可求出球的半径，代入体积公式即可得解. 【详解】因为矩形对角线互相平分且相等，根据外接球性质易知外接球球心到四个顶点的距离相等，所以球心在对角线AC 上，且球的半径为AC 长度的一半，即22115222r AC AB BC ==+=，所以334451253326V r πππ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭.故选：C 【点睛】本题考查球与几何体的切、接问题，二面角的概念，属于基础题.7．B解析：B 【解析】 【分析】当P 与A 重合时，异面直线CP 与BA 1所成的角最大，由此能求出当异面直线CP 与BA 1所成的角最大时，三棱锥C ﹣PA 1D 1的体积． 【详解】如图，当P 与A 重合时，异面直线CP 与BA 1所成的角最大， ∴当异面直线CP 与BA 1所成的角最大时， 三棱锥C ﹣PA 1D 1的体积：11C PA D V -=11C AA D V -=1113AA D SAB ⨯⨯=1111132AA A D AB ⎛⎫⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭=11232a a a ⎛⎫⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭=33a ． 故选:B ． 【点睛】求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法. ①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．②等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．8．B解析：B 【解析】 【分析】在①中，由面面平行的性质定理得m ∥β；在②中，m 与n 平行或异面；在③中，m 与β相交、平行或m ⊂β；在④中，由n ⊥α，m ⊥α，得m ∥n ，由n ⊥β，得m ⊥β． 【详解】由α，β为两个不同的平面，m ，n 为两条不同的直线，知：在①中，若α∥β，m ⊂α，则由面面平行的性质定理得m ∥β，故①正确； 在②中，若m ∥α，n ⊂α，则m 与n 平行或异面，故②错误；在③中，若α⊥β，α∩β＝n ，m ⊥n ，则m 与β相交、平行或m ⊂β，故③错误； 在④中，若n ⊥α，m ⊥α，则m ∥n ， 由n ⊥β，得m ⊥β，故④正确． 故选：B ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力，考查化归与转化思想，是中档题．9．C解析：C 【解析】 【分析】把圆的方程化为标准方程,找出圆心坐标,根据点到直线的距离公式列出关于a 的方程,求出方程的解得到a 的值即可. 【详解】把圆的方程化为标准式为:22(1)(2)5x y -+-=,所以圆心坐标为(1,2).则圆心到直线0x y a -+=的距离d ==, 即11a -=,化简得11a -=或11a -=-,解得:2a =或0a =. 所以a 的值为0或2. 故选C. 【点睛】本题考查学生会将圆的一般式方程化为标准式方程,灵活运用点到直线的距离公式化简求值.10．D解析：D 【解析】设直四棱柱1111ABCD A B C D -中，对角线119,15AC BD ==， 因为1A A ⊥平面,ABCD AC,平面ABCD ，所以1A A AC ⊥，在1Rt A AC ∆中，15A A =，可得AC ==同理可得BD ===，因为四边形ABCD 为菱形，可得,AC BD 互相垂直平分，所以8AB ===，即菱形ABCD 的边长为8， 因此，这个棱柱的侧面积为1()485160S AB BC CD DA AA =+++⨯=⨯⨯=， 故选D.点睛：本题考查了四棱锥的侧面积的计算问题，解答中通过给出的直四棱柱满足的条件，求得底面菱形的边长，进而得出底面菱形的底面周长，即可代入侧面积公式求得侧面积，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及空间想象能力，其中正确认识空间几何体的结构特征和线面位置关系是解答的关键.11．D解析：D 【解析】 【分析】由三视图可知，该陀螺模型是由一个正四棱锥、一个圆柱、一个圆锥组合而成.根据柱体、锥体的体积计算公式即得该陀螺模型的体积. 【详解】由三视图可知，该陀螺模型是由一个正四棱锥、一个圆柱、一个圆锥组合而成. 所以该陀螺模型的体积222113242333233333V πππ=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=+. 故选：D . 【点睛】本题考查三视图，考查学生的空间想象能力，属于基础题.12．B解析：B 【解析】 【分析】根据题意，将圆和直线的参数方程变形为普通方程，分析可得圆心不在直线上，再利用点到直线的距离公式计算可得圆心(1,3)-到直线320y x --=的距离2d <，得到直线与圆的位置关系为相交． 【详解】根据题意，圆的参数方程为1232x cos y sin θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数），则圆的普通方程为22(1)(3)4x y ++-=，其圆心坐标为(1,3)-，半径为2.直线的方程为2161x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数），则直线的普通方程为13(1)y x +=+，即320y x --=，圆心不在直线上.∴圆心(1,3)-到直线320y x --=的距离为33(1)2210219d -⨯--==<+，即直线与圆相交. 故选A.本题考查直线、圆的参数方程，涉及直线与圆的位置关系，解答本题的关键是将直线与圆的参数方程变形为普通方程.13．B解析：B 【解析】试题分析：①中AC ⊥BE ，由题意及图形知，AC ⊥面DD1B1B ，故可得出AC ⊥BE ，此命题正确；②EF ∥平面ABCD ，由正方体ABCD-A1B1C1D1的两个底面平行，EF 在其一面上，故EF 与平面ABCD 无公共点，故有EF ∥平面ABCD ，此命题正确；③三棱锥A-BEF 的体积为定值，由几何体的性质及图形知，三角形BEF 的面积是定值，A 点到面DD1B1B 距离是定值，故可得三棱锥A-BEF 的体积为定值，此命题正确；④由图形可以看出，B 到线段EF 的距离与A 到EF 的距离不相等，故△AEF 的面积与△BEF 的面积相等不正确 考点：1．正方体的结构特点；2．空间线面垂直平行的判定与性质14．B解析：B 【解析】 【分析】把平面展开图还原原几何体，再由棱柱的结构特征及异面直线定义、异面直线所成角逐一核对四个命题得答案． 【详解】把平面展开图还原原几何体如图：由正方体的性质可知，BM 与ED 异面且垂直，故①错误；CN 与BE 平行，故②错误；连接BE ，则BECN ，EBM ∠为CN 与BM 所成角，连接EM ，可知BEM ∆为正三角形，则60EBM ∠=︒，故③正确；由异面直线的定义可知，DM 与BN 是异面直线，故④正确． ∴正确命题的个数是2个． 故选：B ． 【点睛】本题考查棱柱的结构特征，考查异面直线定义及异面直线所成角，是中档题．15．D【解析】根据三视图知几何体是：三棱锥D ABC -为棱长为4的正方体一部分，直观图如图所示：B 是棱的中点，由正方体的性质得，CD ⊥平面,ABC ABC ∆的面积12442S =⨯⨯=，所以该多面体的体积1164433V =⨯⨯=，故选D.二、填空题16．【解析】【分析】利用条件两两垂直且把三棱锥扩展为正方体球的直径即是正方体的体对角线长由球的表面积公式求解【详解】先把三棱锥扩展为正方体则正方体的体对角线的长为所以球的半径为所以球的表面积为【点睛】本解析：3π【解析】 【分析】利用条件PA ，PB ，PC 两两垂直，且1PA PB PC ===把三棱锥P ABC -扩展为正方体，球的直径即是正方体的体对角线长，由球的表面积公式求解． 【详解】先把三棱锥P ABC -3,所以球的半径为3 所以球的表面积为234π3π⨯=⎝⎭．【点睛】本题主要考查了球的体积公式：343V r π=球（其中r 为球的半径）及长方体的体对角线长公式：222l a b c =++,,a b c 分别是长方体的长、宽、高）．17．【解析】【分析】棱与平面所成的角相等所以平面就是与正方体的12条棱的夹角均为θ的平面之一设出棱长即可求出【详解】因为棱与平面所成的角相等所以平面就是与正方体的条棱的夹角均为的平面设棱长为：易知故答案解析：33【解析】 【分析】棱11111,,A A A B A D 与平面11AB D 所成的角相等，所以平面11AB D 就是与正方体的12条棱的夹角均为θ的平面之一，设出棱长，即可求出sin θ. 【详解】因为棱11111,,A A A B A D 与平面11AB D 所成的角相等，所以平面11AB D 就是与正方体的12条棱的夹角均为θ的平面，1A AO θ∠=，设棱长为：1，126,22AO AO ==，易知232sin 36θ==. 3【点睛】本题考查了线面所成的角，解题的关键是作出线面角，属于基础题.18．相交【解析】【分析】根据直线与圆相交的弦长公式求出的值结合两圆的位置关系进行判断即可【详解】解：圆的标准方程为则圆心为半径圆心到直线的距离圆截直线所得线段的长度是即则圆心为半径圆的圆心为半径则即两个解析：相交 【解析】 【分析】根据直线与圆相交的弦长公式，求出a 的值，结合两圆的位置关系进行判断即可． 【详解】解：圆的标准方程为222:()(0)M x y a a a +-=>， 则圆心为(0,)a ，半径R a =， 圆心到直线0x y +=的距离2d =，圆22:20(0)M x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是22∴即24a =，2a =，则圆心为(0,2)M ，半径2R =，圆22:(1)(1)1N x y -+-=的圆心为(1,1)N ，半径1r =，则MN =3R r +=，1R r -=， R r MN R r ∴-<<+，即两个圆相交． 故答案为：相交． 【点睛】本题主要考查直线和圆相交的应用，以及两圆位置关系的判断，根据相交弦长公式求出a 的值是解决本题的关键．19．2π【解析】试题分析：设圆柱的底面半径为r 高为h 底面积为S 体积为V 则有2πr=2⇒r=1π故底面面积S=πr2=π×(1π)2=1π故圆柱的体积V=Sh=1π×2=2π考点：圆柱的体积 解析：2π【解析】试题分析：设圆柱的底面半径为r ，高为h ，底面积为S ，体积为V ，则有2πr =2⇒r =1π，故底面面积S =πr 2=π×(1π)2=1π，故圆柱的体积V =Sh =1π×2=2π. 考点：圆柱的体积20．【解析】试题分析：圆的面积最大即半径最大此时所以圆心为半径为1考点：圆的方程解析：(0,1)-，1 【解析】试题分析：圆的面积最大即半径最大，此时0k =()2211x y ∴++=，所以圆心为(0,1)-半径为1 考点：圆的方程21．【解析】【分析】首先求出即有将三棱锥展开当三点共线时值最小可证为中点从而可求从而得解【详解】在中所以同理所以在三棱锥中将侧面绕旋转至平面使之与平面共面如图所示当共线时取得最小值又因为所以垂直平分即为解析：2【解析】 【分析】首先求出PB PC ==，即有PB PC BC ==，将三棱锥展开，当三点共线时，值最小，可证E 为PB 中点，从而可求OC OE EC ''=+，从而得解． 【详解】在POB 中，1PO OB ==，90POB ∠=︒， 所以22112PB =+=，同理2PC =，所以PB PC BC ==，在三棱锥P ABC -中，将侧面BCP 绕PB 旋转至平面BC P '， 使之与平面ABP 共面，如图所示，当O ，E ，C '共线时，CE OE +取得最小值， 又因为OP OB =，C P C B '='， 所以OC '垂直平分PB ，即E 为PB 中点， 从而2626222OC OE EC ''=+=+= 亦即CE OE +26+ 故答案为262. 【点睛】本题主要考查了空间中线段和最小值问题，考查了空间想象能力、推理论证能力，考查了数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．22．【解析】【分析】当过球内一点的截面与垂直时截面面积最小可求截面半径即可求出过点的平面截球的截面面积的最小值【详解】解：棱长等于的正方体它的外接球的半径为3当过点的平面与垂直时截面面积最小故答案为：【解析：3π. 【解析】 【分析】当过球内一点E 的截面与OE 垂直时，截面面积最小可求截面半径，即可求出过点E 的平面截球O 的截面面积的最小值． 【详解】解：棱长等于231111ABCD A B C D -，它的外接球的半径为3，||6OE = 当过点E 的平面与OE 垂直时，截面面积最小，963r -33S ππ=⨯=， 故答案为：3π． 【点睛】本题考查过点E 的平面截球O 的截面面积的最小值及接体问题，找准量化关系是关键，属于中档题．23．【解析】【分析】以B 为顶点三棱锥与四棱锥等高计算体积只需找到三角形AEF 与四边形ECDF 的面积关系即可求解【详解】设B 到平面ACD 的距离为h 三角形ACD 面积为因为是的中点在上且所以所以又=2所以所以解析：【解析】 【分析】以B 为顶点，三棱锥B AEF -与四棱锥B ECDF -等高，计算体积只需找到三角形AEF 与四边形ECDF 的面积关系即可求解. 【详解】设B 到平面ACD 的距离为h ，三角形ACD 面积为S ，因为E 是AC 的中点，F 在AD上，且2AF FD =，所以16AEF ACD S AE AF S AC AD ∆∆⋅==⋅,16AEF S S ∆=，所以56ECDF S S =，又A BEF V -=2，所以⨯=11236Sh ，36Sh =，所以153610318B ECDF ECDF V S h -==⋅=. 故答案为10. 【点睛】本题考查空间几何体的体积计算，考查空间想象能力和运算能力，属于基础题.24．【解析】分析：画出图形（如图）根据圆的性质可得然后可将问题转化为切线长最小的问题进而转化为圆心到直线距离的最小值的问题处理详解：根据题意画出图形如下图所示由题意得圆的圆心半径是由圆的性质可得四边形的解析：【解析】分析：画出图形（如图），根据圆的性质可得2PBCPACB S S =四边形，然后可将问题转化为切线长最小的问题，进而转化为圆心到直线距离的最小值的问题处理．详解：根据题意画出图形如下图所示．由题意得圆22:20C x y y +-=的圆心()0,1，半径是1r =，由圆的性质可得2PBCPACB S S=四边形，四边形PACB 的最小面积是2，∴PBC S 的最小值112S rd ==（d 是切线长）， ∴2d =最小值，∵圆心到直线的距离就是PC 的最小值，==又0k >，∴2k =．点睛：本题考查圆的性质、切线长定理的运用，解题时注意转化思想方法的运用，结合题意将问题逐步转化为点到直线的距离的问题处理．25．【解析】【分析】根据球心到四个顶点距离相等可推断出O 为CD 的中点且O A ＝OB ＝OC ＝OD 进而在△A0B 中利用余弦定理求得cos ∠AOB 的值则∠AOB 可求进而根据弧长的计算方法求得答案【详解】解：球心 解析：23π 【解析】【分析】根据球心到四个顶点距离相等可推断出O 为CD 的中点，且OA ＝OB ＝OC ＝OD ，进而在△A 0B 中，利用余弦定理求得cos ∠AOB 的值，则∠AOB 可求，进而根据弧长的计算方法求得答案．【详解】解：球心到四个顶点距离相等，故球心O 在CD 中点，则OA ＝OB ＝OC ＝OD ＝1，再由AB =A 0B 中，利用余弦定理cos ∠AOB 11312112+-==-⨯⨯， 则∠AOB 23π=，则弧AB 23π=•123π=． 故答案为：23π． 【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用、四面体外接球的性质等，考查了学生观察分析和基本的运算能力．三、解答题26．（1）见解析（2）23【解析】【分析】【详解】试题分析：（1）直接利用面面垂直的性质定理可证；（2）设ACBD O =，计算后可证OF//BE ，从而由已知可证OF ⊥平面ABCD ，因此可以OA ，OB ，OF 为坐标轴建立空要间直角坐标系，利用向量法求二面角． 试题解析：（1）∵平面BDFE ⊥平面ABCD ，C A BD ⊥，平面BDFE平面ABCD BD =， 又AC ⊂平面ABCD ，∴AC ⊥平面BDFE ；（2）设AC BD O =，∵四边形ABCD 为等腰梯形，,242DOC AB CD π∠===， ∴2,22OD OC OB OA ====， ∵//FE OB ，∴四边形BOFE 为平行四边形，∴//OF BE ，又∵BE ⊥平面ABCD ，∴OF ⊥平面ABCD ，∴FBO ∠为BF 与平面ABCD 所成的角，∴4FBO π∠=， 又∵2FOB π∠=，∴22OF OB ==，以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OF 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则()()()()()0,22,0,0,2,0,0,0,22,2,0,0,22,0,0B D F C A --，()()0,2,22,2,2,0DF CD ==-， ∵AC ⊥平面BDFE ，∴平面BDF 的法向量为()1,0,0，设平面DFC 的一个法向量为(),,n x y z =，由·0·0DF n CD n ⎧=⎨=⎩得2220220y z x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，令2x =得，()2,2,1n =-， 22222cos ,31?221n AC ==++，∴二面角B DF C --的余弦值为23．点睛：立体几何中求“空间角”，一种方法是根据“空间角”的定义作出它的“平面角”，再通过解三角形求得，其方法是一作二证三计算；第二种方法是在图形中有相互垂直的三条直线（或两条）时，可建立空间直角坐标系，利用空间向量法求角，这种方法主要的就是计算，减少了作辅助线，证明的过程，只要计算过关，一般都能求得正确结论． 27．（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】(1)由题意结合几何体的空间结构特征和线面平行的判定定理即可证得题中的结论；(2)由题意首先证得线面垂直，然后结合线面垂直证明线线垂直即可.【详解】（1）因为D ，E 分别为BC ，AC 的中点，所以ED ∥AB .在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ∥A 1B 1，所以A 1B 1∥ED .又因为ED ⊂平面DEC 1，A 1B 1⊄平面DEC 1，所以A 1B 1∥平面DEC 1.（2）因为AB =BC ，E 为AC 的中点，所以BE ⊥AC .因为三棱柱ABC-A 1B 1C 1是直棱柱，所以CC 1⊥平面ABC .又因为BE ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥BE .因为C 1C ⊂平面A 1ACC 1，AC ⊂平面A 1ACC 1，C 1C ∩AC =C ，所以BE ⊥平面A 1ACC 1.因为C 1E ⊂平面A 1ACC 1，所以BE ⊥C 1E .【点睛】本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.28．（1）证明见解析；（2）1.【解析】试题分析：（1）利用等腰三角形的性质可得1A O AC ⊥，利用面面垂直的性质可得1A O ⊥平面ABC ，根据线面垂直的性质可得结论；（2）先证明11||A C 平面ABC ，可得。
江苏省盐城市高一下学期期中数学试卷
江苏省盐城市高一下学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）的最小正周期为（）A .B .C .D .2. （2分）化简后结果是（）A .B .C .D .3. （2分）已知向量，向量，若，则实数x的值是（）A . 0或2B . -3C . 0或-3D . 24. （2分）设，则的值为（）A .B .C .D .5. （2分）在直角三角形ABC中，∠C=， AB=2，AC=1，若=，则=（）A .B . 5C . 6D . 96. （2分）将函数y=（sinx+cosx）的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位，所得函数图象的解析式是（）A . y=cosB . y=sin（+）C . y=﹣sin（2x+）D . y=sin（2x+）7. （2分）如图所示程序框图中，输出S=（）A . 45B . -55C . -66D . 668. （2分）已知函数（）的周期为，在一个周期内的图象如图所示，则正确的结论是（）A .B .C .D .9. （2分）已知，则等于（）A .B .C .D .10. （2分）已知△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，2++=，且||=||，则向量在向量方向上的投影为（）A .B .C . -D . -11. （2分）关于平面向量a ， b ， c ，有下列三个命题：①若a·b=a·c ，则b=c；②若a=（1，k），b=（-2，6），a∥b ，则k=-3;③非零向量a和b满足|a|=|b|=|a－b|，则a与a+b的夹角为30o ．其中真命题的序号为（）A . ①②B . ①③C . ②③D . ①②③12. （2分）(2017·运城模拟) 关于函数f（x）=2cos2 + sinx（x∈[0，π]）下列结论正确的是（）A . 有最大值3，最小值﹣1B . 有最大值2，最小值﹣2C . 有最大值3，最小值0D . 有最大值2，最小值0二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高一下·上海月考) 已知，那么 ________(结果用表示)14. （1分） (2016高三上·吉林期中) 已知 =﹣1，则tanα=________．15. （1分）若且，则与的夹角是________16. （1分）在△ABC中，已知sinA= ，cosB= ，则 cosC的值为________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （5分）已知sinα=﹣，α在第三象限，求cosα，tanα的值．18. （10分） (2016高三上·襄阳期中) 已知向量 =（cos ﹣1）， =（ sin ，cos2 ），函数f（x）= +1．（1）若x∈[ ，π]，求f（x）的最小值及对应的x的值；（2）若x∈[0， ]，f（x）= ，求sinx的值．19. （5分）已知向量=（6，2），=（﹣2，k），k为实数．（1）若∥，求k的值；（2）若⊥，求k的值；（3）若与的夹角为钝角，求k的取值范围．20. （15分） (2016高一下·普宁期中) 已知f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜0）的最小正周期为π，且f（）= ．（1）求ω和φ的值；（2）求f（x）的单调递增区间；（3）求f（x）在[0， ]上的值域．21. （10分） (2017高一下·禅城期中) 已知α∈（，π），sinα= ．（1）求sin（+α）的值；（2）求cos（﹣2α）的值．22. （10分）已知函数ωx+2的图象的对称中心到对称轴的最短距离为．（1）求ω的值和函数f（x）的图象的对称中心、对称轴方程．（2）求函数f（x）在区间上的值域．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2、答案：略3、答案：略4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13、答案：略14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分) 17-1、18-1、18-2、19、答案：略20、答案：略21-1、21-2、22-1、22-2、。
江苏省盐城市高一下学期期中联考数学试题
高一年级第二学期期中联考数学试题本试卷分试题卷和答题卷两部分.试题卷包括1至4页；答题卷1至4页.满分150分.考试时间120分钟.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知复数，其中是虚数单位，是的共轭复数，则（ ）(13i)(2)10z z +-=i z z z =A. B. C. D.1+i 1i -1i -+1i --2. 已知向量，，．若与垂直，则实数的值为(1,2)a = (1,1)b =-r (4,5)c = a b c λ-r r λ（ ）A. B. C. D. 114314-114-4113. 已知，，则的值为（ ） π1cos 67α⎛⎫+= ⎪⎝⎭0πα<<sin αA. B. C. D. 111413144. 如图，一个矩形边长为1和4，绕它的长为的边旋转二周后所得如图的一开口容器4（下表面密封），是中点，现有一只妈蚁位于外壁处，内壁处有一米粒，若这P BC A P 只蚂蚁要先爬到上口边沿再爬到点处取得米粒，则它所需经过的最短路程为（ ）PA. B. C. D.5. 已知A 、B 、C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，点P 满足，则与面积比为（ ） 112663OP OB OC OA =++ ACP △BCP A A. 5:6 B. 1:4 C. 2:3 D. 1:26. 《九章算术》涉及算术、代数、几何等诸多领域，书中有如下问题：“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高二丈，问积几何？”其意思为：“有一个圆台，下底周长为3丈，上底周长为2丈，高为2丈，那么该圆台的体积是多少？”已知1丈等于10尺，圆周率约为3，估算出这个圆台体积约有（ ）A. 立方尺B. 立方尺 34475279C. 立方尺 D. 立方尺 342745105597. 已知△ 的内角所对的边分别为，满足，则ABC ,,A B C ,,a b c 2220a c ac b ++-=的取值范围为（ ） 2tan cos sin cos 222A C C B B --A. B. 33,42⎛⎫ ⎪⎝⎭13,44⎛⎫ ⎪⎝⎭C. D. 3,14⎛⎤ ⎥⎝⎦8. 已知正方形的边长为，现将△沿对角线翻折，得到三棱锥ABCD 2ADC AC .记的中点分别为，则下列结论错误的是（ ）D ABC -,,AC BC AD ,,O M NA. 与平面所成角的范围是 MN BOD ππ,42⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 三棱锥 D ABC -C. 与所成角的范围是 MN AC ππ,42⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 三棱锥的外接球的表面积为定值D ABC -二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．9. 欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义i e cos isin x x x =+域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥．依据欧拉公式，下列说法中正确的是（ ）A. 对应的点位于第二象限2i e B. 为纯虚数πi eC. 的模长等于 14D. 的共轭复数为 πi 3e 1210. 已知，是两个不重合的平面，，是两条不重合的直线，则下列命题正确的是αβm n （ ）A. 若，，，则m n ⊥m α⊥//n βαβ⊥B. 若，，则m α⊥//n αm n ⊥C. 若，则//,//m m n α//n αD. 若，，则与所成的角和与所成的角相等//m n //αβm αn β11. 《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为、，其中小正方形的面积为αβ4，大正方形面积为9，则下列说法正确的是（ ）A. 每一个直角三角形的面积为54B.3sin 3cos 2βα-=C.3sin 3sin 2βα-=D. ()5os 9c αβ-=12. 在长方体中，，，，动点在平面1111ABCD A B C D -3AB =4BC =15AA =P 内且满足，则（ ）11ADD A 10101AP AD AA λμλμ=+≤≤≤≤，，A. 无论，取何值，三棱锥的体积为定值30λμ1P BCC -B. 当时，0λ=1BP PC +C. 当时，直线与直线恒为异面直线1μ=PD 1CC D. 当时，平面 1λμ+=//BP 11CB D 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. _______________. 2cos 20︒=14. 已知是等腰直角三角形，，是外接圆上一ABC A 90,6A AB AC ∠=︒==S ABC A 点，则的取值范围是_______.()SA SB SC ⋅+ 15. 山西应县木塔（如图1）是世界上现存最古老、最高大的木塔，是中国古建筑中的瑰宝，是世界木结构建筑的典范．如图2，某校数学兴趣小组为测量木塔的高度，在木塔的附近找到一建筑物，高为在地面上的射影为，在地面上再确定一点AB P D （，，三点共线），测得约为58米，在点处测得塔顶的仰角分别为C B C D BC ,A C P 30°和60°，则该小组估算的木塔的高度为______米．16. 如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，球的半径，，4r =1O 分别为圆柱上、下底面的圆心，O 为球心，为底面圆的一条直径，若为球面2O EF 1O P 和圆柱侧面的交线上一动点，线段与的和为，则的取值范围为PE PF PE PF +PE PF +________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知．sin(π)3cos αα-=（1）若为锐角，求的值； απcos 3α⎛⎫+ ⎪⎝⎭（2）求值．πtan 24α⎛⎫- ⎪⎝⎭18. 已知复数z =（1）若复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围； )22m m --m（2）若在复平面（为坐标原点）内对应的点分别为.求向量在2z 2z +O ,B C OB向量上的投影向量的坐标.OC n 19. 如图，在中，，点为边的中点，ABC A 6,2,60AC BC ACB ==∠=︒D AB ． 14BE BC =（1）求；||CD （2）求的面积．AOD △S 20. 已知△的内角所对的边分别为，且． ABC ,,A B C ,,a b c 2()2sin sin sin sin a b C B c A B--=+（1）求； cos A（2）若△的为内角A 的角平分线，交边于点D ，求线段长的ABC AD BC AD 最大值．21. 如图（1），六边形是由等腰梯形和直角梯形拼接而成，且ABCDEF ADEF ABCD ，，沿进行翻折，90BAD ADC ︒∠=∠=2,4AB AF EF ED AD CD ======AD 得到的图形如图（2）所示，且.90AEC ︒∠=（1）求二面角的余弦值；C AED --（2）求四棱锥外接球的体积.C ADEF -22. 在面积为的中，内角所对的边分别为，且S ABC A ,,A B C ,,a b c ． ()22sin sin 2sin sin sin C A S a b A B C ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭（1）若为锐角三角形，是关于的方程的解，ABC A m x 32cos cosC)0a x S c B b -+=（求的取值范围；m （2）若且的外接圆的直径为8，分别在线段上运动cos cos a B b A =ABC A ,E F ,BC CA （包括端点），为边的中点，且，的面积为．令D AB DE DF ⊥DEF A 1S，求的最小值． 1S p =p2022-2023学年度高一年级第二学期期中联考数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知复数，其中是虚数单位，是的共轭复数，则（ ）(13i)(2)10z z +-=i z z z =A.B. C. D.1+i 1i -1i -+1i --【答案】A 2. 已知向量，，．若与垂直，则实数的值为(1,2)a = (1,1)b =-r (4,5)c = a b c λ-r r λ（ ）A. B. C. D. 114314-114-411【答案】C3. 已知，，则的值为（ ） π1cos 67α⎛⎫+= ⎪⎝⎭0πα<<sin αA. B. C. D. 11141314【答案】C4. 如图，一个矩形边长为1和4，绕它的长为的边旋转二周后所得如图的一开口容器4（下表面密封），是中点，现有一只妈蚁位于外壁处，内壁处有一米粒，若这P BC A P 只蚂蚁要先爬到上口边沿再爬到点处取得米粒，则它所需经过的最短路程为（ ）PA. B. C. D.【答案】A5. 已知A 、B 、C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，点P 满足，则与面积比为（ ） 112663OP OB OC OA =++ ACP △BCP A A. 5:6B. 1:4C. 2:3D. 1:2【答案】B6. 《九章算术》涉及算术、代数、几何等诸多领域，书中有如下问题：“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高二丈，问积几何？”其意思为：“有一个圆台，下底周长为3丈，上底周长为2丈，高为2丈，那么该圆台的体积是多少？”已知1丈等于10尺，圆周率约为3，估算出这个圆台体积约有（ ） A. 立方尺 B. 立方尺 34475279C. 立方尺 D. 立方尺 34274510559【答案】D 7. 已知△ 的内角所对的边分别为，满足，则ABC ,,A B C ,,a b c 2220a c ac b ++-=的取值范围为（ ） 2tan cos sin cos 222A C C B B --A. B. 33,42⎛⎫ ⎪⎝⎭13,44⎛⎫ ⎪⎝⎭C. D. 3,14⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D8. 已知正方形的边长为，现将△沿对角线翻折，得到三棱锥ABCD 2ADC AC .记的中点分别为，则下列结论错误的是（ ）D ABC -,,AC BC AD ,,O M NA. 与平面所成角的范围是 MN BOD ππ,42⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 三棱锥 D ABC -C. 与所成角的范围是 MN AC ππ,42⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 三棱锥的外接球的表面积为定值D ABC -【答案】C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．9. 欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义i e cos isin x x x =+域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥．依据欧拉公式，下列说法中正确的是（ ）A. 对应的点位于第二象限2i e B. 为纯虚数πi eC. 的模长等于 14D. 的共轭复数为πi 3e 12【答案】AD 10. 已知，是两个不重合的平面，，是两条不重合的直线，则下列命题正确的是αβm n （ ）A. 若，，，则m n ⊥m α⊥//n βαβ⊥B. 若，，则m α⊥//n αm n ⊥C. 若，则//,//m m n α//n αD. 若，，则与所成的角和与所成的角相等//m n //αβm αn β【答案】BD11. 《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为、，其中小正方形的面积为αβ4，大正方形面积为9，则下列说法正确的是（ ）A. 每一个直角三角形的面积为54B.3sin 3cos 2βα-=C.3sin 3sin 2βα-=D. ()5os 9c αβ-=【答案】ACD 12. 在长方体中，，，，动点在平面1111ABCD A B C D -3AB =4BC =15AA =P 内且满足，则（ ）11ADD A 10101AP AD AA λμλμ=+≤≤≤≤ ，，A. 无论，取何值，三棱锥的体积为定值30λμ1P BCC -B. 当时，0λ=1BP PC +C. 当时，直线与直线恒为异面直线1μ=PD 1CC D. 当时，平面1λμ+=//BP 11CB D 【答案】BD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. _______________. 2cos 20︒=【答案】##0.51214. 已知是等腰直角三角形，，是外接圆上一ABC A 90,6A AB AC ∠=︒==S ABC A 点，则的取值范围是_______.()SA SB SC ⋅+ 【答案】[0,72]15. 山西应县木塔（如图1）是世界上现存最古老、最高大的木塔，是中国古建筑中的瑰宝，是世界木结构建筑的典范．如图2，某校数学兴趣小组为测量木塔的高度，在木塔的附近找到一建筑物，高为在地面上的射影为，在地面上再确定一点AB P D （，，三点共线），测得约为58米，在点处测得塔顶的仰角分别为C B C D BC ,A C P 30°和60°，则该小组估算的木塔的高度为______米．【答案】16. 如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，球的半径，，4r =1O 分别为圆柱上、下底面的圆心，O 为球心，为底面圆的一条直径，若为球面2O EF 1O P 和圆柱侧面的交线上一动点，线段与的和为，则的取值范围为PE PF PE PF +PE PF +________．【答案】[4+四、解答题：本题共6小题，共70分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知．sin(π)3cos αα-=（1）若为锐角，求的值； απcos 3α⎛⎫+ ⎪⎝⎭（2）求值．πtan 24α⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】（1（2）7-【解析】 【分析】（1）根据诱导公式及同角三角函数的基本关系列方程求出，再由两角cos ,sin αα和的余弦公式求解即可；（2）根据二倍角的正切公式求解即可.【小问1详解】，()sin παsin α3cos α-==且，为锐角，22sin cos1αα+=α解得，cos α=sin α=所以πππ1cos αcos αcos sin αsin 3332⎛⎫+=-== ⎪⎝⎭【小问2详解】由（1）可知：，可得 ，sin α3cos α=tan α3=所以， 22tan α233tan2α1tan α194⨯===---所以 31πtan2α14tan 2α7341tan2α14---⎛⎫-===- ⎪+⎝⎭-18. 已知复数z =（1）若复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围； )22m m --m （2）若在复平面（为坐标原点）内对应的点分别为.求向量在2z 2z +O ,B C OB 向量上的投影向量的坐标.OC n【答案】（1） ()0,1（2） ,55 ⎪⎝⎭【解析】【分析】(1)利用复数的四则运算以及复数的几何意义，建立方程组进行求解.(2)利用复数的四则运算、复数的几何意义以及投影向量的计算公式进行求解.【小问1详解】因为. z =)()()()22221i 2421i m m m m m m m --=-+-=-+-因为复数在复平面内对应的点在第二象限， )22m m --所以，解得， 2m 4010m m ⎧-<⎨->⎩01m <<即实数m 的取值范围是.()0,1【小问2详解】由题可知， ()22212i 1i 4z +-===212i z +=+则点，，，.()0,1B ()1,2C ()0,1OB = ()1,2OC = 因此. 224,55OB OC n OC OC⋅⎛⎫==⎪⎝⎭ 19. 如图，在中，，点为边的中点，ABC A 6,2,60AC BC ACB ==∠=︒DAB ． 14BE BC =（1）求；||CD （2）求的面积．AOD △S 【答案】（1（2【解析】【分析】（1）根据题意得到，结合向量的数量积的运算公式，求得1()2CD CA CB =+ ，即可求解；2||13CD = （2）设，，根据向量的线性运算，求得EO EA μ= CO CD λ= 3(1)4CO CA CB μμ-=+ 及，联立方程组，求得，结合，即可22CO CA CB λλ=+ 63,77λμ==1172ABC S S =⨯⨯A 求解.【小问1详解】解：在中，点D 为边的中点，可得， ABC A AB 1()2CD CA CB =+ 因为，6,2,60AC BC ACB ==∠=︒所以 2222211||(2)(62262cos 60)1344CD CA CB CA CB =++⋅=⋅++⨯⨯⨯︒=所以||CD = 【小问2详解】 解：在中，因为，则， ABC A 14BE BC = 34CE CB = 又因为在上，设，，其中，O AE EO EA μ= CO CD λ= R,R λμ∈∈可得，则， ()CO CE CA CE μ-=- 3(1)(1)4CO CA CE CA CB μμμμ-=+-=+ 又由， 22CO CD CA CB λλλ==+ 所以，解得，所以， ()23124λμλμ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩63,77λμ==67CO CD = 所以的面积AOD △111116272722ABC S S A =´=´´´=20. 已知△的内角所对的边分别为，且． ABC ,,A B C ,,a b c 2()2sin sin sin sin a b C B c A B--=+（1）求； cos A （2）若△为内角A 的角平分线，交边于点D ，求线段长的ABC AD BC AD 最大值．【答案】（1） 14（2【解析】【分析】（1）利用正弦定理进行角换边得，再利用余弦定理即可得到22212c b a bc+-=答案；（2）求出，再利用二倍角的余弦公式得sin A =8bc =sin sin BAD CAD ∠=∠=案.【小问1详解】 由正弦定理，得，即， 2()2c a b c b a b --=+22212c b a bc +-=故根据余弦定理有. 2221cos 21224A bc c b bc bc a +-===【小问2详解】因为为三角形内角，则由（1）知， A sin A==因为ABC A 1sin2bc A =即，解得， 12bc =8bc =又因为，，所以，所以1,cos 024A BAD CAD A ∠=∠==>()0,A π∈0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 0,24A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以 221cos s in sin ,si s 3n i 8n 2A BAD CAD BAD CAD -∠=∠==∠=∠==于是11sin sin 22ABC S b AD CAD c AD BAD =⋅⋅∠+⋅⋅∠=△那么． 1221AD b c ⎛⋅⋅⋅= ⎝所以 AD =≤==b c ==故．AD 21. 如图（1），六边形是由等腰梯形和直角梯形拼接而成，且ABCDEF ADEF ABCD ，，沿进行翻折，90BAD ADC ︒∠=∠=2,4AB AF EF ED AD CD ======AD 得到的图形如图（2）所示，且.90AEC ︒∠=（1）求二面角的余弦值；C AED --（2）求四棱锥外接球的体积.C ADEF -【答案】（1（2 【解析】【分析】（1）作，连接，则，证得平面，得到EM AD ⊥AC AC =CD ⊥ADEF 再证得平面，得到，进而得到就是二面角CD AE ⊥⊥AE CDE AE DE ⊥CED ∠的平面角，在直角中，即可求解；C AED --CDE A（2）取的中点，连接，得到为等腰梯形的外心，取的中点AD 1O 11,O E O F 1O ADEF AC ，连接，证得平面，得到为四棱锥外接球O 1,,,OA OD OE OO 1O O ⊥ADEF O C ADEF -的球心，利用球的体积公式，即可求解.【小问1详解】解：在等腰梯形中，作于，ADEF EM AD ⊥M则，所以 1,3,2AD EF DM AM EM -====AE ==连接，则，AC AC =因为，所以，所以，所以， 90AEC ∠= EC =222ED DC EC +=CD ED ⊥又因为，且，平面，所以平面CD AD ⊥AD ED D = ,AD ED ⊂ADEF CD ⊥，ADEF 又由平面，所以，AE ⊂ADEF CD AE ⊥因为且，平面，所以平面， CE AE ⊥CE CD C ⋂=,CE CD ⊂CDE ⊥AE CDE 又因为平面，所以，AE ⊂CDE AE DE ⊥因为，所以就是二面角的平面角，AE CE ⊥CED ∠C AE D --在直角中， CDE A cos DE CDE CE ∠===所以二面角C AE D --【小问2详解】解：取的中点，连接，可得证四边形、均为平行四边AD 1O 11,O E O F 1O DEF 1O AFE 形，所以，所以为等腰梯形的外心，11112O D O A O E O F ====1O ADEF 取的中点，连接，可得，AC O 1,,,OA OD OE OO 1//OO CD 因为平面，所以平面，CD ⊥ADEF 1O O ⊥ADEF又因为，所以为四棱锥外接球的球心，OC OA OD OE OF =====O C ADEF -所以球的半径为，所以. R =3344πππ33V R ==⨯=22. 在面积为的中，内角所对的边分别为，且S ABC A ,,A B C ,,a b c ． ()22sin sin 2sin sin sin C A S a b A B C ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭（1）若为锐角三角形，是关于的方程的解，ABC A m x 32cos cosC)0a x S c B b -+=（求的取值范围；m （2）若且的外接圆的直径为8，分别在线段上运动cos cos a B b A =ABC A ,E F ,BC CA （包括端点），为边的中点，且，的面积为．令D AB DE DF ⊥DEF A 1S，求的最小值． 1S p =p【答案】（1）m ∈（2） 18+【解析】【分析】（1）由结合三角形面积公式，正弦定理和余()22sin sin 2sin sin sin C A S a b A B C ⎛⎫+=+⎪⎝⎭弦定理得，由为锐角三角形得出，由是关于的方程π3C =ABC A ππ(,62A ∈m x的解，整理得，根据正切函数的单调32cos cosC)0a x S c B b -+=（m =性及的范围即可求出的取值范围； A m（2）由和得出为正三角形，由的外接圆的直径为cos cos a B b A =π3C =ABC A ABC A 8得出，则，，在BDE 和a b c ===BD AD ==BDE θ∠=090θ︒≤≤︒A ADF 中，由正弦定理表示出和，进而表示出，代入，化简整理，由基本不A DE DF 1S p 等式即可得出最小值． 【小问1详解】在中，由三角形面积公式得， ABC A 1sin 2S bc A =由正弦定理得：， ()2212sin sin 2c a bc A a b A b c ⎛⎫⨯+=+ ⎪⎝⎭整理得：，由余弦定理得：， 222a b c ab +-=2221cos 22a b c C ab +-==又，故， 0πC <<π3C =因为为锐角三角形，ABC A 所以，，所以， π(0,2A ∈πππ,(0,)32B A B =--∈ππ(,)62A ∈所以 32(ccos b cos )S B C m a += 22(sin cos sin cos )sin S C B B C a A+=⋅ 22sinsin S A a A=⋅ sin b C a===， =+因为， ππ(,62A ∈所以， tan A ⎫∈+∞⎪⎪⎭， (0,3)故．m ∈【小问2详解】由，得，cos cos a B b A =in 0()s A B -=所以， A B =由（1）得， π3C =所以为正三角形，ABC A所以， π2sin 3a b c R ====因为为边的中点，D AB所以，BD AD ==设，，BDE θ∠=090θ︒≤≤︒在BDE 和ADF 中，A A 由正弦定理得，， ()sin 60sin 120DE BD θ=︒︒-()sin 60sin 30DF AD θ=︒︒+化简得，， ()3sin 60DE θ=︒+()3sin 30DF θ=︒+， ()()11922sin 60sin 30S DE DF θθ=⋅=︒+︒+因为 ()()sin 60sin 30θθ︒+︒+11sin cos 22θθθθ⎫⎛⎫=+⎪⎪⎪⎪⎭⎝⎭2231sin cos sin cos 44θθθθθθ=+++， 1sin 22θ=+所以，1S =则1p S =++22sin (60)sin (30)3[]99θθ︒+︒+=+229sin (60)sin (30)2θθ⎤=︒++︒+⎦+1cos(1202)1cos(602)22θθ-︒+-︒+=++2)θ=118(sin 22θ=++因为，1sin 22θ0>所以118(sin 22θ+18≥+=+当且仅当，即时，等号成立，118(sin 22θ+=sin 21θ=所以最小值为． p 18+。
2021-2021学年江苏省盐城市伍佑中学高一下学期期中数学试题(解析版)
故选：C.
【点睛】
此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，以及勾股定理，熟练掌握公式及定理是解本题的关键.
8．在 中， ，BC边上的高等于 ,则
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】试题分析：设 边上的高线为 ，则 ，所以 ．由正弦定理，知 ，即 ，解得 ，故选D．
A． ∥平面 B．平面 ∥平面
C．直线 与直线 所成角的大小为 D．
【答案】ABD
【解析】选项A,利用线面平行的判定定理即可证明；选项B,先利用线面平行的判定定理证明CD∥平面OMN，再利用面面平行的判定定理即可证明；选项C，平移直线，找到线面角，再计算；选项D,因为ON∥PD，所以只需证明PD⊥PB，利用勾股定理证明即可.
故圆上的点 到直线的最小距离为
故选：
【点睛】
本题考查圆上的点到直线的距离的最值问题，属于基础题.
5．在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为S，且2S＝（a+b）2﹣c2，则tanC＝（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】利用面积公式，以及余弦定理对已知条件进行转化，再利用同角三角函数关系，将正余弦转化为正切，解方程即可求得.
故选：C．
【点睛】
本题考查余弦定理以及面积公式的使用，涉及同角三角函数关系，属基础题.
6． 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ,已知 ，该三角形的面积为 ，则 的值为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据面积可求得 ，然后根据余弦定理得到 ，再由正弦定理的变形可得所求的值．
【详解】
∵ 的面积为 ， ，
2022-2023学年江苏省盐城市五校联盟高一(下)期中数学试卷【答案版】
2022-2023学年江苏省盐城市五校联盟高一（下）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知i →，j →是平面内互相垂直的单位向量，且a →=i →+2j →，b →=−3i →+4j →，则a →与b →夹角余弦值为（ ） A ．√55B ．12C ．√58D ．152．若（1+i ）z ＝1﹣2i （ i 为虚数单位），则|z |＝（ ） A ．√102B ．√104C ．52D ．√523．已知cosα=35，0＜α＜π2，则cos(α−π2)的值为（ ） A ．−45B ．−35C ．35D ．454．记△ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，其对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为S 1，S 2，S 3，已知S 1﹣S 2+S 3=√32，sin B =13，则△ABC 的面积（ ） A ．2√2B ．√28C ．2√23D ．25．如图，B ，D 是以AC 为直径的圆上的两点，其中AB =√t +1，AD =√t +3，则AC →⋅BD →=（ ）A ．1B ．2C ．﹣2D ．36．在△ABC 中，若sin A ，cos B 分别是方程6x 2﹣x ﹣1＝0的两个根，则sin C ＝（ ） A ．1−2√66B ．2√6−16C ．−1+2√66D ．1+2√667．设函数f(x)=sin(ωx +π3)在区间（0，π）恰有三条对称轴、两个零点，则ω的取值范围是（ ） A ．[53，136]B ．[53，196)C ．(136，83]D ．(136，196]8．已知在△ABC 中，a ＝x ，b =2√3，B ＝30°，若三角形有两解，则x 的取值范围是（ ） A ．x ＞2√3B ．2√3＜x ＜4√3C ．0＜x ＜2√3D ．2＜x ＜3二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，9．已知平面非零向量a →，b →，下列结论正确的是（ ）A ．若{a →，b →}是平面所有向量的一组基底，且{a →+kb →，ka →+4b →}不是基底，则实数k ＝±2B ．若存在非零向量c →使得a →⋅c →=b →⋅c →，则a →=b →C ．已知向量a →=(6，2)与b →=(−3，k)的夹角是钝角，则k 的取值范围是k ＜9 D ．已知向量a →=(1，1)，b →=(0，2)，则a →在b →上的投影向量是（0，1）10．已知函数f(x)=sin(3x +φ)(−π2＜φ＜π2)的图象关于直线x =π8对称，那么（ ） A ．函数f(x −π24)为奇函数B ．函数f （x ）在[−π24，5π24]上单调递增 C ．若|f （x 1）﹣f （x 2）|＝2，则|x 1﹣x 2|的最小值为π3D ．函数f （x ）的图象向右平移3π8个单位长度得到函数y ＝﹣cos3x 的图象11．若复数z 满足|z |＝1，则下列结论正确的是（ ） A ．z ＝±iB ．zz =1C ．z 2＝1D ．|z 2|＝112．质点P 和Q 在以坐标原点O 为圆心，半径为1的⊙O 上逆时针做匀速圆周运动，同时出发．P 的角速度大小为2rad /s ，起点为⊙O 与x 轴正半轴的交点；Q 的角速度大小为5rad /s ，起点为射线y =−√3x （x ≥0）与⊙O 的交点．则当Q 与P 重合时，Q 的坐标可以为（ ） A ．(cos 2π9，sin 2π9) B ．(−cos 5π9，−sin 5π9) C ．(cos π9，−sin π9)D ．(−cos π9，sin π9)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知向量a →，b →的夹角为5π6，|a →|=√3，|b →|=1，则|3a →+b →|= ．14．在复数范围内，记方程x 2+x +1＝0的两根为x 1，x 2，则|x 1﹣x 2|＝ ． 15．△ABC 中，A =2π3，D 在BC 上，AD ⊥AC ，AD ＝2，则1AC +2AB= . 16．已知O 为坐标原点，对于函数f （x ）＝a sin x +b cos x ，称向量OM →=(a ，b)为函数f （x ）的伴随向量，同时称函数f （x ）为向量 OM →的伴随函数．若函数f （x ）的伴随向量为（√3，1），h （x ）＝f （x ）+1，若实数m ，n ，p 使得mh （x ）+nh （x ﹣p ）＝1对任意实数x 恒成立，则cosp mn的值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）在二维直角坐标系中，一个位置向量的旋转公式可以由三角函数的几何意义推出． 如：将向量OA →=(x 0，y 0)绕坐标原点O 逆时针方向旋转θ得到向量OA ′→，由|OA |＝r ，以OA →为终边的角为α，则点A （r cos α，r sin α），进而求得点A ′（r cos （α+θ），r sin （α+θ））．借助复数、三角及向量的知识，可以研究平面上点及图像的旋转问题．请尝试解答下列问题：（1）在直角坐标系中，已知点A 的坐标为（2，1），将OA 绕坐标原点O 逆时针方向旋转π4至A ′．求点A ′的坐标；（2）设向量AB →=（a ，b ），把向量AB →按顺时针方向旋转θ角得到向量AC →，求向量AC →对应的复数． 18．（12分）已知函数f （x ）=√32sin2x −12cos2x ﹣1，x ∈R ．（1）求函数f （x ）的最小值和最小正周期；（2）设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c =√3，f （C ）＝0，若sin B ＝2sin A ，求a ，b 的值．19．（12分）如图，在扇形OAB 中，∠AOB =2π3，半径OA ＝2．在弧AB̂上取一点C ，向半径OA 、OB 分别作垂线，与线段OA 、OB 分别相交于D 、E ，得到一个四边形CDOE ． （1）设∠COD ＝x ，将四边形CDOE 的面积S 表示成x 的函数； （2）求四边形CDOE 的面积S 的最大值．20．（12分）在①3a sin C ＝4c cos A ，②2b sin B+C 2=√5a sin B这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知______，a ＝3√2． （1）求sin A ；（2）如图，M 为边AC 上一点，MC ＝MB ．∠ABM =π2，求△ABC 的面积．21．（12分）已知函数f(x)=cosx +a(√1+sinx +√1−sinx)，其中x ∈[−π2，π2]．（1）设t =√1+sinx +√1−sinx ，求t 的取值范围，并把f （x ）表示为t 的函数g （t ）； （2）求函数f （x ）的最大值．（可以用a 表示）22．（12分）AD 是△ABC 的一条中线，点O 满足AO →=3OD →，过点O 的直线分别与射线AB 、射线AC 交于M ，N 两点．（1）设AM →=mAB →，AN →=nAC →，m ＞0，n ＞0，求1m+1n的值；（2）如果△ABC 是边长为2的等边三角形，求OM 2+ON 2的取值范围．2022-2023学年江苏省盐城市五校联盟高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知i →，j →是平面内互相垂直的单位向量，且a →=i →+2j →，b →=−3i →+4j →，则a →与b →夹角余弦值为（ ） A ．√55B ．12C ．√58D ．15解：分别以i →，j →所在直线为x ，y 轴建立平面直角坐标系， 由a →=i →+2j →，b →=−3i →+4j →，得a →=(1，2)，b →=(−3，4)， 则cos ＜a →，b →＞=a →⋅b→|a →||b →|=−3+85×5=√55． 故选：A ．2．若（1+i ）z ＝1﹣2i （ i 为虚数单位），则|z |＝（ ） A ．√102B ．√104C ．52D ．√52解：∵（1+i ）z ＝1﹣2i ，∴z =1−2i 1+i =(1−2i)(1−i)(1+i)(1−i)=−12−32i ， ∴|z |=|−12−32i|=√(−12)2+(−32)2=√102．故选：A ．3．已知cosα=35，0＜α＜π2，则cos(α−π2)的值为（ ） A ．−45B ．−35C ．35D ．45解：因为cosα=35，0＜α＜π2，所以sin α=45，则cos(α−π2)=sin α=45． 故选：D ．4．记△ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，其对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为S 1，S 2，S 3，已知S 1﹣S 2+S 3=√32，sin B =13，则△ABC 的面积（ ） A ．2√2B ．√28C ．2√23D ．2解：由题及S 1﹣S 2+S 3=√32得：√34(a 2−b 2+c 2)=√32，即a 2﹣b 2+c 2＝2，又∵a 2﹣b 2+c 2＝2ac cos B ，∴ac cos B ＝1，∵sinB =13，∴cosB =23√2或cosB =−2√23（舍）， ∴ac =32√2=3√24，∴S △ABC =12acsinB =12×3√24×13=√28．故选：B ．5．如图，B ，D 是以AC 为直径的圆上的两点，其中AB =√t +1，AD =√t +3，则AC →⋅BD →=（ ）A ．1B ．2C ．﹣2D ．3解：如图，连接AB ，BC ，AD ，DC ，则∠ABC ＝∠ADC ＝90°，∴AC →⋅BD →=AC →⋅(AD →−AB →)=AC →⋅AD →−AC →⋅AB →=|AD →|⋅|AC →|cos∠DAC −|AB →|⋅|AC →|cos∠BAC =|AD →|2−|AB →|2＝t +3﹣t ﹣1＝2， 故选：B ．6．在△ABC 中，若sin A ，cos B 分别是方程6x 2﹣x ﹣1＝0的两个根，则sin C ＝（ ） A ．1−2√66B ．2√6−16C ．−1+2√66D ．1+2√66解：在△ABC 中，若sin A ，cos B 分别是方程6x 2﹣x ﹣1＝0的两个根， 则sinA +cosB =16，sinAcosB =−16，又sin A ＞0，则cos B ＜0，即sinA =12，cosB =−13，则cosA =√32，sin B =2√23， 即sin C ＝sin （A +B ）＝sin A cos B +cos A sin B =12×(−13)+√32×2√23=2√6−16， 故选：B ．7．设函数f(x)=sin(ωx +π3)在区间（0，π）恰有三条对称轴、两个零点，则ω的取值范围是（ ）A ．[53，136]B ．[53，196)C ．(136，83]D ．(136，196]解：由函数f(x)=sin(ωx +π3)，x ∈（0，π），可得ωx +π3∈（π3，ωπ+π3）． 由题意可得5π2＜ωπ+π3≤3π，解得136＜ω≤83．故选：C ．8．已知在△ABC 中，a ＝x ，b =2√3，B ＝30°，若三角形有两解，则x 的取值范围是（ ） A ．x ＞2√3B ．2√3＜x ＜4√3C ．0＜x ＜2√3D ．2＜x ＜3解：由AC ＝b ＝2√3，要使三角形有两解，就是要使以C 为圆心，半径为2√3的圆与BA 有两个交点， 当A ＝90°时，圆与AB 相切；当A ＝30°时交于B 点，也就是只有一解， ∴30°＜A ＜150°，且A ≠90°，即12＜sin A ＜1，由正弦定理以及a sin B ＝b sin A ．可得：a ＝x =b⋅sinAsinB=4√3sin A ， ∵2√3＜4√3sin A ＜4√3，∴解得x 的取值范围是2√3＜x ＜4√3． 故选：B ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分， 9．已知平面非零向量a →，b →，下列结论正确的是（ ）A ．若{a →，b →}是平面所有向量的一组基底，且{a →+kb →，ka →+4b →}不是基底，则实数k ＝±2B ．若存在非零向量c →使得a →⋅c →=b →⋅c →，则a →=b →C ．已知向量a →=(6，2)与b →=(−3，k)的夹角是钝角，则k 的取值范围是k ＜9 D ．已知向量a →=(1，1)，b →=(0，2)，则a →在b →上的投影向量是（0，1） 解：对于A ，因为{a →+kb →，ka →+4b →}不是基底，所以a →+k b →与k a →+4b →共线， 即k 2﹣1×4＝0，解得k ＝±2，A 选项正确．对于B ，如a →=（1，0），b →=（2，0），c →=（0，3），满足a →⋅c →=b →⋅c →，但a →=b →不成立，B 选项错误．对于C ，当k ＝﹣1时，b →=(−3，−1)，b →=−12a →，此时a →∥b →，与a →，b →的夹角是钝角矛盾，C 选项错误．对于D ，a →在b →上的投影向量是a →⋅b →|b →|•b→|b →|=0+22•(0，2)2=（0，1），D 选项正确．故选：AD ．10．已知函数f(x)=sin(3x +φ)(−π2＜φ＜π2)的图象关于直线x =π8对称，那么（ ） A ．函数f(x −π24)为奇函数 B ．函数f （x ）在[−π24，5π24]上单调递增 C ．若|f （x 1）﹣f （x 2）|＝2，则|x 1﹣x 2|的最小值为π3D ．函数f （x ）的图象向右平移3π8个单位长度得到函数y ＝﹣cos3x 的图象解：因为f （x ）＝sin （3x +φ）的图象关于直线x =π8对称， 所以3×π8+φ=π2+kπ(k ∈Z)， 得φ=π8+kπ，k ∈Z ，因为−π2＜φ＜π2，所以k =0，φ=π8， 所以f(x)=sin(3x +π8)，对于A ：f(x −π24)=sin[3(x −π24)+π8]=sin3x ，所以f(x −π24)为奇函数成立，故选项A 正确； 对于B ：x ∈[−π24，5π24]时，3x +π8∈[0，3π4]，函数f （x ）在[−π24，5π24]上不是单调函数；故选项B 不正确；对于C ：因为f （x ）max ＝1，f （x ）min ＝﹣1，又因为|f （x 1）﹣f （x 2）|＝2，所以|x 1﹣x 2|的最小值为半个周期，即2π3×12=π3，故选项C 正确；对于D ：函数f （x ）的图象向右平移3π8个单位长度得到y =sin[3(x −3π8)+π8]=sin(3x −π)=−sin3x ，故选项D 不正确； 故选：AC ．11．若复数z 满足|z |＝1，则下列结论正确的是（ ） A ．z ＝±iB ．zz =1C ．z 2＝1D ．|z 2|＝1解：对于AC ，令z =12+√32i ，满足|z |＝1， 但是z ≠±i ，z 2≠1，故AC 错误， 对于B ，z ⋅z =|z|2=1，故B 正确， 对于D ，|z 2|＝|z |2＝1，故D 正确．故选：BD ．12．质点P 和Q 在以坐标原点O 为圆心，半径为1的⊙O 上逆时针做匀速圆周运动，同时出发．P 的角速度大小为2rad /s ，起点为⊙O 与x 轴正半轴的交点；Q 的角速度大小为5rad /s ，起点为射线y =−√3x （x ≥0）与⊙O 的交点．则当Q 与P 重合时，Q 的坐标可以为（ ） A ．(cos 2π9，sin 2π9) B ．(−cos 5π9，−sin 5π9) C ．(cos π9，−sin π9)D ．(−cos π9，sin π9)解：设两个质点重合时，所用时间为t ，则重合时点P ，Q 的坐标均为（cos2t ，sin2t ）， 由题可得，5t ﹣2t =π3+2k π，k ∈Z ，解得t =π9+2kπ3，k ∈Z ， 当k ＝0时，t =π9，2t =2π9，所以点Q 的坐标为（cos 2π9，sin 2π9），即选项A 正确； 当k ＝1时，t =7π9，2t =14π9，所以点Q 的坐标为（cos 14π9，sin 14π9）＝（﹣cos 5π9，﹣sin 5π9），即选项B 正确；当k ＝2时，t =13π9，2t =26π9，所以点Q 的坐标为（cos 26π9，sin 26π9）＝（﹣cos π9，sin π9），即选项D正确，选项C 错误． 故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知向量a →，b →的夹角为5π6，|a →|=√3，|b →|=1，则|3a →+b →|= √19 ． 解：由向量a →，b →的夹角为5π6，|a →|=√3，|b →|=1，则a →⋅b →=|a →||b →|cos 5π6=−32，则|3a →+b →|=√(3a →+b →)2=√9|a →|2+6a →⋅b →+|b →|2=√9×3+6×√3×1×(32)+1=√19，故答案为：√19．14．在复数范围内，记方程x 2+x +1＝0的两根为x 1，x 2，则|x 1﹣x 2|＝ √3 ． 解：在复数范围内，已知x 1，x 2是方程x 2+x +1＝0的两根， ∴x =−1±√3i 2，不妨取x 1=−1+√3i 2，x 2=−1−√3i2， ∴|x 1﹣x 2|＝|−12+√32i +12+√32i |＝|√3i |=√3． 故答案为：√3．15．△ABC 中，A =2π3，D 在BC 上，AD ⊥AC ，AD ＝2，则1AC +2AB = √32.解：在△ACD 中，AD ⊥AC ，AD ＝2，则tan C =AD AC =2AC ，即AC =2tanC， ∵B ＝π﹣A ﹣C =π3−C ，∴AB sinC =ACsinB ，即AB =ACsinC sinB =2tanC ⋅sinC sin(π3−C)=√32cosC−12sinC， ∴1AB =√32cosC−12sinC 2cosC =√34−14tanC ， ∴1AC+2AB=tanC 2+√32−12tanC =√32． 故答案为：√32． 16．已知O 为坐标原点，对于函数f （x ）＝a sin x +b cos x ，称向量OM →=(a ，b)为函数f （x ）的伴随向量，同时称函数f （x ）为向量 OM →的伴随函数．若函数f （x ）的伴随向量为（√3，1），h （x ）＝f （x ）+1，若实数m ，n ，p 使得mh （x ）+nh （x ﹣p ）＝1对任意实数x 恒成立，则cosp mn的值为 ﹣4 ．解：由题意可得h （x ）＝f （x ）+1=√3sin x +cos x +1＝2sin （x +π6）+1， 所以2m sin （x +π6）+2n sin （x +π6）cos p ﹣2cos （x +π6）sin p +（m +n ﹣1）＝0， 所以2（m +n cos p ）sin （x +π6）﹣2n sin p cos （x +π6）+（m +n ﹣1）＝0， 又因为上式对任意实数x 恒成立，所以{m +ncosp =0nsinp =0m +n −1=0，若n ＝0，由m +n cos p ＝0，可得m ＝0，不满足m +n ﹣1＝0； 由sin p ＝0，可得p ＝2k π或p ＝2k π+π（k ∈Z ），当p ＝2k π（k ∈Z ）时，cos p ＝1，由m +n cos p ＝0与m +n ﹣1＝0矛盾； 故p ＝2k π+π（k ∈Z ），则cos p ＝﹣1，由m +n cos p ＝0与m +n ﹣1＝0可得：m ＝n =12， 综上，原式cosp mn=−4．故答案为：﹣4．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）在二维直角坐标系中，一个位置向量的旋转公式可以由三角函数的几何意义推出． 如：将向量OA →=(x 0，y 0)绕坐标原点O 逆时针方向旋转θ得到向量OA ′→，由|OA |＝r ，以OA →为终边的角为α，则点A （r cos α，r sin α），进而求得点A ′（r cos （α+θ），r sin （α+θ））．借助复数、三角及向量的知识，可以研究平面上点及图像的旋转问题．请尝试解答下列问题：（1）在直角坐标系中，已知点A 的坐标为（2，1），将OA 绕坐标原点O 逆时针方向旋转π4至A ′．求点A ′的坐标；（2）设向量AB →=（a ，b ），把向量AB →按顺时针方向旋转θ角得到向量AC →，求向量AC →对应的复数． 解：（1）点A 的坐标为（2，1）=√5（cos α+sin α），cos α=2√55，sin α=√55，将OA 绕坐标原点O 逆时针方向旋转π4至A ′，则A ′的坐标为√5（cos （α+π4），sin （α+π4）），∵cos （α+π4）＝cos αcos π4−sin αsinπ4=2√55×√22−√55×√22=√1010， sin （α+π4））＝sin αcos π4+cos αsinπ4=√55×√22+2√55×√22=3√1010， ∴点A ′的坐标为（√1010，3√1010）； （2）设向量AC →对应的复数为z ＝x +yi （x ，y ∈R ）， 则a +bi ＝（x +yi ）（cos θ+i sin θ）， ∴x +yi =a+bicosθ+isinθ=(a+bi)(cosθ−isinθ)cos 2θ+sin 2θ=（a +bi ）（cos θ﹣i sin θ）＝（a cos θ+b sin θ）+（b cos θ﹣a sin θ）i ． 18．（12分）已知函数f （x ）=√32sin2x −12cos2x ﹣1，x ∈R ．（1）求函数f （x ）的最小值和最小正周期；（2）设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c =√3，f （C ）＝0，若sin B ＝2sin A ，求a ，b 的值．解：（1）f （x ）=√32sin2x −12cos2x ﹣1＝＝cos π6sin2x ﹣sin π6cos2x ﹣1＝sin （2x −π6）﹣1，∵﹣1≤sin （2x −π6）≤1， ∴f （x ）的最小值为﹣2， 又ω＝2，则最小正周期是T =2π2=π；（2）由f （C ）＝sin （2C −π6）﹣1＝0，得到sin （2C −π6）＝1， ∵0＜C ＜π，∴−π6＜2C −π6＜11π6， ∴2C −π=π，即C =π，∵sin B ＝2sin A ，∴由正弦定理得b ＝2a ，又c =√3， ∴由余弦定理，得c 2＝a 2+b 2﹣2ab cos π3，即a 2+b 2﹣ab ＝3，解得：a ＝1，b ＝2．19．（12分）如图，在扇形OAB 中，∠AOB =2π3，半径OA ＝2．在弧AB̂上取一点C ，向半径OA 、OB 分别作垂线，与线段OA 、OB 分别相交于D 、E ，得到一个四边形CDOE ． （1）设∠COD ＝x ，将四边形CDOE 的面积S 表示成x 的函数； （2）求四边形CDOE 的面积S 的最大值．解：（1）S ＝S △COD +S △COE =12×2sin x ×2cos x +12×2sin(2π3−x)×2cos （2π3−x ）＝sin2x +sin （4π3−2x ），要得到四边形CDOE ，则x ∈（π6，π2）．故S ＝sin2x +sin （4π3−2x ）＝sin2x +（−√32cos2x +12sin2x ）=32sin2x −√32cos2x =√3sin （2x −π6），x ∈（π6，π2）．（2）因为S =√3sin （2x −π6）， 由于x ∈（π6，π2），可得2x −π6∈（π6，5π6），可得当2x −π6=π2，即x =π3时，四边形CDOE 的面积S 的最大值为√3． 20．（12分）在①3a sin C ＝4c cos A ，②2b sin B+C 2=√5a sin B这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知______，a ＝3√2． （1）求sin A ；（2）如图，M 为边AC 上一点，MC ＝MB ．∠ABM =π2，求△ABC 的面积．解：若选择条件①，则：（1）在△ABC 中，由正弦定理可得3sin A sin C ＝4sin C cos A ，因为sin C ≠0，所以3sin A ＝4cos A ，可得9sin 2A ＝16cos 2A ，所以25sin 2A ＝16， 因为sin A ＞0，所以sin A =45．（2）设BM ＝MC ＝m ，易知cos ∠BMC ＝﹣cos ∠BMA ＝﹣sin A =−45， 在△BMC 中，由余弦定理可得18＝2m 2﹣2m 2•（−45），解得m =√5， 所以S △BMC =12m 2sin ∠BMC =12×5×35=32，在Rt △ABM 中，sin A =45，BM =√5，∠ABM =π2， 所以AB =3√54，所以S △ABM =158， 所以S △ABC ＝S △BMC +S △ABM =32+158=278． 若选择②，则：（1）因为2bsin B+C2=√5asinB ， 所以2b sinπ−A 2=√5a sin B ，由正弦定理可得2sin B cos A 2=√5sin A sin B ，因为sin B ≠0， 所以2cos A2=√5sin A ，2cos A 2=√5×2sin A2×cos A2，因为cosA 2≠0，可得sinA 2=√5，则cos A 2=√5，所以sin A ＝2sin A 2cos A 2=45．（2）同选择①．21．（12分）已知函数f(x)=cosx +a(√1+sinx +√1−sinx)，其中x ∈[−π2，π2]． （1）设t =√1+sinx +√1−sinx ，求t 的取值范围，并把f （x ）表示为t 的函数g （t ）； （2）求函数f （x ）的最大值．（可以用a 表示） 解：（1）∵x ∈[−π2，π2]． ∴sin x ∈[﹣1，1]，cos x ∈[0，1]， 由t =√1+sinx +√1−sinx ，平方得t 2＝1+sin x +1﹣sin x +2√(1+sinx)(1−sinx)= 2+2√1−sin 2x = 2+2√cos 2x = 2+2|cos x |＝2+2cos x ∈[2，4]∵t ≥0，∴t ∈[√2，2]．cos x =t 2−22=12t 2﹣1，则g （t ）=12t 2+at ﹣1，t ∈[√2，2]．（2）∵f （x ）＝g （t ）=12t 2+at ﹣1，t ∈[√2，2]． ∴对称轴t ＝﹣a ， 若﹣a ≤2+√22，即a ≥−2+√22时，当t ＝2时，f （x ）取得最大值，最大值为f （x ）＝g （2）＝1+2a ， 若﹣a ≥2+√22，即a ≤−2+√22时，当t =√2时，f （x ）取得最大值，最大值为f （x ）＝g （√2）=√2a ． 22．（12分）AD 是△ABC 的一条中线，点O 满足AO →=3OD →，过点O 的直线分别与射线AB 、射线AC 交于M ，N 两点．（1）设AM →=mAB →，AN →=nAC →，m ＞0，n ＞0，求1m+1n的值；（2）如果△ABC 是边长为2的等边三角形，求OM 2+ON 2的取值范围． 解：（1）∵AO →=3OD →，AD 是△ABC 的一条中线，∴AO →=34AD →=34×12（AB →+AC →）=38AB →+38AC →， ∵AM →=mAB →，AN →=nAC →， ∴AB →=1m AM →，AC →=1nAN →， ∴AO →=38m AM →+38n AN →，∵M ，O ，N 三点共线，∴38m+38n=1，∴1m+1n =83；（2）∵1m+1n =83，∴m +n =83mn ，令t ＝mn ，∵83mn ＝m +n ≥2√mn ，即mn ≥916， 当且仅当m ＝n 时等号成立，∴t ≥916， ∵OM →=AM →−AO →=m AB →−（38AB →+38AC →）＝（m −38）AB →−38AC →，ON →=AN →−AO →=n AC →−（38AB →+38AC →）=−38AB →+（n −38）AC →，∴OM 2+ON 2＝[（m −38）AB →−38AC →]2+[−38AB →+（n −38）AC →]2 ＝4m 2+4n 2−92（m +n ）+278 ＝4（m +n ）2﹣8mn −92（m +n ）+278=2569（mn ）2﹣20mn +278 =2569t 2﹣20t +278， ∵对称轴t =45128，∴OM 2+ON 2=2569t 2﹣20t +278在t ≥916上为增函数， ∴OM 2+ON 2≥2569×81256−20×916+278=98， ∴OM 2+ON 2的取值范围为[98，+∞）．。
江苏省盐城市高一下学期期中数学试卷
江苏省盐城市高一下学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共14题；共15分)1. （1分） (2017高一下·启东期末) 若直线l的斜率为﹣1，则直线l的倾斜角为________．2. （1分）如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB=4，点E在CC1上且C1E=3EC．试建立适当的坐标系，写出点B、C、E、A1的坐标．________．3. （2分） (2017高二上·集宁月考) 用表示三条不同的直线,表示平面,给出下列命题:①若 ,则;②若 ,则 ;③若 ,则;④若 ,则 .其中真命题的序号是A . ①②B . ②③C . ①④D . ③④4. （1分）（选修4-1：几何证明选讲）如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，且，则________ .5. （1分） (2018高一下·黄冈期末) 在△ABC中，若b=2，A=120°，三角形的面积，则三角形外接圆的半径为________6. （1分）圆x2+2x+y2=0关于y轴对称的圆的一般方程是________．7. （1分）(2018高二上·南通期中) 已知，若在圆上存在点使得成立，则的取值范围为________．8. （1分）已知平面α，β且α∥β，点A∈α，C∈α，B∈β，D∈β，其中AB，CD相交于一点S，已知AS=4，BS=8，CS=18则CD=________．9. （1分）(2018·重庆模拟) 设集合，，记，则点集所表示的轨迹长度为________．10. （1分） (2016高二上·嘉兴期末) 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则这个圆锥的高是________．11. （1分） (2018高一下·虎林期末) 经过点（3，4）的圆 =25的切线方程为________。
(整理版)市伍佑春学期高一年级期中考试数学试题
市伍佑春学期高一年级期中考试数学试题时间：120分钟 总分：160分一．填空题〔本大题共14小题，每题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相应．．．．．位置上．．．．〕 1.=- 35sin 95cos 95sin 35cos ▲ ．2.函数())4f x x π=-(x ∈R )的最小正周期为 ▲ ． }{n a 中，假设53-=a ，17-=a ，那么5a 的值为 ▲ ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πα，且53sin =α，那么=α2sin ▲ ． △ABC 中，在ABC ∆中，C B A ∠∠∠,,所对的边分别是,,a b c ，假设=++=A c bc b a 则,222 ▲ ．6.假设不等式210ax bx +-<的解集为{12}x x -<<，那么=+b a ▲ ． ABC ∆中，C B A ∠∠∠,,所对的边分别是,,a b c ，1,3,3===b a A π，那么ABC ∆的形状是 ▲ ．ABC ∆中，C B A ∠∠∠,,所对的边分别是,,a b c ，如果4:3:2::=c b a ，那么C cos = ▲ ．9.等比数列{a n }中，a n >0，q ≠1，且a 2、21a 3、a 1成等差数列，那么5443a a a a ++= ▲ ． 10.不等式022≤--x x 的整数解共有 ▲ 个．11.数列{}n a 的前n 项和2n S n =，那么=10a ▲ ．sin α=那么44sin cos αα-的值为 ▲ ． 13.设12a =，121n n a a +=+，21n n n a b a +=-，*n N ∈，那么数列{}n b 的通项公式n b = ▲ ．}{n a 中，11=a ，且点),2)(,(*1N n n a a n n ∈≥-且在直线12=-y x 上，那么数列}{n a 前n 项和n S 等于 ▲ ．二、解答题(本大题共6小题．第15题～第17题每题14分，第18题～第20题每题16分，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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盐城市伍佑中学
2011年春学期高一年级期中考试
数 学 试 题
时间：120分钟 总分：160分
一．填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相．．．．应位置上．．．．
．） 1.=- 35sin 95cos 95sin 35cos ▲ ．
2.函数())4f x x π=-(x ∈R )的最小正周期为 ▲ ．
3.在等差数列}{n a 中，若53-=a ，17-=a ，则5a 的值为 ▲ ．
4.已知⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈2,0πα，且53sin =α，则=α2sin ▲ ． 5.在△ABC 中，在ABC ∆中，C B A ∠∠∠,,所对的边分别是,,a b c ，若=++=A c bc b a 则,222 ▲ ．
6.若不等式210ax bx +-<的解集为{12}x x -<<，则=+b a ▲ ．
7.在ABC ∆中，C B A ∠∠∠,,所对的边分别是,,a b c ，已知1,3,3===b a A π
，则
ABC ∆的形状是 ▲ ．
8.在ABC ∆中，C B A ∠∠∠,,所对的边分别是,,a b c ，如果4:3:2::=c b a ，那么C cos = ▲ ．
9.等比数列{a n }中，a n >0，q ≠1，且a 2、2
1a 3、a 1成等差数列，则5443a a a a ++= ▲ ． 10.不等式022≤--x x 的整数解共有 ▲ 个．
11.已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则=10a ▲ ．
12.已知sin α=则44sin cos αα-的值为 ▲ ．
13.设12a =，121
n n a a +=+，21n n n a b a +=-，*n N ∈，则数列{}n b 的通项公式n b = ▲ ． 14.在数列}{n a 中，11=a ，且点),2)(,(*1N n n a a n n ∈≥-且在直线12=-y x 上，则数
列}{n a 前n 项和n S 等于 ▲ ．
二、解答题(本大题共6小题．第15题～第17题每题14分，第18题～第20题每题16分，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
)
15. (本小题满分14分)
如图在ABC ∆中,32,1,cos 4AC BC C ===
， (1)求AB 的值；
(2)求sin(2)A C +．
16. (本小题满分14分)
（1）在△ABC 中，C B A 222sin sin sin +=，试判断△ABC 形状；
（2）已知41)tan(=
-βα，2)3tan(=+πβ，求)3
tan(πα+的值．
A B C
17. (本小题满分14分)
已知等差数列{}n a 中，82=a ，前10项和18510=S ．
（1）求通项n a ；
（2）若从数列{}n a 中依次取第2项、第4项、第8项…第n
2项……按原来的顺序组成一个新的数列{}n b ，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
18．(本小题满分16分)
设函数)0(3)2()(2≠+-+=a x b ax x f ，若不等式0)(>x f 的解集为)3,1(-．
（1）求b a ,的值；
（2）若函数)(x f 在]1,[m x ∈上的最小值为1，求实数m 的值．
19. (本小题满分16分)
如图,在半径为R 、圆心角为3
π的扇形AB 弧上任取一点P ,作扇形的内接矩形PNMQ ,使点Q 在OA 上,点M 、N 在OB 上,求这个矩形面积的最大值及相应的AOP ∠的值.
20. (本小题满分16分)
数列{}n a 中，2,841==a a 且满足n n n a a a -=++122,*N n ∈，
(1) 求数列{}n a 的通项公式；
(2) 设||||||21n n a a a S +++= ，求n S ；
(3) 设*)(,)
12(121N n b b b T a n b n n n n ∈+⋅⋅⋅++=-=
，是否存在最大的整数m ，使得对任意*,N n ∈均有32m T n >成立？若存在，求出m ，若不存在，请说明理由．
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2011年春学期高一年级期中考试
数学答题纸
时间：120分钟总分：160分命题人：张进审核人：刘德祥一．填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相
．．．．
应位置上
．．．．．）
1. 2. 3. 4.
5. 6. 7. 8.
9. 10. 11. 12.
13. 14.
二、解答题(本大题共6小题．第15题～第17题每题14分，第18题～第20题每题16分，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
)
19.(本小题满分16分)。