2019北师大版数学选修2-2同步优化指导练习-第2章 3 计算导数 活页作业7 Word版含答案解析
数学北师大版选修2-2同步练习 第二章§3计算导数 含解
高手支招6体验成功基础巩固1.y=cotx 的导数是（ ） A.y′=x2sin 1 B.y′=x 2cos 1- C.y′=x 2sin 1- D.y′=x 2cos 1 答案：C思路分析：教材中已经给出了导数公式表，查表易求.2.求下列函数的导数：（1）y=x 5，（2）y=21x. 解：（1）y′=(x 5)′=5x 5-1=5x 4.（2）y′=(21x )′=(x -2)′=-2x -2-1=32x -. 3.求下列函数的导数: (1)y=31x ;(2)y=3x . 解：(1)y′=(31x )′=(x -3)′=-3x -3-1=-3x -4. (2)y′=(3x )′=(x 31)′=31x 131-=31x 32-. 思路分析：按照题目的形式特点利用相应的公式即可.4.质点的运动方程是s=t 3(s:单位m ，t:单位s)，求质点在t=3时的速度. 解：v=s′=(t 3)′=3t 3-1=3t 2，当t=3时，v=3×32=27(m/s)，∴质点在t=3时的速度为27 m/s.综合应用5.求正弦曲线y=sinx 上切线斜率等于21的点. 解：y′=cosx,y′o x x =|=21，设切点为(x 0,y 0)，即cosx 0=21，∴x 0=2kπ±3π(k ∈Z ) ∴y 0=sinx 0=sin(2kπ±3π)=±23. 答:所求的点为(2kπ+3π,23)和(2kπ-3π,23-)(k ∈Z ). 6.设直线l 1与曲线y=x 相切于P ，直线l 2过P 且垂直于l 1，若l 2交x 轴于Q 点，又作PK 垂直于x 轴，垂足为K ，求KQ 的长.解：先确定直线l 2的斜率，再写出l 2的方程.设P(x 0,y 0)，则1l k =0|'x x y ==021x ，由l 2与l 1垂直，故2l k =-20x ，于是l 2:y-y 0=-20x (x-x 0)，令y=0，则-y 0=-20x (x Q -x 0)，即-0x =-20x (x Q -x 0)，解得x Q =21+x 0，易见x K =x 0，于是|KQ|=|x Q -x K |=21.。
2018-2019学年高中数学 第2章 3计算导数课时作业 北师大版选修2-2
【成才之路】2015-2016学年高中数学 第2章 3计算导数课时作业北师大版选修2-2一、选择题1．已知f (x )＝x 2，则f ′(3)等于( )A ．0 B ．2x C ．6 D ．9[答案] C[解析] f ′(x )＝2x ⇒f ′(3)＝6.2．(2014·泰安模拟)若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为3x －y ＋1＝0，则( )A ．f ′(x 0)<0B ．f ′(x 0)>0C ．f ′(x 0)＝0D ．f ′(x 0)不存在[答案] B[解析] 由导数的几何意义可知曲线在(x 0，f (x 0))处的导数等于曲线在该点处的切线的斜率，所以f ′(x 0)＝3.故选B.3．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则切线l 的方程为( )A ．4x －y －3＝0 B ．x ＋4y －5＝0C ．4x －y ＋3＝0 D ．x ＋4y －3＝0[答案] A[解析] y ′＝4x 3，直线x ＋4y －8＝0的斜率为－，所以切线l 的斜率为4.所以144x 3＝4，解得x ＝1.所以切点为(1,1)，切线l 的方程为y －1＝4(x －1)，即4x －y －3＝0.4．函数y ＝lg x 在x ＝1处的瞬时变化率为( )A ．0 B ．1 C ．ln10 D ．1ln10[答案] D[解析] y ′＝，∴函数在x ＝1处的瞬时变化率为＝.1x ln1011×ln101ln105．(2014·新课标Ⅱ理，8)设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] D[解析] ∵f (x )＝ax －ln(x ＋1)，∴f ′(x )＝a －.1x ＋1∴f (0)＝0，且f ′(0)＝2.联立解得a ＝3，故选D.二、填空题6．曲线y ＝x n 在x ＝2处的导数为12，则n 等于________．[答案] 3[解析] y ′＝nx n －1，∴y ′|x ＝2＝n ·2n －1＝12，∴n ＝3.7．曲线y ＝f (x )＝2x 2在点(－1,2)处的切线方程为________．[答案] 4x ＋y ＋2＝0[解析] ∵y ＝f (x )＝2x 2，∴f ′(x )＝4x ，f ′(－1)＝－4.故曲线y ＝2x 2在点(－1,2)处的切线方程为y －2＝－4(x ＋1)，化简得4x ＋y ＋2＝0.8．直线y ＝x ＋b (b 是常数)是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线，则实数b ＝________.12[答案] ln2－1[解析] 对曲线对应的函数求导得y ′＝，令＝得x ＝2，故切点坐标是(2，ln2)，1x 1x 12代入直线方程，得ln2＝×2＋b ，所以b ＝ln2－1.12三、解答题9．求下列函数的导数(1)y ＝；(2)y ＝；(3)y ＝log 2x .1x 23x [解析] (1)y ′＝′＝(x －2)′＝－2x －3(1x 2)(2)y ′＝()′＝(x )′＝x －3x 131323(3)y ′＝(log 2x )′＝1x ln210．求曲线f (x )＝x 3在点(3,27)处的切线与坐标轴所围三角形的面积．[解析] 因为f (x )＝x 3，所以f ′(x )＝3x 2，所以f ′(3)＝27，得曲线f (x )＝x 3在点(3,27)处的切线方程为y －27＝27(x －3)，即y ＝27x －54，所以切线与x 轴、y 轴的交点分别为(2,0)、(0，－54)，所以切线与坐标轴所围三角形的面积为S ＝×2×54＝54.12一、选择题1．下列各式正确的是( )A ．(sin a )′＝cos a (a 为常数) B ．(cos x )′＝sin x C ．(sin x )′＝cos x D ．(x －5)′＝－x －615[答案] C[解析] 由导数的运算法则易得，注意A 选项中的a 为常数，所以(sin a )′＝0.故选C ．2．曲线y ＝x 3＋ax ＋1的一条切线方程为y ＝2x ＋1，则实数a ＝( )A ．1 B ．3 C ．2 D ．4[答案] C[解析] 设切点为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x ＋a ，20∴3x ＋a ＝2①20又∵切点既在曲线上，又在切线上，∴x ＋ax 0＋1＝2x 0＋1②30由①②得Error!3．过曲线y ＝上一点P 的切线的斜率为－4，则点P 的坐标是( )1x A ． B ．或(12，2)(－12，－2)(12，2)C ．D ．(－12，－2)(12，－2)[答案] B[解析] y ′＝′＝－，(1x )1x 2解得－＝－4，解得x ＝±，1x 212所以P 点的坐标为或，故选B.(12，2)(－12，－2)4．已知直线ax －by －2＝0与曲线y ＝x 3在点P (1,1)处的切线互相垂直，则为( )abA ．B ．－ 2323C ．D ．－1313[答案] D[解析] 由导数的定义可得y ′＝3x 2，∴y ＝x 3在点P (1,1)处的切线斜率k ＝y ′|x ＝1＝3，由条件知，3×＝－1，∴＝－.a b a b 13二、填空题5．下列命题中，正确命题的个数为____________．①若f (x )＝，则f ′(0)＝0；x ②(log a x )′＝x ln a (a ＞0，a ≠1)；③加速度是动点位移s (t )对时间t 的导数；④曲线y ＝x 2在(0,0)处没有切线．[答案] 0[解析] ①因为f (x )＝，当x 趋于0时不存在极限，所以x ＝0处不存在导数，故x 错误；②(log a x )′＝，(a ＞0，a ≠1)，故错误；③瞬时速度是位移s (t )对时间t 的1x ln a 导数，故错误；④曲线y ＝x 2在(0,0)处的切线为直线y ＝0，故错误．6．过原点作曲线y ＝e x 的切线，则切点的坐标为____________，切线的斜率为____________．[答案] (1，e) e[解析] ∵(e x )′＝e x ，设切点坐标为(x 0，e x 0)，则过该切点的直线的斜率为e x 0，∴直线方程为y －e x 0＝e x 0(x －x 0)．∴y －e x 0＝e x 0·x －x 0·e x 0.∵直线过原点，∴(0,0)符合上述方程．∴x 0·e x 0＝e x 0.∴x 0＝1.∴切点为(1，e)，斜率为e.三、解答题7．试比较曲线y ＝x 2与y ＝在它们交点处的切线的倾斜角的大小．1x [解析] 解方程组Error!，得Error!，即两条曲线的交点坐标为(1,1)．对于函数y ＝x 2，y ′＝2x ，所以曲线y ＝x 2在交点(1,1)处的切线l 1的斜率k 1＝2；对于函数y ＝，y ′＝－，所以曲线y ＝在交点(1,1)处的切线l 2的斜率k 2＝－1.1x 1x 21x由于k 1>0，k 2<0，所以切线l 1的倾斜角小于切线l 2的倾斜角．8.试求过点A (3,5)且与曲线y ＝f (x )＝x 2相切的直线方程．[分析] 本题的关键在于求切线的斜率，首先判断A 是否在曲线上，若A 在曲线上，则A 可能为切点，否则A 不是切点，则需要设出切点的坐标．[解析] 点A 不在曲线y ＝x 2上，应先求切点．设所求切线的切点为P (x 0，y 0)，因为P 是曲线y ＝x 2上一点，所以y 0＝x .又过点P (x 0，y 0)的切线斜率为f ′(x 0)＝2x 0，而所求20切线过点A (3,5)和P (x 0，y 0)两点，所以其斜率又应为.所以2x 0＝，将它与y 0－5x 0－3y 0－5x 0－3y 0＝x 联立，得Error!所以Error!或Error!即切点为(1,1)或(5,25)．当切点为(1,1)时，切20线斜率k 1＝2，相应切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1；当切点为(5,25)时，切线斜率k 2＝10，相应切线方程为y －25＝10(x －5)，即y ＝10x －25.综上，所求切线方程为y ＝2x －1或y ＝10x －25.。
数学同步优化指导(北师大版选修2-2)练习：第3章 1 导数与函数的单调性(第二课时) 活页作业11
活页作业(十一) 导数与函数的单调性(第二课时)1．函数f (x )＝2x 3＋ax 2＋1(a 为常数)在区间(－∞，0)和(2，＋∞)内单调递增，且在区间(0,2)内单调递减，则a 值为( )A ．1B ．2C ．－6D ．－12解析：f ′(x )＝6x 2＋2ax ，依题意得f ′(2)＝24＋4a ＝0，∴a ＝－6. 答案：C2．若函数f (x )＝13x 3＋x 2－ax 在区间(1，＋∞)上是增加的，且在区间(1,2)上有零点，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫43，3B ． ⎝⎛⎭⎫43，103 C ．⎝⎛⎦⎤43，3D ．(－∞，3]解析：∵函数f (x )＝13x 3＋x 2－ax 在区间(1，＋∞)上是增加的，∴f ′(x )＝x 2＋2x －a ≥0在区间(1，＋∞)上恒成立． ∴a ≤x 2＋2x ，x ∈(1，＋∞)恒成立． ∵当x >1时，x 2＋2x >3， ∴a ≤3.①∵函数f (x )＝13x 3＋x 2－ax 在区间(1，＋∞)上是增加的，且在区间(1,2)上有零点，∴f (1)<0，f (2)>0. ∴43<a <103.② 由①②得，43<a ≤3.答案：C3．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2(x ≥0)，x 3－(a －1)x ＋a 2－3a －4(x <0) 在(－∞，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1] B ．[－1,1] C ．(－∞，1)D ．[－1,4]解析：若原函数在R 上为增函数，则当x <0时，f ′(x )＝3x 2－(a －1)≥0恒成立．因此有a ≤1.还需注意函数在分段点处函数值的大小，应有a 2－3a －4≤0，解得－1≤a ≤4.综上－1≤a ≤1.答案：B4．已知定义在R 上的偶函数f (x )满足x ∈(－∞，0)时，f (x )＋xf ′(x )<0成立，若a ＝20.2f (20.2)，b ＝ln 2·f (ln 2)，c ＝log 0.50.25·f (log 0.50.25)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．c >a >bC ．b >a >cD ．a >c >b解析：构造函数h (x )＝xf (x )，由函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，函数y ＝x 是R 上的奇函数，可得h (x )＝xf (x )是R 上的奇函数．又当x ∈(－∞，0)时，h ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )<0. ∴函数h (x )在x ∈(－∞，0)上为单调递减函数． ∴h (x )在x ∈(0，＋∞)上为单调递减函数． ∵2>20.2>1,0<ln 2<1，log 0.50.25＝2， ∴log 0.50.25>20.2>ln 2.∴b >a >c . 答案：C5．设p ：f (x )＝x 3＋2x 2＋mx ＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，q ：m ≥43，则p 是q 的________条件．( )A ．充要B ．充分不必要C ．必要不充分D ．既不充分又不必要解析：对于p ，由题意知f ′(x )＝3x 2＋4x ＋m ≥0在R 上恒成立，即Δ≤0. ∴4－3m ≤0.∴m ≥43.又当m ＝43时，f (x )＝x 3＋2x 2＋43x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋233＋1927在R 上单调递增，∴m ≥43.∴p 是q 的充要条件．答案：A6．若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的递减区间为[－1， 2]，则b ＝________，c ＝________. 解析：由题意知，f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ≤0在[－1,2]上恒成立，所以－1,2为方程3x 2＋2bx ＋c ＝0的两根，则b ＝－32，c ＝－6.答案：－32－67．若函数f (x )＝ax 3＋x 恰有三个单调区间，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵f ′(x )＝3ax 2＋1，f (x )有三个单调区间， ∴方程3ax 2＋1＝0有两个不等实根． ∴Δ＝0－4×3a ×1>0.解得a <0.答案：(－∞，0)8．已知函数f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是单调递增函数，则a 的最大值是________． 解析：由题意得f ′(x )＝3x 2－a ≥0在[1，＋∞)上恒成立，因此a ≤3.故a 的最大值为3.答案：39．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝ax (a >0)，设F (x )＝f (x )＋g (x )．(1)求F (x )的单调区间；(2)若以y ＝F (x )(x ∈(0,3])图像上任意一点P (x 0，y 0)为切点的切线的斜率k ≤12恒成立，求实数a 的最小值．解：(1)F (x )＝f (x )＋g (x )＝ln x ＋ax (x >0)，F ′(x )＝1x －a x 2＝x －ax2(x >0)．∵a >0，由F ′(x )>0得x ∈(a ，＋∞)， ∴F (x )在(a ，＋∞)上是增加的． 由F ′(x )<0得x ∈(0，a )， ∴F (x )在(0，a )上是减少的．∴F (x )的递减区间为(0，a )，递增区间为(a ，＋∞)． (2)∵F ′(x )＝x －ax2(0<x ≤3)，∴k ＝F ′(x 0)＝x 0－a x 20≤12(0<x 0≤3)恒成立．即a ≥⎝⎛⎭⎫－12x 20＋x 0max . 当x 0＝1时，－12x 20＋x 0取得最大值12， ∴a ≥12.∴a min ＝12.10．设f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax .若f (x )在⎝⎛⎭⎫23，＋∞上存在单调递增区间，求a 的取值范围． 解：f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14＋2a ， 当x ∈⎣⎡⎭⎫23，＋∞时，f ′(x )的最大值为f ′⎝⎛⎭⎫23＝29＋2a . 函数有单调递增区间，即在⎝⎛⎭⎫23，＋∞内，导函数大于0有解，令29＋2a >0，得a >－19. 所以当a ∈⎝⎛⎭⎫－19，＋∞时，f (x )在⎝⎛⎭⎫23，＋∞上存在单调递增区间．11．已知函数f (x )(x ∈R )满足f (1)＝1，且f (x )的导函数f ′(x )<12，则f (x )<x 2＋12的解集为( )A ．{x |－1<x <1}B ．{x |x <－1}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |x >1}解析：设g (x )＝f (x )－x 2－12，则g ′(x )＝f ′(x )－12<0.∴g (x )在R 上是减函数．∵g (1)＝f (1)－12－12＝1－1＝0，∴g (x )＝f (x )－x 2－12<0的解集为{x |x >1}．答案：D12．已知函数f (x )＝2e x －mx (其中e ≈2.718…)在区间[－1,0]上单调递减，则实数m 的取值范围为________．解析：由题意得f ′(x )＝2e x －m ≤0在[－1,0]上恒成立，即m ≥2e x 恒成立，可得m ≥2. 答案：[2，＋∞)13．若函数f (x )＝x 3－3ax 2－bx ，其中a ，b 为实数，f (x )在区间[－1,2]上为减函数，且b ＝9a ，则a 的取值范围是________．解析：由已知得f ′(x )＝3x 2－6ax －b ≤0对∀x ∈[－1，2]恒成立， ∵b ＝9a ，∴x 2－2ax －3a ≤0.∵2x ＋3>0. ∴a ≥x 22x ＋3对x ∈[－1,2]恒成立．解得a ≥1. 答案：[1，＋∞)14．已知函数f (x )＝ax －ln x ，若f (x )>1在区间(1，＋∞)内恒成立，则实数a 的取值范围为_________．解析：由已知a >1＋ln xx 在区间(1，＋∞)内恒成立．设g (x )＝1＋ln xx ，∴g ′(x )＝－ln xx2<0(x >1)．∴g (x )＝1＋ln xx 在区间(1，＋∞)内递减．∴g (x )<g (1)． ∵g (1)＝1，∴1＋ln xx<1在区间(1，＋∞)内恒成立．∴a ≥1. 答案：[1，＋∞)15．已知函数f (x )＝a ln x ＋x 3(a 为常数)．(1)若a ＝－3，判断函数f (x )在(1，＋∞)上的单调性； (2)函数f (x )在[1，e]上单调递减，求实数a 的取值范围；(3)若存在x ∈[1，e]，使得f (x )≥ax ＋x 3－x 2＋2x 成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝－3时f ′(x )＝3x 2－3x ＝3(x 3－1)x. 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0. ∴函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数．(2)由已知得f ′(x )＝a x ＋3x 2＝3x 3＋a x .∵f (x )在[1，e]上单调递减，∴f ′(x )≤0在[1，e]上恒成立．即a ≤－3x 3在[1，e]上恒成立． ∵(－3x 3)min ＝－3e 3，∴a ≤－3e 3. (3)不等式f (x )≥ax ＋x 3－x 2＋2x 可化为 a (x －ln x )≤x 2－2x .∵x ∈[1，e]，∴ln x ≤1≤x ，且不能同时取等号． ∴ln x <x ，即x －ln x >0. ∴a ≤x 2－2xx －ln x (x ∈[1，e])．令g (x )＝x 2－2xx －ln x (x ∈[1，e])，则g ′(x )＝(x －1)(x ＋2－2ln x )(x －ln x )2.当x ∈[1，e]时，x －1≥0，ln x ≤1，x ＋2－2ln x >0，从而g ′(x )≥0(仅当x ＝1时取等号)， ∴g (x )在[1，e]上为增函数． ∴g (x )的最小值为g (1)＝－1. ∴实数a 的取值范围是(－∞，－1]． 16．设函数f (x )＝1＋x 1－xe －ax .(1)试写出定义域及f ′(x )的解析式； (2)设a >0，讨论函数y ＝f (x )的单调性． 解：(1)f (x )的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，f ′(x )＝ax 2＋2－a (1－x )2e －ax，其中x ≠1.(2)①当0<a ≤2时，f ′(x )≥0且仅在有限个点处取等号，∴f (x )在(－∞，1)，(1，＋∞)上为增函数．②当a >2时，由f ′(x )>0得ax 2＋2－a >0，解得x >a －2a或x <－a －2a；由f ′(x )<0得ax 2＋2－a <0，解得－a －2a<x < a －2a. 综上所述，当0<a ≤2时，函数y ＝f (x )在(－∞，1)，(1，＋∞)上单调递增；当a >2时，函数y ＝f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－a －2a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫a －2a ，1，(1，＋∞)上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫－a －2a ， a －2a 上单调递减．。
北师版高中同步学考数学选修2-2精品课件 第二章 §3 计算导数
(4)y=log3x;(5)y=sin 2 + .
解:(1)y'=-5x-5-1=-5x-6.
(2)y'=4xln 4.
(3)∵y= =(x
1
)2
=
3 -1
= 4 4.
1
.
(4)y'=(log3x)'=
ln3
π
(5)∵y=sin + =cos
2
3 3-1
∴y'=4 4
∴y'=-sin x.
5
=
(4)∵y=log2x2-log2x=log2x,
1
∴y'=(log2x)'=x2 .
x
x
(5)∵y=-2sin2 1-2 2 4
x
x
=2sin 2 2 2 4 -1
x
=
x
=2sin 2cos 2=sin x,
∴y'=cos x.
3 -2
5
5
=
.
3
5
5
x2
.
探究学习
探究一
探究二
分析熟练掌握导数的基本公式.运用有关性质或公式将问题转化为
基本初等函数后再求导数.
探究学习
探究一
探究二
解:(1)y'=(x
(2)y'=
(3)y'=(
1
4
5
思想方法
3
3 3-1
x)'=(x 2 )'= 2
2
3
2
.
4
5
'=(x-4)'=-4x-4-1=-4x-5=3
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2019北师大版数学选修2-2同步优化指导练习-阶段质量评估1Word版含答案解析
阶段质量评估(一)推理与证明(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．下列推理正确的是()A．把a(b＋c)与log a(x＋y)类比，则有：log a(x＋y)＝log a x＋log a yB．把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有：sin(x＋y)＝sin x＋sin yC．把(ab)n与(x＋y)n类比，则有：(x＋y)n＝x n＋y nD．把(a＋b)＋c与(xy)z类比，则有：(xy)z＝x(yz)解析：A，B，C所得结论均为错误结论，只有D所得结论正确．答案：D2．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想出正四面体的内切球切于四个侧面三角形()A．内任一点B．某高线上的点C．中心D．外的某点解析：将三角形类比为正四面体，三角形三边的中点可类比为四个侧面三角形的中心．答案：C3．在△ABC中，sin Asin C＞cos Acos C，则△ABC一定是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定解析：由sin Asin C＞cos Acos C，可得cos(A＋C)＜0，即cos B＞0，所以B为锐角，但并不能判断角A，C，故选D．答案：D4．用反证法证明：“方程ax2＋bx＋c＝0，且a，b，c都是奇数，则方程没有整数根”时，正确的假设是方程存在实数根x0为()A．整数B．奇数或偶数C．正整数或负整数D．自然数或负整数解析：方程没有整数根的否定是方程有整数根，在方程ax2＋bx＋c＝0中，a，b，c都是奇数，故0不是方程的根，因此正确的假设是方程存在实数根x0为正整数或负整数．答案：C5．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋a n＋1＝1－a n＋21－a(a≠1，n∈N＋)，在验证n＝1成立时，左边计算所得结果为()A．1 B．1＋a。
2019北师大版数学选修2-2同步优化指导练习-第2章 5 简单复合函数的求导法则 活页作业9 Word版含答案解析
活页作业(九) 简单复合函数的求导法则1．y ＝12(e x ＋e －x )的导数y ′等于( )A ．12(e x ＋e －x )B ．12(e x －e －x )C ．e x ＋e －xD ．e x －e －x解析：y ′＝12(e x ＋e －x )′＝12(e x －e －x )．答案：B2．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎫2x ＋π6·cos ⎝⎛⎫2x ＋π6，则f ′(0)等于( ) A ．1 B ．0C ．－1D ．以上都不对解析：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6·cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝12sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3， f ′(x )＝12cos ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3·⎝⎛⎭⎫4x ＋π3′＝2cos ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3， ∴f ′(0)＝2cos π3＝1.答案：A 3．曲线f (x )＝e 2x－4在x ＝2处的切线方程为( )A ．2x －y －3＝0B ．2x ＋y －3＝0C ．e x －y －2e ＋1＝0D ．e x ＋y ＋2e －1＝0解析：∵f ′(x )＝e 2x －4(2x －4)′＝2e 2x －4，∴f ′(2)＝2. 又切点为(2,1)，∴切线方程为y －1＝2(x －2)， 即2x －y －3＝0. 答案：A4．函数y ＝ln(x 2－1)的导数y ′＝( ) A ．2xx 2－1B ．1x 2－1C ．2x －1x 2－1D ．x 2x 2－1解析：y ′＝(x 2－1)′x 2－1＝2xx 2－1.答案：A5．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1D ．－2解析：设切点为P (x 0，y 0)，则y 0＝x 0＋1，y 0＝ln(x 0＋a )．∵y ′|x ＝x 0＝1x 0＋a＝1，∴x 0＋a ＝1.∴y 0＝0，x 0＝－1.∴a ＝2. 答案：B6．函数y ＝x －(2x －1)2的导数是________． 解析：y ′＝x ′－[(2x －1)2]′ ＝1－2(2x －1)(2x －1)′ ＝1－4(2x －1)＝5－8x . 答案：y ′＝5－8x7．曲线y ＝sin 3x 在点P ⎝⎛⎭⎫π3，0处的切线方程为____________． 解析：y ′x ＝cos 3x ·(3x )′＝cos 3x ·3＝3cos 3x ， ∴曲线y ＝sin 3x 在点P ⎝⎛⎭⎫π3，0处的切线斜率为 3cos ⎝⎛⎭⎫3×π3＝－3. ∴切线方程为y ＝－3·⎝⎛⎭⎫x －π3，即3x ＋y －π＝0. 答案：3x ＋y －π＝08．设曲线y ＝e ax 在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝________. 解析：∵直线x ＋2y ＋1＝0的斜率为－12，∴所求切线的斜率k ＝2. 又y ′x ＝e ax ·(ax )′＝a e ax ， ∴当x ＝0时，y ′＝a .∴a ＝2. 答案：29．求下列函数的导数： (1)y ＝⎝⎛⎭⎫3x －1x 5； (2)y ＝11－x 2； (3)y ＝cos x 2.解：(1)设y ＝u 5，u ＝3x －1x ，则y ′＝(u 5)′⎝⎛⎭⎫3x －1x ′ ＝5u 4·⎝⎛⎭⎫3＋1x 2 ＝5⎝⎛⎭⎫3x －1x 4⎝⎛⎭⎫3＋1x 2. (2)设y ＝u －12，u ＝1－x 2，则y ′＝(u －12)′·(1－x 2)′＝⎝⎛⎭⎫－12u －32·(－2x )＝x (1－x 2)－32. (3)设y ＝cos u ，u ＝x 2， 则y ′＝(cos u )′·(x 2)′ ＝(－sin u )·2x ＝(－sin x 2)·2x ＝－2x sin x 2.10．已知函数y ＝f (x )＝x ln(2x －1)． (1)求这个函数的导数；(2)求这个函数在x ＝1处的切线方程． 解：(1)y ′＝x ′ln(2x －1)＋x [ln(2x －1)]′ ＝ln(2x －1)＋x2x －1·(2x －1)′＝ln(2x －1)＋2x2x －1. (2)由(1)知：切线的斜率k ＝f ′(1)＝ln(2×1－1)＋2×12×1－1＝2.又x ＝1时，f (1)＝0. ∴切点为(1,0)．故切线方程为y ＝2(x －1)， 即2x －y －2＝0.11．函数y ＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 5的导数y ′＝( ) A ．5⎝⎛⎭⎫x ＋1x 4 B ．5⎝⎛⎭⎫x ＋1x 4⎝⎛⎭⎫1＋1xC ．5⎝⎛⎭⎫x ＋1x 4(1－x －2) D ．5⎝⎛⎭⎫x ＋1x 4(1＋x －2) 解析：y ′＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋1x 5′＝5⎝⎛⎭⎫x ＋1x 4·⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′ ＝5⎝⎛⎭⎫x ＋1x 4(1－x －2)． 答案：C12．已知函数f (x )＝(2x ＋a )2，若f (x )在x ＝a 处的导数值为20，则a ＝________. 解析：f ′(x )＝2(2x ＋a )·2， ∵f ′(a )＝20， ∴12a ＝20.∴a ＝53.答案：5313．曲线y ＝ln(2x －1) 上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离d 为________． 解析：当曲线的切线与直线2x －y ＋3＝0平行时，切点到该直线的距离最短． 对于y ＝ln(2x －1)，y ′＝22x －1， 令y ′＝2，得x ＝1.将x ＝1代入曲线方程y ＝ln(2x －1)得y ＝0， ∴切点(1,0)到直线2x －y ＋3＝0的距离最短， 最短距离d ＝|2×1－0＋3|22＋(－1)2＝ 5.答案： 5 14．曲线y ＝e －2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为________．解析：y ′＝－2e－2x ，曲线在点(0,2)处的切线的斜率k ＝－2，∴切线方程为y ＝－2x ＋2.该直线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形如下图所示，其中直线y ＝－2x ＋2与y ＝x 的交点A ⎝⎛⎭⎫23，23，∴三角形的面积S ＝12×1×23＝13.答案：1315．若函数f (x )＝e xx 在x ＝a 处的导数值与函数值互为相反数，求a 的值．解：∵f (x )＝e xx ，∴f (a )＝e aa.又∵f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫e x x ′＝e x ·x －e x x 2，∴f ′(a )＝e a ·a －e aa 2.由题意知f (a )＋f ′(a )＝0，∴e a a ＋e a·a －e a a 2＝0. ∴2a －1＝0.∴a ＝12.16．曲线y ＝e 2x cos 3x 在点(0, 1)处的切线与l 的距离为5，求l 的方程．解：由题意知y ′＝(e 2x )′cos 3x ＋e 2x (cos 3x )′＝2e 2x cos 3x ＋(3x )′(－sin 3x )·e 2x ＝2e 2x cos 3x －3e 2x sin 3x ，∴曲线在点(0,1)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝0＝2. ∴该切线的方程为y －1＝2x ， 即y ＝2x ＋1.设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ， 则d ＝|m －1|5＝5，解得m ＝－4或m ＝6.当m ＝－4时，直线l 的方程为y ＝2x －4； 当m ＝6时，直线l 的方程为y ＝2x ＋6.综上可知，直线l 的方程为y ＝2x －4或y ＝2x ＋6.。
数学同步优化指导(北师大版选修2-2)练习：第2章 4.1、4.2 导数的四则运算法则 活页作业8
活页作业(八) 导数的四则运算法则1．已知f (x )＝sin x －cos x ，则f ′⎝⎛⎭⎫π3等于( ) A ．0 B ．3－12C ．3＋12D ．1解析：f (x )＝sin x －cos x ，则f ′(x )＝cos x ＋sin x ，f ′⎝⎛⎭⎫π3＝cos π3＋sin π3＝12＋32. 答案：C2．曲线y ＝x 3－3x 在某一点处的切线平行于x 轴，则该点的坐标是( ) A ．(－1,2) B ．(1，－2) C ．(1,2)D ．(－1,2)或(1，－2)解析：y ＝x 3－3x ，则y ′＝3x 2－3. 令y ′＝0，则x ＝±1. 故切点为(－1,2)或(1，－2)． 答案：D3．点P 在曲线y ＝x 3－x 上移动，设点P 处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是( ) A ．⎣⎡⎭⎫0，π2 B ．⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫34π，π C ．⎣⎡⎭⎫3π4，πD ．⎝⎛⎦⎤π2，3π4 解析：y ＝x 3－x ，则y ′＝3x 2－1≥－1.故在点P 处的切线的倾斜角的取值范围是⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫34π，π.答案：B4．设f (x )＝13ax 3＋bx (a ≠0)，若f (3)＝3f ′(x 0)，则x 0＝( )A ．±1B ．±2C ．±3D ．2解析：由已知得f ′(x )＝ax 2＋b ，∴f ′(x 0)＝ax 20＋b . 又f (3)＝9a ＋3b ，∴由f (3)＝3f ′(x 0)得 3a ＋b ＝ax 20＋b ，解得x 0＝±3. 答案：C5．已知函数f (x )＝1x cos x ，则f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝( ) A ．－2πB ．3πC ．－1πD ．－3π解析：∵f (x )＝1x cos x ，∴f (π)＝－1π，f ′(x )＝－1x 2cos x －1x sin x .∴f ′⎝⎛⎭⎫π2＝－2π. ∴f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝－3π. 答案：D6．曲线y ＝x ln x 在点M (e ，e)处的切线在x ，y 轴上的截距分别为a ，b ，则a ＋b ＝( ) A ．－32eB ．－12eC ．12eD ．32e解析：y ′＝(x ln x )′＝x ′ln x ＋x (ln x )′＝ ln x ＋x ·1x ＝ln x ＋1，∴当x ＝e 时，y ′＝ln e ＋1＝2.∴曲线y ＝x ln x 在点M (e ，e)处的切线方程为y －e ＝2(x －e)． 令x ＝0，得y ＝－e ； 令y ＝0，得x ＝e2.∴a ＝e 2，b ＝－e.∴a ＋b ＝－e 2.答案：B7．曲线y ＝x 3－2ax 2＋2ax 上任意一点处的切线的倾斜角都是锐角，则整数a ＝________. 解析：y ＝x 3－2ax 2＋2ax ，则y ′＝3x 2－4ax ＋2a .若曲线上任意一点处的切线的倾斜角都是锐角，则y ′＞0恒成立，即y ′＝3x 2－4ax ＋2a >0恒成立．则Δ＝(－4a )2－4×3×2a ＝16a 2－24a <0， 解得0＜a ＜32，整数a ＝1.答案：18．某物体的运动曲线是s ＝t 2＋3t ，则该物体的初速度是________． 解析：s ＝t 2＋3t .故s ′＝2t ＋3.故s ′|t ＝0＝3. 答案：39．求下列函数的导数： (1)y ＝cos 2xsin x ＋cos x ；(2)y ＝x ln x 1＋x ；(3)y ＝sin x 2cos x2.解：(1)y ＝cos 2xsin x ＋cos x ＝cos 2x －sin 2x sin x ＋cos x ＝cos x －sin x ，y ′＝(cos x －sin x )′＝(cos x )′－(sin x )′＝－sin x －cos x . (2)y ′＝⎝⎛⎭⎫x ln x1＋x ′＝(x ln x )′(1＋x )－x ln x (1＋x )′(1＋x )2＝(ln x ＋1)(1＋x )－x ln x (1＋x )2＝ln x ＋x ＋1x 2＋2x ＋1.(3)y ＝sin x 2cos x 2＝12sin x ，y ′＝⎝⎛⎭⎫12sin x ′＝12(sin x )′＝12cos x . 10．已知函数f (x )＝ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e 为偶函数，它的图像过点A (0，－1)且在x ＝1处的切线方程为2x ＋y －2＝0，求函数f (x )的表达式．解：由函数f (x )为偶函数得f (－x )＝f (x )， 即ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e ＝ax 4－bx 3＋cx 2－dx ＋e ， ∴b ＝d ＝0. ∴f (x )＝ax 4＋cx 2＋e .又∵函数图像过点A (0，－1)，∴e ＝－1. ∴函数f (x )＝ax 4＋cx 2－1. ∴f ′(x )＝4ax 3＋2cx .∴x ＝1处的切线的斜率k ＝－2＝f ′(1)． ∴4a ＋2c ＝－2.由2x ＋y －2＝0，得x ＝1时，y ＝0， ∴点(1,0)在f (x )的图像上． ∴a ＋c －1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2c ＝－2，a ＋c －1＝0， 求得a ＝－2，c ＝3， 故函数f (x )＝－2x 4＋3x 2－1.11．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，记f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n (x )＝f n －1′(x )(n ∈N＋，n ≥2)，则f 1⎝⎛⎭⎫π2＋f 2⎝⎛⎭⎫π2＋…＋f 2 016⎝⎛⎭⎫π2＝________. 解析：f 1(x )＝sin x ＋cos x ， f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ，f 3(x )＝(cos x －sin x )′＝－sin x －cos x ， f 4(x )＝－cos x ＋sin x ，f 5(x )＝sin x ＋cos x ， 以此类推，可得出f n (x )＝f n ＋4(x )． 又f 1(x )＋f 2(x )＋f 3(x )＋f 4(x )＝0，∴f 1⎝⎛⎭⎫π2＋f 2⎝⎛⎭⎫π2＋…＋f 2 016⎝⎛⎭⎫π2＝f 1⎝⎛⎭⎫π2＋f 2⎝⎛⎭⎫π2＋f 3⎝⎛⎭⎫π2＋f 4⎝⎛⎭⎫π2＝0. 答案：012．函数f (x )＝(x －a )(x －b )(x －c )(a ，b ，c 是两两互不相等的常数)，则a f ′(a )＋b f ′(b )＋cf ′(c )＝__________________. 解析：∵f (x )＝x 3－(a ＋b ＋c )x 2＋(ab ＋bc ＋ca )x －abc ， ∴f ′(x )＝3x 2－2(a ＋b ＋c )x ＋ab ＋bc ＋ca .∴f ′(a )＝(a －b )(a －c )．同理f ′(b )＝(b －a )(b －c )，f ′(c )＝(c －a )(c －b )． 代入原式，得a f ′(a )＋b f ′(b )＋cf ′(c )＝0.答案：013．已知f (x )＝(x －1)(x －2)…(x －10)，则f ′(10)＝__________________. 解析：∵f (x )＝(x －1)(x －2)…(x －10) ＝[(x －1)(x －2)…(x －9)](x －10)，∴f ′(x )＝[(x －1)(x －2)…(x －9)]′(x －10)＋[(x －1)(x －2)…(x －9)](x －10)′ ＝[(x －1)(x －2)…(x －9)]′(x －10)＋(x －1)(x －2)…(x －9)． 故f ′(10)＝9×8×7×…×2×1＝362 880.答案：362 88014．对正整数n ，设曲线y ＝x n (1－x )在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为{a n }，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋1的前n 项和的公式． 解：∵y ＝x n (1－x )，∴y ′＝nx n －1(1－x )－x n ＝nx n －1－(n ＋1)x n .∴当x ＝2时，y ′＝n ·2n －1－(n ＋1)2n ＝－(n ＋2)·2n －1.∵f (2)＝－2n ，∴所求的切线方程为y ＋2n ＝－(n ＋2)·2n －1(x －2)．令x ＝0，则y ＝(n ＋1)·2n . ∴a n ＝(n ＋1)·2n ，a n n ＋1＝2n ，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋1的前n 项和为2(1－2n)1－2＝2n ＋1－2.15．已知函数y ＝f (x )＝a ＋b ln xx ＋1在点(1，f (1))处的切线方程为x ＋y ＝2，求a ，b 的值．解：由f (x )＝a ＋b ln xx ＋1⇒f ′(x )＝bx(x ＋1)－(a ＋b ln x )(x ＋1)2；由点(1，f (1))在直线x ＋y ＝2上⇒f (1)＝1；由直线x ＋y ＝2的斜率为－1⇒f ′(1)＝－1.故有⎩⎨⎧a2＝1，2b －a4＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－1.。
数学北师大选修22教材基础 第二章§3计算导数 含答案
§3 计算导数导数定义本身给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限，这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，我们将研究比较简捷的求导数的方法，本节课根据导数定义先来证明几个常见函数的导数公式.高手支招1细品教材 一、导函数一般地，如果一个函数f(x)在区间（a ，b ）上的每一点x 处都有导数，导数值记为f′(x):f′(x)=0lim→∆xx f x x f ∆-∆+)()(,则f′(x)是关于x 的函数，称f′(x)为f(x)的导函数，通常也称为导数.二、几种常见函数的导数 1.设y=c(常数)，则y′=0.（1）表述：常数函数的导数为零. （2）证明：∵Δy=f(x+Δx)-f(x)=c-c=0,xy ∆∆=0, ∴y′=c′=0lim→∆xy∆∆=0.∴y′=0. （3）我们可以用几何图形对公式加以说明：因为y=c 的图像是平行于x 轴的直线，其上任一点的切线即为直线本身，所以切线的斜率都是0. 【示例】设y=π2，则y′等于（ ）A.2πB.πC.0D.以上都不是思路分析：本题是对函数的求导问题，直接利用公式即可.因为π是常数，常数的导数为零，所以选C.答案：C状元笔记函数f(x)=x 、f(x)=x 2、f(x)=x -1是函数f(x)=x n (n ∈R )的特殊情况，它们的导数也是f(x)=x n (n ∈R )导数的特殊情况. 2.(x n )′=nx n-1(n 为实数).表述：正整数指数幂函数的导数等于幂指数n 与自变量的(n-1)次幂的乘积. 【示例】求函数y=321x在点x=8处的导数.解：y=x32-,y′=32-x 35-,y′|x=8=32-·835-=481-.3.(sinx)′=cosx.（1）表述：正弦函数的导数等于余弦函数. （2）证明：y ＝f(x)=sinx ，Δy=sin(x+Δx)－sinx=sinxcosΔx+cosxsinΔx -sinx ，xx x x x x x y ∆-∆+∆=∆∆sin sin cos cos sin ， y′=0lim →∆x =∆∆x y 0lim →∆x xxx x x x ∆-∆+∆sin sin cos cos sin=0lim→∆x xxx x x ∆∆+-∆sin cos )1(cos sin=0lim→∆x +∆∆-xxx )22sin 2(sin 0lim →∆x x x x ∆∆sin cos =0lim →∆x 4)2(22sin )sin 2(2x x x x ∆•∆∆•-+cosx =-2sinx·1·0+cosx=cosx ，∴y′=cosx. 【示例】求曲线y=sinx 在点A(6π,21)处的切线方程. 解：y′=cosx,曲线在点A 处的切线斜率为y′6|x x ==cos 6π=23. 所以，所求切线方程为y 21-=23(x-6π)，即63x-12y-3π+6=0. 状元笔记有些式子不能直接应用导数的公式，可以变形之后再应用导数公式. 4.(cosx)′=－sinx.（1）表述：余弦函数的导数等于正弦函数前面添一个负号. （2）证明：Δy=cos(x+Δx)-cosx=cosxcosΔx -sinxsinΔx -cosx,y′=0lim→∆x =∆∆x y 0lim→∆x x xx x x x ∆-∆-∆cos sin sin cos cos =0lim →∆x xx x x x ∆∆--∆sin sin )1(cos cos =0lim →∆x -∆∆-xxx )2sin 2(cos 20lim →∆x x x x∆∆sin sin =0lim →∆x 1sin 4)2(2sin )cos 2(22•-∆•∆∆-x x x x x =-2cosx·1·0-sinx=-sinx, ∴y′=-sinx【示例】求过曲线y=cosx 上点P(3π,21)且与过这点的切线垂直的直线方程. 思路分析：要求与切线垂直的直线方程，关键是确定切线的斜率，从已知条件分析，求切线的斜率是可行的途径，可先通过求导确定曲线在点P 处切线的斜率，再根据点斜式求出与切线垂直的直线方程. 解：∵y=cosx ， ∴y′=-sinx.曲线在点P(3π,21)处的切线斜率是y′3|π=x =-sin 3π=23-.∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为32，∴所求的直线方程为y 21-=32(x-3π)， 即2x-3y-32π+23=0. 高手支招2基础整理本节首先通过几个常用函数的导数的推导过程,进一步理解导数的定义.然后引入了几种常见的基本初等函数的导数公式. 几种常见函数的导数高手支招3综合探究1.通过函数y=f(x)在x 0处的导数的定义，探究x 0∈(a,b)时,y=f(x)在x 0处可导与y=f(x)在(a,b)内处处可导的等价性.自变量x 在x 0处有增量Δx,那么相应地函数y 也有增量Δy=f(x 0+Δx)－f(x 0),若0lim→∆x xy∆∆存在,则这个极限值为y=f(x)在x=x 0处的导数.x 0∈(a,b)时,y=f(x)在x 0处可导,只能说明在(a,b)内某一点x 0可导,而不能说明(a,b)内每点处都有导数,所以不能得到y=f(x)在(a,b)内处处可导;反之，y=f(x)在(a ，b)内处处可导，因为x 0∈(a,b),所以y=f(x)在x 0处可导，所以，y=f(x)在x 0∈(a,b)处可导是y=f(x)在（a,b ）内处处可导的必要而不充分条件. 2.求函数导数的流程图.我们根据导数的概念，可以得到一个求函数导数的流程图.利用该流程图可以推导出常见函数的导数.。
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活页作业(七) 计算导数
1．下列各式中正确的个数是( )
①(x 7)′＝7x 6；②(x －1)′＝x －2；
③⎝⎛⎭⎫1
x ′＝－12x －32；④(5x 2)′＝25x －3
5；
⑤(cos x )′＝－sin x ；⑥(cos 2)′＝－sin 2.
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
解析：②(x －1)′＝－x －2.
⑥(cos 2)′＝0. 答案：B
2．已知过曲线y ＝1
x 上一点P 的切线的斜率为－4，则点P 的坐标为( ) A ．⎝⎛⎭⎫1
2，2 B ．⎝⎛⎭⎫1
2，2或⎝⎛⎭⎫－1
2，－2
C ．⎝⎛⎭⎫－1
2，－2 D ．⎝⎛⎭⎫1
2，－2
解析：设切点P 的坐标为(x 0，y 0)．
∵y ＝1x ，∴y ′＝－1
x 2.
解k ＝－1
x 20＝－4，得x 0＝±12.
当x 0＝1
2时，y 0＝2；
当x 0＝－1
2时，y 0＝－2.
答案：B
3．已知f (x )＝x a ，若f ′(－1)＝－4，则a 的值等于( )
A ．4
B ．－4
C ．5
D ．－5
解析：f (x )＝x a ，f ′(x )＝ax a －1，
f ′(－1)＝a (－1)a －1＝－4，
∴a ＝4.
答案：A
4．已知曲线y ＝f (x )＝x 3在点(2,8)处的切线方程为y ＝kx ＋b ，则k －b 等于(
)
A ．4
B ．－4
C ．28
D ．－28
解析：∵点(2,8)在切线上，∴2k ＋b ＝8.①
又f ′(2)＝3×22＝12＝k ，② 由①②可得：k ＝12，b ＝－16，∴k －b ＝28.
答案：C
5．若曲线y ＝f (x )＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( )
A ．4x －y －3＝0
B ．x ＋4y －5＝0
C ．4x －y ＋3＝0
D ．x ＋4y ＋3＝0
解析：设切点为(x 0，y 0)，
l 的斜率k ＝f ′(x 0)＝4x 30＝4，x 0＝1，
∴切点为(1,1)．
∴l 的方程为y －1＝4(x －1)，
即4x －y －3＝0.
答案：A
6．已知f (x )＝1x ，g (x )＝mx ，且g ′(2)＝1f ′(2)
，则m ＝__________. 解析：f ′(x )＝－1x 2，g ′(x )＝m . ∵g ′(2)＝1f ′(2)
，∴m ＝－4. 答案：－4
7．设坐标平面上的抛物线E ：y ＝x 2，过第一象限的点(a ，a 2)作曲线E 的切线l ，则l 与y 轴的交点Q 的坐标为________．
解析：∵y ′＝2x ，
∴l ：y －a 2＝2a (x －a )．
令x ＝0，得y ＝－a 2.
∴l 与y 轴的交点坐标为(0，－a 2)．
答案：(0，－a 2)
8．曲线y ＝x 3＋3x 2＋6x －10的切线中，斜率最小的切线的方程为________．
解析：∵y ′＝3x 2＋6x ＋6＝3(x 2＋2x ＋2)＝
3(x ＋1)2＋3≥3，
∴当x ＝－1时，斜率最小，切点为(－1，－14)．
∴切线方程为y ＋14＝3(x ＋1)，
即3x －y －11＝0.
答案：3x －y －11＝0
9．求下列函数的导数：
(1)y ＝x 16；
(2)y ＝1x 8； (3)y ＝5x 3.
解：(1)y ′＝(x 16)′＝16x 15；
(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫1x 8′＝ (x －8)′＝－8x －9＝－8x 9； (3)y ′＝(5x 3)′＝(x 35)′＝35x －25＝355x 2
. 10．求曲线y ＝cos x 在点P ⎝⎛⎭⎫π3，12处的切线方程．
解：∵y ′＝(cos x )′＝－sin x ，
∴曲线过点P ⎝⎛⎭⎫π3，12的切线的斜率为
－sin π3＝－32
. ∴所求切线方程为y －12＝－32⎝⎛⎭
⎫x －π3， 即3x ＋2y －1－33π＝0.
11．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，则实数k 的值为________．
解析：y ′＝e x ，设切点为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ y 0＝kx 0，①y 0＝e x 0，②
k ＝e x 0，③
∴e x 0＝e x 0·x 0.∴x 0＝1.∴k ＝e.
答案：e
12．若曲线y ＝x －12在点 (a ，a －12
)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a ＝__________________.
解析：∵y ＝x －12，∴y ′＝－12x －32
. ∴曲线在点(a ，a －12)处的切线斜率k ＝－12a －32.
∴切线方程为y －a －12＝－12a －32
(x －a )． 令x ＝0得y ＝32a －12
； 令y ＝0得x ＝3a .
∵该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为
S ＝12·3a ·32a －12＝94a 12
＝18，∴a ＝64. 答案：64
13．已知A ，B ，C 三点在曲线y ＝x 上，其横坐标依次为1，m,4(1＜m ＜4)，当△ABC 的面积最大时，m 的值等于________．
解析：如右图，在△ABC 中，边AC 是确定的，要使△ABC 的面积最大．则点B 到直线AC 的距离应最大．可以将直线AC 作平行移动，显然当直线与曲线相切时，距离达到最大，即当过B 点的切线平行于直线AC 时，△ABC 的面积最大．
f ′(m )＝12m
，A 点的坐标为(1,1)，C 点的坐标为(4,2)，∴k AC ＝2－14－1＝13. ∴12m ＝13.∴m ＝94. 答案：94
14．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，试求f 2 015(x )． 解：f 1(x )＝(sin x )′＝cos x ，
f 2(x )＝(cos x )′＝－sin x ，
f 3(x )＝(－sin x )′＝－cos x ，
f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ，
f 5(x )＝(sin x )′＝f 1(x )，
f 6(x )＝f 2(x )，…，
f n ＋4(x )＝f n (x )，
可知周期为4，
∴f 2 015(x )＝f 3(x )＝－cos x .
15．设直线l 1与曲线y ＝x 相切于P 点，直线l 2过P 点且垂直于l 1，若l 2交x 轴于Q 点，作PK 垂直x 轴于K ，求KQ 的长．
解：设切点P 的坐标为(x 0，y 0)，则kl 1＝y ′|x ＝x 0＝12x 0
.又l 1与l 2垂直，故kl 2＝－2x 0 .
于是l2：y－y0＝－2x0(x－x0)．
令y＝0，则－y0＝－2x0(x Q－x0)．
即－x0＝－2x0(x Q－x0)，解得x Q＝1
2＋x0.
又由已知可得x K＝x P＝x0，
∴KQ＝|x Q－x0|＝1 2.。