有限群的局部ts-置换性

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群论中的置换群及其应用

群论中的置换群及其应用群论是数学中非常重要的一个分支，它主要研究群的性质及其应用。

而置换群作为群论中的一个基本概念，是群论研究的一个重要方向。

置换群是指某个集合中的所有元素在不同情况下的排列和变换所构成的一种群结构。

接下来，我将从置换群的概念、性质和应用三个方面进行详细介绍。

一、置换群的概念置换群的概念来源于群上的置换操作。

在数学中，置换指的是对于一个集合中的所有元素进行排列的一种操作。

这种操作可以看做是一个把集合内的所有元素重新排列的变化。

而一个置换群就是由集合中所有可能的置换操作构成的群结构。

在置换群中，每个置换操作都是一个置换元，而群结构就是由所有置换元的集合组成的。

置换群中的元素有两种表示方法，一是环形表达式，二是秩序表达式。

环形表达式指的是将元素描绘成一个环，按照环上的顺序进行排列，而秩序表达式则是按元素的秩序进行排列。

例如，一个置换群 {1, 2, 3} 就可以表示为 {(1 2 3), (1 3 2), (2 3), (1), (2), (3)}。

置换群有许多基本的性质，如封闭性、结合律、单位元、逆元等，同时还有一些特殊的性质，如循环群、置换群的阶等。

二、置换群的性质置换群不仅有基本性质，还有一些比较特殊的性质：1、置换群的循环群如果一个置换群中的元素可以由一个或多个置换循环所表示，那么这个置换群就是一个循环群。

循环群在加密算法中有着广泛的应用，可以支持数字签名、身份验证等多种功能。

2、置换群的阶置换群的阶指的是每个置换元的阶的最小公倍数。

其中，置换元的阶是指执行该置换元所需的最小步骤数。

阶在加密算法中也有很大的作用，例如可以用于求模运算的模数选择和随机数的生成。

3、可逆性置换群中的置换元有可逆和不可逆之分。

可逆的置换元可以通过执行逆置换来回到原始状态，而不可逆的置换元则无法回到原始状态。

可逆性在密码学中也有重要的应用，例如对称加密算法中使用的置换矩阵通常是可逆的。

三、置换群的应用置换群有着广泛的应用，特别是在密码学中。

置换群

[编辑本段]传递性
设G是Ω上一个置换群。若对任意α,β∈Ω，都可找到g∈G,使得αg=β,则称G在Ω上是传递的；否则，称G是非传递的。G是传递群当且仅当Ω是 G的一个轨道。因此，若G是传递群,则｜Ω｜是｜G｜的一个因子。若G是传递群，且｜Ω｜=｜G｜,则称G是一个正则群。正则群就是传递的半正则群。若在一个非正则传递群G中,每个非单位元素最多保持一个文字不变，则G 称为弗罗贝尼乌斯群。在弗罗贝尼乌斯群G中,没有不变文字的置换与恒等置换一起构成一个正则群R，R是G 的一个特征子群。若对于Ω中任意两个k元有序点组α1，α2,…,αk及β1,β2,…,βk,都有G中一个置换g使，则称G是一个 k重传递群或 k传递群。k重传递群一定是(k-1)重传递的。如果k≥2，那么k重传递群称为多重传递群，否则称为单传递群。如果G是Ω上一个传递群,那么当且仅当Gα在Ω-{α}上(K-1)重传递群时,G是k重传递的。k重传递的n元置换群G 的阶可被n(n-1)…(n-k+1)整除。若G 的阶恰等于n(n-1)…(n-k+1),则称G是一个精确 k重传递群。此时，对于Ω中任意两个k元点组α1,α2,…,αk;β1,β2,…,βk,在G中恰有一个g使α=βi,i=1，2，…，k。对称群Sn是 n重传递的，交错群An是n-2重传递的。除去Sn及An外，有无穷多个3重传递群，但是只知道4个4重传递群，它们是法国数学家 É.L.马蒂厄在1861年及1873年先后发现的次数分别为11，12，23及24的马蒂厄群M11,M12,M23,M24，其中M12及M24是5重传递的,而且M11是M12的稳定子群，M23是M24的稳定子群，它们的阶分别是。 M11及M12都是精确传递群。在1981年有限单群分类的问题解决以后，所有双重传递群已被决定,并且知道没有传递重数大于或等于6的传递单群，而交错群与上述4个马蒂厄群是仅有的4重传递的单置换群。M23的稳定子群是M22,也是一个单群,这5 个马蒂厄群是最早发现的不属于有限单群的无穷系列的5个零散单群。

抽象代数重要定理和习题

河北师范大学本科生毕业论文（设计）文献综述题目对有限群的认识作者姓名王涛指导教师邓明立所在学院数学与信息科学学院专业（系）代数与近现代数学史班级（届） 2010级目录中文摘要、关键词 (II)1、预备知识 (1)1.1基本定义 (1)1.2基本定理 (1)2、阶数不超过10的有限群 (3)3、有限群常见结论 (7)3.1对一般有限群成立的常见结论 (7)3.2对有限循环群成立的常见结论 (9)3.3对置换群成立的常见结论 (11)参考文献 (14)英文摘要、关键词 (III)对有限群的认识摘要本文主要讨论与有限群相关的一些基本知识.全文分三部分介绍：第一章，介绍一些与文章相关的基本定义和定理，为下文叙述作铺垫.第二章，从同构的角度分析了阶数不超过10的有限群.第三章，按照从一般到特殊的结构，先介绍了对一般有限群成立的结论，然后分别介绍了对有限循环群和置换群成立的结论.关键字有限群，有限循环群，置换群，有限群的阶对有限群的认识1.预备知识1.1基本定义定义1 若群G 中只有有限个元素,则称G 是有限群.而群G 中所含元素的个数叫群G 的阶;若群G 中有无限多个元素,则称G 是无限阶群.定义2 设G 是一个群,e 是G 的单位元,a ∈G ,若存在正整数n,使得n a =e,而对于小于n 的任意正整数m,都有m a ≠e,则称元a 的阶是n(或元a 的周期是n);若对任意的正整数n,都有n a ≠e,则称元a 的阶是∞.定义3 若一个群G 的每一个元都是G 的某一个固定元a 的乘方，而且a 的阶是有限整数，则称G 是有限循环群.定义4 若G 是有限集合的若干个置换作成的群，则称G 是一个置换群. 定义5 一个包含n 个元的集合的全体置换作成的群叫做n 次对称群. 1.2基本定理Lagrange 定理假定H 是一个有限群G 的一个子群，那么H 的阶n 和它在G 里的指数j 都能整除G 的阶N ，并且N=nj.证明首先证明一个子群与它的每一个右陪集之间都存在一个一一映射.事实上，设K 是一个子群，定义φ：K →Ka则φ为K 到Ka 间的一一映射.这是因为：（i ） K 的每一个元k 有一个唯一的象ka ，故φ为映射; （ii ） Ka 的每一个元ka 是K 中k 的象，故φ为满射；（iii ）假设12k a k a =，那么12k k =，故φ为K 到Ka 的一一映射从而子群的阶等于它的陪集的阶.G 的阶N 既是有限，H 的阶n 和它的指数j 也都是有限正整数.G 的N 个元被分成j 个右陪集，每一个右陪集都有n 个元，所以N=nj.推论一一个有限群的任意元的阶都能整除群的阶. 证明设G 为有限群，任取a ∈G ，设a 的阶为n ，由a 生成一个阶是n 的子群.由Lagrange 定理知，n 整除G 的阶.推论二设G 为一个阶是n 的有限群，则对G 中任一元a 一定有n a =e.证明由推论一知，a 的阶能整除n ，设a 的阶为m ，即有m|n ，从而存在整数q 使得n=qm.故n qm m q a a (a )e ===.推论三有限群中商群的阶整除群的阶. 证明设G 为有限群，N 为G 的不变子群，则商群GN中元的个数等于N 的指数，从而由Lagrange 定理知，GN 的阶整除群G 的阶.注：Lagrange 定理的逆命题：“设G 是有限群，若正整数m ，m 整除G 的阶，则G 有m 阶子群”不成立.例如设4A ={（1），（123），（132），（134），（143），（124），（142），（234），（243），（12）（34），（13）（24），（14）（23）}.由4A 对于4S 的乘法封闭知44A <S .称4A 为4次交换群.| 4A |=12,又6|12，但4A 没有6阶子群.事实上，若4A 有6阶子群H ，则单位元e=（1）∈H. 因4A 中有且只有3个二阶元（12）（34），（13）（24），（14）（23），故6阶子群H 中必有3-循环置换(abc)(a,b,c ∈{1,2,3,4}),于是（abc ）的逆元1abc acb H -=∈（）（）.因而在H 中， 3-循环置换成对出现.又（1）∈H ，于是H 中至少有一个2阶元，不妨设为（ab ）（cd ）. 因此（abc ）[(ab)(cd)]=(bdc)∈H ,1acd adc H -=∈（）（）,则H 中至少有7个元：（1），（abc ），（acb ），（ab ）（cd ），（bdc ），（acd ），(adc).此与|H|=6 矛盾.所以4A 没有6阶子群. Cayley 定理任何一个群都同一个变换群同构.证明假设G 是一个群，G 的元是a ，b ，c ， .在G 里任意取出一个元x 来，那么x τ：xg gx g τ→=是集合G 的一个变换.因为给了G 的任意元g ，能够得到一个唯一的G 的元x g τ，这样由G 的每一个元x ，可以得到G 的一个变换x τ.把所有这样得来的G 的变换放在一起，作成一个集合G ={a b c ,,,τττ }.那么:φx x τ→是G 到G 的满射.但消去律：x y gx gy ≠⇒≠告诉，若x y ≠,那么x y ττ≠.所以φ是G 与G 间的一一映射. 再进一步看，xy y x y x x g g(xy)(gx)y (g )y (g )g ττττττ=====这就是说，x y xy τττ=所以G 与G 间的同构映射，所以G 是一个群.但G 的单位元e 的象e :g ge g τ→=是G 的恒等变换ε，由于G 是G 的一个变换群.这样G 与G 的一个变换群G 同构.2.阶数不超过10的有限群设G 为有限群,记G 的阶为n, f(n) 为不同构的群G 的个数,有定理1 阶数是素数的群只能是循环群C. 证明元素的阶数正是元素产生的循环子群的阶数.子群的阶数是群阶数的约数，所以当群的阶数为素数时，除单位元e 外，元素的阶数只能等于群的阶数.因而循环子群就是群本身.一阶群只有一种：单位元群G={e} 二阶群只有一种：循环群2C ={e ，a}=（a ）证明2是素数，由定理1可得.三阶群只有一种：循环群3C ={e ，a ，2a }=（a ）证明3是素数，由定理1可得.四阶群只有两种：循环群4C ={e ，a ，2a ，3a }=（a ）≅4Z （模4的剩余类加群），四元群G={e ，a ，b ，ab} ≅ {e ，a ，b ，c}（Klein 四元群）证明设群G 的阶数是4.如果G 中含有四阶元a ，则G=（a ）≅4Z ；如果G 中没有四阶元，则G 中除单位元e 外，其余元的阶都是2.设G={e ，a ，b ，c}，其中2a =e ，2b =e ，2c =e.从而可以得到ab=ba=c ，ac=ca=b ，bc=cb=a ，这是因为：如果ab=e ，则a 2b =b ，而2b =e ，故a=b ，不可能.如果ab=a ，则b=e ，不可能. 如果ab=b ，则a=e ，也不可能.因此只能ab=c.同理可证其余等式.故G={e ，a ，b ，ab} ≅ {e ，a ，b ，c}.证毕.五阶群只有一种：循环群5C ={ e ，a ，2a ，3a ，4a }=（a ）证明5是素数，由定理1可得.六阶群只有两种：循环群6C ={ e ，a ，2a ，3a ，4a ，5a }=（a ）≅6Z （模6的剩余类加群），正三角形对称群3S =（a ，b ）={e ，a ，b ，ab ，2a ，a 2b }证明因为元素的周期构成循环子群，所以六阶群中，除单位元外，元素的阶数只能等于2，3，6.如果六阶群中有六阶元，则此群为循环群6C .如果六阶群中没有六阶元，而至少有一个元素的阶数为3，记作R ，它的周期构成的循环子群是指数为2的不变子群，记作{E ，R ，2R }.不失普遍性，陪集记作{012S ,S ,S }，满足m j j m R S S +=，其中j 3j S S +=.由重排定理，2j S 不能等于k S ，如果它等于R 或2R ，则j S 是六阶元素，与假设矛盾.因此2j S =E ，j S 都是二阶元素，并能推出m j m j R S S +=和m j j m S R S -=.这就是3S 群.最后如果六阶群中除单位元外元素的阶都是2，任取其中两个元素R 和S ，设RS=T ，由于单位元和逆元的唯一性，T 不等于单位元E ，也不等于R 或S ，E ，R 和T 组成的子集构成子群，同构于四阶反演群4V ，它的阶数不是6的约数，矛盾.证毕.七阶群只有一种：循环群7C 证明7是素数，由定理1可得.八阶群只有五种：循环群8C ，阿贝尔群4h C ，正方形对称群4D ，四元素群8Q 和阿贝尔群2h D .证明因为元素的周期构成循环子群，所以八阶群中，除单位元外，元素的阶数只能等于2，4和8.如果八阶群中有八阶元，则此群为循环群8C .如果八阶群中没有八阶元，而至少有一个元素的阶数为4，记作R ，它的周期构成的循环子群是指数为2的不变子群，记作{ E ，R ，2R ，3R }.陪集记作{012S ,S ,S ,3S }，满足m j j m R S S +=，其中j 4j S S +=.由重排定理，2j S 不能等于k S ，如果它等于R 或3R ，则j S 是八阶元素，与假设矛盾.如果至少有一个22j S R =，不失一般性，设221S R =，则1S 是4阶元素，1321113S S R S S -===，而且223S R =.现在存在两种情况.如果220S R =，同理有13002S S S -==，222S R =和2332100011S S RS R ,S S R S R ====，因而此群同构于四元素群8Q ，同构关系为30211R i ,S i ,S i σσσ↔↔↔；如果2202S S =E =，则由332R S S =取逆得121S R S R S ==，故有33S R RS =.由303R S S =取逆得010S R S =RS =，同理22S R=RS .而且12011S S =R S R -=和2100S S =RS R =，因而此群同构于阿贝尔群4h C =42C V ⨯，同构关系为4014R C ,S ,S C σσ↔↔↔.其中σ是空间反演.如果所有j S 都是二阶元素，2j S E =，则由m j j m R S S +=可推出m j m j R S S +=和m j j-m S R S =，因而此群同构于4D 群，同构关系为30211R i ,S ,S σσσ↔↔↔. 最后，如果八阶群中没有八阶和四阶元素，即除单位元外所有元素都是二阶元素，则得阿贝尔群2h D =22D V ⨯.证毕.九阶群只有二种：循环群9C ，阿贝尔群证明九阶群中，除单位元外，元素的阶数只能等于3或9.如果九阶群中至少有一个元素的阶数为9，则此群为循环群9C .如果九阶群中没有九阶元素，即除单位元外的元素都是三阶元素.任取一个三阶元素，记作A ，由A 构成的循环子群为{E ，A ，2A }，一个右陪集记作{B ，C ，D}.不失一般性，可设AB=C ，AC=D ，AD=B. B ，C 和D 都是三阶元素，它们的平方不能等于E ，A 或2A ，又有重排定理，它们的平方也不能等于B ，C 或D ，它们互相间也不能相等，因而可把群中其余三个元素记作22B ,C 和2D ，构成另一个右陪集.由重排定理，2AB =CB 不能等于2C 和2B ，因而只能等于2D .其他乘积关系都可由这些公式推出，从而得此群的乘法表.由乘法表知此群是阿贝尔群.因此九阶群有两类：循环群9C 和阿贝尔群.证毕.十阶群只有两种：循环群10C ，正五边形对称群5D 证明十阶群中，除单位元外，元素的阶数只能等于2，5和10.如果十阶群中有一个阶数为10的元，则此群为循环群10C .如果十阶群中除单位元外的元素都是二阶元素，任取R 和S ，设RS=T ，则有四阶子群{E ，R ，S ，T}，同构于四阶反演群，子群阶数不是10的约数，矛盾. 如果十阶群中没有十阶元素，而至少有一个元素的阶数是5，记作R ，它的周期构成的循环子群是指数为2的不变子群，{E ，R ，234R ,R ,R }.不失一般性，陪集记作{012S ,S ,S ,3S ,4S }，满足m j j m R S S +=，其中j 5j S S +=.由重排定理，2j S 不能等于k S ，如果它等于j R ，其中j 不是5的倍数，则j S 是十阶元素，与假设矛盾.因此2j S =E ，j S 都是二阶元素，有m j m j R S S +=和m j j-m S R S =.这正是正五边形对称群5D .因此十阶群只有10C 和5D 两个不同构的群.证毕.3.有限群常见结论3.1对一般有限群成立的常见结论 1. 任意群G 的单位元e 的阶都是1.2. 设G 是一个群,元a 的阶是n,对任意的正整数m,若m a =e 则n|m.证明已知元a 的阶是n,则n a =e.由整数的带余除法,存在整数q 和r,使得m=nq+r其中0≤r<n.若r ≠0,则m nq r nq r n q r q r r a a a a (a )a e a a +=====.这与a 的阶是n 相矛盾,则r= 0,即m=nq,于是n|m.3. 设G 是一个群,a ∈G ,则a 与a 的逆元1a -有相同的阶.证明设a 的阶是n,1a -的阶是m,则有n a =e, 1m (a )e -=,而e=1m (a )-=m 1(a )-,则m a =e,由3.1.2知有n|m.另一方面1n n 1(a )(a )e --==,由3.1.2知有m|n;于是m=n.4. 设G 是一个群,a ∈G ,对任意 c ∈G ,则1cac -与a 有相同的阶.证明设a 的阶是n ，1cac -的阶是m ，则有n a =e ，1m (cac )e -=，1n 111n 1(cac )(cac )(cac )(cac )ca c e -----=== ,由3.1.2知有m|n. 另一方面1m111(c a c)(c a c )(c a c )(c a-----=== ,从而m 1m 1a c(c a c )c c e c e ---===，由3.1.2知有n|m.于是m=n.5. G 是一个群,对 a,b ∈G ,则ab 与ba 有相同的阶.证明因为ab=1b (ba)b -,则由3.1.4知ab 与ba 有相同的阶.6. G 是一个群,a 与b 的阶分别为m 和n,且 (m,n) = 1,ab=ba,则ab 的的阶为mn.证明设ab 的阶是k,由于mn mn mn m n n m (ab)a b (a )(b )e ===，则k|mn;另一方面,k m km km km m k km km km e ((ab))(ab)a b (a )b eb b ======所以n|km,由于(m,n) =1,则n|k,同理m|k,再有由(m,n) = 1,有mn|k,于是k=mn.7. 设G 是一个群,a ∈G ,a 的阶是n,r 是任意整数,(n,r) =d,则r a 的阶是nd.证明设ra 的阶是k,则r k(a )=e.而n n r r n r ddd(a )aae ⋅⋅===由3.1.2知有k|nd,另一方面,rk r k a (a )e ==,由3.1.2知有n|rk.因此nd|rdk,而(n,r)=d,故 (nd,rd) = 1,于是nd|k.这样k=nd.8. 一个有限群的每一个元的阶都有限.证明设G 是一个有限群,对 a ∈G ,由群的定义可知,a ，23n a ,a ,,a ,⋯⋯都是G 中的元,因为G 是一个有限群,则一定存在正整数m,n,m>n,使得m n a a =,等式两端同乘-n a 有m-n a =e,于是存在正整数s=m-n 使s a =e.因而必有使r a =e 的最小正整数r 存在,即a 的阶是有限的.注:该命题的逆命题：“每一个元的阶都有限的群是有限群”不成立.例如G={z|z 是复数，n z =1，n=1，2， }对于普通乘法来说作成一个群.事实上，已知非零复数集*C 对于复数乘法封闭.任取x ，y ∈G ，从而xy ∈G ，存在自然数m ，n ，使得m x =1，n y =1.令k 是m ，n 的最小公倍数，则k k k xy x y =（）=1，从而xy ∈G ，所以G 对于复数乘法封闭.又任取x ∈G ，存在自然数n ，使得n x =1，则1n n 1x (x )--=（）=1，从而1x -∈G .因此G 是*C 的一个子群.任取z ∈G ，存在正整数m ，使得m z =1.故G 中每个元的阶都有限，但G 是无限群. 9. 在一个有限群里阶大于2的元的个数是偶数.证明设G 是一个有限群.若G 中没有阶大于2的元,则结论显然成立.设G 中有阶大于2的元.(1)设a ∈G ,且a 的阶n>2,由3.1.3.知1a -的阶也是n,且1a -≠a.事实上,若1a -=a,那么2a =e,这与a 的阶n> 2相矛盾,所以1a -≠a.(2)设b ∈G ,且b 的阶大于2,b ≠a, 1a -，则1b -≠a, 1a -.事实上,若1b -=a,那么b= 11(b )--=1a -,这与1b -≠a, 1a -的假设相矛盾,所以1b -≠a.同理可证1b -≠1a -.综合(1)和(2)则知,G 中阶大于2的元总是成对出现.又G 是有限群,所以G 中阶大于2的元的个数一定是偶数.10. 若G 是一个阶为偶数的有限群,则G 中阶等于2的元的个数一定是奇数.证明由3.1.9知G 中阶大于2的元的个数是偶数.而G 中只有单位元e 的阶是1,又G 的阶是偶数,所以G 中阶等于2的元的个数一定是奇数.注：任意偶数阶有限群至少有一个二阶元.3.2对有限循环群成立的常见结论定理2 设G 是一个由元a 所生成的有限循环群，a 的阶是一个整数n ，那么G 与模n 的剩余类加群同构.证明设a 的阶是n ，n a =e.这是，h k a a =当且仅当n |h k -的时候. 假如n |h k -，那么h k nq -=，h nq k =+，h nq+k nq k n q k k k a a a a (a )a ea a =====；假如h k a a =，令h-k=nq+r,0r n 1≤≤-，那么h k nq r nq r r r e=a a a a ea a -+====.由阶的定义r=0.这就是说n |h k -.这样，k a [k ]→是G 与剩余类加群G 间的一一映射，但h k h k a a a [h k][h][k]+=→+=+，所以G G ≅.1. 一个循环群一定是交换群证明设G=（a ），任取h k a ,a G ∈，都有h k h k k h k h a a a a a a ++===.所以循环群是交换群.2. 假定a 生成一个阶是n 的循环群G .假如（r ，n ）=1，则r a 也生成G .证明只须证（a ）=（r a ）.显然（r a ）⊂（a ），下面证明（a ）⊂（r a ），也就是要证明生成元a 是r a 的乘方.由（r ，n ）=1，,Z λμ∃∈，使得r n=1λμ+.从而r nr n r a aa (a)(a )e (a )λμλμλμλ+====.∀h a (a)∈,有h r h r h r a ((a ))(a )(a )λλ==∈.因此（a ）⊂（r a ）.综上，有r (a )(a)G ==.注:该命题的逆命题也成立，即G=（a ）的阶为n ，且G=r (a )，则（r ，n ）=1.事实上，因r a G=(a )∈，故存在m Z ∈，使得a=r m rm (a )a =，从而1-rm a e =.因|a|=n ，故n|1-rm ，于是存在q Z ∈，使得1-rm=nq ，即rm+nq=1.所以（r ，n ）=1. 3. 一个阶为mn （m ，n 是正整数）的循环群有阶为m 和阶为n 的元素.证明设G=（a ），且|G|=mn ，从而|a|=mn ，于是mn m n n m a (a )(a )e ===,任取k ：0<k<n, m k mk (a )a e =≠（因0<mk<mn,又|a|=mn ）,所以|m a |=n.同理|n a |=m.4. 设G 是有限循环群，任取正整数m ，m 整除G 的阶，则G 有m 阶元，从而G有m 阶子群.证明因m 整除G 的阶，故|G|=ms ，s Z ∈.设G=（a ），由3.2.3知|s a |=m ，且G有m 阶子群（s a ）.5. 阶是m p 的群（p 是素数）一定包含一个阶是p 的子群.证明设群G 的阶是m p ，那么G 中任意非单位元a 的阶n 都是m p 的因子，所以n=i p ,1i m ≤≤.如果i=1，则a 的阶是p ，从而（a ）是p 阶子群；如果i>1，则i 1p a -的阶是p ，从而（i 1p a -）是p 阶子群.6. 设群G ≠{e}，则G 是素数阶循环群的充分必要条件是G 除单位元群{e}和本身G 外无其他子群.证明必要性由Lagrange 定理知显然.充分性因G ≠{e}，故存在x ∈G ，而x ≠e ，有(x)≠{e}，故由已知(x)=G ，从而G 是循环群.下面证明|x|为素数.事实上，假设不然，如果|x|=∞，则G 有子群(2x ).而(2x )≠{e}，又(2x )≠(x)=G ，此与已知矛盾，于是|x|有限.又|x|≠1，从而|x|为合数，于是存在正整数k ，且k ≠1，可≠|x|，使得k整除|x|，1<k<|x|,从而G 有子群(k x ).但|(k x )|=|k x |=|x |k既不等于1又不等于|x|，又产生了矛盾.所以|x|是素数.因此G=(x)是素数阶循环群.7. 假定G 和G 是两个有限循环群，他们的阶各是m 和n ，则G 和G 同态的充分必要条件是n|m证明必要性设G 和G 同态，其同态核是N ，那么GNG ≅，因此GN的阶为n ，但GN的阶能整除G 的阶，故n|m.充分性设n|m ，且G=(a)，G =(a )，定义kk :a a φ→，则φ是G 到G 的一个同态满射.事实上，首先若k s a a =，那么k-s a e =，从而m|k-s.又n|m ，故n|k-s ，从而k sa-=e ，k s a a =，这说明φ是一个映射.其次,任取ka G ∈，有k a G ∈，使得kk (a )a φ=，故φ是一个满射.最后，对任意的k a ，s a G ∈，有k+sk sk s k+s k s (a a )(a )a a a (a )(a )φφφφ====，故φ是G 到G 的一个同态满射，于是G G .8. 阶是素数的群一定是循环群.证明设群G 的阶是素数p ，因为p ≥2，故存在a G ∈，而a ≠e ，即|a|≠1.且|a|整除p ，但p 是素数，|a|≠1，从而|a|=p.即|(a)|=p ，又|G|=p ，且(a)⊂G ，所以G=(a).注：该命题的逆命题不成立，即循环群未必是素数阶的.例如循环群4Z ([1])=是4阶群. 9. 任何2p (p 为素数)阶群都为可交换群.证明设群G 的阶为2p .因为素数幂阶群的中心C 的阶不等于1,所以它的中心C 的阶只能为p 或2p .若 C 的阶为p,则C ⊄ G ,从而存在x ∈G\C.又C ⊂G C (x), |G C (x)|>p,但G C (x)≤G ,故G C (x)的阶整除p ，因此|G C (x)|=2p ,即有G C (x)=G ,于是有x ∈C,矛盾.故|C| =2p ,即C=G .所以G 是交换群.3.3对置换群成立的常见结论定理3 每一个有限群都与一个置换群同构.证明由Cayley 定理的证明知，任何一个群G 都与G 的一个变换群G 同构.今设G是有限群，从而G 的一个变换群G 就是置换群.所以每一个有限群都与一个置换群同构. 1. 在n 次对称群n S 中，1)两个不相连的循环置换可以交换； 2)-112k k k-11(i i i )=(i i i ) .证明 1)设π与'π为两个不相连的循环置换，于是任一元素i ∈{1，2，，n}，若π使i 变动，则i 在'π下必不变，从而i π=j ≠i.因此j (i )i j ππππ=≠=，即j 也是被π变动的元素.因而i ，j 在'π都不变.于是有'''''i(i )j j,i(i )i j ππππππππππ======.即'i ππ='i ππ.同理，对于任一被'π变动的元k 也有'kππ='kππ.而对于那些在π与'π下均不变的元素s 来说，显然有's ππ=s='s ππ.所以'ππ='ππ.2)因为12k (i i i ) k k-11(i i i ) =(1i )是恒等置换，也就是n 次对称群n S 的单位元，所以-112k k k-11(i i i )=(i i i ) .2.n S 的一个k-循环置换的阶是k.证明设π=（12k i i i ）是n S 的一个k-循环置换，则232312131 4232425i i ,i i ,i i ,i i ,i i ,i i ,ππππππ======2323k-1k k-11k-12k 1k2k 3i i ,i i ,i i ,i i ,i i ,i i ,ππππππ======一般来说，若j=1，2，，k ，1≤s ≤k ，则 sj s j i i ,s j k π+=+≤时，s j s j-k i i ,s j>k π+=+时，从而s=k 时，有kj s j-k j i i i π+==，j=1，2，，k.显然kj j i i π=，j=k+1,k+2, ,n.所以k π=（1）是n S 的单位元.当1≤s ≤k-1时，s1s+11i i i π=≠（因为s+1≤k ，s ≠0），即s (1)π≠ 所以|π|=k.3. 任一置换π都可以写成不相连的循环置换的乘积，而且π的阶等于这些循环置换的长的最小公倍数.证明 1）用归纳法. 当π不使任何元变动的时候，就是当π是恒等置换的时候，结论是对的.假定对于最多变动r-1（r ≤n ）个元的π结论是对的.现在看一个变动r 个元的π，任取一个被π变动的元1i a ，从1i a 出发找1i a 的象2i a ，2i a 的象3i a ，这样找下去，直到第一次找到一个k i a 为止，这个k i a 的象不再是一个新的元，而是已经得到过的一个元：k j i i a a ,j k.π=≤因为一共只有n 个元，这样的k i a 一定存在.事实上，k i a 的象是1i a ，因为j i a （2≤j ≤k ）已经是j-1i a 的象，不能再是k i a 的象.这样，得到12k 1i i i i a a a a →→→→ 因为π只使r 个元变动，k ≤r.假如k=r ，π本身是一个循环置换，结论成立. 假如k<r,则π=12k k+1r r 1n ''231k 1r r 1n i i i i i i i i i i i i i i +++⎛⎫⎪⎝⎭=12k k+1r r 1n 12k k+1r r 1n ''231k 1r r 1n 12k k 1r r 1n i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i ++++++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=（12k i i i ）1π但1π只使得r-k<r 个元变动，照归纳法的假定，可以写成不相连的循环置换的乘积：1π=12m ηηη 在这些η里，12k i ,i ,,i 不会出现.不然的话，s p q (i i )η= ，p ≤k 那么p i 同q i 不会再在其余的η里出现，1π也必使p q i i a a →，但1π使得p i a 不动，这是一个矛盾.这样，π是不相连的循环置换的乘积：π=（12k i i i ）12m ηηη . 2）设π可写成不相连的循环置换的乘积π=12s ηηη .由于对任意整数t ，有t t t t 12s πηηη= .所以t π=e ⇔t i η=e ，i=1，2，，s.又因|i η|=i η的长度i l ，故t i η=e ⇔i l |t.从而，t π=e ⇔i l |t ，i=1，2，，s.设|π|=d ，则d π=e i l |d ⇒，即d 是12s l ,l ,,l 的公倍数.设k 是12s l ,l ,,l 的任一公倍数，则k i l |d e d|k π⇒=⇒.所以d 是12s l ,l ,,l 的最小公倍数.4. n S 的每一个元都可以写成（12），（13），……，（1n ）这n-1个2-循环置换中的若干个的乘积.证明由于每一个置换π都可以写成若干个不相连的循环置换的乘积，所以只需证明一个循环置换可以写成若干个置换(1 i)（i=2，3，，n ）的乘积.可分以下两种情况：1）1在循环置换π中出现，这时，π=（12k-11 i i i ）=（11i ）（12i ）（1k-1i ）； 2）1不在循环置换π中出现，这时，π=12k ( i i i ) =（12k-11 i i i ）(11 i )=（11i ）（12i ） (k 1 i )(11 i ).近世代数的。

第6节置换群

定义
, ik 和 j1 , j2 , , js 都是循环置换,如果与不含相同元素，
设 i1 , i2 ,
则称与定理3

ik

是不相连（交）的.
每个置换都可表成不相连循环置换之积.
j1 j2 js a js a i1 j1 j2 b b
（i1 i2 i3 ik )，（i2 i3 ik i1 )，，或（ik i1 i2 ik 1 )
注：循环置换的表示一般也不是唯一的。习惯上，称2-轮换为对换；单位置换常记为
(1) (2) (3)
( n)
S3 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 例三次对称群为：
, 2 , 3 ,求A的全体置换. 例1 设 A 1
2 3 1 0 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2
2 3 1 1 3 2 1 2 3 1 3 3 1 2
1 p1 2 p2 n p1 1 pn 1
p2 2 pn n
注意：置换乘法没有交换律。如
2 3 2 3 1 1 5 1 3 2 1 1 3 2 2 3 1 2 3 1 2 3 1 1 5 3 2 3 2 1 3 1 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 5 1 3 2 1 1 3 2 2 3 1
二、置换的矩阵表示
考虑任意有限集合，不妨设 A 置换
1, 2,
n pn
, n
: 1 p1 , 2 p2 ,
, n pn
可表示为

有限群的几乎s-半置换子群

第38卷第4期西南师范大学学报(自然科学版)2013年4月V o l.38N o.4J o u r n a l o f S o u t h w e s t C h i n aN o r m a lU n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c eE d i t i o n)A p r.2013文章编号:10005471(2013)04001204有限群的几乎s-半置换子群①郭纪莲,李金宝,陈贵云西南大学数学与统计学院,重庆400715摘要:群G的子群H称为在G中几乎s-半置换的,如果G中有一个子群T,使得G=HT,且HɘT在T中是s-半置换的.利用子群的几乎s-半置换性,得到了有限群G为超可解群的一些充要条件.关键词:有限群;几乎s-半置换子群;超可解中图分类号:O152.1文献标志码:A在有限群的研究过程中,正规子群起着十分重要的作用,许多群论研究者从不同的角度对正规子群进行了推广.文献[1]引入了s-半置换子群的概念.文献[2-4]对s-半置换子群进行了研究.文献[5-6]介绍了弱s-半置换子群的概念并对其进行了研究.本文在此基础上,给出了几乎s-半置换子群的概念,并利用其性质来研究它对有限群结构的影响,得到了有限群为超可解群的一些充要条件.定义1设H是群G的子群.称H在G中是几乎s-半置换的,如果G中有一个子群T,使得G=H T,且HɘT在T中是s-半置换的.显然,s-半置换子群为几乎s-半置换子群.反之不然.例1设G=S4,H=<(12)>,T=A4.则G=H T,HɘT=1,且H在G中几乎s-半置换.另一方面,设P3=<(234)>,则P3HʂH P3,且H在G中不是s-半置换的.另外,弱s-半置换子群和几乎s-半置换子群是两个不同的概念.例2设G=C3~S3,H是S3的一个S y l o w3-子群,T=K C2,其中K=C3ˑC3ˑC3,C2是S3的一个S y l o w2-子群.则G=H T,HɘT=1.因为T在G中不是次正规的,所以H在G中是几乎s-半置换的,但不是弱s-半置换的.引理1设G为有限群,HɤG,若H为G的几乎s-半置换子群,则(i)若HɤKɤG,那么H在K中几乎s-半置换;(i i)若N◁_G,H是一个p-群,pɪπ(G),(p,|N|)=1,那么H N/N在G/N中几乎s-半置换;(i i i)若N◁_G,H是一个p-群,NɤH,那么H/N在G/N中几乎s-半置换.证(i)由假设知,G有子群T,使得G=H T,且HɘT在T中s-半置换.从而有K=KɘH T=H(KɘT)Hɘ(KɘT)=HɘTɤKɘTɤT由文献[3]知HɘT在KɘT中是s-半置换的.因此H在K中几乎s-半置换.(i i)由假设知,G有子群T,使得G=H T,且HɘT在T中s-半置换.因为(p,|N|)=1,所以NɤO p(G)ɤT.从而有①收稿日期:20120327基金项目:重庆市自然科学基金项目(C S T C,2009B B8111).Copyright©博看网. All Rights Reserved.作者简介:郭纪莲(1986),女,山西吕梁人,硕士研究生,主要从事有限群论的研究.通信作者:陈贵云,教授.G /N =(H N /N )(T /N ) (H N /N )ɘ(T /N )=(H ɘT )N /N 由文献[3]知,H N /N 在G /N 中几乎s -半置换.(i i i )由假设知,G 有子群T ,使得G =H T ,且H ɘT 在T 中s -半置换.从而有G /N =(H /N )(T N /N ) (H /N )ɘ(T N /N )=(H ɘT )N /N 由文献[3]知,H /N 在G /N 中几乎s -半置换.引理2 设G 是一个群,那么G 是超可解的当且仅当G 有正规子群N 使得G /N 超可解,且N 的每个非循环S yl o w 子群的极小子群或4阶循环群在G 中是几乎s -半置换的.证必要性是显然的,只需证充分性.假设充分性不真,设G 为极小反例.任取G 的一极大子群M .因为M /(M ɘN )≅MN /N ɤG /N ,所以M /(M ɘN )超可解.由引理1知M ɘN 的每个非循环S yl o w 子群的极小子群或4阶循环群在M 中几乎s -半置换,因此M 满足条件假设,故M 是超可解的.从而G 为极小非超可解群.由文献[7]的定理3.4.2和定理3.11.8知:(a )对于素数p ɪπ(G ),G 有非循环的正规S y l o w p -子群P =G U ,使得P /Φ(P )是G 的一个主因子;(b )若p =2,则e x p (P )ɤ4;若p >2,则e x p(P )=p .设x ɪP \Φ(P ),则|x |=p 或|x |=4.由假设知,G 有子群T ,使得G =<x >T ,且<x >ɘT 在T 中s -半置换.假设T <G .因为P /Φ(P )是G 的一个主因子,所以P /Φ(P )是G /Φ(P )的交换的极小正规子群.从而有(P ɘT )Φ(P )/Φ(P )◁_P T /Φ(P )=G/Φ(P )由P /Φ(P )的极小正规性知(P ɘT )Φ(P )=Φ(P )或(P ɘT )Φ(P )=P .若(P ɘT )Φ(P )=Φ(P ),则P ɘT ɤΦ(P ),从而有P =P ɘ<x >T =<x >(P ɘT )=<x >,矛盾;若(P ɘT )Φ(P )=P ,则P ɘT =P ,P ɤT ,G =<x >T =T ,矛盾.所以G =T ,则<x >在G 中s -半置换.设Q ɪS y l q (G ),其中q ʂp .则<x >Q =Q <x > <x >=<x >(P ɘQ )=P ɘ<x >Q ◁_<x >Q 所以Q ɤN G (<x >).由P /Φ(P )的交换性知<x >Φ(P )/Φ(P )◁_P /Φ(P ).由q 的任意性知<x >Φ(P )/Φ(P )◁_G /Φ(P )所以<x >Φ(P )/Φ(P )=P /Φ(P ),<x >Φ(P )=P ,<x >=P ,矛盾.因此极小反例不存在,故G 超可解.定理1 设G 是一个群,那么G 是超可解群当且仅当G 有一个可解的正规子群N ,使得G /N 是超可解的,且F (N )的每个非循环的S y l o w 子群的极大子群在G 中几乎s -半置换.证必要性是显然的,只需证充分性.假设充分性不真,设G 为极小反例,设P ɪS y l p (F (N )).因为P c h a r F (N )◁_G ,所以P ◁_G .(1ʎ)P ɘΦ(G )=1.假设P ɘΦ(G )ʂ1.记R =P ɘΦ(G ).由假设知G /R 有可解的正规子群N /R ,且(G /R )/(N /R )≅G/N 是超可解的.由于R ɤΦ(G ),所以F (N /R )=F (N )/R .设P 1/R 是F (N /R )的任一非循环的S y l o w 子群的极大子群,则由假设和引理1知,P 1/R 在G /R 中几乎s -半置换.因此G /R 满足条件假设.由G 的选择知,G /R 是超可解的,从而G 是超可解的,矛盾.故P ɘΦ(G )=1.(2ʎ)P =R 1ˑR 2ˑ ˑR m ,其中R i (i =1,2, ,m )是G 素数阶的极小正规子群.由步骤(1ʎ)和文献[7]的定理1.8.17知,P =R 1ˑR 2ˑ ˑR m ,其中R i (i =1,2, ,m )是G 交换的极小正规子群.下证|R i |=p .因为R i ⊈Φ(G ),于是G 有一极大子群M ,使得G =M R i 且R i ɘM =1.设M p 是M 的S y l o w p -子群.则G p =M p R i =M p P 是G 的一个S yl o w p -子群.设P 1是G p 的一个包含M p 的极大子群,且令P 2=P 1ɘP ,则|P ʒP 2|=|P ʒP 1ɘP |=|G p ʒP 1|=p于是P 2是P 的极大子群.由假设可知,G 有子群T ,使得G =P 2T ,且P 2ɘT 在T 中s -半置换.任取T的一个S y l o w q -子群T q ,其中p ʂq ,则T q 是G 的一个S y l o w q -子群,且(P 2ɘT )T q =T q (P 2ɘT ).因为P 2ɘT =(P 2ɘT )(P ɘT q )=P ɘ(P 2ɘT )T q ◁_(P 2ɘT )T q 31第4期郭纪莲,等:有限群的几乎s -半置换子群Copyright ©博看网. All Rights Reserved.所以T q ɤN G (P 2ɘT ).另一方面,由于G =P T ,且P 是交换的,P ɘT ◁_G ,从而P 2ɘT =P 1ɘP ɘT ◁_P 1.因此P 2ɘT ◁_P P 1=G p由上面的讨论,我们有P 2ɘT ◁_G ,因此P 2ɘT ɤ(P 2)G .假设P 2ɘT <(P 2)G ,设N =(P 2)GT ,则G =P 2T =P 2(P 2)G T =P 2N P 2ɘN =P 2ɘ(P 2)G T =(P 2)G (P 2ɘT )=(P 2)G于是存在K ɤG ,使得G =P 2K ,P 2ɘK =(P 2)G .因为P 2是P 的极大子群且P 交换,所以P 2(P ɘM )=P 或P 2(P ɘM )=P 2.若P 2(P ɘM )=P ,则G =P 2(P ɘM )M =P 2M ,从而P =P ɘP 2M =P 2(P ɘM )=P 2(P ɘM p )=P 2(P ɘP 1ɘM )=P 2(P 2ɘM )=P 2矛盾.故P 2(P ɘM )=P 2,因此P ɘM ɤ(P 2)G =P 2ɘK .假设K <G ,设K ɤK 1且K 1是G 的极大子群,则G =P K 1且P ɘK 1◁_G ,从而(P ɘK 1)M ɤG .由M 的极大性知,(P ɘK 1)M =G 或(P ɘK 1)M=M .若(P ɘK 1)M =G ,则由P ɘM ɤ(P 2)G =P 2ɘK <P ɘK 1知P =P ɘ(P ɘK 1)M =(P ɘK 1)(P ɘM )=P ɘK 1于是P ɤK 1,G =P K =K 1,矛盾.故(P ɘK 1)M =M .从而P ɘK 1ɤM P 2ɘK ɤP ɘK ɤP ɘK 1=P ɘK 1ɘM ɤP ɘM ɤP 2ɘK 故P 2ɘK =P ɘK .因为G =P K =P 2K ,所以|G ʒP |=|G ʒP 2|,矛盾.这一矛盾表明G =K ,从而P 2ɘK =P 2=(P 2)G ◁_G .因此P 2ɘR i ◁_G .由R i 的极小性知,P 2ɘR i =R i 或P 2ɘR i =1.若P 2ɘR i=R i ,则R i ɤP 2,与R i ɤ/P 1矛盾.故P 2ɘR i =1,|R i |=|R i ʒP 2ɘR i |=|R iP 2ʒP 2|=|P ʒP 2|=p(3ʎ)极小反例不存在.由步骤(2ʎ)知,G /C G (R i )是交换的,其中i =1,2, ,m .因此G ᶄɤC G (R i ),于是G ᶄɤC G (F (N )).从而G ᶄɘN ɤC G (F (N ))=F (N ),且G ᶄɘN 的每个G -主因子都是循环的.又因为G /(G ᶄɘN )是超可解的,所以G 是超可解的,矛盾.故极小反例不存在,定理1得证.定理2 设G 是一个群,那么G 是超可解的当且仅当G 有一个可解的正规子群N ,使得G /N 是超可解的,且F (N )的每个非循环的S y l o w 子群的极小子群或4阶循环子群在G 中几乎s -半置换.证必要性是显然的,只需证充分性.假设充分性不真,且设G 为极小反例.设p 是|F (N )|的最小素因子,P ɪS y l p (F (N )).因为P c h a r F (N )◁_G ,所以P ◁_N .(1ʎ)F (N )ʂN ,C N (F (N ))ɤF (N ).若F (N )=N ,由引理2知G 超可解,矛盾.因为N 是可解群,所以C N (F (N ))ɤF (N ).(2ʎ)设V /P =F (N /P ),Q ɪS y l q (V ),q ɪπ(V /P ),那么p ʂq .若p <q ,则Q ɤF (N );若p >q ,则C Q (P )=1.因为V /P 是幂零群,Q P /P c h a r V /P ◁_N /P ,所以Q P ◁_N .若p =q ,则Q P ɤF (N ),与P ɪS y l p (F (N ))矛盾.由引理2知P Q 是超可解的.若p <q ,则Q c h a r P Q ◁_N ,从而Q ɤF (N );若p >q ,则p >2.因为p 是|F (N )|的最小素因子,所以F (N )是q ᶄ群.设R ɪS y l r (F (N ))且r ʂp .则r ʂq 且[R P /P ,Q P /P ]=1,从而[R ,Q ]ɤP .假设有x ɪQ ,则x ɪC N (P ).因为V /P 幂零,由文献[8]的定理5.3.6知[R ,<x >]=[R ,<x >,<x >]=1,从而x ɪC N (F (N )).由步骤(1ʎ)知C N (F (N ))ɤF (N ),所以x ɪF (N ),与F (N )是q ᶄ-群矛盾,从而Q ɘC N (P )=1,即C Q (P )=1.(3ʎ)p >2.若p =2,由步骤(2ʎ)知,当p <q 时,Q ɤF (N ).所以F (N /P )=F (N )/P 且2⫮|F (N /P )|.设<x >P /P 是F (N )/P 的任意极小正规子群,则|x |=r ,r ʂ2.由假设和引理1知,F (N /P )的每个极小子群在G /P 中几乎s -半置换,因此G /P 满足条件假设.由G 的选择知G /P 是超可解的.由引理2知G 是超可解的,矛盾.41西南师范大学学报(自然科学版) h t t p ://x b b jb .s w u .c n 第38卷Copyright ©博看网. All Rights Reserved.(4ʎ)极小反例不存在.设V /P =F (N /P ),Q ɪS y l q (V )且q ɪπ(V /P ).由步骤(2ʎ)知,若p <q ,则Q ɤF (N );若p >q ,则C Q (P )=1.当p >q 时,由步骤(3ʎ)和文献[7]知Q 是循环的.由步骤(2ʎ)知p ⫮|F (N /P )|.设<x >P /P 是F (N /P )的非循环S y l o w 子群的极小子群.则<x >也是F (N )的非循环S y l o w 子群的极小子群.由假设和引理1知<x >P /P 在G /P 中几乎s -半置换,因此G /P 满足条件假设.由G 的选择知G /P 是超可解的.由引理2知G 是超可解的,矛盾.因此极小反例不存在,定理2得证.参考文献:[1]陈重穆.关于S r i n i v a s a n 的一个定理[J ].西南师范大学学报:自然科学版,1987,12(1):1-4.[2] C H E NZ h o n g -m u .G e n e r a l i z a t i o n o f t h e S c h u r -Z a s s e n h a u sT h e o r e m [J ].J o u r n a l o fM a t h e m a t i c s ,1988,18(3):290-294.[3] Z HA N G Q i n -h a i ,WA N GL i -f a n g .T h e I n f l u e n c e o f s -S e m i p e r m u t a b l eS u b g r o u p s o n t h eS t r u c t u r e o fF i n i t eG r o u p [J ].A t c aM a t h e m a t i c sS i n i c a ,2005,48(1):81-88.[4] WA N G L i -f a n g ,WA N G Y a n -m i n g .O n s -S e m i p e r m u t a b i l i t y M a x i m a l a n d M i n i m a lS u b g r o u p so fF i n i t eG r o u p s [J ].C o mm A l ge b r a ,2006,34(1):143-149.[5] 祝明,曹洪平.s *-半置换子群与有限群的p -幂零性[J ].西南师范大学学报:自然科学版,2011,36(1):17-20.[6] X U Y o n g ,L IX i a n -h u a .W e a k l y s -S e m i p e r m u t a b l e S u b g r o u p s o f F i n i t eG e o u p s [J ].F r o n t C h i n a ,2011,6(1):161-175.[7] 郭文彬.群类论[M ].北京:科学出版社,2000.[8] G O R E N S T E I N D.F i n i t eG r o u p s [M ].N e w Y o r k :H a r pe r a n dR o wP u b l i s h e r s ,1968.N e a r l y s -S e m i p e r m u t a b l e S u b g r o u p s of F i n i t eG r o u ps G U OJ i -l i a n , L I J i n -b a o , C H E N G u i -y u n S c h o o l o fM a t h e m a t i c sa n dS t a t i s t i c s ,S o u t h w e s t U n i v e r s i t y ,C h o n g q i n g 400715,C h i n a A b s t r a c t :As u b g r o u p H o f a g r o u p G i s s a i d t on e a r l y s -s e m i p e r m u t a b l e i n G i f G h a s a s u b g r o u p T s u c h t h a t G =HT ,a n d H ɘT i s a n s -s e m i p e r m u t a b l e o f T .W i t hn e a r l y s -s e m i p e r m u t a b l e s u b g r o u p s ,s o m e s u f -f i c i e n t a n dn e c e s s a r y c o n d i t i o n s o f s u p e r s o l u b l e g r o u p s a r e o b t a i n e d i n t h i s p a pe r .K e y w o r d s :f i n i t eg r o u p ;n e a r l y s -s e m i p e r m u t a b l e ;s u p e r s o l u b l e g r o u p 责任编辑廖坤51第4期郭纪莲,等:有限群的几乎s -半置换子群Copyright ©博看网. 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近世代数_置换群_讲义学习 PPT课件

当 i k 时，
这样，
j (1) i
jl ,l
k
当 i k 时，
a 12 ji
(aji1 )2
(a jl )2
a jl
a (1) ji
当 i k 时，
a 12 ji
(aji1 )2
a ji 2
a(2) ji
。
定义 3 设 i1,i2, ,ik 和 j1, j2, , js 都是循环置换.
假设最多变动 r 1(r n) 个文字时，定理成立。现考察变动了 r 个元的情形：
首先在被变动的文字中随意取一个文字 i1 ，从 i1 出发找到 i1 在下的象 i2 ,再找 i2 的象 i3 ,… , 直到找到 ik ，其中： ik i1 .于是
i1 i2 i3 ik i1
叫作 5—循环置换.
11 22 33 44 55 1
叫作 1—循环置换.
（2）循环置换分解
很容易发现，并不是每个置换都能成为循环置换.
比如 5 元置换 13 2 4 3 5 4 2 51 不可能是循环置换，但我们会发现
13 2 4 3 5 4 2 51 13 2 2 3 5 4 4 51 11 42 33 24 55
0 11 22 33 , 1 11 32 2 3 , 2 12 21 33 3 12 2 3 31 , 4 1 3 21 3 2 , 5 13 2 2 31 所以 S3 3! 6 .其中 0 是恒等变换.即 0 是 S3 的单位元.
1 将 ip ig ，但前面已有
1
i1 i1
i2 i2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
ik ik1 ik ik' 1
ir ir1 ir' ir1

置换群全同粒子系统的对称群

置换群全同粒子系统的对称群
目录
• 置换群基础概念 • 全同粒子系统基础概念 • 对称群基础概念 • 置换群全同粒子系统的对称群 • 对称群在置换群全同粒子系统中的应用
01 置换群基础概念
置换群定义
置换群定义
置换群是集合元素之间的置换所构成的群。具体来说，设 $G$ 是集合 $S$ 的一个子集，如果对于任意元素 $a in G$，都存在一个元素 $b in G$，使得 $a$ 和 $b$ 交换后仍属于 $G$，则称 $G$ 为一个置换群。
置换群的表示
置换群可以用矩阵或置换图来表示，其中矩阵表示法更为常用。
置换群的性质
封闭性
置换群中的元素之间经过置换后仍属于该集合。
结合性
置换群中的元素之间经过多次置换后仍属于该集合。
单位元存在性
置换群中存在一个单位元，即不进行任何置换的元素。
逆元存在性
对于任意元素 $a in G$，存在一个逆元 $b in G$，使得 $a$ 和 $b$ 交换后仍属于 $G$。
对称群在科学技术进步中发挥了重要作用，通过对称群的研究，可以推动新材料、新能源等领域的发展，为科学技术进步做出贡献。
对称群在置换群全同粒子系统中的未来发展
深入研究新型态物质的对称性
随着科学技术的不断发展，将会有更多新型态的物质被发现，深入研究这些新型态物质的对称性，将有助于揭示物质的基本性质和推动物理学的发展。
全同粒子系统的基本特征是粒子的不可分辨性，即无法区分系统中的任何一个粒子与其他粒子。
全同粒子系统的性质
全同粒子系统具有平移对称性，即在空间中移动整个系统不会改
变系统的性质。
全同粒子系统还具有旋转对称性，即旋转整个系统也不会改变系统

1.4有限群地局部性

§1.4 有限群的局部性1.4.1 有限群的局部性问题群的概念源于19世纪30年代Galois证明有理系数多项式(),5P x n≥时无有限形式n的根表达式，此后，包括有限群在内，群的概念进一步发展，其研究也逐步舍弃元素的具体内容，转向抽象系统的研究。

群理论的研究可以归结为三个主要方面：群结构的一般研究，群表示研究以及Galois理论。

由于群概念和理论的普适性，因此，它广泛地运用于变码理论、晶相理论及动力系统等领域，同时也深刻地推动着几何学的发展。

在有限群的研究过程中，群的结构的研究占据着重要地位，而用群的各类子群描述群的特征则具有方法论上的意义，显然，子群及其性质是群重要的局部特征，因此，所谓有限群的局部性问题是指利用有限群的子群及其性质，讨论其对有限群构造的影响的问题，如利用子群的局部性质研究有限群的可解性、超可解性、幂零性是群论中的一个重要内容，特别地，利用群G的某些特殊子群，如极大子群、极小子群、Sylow子群、Sylow子群的极大子群、Sylow子群的2-极大子群、4阶循环子群等满足某些特性的子群，甚至群系的上根等来判断群的可解性、超可解性、幂零性，方法十分有效，结果也十分丰富。

众所周知，在有限群的研究过程中，正规子群是群论中一个极重要的概念，多年来，人们围绕这个概念从两个方面进行了扩展。

第一种方法是对正规子群施加更多的限制，例如一个正规子群可看作对群G的所有内自同构都保持不变的子群，在这个方向上，两个更强的概念被提出：称群G的子群H为G 的特征子群，若H对群G的所有自同构都保持不变；称群G的子群H为G的全不变子群，若H对群G的所有自同态都保持不变。

第二种方法是对正规子群或其具有的性质减弱某些限制。

尤其在对正规子群具有的性质的弱化方面，国内外群论专家已经引进比正规性更弱的一些定义，如拟正规性[4]（置换子群[5]）、s-拟正规性[6]、半正规性[7]（半置换子群[8]）、s-半正规性[7]（s-半置换子群[8]）、苏-半正规性[9]、c-正规性[10]、弱c-正规性[11]、s-正规性[12]、条件置换[13]、完全条件置换[13]、*c-正规子群[14]、弱s-置换嵌入子群[15]、Φ-补子群等。

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第２６卷第５期
哈尔滨师范大学自然科学学报
ＮＡＵＲＡＬＳＩＣＥＯＵＲＴＣＥＮＳＪＮＡＬＯＦＨＡＲＢＮＮＯＩＲＭＡＬＵＮＶＥＩＩＲＳＴＹ
Ｖ１２，ｏ５２１ｏ．６Ｎ．００
有限群的局部ｔ一置换性ｓ
引理１２设是群Ｇ的ｔ一置换子群，：．ｓ则
（）如果 Ⅳ ≤ ≤ Ｇ，日是的ｔ１则ｓ一置换
子群；（）如果Ｎ＜Ｇ，２３则ＶⅣ也是ＧＮ的ｔ／／ｓ一置换子群．证明由假设，日为群Ｇ的次正规子群，Ｇ存在次正规子群Ｂ，使得Ｇ＝Ｈ并且对任意的Ｘ ∈ Ｂ，
ＳｌｙｏＰ一子群．Ｓｌｗ定理，在ｂ∈Ｂ，得ｗ由ｙｏ存使
（）如果Ａ＜Ｇ，４３Ａ是Ｇ的７一子群，Ａ≤ ｒ则
Ｘ／ＮＮ：（ＮＮ＝（。／）＝￣／Ｙ／）日 Ⅳ ＢＮＮ Ⅳ
收稿日期：０１—０一Ｏ２１３８
｛国家自然科学基金（０７０９；１６１４）龙江学者基金；黑龙江省教育厅项目（１３２４黑龙江省高等教育教学改革工程（０８年）１５２６）；２０
群皆在 Ⅳ 中拈一置换，并且 Ⅳ 或Ｐ在Ｇ中ｔｓ一置换，么Ｇ是Ｐ一幂零群，里那这Ｎ＝Ｎ。Ｐ）（．关键词：限群；大子群；有极正规化子；Ｐ一幂零群；ｓ一置换ｔ
（）如果Ａ５
Ｇ，并且｝Ｇ：是Ｐ数，ＧＡＩ则
≤ ＮＧＨ）进一步有Ｑ＝Ｈ所以日是群Ｇ的（，Ｑ，
引理１３设 Ⅳ 是有限群Ｇ的一个正规子．
群，Ｑ是Ｇ的一个Ｓｌｗｑ一子群．ｙｏ如果Ｑ的每一
个极大子群在 Ⅳ （。Ｑ）中是ｔｓ一置换，那么Ｏ／ＮＮ
ｔｓ一置换子群．引理１７设日是群Ｇ的幂零子群．日在Ｇ．若中ｔｓ一置换，则的Ｓｌｗ子群在Ｇ中拈一置换．ｙｏ证明由日在Ｇ中ｔｓ一置换，存在Ｇ的次设
的ＳｌｗＰ一子群含于Ａｙｏ．
０引言
该文所涉及的群均为有限群，用的术语和所符号都是标准的…．该文给出了ｔｓ一置换的定义，局部化了群并
的ｔｓ一置换性，即将子群的ｔｓ一置换性限制到群的一个局部子群之中，而得到有限群Ｐ一幂零从
有ＨＸ＝Ｈ．Ｘ
）记Ｔ＝ＫｎＢ，由引理１１３．则．（）知是的
次正规子群．Ｒ ∈ＳｌＴ，设ｙ（）则有 ∈ＳｌＢ）使ｙ（，
得Ｒ＝ＴｎＸ，于是
瑚＝日（Ｔｎｘ）＝Ｈ（ＫＮＸ）＝Ｋｎ
１Ｏ
哈尔滨师范大学自然科学学报
由假设，ｌ＝ＢＨ于是有ｉｂ：
（ＮＮ（ＮＮＩＸ）Ｎ＝日ＢⅣ ／Ｈ／）Ｘ／）＝４Ｎ／（（：）Ⅳ＝
Ｂ剧ｖ，：／ｖ＝（ＮＮ）ｔ／）Ｘ／（ＮＩ．ｉｖ
这样，／是Ｇ Ⅳ 的ｔ删 Ⅳ ／ｓ一置换子群．
Ｈ／ＮＮ也是ＧＮ的次正规子群．ｌＮＮ／对／ｌ的任Ｂ意素因子ＰＢ／，ＮＮ的ＳｌｗＰ一子群可以写成形ｙｏ
（）如果ＡｑＧ，１
Ｇ．
（）如果ＡＧ，ＫＡｑＧＡ当且仅当２则／／
日Ｑ的正规子群，因此，（）０（）ｖ。Ｇ．
反之，果Ｎ（如Ｈ）０（）则Ｈ是群Ｇ的Ｇ，
次正规子群．Ｂ＝Ｇ， ≤ Ｐ ∈ Ｓｌ（）所取由ｙＧ，以，于Ｇ的任意Ｓｌｗｑ一子群Ｑ，Ｑ≤ ０（）对ｙｏ有Ｇ
ＳｌＢ）Ｈ＝Ｈ．ｙ（有ＸＸ于是Ｋ：ＫＮｌ＝Ｈ（ｂｉＫｎ
性的若干新刻画．
定义０１称群Ｇ的子群子群，设存在Ｇ的次正规子
群使得Ｇ＝ＨＢ，并且对的任意Ｓｌｗ子群，ｙｏ
Ｇ．
如Ｘ／其中ｘ是ＢＮＮ，Ｎ的ＳｌｙｗＰ一子群．ｏ由参考
（）如果３
０（）Ｇ．
３，３．＜Ｇ则ＡｎＢ＜Ｂ
文献［，４７知存在Ｂ的Ｓｌ子群Ｂ和５ Ⅵ，．］ｙｗｐ一ｏ Ⅳ 的Ｓｌｗｐ一子群 Ⅳ 使得Ｙ＝ＢｙｏＰ是Ｂ的Ｎ
１引理
引理１１．
则：
是Ｇ的子群．这样，日是Ｇ的ｔｓ一置换子群．设Ｇ为群，Ｋ ≤ Ｇ，Ａ≤ Ｂ≤ Ｇ，
ｑＧ，则＜Ａ，＞Ｂ
（）显然，／＝（ＮＮ）Ｂ／，２ＧＮＨ／（ＮＮ）由引理１１１．（）和（）知Ｂ／是ＧＮ的次正规子群，２ＮＮ／
张睿猛，方生钱
（哈尔滨师范大学）
：｝＝
【摘要】设日是有限群Ｇ的正规子群使得ＧＨ为Ｐ一幂零群，中是Ｉ的／其ｌＧ
一
个素因子且（ＧＩＰ一１１，）＝１如果存在的ＳｌｗＰ一子群Ｐ，得Ｐ每个极大子．ｙｏ使