国庆作业1：《位置与坐标》复习
北师大版八年级数学上册第三章《位置与坐标》章末复习题含答案解析 (13)
一、选择题1.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1,0)，B(1−a,0)，C(1+a,0)(a>0)，点P在以D(4,4)为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90∘，则a的最大值是( )A．3B．4C．5D．62.【例9】如图，在平面直角坐标系上有点A0(1,0)，点A0第一次跳动至点A1(−1,1)，第二次点A1跳动至点A2(2,1)，第三次点A2跳动至点A3(−2,2)，第四次点A3跳动至点A4(3,2)，⋯⋯，依此规律跳动下去，则点A2019与点A2020之间的距离是( )A．2021B．2020C．2019D．20183.如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,1)，(3,0)，(3,−1)⋯根据这个规律探索可得，第100个点的坐标为( )A．(14,0)B．(14,−1)C．(14,1)D．(14,2)4.在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点O出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点A1，第二次移动到点A2⋯⋯第n次移动到点A n，则点A2019的坐标是( )A．(1010,0)B．(1010,1)C．(1009,0)D．(1009,1)5.已知点A(m,4)与点B(3,n)关于x轴对称，那么(m+n)2017的值为( )A．−1B．1C．−72017D．720176.在一单位为1的方格纸上，有一列点A1，A2，A3，⋯，A n，⋯，（其中n为正整数）均为网格上的格点，按如图所示规律排列，点A1(2,0)，A2(1,−1)，A3(0,0)，A4(2,2)，⋯⋯，则A2017的坐标为( )A．(1008,0)B．(1010,0)C．(−1008,0)D．(−1006,0)7.在平面直角坐标系中，点P(−2,x2+1)所在的象限是( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限8.如图，点A，B在反比例函数y=1x (x>0)的图象上，点C，D在反比例函数y=kx(k>0)的图象上，AC∥BD∥y轴，已知点A，B的横坐标分别为1，2，△OAC与△ABD的面积之和为32，则k的值为( )A．4B．3C．2D．329.如果点P在直线y=1上，点A的坐标是(−1,0)，点B的坐标是(3,0)，那么三角形ABP的面积( )A．等于2B．大于2C．小于2D．无法确定10.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知AD平分∠OAB，DB⊥AB，BC∥OA，点D的坐标为D(0,2)，点B的横坐标为1，则点C的坐标是( )A．(0,√3+2)B．(0,2)C．(0,√5)D．(0,5)二、填空题11.如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90∘．若A(2,0)，B(0,4)，则点C的坐标为．12.一个电子跳蚤在数轴上做跳跃运动．第一次从原点O起跳，落点为A1，点A1表示的数为1；第二次从点A1起跳，落点为OA1的中点A2；第三次从A2点起跳，落点为OA2的中点A3；如此跳跃下去⋯⋯最后落点为OA2019的中点A2020．则点A2020表示的数为．13.如图，图形①②③均是以P0为圆心，1个单位长度为半径的扇形，将图形①②③分别沿东北，正南，西北方向同时平移，每次移动一个单位长度，第一次移动后图形①②③的圆心依次为P1，P2，P3，第二次移动后图形①②③的圆心依次为P4，P5，P6，⋯，依此规律，P0P2018=个单位长度．14.如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(2,4)和(3,0)，点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，在运动的过程中，当△ABC是以AB为底的等腰三角形时，OC=．15.平面直角坐标系中，与x轴平行的直线上的点的坐标特征是，与y轴平行的直线上的点的坐标特征是．16.如图，在直角坐标系中，A(1,3)，B(2,0)，第一次将△AOB变换成△OA1B1，A1(2,3)，B1(4,0)；第二次将△OA1B1变换成△OA2B2，A2(4,3)，B2(8,0)，第三次将△OA2B2变换成△OA3B3，则B2016的横坐标为．17.点P(2,−6)和Q(a,6)的连线垂直于x轴，则a的值为．三、解答题18.如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，格点三角形ABC的顶点A，C的坐标分别为(−4,5)，(−1,3)．(1) 请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系，并计算△ABC的面积；(2) 点P在x轴上，且△OBP的面积等于△ABC面积的一半，则点P的坐标是．19.如图，在平面直角坐标系内，试写出△ABC各顶点的坐标，并求出△ABC的面积．20.如图是轰炸机机群的一个飞行队形，如果最后两架轰炸机的坐标分别为A(−2,1)，B(−2,−3)．(1) 试根据点A，B的坐标建立恰当的平面直角坐标系；(2) 写出C，D，E的坐标．21.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(a,0)，B(c,c)，C(0,c)，且满足(a+8)2+√c+4=0，P点从A点出发沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，Q点从O点出发沿y 轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动．(1) 直接写出点B的坐标，AO和BC的位置关系是什么？(2) 当P，Q分别是线段AO，OC上时，连接PB，QB，使S△PAB=2S△QBC，求出点P的坐标．(3) 在P，Q的运动过程中，当∠CBQ=30∘时，请探究∠OPQ和∠PQB的数量关系，并说明理由．22.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是A(4,7)，B(1,5)．C(3,2)，D(5,4)．(1) 请在网格中作出四边形ABCD关于y轴对称的四边形AʹBʹCʹDʹ（其中A，B，C，D的对应点分别为Aʹ，Bʹ，Cʹ，Dʹ），并写出Bʹ，Cʹ的坐标；(2) 求四边形AʹBʹCʹDʹ的面积（已知图中网格的每个小正方形的边长为1个单位长度）．23.在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．(1) 若△ABC和△A1B1C1关于原点O成中心对称图形，画出△A1B1C1．(2) 将△ABC绕着点A顺时针旋转90∘，画出旋转后得到的△AB2C2．(3) 在x轴上存在一点P，满足点P到点B1与点C1距离之和最小，请直接写出PB1+PC1的最小值为．24.如图，在8×8的网格中，网格线的公共点称为格点．已知格点A(1,1)，B(6,1)，如图所示线段AC上存在另外一个格点．(1) 建立平面直角坐标系，并标注x轴，y轴，原点．(2) 直接写出线段AC经过的另外一个格点的坐标：．(3) 用无刻度的直尺画图，运用所学的三角形全等的知识画出经过格点D的射线BD，使BD⊥AC（保留画图痕迹），并直接写出点D的坐标：．25.如图，已知∠MON=90∘，OT是∠MON的平分线，A是射线OM上一点，OA=8cm．动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AO水平向左作匀速运动，与此同时，动点Q从点O出发，也以1cm/s的速度沿ON竖直向上作匀速运动．连接PQ，交OT于点B．经过O，P，Q三点作圆，交OT于点C，连接PC，QC．设运动时间为t(s)，其中0<t<8．(1) 求OP+OQ的值；(2) 是否存在实数t，使得线段OB的长度最大？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．(3) 求四边形OPCQ的面积．答案一、选择题1. 【答案】D【解析】∵A(1,0)，B(1−a,0)，C(1+a,0)(a>0)，∴AB=1−(1−a)=a，CA=a+1−1=a，∴AB=AC，∵∠BPC=90∘，∴PA=AB=AC=a，如图延长AD交⊙D于Pʹ，此时APʹ最大，∵A(1,0)，D(4,4)，∴AD=5，∴APʹ=5+1=6，∴a的最大值为6．【知识点】平面直角坐标系及点的坐标2. 【答案】A【解析】观察发现，第2次跳动至点的坐标是(2,1)，第4次跳动至点的坐标是(3,2)，第6次跳动至点的坐标是(4,3)，第8次跳动至点的坐标是(5,4)，⋯第2n次跳动至点的坐标是(n+1,n)，则第2020次跳动至点的坐标是(1011,1010)，第2019次跳动至点A2017的坐标是(−1010,1010)．∵点A2019与点A2020的纵坐标相等，∴点A2019与点A2020之间的距离=1011−(−1010)=2021．故选：A．【知识点】平面直角坐标系及点的坐标3. 【答案】D【解析】由图可知，横坐标是1的点共有1个，横坐标是2的点共有2个，横坐标是3的点共有3个，横坐标是4的点共有4个，⋯，横坐标是n的点共有n个，，1+2+3+⋯+n=n(n+1)2=91，当n=13时，13×(13+1)2=105，当n=14时，14×(14+1)2∴第100个点的横坐标是14，∵100−91=9，∴第100个点是横坐标为14的点中的第9个点，=7个点的纵坐标是0，∵第142∴第9个点的纵坐标是2，∴第100个点的坐标是(14,2)．【知识点】平面直角坐标系及点的坐标4. 【答案】C【知识点】平面直角坐标系及点的坐标5. 【答案】A【解析】∵A(m,4)与B(3,n)关于x轴对称，∴m=3，n=−4，∴m+n=−1，∴(m+n)2017=(−1)2017=−1．【知识点】坐标平面内图形轴对称变换6. 【答案】B【解析】观察，发现：A1(2,0)，A5(4,0)，A9(6,0)，⋯，∴A4n+1(2n+2,0)（n为自然数）．∵2017=504×4+1，∴A2017的坐标为(1010,0)．【知识点】平面直角坐标系及点的坐标7. 【答案】B【解析】∵x2≥0，∴x2+1≥1，∴点P(−2,x2+1)在第二象限．【知识点】平面直角坐标系及点的坐标8. 【答案】B【解析】因为点A，B在反比例函数y=1x(x>0)的图象上，点A，B的横坐标分别为1，2，所以点A的坐标为(1,1)，点B的坐标为(2,12)，因为AC∥BD∥y轴，所以点C，D的横坐标分别为1，2，因为点C，D在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，所以点C的坐标为(1,k)，点D的坐标为(2,k2)，所以AC=k−1，BD=k2−12=k−12，所以S△OAC=12(k−1)×1=k−12，S△ABD=12⋅k−12×(2−1)=k−14，因为△OAC与△ABD的面积之和为32，所以k−12+k−14=32，解得：k=3．故选B．【知识点】反比例函数图像上的点的坐标特征、坐标平面内图形的面积9. 【答案】A【知识点】坐标平面内图形的面积10. 【答案】A【解析】∵点D的坐标为D(0,2)，∴OD=2，∵AD平分∠OAB，DB⊥AB，BC∥OA，∴BD=OD=2，∠BCD=90∘，∵点B的横坐标为1，∴BC=1，在Rt△BCD中，∵CD2+BC2=BD2，即CD2+12=22，解得CD=√3，∴OC=OD+CD=√3+2，∴C(0,√3+2)．【知识点】平面直角坐标系及点的坐标二、填空题11. 【答案】(−2,−2)【解析】过B，C两点分别作过A点且平行于y轴的直线的垂线，垂足为E，D，∵A(2,0)，B(0,4)，∴OA=BE=2，OB=AE=4，∴AB=AC，∵∠BAE+∠CAD=90∘，∠CAD+∠ACD=90∘，∴∠BAE=∠ACD，∵∠BEA=∠ADC=90∘，△AEB≌△CDA(AAS)．∴CD=AE=4，AD=BE=2，∴C(−2,−2)．故答案为：(−2,−2)．【知识点】平面直角坐标系及点的坐标、角角边12. 【答案】122019【解析】由题意得：点A1表示的数为1=120，点A2表示的数为12OA1=12=121，点A3表示的数为12OA2=14=122，点A4表示的数为12OA3=18=12，归纳类推得：点A n表示的数为12n−1（n为正整数），则点A2020表示的数为122020−1=122019．【知识点】平面直角坐标系及点的坐标13. 【答案】673【解析】根据P0P1=1，P0P2=1，P0P3=1，P0P4=2，P0P5=2，P0P6=2，P0P7=3，P0P8= 3，P0P9=3，⋯⋯，可知每移动一次，圆心离中心的距离增加1个单位，依据2018= 3×672+2，可得点P2018在正南方向上，∴P0P2018=672+1=673．【知识点】平面直角坐标系及点的坐标14. 【答案】118【解析】设C点坐标为(0,a)，当△ABC是以AB为底的等腰三角形时，BC=AC，平方得BC2=AC2，22+(4−a)2=32+a2，化简得8a=11，，解得a=118故OC=11．8【知识点】平面直角坐标系及点的坐标15. 【答案】纵坐标相同且不为0，横坐标不同；横坐标相同且不为0，纵坐标不同【知识点】平面直角坐标系及点的坐标16. 【答案】22017【解析】∵A(1,3)，A1(2,3)，A2(4,3)，A3(8,3)，2=21，4=22，8=23，∴A n(2n,3)，∵B(2,0)，B1(4,0)，B2(8,0)，B3(16,0)，2=21，4=22，8=23，16=24，∴B n(2n+1,0)，∴B2016的横坐标为22017．【知识点】平面直角坐标系及点的坐标、用代数式表示规律17. 【答案】2【解析】∵点P(2,−6)和Q(a,6)的连线垂直于x轴，∴P，Q关于x轴对称，∴a的值为：2．故答案为：2．【知识点】坐标平面内图形轴对称变换三、解答题18. 【答案】(1) 图略，面积为4．(2) (4,0)或(−4,0)．【知识点】坐标平面内图形的面积19. 【答案】A(0,2)；B(2,0)；C(3,3)；4．【知识点】平面直角坐标系及点的坐标、坐标平面内图形的面积20. 【答案】(1)(2) C(2,−1)，D(0,−2)，E(0,0)【知识点】坐标方法的应用21. 【答案】(1) (−4,−4)，BC∥AO．(2) 过B点作BE⊥AO于E，设时间经过t秒，S△PAB=2S△QBC，则AP=2t，OQ=t，∴CQ=4−t，∵BE=4，BC=4，∴S△APB=12AP⋅BE=12×2t×4=4t，S△BCQ=12CQ⋅BC=12×(4−t)×4=8−2t，∵S△APB=2S△BCQ，∴4t=2(8−2t)，解得t=2，∴AP=2t=4，∴OP=OA−AP=4，∴点P的坐标为(−4,0)．(3) ∠PQB=∠OPQ+30∘或∠BQP+∠OPQ=150∘．①当点Q在点C的上方时，过Q点作QH∥AO，如图2所示，∴∠OPQ=∠PQH，∵BC∥AO，QH∥AO，∴QH∥BC，∴∠HQB=∠CBQ=30∘，∴∠OPQ+∠CBQ=∠PQH+∠BQH，∴∠PQB=∠OPQ+∠CBQ，即∠PQB=∠OPQ+30∘；②当点Q在点C的下方时；过Q点作HJ∥AO，如图3所示，∴∠OPQ=∠PQJ，∵BC∥AO，QH∥AO，∴QH∥BC，∴∠HQB=∠CBQ=30∘，∴∠HQB+∠BQP+∠PQJ=180∘，∴30∘+∠BQP+∠OPQ=180∘，即∠BQP+∠OPQ=150∘．综上所述，∠PQB=∠OPQ+30∘或∠BQP+∠OPQ=150∘．【解析】(1) ∵(a+8)2+√c+4=0，∴a+8=0，c+4=0，解得，a=−8，c=−4，则点B的坐标为(−4,−4)，∵点B的坐标为(−4,−4)，点C的坐标为(0,−4)，∴BC∥AO．【知识点】平面直角坐标系及点的坐标、坐标平面内图形的面积、内错角相等、平行公理的推论22. 【答案】(1) 如图所示，四边形AʹBʹCʹDʹ即为所求；Bʹ(−1,5)，Cʹ(−3,2)．(2) 四边形AʹBʹCʹDʹ的面积为：5×4−12×1×3−12×2×2−12×2×3−12×2×3=10.5．【知识点】坐标平面内图形的面积、坐标平面内图形轴对称变换23. 【答案】(1) 略(2) 略(3) √26【知识点】坐标平面内图形轴对称变换、找动点，使距离之和最小、坐标平面内图形的旋转变换24. 【答案】(1) 建立的坐标系如图所示：(2) (5,4)(3) D(3,5)，△FMH≌△HNA⇒FH⊥AH，平行四边行FHBD⇒DB∥FH，故DB⊥AC．【知识点】两组对边分别相等、建立坐标系，描述物体的位置、勾股定理、平面直角坐标系及点的坐标25. 【答案】(1) 由题意可得，OP=8−t，OQ=t，∴OP+OQ=8−t+t=8(cm)．(2) 当t=4时，线段OB的长度最大．如图，过点B作BD⊥OP，垂足为D，则BD∥OQ．∵OT平分∠MON，∴∠BOD=∠OBD=45∘，∴BD=OD，OB=√2BD．设线段BD的长为x，则BD=OD=x，OB=√2BD=√2x，PD=8−t−x，∵BD∥OQ，∴PDOP =BDOQ，∴8−t−x8−t =xt，∴x=8t−t28．∴OB=√2⋅8t−t28=−√28(t−4)2+2√2．当t=4时，线段OB的长度最大，最大为2√2cm．(3) ∵∠POQ=90∘，∴PQ是圆的直径．∴∠PCQ=90∘．∵∠PQC=∠POC=45∘，∴△PCQ是等腰直角三角形．∴S△PCQ=12PC⋅QC=12×√22PQ⋅√22PQ=14PQ2．在Rt△POQ中，PQ2=OP2+OQ2=(8−t)2+t2．∴四边形OPCQ的面积S=S△POQ+S△PCQ=12OP⋅OQ+14PQ2=12t(8−t)+14[(8−t)2+t2]=4t−12t2+12t2+16−4t=16.∴四边形OPCQ的面积为16cm2．【知识点】基本定理、二次函数的最值、坐标平面内图形的面积、圆周角定理推论、线段的和差。
《位置与坐标》复习课学案
《位置与坐标》复习课学案第一环节、：知识梳理1、在平面内，确定点的位置一般需要几个数据？举例说明。
2、平面直角坐标系中，如何确定给定点的坐标？给定坐标，如何确定对应的点？分别举例说明。
3、平面直角坐标系中，坐标轴上的点具有什么特点？平行于坐标轴的线段上的点，它们的坐标之间有什么样的关系？分别举例说明。
4．平面直角坐标系中，关于坐标轴对称的点的坐标之间具有怎样的关系？反过来坐标具有这样的关系的点关于坐标轴对称吗？这些结论可以帮助你解决哪些问题？5、关于坐标轴上点的平移问题第二环节：分类例析一、确定平面上点的位置的常用方法（课件展示）二、平面直角坐标系中点的坐标特征（课件展示）（例题见课件）课堂练习1. 已知平面内一点p，它的横坐标与纵坐标互为相反数，且与原点的距离为2，则点p 坐标为（）.（A）（-1，1）或（1，-1）（B）（1，-1）（C）（- ，）或（，- ）（D）（，- ）2. 一个点在y轴上，距原点的距离是6，则这个点的坐标是。
3.已知点M在y轴上，点P（3，-2），若线段MP的长为5，则点M的坐标是。
4.等边△ABC的顶点A，B的坐标分别为A（0，0），B（2，0）则C点的坐标为;5.将A（，2）的坐标乘以-1得点B，则线段AB的长为________.6.已知点A（4，y），B（x，-3），如果AB//x轴，且线段AB的长为5，则x的值为________，y的值为_____。
反思小结：三、图形的轴对称变换如图所示，在平面直角坐标系中，一颗棋子从点P处开始依次关于点A，B，C作循环对称跳动，即第一次跳到点P关于点A的对称点M处，接着跳到点M 关于点B的对称点N处，第三次再跳到点N关于点C的对称点K处…如此继续下去．（1）在图中画出点M，N，写出点M，N的坐标并指出点K所在的位置；（2）求经过第2014次跳动之后，棋子落点与点P之间的距离．四、求点的坐标例1.（见课件）例2.如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A(10，0)，C(0，4)，点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，则P点的坐标为．例3.已知点A（2，1），O（0，0），请你在数轴上确定点P，使得△AOP成为等腰三角形，写出所有存在的点P的坐标。
位置与坐标 知识点总结
位置与坐标知识点总结1. 位置与坐标的定义位置是指一个物体或点在空间中的具体所在的地方，而坐标是描述一个点在空间中位置的一种方法。
坐标可以用来描述一个点在平面上或者空间中的位置，它通常使用一组数值来表示，包括横坐标和纵坐标（对于平面坐标系）或者横坐标、纵坐标和高度（对于空间坐标系）等。
2.坐标系坐标系是用来描述和表示位置的一种数学工具，它是由几条互相垂直的直线组成的。
常用的坐标系有直角坐标系、极坐标系、球坐标系等。
在直角坐标系中，通常使用x轴和y轴（或者还有z轴）来表示位置，而在极坐标系中，使用角度和半径来表示位置，而在球坐标系中使用两个角度和半径来表示位置。
3. 坐标变换坐标变换是指描述一个点在不同坐标系中的位置关系。
当我们要在不同的坐标系中描述同一个点的位置时，就需要进行坐标变换。
常见的坐标变换包括直角坐标系到极坐标系的变换、直角坐标系到球坐标系的变换等。
坐标变换通常涉及到三角函数、矩阵等数学工具的运用。
4. 坐标之间的距离和方向在空间中，可以通过计算不同点之间的距离和方向来描述它们之间的位置关系。
在直角坐标系中，两点之间的距离可以通过勾股定理来计算，而在其他坐标系中可以通过不同的数学方法来计算。
方向通常使用角度或者方向余弦、方向角等来表示。
5. 应用位置与坐标在现实生活中有广泛的应用，包括地理定位、导航系统、机器人运动、航天飞行、地图绘制等领域。
例如，在导航系统中，通过使用坐标系和坐标变换可以准确定位和导航；在航天飞行中，通过计算不同天体之间的位置关系可以实现航天器的飞行计划。
总之，位置与坐标是数学中非常重要的概念，它们在几何学、物理学、工程学等领域都有着广泛的应用。
掌握位置与坐标的知识可以帮助我们更好地描述和理解物体的位置关系，从而应用到现实生活中的各种问题中。
新北师大版八年级上册数学位置与坐标复习共24页文档
6、纪律是自由的第一条件。——黑格 尔 7、纪律是集体的面貌，集体的声音， 集体的 动作， 集体的 表情， 集体的 信念。 ——马 卡连柯
8、我们现在必须完全保持党的纪律， 否则一 切都会 陷入污 泥中。 ——马 克思 9、学校没有纪律便如磨坊没有水。— —夸美 纽斯
10、一个人应该：活泼而守纪律，天 真而不 幼稚， 勇敢而 鲁莽， 倔强而 有原则 ，热情 而不冲 动，乐 观而不 盲目。 ——马 克思
1、最灵繁的人也看不见自己的背脊。——非洲 2、最困难的事情就是认识自己。——希腊 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 4、与使人敏捷，写作使人精确。——培根
位置与坐标(知识+例题)
位置与坐标知识点11. 在直线上，确定一个点的位置一般需要__________个数据；2. 在平面内，确定一个点的位置一般需要__________个数据；3. 在空间内，确定一个点的位置一般需要__________个数据；1. 根据下列描述，能确定位置的是__________。
A.北偏东40°B.某电影院5排C.东经92°，北纬45°D.据学校700米的某建筑物2. 剧院的6排4号可以记作(6，4),那5排10号记作__________。
3. 如图，棋子B在(2，1)处，用有序数对表示出图中另外六枚棋子的位置。
4. 根据3题的图，每个小方格的边长距离为100米，如果A点为一观火点，C 为一着火点，试描述C点的位置。
知识点21. 第一、二、三、四象限点的坐标符号分别是：__________，__________，__________，__________。
2. x轴上点的_____坐标为0，y轴上点的_____坐标为0。
3. 象限角平分线上点的坐标特征：第一、三象限角平分线上的点P(a，b)的横纵坐标__________，即a=b,第二、四象限角平分线上的点P(a，b)的横纵坐标__________，即a=-b或a+b=0。
4. 点P(a，b)与x轴的距离等于__________，与y轴的距离等于__________，与原点的距离等于__________，与点A(x，y)的距离等于__________。
5. 特殊直角三角形线段比例关系。
1. 点M(2，3)、N(2，4)，则MN∥于________。
2. 若点M到x轴距离为3，到y轴距离为2，且在第二象限，则M的坐标是__________。
3.在平面直角坐标系中，已知AB=3，且AB∥x轴，且点A的坐标是（1，2），则点B的坐标是________。
4. 在平面直角坐标系中，线段PQ垂直于x轴，点P（-1,a+1）,点Q（3，1），则点P的坐标为________。
《位置与坐标》全章复习与巩固(知识讲解)八年级数学上册基础知识讲与练(北师大版)
专题3.11 《位置与坐标》全章复习与巩固（知识讲解）【学习目标】1. 理解平面直角坐标系及象限的概念，并会在坐标系中根据点的坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标；2. 掌握用坐标系表示物体位置的方法及在物体平移变化前后点坐标的变化；3. 通过学习平面直角坐标系的基础知识,逐步理解平面内的点与有序实数对之间的一一对应关系,进而培养数形结合的数学思想．【要点梳理】要点一、有序数对把一对数按某种特定意义，规定了顺序并放在一起就形成了有序数对，人们在生产生活中经常以有序数对为工具表达一个确定的意思，如某人记录某个月不确定周期的零散收入，可用(13，2000)， (17，190)， (21，330)…，表示，其中前一数表示日期，后一数表示收入，但更多的人们还是用它来进行空间定位，如：(4，5)，(20，12)，(13，2)，…，用来表示电影院的座位，其中前一数表示排数，后一数表示座位号.要点二、平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系，如下图：特别说明：（1）坐标平面内的点可以划分为六个区域：x轴，y轴、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，这六个区域中，除了x轴与y轴有一个公共点（原点）外，其他区域之间均没有公共点.（2）在平面上建立平面直角坐标系后，坐标平面上的点与有序数对（x，y）之间建立了一一对应关系，这样就将‘形’与‘数’联系起来，从而实现了代数问题与几何问题的转化.（3）要熟记坐标系中一些特殊点的坐标及特征：① x轴上的点纵坐标为零；y轴上的点横坐标为零．②平行于x轴直线上的点横坐标不相等，纵坐标相等；平行于y轴直线上的点横坐标相等，纵坐标不相等．③关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数；关于原点对称的点横、纵坐标分别互为相反数．④象限角平分线上的点的坐标特征：一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等；二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数．注：反之亦成立．（4）理解坐标系中用坐标表示距离的方法和结论：①坐标平面内点P(x，y)到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|．② x轴上两点A(x1，0)、B(x2，0)的距离为AB=|x1 - x2|；y轴上两点C(0，y1)、D(0，y2)的距离为CD=|y1 - y2|．③平行于x轴的直线上两点A(x1，y)、B(x2，y)的距离为AB=|x1 - x2|；平行于y轴的直线上两点C(x，y1)、D(x，y2)的距离为CD=|y1 - y2|．（5）利用坐标系求一些知道关键点坐标的几何图形的面积：切割、拼补.要点三、坐标方法的简单应用1．用坐标表示地理位置(1)建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向；(2)根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度；(3)在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称．特别说明：(1)我们习惯选取向东、向北分别为x轴、y轴的正方向，建立坐标系的关键是确定原点的位置．(2)确定比例尺是画平面示意图的重要环节，要结合比例尺来确定坐标轴上的单位长度．2．用坐标表示平移(1)点的平移点的平移引起坐标的变化规律：在平面直角坐标中，将点(x，y)向右(或左)平移a个单位长度，可以得到对应点(x+a，y)(或(x-a，y))；将点(x，y)向上(或下)平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y+b)(或(x，y-b))．特别说明：上述结论反之亦成立，即点的坐标的上述变化引起的点的平移变换．(2)图形的平移在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度．特别说明：平移是图形的整体运动，某一个点的坐标发生变化，其他点的坐标也进行了相应的变化，反过来点的坐标发生了相应的变化，也就意味着点的位置也发生了变化，其变化规律遵循：“右加左减，纵不变；上加下减，横不变”．【典型例题】类型一、有序数对1．马来西亚航空公司MH370航班自失联以来，我国派出大量救援力量，竭尽全力展开海上搜寻行动．某天中国海巡01号继续在南印度洋海域搜索，发现了一个位于东经101度，南纬25度的可疑物体．如果约定“经度在前，纬度在后”，那么我们可以用有序数对（101，25）表示该可疑物体的位置，仿照此表示方法，东经116度，南纬38度如何用有序数对表示？【答案】东经116度，南纬38度可以表示为(116,38)．【分析】根据“经度在前，纬度在后”的顺序，可以将东经116度，南纬38度用有序数对(116,38)表示．解：由题意可知东经116度，南纬38度，可用有序数对(116,38)表示．故东经116度，南纬38度表示为(116,38)．【点拨】本题考察了用有序数对表示位置．解题的关键在于读懂题意中给定的规则．举一反三：【变式1】根据指令(s，A)(说明：s≥0，单位：厘米；0°≤A＜180°)，机器人在平面上能完成下列动作：先原地逆时针旋转角度A，再朝其面对的方向沿直线行走距离s，若机器人站在点M处，面对的方向如图所示．(1)给机器人下了一个指令(2，60°)，机器人移动到了B点，请你画出机器人从M点到B 点的运动路径；(2)若机器人从M点运动到了C点，则给机器人下了一个什么指令？【答案】(1) 画图略(2) 指令(3，20°)试题分析：(1)首先弄懂(2，60°)表示的意思：先原地逆时针旋转60°，再朝其面对的方向沿直线行走2厘米，据此画图；(2)根据图形看出S和A的值．解：（1）如图：（2）给机器人的指令是（3，20°）．【点拨】本题考查了用角度和距离表示物体的位置，关键是理解题意，弄懂(2，60°)表示的意思，先原地逆时针旋转60°，再朝其面对的方向沿直线行走2厘米．【变式2】观察如图所示象棋棋盘，回答下列问题：（1）说出“将”与“帅”的位置；（2）说出“马3进4”（即第3列的“马”前进到第4列）后的位置．【答案】（1）“将”在第9行第5列，“帅”在第1行第5列；（2）第7行第4列【分析】（1）根据已知点的位置即可确定行列表示的数据的顺序，进而得出答案；（2）根据“马”的位置，经过平移后得到新的位置，根据新的位置，确定行列表示的数据，进而得出答案．解：（1）按照图中的表示数字，“将”在第9行第5列，“帅”在第1行第5列；（2）第7行第4列．【点拨】本题考查了用有序实数对表示位置，点的平移，掌握用有序数对表示位置是解题的关键．类型二、平面直角坐标系2．ABC ∆在平面直角坐标系中的位置如图所示：(1)点,A B 的坐标分别是： ；(2)在图中作出ABC ∆关于x 轴的对称图形DEF ∆，点F 的坐标是 ；(3)求DEF ∆的面积．【答案】(1) ()()2,1,4,3A B - (2) 见分析，()3,1F (3) 11【分析】（1）从图像中可得到点的坐标；（2）据轴对称的性质分别作出三个顶点先后关于x 轴的对应点，再首尾顺次连接即可； （3）利用矩形的面积减去三个三角形的面积即可．（1）解：由图可知，()()2,1,4,3A B -；（2）解：DEF ∆如图所示，()3,1 F；（3）解：11146251426222DEFS∆=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯11=，∴DEF∆的面积是11．【点拨】本题主要考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点．举一反三：【变式1】在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形ABC（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点A，C的坐标分别为A（2，4），B（-1，0），请按要求解答下列问题：(1)在图中建立正确的平面直角坐标系，写出点C的坐标；(2)在图中作出∴ABC关于x轴对称的∴A1B1C1．【答案】(1) 见分析，C（3，2）；(2) 见分析【分析】（1）根据A点坐标可知：A点在x轴上方，距离x轴4个单位，A点在y轴右侧，距离y轴2个单位，以此即可找到x轴、y轴的位置，建立坐标系后，即可得C点坐标；（2）先找到A、B、C三点关于x轴的对称点A1、B1、C1，连接A1B1、B1C1、A1C1即可．（1）如图：平面直角坐标系，C（3，2）；（2）如图所示，∴A1B1C1即为所求．.【点拨】本题考查了作轴对称图形、直角坐标的坐标与图形等知识，根据坐标确定出坐标轴是解答本题的基础．A aB bC b c三点，其中a、b满【变式2】如图，在平面直角坐标系中，已知(0,),(,0),(,)2-==．b c|6|0,64(1)求a、b、c的值；(2)如果在第二象限内有一点(,1)P m，请用含m的式子表示四边形ABOP的面积；(3)在（2）的条件下，是否存在点P，使四边形ABOP的面积与ABC的面积相等？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)a=4，b=6，c=8(2)12−2m(3)存在点P（-6，1）使S四边形ABOP=S△ABC 【分析】（1）解方程组可求a，b的值，由平方根的定义可求c的值；（2）由三角形的面积公式可求解；（3）利用面积关系可得12-2m =24，即可求解．解：（12|6|0,64b c -==，可得：a =4，b =6，c =±8；又∴点C 在第一象限，∴c =8（2）∴S △ABO =12×4×6=12，S △APO =12×4×（−m ）=−2m ，∴S 四边形ABOP =S △ABO +S △APO =12+（−2m ）=12−2m（3）因为S △ABC =12×6×8=24，∴S 四边形ABOP =S △ABC ∴12−2m =24，则m =−6，所以存在点P （-6， 1）使S 四边形ABOP =S △ABC ．【点拨】本题是四边形综合题，考查了二元一次方程组的解法，三角形的面积公式，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 类型三、坐标方法的简单应用（1）地理位置的表示3.如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，若体育馆位置的坐标为()2,3A -，图书馆位置坐标为()2,1B -．请在图中建立平面直角坐标系；(1) 若学校位置坐标为()3,2C ，请在坐标系中标出学校的位置；(2) 顺次连接学校、图书馆、体育馆的位置，得到ABC ∆，求ABC ∆的面积．(3) 请在图中画出ABC ∆关于y 轴对称的图形111A B C ∆．【答案】(1) 见分析 (2)图见分析，12 (3)见分析【分析】（1）利用点A 、B 的坐标画出直角坐标系即可标出学校位置；（2）利用矩形的面积减去三个三角形的面积得到∴ABC 的面积；（3）画出ABC ∆的顶点对应的顶点即可得到111A B C ∆．（1）解：平面直角坐标系如图，学校位置如图；（2）解：ABC ∆如图；11155154415222ABC S ∆=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯12=．（3）解：111A B C 如图．【点拨】本题主要考查了坐标确定位置：平面内的点与有序实数对一一对应；记住平面内特殊位置的点的坐标特征．举一反三：【变式1】 如图，是一个简单的平面示意图，已知OA ＝2km ，OB ＝6km ，OC ＝BD ＝4km ，点E 为OC 的中点，回答下列问题：(1)由图可知，高铁站在小明家南偏西65°方向6km 处．请类似这种方法用方向与距离描述学校、博物馆相对于小明家的位置；(2)图中到小明家距离相同的是哪些地方？(3)若小强家在小明家北偏西60°方向2km 处，请在图中标出小强家的位置．【答案】(1)学校在小明家北偏东45°方向2km 处，博物馆在小明家南偏东50°方向4 km 处(2)图中到小明家距离相同的是学校和公园和影院(3)见分析【分析】(1)由图可知，学校在小明家北偏东45°方向2km 处，博物馆在小明家南偏东50方向4km 处；(2)观察图形，根据OA ， OE ， OD 的长度及图中各角度，即可得出结论．(3)作北偏西60°角，取OE = 2即可．(1)解：学校在小明家北偏东45°方向2km 处，博物馆在小明家南偏东50°方向4 km 处；(2)图中到小明家距离相同的是学校和公园和影院；(3)如图，点F即为小强家．【点拨】本题考查了方向角，解题的关键是熟练掌握运用方位角及确定位置需要两个元素．【变式2】如图所示，B处在A处的南偏西45°方向上，C处在A处的南偏东30°方向，C处在B处的北偏东60°，求∴ACB是多少度？【答案】∴ACB＝90°【分析】先根据题意得出∴BAC的度数，由AE∴DB可得出∴DBA的度数，进而可得出∴ABC的度数，最后根据三角形内角和定理即可求出∴ACB的度数．解：根据题意，得∴BAE＝45°，∴CAE＝30°，∴DBC＝60°，∴∴BAC＝∴BAE+∴CAE，＝45°+30°，＝75°．∴AE∴DB，∴∴DBA＝∴BAE＝45°，∴∴ABC＝∴DBC﹣∴DBA，＝60°﹣45°，＝15°，∴∴ACB＝180°﹣∴ABC﹣∴BAC，＝180°﹣15°﹣75°，＝90°．故∴ACB 为：90°．【点拨】本题考查方位角问题，掌握方位角的概念，会用方位角确定互相位置，抓住平行线的性质是解答的关键．（2）坐标的平移4．平面直角坐标系中有一点A ，已知点A 在第二象限，点A 到x 轴的距离为3个单位、到y 轴距离为4个单位，请回答下列问题：(1)点A 的坐标为_________．(2)若将点A 向右平移5个单位至1A ，则1A 坐标为_________，若将点A 向左平移5个单位至2A ，则2A 坐标为_________．(3)该坐标系内有一点B ，点B 与点A 的横坐标相同，且线段AB 长为3，点B 坐标为_________．【答案】(1)()4,3-(2)()1,3，()9,3-(3)()4,0-或()4,6-【分析】（1）根据点到坐标轴的距离可得横纵坐标的绝对值，进而根据第二象限点的坐标特征即可求得点A 的坐标；（2）根据平移方式，向右平移5个将点A 的横坐标加5即可得到1A 的坐标，左平移5个单位将点A 的横坐标减5即可得到2A 的坐标；（3）根据题意设()4,B b -，由线段AB 长为3，可得33b -=，解绝对值方程即可求解． （1）解：∴点A 到x 轴的距离为3个单位、到y 轴距离为4个单位，设(),A a b ，∴4,3a b ==，点A 在第二象限，∴0,0a b <>，4,3a b ∴=-=，∴点A 的坐标为()4,3-,故答案为：()4,3-；（2）若将点A ()4,3-向右平移5个单位至1A ，则1A 坐标为()1,3；若将点A ()4,3-向左平移5个单位至2A ，则2A 坐标为()9,3-，故答案为：()1,3，()9,3-；（3）根据题意设()4,B b -，线段AB 长为3，33b ∴-=，解得0b =或6b =，∴点B坐标为()4,0-或()4,6-．【点拨】本题考查了点到坐标轴的距离，第二象限点的坐标特征，点的平移，平行于坐标轴的线段的长度，理解题意，数形结合是解题的关键．举一反三：【变式1】如图，每个小正方形格子的边长为1个单位长度，在平面直角坐标系中有一个三角形ABC ，且三个项点都在格点（横、纵坐标均为整数的点）上，点A 的坐标为(1,3)-．(1)将三角形ABC 先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度后得到三角形111A B C ，写出点1A ，1B ，1C 的坐标，并画出三角形111A B C ；(2)求三角形111A B C 的面积；(3)点(,)M x y 在三角形ABC 边上，按（1）中的步骤平移后，点M 的对应点1M 的坐标为________．【答案】(1)画图见分析，1A （2，-1），1B （1，-4），1C （0，-2）(2)52(3)()13,4M x y +-【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）直接利用∴111A B C 所在长方形面积减去周围三角形面积进而得出答案； （3）利用平移规律，进而得出答案．（1）解：如图所示：其中1A （2，-1），1B （1，-4），1C （0，-2）；（2）由图可知：111A B C △的面积=11123121213222⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=52；（3）∴平移方式为先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，∴点(,)M x y 平移之后的坐标为()13,4M x y +-．【点拨】此题主要考查了平移规律，正确得出对应点位置是解题关键． 【变式2】已知三角形ABC 的边AB 上任意一点()00,P x y 经过平移后的对应点为()1004,3P x y ++．(1)将三角形ABC 作同样的平移得到三角形111A B C ，在下图中画出三角形111A B C ，并直接写出1A 、1B 、1C 的坐标．(2)求出三角形ABC 的面积．【答案】(1)见分析；（2，6），（0，2），（6，3）(2)11 【分析】（1）根据点P 坐标的变化可画出△A 1B 1C 1，并写出A 1，B 1，C 1的坐标； （2）利用如图所示矩形的面积减掉三个直角三角形的面积即可求解． (1)解：∴点P （x 0，y 0）经平移后对应点为P 1（x 0＋4，y 0＋3），即点P 先向右平移4个单位，再向上平移3个单位得到点P 1， ∴∴ABC 先向右平移4个单位，再向上平移3个单位得到△A 1B 1C 1，点A 1，B 1，C 1的坐标分别为（2，6），（0，2），（6，3）， 如图，△A 1B 1C 1为所作．(2)解：如图，1114624341611222ABC S ∆=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=【点拨】本题考查作图−平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．类型四、综合应用5．如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，∴ABC 的边BC 在x 轴上，A 、C 两点的坐标分别为A （0，a ），C （b ，0），B （－5，0），且()202243a b -=--，点P 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿射线BO 匀速运动，设点P 运动时间为t 秒．(1)求A 、C 两点的坐标；(2)连接P A ，用含t 的代数式表示∴POA 的面积；(3)当点P 在线段BO 上运动时，在y 轴上是否存在点Q ，使∴POQ 与∴AOC 全等？若存在，请求出t 的值并直接写出Q 点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)A （0，4），C （3，0）(2)当502t <时，S =104t -或当52t >时，S =410t -； (3)存在，12t =或1时，Q 的坐标是（0，3）或（0，4）或（0，－3）或（0，－4） 【分析】（1）根据非负数的性质分别求出a 、b 的值，即可求得点A 、C 两点的坐标； （2）先求出OB 的长，再分类讨论求解即可；（3）分△QOP ∴∴AOC 和△POQ ∴∴AOC 两种情况求解即可． （1）解：∴()202243a b -=--，∴4a =，3b =，∴A 的坐标是（0，4），C 的坐标是（3，0）；（2）∴B （－5，0），∴OB ＝5∴当502t <时，P 在线段OB 上，如图1，∴OP ＝52t -，OA ＝4，∴()15241042S t t =⨯-⨯=-；∴当52t =时，P 和O 重合，此时△APO 不存在；∴当52t >时，P 在射线OC 上，如备用图2，∴OP ＝25t -，OA ＝4，∴()12544102S t t =⨯-⨯=-；（3）解：当P 在线段BO 上运动时，在y 轴上存在点Q ，使△POQ 与△AOC 全等，∴P 在线段BO 上运动，∴t ≤5÷2＝2.5，∴当BP ＝1，即OP ＝4，OQ ＝3时，△POQ ∴∴AOC ，此时12t =，Q 的坐标是（0，3）或（0，－3）；∴当BP ＝2，即OP ＝3，OQ ＝4时，△QOP ∴∴AOC ，此时221t =÷=，Q 的坐标是（0，4）或（0，－4）；综上所述，12t =或1，Q 的坐标是（0，3）或（0，4）或（0，－3）或（0，－4）．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质、坐标与图形性质、非负数的性质等知识点，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．举一反三：【变式1】如图，在平面直角坐标系中，点A（1，2），点B（4，1），点C（4，5）．(1)画出△ABC关于y轴的轴对称图形△A1B1C1，并写出点C的对称点C1的坐标；(2)在x轴上画出点P，使P A1＋PB1最小；(3)直线MN∴y轴，与线段AB，AC分别交于点M，N（点M不与点A，C重合），若将△AMN沿直线MN翻折，点A的对称点为点A′，当点A′落在△ABC的内部时，点M的横坐标m的取值范围是．【答案】(1)见分析，C1（﹣4，5）(2)见分析(3)1＜m＜2.5【分析】（1）根据轴对称的性质即可画出△ABC关于y轴的轴对称图形△A1B1C1，并写出点C的对称点C1的坐标；（2）连接B1A1′交x轴于点P即可；（3）根据轴对称的性质即可解决问题．(1)解：如图，△A1B1C1，即为所求；C1（﹣4，5）；(2)如图，点P即为所作；(3)当点A的对称点A'落在BC上时，点A'的坐标为（4，2），此时m =12（1+4）=2.5，∴点M 不与点A 重合，点A ′落在△ABC 的内部， ∴点M 的横坐标m 的取值范围是 1＜m ＜2.5 ； 故答案为：1＜m ＜2.5．【点拨】本题考查作图﹣轴对称变换，轴对称﹣最短路线问题，解题的关键是掌握轴对称变换的性质．【变式2】如图，在平面直角坐标系中，点A （1，1），B （3，1），C （3，5），连接AB ，BC ，AC ．(1) 特例感知：分别找到线段AB ，BC ，AC 的中点，并依次标记为D ，E ，F ，它们的坐标为D （_________，_________），E （_________，_________），F （_________，_________）． (2) 观察猜想：仔细观察上述三条线段中点的横坐标与纵坐标，分别与对应的线段AB ，BC ，AC 的两端点的横坐标与纵坐标进行比较，看看它们之间有什么关系，并根据你的猜想完成下列问题．∴ 若点H （-5，1.5），K （-1，-3.5），则线段HK 的中点坐标为_________； ∴ 若点P （a ，b ），Q （c ，d ），则线段PQ 的中点坐标为_________．(3) 拓展应用：若M ，N 分别是三角形111A B C 中11A C ，11B C 的中点，请直接写出MN 与11A B 的位置关系及数量关系．【答案】(1)D （2，1），E （3，3），F （2，3）．(2)∴（-3，-1）；∴（2a c +，2b d+）． (3)11MN A B ∥，1112MN A B =． 【分析】（1）根据所给的条件结合图像可以直接得到找到线段AB ，BC ，AC 的中点的坐标． （2）由（1）可以归纳出一个“已知线段两个端点的坐标，求线段中点的坐标”的结论，然后根据结论求出答案即可．（3）将三角形111A B C 放在平面直角坐标系中，表示出M ，N 的坐标，然后根据坐标得出结论．解：（1）根据图中的方格直接得到线段AB ，BC ，AC 的中点分别为：D （2，1），E （3，3），F （2，3）．（2）根据（1）可以猜想出一个结论：已知线段的两个端点A 、B 的坐标，线段AB 中点的横坐标和纵坐标分别为A 、B 的横坐标和的一半和纵坐标和的一半．所以∴H （-5，1.5），K （-1，-3.5），线段HK 的中点坐标为（-3，-1）；∴P （a ，b ），Q （c ，d ），线段PQ 的中点坐标为（2a c +，2b d+）．（3）如图，将三角形111A B C 放在平面直角坐标系中，点1A 和点O 重合，1B 在x 轴的正半轴上，则1A （0，0），设1B a （，0），1C b c（，），所以()22b c M ，，()22a b cN +，，M 、N 纵坐标相同，所以11MN A B ∥，11A B a =，MN =222a b b a +-=，所以1112MN A B =，∴11MN A B ∥，1112MN A B =． 【点拨】本题考查了平面直角坐标系相关知识，前两问需要学生认真归纳总结，第三问方法不唯一，需要学生认真探索方法，能够正确理解题意并归纳出相关结论是解决本题的关键．。
位置与坐标知识点总结与经典题型归纳
伐JL与坐标知叔点一确犬∕⅛JL1. 平面确良一个场体的佞置需要2个救据。
2. 平面确定伐.置的几种方法：ClJ行列定住比:>4这种方出中常把平面分成若干行、刃，然后利用行号和列号表示平面上点的位置，症此方出中，要牢诃禁点的佞置需要两个互相独立的数据，两者缺一不可。
(2) 方伐.角距禽岌伐.法：方佞角和距窗。
(3) 经纬主佞法：它也需要两个数据：经度和纬度。
(4) 区城良佞法：只描述.票点所往的大玫佞査。
如“解放珞22号”。
知帜点二平面直角坐标余1. 岌义在平面、两条互相______ 且具有公共_______ 的数轴纽成平面直角坐标糸.其中水平方向的数轴叫 ________ ⅛________ ,向 _ ___ 为正方向；竖直方向的数轴叫_______ ⅛ _______ ,向为正方向；两条救轴交点叫平面直角坐标糸的_________________ .2. 年■面点的坐标对于平面任盘一点P,it P分别向X ¼, y軸作垂线4,x軸上的垂足对应的数a 叫P的 _ —坐标$轴上的垂足对应的救b叫P的________________________________ 坐标。
有序数对(a,b),叫A P的坐标。
若P的坐标τ⅛(a,b),则P到X抽距富为_____________ ,到y4⅛距富为__________ ・di⅛:平面以的坐标是有序实数对，Ca, b丿和(b, a)是两个不同点的坐标.3 .平面直角坐标糸点的坐标特征:(1)坐标4⅛把平而分隔成切个象喂。
根据点所淮.住置填哀(2) 坐标軸上的点不厲于任何象限.它们的坐标特征ΦA ×轴上的点 _________ 坐标为0；②Ay 軸上的点 _________ 坐标为0.(3) P(a,b)关于X 抽、y 轴、原点的对称点坐标特征φA P(a,b)关于X 轴对称点P l ________________ ；② 点P(a,b)关于y 轴对称点P 2 _____________ ；③ 点P(a,b)关于療6对称点P3 ___________ •4•平行于X 轴的直线上的点 _________ 坐标相同；平行于y 轴的直线上的6 ___________ 坐标柏同•知钗点王 4⅛对处与坐标支化⑴若两个图形关于×轴对称•则对应各点橫坐标 _________________________ ,纵坐标互为 ⑵若两个图形关于y 轴对称。
位置与坐标知识点
位置与坐标知识点在我们日常生活中，位置和坐标是非常重要的概念。
无论是在导航系统导航时，还是在玩游戏时寻找目标，我们都需要借助位置和坐标的概念来确定方向和距离。
下面我们来探索一下位置与坐标的知识点。
一、位置的概念位置是指事物所在的地方或方位。
我们所处的地球上有无数的位置，每个位置都有着独特的特征和含义。
通过给位置确定一个特定的名称，比如城市的名称、地区的名称等，就可以准确地描述和定位这个位置。
二、坐标的概念坐标是一种确定位置的方式。
我们可以通过坐标来表示某个位置在二维平面或三维空间中的具体位置。
常见的坐标系统有二维坐标和三维坐标。
二维坐标通常用于描述平面上的位置，包括横坐标和纵坐标。
而三维坐标则是在二维坐标的基础上加上了垂直坐标，用于描述空间中的位置。
利用坐标，我们可以方便地确定某个位置的具体点的位置。
三、经纬度坐标经纬度坐标是一种常见的用于描述地球上位置的坐标系统。
经度指从东向西测量的角度，纬度指从南向北测量的角度。
它们以度为单位，由一个数值和一个方向表示。
经度的范围通常是-180度到180度，东经为正，西经为负；而纬度的范围通常是-90度到90度，北纬为正，南纬为负。
通过经纬度坐标，我们可以准确地确定地球上任意一个位置的经纬度。
四、投影坐标系统为了方便地描述和定位地球上的位置，人们还开发了各种不同的投影坐标系统。
投影坐标系统通过将地球上的地图投影到一个平面上，来近似地表示地球上的位置和形状。
常用的投影方式有墨卡托投影、等角圆柱投影等。
这些投影方式各有特点，适用于不同的地图应用和需要。
五、其他坐标系统除了经纬度坐标和投影坐标系统，还有许多其他的坐标系统用于特定的目的。
例如，全球定位系统（GPS）使用一种称为WGS 84的坐标系统来定位地球上的点；航空航天领域使用的坐标系统包括地心坐标系和站心坐标系等。
这些坐标系统针对特定的应用场景，提供了更精确和方便的位置描述。
六、使用位置与坐标的意义位置与坐标不仅在日常生活中很有用，也广泛应用于科学研究、导航导向、地图制作等领域。
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国庆作业1：第十六章位置与坐标复习题
学号：姓名：
一、选择题
1.点P（4，3）所在的象限是( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
2.如图，小手盖住的点的坐标可能为( )
A.(5，2) B．(−6，3) C．(−4，−6) D．(3，−4)
3.若点P(a，b) 在第四象限，则点Q(b，−a) 所在的象限为( )
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4.线段MN在直角坐标系中的位置如图所示，若线段M′N′与线
段MN关于y轴对称，则点M的对应点M′的坐标为( )
A．(4，2) B．(−4，2) C．(−4，−2) D．(4，−2)
5.点B与点C的横坐标相同，纵坐标不同则直线BC与x轴的关系为（）
A.平行
B.垂直
C.斜交
D.以上都不正确
6.如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A，B，D
的坐标分别是 (0，0)，(5，0)，(2，3)，则点C的坐标是( )
A．(3，7) B．(5，3) C．(7，3) D．(8，2)
7.将平面直角坐标系内某个图形各个点的横坐标不变，纵坐标都乘以
第6题图1-，所得图形与原图形的关系是（）
Ａ.关于x轴对称Ｂ．关于y轴对称Ｃ．关于原点对称Ｄ．无法确定
8.若点A（a+1，b﹣2）在第二象限，则点B（﹣a，b+1）在（）
A.第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
二、填空题
9.点P(m+3，m+1) 在x轴上，则P点坐标为_______ ．
10.已知点P(a，3)，Q(−2，b) 关于x轴对称，则a=______ ，b=______ ．
11.点 (5，−1) 到x轴的距离是 ________ ，到y轴的距离是 ________ ．
12.若点P（a，b）水平向右移动2个单位长度又向上平移一个单位长度得到点P1（1,1），则a=，b=．
13.已知点P在第二象限两坐标轴所成角的平分线上，且到x轴的距离为3，则点P的坐标为______
14.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，点B的坐标分别为（0，2），（﹣1，0），将线段AB沿x轴的正方向平移，若点B的对应点的坐标为B'（2，0），则点A的对应点A'的坐标为．
15.如图，在中国象棋的残局上建立平面直角坐标系，如果“相”和“兵”的坐标分别是（3，﹣1）和（﹣3，1），那么“卒”的坐标为．
第14题图
第16题图
第15题图
16.定义：在平面直角坐标系xOy中，把从点P出发沿纵或横方向到达点Q（至多拐一次弯）的路径长称为P，Q的“实际距离”．如图，若P（﹣1，1），Q（2，3），则P，Q的“实际距离”为5，即PS+SQ=5或PT+TQ=5．环保低碳的共享单车，正式成为市民出行喜欢的交通工具．设A，B，C三个小区的坐标分别为A（3，1），B（5，﹣3），C（﹣1，﹣5），若点M （6，m）表示单车停放点，且满足M到A，B的“实际距离”相等，则m=．若点N 表示单车停放点，且满足N到A，B，C的“实际距离”相等，则点N的坐标为.
三、解答题
17.在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，4），线段MN的位置如图所示，其中点M 的坐标为（﹣3，﹣1），点N的坐标为（3，﹣2）．
（1）将线段MN平移得到线段AB，其中点M的对应点为A，点N的对称点为B．
①点M平移到点A的过程可以是：先向平移个单位长度，再向平移个单位长度；
②点B的坐标为；
（2）在（1）的条件下，若点C的坐标为（4，0），连接AC，BC，求△ABC的面积．
18.对于平面直角坐标系xOy中的点P（a，b），若点P′的坐标为（a+kb，ka+b）（其中k为常数，且k≠0），则称点P′为点P的“k属派生点”．例如：P（1，4）的“2属派生点”为P′（1+2×4，2×1+4），即P′（9，6）．
（1）点P（﹣2，3）的“3属派生点”P′的坐标为；
（2）若点P的“5属派生点”P′的坐标为（3，﹣9），求点P的坐标；
（3）若点P在x轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为P′点，且线段PP′的长度为线段OP 长度的2倍，求k的值．。