1994考研数一真题与解析
1994考研数三真题及解析
1994年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)2x + x | (1) [——x =2 +x 2-------⑵已知f(X)二-1,则lim _ J 0f (怡—？X)- f(X 。
—X) ⑶设方程0-护=°Cosx 确定定y |0 0 32 L 0 (4)设 A= M M M M 0 0 0 L a n i ⑸设随机变量X 的概率密度另命n 0 0 L F二、选择题(本题共5小题,每小题3分，满分15分.每小题给出的四个选项中，只 有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)12x 2+x +1(1)曲线y 二e x arctan 的渐近线有()(x+1)(x-2)(A)1 条(B)2 条(C)3 条(D)4 条00200n |an |⑵设常数■ 0,而级数a 2收敛,则级数(-1)n 」2()(A)发散(B)条件收敛(C)绝对收敛(D)收敛性与'有关⑶设A 是m n 矩阵,C 是n 阶可逆矩阵，矩阵A 的秩为r,矩阵B 二AC 的秩为*，则()(A) r r 1(B) r ::片(C) r = r 1 (D) r 与*的关系由C 而定(4)设 0 vp(A) *1,0 £P(B) £1,P(A B) +P(AB)=1,贝 U ()(A)事件A 和B 互不相容(B)事件A 和B 相互对立为x 的函数，则dy = ___________dx,其中 a 仔0,i=1,2,L ,n,则丄 2x, 0：：x ：1, f(x)二10,其他，『、以丫表示对X 的三次独立重复观察中事件 X 乞-出现的次数,则I 2J(C)事件A 和B 互不独立(D)事件A 和B 相互独立⑸设X 「X 2丄，X n 是来自正态总体N(・2f 2)的简单随机样本2X 是样本均值，记 S T^—Z (X i -X)2, (X i —X)2,n -1 i 二 n i A1 n i nS 2 =——迟(X i -曰2, s 2=—送(X i -巴2,则服从自由度为n 钊■的t 分布的随机变量是Ov(A)t=^ (B)t=^ (C)t=X0(D)t=X/l6 S4三、(本题满分n6分)'、n计算二重积分 I i(x - y)dxdy,其中 D - '(x, y) x 2 y 2 — x y 亿D四、(本题满分5分)「V "+4V "+4V = 0-tc设函数"满足条件y(o —y(O"4求广义积分oV(x)dx.五、(本题满分5分)已知 f (x, y) = x 2 arcta n#_y 2arcta n 二 求 —x y exey 六、(本题满分5分)设函数 f (x)可导,且 f(0) =O,F(x) x t n 」f (x n -t n )dt ，求 lim 卩^)0 ^^0 x 七、(本题满分8分)y = ln x 在点(x o , y o )处有公共切线，求: (1)常数a 及切点(x o , y o )；⑵两曲线与x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积V x . 八、 (本题满分6分)假设f (x)在［a,二)上连续,f (x)在a,内存在且大于零，记F(x)=空上他— a), x -a证明F(x)在a, V 内单调增加• 九、 (本题满分11分)设线性方程组已知曲线y 二a 、、x(a 0)与曲线X i +a 2X 2 +a ；X 3 = a 2,X i a 3X 2 a ；X 3 二 a 3,⑴证明:右印,比,玄,印两两不相等4X 则此线性方程组无解;= a4=-k （k^O ）且已知P i J?2是该方程组的两个解 「-1〕 「1〕X = | 1，^2 = | 1，Ji十、（本题满分8分）0 0 1]设A = x 1 y 有三个线性无关的特征向量，求X 和y 应满足的条件.1 0 0十、（本题满分8分）假设随机变量X 1,X 2,X 3,X 4相互独立，且同分布P 〈X j =0.；=0.6,P 〈X j =1.；=0.4（i =1,2,3,4）, X 1 X 2求行列式X =的概率分布•X 3 X 4十二、（本题满分8分）假设由自动线加工的某种零件的内径 X （毫米）服从正态分布N （»1）,内径小 于10或大于12的为不合格品，其余为合格品，销售每件合格品获利，销售每件不合 格品亏损.已知销售利润T （单位:元）与销售零件的内径X 有如下关系：-1, X <10, T =三20, 10 EX 乞12,1-5, X >12.问平均内径■取何值时，销售一个零件的平均利润最大？1994年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题（本题共5小题,每小题3分,满分15分.） （1）【答案】In 3【解析】利用被积函数的奇偶性，当积分区间关于原点对称，被积函数为奇函数 时,积分为（2）设 a i = = k, a ? 写出此方程组的通解•，其中a 10 - a<H0【解析】由分块矩阵求1⑷【答案】a 201和所以,本题对A 分块后可得 ⑸【答案】—-64【解析】已知随机变量做的运算性 :1an 4a2|0加B 「 [B a 0*一.■if 1]1率吊X 、兰一》= f 2xdx2j LX 的概率密度「1二项分布的概率参数后，故Y~B(3,).42由二项分布的概率计算公式，所求概率为14丿14丿64an 4 0 ；被积函数为偶函数时，可以化为二倍的半区间上的积分.所以知：422 In 6 -1n 2 = In 3.⑵【答案】1x所以由此题极限的形式可构造导数定义的形式，从而求得极限值.由于f (x- 2x) - f(x- x)limX —xf (x ° -2x) - f (x °) - f (x ° -x) + f (X 0)=limXXf(x 。
1994考研数四真题及解析
1994年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)2222x xdx x -+=+⎰_____________.(2) 已知0()1f x '=-,则000lim(2)()x xf x x f x x →=---_____________.(3) 设方程2cos xye y x +=确定y 为x 的函数,则dydx=_____________. (4) 设121000000,00000n na a A a a -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦其中0,1,2,,,i a i n ≠=则1A -=_____________.(5) 假设一批产品中一、二、三等品各占60%、30%、10%,从中随意取出一件,结果不是三等品,则取到的是一等品的概率为_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1) 曲线2121arctan (1)(2)x x x y e x x ++=+-的渐近线有 ( )(A) 1条 (B) 2条 (C) 3条 (D) 4条 (2) 设函数()f x 在闭区间[],a b 上连续,且()0f x >,则方程1()0()xxabf t dt dt f t +=⎰⎰在开区间(,)a b 内的根有 ( ) (A) 0个 (B) 1个 (C) 2个 (D) 无穷多个 (3) 设A 、B 都是n 阶非零矩阵,且0AB =,则A 和B 的秩 ( )(A) 必有一个等于零 (B) 都小于n (C) 一个小于n ,一个等于n (D) 都等于n (4) 设有向量组123(1,1,2,4),(0,3,1,2),(3,0,7,14),ααα=-==4(1,2,2,0),α=-5(2,1,5,10),α=则该向量组的极大线性无关组是 ( )(A) 123,,ααα (B) 124,,ααα(C) 125,,ααα (D) 1245,,,αααα(5) 设0()1,0()1,(|)(|)1P A P B P A B P A B <<<<+=,则 ( ) (A) 事件A 和B 互不相容 (B) 事件A 和B 相互对立 (C) 事件A 和B 互不独立 (D) 事件A 和B 相互独立三、(本题满分5分)求极限21lim[ln(1)]x x x x→∞-+.四、(本题满分5分)已知22(,)arctan arctan y x f x y x y x y=-,求2f x y ∂∂∂.五、(本题满分6分)已知sin xx是函数()f x 的一个原函数,求3()x f x dx '⎰.六、(本题满分8分)某养殖场养两种鱼,若甲种鱼放养x (万尾),乙种鱼放养y (万尾),收获时两种鱼的收获量分别为(3)x y x αβ--和(42)x y y βα-- (0)αβ>>,求使产鱼总量最大的放养数.七、(本题满分8分)已知曲线(0)y x a =>与曲线ln y x =00(,)x y 处有公共切线,求:(1) 常数a 及切点00(,)x y ；(2) 两曲线与x 轴围成的平面图形的面积S .八、(本题满分7分)设函数()f x 有导数,且10(0)0,()()xn n nf F x t f x t dt -==-⎰.证明：20()1lim(0)2nx F x f x n→'=.九、(本题满分8分)设123,,ααα是齐次线性方程组0Ax =的一个基础解系.证明122331,,αααααα+++也是该方程组的一个基础解系.十、(本题满分8分)设0011100A x y ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦有三个线性无关的特征向量,求x 和y 应满足的条件.十一、(本题满分7分)假设随机变量X 的概率密度为2,01,()0,x x f x <<⎧=⎨⎩其他. 现在对X 进行n 次独立重复观测,以n V 表示观测值不大于0.1的次数.试求随机变量n V 的概率分布.十二、(本题满分8分)假设由自动线加工的某种零件的内径X (毫米)服从正态分布(,1)N μ,内径小于10或大于12的为不合格品,其余为合格品,销售每件合格品获利,销售每件不合格品亏损.已知销售利润T (单位:元)与销售零件的内径X 有如下关系:1,10,20,1012,5,12.X T X X -<⎧⎪=≤≤⎨⎪->⎩问平均内径μ取何值时,销售一个零件的平均利润最大?1994年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】ln 3 【解析】利用被积函数的奇偶性,当积分区间关于原点对称,被积函数为奇函数时,积分为 0,当被积函数为偶函数时,可以化为二倍的半区间上的积分.所以有原式22222220022222x x x dx dx dx x x x -=+=+++⎰⎰⎰ 22212dx x=+⎰22ln (2)ln 6ln 2ln 3.x =+=-=(2)【答案】1【解析】由此题极限的形式可构造导数的定义的形式,从而求得极限值.由于000(2)()limx f x x f x x x→---00000(2)()()()limx f x x f x f x x f x x→----+= 00000000(2)()()()(2)lim lim 2()() 1.2x x f x x f x f x x f x f x f x x x →→----''=-+=-+=--所以 原式0001lim1(2)()1x x f x x f x x →===---.【相关知识点】导数的定义：0000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆.(3)【答案】sin 2xy xyye xy xe y+'=-+ 【解析】将方程2cos xye y x +=看成关于x 的恒等式,即y 看作x 的函数. 两边对x 求导,得sin ()2sin 2xy xyxyye xe y xy yy x y xe y+'''++=-⇒=-+. 【相关知识点】两函数乘积的求导公式：[]()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=⋅+⋅.(4)【答案】121100010001001000n n a a a a -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦【解析】由分块矩阵求逆的运算性质,有公式11100A B B A---⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦, 且 11122111n n a a a a a a -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦所以,本题对A 分块后可得1121100010001001000n n a a A a a --⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. (5)【答案】23【解析】设事件i A =“取到的是第i 等品”,1,2,3i =,则由题意有1{}0.6P A =, 2{}0.3P A =, 3{}0.1P A =.应用条件概率公式得3113133()()0.62(|).1()0.93()P A A P A P A A P A P A ====-二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(B)【解析】本题是关于求渐近线的问题.由于2121lim arctan (1)(2)4x x x x e x x π→∞++=+-,故4y π=为该曲线的一条水平渐近线.又 21201lim arctan (1)(2)x x x x e x x →++=∞+-.故0x =为该曲线的一条垂直渐近线,所以该曲线的渐近线有两条.故本题应选(B).【相关知识点】水平渐近线：若有lim ()x f x a →∞=,则y a =为水平渐近线；铅直渐近线：若有lim ()x af x →=∞,则x a =为铅直渐近线；斜渐近线：若有()lim,lim[()]x x f x a b f x ax x→∞→∞==-存在且不为∞,则y ax b =+为斜渐近线.(2)【答案】(B)【解析】方法1：令1()(),[,]()xxabF x f t dt dt x a b f t =+∈⎰⎰, 则1()()0.()F x f x f x '=+> 故()F x 在区间[],a b 内是单调递增的. 又 11()0()()ab ba F a dt dt f t f t ==-<⎰⎰, ()()0.b a F b f t dt =>⎰由介值定理知()0F x =在(),a b 内仅有一个根.应选(B). 方法2：排除法.由题设条件,可令()1f x =,此时方程1()0()xxabf t dt dt f t +=⎰⎰变为 ()()0x a x b -+-=,即2()0x a b -+=.该方程在(),a b 内仅有一个实根2a b+,则(A)、(C)、(D)均不正确.故本题应选(B).【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式：若()()()()t t F t f x dx βα=⎰,()t α,()t β均一阶可导,则[][]()()()()()F t t f t t f t ββαα'''=⋅-⋅.(3)【答案】(B)【解析】本题主要考查矩阵秩的概念和性质,还涉及到矩阵运算、可逆,齐次方程组解的概念与性质等知识点.在中学的代数里,若0ab =,我们知道至少有一个数为0,而作为矩阵运算0AB =就不能说其中至少有一个矩阵是零矩阵,这种差异要搞清楚.例如1222000.241100-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⋅==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦即 由0AB =不能得出0A =或0B =,那么再按矩阵秩的定义就知(A)错误.又()0r A n A =⇔≠A ⇔可逆.因此对于0AB =,若其中有一个矩阵的秩为n ,例如设()r A n =,则有1100.B A AB A --===与已知0B ≠相矛盾.从而可排除(C)、(D).对0AB =,把矩阵B 与零矩阵均按列分块1212(,,,)(,,,)(0,0,,0),n n AB A A A A ββββββ===于是0(1,2,,)i A i n β==,即i β是齐次方程组0Ax =的解.因此,0AB =,0B ≠表明0Ax =有非零解,从而()r A n <. 可以继续用非零解的观点来处理秩()r B ,方法如下：()00,T T T T B A AB ===从TA 非零,知()Tr B n <,故()r B n <.当然,本题最简单的方法是用命题：若A 是m n ⨯矩阵,B 是n s ⨯矩阵,0AB =,则()()r A r B n +≤. 再由A ,B 均非零,按秩得定义有()1r A ≥,()1r B ≥,也就不难看出应选(B). (4)【答案】(B)【解析】这是一道常规题,按一般方法求解即可.方法一：对()12345,,,,Tααααα作初等行变换,并记下每次变换的式子,有1231241512112411241124031203120312330714031200001220010401042215100312000αααααααααα---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 现在已经可以看出秩为3,极大线性无关组是124,,ααα. 方法二：用列向量()12345,,,,TT T T T ααααα作行变换,有1031210312103121031213021033130110101101217250110103313000104214010022420224200000⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦每行第1个非0数在第1,2,4列,故124,,ααα是极大线性无关组. 故此题应选(B). (5)【答案】(D)【解析】事实上,当0()1P B <<时,(|)(|)P A B P A B =是事件A 与B 独立的充分必要条件,证明如下：若(|)(|)P A B P A B =,则()()()1()P AB P AB P B P B =-, ()()()()()P AB P B P AB P B P AB -=,()()[()()]()()P AB P B P AB P AB P B P A =⋅+=,由独立的定义,即得A 与B 相互独立.若A 与B 相互独立,直接应用乘法公式可以证明(|)(|)P A B P A B = .(|)1(|)(|)P A B P A B P A B =-=.由于事件B 的发生与否不影响事件A 发生的概率,直观上可以判断A 和B 相互独立. 所以本题选(D).三、(本题满分5分)【解析】根据本题极限式的特点,用换元法,令1t x=,x →∞换为0t →,则 原式220011ln(1)lim ln(1)lim t t t t t t t t →→-+⎡⎤=-+=⎢⎥⎣⎦, 现在已化为“”型的极限未定式,又分子分母在点0处导数都存在,运用洛必达法则,有 原式0011111limlim .22(1)2t t t t t →→-+===+四、(本题满分5分)【解析】由复合函数求导法,首先求fx∂∂,由题设可得2222212arctan 11f y x y y x x xx y y x x y ∂⎛⎫=+⋅--⋅ ⎪∂⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2322222arctan 2arctan y x y y yx x y x x y x y x=--=-++.再对y 求偏导数即得222222222212111fxx x y x yx x y x y y x ∂-=-=-=∂∂++⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 【相关知识点】多元复合函数求导法则：如果函数(,),(,)u x y v x y ϕψ==都在点(,)x y 具有对x 及对y 的偏导数,函数(,)z f u v =在对应点(,)u v 具有连续偏导数,则复合函数((,),(,))z f x y x y ϕψ=在点(,)x y 的两个偏导数存在,且有12z z u z v u v f f x u x v x x x∂∂∂∂∂∂∂''=+=+∂∂∂∂∂∂∂； 12z z u z v u v f f y u y v y y y∂∂∂∂∂∂∂''=+=+∂∂∂∂∂∂∂.五、(本题满分6分)【解析】由于sin x x 是函数()f x 的一个原函数,则sin ()x f x x '⎛⎫= ⎪⎝⎭2cos sin x x xx -=,利用不定积分的分部积分法求解本题.3332()()()3()xf x dx x df x x f x x f x dx '==-⎰⎰⎰3232sin sin ()3()32sin x x x f x x d x f x x xdx x x ⎛⎫⎡⎤=-=-⋅-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰⎰ 32cos sin 3sin 6cos x x xx x x x C x-=⋅--+ 2cos 4sin 6cos x x x x x C =--+,其中C 为任意常数.注：分部积分法的关键是要选好谁先进入积分号的问题,如果选择不当可能引起更繁杂的计算,最后甚至算不出结果来.在做题的时候应该好好总结,积累经验.【相关知识点】分部求导公式：假定()u u x =与()v v x =均具有连续的导函数,则,uv dx uv u vdx ''=-⎰⎰ 或者 .udv uv vdu =-⎰⎰六、(本题满分8分)【解析】设产鱼总量为z ,则产鱼总量的函数为22(3)(42)3422z x y x x y y x y x y xy αββαααβ=--+--=+---.由二元函数求极值的方法,为求驻点,令3220,4240.zx y xzx y yαββα∂⎧=--=⎪∂⎪⎨∂⎪=--=∂⎪⎩ 由于0αβ>>,知其系数行列式224(2)0αβ∆=->.故方程组有惟一解,即0022223243,22(2)x y αβαβαβαβ--==--. 容易验证000,0x y >>,且0000000003(,)(3)(42)2.2x z x y x y x x y y y αββα=--+--=+ 因为是实际问题,又由于驻点惟一,且实际问题必有最大值,故0x 和0y 分别为所求甲和乙两种鱼的放养数.七、(本题满分8分)【解析】利用00(,)x y 在两条曲线上及两曲线在00(,)x y 处切线斜率相等列出三个方程,由此,可求出00,,a x y ,然后再求平面图形的面积S .(1) 过曲线上已知点00(,)x y 的切线方程为00()y y k x x -=-,其中,当0()y x '存在时,0()k y x '=.由y x =2y x'=.由y x =知12y x'=. 由于两曲线在00(,)x y 处有公共切线,00122x x =,得021x a =. 将021x a =分别代入两曲线方程,有00222111ln 1ln y y a a a ====于是 20211,a x e e a ===, 从而切点为2(,1)e .(2) 两曲线与x 轴围成的平面图形的面积S 为12220()y S e e y dy =-⎰122301123y e e y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭211.62e =-八、(本题满分7分)【解析】应用换元法,令n nx t u -=,则 11001()()()()().n x x n n nn n F x t f x t dt f u du F x x f x n --'=-=⇒=⎰⎰ 由于20()lim n x F x x → 为“00”型的极限未定式,又分子分母在点0处导数都存在,运用洛必达法则,得 122121000()()()lim lim lim 22n n n n n x x x F x F x x f x x nx nx ---→→→'== 001()1()(0)lim lim 220n n n n x x f x f x f n x n x →→-==-, 由导数的定义有 原式1(0)2f n'=. 【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式：若()()()()t t F t f x dx βα=⎰,()t α,()t β均一阶可导,则[][]()()()()()F t t f t t f t ββαα'''=⋅-⋅.九、(本题满分8分)【解析】由1212()000,A A A αααα+=+=+=知12αα+是0Ax =的解.同理知 2331,αααα++也都是0Ax =的解.若112223331()()()0k k k αααααα+++++=,即311122233()()()0k k k k k k ααα+++++=.由于123,,ααα是基础解系,知123,,ααα线性无关.故知1312230,0,0.k k k k k k +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩因为系数行列式 10111020011=≠,所以方程组只有零解1230k k k ===.从而122331,,αααααα+++线性无关. 由已知,0Ax =的基础解系含三个线性无关的解向量,所以122331,,αααααα+++也是0Ax =的基础解系.【相关知识点】1.解的结构:若12,ηη是Ax b =对应齐次线性方程组0Ax =的基础解系,则Ax b =的通解形式为1122,k k ηηξ++其中ξ是Ax b =的一个特解.2.解的性质：如果12,ηη是0Ax =的两个解,则其线性组合1122k k ηη+仍是0Ax =的解；如果ξ是Ax b =的一个解,η是0Ax =的一个解,则ξη+仍是Ax b =的解.十、(本题满分8分)【解析】由A 的特征方程,按照第二列展开,有20111(1)(1)(1)0110E A x y λλλλλλλλλ---=---=-=-+=--, 得到A 的特征值为1231,1λλλ===-.由题设有三个线性无关的特征向量,因此,1λ=必有两个线性无关的特征向量, 从而()1r E A -=.这样才能保证方程组()0E A X -=解空间的维数是2, 即有两个线性无关的解向量.由初等行变换,将E A -第一行加到第三行上,第一行乘以x 后加到第二行上有101101000101000E A x y x y --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=--→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦, 由()1r E A -=,得x 和y 必须满足条件0x y +=.十一、(本题满分7分)【解析】已知随机变量X 的概率密度,依题意有概率0.10{0.1}20.01P X xdx ≤==⎰. 求得二项分布的概率参数后,在n 次独立重复观测中,事件{0.1}X ≤出现的次数n V 服从二项分布(,0.01)B n .所以有概率函数为{}(0.01)(0.99)m m n m n n P V m C -== (0,1,)m n =.【相关知识点】二项分布的概率计算公式：若(,)Y B n p ~,则{}(1)k k n k n P Y k C p p -==-, 0,1,,k n =.十二、(本题满分8分)【解析】依据数学期望的计算公式及一般正态分布的标准化方法,有{}{}{}()10201012512E T P X P X P X =-<+≤≤-> (10)20[(12)(10)]5[1(12)]μμμμ=-Φ-+Φ--Φ---Φ- 25(12)21(10) 5.μμ=Φ--Φ--此时数学期望依赖于参数μ,为使其达到最大值,令其一阶导数为0,有22(10)(12)22()25(12)21(10)25],2dE T e e d μμϕμϕμμπ----=--+-=- 令 ()0dE T d μ=,22(10)(12)22022μμππ----=, 即22(10)(12)2222μμππ----=.解上面的方程得 012511ln 10.9.221μμ==-≈ 得到唯一驻点010.9μμ=≈,因为此问题是实际问题,所以平均利润函数必然有最大值,而且这个最大值是唯一的.由题意知,当010.9μμ=≈毫米时,平均利润最大.。
1994考研数二真题及解析
1994年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1) 若2sin 21,0,() , 0ax x e x f x xa x ⎧+-≠⎪=⎨⎪=⎩在(,)-∞+∞上连续,则a =＿＿＿＿＿＿. (2) 设函数()y y x =由参数方程32ln(1),x t t y t t=-+⎧⎨=+⎩所确定,则22d ydx =＿＿＿＿＿＿. (3)cos30()x d f t dtdx ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰＿＿＿＿＿＿. (4) 23x x e dx =⎰＿＿＿＿＿＿.(5) 微分方程2(4)0ydx x x dy +-=的通解为＿＿＿＿＿＿.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 设220ln(1)()lim2x x ax bx x →+-+=,则 ( ) (A) 51,2a b ==-(B) 0,2a b ==- (C) 50,2a b ==- (D) 1,2a b ==-(2) 设322,1()3 , 1x x f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪>⎩,则()f x 在点1x =处的 ( )(A) 左、右导数都存在 (B) 左导数存在,但右导数不存在 (C) 左导数不存在,但右导数存在 (D) 左、右导数都不存在(3) 设()y f x =是满足微分方程sin 0xy y e'''+-=的解,且0()0f x '=,则()f x 在 ( ) (A) 0x 的某个领域内单调增加 (B) 0x 的某个领域内单调减少 (C) 0x 处取得极小值 (D) 0x 处取得极大值(4) 曲线2121arctan (1)(2)x x x y e x x ++=-+的渐近线有 ( )(A) 1条 (B) 2条 (C) 3条 (D) 4条(5)设43422222sin cos ,(sin cos )1x M xdx N x x dx x ππππ--==++⎰⎰,23422(sin cos )P x x x dx ππ-=-⎰,则有 ( )(A) N P M << (B) M P N << (C) N M P << (D) P M N <<三、(本题共5小题,每小题5分,满分25分.)(1) 设()y f x y =+,其中f 具有二阶导数,且其一阶导数不等于1,求22d ydx.(2) 计算3142(1)x x dx -⎰.(3) 计算2lim tan ()4nn nπ→∞+.(4) 计算sin 22sin dxx x+⎰.(5) 如图,设曲线方程为212y x =+,梯形OABC 的面积为D ,曲边梯形OABC 的面积为1D ,点A 的坐标为(,0)a ,0a >,证明：3D <.四、(本题满分9分)设当0x >时,方程211kx x +=有且仅有一个解,求k 的取值范围.五、(本题满分9分)设324x y x +=,(1) 求函数的增减区间及极值； (2) 求函数图像的凹凸区间及拐点； (3) 求其渐近线； (4) 作出其图形.六、(本题满分9分)求微分方程2sin y a y x ''+=的通解,其中常数0a >.七、(本题满分9分)设()f x 在[0,1]上连续且递减,证明：当01λ<<时,1()()f x dx f x dx λλ≥⎰⎰.八、(本题满分9分)求曲线23|1|y x =--与x 轴围成的封闭图形绕直线3y =旋转所得的旋转体体积.1994年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】2-【解析】2sin 21ax x e x+-在0x ≠时是初等函数,因而连续；要使()f x 在(,)-∞+∞上连续,()f x 在0x =处也连续,这样必有0lim ()(0)x f x f →=.由极限的四则混合运算法则和等价无穷小,0x →时,sin xx ；1x e x -.2200sin 21sin 21lim lim()ax ax x x x e x e x x x→→+--=+ 0022limlim 22x x x axa a x x→→=+=+=,从而有2a =-. (2)【答案】(1)(65)t t t++【解析】 dy dy dt dydx dtdt dx dt dx =⋅=2232352111t t y t t t t x t'+===++'-+, ()65(1)(65)111x txx t y t t t y x t t''+++''==='-+. 【相关知识点】复合函数求导法则：如果()u g x =在点x 可导,而()y f x =在点()u g x =可导,则复合函数[]()y f g x =在点x 可导,且其导数为()()dy f u g x dx ''=⋅ 或 dy dy dudx du dx=⋅. (3)【答案】3sin3(cos3)xf x -【解析】原式(cos3)(cos3)(cos3)(sin3)33sin3(cos3)f x x f x xxf x '=⋅=⋅-⋅=-. 【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式：若()()()()t t F t f x dx βα=⎰,()t α,()t β均一阶可导,则[][]()()()()()F t t f t t f t ββαα'''=⋅-⋅.(4)【答案】221(1)2x x e C -+,其中C 为任意常数【解析】本题利用不定积分的分部积分法求解.显然是2x e 先进入积分号,原式22222211()()22x x x x d e x e e d x ⎡⎤==-⎣⎦⎰⎰ 221(1)2x x e C =-+ 其中C 为任意常数. 注：分部积分法的关键是要选好谁先进入积分号的问题,如果选择不当可能引起更繁杂的计算,最后甚至算不出结果来.在做题的时候应该好好总结,积累经验.【相关知识点】分部积分公式：假定()u u x =与()v v x =均具有连续的导函数,则,uv dx uv u vdx ''=-⎰⎰ 或者 .udv uv vdu =-⎰⎰(5)【答案】4(4)x y Cx -⋅=,C 为任意常数 【解析】这是可分离变量的方程. 分离变量得0(4)dx dyx x y+=-,两项分别对x 和对y 积分得到114ln ln ,4x y C x-+= 化简有44x y C x-⋅=,即 4(4)x y Cx -⋅=,C 为任意常数.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(A)【解析】方法1：将极限中的分子用泰勒—皮亚诺公式展开得2222ln(1)()(())()2x x ax bx x o x ax bx +-+=-+-+221(1)()()2a xb x o x =--++,由假设,应该有101()22a b -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩,故由此51,2a b ==-,故应选(A).方法2：用洛必达法则.220ln(1)()lim x x ax bx x →+-+为“0”型的极限未定式,又分子分母在点0处导数都存在,所以,0121lim 2x a bxxx→--+=原式左边 20(1)(2)2lim 2(1)x a a b x bx x x →--+-=+(若10a -≠,则原式极限为∞,必有10a -=)122,2b +=-= 51,2a b ⇒==-. 故应选(A).(2)【答案】(B)【解析】方法1：因32(),(1)()3f x x x f x =≤⇒左可导,312(1)23x f x --='⎛⎫'== ⎪⎝⎭.又211lim ()lim 1(1)()x x f x x f f x ++→→==≠⇒不右连续()f x ⇒在1x =的右导数不存在, 故选(B). 方法2：2(1)3f =,而 211lim ()lim 1(1)x x f x x f ++→→==≠, 所以,()f x 在1x =点不连续,故不可导,但左,右导数可能存在,这只需要用左,右导数定义进行验证.2113112()(1)3(1)lim lim ,1122()(1)33(1)lim lim 2.11x x x x x f x f f x x x f x f f x x ++--+→→-→→--'===+∞----'===--故()f x 在1x =点左导数存在,但右导数不存在,故应选(B). (3)【答案】(C)【解析】由于()f x 满足微分方程sin 0xy y e'''+-=,当0x x =时,有0sin 00()()x f x f x e '''+=.又由0()0f x '=,有0sin 0()0x f x e ''=>,因而点0x 是()f x 的极小值点,应选(C).(4)【答案】(B)【解析】用换元法求极限,令1t x=,则当x →±∞时,0t →,且有 2201lim lim arctan ,(1)(12)4t x t t t y e t t π→±∞→++==-+ 0lim x y →=-∞,所以y 轴和4y π=是曲线的两条渐近线.而1x =和2x =-并非曲线的渐近线,因当1x =和2x =-时,y 分别趋向于2eπ±和142eπ±.故应选(B).【相关知识点】渐近线的相关知识：水平渐近线：若有lim ()x f x a →∞=,则y a =为水平渐近线；铅直渐近线：若有lim ()x af x →=∞,则x a =为铅直渐近线；斜渐近线：若有()lim,lim[()]x x f x a b f x ax x→∞→∞==-存在且不为∞,则y ax b =+为斜渐近线.(5)【答案】(D)【解析】对于关于原点对称的区间上的积分,应该关注被积函数的奇偶性.由对称区间上奇偶函数积分的性质,被积函数是奇函数,积分区间关于原点对称,则积分为0,故0M =,且由定积分的性质,如果在区间[],a b 上,被积函数()0f x ≥,则()0 ()baf x dx a b ≥<⎰.所以 4202cos 0N xdx π=>⎰, 4202cos 0P xdx N π=-=-<⎰.因而 P M N <<,应选(D).三、(本题共5小题,每小题5分,满分25分.)(1)【解析】方程两边对x 求导,得(1)y f y '''=⋅+,两边再求导,得2(1)y f y f y ''''''''=⋅++⋅,由于一阶导数不等于1,所以10f '-≠. 以1f y f ''='-代入并解出y '',得 3(1)f y f ''''='-. 【相关知识点】复合函数求导法则：如果()u g x =在点x 可导,而()y f x =在点()u g x =可导,则复合函数[]()y f g x =在点x 可导,且其导数为()()dy f u g x dx ''=⋅ 或 dy dy dudx du dx=⋅. (2)【解析】用换元积分法.观察被积函数的特点,可考虑引入三角函数化简.令2sin x t =,则2cos xdx tdt =.当0x =时,0t =；当1x =时,2t π=,故原式4201cos 2tdt π=⎰1313()242232ππ=⋅⋅⋅=.【相关知识点】定积分关于单三角函数的积分公式：2200(1)!!, !!2sin cos (1)!!, !!n n n n n n I xdx xdx n n n πππ-⎧⎪⎪===⎨-⎪⎪⎩⎰⎰为偶数为奇数，.注：对于双阶乘!!n 的定义如下:当n 为奇数时,!!13n n =⨯⨯⨯；当n 为偶数时,!!24n n =⨯⨯⨯.(3)【解析】方法1：用三角函数公式将2tan()4n π+展开,再化为重要极限1lim(1)x x e x→∞+=的形式,利用等价无穷小因子替换,即0x →时,tan x x ,从而求出极限.221tan 2tan 2lim tan ()lim lim 12241tan 1tan nnn n n n n n n n n π→∞→∞→∞⎡⎤⎡⎤+⎢⎥⎢⎥+==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦ 221tan 4tan 124tan22212tan 1tanlim221tan422tan lim 121tan n n n n n n nnnn n ee n →∞-⋅⋅-⋅-→∞⎡⎤⎢⎥=+==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.方法2：先取自然对数,求出极限后再用恒等式 lim ln ()lim ()x f x x e f x →∞→∞=.因为221tan2tan2lim ln tan ()lim ln lim ln 12241tan1tan n n n n n n n n n n n π→∞→∞→∞⎡⎤+⎢⎥+==+⎢⎥⎢⎥--⎣⎦ 222tan tan 4lim lim 42221tan 1tann n n n n n n n →∞→∞⎡⎤⎢⎥===⎢⎥⎢⎥--⎣⎦, 于是 2ln tan ()442lim tan ()lim 4n nn n n e e n ππ+→∞→∞+==.(4)【解析】方法1：利用三角函数的二倍角公式sin 22sin cos ααα=⋅,并利用换元积分,结合拆项法求积分,得sin 22sin 2sin (cos 1)dx dxx x x x =++⎰⎰22sin 11cos 2sin (cos 1)2(1)(1)xdx x u du x x u u ==-+-+⎰⎰(22sin 1cos x x =-)221(1)(1)1112()4(1)(1)811(1)u u du du u u u u u ++-=-=-++-+-++⎰⎰12ln |1|ln |1|8(1)u u C u ⎡⎤=--+++⎢⎥+⎣⎦()()12ln 1cos ln 1cos 81cos x x C x ⎡⎤=--+++⎢⎥+⎣⎦, 其中C 为任意常数.方法2：换元cos x u =后,有原式22sin 12sin (cos 1)2sin (cos 1)2(1)(1)dx xdx dux x x x u u ===-++-+⎰⎰⎰.用待定系数法将被积函数分解:221(1)(1)11(1)A B Du u u u u =++-+-++22()(2)()(1)(1)A B u A D u A B D u u -+-+++=-+,1120,421A B A D A B D A B D -=⎧⎪⇒-=⇒===⎨⎪++=⎩.于是,2111212()ln 1ln 1811(1)81du u u C u u u u ⎡⎤-++=--+++⎢⎥-+++⎣⎦⎰原式＝ ()()12ln 1cos ln 1cos 81cos x x C x ⎡⎤=--+++⎢⎥+⎣⎦. (5)【解析】对梯形OABC 的面积为D ,可用梯形面积公式()2ha b +,其中h 为梯形的高,a 、b 分别为上底和下底长度.对于曲边梯形OABC 的面积则用积分式求解.222231011()(1)22,22111(32)().2326a a a a D a a a D x dx a a +++==+=+=+=⎰ 由于 22312a a +<+,所以221132a a +<+,由此, 2222221(1)3(1)31323(32)322226a a D a a a a D a a +++===<+++.四、(本题满分9分)【解析】方程211kx x +=的解即为32()1x kx x ϕ=-+的零点. 要证明方程211kx x+=有且仅有一个解,只需要证明()x ϕ是单调函数,且它的函数图像仅穿过x 轴一次就可以了.以下是证明过程.对()x ϕ求一阶导数,有2()32(32)x kx x x kx ϕ'=-=-.当0k ≤时,()0x ϕ'<,()x ϕ单调减少,(0)10,lim (),x x ϕϕ→+∞=>=-∞()x ϕ在0x >有唯一的零点；当0k >时,()x ϕ在2(0,)3k 单调减少,在2(,)3k +∞单调增加,224()1327k k ϕ=-,而(0)10,lim (),x x ϕϕ→+∞=>=+∞当且仅当最小值2()03k ϕ=时,()x ϕ才在0x >有唯一零点,这时应该有k =总之,当0k ≤或k =,原方程有唯一实根.五、(本题满分9分)【解析】求函数的增减区间一般先求出函数的不连续点和驻点,根据这些点将函数的定义域分成不同区间,然后根据y '在此区间上的正负来判断该区间上函数的增减性以及极值点；根据y ''的正负判定区间的凹凸性；求渐近线时除判定是否存在水平或垂直渐近线外,还要注意有没有斜渐近线.作函数图形时要能综合(1)、(2)、(3)所给出的函数属性,尤其注意渐近线、拐点、极值点和零点.2344824,1,0y x y y x x x '''=+=-=>. 无定义点：0x =,驻点：2x =.函数在(,0)(2,)-∞+∞单调增加,在(0,2)单调减少,在(,0)(0,)-∞+∞凹,在2x =取极小值23x y ==；由于 0lim ,x y →=∞所以0x =为垂直渐近线.由于 24lim1,lim()lim 0,x x x y y x xx →∞→∞→∞=-==所以y x =是斜渐近线.粗略草图如下：【相关知识点】渐近线的相关知识：水平渐近线：若有lim ()x f x a →∞=,则y a =为水平渐近线； 铅直渐近线：若有lim ()x af x →=∞,则x a =为铅直渐近线；斜渐近线：若有()lim,lim[()]x x f x a b f x ax x→∞→∞==-存在且不为∞,则y ax b =+为斜渐近线.六、(本题满分9分)【解析】所给方程为常系数的二阶线性非齐次方程,对应的齐次方程的特征方程220r a +=有两个根为12,r r ai =±.当1a ≠时,非齐次方程的特解应设为 sin cos Y A x B x =+.代入方程可以确定 221sin ,0,11xA B Y a a ===--. 当1a =时,应设 sin cos Y xA x xB x =+,代入方程可以确定 10,,cos 22xA B Y x ==-=-.由此,所求的通解为当1a ≠时,122sin cos sin 1xy c ax c ax a =++-； 当1a =时,12cos sin cos 2xy c x c x x =+-. 【相关知识点】1.二阶线性非齐次方程解的结构：设*()y x 是二阶线性非齐次方程()()()y P x y Q x y f x '''++=的一个特解.()Y x 是与之对应的齐次方程 ()()0y P x y Q x y '''++=的通解,则*()()y Y x y x =+是非齐次方程的通解.2. 二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解()Y x ,可用特征方程法求解：即()()0y P x y Q x y '''++=中的()P x 、()Q x 均是常数,方程变为0y py qy '''++=.其特征方程写为20r pr q ++=,在复数域内解出两个特征根12,r r ； 分三种情况：(1) 两个不相等的实数根12,r r ,则通解为1212;rx r x y C eC e =+(2) 两个相等的实数根12r r =,则通解为()112;rxy C C x e =+(3) 一对共轭复根1,2r i αβ=±,则通解为()12cos sin .xy e C x C x αββ=+其中12,C C 为常数.3.对于求解二阶线性非齐次方程()()()y P x y Q x y f x '''++=的一个特解*()y x ,可用待定系数法,有结论如下：如果()(),x m f x P x e λ=则二阶常系数线性非齐次方程具有形如*()()k xm y x x Q x e λ=的特解,其中()m Q x 是与()m P x 相同次数的多项式,而k 按λ不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2.如果()[()cos ()sin ]xl n f x e P x x P x x λωω=+,则二阶常系数非齐次线性微分方程()()()y p x y q x y f x '''++=的特解可设为*(1)(2)[()cos ()sin ]k x m m y x e R x x R x x λωω=+,其中(1)()m R x 与(2)()m R x 是m 次多项式,{}max ,m l n =,而k 按i λω+(或i λω-)不是特征方程的根、或是特征方程的单根依次取为0或1.七、(本题满分9分)【解析】方法一：用积分比较定理.首先需要统一积分区间：换元,令x t λ=,则 1()()f x dx f t dt λλλ=⎰⎰,由此[]11()()()()f x dx f x dx f x f x dx λλλλ-=-⎰⎰⎰.因为()f x 递减而x x λ<,所以()()f x f x λ≥,上式的右端大于零,问题得证. 方法二：用积分中值定理.为分清两中值的大小,需要分别在(0,),(,1)λλ两区间内用积分中值定理：11()()()f x dx f x dx f x dx λλ=+⎰⎰⎰,由此,11()()(1)()()f x dx f x dx f x dx f x dx λλλλλλ-=--⎰⎰⎰⎰12(1)()(1)()f f λλξλλξ=-⋅-⋅-[]12(1)()()f f λλξξ=-⋅-,其中,1201ξλξ<<<<；又因()f x 递减,12()()f f ξξ≥.上式的右端大于零,问题得证. 方法三：作为函数不等式来证明.令1()()()f x dx f x dx λϕλλ=-⎰⎰, [0,1]λ∈.则 1()()()f f x dx ϕλλ'=-⎰.由积分中值定理,有()()()f f ϕλλξ'=-,其中(0,1)ξ∈为常数.由()f λ递减,λξ=为唯一驻点,且()ϕλ'在λξ=由正变负,λξ=是()ϕλ的极大值点也是最大值点；由此,最小点必为端点0λ=或1.从而有()(0)(1)0,0 1.ϕλϕϕλ≥==<<命题得证.【相关知识点】积分上限的函数的求导公式：若()()()()t t F t f x dx βα=⎰,()t α,()t β均一阶可导,则[][]()()()()()F t t f t t f t ββαα'''=⋅-⋅.八、(本题满分9分)【解析】如右图所示,曲线左右对称, 与x 轴的交点是(2,0),(2,0)-. 只计算右半部分即可.作垂直分割, 相应于[],x x dx +的小竖条的体积微元：222223(3)3(1)dV y dx x dx π⎡⎤⎡⎤=--=--⎣⎦⎣⎦24(82),02x x dx x π=+-≤≤,于是 22404482(82)15V x x dx ππ=+-=⎰.y =。
1994考研数四真题及解析
, 积分为
原式
2
22
x x
2
dx
2x
2 02
x2 dx
2
2
02
xx2 dx
2
02
1 x 2dx2
ln (2 x2) 2 ln 6 ln 2 ln 3. 0
(2) 【答案】 1
【解析】由此题极限的形式可构造导数的定义的形式
, 从而求得极限值 . 由于
lim f ( x0 2x) f ( x0 x)
x0
Born to win
(5) 设 0 P( A) 1,0 P(B) 1, P( A | B) P( A | B) 1 , 则
()
(A) 事件 A 和 B 互不相容
(B)
(C) 事件 A 和 B 互不独立
(D)
事件 A 和 B 相互对立 事件 A 和 B 相互独立
三、 ( 本题满分 5 分 )
求极限 lim[ x
也是该方程组的一个基础解系 .
十、 ( 本题满分 8 分 )
设A
Born to win
00 1 x 1 y 有三个线性无关的特征向量 100
, 求 x 和 y 应满足的条件 .
十一、 ( 本题满分 7 分 )
假设随机变量 X 的概率密度为
f (x)
2 x, 0 x 1, 0, 其他 .
现在对 X 进行 n 次独立重复观测 , 以 Vn 表示观测值不大于 0.1 的次数 . 试求随机变量 Vn 的概
Born to win
1994 年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题
一、填空题 ( 本题共 5 小题 , 每小题 3 分 , 满分 15 分 .)
2x x
(1)
考研数学一(高等数学)模拟试卷94(题后含答案及解析)
考研数学一（高等数学）模拟试卷94(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．若f’(x)=sinx，则f(x)的原函数之一是A．1+sinxB．1一sinxC．1+cosxD．1一cosx正确答案：B 涉及知识点：高等数学2．设函数f(x)连续，F(x)=f(t)dt，则F’(x)=_______A．f(x2)一f(e-x)．B．f(x2)+f(e-x)．C．2xf(x2)一e-xf(e-x)．D．2xf(x2)+e-xf(e-x)．正确答案：D 涉及知识点：高等数学3．设f(x)，φ(x)在点x=0的某邻域内连续，且x→0时，f(x)是φ(x)的高阶无穷小，则x→0时，∫0xf(t)sintdt是∫0xtφ(t)dt的( )无穷小．A．低阶．B．高阶．C．同阶非等价．D．等价．正确答案：B 涉及知识点：高等数学4．设f(x)有一阶连续导数，f(0)=0，当x→0时，∫0f(x)f(t)dt与x2为等价无穷小，则f’(0)等于A．0．B．2．C．D．正确答案：D 涉及知识点：高等数学5．设f(x)在[a，b]上连续，φ(x)=(x一b)∫axf(t)df，则存在ξ∈(a，b)，使φ’(ξ)等于A．1．B．0．C．D．2．正确答案：B 涉及知识点：高等数学6．A．0．B．1．C．D．一1．正确答案：A 涉及知识点：高等数学7．设f(x)，g(x)在[a，b]上连续且g(x)＜f(x)＜m，则由曲线y=f(x)，y=g(x)与直线x=a，x=b围成的平面图形绕直线y=m旋转而成的旋转体体积V等于A．∫abπ[2m一f(x)+g(x)][f(x)一g(x)]dx．B．∫abπ[2m一f(x)一g(x)][f(x)一g(x)]dx．C．∫abπ[m一f(x)+g(x)][f(x)一g(x)]dx．D．∫abπ[m一f(x)一g(x)][f(x)一g(x)]dx．正确答案：B 涉及知识点：高等数学8．下列广义积分中发散的是A．B．C．D．正确答案：A 涉及知识点：高等数学填空题9．正确答案：涉及知识点：高等数学10．设f(lnx)=则∫f(x)dx=_____．正确答案：x一(1+e-x)ln(1+ex)+C 涉及知识点：高等数学11．设∫xf(x)dx=ln(1+x2)+C，则正确答案：涉及知识点：高等数学12．正确答案：2(e2+1) 涉及知识点：高等数学13．设f(x)连续，且f(t)dt=x，则f(5)+∫05f(t)dt=_______．正确答案：涉及知识点：高等数学14．设，则∫01f(x)dx=______．正确答案：涉及知识点：高等数学15．正确答案：ln3 涉及知识点：高等数学16．设f(x)连续，且正确答案：6 涉及知识点：高等数学17．正确答案：涉及知识点：高等数学18．设函数f(x)连续，则∫0xtf(x2-t2)dt=_______．正确答案：xf(x2) 涉及知识点：高等数学19．曲线y=xex与直线y=ex所围成图形的面积是_______．正确答案：涉及知识点：高等数学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
[VIP专享]1994年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
![[VIP专享]1994年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题](https://img.taocdn.com/s3/m/f44c91a7b90d6c85ec3ac6f1.png)
1) B2Ak+22+12=+15+c51mc+=5m=2c111++m+12+21+++2=12=2+1+2+1+2+2+22+32k+1+2
(B) M P N (D) P M N
()
(2)
二元函数
f
(x,
y)
在点 (x0 ,
y0 )
处两个偏导数
f
x
(
x0
,
y0 )
、
f
y
(
x0
,
y0 ) 存在是
1) B2Ak+22+1=2+15+c51mc+=m5=21c11+m++12+2+1++=212=2+1+2+1+2+2+22+32k+1+2
计算曲面积分
四、(本题满分 6 分)
.
(3) 求
sin 2x 2sin x
dx
(2) 将函数 f (x) 1 ln 1 x 1 arctan x x 展开成 x 的幂级数. 4 1 x 2
1994 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
一、填空题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分.)
(1) lim cot x( 1 1 ) _____________.
x0
sin x x
(2) 曲面 z ez 2xy 3 在点(1,2,0)处的切平面方程为_____________.
考研英语一阅读理解真题加解析1994 Passage 4
1994 Passage 4"I have great confidence that by the end of the decade we'll know in vast detail how cancer cells arise," says microbiologist Robert Weinberg, an expert on cancer. "But," he cautions, "some people may have the idea that once one understands the causes, the cure will rapidly follow. Consider Pasteur. He discovered the causes of many kinds of infection s, but it was fifty or sixty years before cures were available."This year, 50 percent of the 910000 people who suffer from cancer will survive at least five years. In the year 2000, the National Cancer Institute estimates, that figure will be 75 percent. For some skin cancers, the five-year survival rate is as high as 90 percent. But other survival statistics are still discouraging — 13 percent for lung cancer, and 2 percent for cancer of the pancreas.With as many as 120 varieties in existence, discovering how cancer works is not easy. The researchers made great progress in the early 1970s, when they discovered that oncogene s, which are cancer-causing genes, are inactive in normal cells. Anything from cosmic rays to radiation to diet may activate a dormant oncogene, but how remains unknown. If several oncogenes are driven into action, the cell, unable to turn them off, becomes cancerous.The exact mechanisms involved are still mysterious, but the likelihood that many cancers are initiated at the level of genes suggests that we will never prevent all cancers. "Changes are a normal part of the evolutionary process," says oncologist William Hayward. Environmental factors can never be totally eliminated; as Hayward points out, "We can't prepare a medicine against cosmic rays."The prospects for cure, though still distant, are brighter ."First, we need to understand how the normal cell controls itself. Second, we have to determine whether there are a limited number of genes in cells which are always responsible for at least part of the trouble. If we can understand how cancer works, we can counteract its action."63. The example of Pasteur in the passage is used to ________.[A] predict that the secret of cancer will be disclosed in a decade[B] indicate that the prospects for curing cancer are bright[C] prove that cancer will be cured in fifty to sixty years[D] warn that there is still a long way to go before cancer can be conquered64. The author implies that by the year 2000, ________.[A] there will be a drastic rise in the five-year survival rate of skin-cancer patients[B] 90 percent of the skin-cancer patients today will still be living[C] the survival statistics will be fairly even among patients with various cancers[D] there won't be a drastic increase of survival rate of all cancer patients65. Oncogenes are cancer-causing genes ________.[A] that are always in operation in a healthy person[B] which remain unharmful so long as they are not activated[C] that can be driven out of normal cells[D] which normal cell can't turn off66. The word "dormant' in the third paragraph most probably means ________.[A] dead[B] ever-present[C] inactive[D] potential重点词汇：infection （传染；感染）即in+fect+ion，in-在内，fect词根“做”，-ion名词后缀，“在里面起作用”→感染；动词形式为infect←in+fect。
考研数学一真题及答案(全)
全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上．（1）若函数10(),0x f x axb x ⎧->⎪=⎨⎪≤⎩在x 连续，则 (A) 12ab =． (B) 12ab =-． (C) 0ab =． (D) 2ab =．【答案】A【详解】由011lim2x b ax a +→-==,得12ab =. （2）设函数()f x 可导，且()'()0f x f x >则(A) ()()11f f >- ． (B) ()()11f f <-．(C) ()()11f f >-． (D) ()()11f f <-. 【答案】C【详解】2()()()[]02f x f x f x ''=>,从而2()f x 单调递增,22(1)(1)f f >-. （3）函数22(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿着向量(1,2,2)n =的方向导数为(A) 12． (B) 6． (C) 4． (D)2 ．【答案】D【详解】方向余弦12cos ,cos cos 33===αβγ,偏导数22,,2x y z f xy f x f z '''===,代入cos cos cos x y z f f f '''++αβγ即可.（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位：m)处.图中，实线表示甲的速度曲线1()v v t =(单位：m/s)，虚线表示乙的速度曲线2()v v t =(单位：m/s)，三块阴影部分面积的数值一次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为(单位：s)，则(A) 010t =． (B) 01520t <<．(C) 025t =． (D)025t >．【答案】C【详解】在025t =时,乙比甲多跑10m,而最开始的时候甲在乙前方10m 处.（5）设α为n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则(A) T E -αα不可逆． (B) T E +αα不可逆．(C) T 2E +αα不可逆． (D) T 2E -αα不可逆．【答案】A【详解】可设T α=(1,0,,0),则T αα的特征值为1,0,,0,从而T αα-E 的特征值为011,,,,因此T αα-E 不可逆.（6）设有矩阵200021001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，210020001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，122C ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(A)A 与C 相似，B 与C 相似． (B) A 与C 相似，B 与C 不相似．(C) A 与C 不相似，B 与C 相似．(D) A 与C 不相似，B 与C 不相似．【答案】B【详解】,A B 的特征值为221,,,但A 有三个线性无关的特征向量,而B 只有两个,所以A 可对角化, B 则不行.（7）设,A B 为随机事件，若0()1P A <<，0()1P B <<，则(|)(|)P A B P B A >的充分必要条件(A) (|)(|)P B A P B A >． (B) (|)(|)P B A P B A <． (C) (|)(|)P B A P B A >． (D) (|)(|)P B A P B A <．【答案】A【详解】由(|)(|)P A B P A B >得()()()()()()1()P AB P AB P A P AB P B P B P B ->=-,即()>()()P AB P A P B ;由(|)(|)P B A P B A >也可得()>()()P AB P A P B .（8）设12,,,(2)n X X X n 为来自总体(,1)N μ的简单随机样本，记11ni i X X n ==∑，则下列结论不正确的是(A)21()ni i X μ=-∑服从2χ分布 ． (B) 212()n X X -服从2χ分布．(C)21()nii XX =-∑服从2χ分布． (D) 2()n X -μ服从2χ分布．【答案】B【详解】222211~(0,1)()~(),()~(1)1n ni i i i i X N X n X X n ==----∑∑μμχχ;221~(,),()~(1);X N n X n-μμχ2211()~(0,2),~(1)2n n X X X X N --χ.二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答．题纸．．指定位置上．（9）已知函数21(),1f x x=+(3)(0)f = ． 【答案】0 【详解】2421()1(11)1f x x x x x==-++-<<+,没有三次项.（10）微分方程032=+'+''y y y 的通解为 ．【答案】12e ()x y C C -=+【详解】特征方程2230r r ++=得1r =-+,因此12e ()x y C C -=+.（11）若曲线积分⎰-+-L y x aydyxdx 122在区域{}1),(22<+=y x y x D 内与路径无关，则=a．【答案】1-【详解】有题意可得Q Px x∂∂=∂∂,解得1a =-. （12）幂级数111)1(-∞=-∑-n n n nx 在(-1,1)内的和函数()S x = ．【答案】21(1)x +【详解】112111(1)[()](1)n n n n n nxx x ∞∞--=='-=--=+∑∑.（13）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=110211101A ，321ααα，，是3维线性无关的列向量，则()321,,αααA A A 的秩为 ．【答案】2【详解】123(,,)()2r r ααα==A A A A（14）设随即变量X 的分布函数4()0.5()0.5()2x F x x -=Φ+Φ，其中)(x Φ为标准正态分布函数，则EX = ． 【答案】2【详解】00.54()d [0,5()()]d 222x EX xf x x x x x +∞+∞-∞-==+=⎰⎰ϕϕ. 三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸．．．指定位置上．（15）（本题满分10分）．设函数(,)f u v 具有2阶连续偏导数，(e ,cos ),xy f x =求2200,x x dyd y dxdx==.【答案】(e ,cos )x y f x =()''12'12''''''''''111212122222''''11122sin ,0(1,1)sin (sin )sin cos 0(1,1)(1,1)(1,1)x x x x x dyf e f x dx dy x f dx d y f e f x e f e f e f x x f x dx d y x f f f dx ∴=-∴===-+---==+- （16）（本题满分10分）．求2limln(1)n k k n n→∞+. 【答案】212221120012202lim ln(1)1122lim ln(1)ln(1)...ln(1)11122lim ln(1)ln(1)...ln(1)1ln(1)ln(1)21111ln(1)02211111ln 2221n k n n k k nn n n n n n n n n n n n n n n n n n x x dx x d x x x x dxx x ∞→∞=→∞→∞+⎛⎫=++++++ ⎪⎝⎭⎛⎫=++++++ ⎪⎝⎭=+=+=+-+-+=-∑⎰⎰⎰1011002111ln 2[(1)]22111111ln 2[()ln(1)]002221111ln 2(1ln 2)2224dxxx dx dx xx x x +=--++=--++=--+=⎰⎰⎰（17）（本题满分10分）．已知函数)(x y 由方程333320x y x y +-+-=确定，求)(x y 的极值. 【答案】333320x y x y +-+-=①，方程①两边对x 求导得：22''33330x y y y +-+=②， 令'0y =，得233,1x x ==±. 当1x =时1y =，当1x =-时0y =.方程②两边再对x 求导：'22''''66()330x y y y y y +++=， 令'0y =，2''6(31)0x y y ++=，当1x =，1y =时''32y =-，当1x =-，0y =时''6y =.所以当1x =时函数有极大值，极大值为1，当1x =-时函数有极小值，极小值为0.（18）（本题满分10分）．设函数()f x 在区间[0,1]上具有2阶导数，且(1)0f >，0()lim 0x f x x+→<.证明：（I ）方程()0f x =在区间(0,1)内至少存在一个实根;（II ）方程2()''()['()]0f x f x f x +=在区间(0,1)内至少存在两个不同实根. 【答案】 (1)()lim 0x f x x+→<，由极限的局部保号性，(0,),()0c f c δ∃∈<使得，又(1)0,f >由零点存在定理知，(c,1)ξ∃∈，使得，()0f ξ=.(2)构造()()'()F x f x f x =，(0)(0)'(0)0F f f ==，()()'()0F f f ξξξ==，0()lim 0,'(0)0,x f x f x+→<∴<由拉格朗日中值定理知(1)(0)(0,1),'()010f f f ηη-∃∈=>-，'(0)'()0,f f η<所以由零点定理知1(0,)(0,1)ξη∃∈⊂，使得1'()0f ξ=，111()()'()0,F f f ξξξ∴== 所以原方程至少有两个不同实根。
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~~ ~~~ 1994年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1) 011limcot()sinxxxx_____________.
(2) 曲面23zzexy在点(1,2,0)处的切平面方程为_____________.
(3) 设sinxxuey,则2uxy在点1(2,)处的值为_____________.
(4) 设区域D为222xyR,则2222()Dxydxdyab_____________. (5) 已知11(1,2,3),(1,,)23,设TA,其中T是的转置,则nA_________. 二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1) 设4222sincos1xMxdxx,3422(sincos)Nxxdx,23422(sincos)Pxxxdx, 则 ( ) (A) NPM (B) MPN (C) NMP (D) PMN
(2) 二元函数(,)fxy在点00(,)xy处两个偏导数00(,)xfxy、00(,)yfxy存在是(,)fxy在该点连续的 ( ) (A) 充分条件但非必要条件 (B) 必要条件而非充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既非充分条件又非必要条件
(3) 设常数0,且级数21nna收敛,则级数21||(1)nnnan ( ) (A) 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 收敛性与有关
(4) 20tan(1cos)lim2ln(12)(1)xxaxbxcxde,其中220ac,则必有 ( ) (A) 4bd (B) 4bd (C) 4ac (D) 4ac
(5) 已知向量组1234、、、线性无关,则向量组 ( )
(A) 12、23、34、41线性无关 ~~ ~~~ (B) 12、23、34、41线性无关 (C) 12、23、34、41线性无关 (D) 12、23、34、41线性无关
三、(本题共3小题, 每小题5分,满分15分.) (1) 设2221cos(),1cos()cos,2txtyttuduu 求dydx、22dydx在2t的值.
(2) 将函数111()lnarctan412xfxxxx展开成x的幂级数. (3) 求sin22sindxxx.
四、(本题满分6分) 计算曲面积分2222Sxdydzzdxdyxyz,其中S是由曲面222xyR及两平面,zR
(0)zRR所围成立体表面的外侧.
五、(本题满分9分) 设()fx具有二阶连续导数,(0)0,(0)1ff,且
2[()()][()]0xyxyfxydxfxxydy为一全微分方程,求()fx及此全微分方程的
通解.
六、(本题满分8分) 设()fx在点0x的某一领域内具有二阶连续导数,且0()lim0xfxx,证明级数
11()nfn绝对收敛.
七、(本题满分6分) 已知点A与B的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1).线段AB绕z轴旋转一周所围成
的旋转曲面为S.求由S及两平面0,1zz所围成的立体体积.
八、(本题满分8分) ~~ ~~~ 设四元线性齐次方程组()为12240,0,xxxx 又已知某线性齐次方程组()的通解为 12(0,1,10)(1,2,2,1)kk.
(1) 求线性方程组()的基础解系； (2) 问线性方程组()和()是否有非零公共解？若有,则求出所有的非零公共解.若没有,则说明理由.
九、(本题满分6分) 设A为n阶非零方阵,*A是A的伴随矩阵,TA是A的转置矩阵,当*TAA时,证明 ||0A.
十、填空题(本题共2小题, 每小题3分,满分6分.) (1) 已知A、B两个事件满足条件()()PABPAB,且()PAp,则()PB__________. (2) 设相互独立的两个随机变量X、Y具有同一分布律,且X的分布律为
X 0 1
P 12 12
则随机变量max,ZXY的分布律为_______.
十一、(本题满分6分) 已知随机变量(,)XY服从二维正态分布,且X和Y分别服从正态分布2(1,3)N和
2(0,4)N,X与Y的相关系数12XY,设32XYZ,
(1) 求Z的数学期望()EZ和方差()DZ； (2) 求X与Z的相关系数XZ； (3) 问X与Z是否相互独立？为什么？ ~~
~~~ 1994年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析 一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】16
【解析】原式变形后为“00”型的极限未定式,又分子分母在点0处导数都存在,所以连续应用两次洛必达法则,有 原式20cos(sin)limsinxxxxxx300sinlimcoslimxxxxxx
2001cossin1limlim366xxxxxx. (由重要极限0sinlim1xxx
)
(2)【答案】240xy 【解析】所求平面的法向量n为平行于所给曲面在点(1,2,0)处法线方向的方向向量l,取nl,又平面过已知点(1,2,0)M. 已知平面的法向量(,,)ABC和过已知点000(,,)xyz可唯一确定这个平面： 000()()()0AxxByyCzz.
因点(1,2,0)在曲面(,,)0Fxyz上.曲面方程(,,)23zFxyzzexy. 曲面在该点的法向量
(1,2,0)(1,2,0)
,,2,2,14,2,022,1,0zFFFnyxexyz
,
故切平面方程为 2(1)(2)0xy, 即 240xy. (3)【答案】22e 【解析】由于混合偏导数在连续条件下与求导次序无关,为了简化运算,所以本题可以先求uy,再求uxy.
2cosxuxxeyyy,
2221112(2,)(2,)2cosxyxxuuuxexxyyxxyx ~~ ~~~ 2222((1)cos)0xxexxe
.
(可边代值边计算,这样可以简化运算量.) 【相关知识点】多元复合函数求导法则：如果函数(,),(,)uxyvxy都在点(,)xy具有对x及对y的偏导数,函数(,)zfuv在对应点(,)uv具有连续偏导数,则复合函数 ((,),(,))zfxyxy在点(,)xy的两个偏导数存在,且有
12zzuzvuvffxuxvxxx
；
12zzuzvuvffyuyvyyy
.
(4)【答案】42211()4Rab 【解析】很显然,根据此题的特征用极坐标变换来计算：
原式2222222322220000cossincossinRRdrrdrdrdrabab. 注意： 222200cossindd, 则 原式4422221111144RRabab.
(5)【答案】111123232133312n 【解析】由矩阵乘法有结合律,注意 1111,,23233T是一个数, 而 11123111221,,2123333312TA,(是一个三阶矩阵) ~~
~~~ 于是, ()()()()nTTTTTTTTA
11111232332133312nTn
.
二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(D)
【解析】对于关于原点对称的区间上的积分,应该关注被积函数的奇偶性.
由对称区间上奇偶函数积分的性质,被积函数是奇函数,积分区间关于原点对称,则积分为0,故0M,且 由定积分的性质,如果在区间,ab上,被积函数()0fx,则()0 ()bafxdxab.
所以 4202cos0Nxdx, 4202cos0PxdxN. 因而 PMN,应选(D). (2)【答案】(D) 【解析】(,)fxy在点00(,)xy连续不能保证(,)fxy在点00(,)xy存在偏导数00(,),xfxy
00(,)yfxy.反之,(,)fxy在点00(,)xy存在这两个偏导数00(,),xfxy00(,)yfxy也不能保
证(,)fxy在点00(,)xy连续,因此应选(D). 二元函数(,)fxy在点00(,)xy处两个偏导数存在和在点00(,)xy处连续并没有相关性. (3)【答案】(C) 【解析】考查取绝对值后的级数.因
22222
(1)||111112222nnnnaaannn
,
(第一个不等式是由2210,0,()2ababab得到的.) 又21nna收敛,2112nn收敛,(此为p级数：11pnn当1p时收敛；当1p时发散.)