2.1 逻辑代数1
逻辑代数的基本概念与基本运算
逻辑代数的基本概念与基本运算1. 引言逻辑代数是数学中的一个分支，它主要研究逻辑关系、逻辑运算和逻辑函数等内容。
逻辑代数作为数理逻辑的一个重要工具，不仅在数学、计算机科学等领域具有重要的应用，同时也在现实生活中扮演着重要的角色。
本文将介绍逻辑代数的基本概念与基本运算，帮助读者更好地理解逻辑代数的基本原理和运算规则。
2. 逻辑代数的基本概念逻辑代数是一种用于描述逻辑运算的代数体系，它主要包括逻辑变量、逻辑常量、逻辑运算和逻辑函数等基本概念。
2.1 逻辑变量逻辑变量是逻辑代数中的基本元素，通常用字母表示，表示逻辑命题的真假值。
在逻辑代数中，逻辑变量通常只能取两个值，即真和假，分别用1和0表示。
2.2 逻辑常量逻辑常量是逻辑代数中表示常量真假值的符号，通常用T表示真，用F 表示假。
逻辑常量在逻辑运算中扮演着重要的角色。
2.3 逻辑运算逻辑运算是逻辑代数中的基本运算，包括与、或、非、异或等运算。
逻辑运算主要用于描述不同命题之间的逻辑关系，帮助我们进行逻辑推理和逻辑计算。
2.4 逻辑函数逻辑函数是逻辑代数中的一种特殊函数，它描述了不同逻辑变量之间的逻辑关系。
逻辑函数在逻辑代数中具有重要的地位，它可以通过逻辑运算表达逻辑命题之间的关系，是描述逻辑代数系统的重要工具。
3. 逻辑代数的基本运算逻辑代数的基本运算包括与运算、或运算、非运算、异或运算等。
这些基本运算在逻辑代数中有着严格的规则和性质，对于理解逻辑代数的基本原理和进行逻辑推理具有重要的意义。
3.1 与运算与运算是逻辑代数中的基本运算之一，它描述了逻辑与的关系。
与运算的运算规则如下：- 真与真为真，真与假为假，假与假为假。
与运算通常用符号“∧”表示，A∧B表示命题A与命题B的逻辑与关系。
3.2 或运算或运算是逻辑代数中的基本运算之一，它描述了逻辑或的关系。
或运算的运算规则如下：- 真或真为真，真或假为真，假或假为假。
或运算通常用符号“∨”表示，A∨B表示命题A与命题B的逻辑或关系。
逻辑代数基本原理及公式化简
2.1.3 逻辑代数的基本规则
4、附加公式
附加公式二： 一个包含有变量x、x 的函数f，可展开为 x·f和
x·f的逻辑或。 一个包含有变量x、x 的函数f，可展开为（x+f）和
（x+f）的逻辑与。
利用附加公式一，可以改写为：
2.1.3 逻辑代数的基本规则
4、附加公式
例题：化简函数 AB BD （A B）(A B)(B E)
2.1.2 逻辑代数的基本公式
基本公式验证方法： 真值表 利用基本定理化简公式 例：真值表验证摩根定律
A B A B A＋B A＋B A B 00 1 1 1 1 01 1 1 0 0 10 1 1 0 0 11 0 0 0 0
A______•____B______
__ __
A B
__ __
A B A • B
2.1.2 逻辑代数的基本公式
真值表 利用基本定理化简公式 例：证明包含律
AB AC BC AB AC
证明：
AB（C C） AC(B B ) BC(A A) 1律、互补律 ABC ABC ABC ABC ABC ABC 分配律 ABC ABC ABC ABC 重叠律 AB AC 分配律、互补律
比较两种方法，应用反演规则比较方便。
2.1.3 逻辑代数的基本规则
2、反演规则
例题：求下列函数的反函数 1、F AB CD 2、F A B BCD
2.1.3 逻辑代数的基本规则
3、对偶规则
如果将逻辑函数F 中所有的“”变成“+”,“+”变
成“”,“0”变成“1”,“1”变成“0”, 则所得到的新
A
F
A1 F
非门 （A是输入，F是输出）
逻辑代数基础知识讲解
2. 与普通代数相似的定律
交换律 A·B=B·A
A+B=B+A
结合律 (A·B)·C=A·(B·C) (A+B)+C=A+(B+C)
分配律 A·(B+C)=AB+AC A+BC=(A+B)(A+C)
以上定律可以用真值表证明，也可以用公式证明。例如， 证明加对乘的分配律A+BC=(A+B)(A+C)。
事情通过为逻辑“1”， 没通过为逻辑“0”。
第三步：根据题义及上述规定 列出函数的真值表如表。
2007、3、7
一般地说，若输入逻辑变量A、B、 C…的取值确定以后，输出逻辑变量L的 值也唯一地确定了，就称L是A、B、C的
逻辑函数，写作：
L=f（A，B，C…）
逻辑函数与普通代数中的函数相比较，有两个 突出的特点： （1）逻辑变量和逻辑函数只能取两个值0和1。 （2）函数和变量之间的关系是由“与”、 “或”、“非”三种基本运算决定的。
“⊙”的对偶符号，反之亦然。由以上分析可以看出， 两 变量的异或函数和同或函数既互补又对偶，这是一对特殊 函数。
2007、3、7
2.3 逻辑代数的基本定律和规则
2.3.1 基本定律
1. 逻辑变量的取值只有0和1，根据三种基本运算的定 义，可推得以下关系式。 0-1律： A·0 =0 A+1 =1 自等律：A·1=A A+0=A 重叠律：A·A=A A+A=A 互补律：A·A=0 A+A=1
反演规则是反演律的推广，运用它可以简便地求出一个
函数若的F反函A数B 。 C例 D如：AC, 则 F [(A B) C D](A C);
第2章逻辑代数基础
同时，函数F的值为“0”。
便于获得逻辑电路图
逻辑表达式的简写:
1.“非”运算符下可不加括号，如
，
等。
2.“与”运算符一般可省略，如A·B可写成AB。
3.在一个表达式中，如果既有“与”运算又有“或”运 算，则按先“与”后“或”的规则进行运算，可省去括号,如 (A·B)+(C·D)可写为AB+CD。
注意:(A+B)·(C+D)不能省略括号,即不能写成A+B·C+D！
A
FA
1
FA
F
（a）我国常用传统符号
（b）国际流行符号 非门的逻辑符号
（c）国家标准符号
2.1.3 逻辑代数的复合运算
“与”、“或”、“非”三种基本逻辑运算按不同的方 式组合，还可以构成“与非”、“或非”、“与或非”、 “同或”、“异或”等逻辑运算，构成复合逻辑运算。对应 的复合门电路有与非门、或非门、与或非门、异或门和同或 门电路。
能实现基本逻辑运算的电路称为门电路，用基本的门电 路可以构成复杂的逻辑电路，完成任何逻辑运算功能，这些 逻辑电路是构成计算机及其他数字系统的重要基础。
实现“与”运算关系的逻辑电路称为“与”门。
A
A
A
&
B
F B
F B
F
（a）我国常用传统符号
（b）国际流行符号 与门的逻辑符号
（c）国家标准符号
2.1.2 逻辑代数的基本运算
2．逻辑值0和1是用来表征矛盾的双方和判断事件真伪 的形式符号，无大小、正负之分。
2.1.1 逻辑代数的定义
逻辑代数L是一个封闭的代数系统，它由一个逻辑变量集 K，常量0和1以及“或”、“与”、“非”三种基本运算所 构成，记为L={K,+,·,-,0,1}。该系统应满足下列公理。
计算机逻辑结构与基础：21逻辑代数的基本知识
第二章逻辑函数与门网络2.1逻辑代数/布尔代数的基本知识logic Algebra / Boolean Algebra 二值逻辑：真TRUE,假FALSE (无大小) 'T “0”2.1.1 基本运算 （1）非（NoT ）-{Zh H>H ■-CF(a)(b) (c)图2.3非门符号(a)国标 GBrT28.12-85 符号(b) MIL 符号(C)原部标SJ1223-77符号实现非逻辑的电路称为非门（Nc ）T Gate ）或反相器（IrWeIlCr ）图2.2不与A 的集合关系表2.1非逻辑真值表图2.1非逻辑实例L=∕(Λ) = A0=1 1 = 0 =A = A(2)与(AND)⑶或(OR)⅛5>⅛(a)(b)(c)图2.7或逻辑符号(a)国标 GB4728.12-85 符号(b)美国MlL 符号(c)原部标SJ1223-77符号优先级：非9与今或A BL = A×BO O O O 1 O 1 O O 1 11A B L = A÷BO OOO 1 1 1 O 1 1 11A ÷0 =A A÷l =1 A + A = A A÷A = 1«2.2与逻辑真值表 L = A×B=A∙B =ABA×0 =0 A×l =A A×A≈A AXZ = O图2.4与逻辑电路实例图2.5与逻辑符号(a)国标 GB4728.12-85 符号(b)美国MIL 符号(c)原部标SJ1223-77符号表2.3或逻辑真值表图2.6或逻辑电路实例2.1.2基本定理2.1.3基本规则(1)置换规则(Replacement)一个逻辑等式中的任一个变量X置换为另一个逻辑函数G,等式仍然成立。
(2)对偶规则(Dual)逻辑常量1分90逻辑符号+÷÷×保持原算顺序对偶函数F÷÷F,原函数具有的性质，对偶函数同样具有F=G ÷÷ F,=G,(3)反演规则(Invert)逻辑常量1(90逻辑符号+÷÷×逻辑变量X÷÷X保持原算顺序，非运算保留反函数F÷÷F(4)对偶函数F(9F，是两个形式相似的独立函数反函数尸是原函数厂的补函数。
代数法化简逻辑函数
2.1 逻辑代数
例1：证明 AB AB A AB B AB
证明： AB AB AB AA AB BB A A B B A B
A AB B AB A AB B AB
A AB B AB
（2）用与非门实现L。
应将表达式转换成与非—与非表达式：
L AB BC AC
L AB BC AC
AB BC AC
AB BC AC
（3）用非门、或非门实现L。
L AB BC AC
ABBC AC
ABBC AC
2.1 逻辑代数
例7化简： L AB BC BC AB
2.1 逻辑代数
例3化简： L AB AC BC CB BD DB ADE(F G) L ABC BC CB BD DB ADE(F G) （利用摩根律 ）
A BC CB BD DB ADE(F G)（利用 AAB AB ）
A BC CB BD DB （利用A+AB=A）
第二章 逻辑代数
2.1 逻辑代数 2.2 逻辑函数的卡诺图化简法
2.1 逻辑代数
二.基本定律和恒等式
1.பைடு நூலகம்基本公式 （公理）
与运算： 0۰0=0 或运算： 0+0=0
0۰1=0 0+1=1
1۰0=0 1+0=1
非运算： 0 1 1 0
2. 定律
常量与变量 运算律：
互补律：
重叠律： A+A=A
A۰ A=A
双重否定律： A A
1۰1=1 1+1=1
2.1 逻辑代数
结合律 (A+B)+C=A+(B+C) ; (AB)·C=A·(BC)
逻辑代数的基本运算
2.1 逻辑代数
❖
Y=A·B或Y=AB
(2-1)
❖ 式中的小圆点“·”表示A,B的与运算，又叫逻辑乘。在不致引起混淆的 前提下乘号“·”可以被省略，而写成Y = AB。在有些文献里，用符号∧、 ∩表示与运算请读者注意。在电路中，与逻辑的逻辑符号如图2-1(b)所 示。
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(2-7)
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2.1 逻辑代数
❖ 5.与或非运算
❖ 这是一个很典型的组合逻辑运算，从字面上也可以看出，它是与运算、 或运算和非运算3种逻辑运算的组合。如图2-8所示是其逻辑符号，如图 2-9所示是其等效逻辑电路图
❖ 逻辑表达式为
❖
Y AB CD
(2-8)
❖ 真值表如表2-11所示。
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2.1 逻辑代数
❖ 仿照前面的方法，用0和1表示的或逻辑真值表如表2-4所示，用逻辑表 达式描述可写为
❖
Y=A+B
(2-2)
❖ 式中的符号“+”表示A,B的或运算，也称为逻辑加。在有些文献里，用
符号∨, ∪表示或运算，请读者注意。在电路中或逻辑的逻辑符号如图2-
2(b)所示。
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内，就判断为1(或0)状态。 ❖ 3.正、负逻辑的规定 ❖ 用“1"表示高电平，用“0"表示低电平
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第二节 逻辑代数的基本定律 和逻辑函数的化简
❖ 一、逻辑代数的基本公式
❖ 1.变量和常量的关系定律 ❖ (1)0、1律 ❖ A+0=A ❖ A+1=1 ❖ A·0=0 ❖ A·1=A ❖ (2)互补律 A+A=1 A·A=0
2.1 逻辑代数
课件-02.1逻辑代数的基本概念
7
第二章
逻辑代数基础
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“或”逻辑用“或”运算描述。其运算符号为“+”，有 逻辑用“ 运算描述。其运算符号为“ ， 时也用“ 表示。两变量“ 时也用“∨”表示。两变量“或”运算的关系可表示为 F = A + B 或者 F = A ∨ B 读作“ 等于A 读作“F等于A或B”。 。 “或”运算的运算法则： 或 运算的运算法则： 0+0=0 1+0=1 0+1=1 1+1=1 实现“或”运算关系的逻辑电路称为“或”门。 实现“ 运算关系的逻辑电路称为“
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第二章
逻辑代数基础
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二、真值表 依次列出一个逻辑函数的所有输入变量取值组合及其相 应函数值的表格称为真值表。 应函数值的表格称为真值表。 三、卡诺图 卡诺图是由表示逻辑变量所有取值组合的小方格所构 成的平面图。 成的平面图
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第二章
逻辑代数基础
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第 二 章 逻 辑 代 数 基 础
逻辑代数是数字系统逻辑设计的理论基础和重 要数学工具！ 要数学工具！
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第二章
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本章知识要点： 本章知识要点：
★ ★ ★ ★ 基本概念 ； 基本公理、定理和规则 ； 基本公理、 逻辑函数的表示形式 ； 逻辑函数的化简 。
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第二章
逻辑代数基础
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3．“非” 运算 在逻辑问题中，如果某一事件的发生取决于条件的否定， 在逻辑问题中，如果某一事件的发生取决于条件的否定， 即事件与事件发生的条件之间构成矛盾， 即事件与事件发生的条件之间构成矛盾，则这种因果关系称 逻辑。 为“非”逻辑。 “非”逻辑用“非”运算描述。其运算符号为“¯ ”，有 逻辑用“ 运算描述。其运算符号为“ ， 时也用“ 表示。 时也用“￢”表示。“非”运算的逻辑关系可 F= 表示为 或者 F = ￢A 读作“F等于A非”。 即：若A为0，则F为1；若A为1，则F为0。 ： 为 ， 为 ； 为 ， 为 “非”运算的运算法则： 运算的运算法则： ； 数字系统中实现“ 运算功能的逻辑电路称为“ 数字系统中实现“非”运算功能的逻辑电路称为“非”门， 有时又称为“反相器” 有时又称为“反相器”。
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对偶规则： 两个相等的逻辑函数， 对偶规则： 两个相等的逻辑函数，则它们的对偶式也相等 例 证明 A+BC=(A+B)(A+C) 分别写出其对偶式，左边＝ 右边＝ 分别写出其对偶式，左边＝A(B+C) ；右边＝ AB+AC 由分配律知： 由分配律知：A(B+C) = AB+AC 故 A+BC=(A+B)(A+C) 观察基本定理中各个公式的两种形式，有何发现？ ＃ 观察基本定理中各个公式的两种形式，有何发现？ 所有逻辑公式或定理公式， 所有逻辑公式或定理公式，都可以用对偶规 则写出其对偶表达形式
逻辑代数
逻辑代数即布尔代数， 逻辑代数即布尔代数，是分析和设计数字逻辑电路 的数学基础和应用工具 逻辑代数” 的一套数学基本定义。包括： 建立 “逻辑代数” 的一套数学基本定义。包括：
1 基本逻辑运算（§1.5） 2 逻辑代数的基本定理（§2.1.1） 3 逻辑代数的基本运算规则（§2.1.2）
基本要素 逻辑值 逻辑变量 逻辑运算 运算的表示 0、1－ 代表两种不同的状态 、 － 代表两种不同的状态 取值为逻辑值0 取值为逻辑值 或 1 三个基本运算－ 三个基本运算－与、或、非 最基本的表示－ 最基本的表示－真值表
A⋅ B = A + B
逻辑运算的优先级：括号 非 与 或 逻辑运算的优先级：括号→非→与→或
基本律用真值表证明
例 证明
A + B = A⋅ B
， AB =
、 取值 A+ B ，按A、B取值
情况列出真值表，从表中可以直接得出结果。 情况列出真值表，从表中可以直接得出结果。
A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 A 1 1 0 B 1 0 1 A+B 0+0=1 0+1=0 1+0=0 1+1=0
A⋅ B AB
1 0 0 0 00 = 1 01 = 1 10 = 1 11 = 0
A+ B 1 1 1 0
0 0
1.代入规则 代入规则
2.1.2 逻辑函数的基本运算规则
1. 代入规则： 代入规则：
2. 反演规则 3. 对偶规则
在任何一个包含逻辑变量A的等式中， 在任何一个包含逻辑变量 的等式中，如果用另一个函 的等式中 数式F代入式中 的位置 则等式仍然成立。 数式 代入式中A的位置，则等式仍然成立。 代入式中 的位置， 代替A， 例：在B (A + C) = BA+BC中，用A + D代替 ，得 中 代替 B [(A +D) +C ] = B(A +D) + BC = BA + BD + BC 代入规则可将基本公式扩展， 代入规则可将基本公式扩展，即公式中任一变量都可理解 为一个子公式 代替B 例：公式 A ⋅ B = A + B 中，用F=BC代替 代替 左边： 左边： A ⋅ BC = A + BC = A + B + C 右边： 右边： A + B = A + B+ C C
2 .逻辑代数与硬件描述语言基础 逻辑代数与硬件描述语言基础
2.1 2.2 逻辑代数 逻辑函数的卡诺图化简法
2.3 硬件描述语言 硬件描述语言Verilog HDL基础 基础
2.1
2.1.1
逻辑代数
逻辑代数的基本定律和恒等式
2.1.2 逻辑代数的基本规则 2.1.3 逻辑函数的变换及代数化简法
2.1
分配律-> ②代数的共同定理 交换律 结合律 分配律
③逻辑代数的特有定理 ④每个公式有两个形式-> 每个公式有两个形式 4. 逻辑代数的基本规则：代入、反演、对偶 逻辑代数的基本规则：代入、反演、
2.1.1 逻辑函数的基本定律
逻辑代数的基本定律列表
->
公式b A + 1=1 A + 0 =A A+B=B+A A + ( B + C)= (A + B) +C A + B ⋅ C= (A + B) ⋅(A + C) 名称 0-1律 自等律 交换律 结合律 分配律 互补律 重叠律 非非律 A ⋅ (A+B) = A
1. 逻辑代数的相等：定理的基本出发点 逻辑代数的相等：
两个逻辑代数相等：F1(A )=F2(A 两个逻辑代数相等：F1(A1，A2 ，… ，An)=F2(A1，A2 ，… ，An) →同一逻辑函数的两个不同公式表达形式 →两个逻辑函数的真值表必定相同 2. 逻辑代数的公理： 三个基本运算的公式形式 逻辑代数的公理： ①变量与常量 3. 逻辑函数的 基本定理： 基本定理： 三类公式 0-1律 律 自等律-> 自等律 互补律 重叠律 非非律-> 非非律 吸收率 摩根律
注意事项： 注意事项： 保持原来的运算优先顺序， (1) 保持原来的运算优先顺序， 对于反变量以外的非号应保留不变。 (2) 对于反变量以外的非号应保留不变。
F = A+ BC + D + E
F = A ⋅ (B + C)⋅ D ⋅ E
3. 对偶式和对偶规则： 对偶式： 对偶式： 逻辑表达式F 逻辑表达式 ：与→或；或→与； 或 与 1 → 0 ；0 →1 ； 则所得函数式为F的对偶式 则所得函数式为 的对偶式
2. 反演规则： 逻辑表达式F 逻辑表达式 ：与→或；或→与； 或 与 原变量→非变量 非变量； 原变量 非变量；非→原； 原 1 → 0 ； 0 →1 ； 则所得函数式为 F 反演规则是摩根律的推广， 反演规则是摩根律的推广，用于求任意给定函数的反函数
F = A B + CD
F = ( A+ B) ⋅ (C + D)⋅1 = ( A+ B) ⋅ (C + D)
A +B = A⋅ B
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A⋅0=0 A⋅1=A
公式a
A⋅B=B⋅A A ⋅ (B ⋅ C) = (A ⋅ B) ⋅C A ⋅ (B + C) = A ⋅ B +A ⋅C
A⋅ A = 0
A + A =A
A+ A = 1
A⋅A=A
A=A
A + AB =A
吸收律 摩根律
F′
习题
P.65-2.1.3