3.3.2利用导数研究函数的极值
1、3-3-2利用导数研究函数的极值
选修1-1 3.3.2利用导数研究函数的极值一、选择题1．下列结论中，正确的是()A．导数为零的点一定是极值点B．如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么，f(x0)是极大值C．如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么，f(x0)是极小值D．如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么，f(x0)是极大值[答案] B[解析]导数为零的点不一定是极值点，“左正右负”有极大值，“左负右正”有极小值．故A，C，D项错．2．函数y＝1＋3x－x3有()A．极小值－1，极大值1B．极小值－2，极大值3C．极小值－2，极大值2D．极小值－1，极大值3[答案] D[解析]由y＝1＋3x－x3，得y′＝－3x2＋3.令y′＝0，即－3x2＋3＝0，∴x＝±1.∴当x＝1时，有y max＝1＋3－1＝3；当x＝－1时，有y min＝1－3＋1＝－1.3．函数y＝x3＋1的极大值是()A．1 B．0C．2 D．不存在[答案] D[解析]∵y′＝3x2≥0在R上恒成立，∴函数y＝x3＋1在R上是单调增函数，∴函数y＝x3＋1无极值．4．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于(1,0)点，则函数f(x)的极值是()A．极大值为427，极小值为0B．极大值为0，极小值为427C．极大值为0，极小值为－427D．极大值为－427，极小值为0[答案] A[解析] 由题意，得f (1)＝0，∴p ＋q ＝1① f ′(1)＝3－2p －q ＝0，∴2p ＋q ＝3② 由①②得p ＝2，q ＝－1. ∴f (x )＝x 3－2x 2＋x ，f ′(x )＝3x 2－4x ＋1＝(3x －1)(x －1)，令f ′(x )＝0，得x ＝13或x ＝1，f ⎝⎛⎭⎫13＝427，f (1)＝0. 5．设x 0为f (x )的极值点，则下列说法正确的是( ) A ．必有f ′(x 0)＝0 B ．f ′(x 0)不存在C ．f ′(x 0)＝0或f ′(x 0)不存在D ．f ′(x 0)存在但可能不为0 [答案] C[解析] 如：y ＝|x |，在x ＝0时取得极小值，但f ′(0)不存在． 6．函数y ＝2－x 2－x 3的极值情况是( ) A ．有极大值，没有极小值 B ．有极小值，没有极大值 C ．既无极大值也无极小值 D ．既有极大值也有极小值 [答案] D[解析] ∵y ′＝－3x 2－2x ＝－x (3x ＋2)， 当x >0或x <－23时，y ′<0，当－23<x <0时y ′>0，∴当x ＝－23时取得极小值，当x ＝0时取得极大值．7．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点的个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[答案] A[解析] 由f ′(x )的图象可知，函数f (x )在区间(a ，b )内，先增，再减，再增，最后再减，故函数f (x )在区间(a ，b )内只有一个极小值点．8．函数f (x )＝x ＋1x 的极值情况是( )A ．当x ＝1时，极小值为2，但无极大值B ．当x ＝－1时，极大值为－2，但无极小值C ．当x ＝－1时，极小值为－2；当x ＝1时，极大值为2D ．当x ＝－1时，极大值为－2；当x ＝1时，取极小值为2 [答案] D[解析] f ′(x )＝1－1x2，令f ′(x )＝0，得x ＝±1，函数f (x )在区间(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调增，在(－1,0)和(0,1)上单调减， ∴当x ＝－1时，取得极大值－2， 当x ＝1时，取得极小值2.9．函数f (x )＝x 3－3x ＋1在闭区间[－3,0]上的最大值，最小值分别是( ) A ．1，－1 B ．1，－17 C ．3，－17D ．9，－19[答案] C[解析] f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)， 令f ′(x )＝0得，x 1＝－1或x 2＝1，f (－3)＝－17，f (0)＝1，f (－1)＝3，f (1)＝－1， ∴f (x )在区间[－3,0]上的最大值为3，最小值为－17. 10．函数f (x )＝x 3－3x (|x |＜1)( ) A ．有最大值，无最小值 B ．有最大值，也有最小值 C ．无最大值，有最小值 D ．既无最大值，也无最小值 [答案] D[解析] f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)． 令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝1.又x ∈(－1,1) ∴该方程无解，即函数f (x )在(－1,1)上既无极值也无最值． 故选D. 二、填空题11．函数f (x )＝x 3－3x 2＋7的极大值是________．[答案] 7[解析] f ′(x )＝3x 2－6x ，由f ′(x )＝0得，x ＝0或x ＝2，在x ＝0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，∴f (0)＝7为函数的最大值．12．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ，其导函数y ＝f ′(x )的图象经过点(1,0)，(2,0)，如下图所示，则下列说法中不正确的是________．①当x ＝32时函数取得极小值；②f (x )有两个极值点；③当x ＝2时函数取得极小值； ④当x ＝1时函数取得极大值． [答案] ①[解析] 从图象可以看出，当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1,2)时，f ′(x )<0；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )有两个极值点1和2，且当x ＝2时函数取得极小值，当x ＝1时函数取得极大值，只有①说法不正确．13．函数y ＝2xx 2＋1的极大值为______________，极小值为____________．[答案] －1 －3[解析] y ′＝2(1＋x )(1－x )(x 2＋1)2，令y ′>0得－1<x <1，令y ′<0得x >1或x <－1，∴当x ＝－1时，取极小值－3，当x ＝1时，取极大值－1. 14．函数f (x )＝12e x (sin x ＋cos x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为________． [答案] ⎣⎡⎦⎤12，12e π2 [解析] f ′(x )＝e x cos x ，∵0≤x ≤π2，f ′(x )≥0，f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数， f (x )min ＝f (0)＝12，f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫π2＝12e π2， ∴f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤12，12e π2. 三、解答题15．求下列函数的极值． f (x )＝x 4－4x 3＋5.[解析] 因为f (x )＝x 4－4x 3＋5，所以f ′(x )＝4x 3－12x 2＝4x 2(x －3)． 令f ′(x )＝4x 2(x －3)＝0，得x 1＝0，x 2＝3. 当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：16．(2009·广州高二检测)设函数f (x )＝ln(2x ＋3)＋x 2. (1)讨论f (x )的单调性；(2)求f (x )在区间[－34，14]的最大值和最小值．[解析] (1)f ′(x )＝22x ＋3＋2x ＝4x 2＋6x ＋22x ＋3－2(2x ＋1)(x ＋1)2x ＋3.当－32<x <－1时，f ′(x )>0；当－1<x <－12时，f ′(x )<0；当x >－12时，f ′(x )>0.从而，f (x )分别在区间(－32，－1)，(－12，＋∞)上单调增加，在区间(－1，－12)上单调递减．(2)由(1)知f (x )在区间[－34，14]的最小值为f (－12)＝ln2＋14.又f (－34)－f (14)＝ln 32＋916－ln 72－116＝ln 37＋12＝12(1－ln 499)<0，所以f (x )在区间[－34，14]的最大值为f (14)＝116＋ln 72.17．若f (x )＝ax 3－6ax 2＋b ，x ∈[－1,2]的最大值为3，最小值是－29，求a ，b 的值． [解析] f ′(x )＝3ax 2－12ax ＝3a (x 2－4x )＝3ax (x －4)，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝4(舍去)．易见a ≠0，否则f (x )＝b 为常数与已知矛盾．对a 分类讨论：①若a >0，则当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：又f (2)＝8a －24a ＋3＝－16a ＋3， f (－1)＝－7a ＋3>f (2)，于是有当x ＝2时，f (x )取最小值，即－16a ＋3＝－29，∴a ＝2. ②若a <0，当x 变化时，f (x )，f ′(x )的变化情况如下表：7a －29<f (2)，故当x ＝2时，f (x )取最大值；即－16a －29＝3，a ＝－2.综上所述，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－29.18．已知a 为实数，f (x )＝(x 2－4)(x －a )． (1)求f (x )的导数f ′(x )；(2)若f ′(－1)＝0，求f (x )在[－2,2]上的最大值和最小值；(3)若f (x )在(－∞，－2]和[2，＋∞)上都是单调递增的，求a 的取值范围． [解析] (1)由原式，得f (x )＝x 3－ax 2－4x ＋4a ， ∴f ′(x )＝3x 2－2ax －4.(2)由f ′(－1)＝0，得a ＝12，此时有f (x )＝(x 2－4)·(x －12)，f ′(x )＝3x 2－x －4.由f ′(x )＝0，得x ＝43，或x ＝－1.又f (43)＝－5027，f (－1)＝92，f (－2)＝0，f (2)＝0，∴f (x )在[－2,2]上的最大值为92，最小值为－5027.(3)f ′(x )＝3x 2－2ax －4的图象为开口向上且过点(0，－4)的抛物线，由条件得f ′(－2)≥0，f ′(2)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋8≥0，8－4a ≥0，∴－2≤≤2. ∴a 的取值范围为[－2,2]．。
利用导数研究函数的极值与最值
利用导数研究函数的极值与最值导数是研究函数变化率的工具，通过导数可以研究函数的极值和最值。
在这篇文章中，我们将讨论如何利用导数来研究函数的极值和最值。
一、极值的定义和判断条件极值是指函数取得的最大值或最小值。
在数学上，函数f(x)在点x=c处取得极值的充分条件是f'(c)=0，并且f'(x)的符号在x=c的两侧改变。
具体来说，f'(x)大于0时，函数递增；f'(x)小于0时，函数递减。
而当f'(x)从正变为负或从负变为正时，就是函数取得极值的地方。
二、几何图形与导数的关系通过导数的大小和符号，我们可以推断函数的几何行为。
例如，当f'(x)>0时，函数f(x)是递增的，图像是向上的曲线；而当f'(x)<0时，函数f(x)是递减的，图像是向下的曲线。
当f'(x)=0时，函数可能达到极值点。
三、利用导数判断函数的极值1.求导数：首先求出函数f(x)的导数f'(x)。
2.解方程：解方程f'(x)=0，得到可能的极值点x=c。
3.判断符号：将极值点x=c代入f'(x)，判断f'(x)的符号在c的两侧。
如果f'(x)从正变为负，或从负变为正，那么极值点x=c是函数的极值点。
4.检验：将极值点代入函数f(x)中，算出函数值f(c)，判断是否是极值。
四、利用导数求函数的最值1.求导数：求出函数f(x)的导数f'(x)。
2.解方程：解方程f'(x)=0，得到可能的最值点x=c。
3.极值判断：判断c是否是函数的极值点，确定是否是最值点。
4.边界判断：检查函数在定义域的边界上的函数值，判断是否可能是最值。
5.比较：对于所有可能的最值点，比较它们的函数值，得到最大值和最小值。
五、利用导数求出临界点临界点是指导数不存在的点或者导数为零的点。
通过求导数，我们可以找到函数的临界点。
临界点可能是函数的极值点或最值点。
利用导数研究函数的极值
利用导数研究函数的极值要利用导数研究函数的极值，首先需要了解什么是极值以及极值的判定条件。
在微积分中，极值是指函数在其中一点附近取得的最大值或最小值。
函数的极值可以有两种类型：局部极值和全局极值。
1.局部极值：函数在其中一点附近取得的最大值或最小值称为局部极值。
极大值表示函数取得的最大值，极小值表示函数取得的最小值。
2.全局极值：函数在整个定义域内取得的最大值或最小值称为全局极值。
全局极值可以是局部极值中最大的值或最小的值。
接下来，我们将利用导数进行极值的研究。
根据极值的定义，我们可以得到以下判定条件：1.一阶导数的零点：如果函数在其中一点的一阶导数为零，那么该点可能是极值点。
2.二阶导数的符号：如果函数在其中一点的二阶导数为正，那么该点可能是极小值点；如果二阶导数为负，那么该点可能是极大值点。
现在，我们来具体介绍如何通过导数研究函数的极值。
1.首先，求出函数的一阶导数。
一阶导数表示了函数在每一点的变化率。
将一阶导数设置为零，求解方程，可以得到导数的零点，即可能的极值点。
2.然后，求出函数的二阶导数。
二阶导数表示了函数的变化率的变化率，即加速度。
通过二阶导数的符号可以判断极值是极小值还是极大值。
3.分析导数的零点和二阶导数的符号，确定极值点。
如果对于其中一点，一阶导数为零且二阶导数为正，那么该点是极小值点；如果一阶导数为零且二阶导数为负，那么该点是极大值点。
需要注意的是，以上只是判定条件，并不代表确定该点一定是极值点。
在判定的基础上，还需要进行极值的验证。
验证的方法可以使用导数的一阶和二阶的判断性质，例如利用导数的增减性、凸凹性等性质，来进一步确定函数的极值点。
不过，对于更复杂的函数，有时在求导的过程中会遇到难以处理的情况，这时可以考虑使用其他方法，如拉格朗日乘数法、平方差和法等。
综上所述，利用导数研究函数的极值主要通过求导、求导数的零点和二阶导数的符号进行判定，并通过验证来确定极值点。
同时，需要注意在复杂的情况下使用其他方法进行研究。
高中数学_利用导数研究函数的极值教学设计学情分析教材分析课后反思
你能总结出利用导数求解函数极值的方法吗？【课题】《利用导数研究函数的极值》【学情分析】从学生的认知角度来看：1、在学习本节前，学生已有导数的概念及运算做基础，还学习了利用导数研究函数的单调性。
初步具备了运用导数研究函数的能力，但还不够深入，在学习上还有一定困难。
本节课能进一步提高学生运用导数研究函数的能力，体会导数的工具作用。
2、学生具备一定的从特殊到一般的归纳能力，但对归纳的概念是模糊的，而且学生自主探究、总结归纳问题的能力还不够理想，把实际问题抽象成数学问题的能力也有所欠缺，需要在老师的引导下进行学习3、本节课又为下节课的求最值做了很好的铺垫。
但对本部分的知识学生的理解能力不足，发现问题能力上可能很难满足本节课的要求。
但学生对新知识兴趣高，肯下功夫、思维活跃，会为本节课的顺利推进提供一定的保障。
从学生的能力储备来看：1、高二下学期的学生已经对高中数学体系有了初步认识，且具有了较强的分析、判断、理解能力和一定层次上的交流沟通能力。
教学中要借助学生已有的能力，提供实际问题情境，引导学生进行分析，向学生提供合适的探究材料，引发学生的主动探究，借助小组讨论、全班交流，培养学生的自主学习、合作学习及数学表达能力。
2、学生已经具备了类比一类事物归纳总结另一类事物的共同点与不同点的能力；能够利用提供的实际问题情境和合适的探究材料主动探究出本节知识点。
《利用导数研究函数的极值》效果分析【课题】《利用导数研究函数的极值》【学习效果测评】【学习效果分析】一、优化教学目标，落实学习任务优化教学目标是课堂教学实施素质教育的前提。
本节课在目标确定上，都没有照搬“教参”，而是知识、能力、情感三个方面深入挖掘，精心设计。
在教学目标的落实上，认真钻研教材立足一个“细”字；挖掘教材立足一个“深”字；备写教案立足一个“精”字；设计师生活动立足一个“实”字；教法选择立足一个“活”字，使教学目标有重点，有层次，有启发性、实用性和指导性。
3.3.2 函数的极值与导数
令f x = 0,得x = 2或x = -2.
'
当f x > 0,即x > 2或x < -2时 ;
'
当f' x < 0,即 - 2 < x < 2时 .
当 x 变 化 时 ,f x ,f x 的 变 化 情 况 如 下 表 :
-∞,-2
点b叫做函数y = f x 的极大值点 ,f b 叫做函数y = f x 的
极大值 .
极小值点、极大值点统称为 极 值 点.极大值和 极小值统称为极 值 extreme value .
极值反映了函数在某一点附近的大小情况,刻画 的是函数的局部性质.
1 3 例 求函数 f x = x - 4x + 4 的极值. 3 1 3 解：因为f x = x - 4x + 4,所以 3 f' x = x2 - 4 = x - 2 x + 2 .
还记得高台跳水的例子吗？
h
最高点
h(t)=-4.9t2+6.5t+10
o
a
t
2.跳水运动员在最高处附近的情况： 对于一般函数是否也有同样的性质呢？ (1) 当t=a时，运动员距水面高度最大， (3) 当 t>a时， h(t) 的单调性是怎样的呢？ 在 t=a 附近， h(t) 先增后减， h ′(t)先正后负， h(t) 在此点的导数是多少呢？ 导数的符号有什么变化规律？ h ′ (t)t<a 连续变化，于是有 h ′(a)=0．h(a)最大. (2) 当 时，h(t)的单调性是怎样的呢？
o b
x
类似地, 函数 y = f x 在点x = b的函数值f b 比它 在点 x = b 附近 其他点的函数 值都大 ,f b = 0; 而且在点 x = b 附近的左侧f x > 0,右侧f x < 0.
利用导数研究函数的极值最值
利用导数研究函数的极值最值导数是研究函数的极值、最值的重要工具之一、通过计算函数的导数，我们可以找到函数的临界点，进而确定函数的极值和最值。
极值是函数在定义域内取得的最大值或最小值。
极大值是函数在其中一点上取得的最大值，极小值是函数在其中一点上取得的最小值。
首先，我们可以通过计算函数的导数来找到函数的临界点。
临界点是函数导数等于0的点，也包括导数不存在的点。
然后，通过进一步的分析，可以确定临界点中的极值点。
假设函数f(x)在区间[a,b]上连续且可导。
首先，我们需要计算函数f(x)的导数f'(x)。
然后，我们找出导数f'(x)等于0的点，这些点就是函数f(x)的临界点。
接下来，我们进一步分析导数f'(x)的符号。
在临界点两侧，如果导数f'(x)由正变负，则表明在该点上函数f(x)取得极大值；如果导数f'(x)由负变正，则表明在该点上函数f(x)取得极小值。
当然，也可能存在导数f'(x)不存在的点，这些点也是函数的临界点。
最值是函数在定义域内取得的最大值或最小值。
最大值是函数在定义域内所有点上取得的最大值，最小值是函数在定义域内所有点上取得的最小值。
通过求解函数的导数，我们可以找到函数的临界点。
然后，通过分析函数在临界点、定义域的边界点和导数不存在的点上的取值，可以确定函数的最值。
当函数在闭区间[a,b]上连续时，最大值和最小值一定在定义域的边界点上或者在临界点上取得。
因此，在求解函数最值时，我们需要计算函数在闭区间的端点上的取值，并将其和临界点上的取值相比较。
需要注意的是，导数仅能帮助我们找到函数的临界点，但临界点未必都是极值点。
为了判断极值点是否为极大值或极小值，我们还需要进行二阶导数测试。
如果二阶导数大于0，则表示该点为极小值；如果二阶导数小于0，则表示该点为极大值；如果二阶导数等于0，则需要进行其他方法的分析。
总之，利用导数研究函数的极值、最值是一种有效的方法。
人教B版高中数学【选修1-1】第3章-3.3-3.3.2利用导数研究函数的极值-课件
当 堂 双 基 达 标
3.3.2
利用导数研究函数的极值
课 后 知 能 检 测
教 师 备 课 资 源
●三维目标 1.知识与技能 了解函数在某点取得极值的充分条件和必要条件， 会利用导数 求函数的极大值和极小值，以及闭区间上函数的最大(小)值． 2．过程与方法
14 ∴f(x)极大值＝ ，f(x)极小值＝－6. 3
3 (2)函数 f(x)＝ ＋3ln x 的定义域为(0，＋∞)， x 3 3 3x－1 f′(x)＝－ 2＋ ＝ ， 2 x x x 令 f′(x)＝0 得 x＝1. 当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x f′(x) f(x) (0,1) － 1 0 极小值 3 (1，＋∞) ＋
导函数
，则 f(x0)是极大值； ，则 f(x0)是极小值； ，则 f(x0)不
③如果在 f′(x)＝0 的根 x＝x0 的左右侧 符号不变 是极值．
函数f(x)在区间[a，b]上的最值
【问题导思】 1．如图，观察区间[a，b]上函数 f(x)的图象，你能找出它的极 大值、极小值吗？
【提示】 f(x1)，f(x3)，f(x5)是极小值，f(x2)，f(x4)是极大值．
2．在上图中，你能找出 f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值 吗？
【提示】 函数 f(x)在[a， b]上的最小值是 f(x3)， 最大值是 f(b)．
1．函数 f(x)在闭区间[a，b]上的最值 假设在区间 [a，b]上函数 y ＝f(x)的图象是一条连续不断的曲 线，该函数在[a，b]上一定能够取得 最大值 和 最小值 ，若函数在
8 求函数 y＝2x＋ 的极值． x
利用导数研究函数的极值
令 f′(x)＝0，得 x1＝－2 或 x2＝2.
当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化状态如下表：
x (－∞，－2) －2 (－2,2) 2 (2，＋∞)
f′(x)
＋
0－
0
＋
f(x)
↗
16 ↘ －16
↗
∴由上表可知，当 x＝－2 时，f(x)有极大值 16，
当 x＝2 时，f(x)有极小值－16.
和
大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
函数值，其中最
一．一个点为函数的极值点不但满足此点处导数值为零， 还要满足在此点附近左右两侧函数的单调性相反，单调 性一致时，不能作为极值点，如f(x)＝x3，x＝0满足 f′(0)＝0，但x＝0不是极值点．
二．函数的极值是一个局部概念，它反映的是某个点的函 数值与它附近的函数值的大小情况．
f′(x)＝－x32＋3x＝3xx－2 1，
令 f′(x)＝0 得 x＝1.
当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化状态如下表：
x
(0,1) 1 (1，＋∞)
f′(x) － 0
＋
f(x)
↘3
↗
因此当 x＝1 时，f(x)有极小值，并且极小值为 f(1)＝3.
(2)函数 f(x)的定义域为 R；
f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)．
f′(x)＝6x2－12＝6(x2－2)，
令 f′(x)＝0，∴x2－2＝0，∴x1＝－ 2，x2＝ 2. 当 x 变化时，f′(x)与 f(x)的变化状态如下表：
x －1 (－1， 2) 2 ( 2，3) 3
f′(x)
－
0
＋
f(x) 10
↘ －8 2 ↗
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yห้องสมุดไป่ตู้
极大值一定大于极小极 ? 吗
如果不用导数的方法你能求出上述函数的极 , 值吗? 试一试比较一下 你有什么体会? ! ,
思考 导数值为 的点一定是函数的极值 0 点吗?
问题： 极值和最值有什么区别和联系呢？ (1)函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概 念,而函数的最值是对整个定义域而言,是在整体范围 内讨论问题,是一个整体性的概念.
问题：如何求函数的最值？
一般地，求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小 值的步骤如下： ①:求y=f(x)在(a，b)内的极值(极大值与极小值); ②:将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、 f(b) 比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最 小值.
1 3 例2 求函数 f x x 4 x 4 在区间[3,4]上 3 的最大值与最小值。 .
我们把点a叫做函数 y f x 的极小值点, f a 叫做函数y f x 的 极小值; 点b叫做函数y f x 的极大值点, f b 叫做 函数y f x 的极大值;
y
y f x
a o b
x
极小值点、极大值点统称为极值点 .极大值和 极小值统称极值 extreme value .
下面分两种情况讨论 :
'
1当f x 0,即x 2,或x 2时; 2当f ' x 0,即 2 x 2时. ' 当x变化时, f x , f x 的变化情况如下表 : x ,2 2 2,2 2 2, f ' x 0 0 28 4 f x 单调递增 单调递减 单调递增
1如果在x 0附近的左侧f ' x 0, 右侧f ' x 0, 那么 f x 0 是极大值 ; ' ' 2如果在x 0附近的左侧f x 0, 右侧f x 0, 那么 f x 0 是极小值 .
解方程f x 0.当f x 0 0 时 :
在t a附近,当t a时,函
'
h' a 0
单调递增 h t 0
'
单调递减 h' t 0
数ht 单调递增, h t 0 ;
当t a时,函数ht 单调递减,h t 0 .
'
过a时, h' t 先正后负, 且h' t 连续变化,于是有h' a 0.
3.3.2 利用导数研究函数的极值
h
h' a 0
单调递增
O
单调递减 h' t 0
a
t
h t 0
'
观察上图, 分析函数ht 在点t a的导数 是多少 ? 此点附近的图象有什么特点 ? 相应 地, 导数的符号有什么变化规律 ?
放大t a附近函数ht 的 图象, 如图 .可以看 出, h ' a 0;
'
y
y f x
a o b
x
类似地,函数 y f x 在点x b的函数值f b 比它
近的左侧f ' x 0, 右侧f ' x 0.
而且在点 x b 附近的左侧f ' x 0, 右侧f ' x 0.
在点 x b 附近 其他 点的函数 值 都 大 , f ' b 0 ;
函数 f x x 3 , 我们有 f ' x 3 x 2 .虽然 f ' 0 0, 但由 于无论 x 0 , 还是 x 0 ,恒有 f x 0 ,即函数 f x
'
导数值为0 的点不一定是函数的极 值点 .例如, 对于
x 3 是单调递增的所以x 0不是函数f x x 3 极值点 , . 一般地,函数 y f x 在一点的导数值为 是函数 y 0 f x 在这点取极值的必要条 ,而非充分条件 件 . 一般地, 求函数y f x 的极值的方法是 :
y
y f x
y
y f x
a o b
x
c d e
o f g
h
i
j
x
图1
图2
以a, b两点为例, 我们可 以发现,函数 y f x 在 点x a的函数值f a 比 它在点 x a 附近其他 点的函数值都小 , f a 0 ; 而且在点 x a 附
极值反映了函数在某一点附近的大小情况, 刻画 的是函数的局部性质.
1 3 例1 求函数 f x x 4 x 4的极值. 3 1 3 解 因为f x x 4 x 4 , 所以f ' x x 2 4 3 x 2x 2. 令f ' x 0, 得x 2, 或x 2.
后减( t a时, h' t 0).这样,当t在a附近从小到大经
这就是说, 在t a附近,函数值先增( t a时, h' t 0)
对于一般的函数 f x , 是否也有同样的性质呢 y ?
探究 如图1和图 2函数 y f x 在a , b , c , d , e， , f , g , h, i, j 等点的函数值与这些点附近的函数 值有什么关系 ? y f x 在这些点的导数值是 多少 ? 在这些点附近, y f x 的导数的符号 有什么规律 ?
' '
3 3
1 3 因此,当x 2时, f x 有极大 f x x 4 x 4 3 28 值, 并且极大值为f 2 ; 3 o 2 当x 2时, f x 有极小值, 并且 x 2 4 极小值为f 2 . 3 1 3 函数f x x 4x 4的图象如图 .3 12所示. 1 3
(2)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各 有一个,而函数的极值则可能不止一个,也可能没有 极值,并且极大值(极小值)不一定就是最大值(最小 值),但除端点外在区间内部的最大值(或最小值),则 一定是极大值(或极小值).
(3)闭区间[a,b]上的连续函数一定有最值.开区间(a,b)内 的可导函数不一定有最值,但若有唯一的极值,则此极 值必是函数的最值.