利用导数求函数极值.
利用导数研究函数的极值与最值
利用导数研究函数的极值与最值导数是研究函数变化率的工具，通过导数可以研究函数的极值和最值。
在这篇文章中，我们将讨论如何利用导数来研究函数的极值和最值。
一、极值的定义和判断条件极值是指函数取得的最大值或最小值。
在数学上，函数f(x)在点x=c处取得极值的充分条件是f'(c)=0，并且f'(x)的符号在x=c的两侧改变。
具体来说，f'(x)大于0时，函数递增；f'(x)小于0时，函数递减。
而当f'(x)从正变为负或从负变为正时，就是函数取得极值的地方。
二、几何图形与导数的关系通过导数的大小和符号，我们可以推断函数的几何行为。
例如，当f'(x)>0时，函数f(x)是递增的，图像是向上的曲线；而当f'(x)<0时，函数f(x)是递减的，图像是向下的曲线。
当f'(x)=0时，函数可能达到极值点。
三、利用导数判断函数的极值1.求导数：首先求出函数f(x)的导数f'(x)。
2.解方程：解方程f'(x)=0，得到可能的极值点x=c。
3.判断符号：将极值点x=c代入f'(x)，判断f'(x)的符号在c的两侧。
如果f'(x)从正变为负，或从负变为正，那么极值点x=c是函数的极值点。
4.检验：将极值点代入函数f(x)中，算出函数值f(c)，判断是否是极值。
四、利用导数求函数的最值1.求导数：求出函数f(x)的导数f'(x)。
2.解方程：解方程f'(x)=0，得到可能的最值点x=c。
3.极值判断：判断c是否是函数的极值点，确定是否是最值点。
4.边界判断：检查函数在定义域的边界上的函数值，判断是否可能是最值。
5.比较：对于所有可能的最值点，比较它们的函数值，得到最大值和最小值。
五、利用导数求出临界点临界点是指导数不存在的点或者导数为零的点。
通过求导数，我们可以找到函数的临界点。
临界点可能是函数的极值点或最值点。
利用导数研究函数的极值
利用导数研究函数的极值要利用导数研究函数的极值，首先需要了解什么是极值以及极值的判定条件。
在微积分中，极值是指函数在其中一点附近取得的最大值或最小值。
函数的极值可以有两种类型：局部极值和全局极值。
1.局部极值：函数在其中一点附近取得的最大值或最小值称为局部极值。
极大值表示函数取得的最大值，极小值表示函数取得的最小值。
2.全局极值：函数在整个定义域内取得的最大值或最小值称为全局极值。
全局极值可以是局部极值中最大的值或最小的值。
接下来，我们将利用导数进行极值的研究。
根据极值的定义，我们可以得到以下判定条件：1.一阶导数的零点：如果函数在其中一点的一阶导数为零，那么该点可能是极值点。
2.二阶导数的符号：如果函数在其中一点的二阶导数为正，那么该点可能是极小值点；如果二阶导数为负，那么该点可能是极大值点。
现在，我们来具体介绍如何通过导数研究函数的极值。
1.首先，求出函数的一阶导数。
一阶导数表示了函数在每一点的变化率。
将一阶导数设置为零，求解方程，可以得到导数的零点，即可能的极值点。
2.然后，求出函数的二阶导数。
二阶导数表示了函数的变化率的变化率，即加速度。
通过二阶导数的符号可以判断极值是极小值还是极大值。
3.分析导数的零点和二阶导数的符号，确定极值点。
如果对于其中一点，一阶导数为零且二阶导数为正，那么该点是极小值点；如果一阶导数为零且二阶导数为负，那么该点是极大值点。
需要注意的是，以上只是判定条件，并不代表确定该点一定是极值点。
在判定的基础上，还需要进行极值的验证。
验证的方法可以使用导数的一阶和二阶的判断性质，例如利用导数的增减性、凸凹性等性质，来进一步确定函数的极值点。
不过，对于更复杂的函数，有时在求导的过程中会遇到难以处理的情况，这时可以考虑使用其他方法，如拉格朗日乘数法、平方差和法等。
综上所述，利用导数研究函数的极值主要通过求导、求导数的零点和二阶导数的符号进行判定，并通过验证来确定极值点。
同时，需要注意在复杂的情况下使用其他方法进行研究。
导数求函数最值
导数求函数最值导数是微积分中的重要概念，它能够帮助我们求解函数的最值。
函数的最值包括最大值和最小值，而导数可以告诉我们函数在某一点的斜率，通过斜率的正负性可以判断函数在该点是增函数还是减函数，从而找到函数的极值点。
下面将介绍如何利用导数来求解函数的最值。
我们需要找到函数的导数。
导数表示函数在某一点的变化率，可以通过求导数来找到函数的极值点。
一般来说，函数的极值点要么是导数为0的点，要么是导数不存在的点。
所以，我们首先需要求出函数的导数，并将导数等于0或不存在的点作为候选的极值点。
我们需要利用导数的正负性来判断极值点的类型。
如果在导数为0的点的左侧导数为正，右侧导数为负，那么这个点就是函数的局部最大值点；如果在导数为0的点的左侧导数为负，右侧导数为正，那么这个点就是函数的局部最小值点。
通过这种方法，我们可以找到函数的极值点。
除了求解函数的极值点，导数还可以帮助我们判断函数的凹凸性。
函数的凹凸性可以告诉我们函数的曲线是向上凸起还是向下凹陷。
具体来说，如果函数的二阶导数大于0，那么函数是向上凸起的；如果函数的二阶导数小于0，那么函数是向下凹陷的。
通过分析函数的凹凸性，我们可以更好地理解函数的形状。
导数还可以帮助我们求解函数的拐点。
拐点是函数曲线上的一个点，在这个点处函数的曲率发生突变。
通过求解函数的二阶导数，我们可以找到函数的拐点。
具体来说，如果函数的二阶导数在某一点发生了从正到负或从负到正的变化，那么这个点就是函数的拐点。
通过分析函数的拐点，我们可以更加全面地了解函数的性质。
总的来说，导数在求解函数的最值、凹凸性和拐点等方面起着重要作用。
通过对函数的导数进行分析，我们可以更好地理解函数的性质，并找到函数的极值点。
因此，在微积分中，导数是一个非常重要的概念，它帮助我们解决各种数学和物理问题，对于深入理解函数的行为规律起着至关重要的作用。
利用导数求函数的极值、最值知识点讲解+例题讲解(含解析)
利用导数求函数的极值、最值一、知识梳理1.函数的极值与导数形如山峰形如山谷2.函数的最值与导数(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值二、例题精讲 + 随堂练习考点一利用导数解决函数的极值问题角度1根据函数图象判断函数极值【例1－1】已知函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C.函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D.函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)解析 由题图可知，当x <－2时，f ′(x )>0；当－2<x <1时，f ′(x )<0；当1<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0.由此可以得到函数f (x )在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值. 答案 D规律方法 由图象判断函数y ＝f (x )的极值，要抓住两点：(1)由y ＝f ′(x )的图象与x 轴的交点，可得函数y ＝f (x )的可能极值点；(2)由导函数y ＝f ′(x )的图象可以看出y ＝f ′(x )的值的正负，从而可得函数y ＝f (x )的单调性.两者结合可得极值点.角度2 已知函数求极值【例1－2】 (2019·天津和平区模拟)已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R ). (1)当a ＝12时，求f (x )的极值；(2)讨论函数f (x )在定义域内极值点的个数.解 (1)当a ＝12时，f (x )＝ln x －12x ，函数的定义域为(0，＋∞)且f ′(x )＝1x －12＝2－x2x ， 令f ′(x )＝0，得x ＝2，于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表.故f (x )在定义域上的极大值为f (x )极大值＝f (2)＝ln 2－1，无极小值. (2)由(1)知，函数的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x (x >0).当a ≤0时，f ′(x )>0在(0，＋∞)上恒成立，即函数在(0，＋∞)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点； 当a >0时，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0，故函数在x ＝1a 处有极大值.综上可知，当a ≤0时，函数f (x )无极值点， 当a >0时，函数y ＝f (x )有一个极大值点，且为x ＝1a .规律方法 运用导数求可导函数y ＝f (x )的极值的一般步骤：(1)先求函数y ＝f (x )的定义域，再求其导数f ′(x )；(2)求方程f ′(x )＝0的根；(3)检查导数f ′(x )在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值.特别注意：导数为零的点不一定是极值点.角度3 已知函数的极(最)值求参数的取值 【例1－3】 (2019·泰安检测)已知函数f (x )＝ln x . (1)求f (x )图象的过点P (0，－1)的切线方程；(2)若函数g (x )＝f (x )－mx ＋mx 存在两个极值点x 1，x 2，求m 的取值范围.解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1x .设切点坐标为(x 0，ln x 0)，则切线方程为y ＝1x 0x ＋ln x 0－1.把点P (0，－1)代入切线方程，得ln x 0＝0，∴x 0＝1. ∴过点P (0，－1)的切线方程为y ＝x －1. (2)因为g (x )＝f (x )－mx ＋m x ＝ln x －mx ＋mx (x >0)， 所以g ′(x )＝1x －m －m x 2＝x －mx 2－mx 2＝－mx 2－x ＋m x 2，令h (x )＝mx 2－x ＋m ，要使g (x )存在两个极值点x 1，x 2，则方程mx 2－x ＋m ＝0有两个不相等的正数根x 1，x 2.故只需满足⎩⎪⎨⎪⎧h (0)>0，12m >0，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12m <0即可，解得0<m <12.规律方法 已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；(2)因为导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验.【训练1】 (1)(2017·全国Ⅱ卷)若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)·e x －1的极值点，则f (x )的极小值为( ) A.－1B.－2e －3C.5e －3D.1解析 f ′(x )＝[x 2＋(a ＋2)x ＋a －1]·e x －1，则f ′(－2)＝[4－2(a ＋2)＋a －1]·e －3＝0⇒a ＝－1， 则f (x )＝(x 2－x －1)·e x －1，f ′(x )＝(x 2＋x －2)·e x －1， 令f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝1， 当x <－2或x >1时，f ′(x )>0， 当－2<x <1时，f ′(x )<0，所以x ＝1是函数f (x )的极小值点， 则f (x )极小值为f (1)＝－1. 答案 A(2)(2018·北京卷)设函数f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x . ①若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行，求a ； ②若f (x )在x ＝2处取得极小值，求a 的取值范围. 解 ①因为f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x ， 所以f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x .f ′(1)＝(1－a )e. 由题设知f ′(1)＝0，即(1－a )e ＝0，解得a ＝1. 此时f (1)＝3e ≠0. 所以a 的值为1.②f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x ＝(ax －1)(x －2)e x .若a >12，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2时，f ′(x )<0； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在x ＝2处取得极小值.若a ≤12，则当x ∈(0，2)时，x －2<0，ax －1≤12x －1<0， 所以f ′(x )>0.所以2不是f (x )的极小值点. 综上可知，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.考点二 利用导数求函数的最值【例2】 (2019·广东五校联考)已知函数f (x )＝ax ＋ln x ，其中a 为常数. (1)当a ＝－1时，求f (x )的最大值；(2)若f (x )在区间(0，e]上的最大值为－3，求a 的值. 解 (1)易知f (x )的定义域为(0，＋∞)，当a ＝－1时，f (x )＝－x ＋ln x ，f ′(x )＝－1＋1x ＝1－xx ， 令f ′(x )＝0，得x ＝1.当0<x <1时，f ′(x )>0；当x >1时，f ′(x )<0.∴f (x )在(0，1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数. ∴f (x )max ＝f (1)＝－1.∴当a ＝－1时，函数f (x )在(0，＋∞)上的最大值为－1. (2)f ′(x )＝a ＋1x ，x ∈(0，e]，1x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，＋∞.①若a ≥－1e ，则f ′(x )≥0，从而f (x )在(0，e]上是增函数， ∴f (x )max ＝f (e)＝a e ＋1≥0，不合题意.②若a <－1e ，令f ′(x )>0得a ＋1x >0，结合x ∈(0，e]，解得0<x <－1a；令f ′(x )<0得a ＋1x <0，结合x ∈(0，e]，解得－1a <x ≤e.从而f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a 上为增函数，在⎝ ⎛⎦⎥⎤－1a ，e 上为减函数，∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a .令－1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－3，得ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－2，即a ＝－e 2.∵－e 2<－1e ，∴a ＝－e 2为所求.故实数a 的值为－e 2.规律方法 1.利用导数求函数f (x )在[a ，b ]上的最值的一般步骤：(1)求函数在(a ，b )内的极值；(2)求函数在区间端点处的函数值f (a )，f (b )；(3)将函数f (x )的各极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.2.求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.【训练2】 (2019·合肥质检)已知函数f (x )＝e x cos x －x . (1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值.解 (1)∵f (x )＝e x ·cos x －x ，∴f (0)＝1， f ′(x )＝e x (cos x －sin x )－1，∴f ′(0)＝0，∴y ＝f (x )在(0，f (0))处的切线方程为y －1＝0·(x －0)， 即y ＝1.(2)f ′(x )＝e x (cos x －sin x )－1，令g (x )＝f ′(x )， 则g ′(x )＝－2e xsin x ≤0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上恒成立， 且仅在x ＝0处等号成立， ∴g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减，∴g (x )≤g (0)＝0，∴f ′(x )≤0且仅在x ＝0处等号成立， ∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减， ∴f (x )max ＝f (0)＝1，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－π2.考点三 利用导数求解最优化问题【例3】 (2018·衡水中学质检)在某次水下科研考察活动中，需要潜水员潜入水深为60米的水底进行作业，根据以往经验，潜水员下潜的平均速度为v (米/单位时间)，每单位时间的用氧量为⎝ ⎛⎭⎪⎫v 103＋1(升)，在水底作业10个单位时间，每单位时间用氧量为0.9(升)，返回水面的平均速度为v2(米/单位时间)，每单位时间用氧量为1.5(升)，记该潜水员在此次考察活动中的总用氧量为y (升). (1)求y 关于v 的函数关系式；(2)若c ≤v ≤15(c >0)，求当下潜速度v 取什么值时，总用氧量最少.解 (1)由题意，下潜用时60v (单位时间)，用氧量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫v 103＋1×60v ＝3v 250＋60v (升)，水底作业时的用氧量为10×0.9＝9(升)，返回水面用时60v 2＝120v (单位时间)，用氧量为120v ×1.5＝180v (升)，因此总用氧量y ＝3v 250＋240v ＋9(v >0).(2)y ′＝6v 50－240v 2＝3（v 3－2 000）25v 2，令y ′＝0得v ＝1032，当0<v <1032时，y ′<0，函数单调递减； 当v >1032时，y ′>0，函数单调递增.若c <1032 ，函数在(c ，1032)上单调递减，在(1032，15)上单调递增，∴当v ＝1032时，总用氧量最少. 若c ≥1032，则y 在[c ，15]上单调递增， ∴当v ＝c 时，这时总用氧量最少.规律方法 1.利用导数解决生活中优化问题的一般步骤：(1)设自变量、因变量，建立函数关系式y ＝f (x )，并确定其定义域； (2)求函数的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0；(3)比较函数在区间端点和f ′(x )＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)回归实际问题作答.2.如果目标函数在定义域内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点.三、课后练习1.(2019·郑州质检)若函数y ＝f (x )存在n －1(n ∈N *)个极值点，则称y ＝f (x )为n 折函数，例如f (x )＝x 2为2折函数.已知函数f (x )＝(x ＋1)e x －x (x ＋2)2，则f (x )为( ) A.2折函数 B.3折函数 C.4折函数D.5折函数解析 f ′(x )＝(x ＋2)e x －(x ＋2)(3x ＋2)＝(x ＋2)(e x －3x －2)，令f ′(x )＝0，得x ＝－2或e x ＝3x ＋2. 易知x ＝－2是f (x )的一个极值点，又e x ＝3x ＋2，结合函数图象，y ＝e x 与y ＝3x ＋2有两个交点.又e －2≠3(－2)＋2＝－4.∴函数y ＝f (x )有3个极值点，则f (x )为4折函数. 答案 C2.若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域的一个子区间(k －1，k ＋1)内存在最小值，则实数k 的取值范围是________.解析 因为f (x )的定义域为(0，＋∞)，又因为f ′(x )＝4x －1x ，所以由f ′(x )＝0解得x ＝12，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧k －1<12<k ＋1，k －1≥0，解得1≤k <32.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，323.(2019·杭州质检)传说中孙悟空的“如意金箍棒”是由“定海神针”变形得来的.这定海神针在变形时永远保持为圆柱体，其底面半径原为12 cm 且以每秒1 cm 等速率缩短，而长度以每秒20 cm 等速率增长.已知神针的底面半径只能从12 cm 缩到4 cm ，且知在这段变形过程中，当底面半径为10 cm 时其体积最大.假设孙悟空将神针体积最小时定形成金箍棒，则此时金箍棒的底面半径为________ cm. 解析 设神针原来的长度为a cm ，t 秒时神针的体积为V (t ) cm 3， 则V (t )＝π(12－t )2·(a ＋20t )，其中0≤t ≤8， 所以V ′(t )＝[－2(12－t )(a ＋20t )＋(12－t )2·20]π.因为当底面半径为10 cm 时其体积最大，所以10＝12－t ，解得t ＝2，此时V ′(2)＝0，解得a ＝60，所以V (t )＝π(12－t )2·(60＋20t )，其中0≤t ≤8.V ′(t )＝60π(12－t )(2－t )，当t ∈(0，2)时，V ′(t )>0，当t ∈(2，8)时，V ′(t )<0，从而V (t )在(0，2)上单调递增，在(2，8)上单调递减，V (0)＝8 640π，V (8)＝3 520π，所以当t ＝8时，V (t )有最小值3 520π，此时金箍棒的底面半径为4 cm.答案 44.设f (x )＝x ln x －ax 2＋(2a －1)x (常数a >0). (1)令g (x )＝f ′(x )，求g (x )的单调区间；(2)已知f (x )在x ＝1处取得极大值，求实数a 的取值范围. 解 (1)由f ′(x )＝ln x －2ax ＋2a ， 可得g (x )＝ln x －2ax ＋2a ，x ∈(0，＋∞). 所以g ′(x )＝1x －2a ＝1－2ax x . 又a >0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a 时，g ′(x )>0，函数g (x )单调递增，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞时，g ′(x )<0，函数g (x )单调递减.∴函数y ＝g (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a ，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞.(2)由(1)知，f ′(1)＝0.①当0<a <12时，12a >1，由(1)知f ′(x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a 内单调递增，可得当x ∈(0，1)时，f ′(x )<0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12a 时，f ′(x )>0.所以f (x )在(0，1)内单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12a 内单调递增. 所以f (x )在x ＝1处取得极小值，不合题意.②当a ＝12时，12a ＝1，f ′(x )在(0，1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减，所以当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )≤0，f (x )单调递减，不合题意.③当a >12时，0<12a <1，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减.所以f (x )在x ＝1处取极大值，符合题意. 综上可知，实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.。
高中数学的解析如何利用导数求函数的极值
高中数学的解析如何利用导数求函数的极值在高中数学中，求解函数的极值是一个常见的问题。
通过计算函数的导数，可以帮助我们找到函数的极大值或者极小值。
解析法是一种常用且简洁的方法，它基于导函数的性质进行推导和分析。
本文将介绍解析法如何利用导数求解函数的极值。
一、解析法的基本思想解析法利用导数的性质来求解函数的极值。
对于一个函数 f(x)，如果它在某个点 x0 处取得极大值或者极小值，那么 f'(x0) = 0。
此外，如果 f'(x0) 不存在，也可能代表 f(x) 在该点取得极值。
二、求解过程1. 求解导函数首先，我们需要求解原函数 f(x) 的导函数 f'(x)。
根据具体的题目，可以通过求导法则来计算函数的导数，例如常用的求导法则包括和差法、乘法法则、除法法则和链式法则等。
求导的过程需要运用高中数学中学过的求导公式和技巧。
2. 解方程 f'(x) = 0根据解析法的基本思想，我们需要找到函数导数为零的点。
因此，我们需要解方程 f'(x) = 0，找出满足条件的 x 值。
3. 判定极值类型在找到满足 f'(x) = 0 的 x 值后，我们可以通过二阶导数的符号来判定具体的极值类型。
如果 f''(x) > 0，那么函数在该点取得极小值；如果f''(x) < 0，那么函数在该点取得极大值。
如果 f''(x) = 0，则需要结合其他方法进一步进行判定。
4. 给出极值点和极值根据判定的结果，我们可以得到函数的极值点和极值。
我们可以通过代入原函数 f(x) 进行计算，得到极值点的具体数值和函数的极值。
三、解析法的应用举例为了更好地理解解析法的应用，以下以一个具体的数学问题为例来演示。
问题：已知函数 f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2，求函数 f(x) 的极值点和极值。
解答：1. 求解导函数将函数 f(x) 求导得到 f'(x) = 3x^2 - 12x + 9。
利用导数求函数的极值(最值)的几个特例
Ｂｆ （。不存在 ． ）
垒 二
一
二ｏ ： 一 ） ２ …（ 一０ ） （ １（ 一 ） ５ ） △
一
、
一
，、
厶
，
、‘ Ｊ 一 一 ｕ
． ，・
ｃ 。 ０ 。 ． （ ） 或厂（ ） 在 ｆ ＝ 不存
答 案 ： Ｃ
Ｄ 。 ．（ ） ｆ 存在但可能不为０
＜ 即０ ０， ＜ ４
一
≤２ｊ ＂ ≤一— ｇ 一 ￣ ２ １
—
＜ ０
＋一 一
１
＋ ——
１
十 — —
ｌ
观 察 函数 在 各段 上 导数 的符 号 ．从 而 准确 判 断 各 段 上 函数 的 单
调 性 ． 定 函数 的极 值 和 最值 ． 确
当 ０ ，＝ ， ２ ， ， ＝ 时 ｙ Ｏ 即一 ≤） ≤２ 函数有最大值２ 最小值 一 ． ， ２
特例２ 设 函数 厂 ＝ 一 ） １下列结论正确的是（ （ （ １ｚ ， ） ＋ Ａｘ ｌ 函数 的极小值点 ，＝ 是极大值点 ． 是 ＝ ｘ０
Ｂ ＝ 及 ０ 是 函数 的 极 大 值 点 ． １ ＝均 Ｃｘ ｌ ＝ 均 是 函数 的 极 小 值 点 ．＝ 及ｘ ０ Ｄ １ 函数 的极 小 值 点 ， ． 是 ＝ 函数 无 极 大 值 点
答案 ： Ｄ
） ．
数 的公 式 求 解 即 可．
特 例４ 函 数ｙ ＝
（
） ．
Ａ 有最大值２ 无最小值 ． ，
Ｂ无最大值 ， ． 有最小值一 ２
ｃ最大值２ 最小值一 ． ， ２
答 案 ： Ｃ
Ｄ无最值 ．
解析： ）６ｘ １Ｘ ０解得 ＝ ， ＝． 令厂（ ＝（３ ） ＝ ， － ２ ． ｘ１ ０ ２ 列出表格如下
函数的极值与最值的求解(导数法)
函数的极值与最值的求解（导数法）函数的极值与最值是数学中重要的概念，它们在数学建模、优化问题等方面具有广泛的应用。
在本文中，我们将介绍如何使用导数法求解函数的极值与最值问题。
一、函数的极值与最值在介绍如何求解函数的极值与最值之前，我们首先需要明确这两个概念的定义。
对于函数f(x)，如果存在一个区间I，对于区间内的任意x，都有f(x)≤f(x0)（或f(x)≥f(x0)），那么f(x0)就是函数在区间I内的极小值（或极大值）。
而函数f(x)在整个定义域内的最小值和最大值则被称为函数的最小值和最大值。
二、导数法求解极值与最值导数法是求解函数极值与最值常用的方法之一。
通过求解函数的导数和判断导数的正负，可以找到函数的极值点及其对应的极值。
1. 求解函数的极值点首先，我们需要求解函数f(x)的导数，并令导数等于零，即f'(x)=0。
解这个方程可以得到函数的临界点（即导函数为零的点），也就是可能的极值点。
2. 判断极值类型在求得了函数的临界点之后，我们需要判断每个临界点对应的极值类型，即是极小值还是极大值。
我们可以通过求解导数的二阶导数来判断，即求解f''(x)，其中f''(x)表示函数f(x)的二阶导数。
若f''(x) > 0，则说明该临界点对应的极小值；若f''(x) < 0，则说明该临界点对应的极大值；若f''(x) = 0，则需要进行其他方法进一步判断。
3. 比较端点值除了求解临界点之外，我们还需要比较函数在区间的端点值，并找出其中的最大值和最小值。
三、实例分析为了更好地理解导数法求解极值与最值的过程，我们举一个实例来进行说明。
假设我们要求解函数f(x)=x^3-3x^2+2x在区间[-1, 3]的极值和最值。
1. 求解导数和临界点首先，求解函数f(x)的导数，得到f'(x)=3x^2-6x+2。
利用导数研究函数的极值
题型五.函数的极值与最值的综合应用
例9. 已知f(x)=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1和x=2时取得极值.
(1). 求a、b的值； (2). 若对于x∈[0, 3]，都有f(x)<c2，求c的取值范围. 例10.已知f(x)是[-e,0) (0,e]上的奇函数，当x∈(0, e]时, f(x)=ax+lnx; (1)求f(x)的解析式； ln x 1 ,求证:当x (0, e]时f (x) g(x) 恒成立 . (2)若a=-1, g(x) x 2
一.函数极值的概念
2. 极值与导数的关系：
(2). “f '(x0)=0”与“ x0是f(x)的极值点”的关系？ (3). f(x)的极大值与极小值的关系？
y
f(x) x3
y
g(x) | x |
o
x
o
x
二.求函数极值的方法与步骤 题型一.求函数的极值
例1. 判断下列函数在其定义域内是否有极值？ (1). y=8x3-12x2+6x+1； (2). y=x|x|； (3). y=1-(x-2) .
求f(x)在[a, b]上的最值的步骤：
题型三.求连续函数在闭区间上的最值 (1)求f(x)在开区间(a,b)上的极值；
例6. 求下列函数的最值： (2)求f(a)和f(b)；
1 3 (3)比较f(a)、f(b)与极值，的最值. (1). f(x)= x -4x+4 , x∈[-3, 4] ; 3 x (2). y x ，x∈[0, 2]; e 1 2 (3). y=ln(1+x) - x , x∈[0, e]; 4
(4). 已知x、y∈R+, x2-2x+4y2=0, 求xy的最大值.
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y
f (x) 0
f (x) 0
f ( x0 ) 0
o
a
X0
b
x
同理, 如上图所示,若x0是f(x)极小值点, 则在x0的左侧附近f(x)只能是减函数, 即 f ’(x) <0; 在x0的右侧附近只能是增函数, 即 f ’(x) >0.
从而我们得出结论:若x0满足f ’(x) =0, 且在x0的两侧的导数异号, 则x0是f(x)的极 值点, f(x0)是极值,并且如果f ’(x)在x0两侧满 足“左正右负”, 则x0是f(x)的极大值点, f(x0)是极大值; 如果f ’(x) 在x0两侧满足“左 负右正”, 则x0是f(x)的极小值点, f(x0)是极 小值从. 曲线的切线角度看,曲线在极值点处
及求可导函数的极值的步骤.
教学难点：对极大、极小值概念的理解及求可
导函数的极值的步骤.
教学目标
利用函数的导数来研究函数y=f(x)的单调 性这个问题.其基本的步骤为:
①求函数的定义域; ②求函数的导数f ’(x) ;
③解不等式f ’(x)>0得f(x)的单调递增区间; 解不等式f ’(x) <0得f(x)的单调递减区间.
在定义中,取得极值的点称为极值点,极值 点是自变量的值,极值指的是对应的函数值.
请注意以下几点: (1)极值是一个局部概念.由定义,极值只是 某个点的函数值与它附近点的函数值比较是 最大或最小.并不意味着它在函数的整个的 定义域内最大或最小.也就是说极值与最值 是两个不同的概念. (2)函数的极值不是唯一的.即一个函数在 某区间上或定义域内极大值或极小值可以 不止一个.
右图为函数y=2x3－6x2+7 y
的图象,从图象我们可以看出
下面的结论:
2
x
0
函数在x=0的函数值比它附近所有各点
的函数值都大，我们说f (0)是函数的一个
极大值；
函数在x=2的函数值比它附近所有各点
的函数值都小，我们说f(2)是函数的一个
极小值。
课前预习
函数的极值:
一般地,设函数y=f(x)在x0及其附近有定 义, 如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数 值都大, 我们说f(x0)是函数y=f(x)的一个极 大值; 如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函 数值都小, 我们说f(x0)是函数y=f(x)的一个 极小值. 极大值与极小值统称极值.
假设x0使f ’(x) =0 .那么在什么情况下x0 是f(x)的极值点呢？
y
f (x0) 0
f (x) 0 f (x) 0
oa
X00
b
x
如上图所示,若x0是f(x)的极大值点, 则x0 两侧附近点的函数值必须小于f(x0) . 因此, x0的左侧附近f(x)只能是增函数, 即f ’(x) >0; x0的右侧附近f(x)只能是减函数, 即f ’(x) <0.
如何求函数的最大（小）值呢？
假设y=f(x)在闭区间[a，b]上的图象是 一条连续不间断的曲线，则该函数在[a，b] 一定能够取得最大值与最小值，函数的最 值必在极值点或区间端点取得。由于可导 函数在区间(a，b)内的极值只可能在使 f ’(x)=0的点取得，因此把函数在区间端点 的值与区间内使f ’(x)=0的点的值作比较， 最大者必为函数在[a，b]上的最大值，最 小者必为最小值。
(3)极大值与极小值之间无确定的大小 关系.即一个函数的极大值未必大于极小值, 如下图所示, x1是极大值点, x4是极小值点, 而f(x4)>f(x1).
y
f ( x4 ) f ( x1 )
o a X1
X2
X3 X4 b
x
(4)函数的极值点一定出现在区间的内 部,区间的端点不能成为极值点.而使函数取 得最大值、最小值的点可能在区间的内部, 也可能在区间的端点.
在上节课中,我们是利用函数的导数来 研究函数的单调性的.下面我们利用函数的 导数来研究函数的极值问题.
由上图可以看出, 在函数取得极值处, 如果曲线有切线的话, 则切线是水平的,从 而有f ’(x) =0 .但反过来不一定.
如函数y=x3, 在x=0处, 曲线的切线是水 平的, 但这点的函数值既不比它附近的点 的函数值大,也不比它附近的点的函数值小.
求函数y=f(x)在[a，b]的最大（小）值 步骤如下：
（1）求函数f(x)在开区间(a，b)内所有 使f ’(x)=0的点；
（2）计算函数f(x)在区间内使f ’(x)=0的 所有点和端点的函数值，其中最大的一个 为最大值，最小的一个为最小值。
1
例1．已知函数y= 3 x3－4x+4， （1）求函数的极值，并画出函数的大致 图象； （2）求函数在区间[－3，4]上的最大值和 最小值 解：（1）y’=( 1 x3－4x+4)’=x2－4
切线的斜率为0, 并且,曲线在极大值点左侧
切线的斜率为正,右侧为负; 曲线在极小值
点左侧切线的斜率为负,右侧为正.
求函数y=f(x)的极值f(x0)，并判别f(x0) 是极大(小)值的方法是:
（1）求导数f ’(x); （2）求方程f’(x)=0的所有实数根;
(3) 如果在根x0附近的左侧 f ’(x) >0, 右 侧f ’(x) <0, 那么, f(x0)是极大值;
(4) 如果在根x0附近的左侧f ’(x) <0, 右 侧f ’(x) >0, 那么, f(x0)是极小值.
如果在f’(x(x0)不是极值. 即:f’(x)=0的根不一定都是函数的极值点。 由此可见，可导函数f(x)在点x0取得极值 的充分必要条件是f’(x0)=0，且在x0左侧 与右侧，f’(x)的符号不同。很明显， f’(x0)=0是x0为极值点的必要条件， 并非充分条件。
教学目标
知识与技能目标：理解极大值、极小值的概
念；能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数 的极值；掌握求可导函数极值的步骤；
过程与方法目标：多让学生举例说明，培养
他们的辨析能力，以及培养他们分析问题和解决问 题的能力；
情感、态度与价值观：通过学生的参与，
激发学生学习数学的兴趣.
教学重难点
教学重点：极大、极小值的概念和判别方法，以
3
=(x+2)(x－2)
令y’=0，解得x1=－2，x2=2