导数与函数的极值和最值ppt课件
解得a＝4，b＝24.
(2)f′(x)＝3(x2－a)(a≠0)． 当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－∞， ＋∞)上单调递增；此时函数f(x)没有极值点．
课堂互动讲练
当 a>0 时，由 f′(x)＝0 得 x＝± a. 当 x∈(－∞，－ a)时，f′(x)>0， 函数 f(x)单调递增； 当 x∈(－ a， a)时，f′(x)<0，函 数 f(x)单调递减； 当 x∈( a，＋∞)时，f′(x)>0，函 数 f(x)单调递增． 此时 x＝－ a是 f(x)的极大值点，x＝ a 是 f(x)的极小值点．
当x<x1时，f′(x)>0，f(x)为增函数， 当x1<x<x2时，f′(x)<0，f′(x)为减函数， 则x＝x1为极大值点， 同理，x＝x3为极大值点， x＝x2，x＝x4为极小值点． 答案：③
三基能力强化
3．已知f(x)＝ax3＋bx2＋x(a，b∈R 且ab≠0)的图象如图所示，且|x1|>|x2|，则 有a，b的正负情况是________．
基础知识梳理
3．生活中的优化问题 利用导数解决实际问题中的最值问题应 注意： (1)在求实际问题中的最大(小)值时，一定 要注意考虑实际问题的意义，不符合实际问题 的值应舍去． (2)在实际问题中，有时会遇到函数在区 间内只有一个点使f′(x)＝0的情形，那么不与 端点值比较，也可知道这就是最大(小)值．
基础知识梳理
(2)求函数极值的步骤： ① 求导数f′(x) ； ② 求方程f′(x)＝0的根 ； ③检查f′(x)在方程根左右的值的符 号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处 取 极大值 ，如果左负右正，那么f(x)在 这个根处取 极小值 ．
基础知识梳理
方程f′(x)＝0的根就是函数y＝f(x)的 极值点是否正确？
课堂互动讲练
【点评】 求函数的极值，与研究函数 的单调性的过程是一致的，为使思路清晰， 可以严格按照求极值的步骤来推理，最好以 列表格的形式来体现，对含参数的问题，要 注意引起讨论的原因再分类讨论．
答案：a<0，b<0
三基能力强化
4．已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间 [－3,3]上的最大值与最小值分别为M，m， 则M－m＝________.
解析：由f′(x)＝3x2－12＝0得x＝±2， 又f(3)＝－1，f(－3)＝17，f(2)＝－8， f(－2)＝24， 则M＝24，m＝－8， ∴M－m＝32. 答案：32
【思考·提示】 不正确，方程f′(x) ＝0的根未必都是极值点．
基础知识梳理
2．函数的最大值与最小值 在闭区间[a，b]上连续，在(a，b)内可 导，f(x)在[a，b]上求最大值与最小值的步骤： (1) 求f(x)在(a，b)内的极值 ． (2) 将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中 最大的一个是最大值，最小的一个是最小值 .
答案：a>2或a<－1
课堂互动讲练
考点一
函数的极值问题
极值是一个局部概念，极值的大小 关系是不确定的，即极大值不一定比极 小值大，极小值也不一定比极大值2009年高考北京卷)设函数f(x) ＝x3－3ax＋b(a≠0)．
(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处 与直线y＝8相切，求a，b的值；
三基能力强化
2．(2010年江苏扬州模拟)函数f(x)的 定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所 示，则函数f(x)________．
①无极大值点、有四个极小值点 ②有三个极大值点、两个极小值点 ③有两个极大值点、两个极小值点 ④有四个极大值点、无极小值点
三基能力强化
解析：设f′(x)与x轴的4个交点，从左至 右依次为x1、x2、x3、x4.
第三节 导数与函数的极值和最值
基础知识梳理
1．函数的极值 (1)函数的极值的概念： 函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a 附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a 附近的左侧 f′(x)＜0，右侧 f′(x)＞，0 则点a叫做函 数y＝f(x)的 极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x) 的 极小值 ．
三基能力强化
5．函数f(x)＝x3＋3ax2＋3[(a＋2)x＋1] 既有极大值又有极小值，则a的取值范围是_ _______．
解析：f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，令3x2 ＋6ax＋3(a＋2)＝0，即x2＋2ax＋a＋2＝0. 因为函数f(x)有极大值和极小值，所以方程x 2＋2ax＋a＋2＝0有两个不相等的实根，即Δ ＝4a2－4a－8>0，解得a>2或a<－1.
(2)求函数f(x)的单调区间与极值 点．
【思路点拨】 (1)由f′(2)＝0，f(2) ＝8求a，b；(2)求f′(x)，讨论单调性．
课堂互动讲练
【解】 (1)f′(x)＝3x2－3a. 因为曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处与直 线y＝8相切，
所以
f′(2)＝0， f(2)＝8，
即38(－4－6aa＋)＝b＝0，8.
基础知识梳理
(3)在解决实际优化问题时，不仅要 注意将问题中涉及的自变量的函数关系 式给予表示，还应确定函数关系式中自 变量的定义区间．
三基能力强化
1．(2010年山东烟台模拟)函数y＝x ＋2cosx在[0，π2 ]上取得最大值时，x的值 为________．
解析：y′＝(x＋2cosx)′＝1－2sinx， 令 1－2sinx＝0，且 x∈[0，π2]时，x＝π6， 当 x∈[0，π6]时，f′(x)≥0，f(x)单调递增； 当 x∈[π6，π2]时，f′(x)≤0，f(x)单调递减． ∴f(x)max＝f(π6)． 答案：π6
基础知识梳理
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它 在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝ 0；而且在点x＝b附近的左侧 f′(x)＞0 ， 右侧 f′(x)＜0 ，则点b叫做函数y＝f(x) 的 极大值点 ，f(b)叫做函数y＝f(x) 的 极大值 ．极小值点、极大值点统称 为 极值点 ，极大值和极小值统称为 极值 ．
3.3.3函数的最大(小)值与导数 课件
函数最值的逆向问题 例 2 已知函数 f(x)＝ax3－6ax2＋b，问是否存在实数 a、 b，使 f(x)在[－1,2]上取得最大值 3，最小值－29？若存在， 求出 a，b 的值；若不存在，请说明理由．
[分析] 函数最值的逆向问题，通常是已知函数的最值 求函数关系式中字母的值的问题．解决时应利用函数的极 值与最值相比较，综合运用求极值、最值的方法确定系数 的方程(组)，解之即可．
所以 f(x)在(0，12)，(2，＋∞)内是增函数，在(－∞，0)，(12，
2)内是减函数．
(2)由条件 a∈[－2,2]可知 Δ＝9a2－64<0，从而 4x2＋3ax ＋4>0 恒成立．
当 x<0 时，f′(x)<0；当 x>0 时，f′(x)>0. 因此函数 f(x)在[－1,1]上的最大值是 f(1)与 f(－1)两者中 的较大者．
2．函数 y＝|x－1|，下列结论正确的是( ) A．y 有极小值 0，且 0 也是最小值 B．y 有最小值 0，但 0 不是极小值 C．y 有极小值 0，但 0 不是最小值 D．因为 y 在 x＝1 处不可导，所以 0 既非最小值也非极 值
解析：最小值与极小值定义的应用．故选 A. 答案：A
3．函数 f(x)＝x(1－x2)在[0,1]上的最大值为( )
当 a＝－130时，f′(x)＝x(4x2－10x＋4)＝2x(2x－1)(x－2)．
令 f′(x)＝0，解得 x1＝0，x2＝12，x3＝2.
当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，0)
0
(0，12)
1 2
(12，2)
2
(2，＋∞)
f′(x) －
0
导数的应用：函数的极值问题 高中数学课堂教学ppT课件
练习1.函数f (x) 2x3 3x2 a的极大值为6，则a （C ）
A.5
B.0
C.6
D.1
练习2.函数f (x) x3 ax2 3x 9，已知f (x)在x 3时取得极值，
则a （A）
A.5
B.0
C.6
D.1
练习3，若函数f (x) x3 ax2 3x 9无极值，则a的
(2)如果函数 y＝f(x)在区间(a，x0)上是 单调递减 的，在区 间(x0，b)上是 单调递增 的，则 x0 是极小值点，f(x0)是极小值.
注：在不为单调函数的前提下，极值点是导函数的零点，即方程 的根。
如：已知函数f (x)的图象如下,则函数f (x)在区间[a, h] 上的极大值点和极小值点分别有（ ）个
取值范围为（ C）
注：以下五点点加深对极值的理解 ，所有函数为可导函数
四、课堂小结
1.函数的极值的概念 2.会求函数的极值
答：极大值点有c,e,g 极小值点有：b,d,f
o
abc d e f
gh x
A.2,没有 C.4,0
B.(0,0), (4,0) D.(4,0), (0,0)
三、求函数的极值
注：求函数极值的步骤 (1)确定函数的定义域； (2)求方程 f′(x)＝0 的根； (3)用方程 f′(x)＝0 的根顺次将函数的定义域分成若干个 小开区间，并列成表格；(写出单调区间) (4)由 f′(x)在方程 f′(x)＝0 的根左右的符号，来判断 f(x) 在这个根处取极值的情况．
提示：f(x)在(a，x0)上单调递增，导数大于零，在(x0，b)上单 调递减，导数小于零．
问题 4：函数 y＝g(x)在(a，b)上，结论如何？ 提示：与 y＝f(x)在(a，b)上结论相反．
《函数的极值和导数》课件
Part
05
导数的计算方法
导数的四则运算规则
01
加法法则
$(uv)' = u'v + uv'$
02
减法法则
$(u-v)' = u'-v'$
03
乘法法则
$(uv)' = u'v + uv'$
04
除法法则
$left(frac{u}{v}right)' = frac{u'v-uv'}{v^2}$
复合函数的导数计算
最小成本问题
总结词
利用极值理论寻找最小成本
详细描述
在生产和经营活动中，也常常需要寻求最小成本。通过建立数学模型，利用函数的极值和 导数，可以找到使得成本最小的生产量、原材料采购量等决策变量。
实例
某公司需要采购原材料，每次采购的成本包括固定成本5万元和变动成本与采购量的比例 系数0.1万元/单位。求该公司的最小总成本。通过建立函数并求导，可以找到使得总成本 最小的采购量。
Part
03
极值在实际问题中的应用
最大利润问题
01
总结词
利用极值理论寻找最大利润
02 03
详细描述
在生产和经营活动中，常常需要寻求最大利润。通过建立数学模型，利 用函数的极值和导数，可以找到使得利润最大的生产量、价格等决策变 量。
实例
某公司生产一种产品，其固定成本为100万元，每生产一个单位的产品 ，成本为2万元，售价为5万元。求该公司的最大利润。通过建立函数并 求导，可以找到使得利润最大的产量。
Part
04
导数的几何意义
导数在平面上的表示
切线斜率
3.3导数与函数的极值最值课件高三数学一轮复习2
提醒：(1)极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质．极 值点是函数在区间内部的点，不会是端点．
(2)对于可导函数f(x)，f ′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件． 例如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点． (3)极大值(或极小值)可能不止一个，可能没有，极大值不一定大于极小值．
提醒：(1)极值是一个局部性概念，反映的是函数在某个点附近的大小情况，并不意 味它在函数的整个定义域内最大或最小；最值是一个整体性的概念，函数的最值是比较 某个区间内的所有函数值得出的．
(2)若函数在开区间(a，b)内的极值点只有一个，则相应极值点为函数最值点． (3)若函数在闭区间[a，b]的最值点不是端点，则最值点必为极值点． (4)连续函数的极值个数不确定，而函数在某一闭区间上的最大和最小值是唯一的．
②若 a<0，要使函数 f(x)在 x＝a 处取得极大值，则需 f(x)在a＋32b，a上单调递增，在 (a，＋∞)上单调递减，此时需满足 a>a＋32b，得 b<a<0，∴a2<ab.
综上可知，a2<ab，故选 D.
3．(角度 2)已知函数 f(x)＝x3＋6lnx，f ′(x)为 f(x)的导函数．求函数 g(x)＝f(x)－f ′(x) ＋9的单调区间和极值．
3 值点，则实数 a 的取值范围是____－__∞__，__－__14_∪___14_，__＋__∞__ ___．
【解析】
(1) 因 为
f′(x)
＝
3x2
＋
6mx
＋
n
，
由
题
有
f′－1＝0， f－1＝0，
即
3－6m＋n＝0， －1＋3m－n＋m2＝0，
2025年高考数学总复习课件23第三章第二节第2课时导数与函数的极值、最值
当a>0时，令f ′(x)＝0，得x＝1a.
当x∈
0，
1
a
时，f ′(x)>0，函数f (x)单调递增；
当x∈
1
a
，+∞
时，f ′(x)<0，函数f (x)单调递减，
故函数f (x)在x＝1a处取得极大值，无极小值．
综上可知，当a≤0时，函数f (x)无极值点；当a>0时，f (x)有一个极大值点1a，无
必备知识 落实“四基”
核心考点 提升“四能”
课时质量评价
(2)讨论函数f (x)在定义域内极值点的个数．
解：由(1)知函数f (x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝1x－a＝1－xax(x>0)．
当a≤0时，f ′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，即函数f (x)在(0，＋∞)上单调递增，
此时函数在定义域上无极值点．
y′>0，解得x<－7或x>1；令y′<0，解得－7<x<1，所以函数y＝13x3＋(a＋1)x2－(a2 ＋3a－3)x在(－∞，－7)，(1，＋∞)上单调递增，在(－7，1)上单调递减，所以x ＝1是函数的极小值点，符合题意．若a＝－3，则y′＝x2－4x＋3.令y′>0，解得
x<1或x>3；令y′<0，解得1<x<3，所以函数y＝13x3＋(a＋1)x2－(a2＋3a－3)x在(－ ∞，1)，(3，＋∞)上单调递增，在(1，3)上单调递减，所以x＝1是函数的极大值 点，不符合题意．
A 解析：f ′(x)＝(x－c)2＋2x(x－c)＝(x－c)·(3x－c)，
由题知f ′(2)＝(2－c)(6－c)＝0，所以c＝2或c＝6.
函数的极值与导数 课件
互动 2 函数 y＝f(x)在给定区间(a，b)内一定有极值点吗？ 【解析】 不一定．若函数 y＝f(x)在区间(a，b)内是单调函数， 就没有极值点．
例 2 求下列函数的极值： (1)f(x)＝x3－12x； (2)f(x)＝sinx(1＋cosx)(0<x<2π)；
(3)f(x)＝ 2x －2. x2＋1
【思路分析】
求f（x）的定义域 → 求f′（x） →
解方程f′（x）＝0 → 列表分析 → 结论
【解析】 (1)函数 f(x)的定义域为 R；
思考题 2 求下列函数的极值： (1)f(x)＝x3－3x2－9x＋5； (2)f(x)＝lnxx.
【解析】 (1)f′(x)＝3x2－6x－9.
解方程 3x2－6x－9＝0，得 x＝－1 或 x＝3.
当 x 变化时，f′(x)与 f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－1) －1 (－1，3)
3
【解析】 (1)∵f(x)＝2x2－ekxx＋k， ∴f′(x)＝－2x2＋（ke＋x 4）x－2k. ∵f(x)无极值，∴f′(x)≥0 或 f′(x)≤0 恒成立． ∵ex>0，∴f′(x)与 g(x)＝－2x2＋(k＋4)x－2k 同号． ∵g(x)的二次项系数为－2， ∴g(x)≤0 恒成立，令 Δ＝(k＋4)2－16k＝(k－4)2≤0，则 k＝ 4. ∴当 k＝4 时，f(x)无极值．
【解析】 以 d、e 两点为例，y＝f(x)在点 x＝d 处的函数值 f(d)比它在点 x＝d 附近其他点的函数值都小，f′(d)＝0；在 x＝d 的附近的左侧 f′(x)<0，右侧 f′(x)>0.类似地函数 y＝f(x)在点 x ＝e 的函数值 f(e)比它在 x＝e 附近其他点的函数值都大，f′(e) ＝0；在 x＝e 附近的左侧 f′(x)>0，右侧 f′(x)<0.
导数与函数的极值、最值课件-2025届高三数学一轮复习
1．设f(x)为R 上的奇函数，当x≥0时，f′(x)－cos x<0，则不等式f(x)<sin x的解集为 ________． 解析：令φ(x)＝f(x)－sin x，当x≥0时，φ′(x)＝f′(x)－cos x<0，∴φ(x)在 [0，＋∞)上单调递减，又f(x)为R上的奇函数，∴φ(x)为R上的奇函数，∴φ(x)在 (－∞，0]上单调递减，故φ(x)在R 上单调递减且φ(0)＝0，不等式f(x)<sin x可化为 f(x)－sin x<0，即φ(x)<0，即φ(x)<φ(0)，故x>0，∴原不等式的解集为(0，＋∞)． 答案：(0，＋∞)
分别是________，g(x)在(1,2)上的最小值和最大值________．
[记结论] 1．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分 条件．
2．若函数f(x)的图象连续不断，则f(x)在[a，b]上一定有最值． 3．若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值． 4．若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数 的最值点．
4 27
．若f(x)在(a－1，a＋3)上存在极大值，则a
的取值范围是________．
1．已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意根据极值点的导数 为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
2．导数值为0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必 须检验．
2．设 f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1 的导数为 f′(x)，若函数 y＝f′(x)的图象关于直
考向1 根据函数图象判断函数极值
(2022·郑州模拟)设函数f(x)在R 上可导，其导函数为
导数与函数的极值、最值(课件)高考数学大一轮复习核心题型讲与练+易错重难点专项突破(新高考版)
例4 [2022全国卷乙]函数 f ( x )＝ cos x ＋( x ＋1) sin x ＋1在区间[0，2π]的最小值、最
大值分别为( D
)
A.
π π
－ ，
2 2
B. － ，
C.
π π
－ ， ＋2
2 2
D. － ， ＋2
3π
2
π
2
3π
2
π
2
[解析] 由 f ( x )＝ cos x ＋( x ＋1) sin x ＋1， x ∈[0，2π]，
2
1 2 > 0，
− > 0，
2 + 8 > 0，
所以 > 0，
故B，C，D正确.因为 ab ＞0， ac ＜0，所以 bc ＜0，A错误，
< 0.
故选BCD.
（2）[2022全国卷乙]已知 x ＝ x 1和 x ＝ x 2分别是函数 f ( x )＝2 ax －e x 2( a
2
2
2
2
角度2
已知函数的最值求参数
例5 [全国卷Ⅲ]已知函数 f ( x )＝2 x 3－ ax 2＋ b .
(1)讨论 f ( x )的单调性.
[解析] (1)对 f ( x )＝2 x 3－ ax 2＋ b 求导，得 f '( x )＝6 x 2－2 ax ＝2 x (3 x － a ).
令 f '( x )＝0，得 x ＝0或 x ＝ .
的图象可能是( D
A
)
B
C
D
[解析] 根据题意，已知导函数的图象与 x 轴有三个交点，且每个交点的两边
2024年高考数学一轮复习课件(新高考版) 第3章 §3.3 导数与函数的极值、最值
2024年高考数学一轮复习课件（新高考版）第三章 一元函数的导数及其应用§3.3 导数与函数的极值、最值考试要求1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.掌握利用导数研究函数最值的方法.4.会用导数研究生活中的最优化问题.内容索引第一部分第二部分第三部分落实主干知识探究核心题型课时精练第一部分1.函数的极值(1)函数的极小值函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值f′(x)<0f′(x)>0都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧，右侧，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值.(2)函数的极大值函数y ＝f (x )在点x ＝b 处的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近其他点处的函数值都大，f ′(b )＝0；而且在点x ＝b 附近的左侧，右侧 ，则b 叫做函数y ＝f (x )的极大值点，f (b )叫做函数y ＝f (x )的极大值.(3)极小值点、极大值点统称为，极小值和极大值统称为 .f ′(x )>0f ′(x )<0极值点极值2.函数的最大(小)值(1)函数f (x )在区间[a ，b ]上有最值的条件：如果在区间[a ，b ]上函数y ＝f (x )的图象是一条 的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)求函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的最大(小)值的步骤：①求函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内的 ；②将函数y ＝f (x )的各极值与 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.连续不断极值端点处的函数值f (a )，f (b )常用结论对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数的极值可能不止一个，也可能没有.( )(2)函数的极小值一定小于函数的极大值.( )(3)函数的极小值一定是函数的最小值.( )(4)函数的极大值一定不是函数的最小值.( )√××√1.如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为√A.1B.2C.3D.4由题意知，只有在x＝－1处，f′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正，故f(x)的极小值点只有1个.2.函数f(x)＝x3－ax2＋2x－1有极值，则实数a的取值范围是_____________ _____________.f′(x)＝3x2－2ax＋2，由题意知f′(x)有变号零点，∴Δ＝(－2a)2－4×3×2>0，43.若函数f(x)＝x3－4x＋m在[0,3]上的最大值为4，则m＝____.f′(x)＝x2－4，x∈[0,3]，当x∈[0,2)时，f′(x)<0，当x∈(2,3]时，f′(x)>0，所以f(x)在[0,2)上单调递减，在(2,3]上单调递增.又f(0)＝m，f(3)＝－3＋m，所以在[0,3]上，f(x)max＝f(0)＝4，所以m＝4.第二部分命题点1 根据函数图象判断极值例1 (多选)(2023·华南师大附中模拟)如图是y ＝f (x )的导函数f ′(x )的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是A.当x ＝－1时，f (x )取得极小值B. f (x )在[－2,1]上单调递增C.当x ＝2时，f (x )取得极大值D. f (x )在[－1,2]上不具备单调性√√由导函数f′(x)的图象可知，当－2<x<－1时，f′(x)<0，则f(x)单调递减；当x＝－1时，f′(x) ＝0；当－1<x<2时，f′(x)>0，则f(x)单调递增；当x＝2时，f′(x)＝0；当2<x<4时，f′(x)<0，则f(x)单调递减；当x＝4时，f′(x)＝0，所以当x＝－1时，f(x)取得极小值，故选项A正确；f(x)在[－2,1]上有减有增，故选项B错误；当x＝2时，f(x)取得极大值，故选项C正确；f(x)在[－1,2]上单调递增，故选项D错误.命题点2 求已知函数的极值例2 (2022·西南大学附中模拟)已知函数f(x)＝ln x＋2ax2＋2(a＋1)x(a≠0)，讨论函数f(x)的极值.因为f(x)＝ln x＋2ax2＋2(a＋1)x，若a>0，则当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0恒成立，故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，无极值.当a>0时，f(x)无极值.命题点3 已知极值(点)求参数例3 (1)(2023·福州质检)已知函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，则c的值为√A.2B.4C.6D.2或6由题意，f′(x)＝(x－c)2＋2x(x－c)＝(x－c)·(3x－c)，则f′(2)＝(2－c)(6－c)＝0，所以c＝2或c＝6.若c＝2，则f′(x)＝(x－2)(3x－2)，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，函数f(x)在x＝2处有极小值，满足题意；若c＝6，则f′(x)＝(x－6)(3x－6)，当x∈(－∞，2)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(2,6)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(6，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，函数f(x)在x＝2处有极大值，不符合题意.综上，c＝2.(2)(2023·威海模拟)若函数f(x)＝e x－ax2－2ax有两个极值点，则实数a的取值范围为√由f(x)＝e x－ax2－2ax，得f′(x)＝e x－2ax－2a.因为函数f(x)＝e x－ax2－2ax有两个极值点，所以f′(x)＝e x－2ax－2a有两个变号零点，当x>0时，g′(x)<0；当x<0时，g′(x)>0，所以g(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减.思维升华根据函数的极值(点)求参数的两个要领(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；(2)验证：求解后验证根的合理性.跟踪训练1 (1)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10，则a＋b的值为A.－1或3B.1或－3√C.3D.－1因为f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a，所以f′(x)＝3x2＋2ax＋b，因为函数f(x)在x＝1处取得极大值10，所以f′(1)＝3＋2a＋b＝0，①f(1)＝1＋a＋b－a2－7a＝10，②联立①②，解得a＝－2，b＝1或a＝－6，b＝9.当a＝－6，b＝9时，f′(x)＝3x2－12x＋9＝(x－1)(3x－9)，f(x)在(－∞，1)和(3，＋∞)上单调递增，在(1,3)上单调递减，故f(x)在x＝1处取得极大值10，符合题意.综上可得，a＝－6，b＝9.则a＋b＝3.√∴φ(x)在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，又当x→＋∞时，φ(x)→＋∞，命题点1 不含参函数的最值例4 (2022·全国乙卷)函数f(x)＝cos x＋(x＋1)sin x＋1在区间[0,2π]的最小值、最大值分别为√f(x)＝cos x＋(x＋1)sin x＋1，x∈[0,2π]，则f′(x)＝－sin x＋sin x＋(x ＋1)·cos x＝(x＋1)cos x，x∈[0,2π].又f(0)＝cos 0＋(0＋1)sin 0＋1＝2，f(2π)＝cos 2π＋(2π＋1)sin 2π＋1＝2，命题点2 含参函数的最值例5 已知函数f(x)＝－ln x(a∈R).(1)讨论f(x)的单调性；①若a≤0，则f′(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减；②若a>0，则当x>a时，f′(x)<0；当0<x<a时，f′(x)>0，所以f(x)在(0，a)上单调递增，在(a，＋∞)上单调递减.所以f(x)max＝f(a)＝－ln a；思维升华求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值.跟踪训练2 (1)(2021·新高考全国Ⅰ)函数f(x)＝|2x－1|－2ln x的最小值1为_____.函数f(x)＝|2x－1|－2ln x的定义域为(0，＋∞).当x>1时，f′(x)>0，所以f(x)min＝f(1)＝2－1－2ln 1＝1；综上，f(x)min＝1.(2)已知函数h(x)＝x－a ln x＋ (a∈R)在区间[1，e]上的最小值小于零，求a的取值范围.①当a＋1≤0，即a≤－1时，h′(x)>0恒成立，即h(x)在(0，＋∞)上单调递增，则h(x)在[1，e]上单调递增，故h(x)min＝h(1)＝2＋a<0，解得a<－2；②当a＋1>0，即a>－1时，在(0，a＋1)上，h′(x)<0，在(a＋1，＋∞)上，h′(x)>0，所以h(x)在(0，a＋1)上单调递减，在(a＋1，＋∞)上单调递增，若a＋1≤1，求得h(x)min>1，不合题意；若1<a＋1<e，即0<a<e－1，则h(x)在(1，a＋1)上单调递减，在(a＋1，e)上单调递增，故h(x)min＝h(a＋1)＝2＋a[1－ln(a＋1)]>2，不合题意；若a＋1≥e，即a≥e－1，则h(x)在[1，e]上单调递减，第三部分1.(多选)已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则下列结论中正确的是A.f(x)在区间(－2,3)上有2个极值点B.f′(x)在x＝－1处取得极小值C.f(x)在区间(－2,3)上单调递减D.f(x)在x＝0处的切线斜率小于0√√√根据f′(x)的图象可得，在(－2,3)上，f′(x)≤0，∴f(x)在(－2,3)上单调递减，∴f(x)在区间(－2,3)上没有极值点，故A错误，C正确；由f′(x)的图象易知B正确；根据f′(x)的图象可得f′(0)<0，即f(x)在x＝0处的切线斜率小于0，故D正确.√。
(新课标)高中数学《3.3.2-函数的极值与导数》课件-新人教A版选修1-1
规律方法 已知函数极值情况，逆向应用确定函数的解析式， 进而研究函数性质时注意两点： (1)常根据极值点处导数为 0 和极值两个条件列方程组，利用待 定系数法求解． (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用 待定系数法求解后必须验证根的合理性．
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如图(1)，此时曲线 f(x)与 x 轴恰有两个交点，即方程 f(x)＝0 恰 好有两个实数根，所以 a＋2＝0，a＝－2.(10 分) 如图(2)，当极小值等于 0 时，有极大值大于 0，此时曲线 f(x) 与 x 轴恰有两个交点，即方程 f(x)＝0 恰好有两个实数根，所以 a－2＝0，a＝2.综上，当 a＝2，或 a＝－2 时方程恰有两个实数 根．(12 分)
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2．极值点与导数的关系 (1)可导函数的极值点一定是导数为 0 的点，但导数为 0 的点不 一定是函数的极值点． (2)导数为 0 的点可能是函数的极值点，如 y＝x2，y′(0)＝0，x ＝0 是极小值．导数为 0 的点也可能不是函数的极值点，如 y ＝x3，y′(0)＝0，x＝0 不是极值点．
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【题后反思】 用求导的方法确定方程根的个数是一种很有效的 方法，它是通过函数的变化情况，运用数形结合的思想来确定 函数的图象与 x 轴的交点个数．
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【变式 3】 设函数 f(x)＝x3－6x＋5，x∈R. (1)求函数 f(x)的单调区间和极值； (2)若关于 x 的方程 f(x)＝a 有三个不同的实数根，求实数 a 的取 值范围． 解 (1)f′(x)＝3x2－6，令 f′(x)＝0， 解得 x＝－ 2或 x＝ 2. 因为当 x＞ 2或 x＜－ 2时，f′(x)＞0； 当－ 2＜x＜ 2时，f′(x)＜0， 所以 f(x)的单调递增区间为(－∞，－ 2)，( 2，＋∞)； 单调递减区间为(－ 2， 2)．