2019年高考试题汇编理科数学--圆锥曲线

(2019全国1)10.已知椭圆C 的焦点为)0,1(1-F ，)0,1(2F ，过2F 的直线与C 交于A ，B 两点.若||2||22B F AF =，

||||1BF AB =，则C 的方程为（）

A.1222=+y x

B. 12322=+y x

C.13422=+y x

D.14

522=+y x 答案： B

解答：

由椭圆C 的焦点为)0,1(1-F ，)0,1(2F 可知1=c ，又Θ||2||22B F AF =，||||1BF AB =，可设m BF =||2，则

m AF 2||2=，m AB BF 3||||1==，根据椭圆的定义可知a m m BF BF 23||||21=+=+，得a m 2

，所以a BF 21||2=，a AF =||2，可知),0(b A -，根据相似可得)21,23(b B 代入椭圆的标准方程122

22=+b

y a x ，得32=a ，

22=-=c a b ，∴椭圆C 的方程为12

2=+

x . (2019全国1)16.已知双曲线C:22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线与C 的

两条渐近线分别交于,A B 两点.若112,0F A AB F B F B =?=u u u r u u u r u u u r u u u r

，则C 的离心率为 .

答案： 2

解答：

由112,0F A AB F B F B =?=u u u r u u u r u u u r u u u r 知A 是1BF 的中点，12F B F B

⊥uuu r uuu r

，又O 是12,F F 的中点，所以OA 为中位线且1OA BF ⊥，所以1OB OF =，因此1FOA BOA ∠=∠，又根据两渐近线对称，12FOA F OB ∠=∠，所以260F OB ∠=?，221()1tan 602b e a

=+=+?=.

(2019全国1) 19.已知抛物线x y C 3:2=的焦点为F ，斜率为

的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P .

（1）若4||||=+BF AF ，求l 的方程；（2）若3=，求||AB . 答案：

（1）07128=+-x y ；

（2）

4. 解答：

（1）设直线l 的方程为b x y +=

，设),(11y x A ，),(22y x B ，联立直线l 与抛物线的方程：??

??=+=x

y b x y 3232消去y 化简整理得0)33(4922=+-+b x b x ，0494)33(22>?--=?b b ，21<∴b ，9)33(421b x x -?=+，依题意4||||=+BF AF 可知423

21=++x x ，

即2521=+x x ，故259)33(4=-?b ，得87-=b ，满足0>?，故直线l 的方程为8

23-=x y ，即07128=+-x y .

（2）联立方程组??

???

=+=x

y b x y 3232消去x 化简整理得0222

=+-b y y ，084>-=?b ，21<∴b ，221=+y y ，

b y y 221=，Θ3=，可知213y y -=，则222=-y ，得12-=y ，31=y ，故可知2

-=b 满足0>?， ∴3

4|13|941||11||212

=+?+=-?+

=y y k AB . （2019全国2）8. 若抛物线)0(22

>=p px y 的焦点是椭圆

132

2=+p

y p x 的一个焦点，则=p （）答案：D 解答：

抛物线)0(22

>=p px y 的焦点是)0,2

，椭圆1322=+p y p x 的焦点是)0,2(p ±， ∴p p

=，∴8=p .

（2019全国2）11. 设F 为双曲线22

22:1(0,0)x y C a b a b

-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与

圆2

x y a +=交于,P Q 两点，若||||PQ OF = ，则C 的离心率为（） A.2 B.3 C.2 D.5 答案:A

解答：

∵||||PQ OF c ==，∴90POQ ∠=o

, 又||||OP OQ a ==，∴2

2a a c +=

解得

=，即2e =.

（2019全国2）21. 已知点(2,0),(2,0)A B -，动点(,)M x y 满足直线AM 和BM 的斜率之积为1

-，记M 的轨迹为曲线C .

（1）求C 的方程，并说明C 什么曲线；

（2）过坐标原点的直线交C 于,P Q 两点，点P 在第一象限，PE x ⊥轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .

①证明：PQG ?是直角三角形； ②求PQG ?的面积的最大值. 答案：见解析解答：

(1)由题意得：

1222

y y x x ?=-+-，化简得： 22

1(2)42x y x +=≠±，表示焦点在x 轴上的椭圆（不含与x 轴的交点）.

(2) ①依题意设111100(,),(,),(,)P x y Q x y G x y --，直线PQ 的斜率为k (0)k > ，则

101010

,PG GQ y y y y y y k k x x x x x x ---+=

==---+，

∴22 10 22 10

PG GQ

y y

k k

x x

?==-

，

又11

111

GQ EQ

y y k

k k

x x x

====

，

∴

=-，

∴PG PQ

⊥，即PQG

?是直角三角形.

②直线的方程为(0)

y kx x

=>，联立22

y kx

x y

，得

，

则直线

11111

:()

PG y x x y x x kx x x

k k k k k

=--+=-++=-+，

联立直线PG和椭圆C，可得

2222

211

222

24(1)2(1)

(1)40

x k x k

x x

k k k

+-+-=，

则

102

4(1)

x k

x x

，∴

11012

114(1)

()

222

PQG

x k

S y x x kx

=+=?

2242

8()

8(1)8(1)

(2)(21)2522()5

k k k k k

===

++++++

，

令

t k

=+，则2

t≥，

∴

888

2(2)5212

PQG

t t

t t t

===

-+++

，

∵

min

(2)

+=，

∴max 16()9

PQG S ?=

. （2019全国3）10.双曲线C ：22

142x y -=的右焦点为

F ，点P 为C 的一条渐近线的点，O 为坐标原点.若||||PO PF =则PFO ?的面积为（）

A: 4

B:2

D:答案: A 解析：

由双曲线的方程

22042x y -=

可得一条渐近线方程为2y x =；在

PFO ?中||||PO PF =过点P 做PH 垂直OF

因为tan POF=

2∠

得到2PO =;

所以1224S PFO ?=?=

;故选A;

（2019全国3）15.设1F

、2F 为椭圆120

362

2=+

y x C ：的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限，若21F MF ?为等腰三角形，则M 的坐标为________. 答案：

)15,3(

解析：

已知椭圆120

362

2=+

y x C ：可知，6=a ，4=c ，由M 为C 上一点且在第一象限，故等腰三角形21F MF ?中8211==F F MF ，4212=-=MF a MF ,415

828sin 2221=-=∠M F F ,15sin 212=∠=M F F MF y M ，代入120

362

2=+y x C ：可得3=M x .故M 的坐标为)15,3(. （2019全国3）21.已知曲线2:2x C y =，D 为直线1

y =-上的动点.过D 作C 的两条切线,切点分别是A ,B ,

（1）证明：直线AB 过定点;

（2）若以5(0,)2

E 为圆心的圆与直线AB 相切,且切点为线段AB 的中点,求四边形ADBE 的面积. 答案：

见解析；解答：

（1）当点D 在1(0,)2-时，设过D 的直线方程为01

y k x =-

，与曲线C 联立化简得 20210x k x -+=，由于直线与曲线相切，则有20440k ?=-=，解得01k =±，

并求得,A B 坐标分别为11(1,),(1,)22-，所以直线AB 的方程为12

y =

；当点D 横坐标不为0时，设直线AB 的方程为y kx m =+（0k ≠），由已知可得直线

AB 不过坐标原点即0m ≠，联立直线AB 方程与曲线C 的方程可得，22

y kx m

x y =+??

?=??，

消y 并化简得2

220x kx m --=，∵有两个交点∴2

480k m ?=+>，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，根据韦达定理有，

122x x k +=，122x x m =-，

由已知可得曲线C 为抛物线等价于函数2

()2

x f x =的图像，

则有()f x x '=，则抛物线在11(,)A x y 上的切线方程为111()y y x x x -=-①，同理，抛物线在22(,)B x y 上的切线方程为222()y y x x x -=-②，联立①，②并消去x 可得

2112

y y y y x x x x ---=-，由已知可得两条切线的交点在直线1

y =-

上，则有 221221

112222x x x x x x ----

-=-，

化简得，

12212112

(1)()

2x x x x x x x x --=-，∵0k ≠，∴12x x ≠，

即

1212112x x x x -=，即为2114m m --=-，解得12m =，经检验1

m =满足条件，

所以直线AB 的方程为12y kx =+

过定点1

(0,)2，综上所述，直线AB 过定点1

(0,)2

得证.

（2）由（1）得直线AB 的方程为1

y kx =+，

当0k =时，即直线AB 方程为12y =，此时点D 的坐标为1(0,)2

-，以5(0,)2E 为圆心的圆与直线AB 相切于1

(0,)2

F 恰为AB 中点，

此时11

23322

ADBE S AB ED =?=??=；

当0k ≠时，直线AB 方程与曲线方程联立化简得2

210x kx --=，

122x x k +=，121x x =-，21221y y k +=+，

则AB 中点坐标为21

(,)2

H k k +，

由已知可得EH AB ⊥，即2152210

EH k k k k k +-

?=?

=--，解得，1k =±，

由对称性不妨取1k =，则直线方程为12

y x =+，求得D 的坐标为1(1,)2

-，4AB =，

E 到直线AB

距离1d =

=D 到直线AB

距离2d ==

则1211

ADBE S AB d AB d =

?+?=，综上所述，四边形ADBE 的面积为3

或（2019北京）4.已知椭圆22

22 1x y a b

+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则

A. a 2=2b 2

B. 3a 2=4b 2

C. a =2b

D. 3a =4b

【答案】B 【解析】【分析】

由题意利用离心率的定义和,,a b c 的关系可得满足题意的等式. 【详解】椭圆的离心率2

221,2

c e c a b a ===-,化简得2234a b =, 故选B.

【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质,属于容易题,注重基础知识基本运算能力的考查.

（2019北京）18.已知抛物线C ：x 2=2py 经过点（2，1）．

（Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；

（Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B .求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．【答案】(Ⅰ) 2

4x y =-，1y =； (Ⅱ)见解析. 【解析】【分析】

(Ⅰ)由题意结合点的坐标可得抛物线方程，进一步可得准线方程；

(Ⅱ)联立准线方程和抛物线方程，结合韦达定理可得圆心坐标和圆的半径，从而确定圆的方程，最后令x =0即可证得题中的结论.

【详解】(Ⅰ)将点()2,1-代入抛物线方程：()2

221p =?-可得：2p =，

故抛物线方程：24x y =-，其准线方程为：1y =. (Ⅱ)很明显直线l 的斜率存在，焦点坐标为()0,1-，

设直线方程为1y kx =-，与抛物线方程2

4x y =-联立可得：2440x kx +-=. 故：12124,4x x k x x +=-=-.

设22

1212,,,44x x M x N x ????-- ? ??

???，则12

,44OM ON x x k k =-=-，直线OM 的方程为1

4x y x =-，与1y =-联立可得：14,1A x ??- ???，同理可得24,1B x ??- ???

，

易知以AB 为直径的圆的圆心坐标为：1222,1x x ??+-

???

，圆的半径为：1222

x x -，

且：()1212122222x x k x x x x ++

==，

222x x -==

则圆的方程为：()()()

2141x k y k -++=+，

令0x =整理可得：2

230y y +-=，解得：123,1y y =-=，

即以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点()()0,3,0,1-.

【点睛】本题主要考查抛物线方程的求解与准线方程的确定，直线与抛物线的位置关系，圆的方程的求解及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

（2019天津）5.已知抛物线2

4y x =的焦点为F ，准线为l .若与双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的两条渐近线

分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为

C. 2

【答案】D 【解析】【分析】

只需把4AB OF =用,,a b c 表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率。【详解】抛物线2

4y x =的准线l 的方程为1x =-，双曲线的渐近线方程为b

y x a

=±，则有(1,),(1,)b b A B a a ---

∴2b AB a =，

24b

=，2b a =，

∴

c e a === 故选D 。

【点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解，解题关键是求出AB 的长度。

（2019天津）18.设椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的短轴长为4，离心率为

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上.若||||ON OF =（O 为原点），且OP MN ⊥，求直线PB 的斜率.

【答案】（Ⅰ）22154x y +=（Ⅱ或. 【解析】【分析】

(Ⅰ)由题意得到关于a ,b ,c 的方程，解方程可得椭圆方程；

(Ⅱ)联立直线方程与椭圆方程确定点P 的坐标，从而可得OP 的斜率，然后利用斜率公式可得MN 的斜率表达式，最后利用直线垂直的充分必要条件得到关于斜率的方程，解方程可得直线的斜率. 【详解】(Ⅰ) 设椭圆的半焦距为c

，依题意，24,c b a ==

，又222a b c =+

，可得a =b =2，c =1. 所以，椭圆方程为22

154

x y +

=. (Ⅱ)由题意，设()()(),0,,0P P P M P x y x M x ≠.设直线PB 的斜率为()0k k ≠，

又()02,B ，则直线PB 的方程为2y kx =+，与椭圆方程联立222

4y kx x y =+??

?+=??，

整理得(

45200k

kx ++=，可得2

2045P k

x k =-

+，

代入2y kx =+得2

81045P k y k -=+，

进而直线OP 的斜率2

4510P P y k x k

-=-，在2y kx =+中，令0y =，得2

M x k

. 由题意得()0,1N -，所以直线MN 的斜率为2

k -

. 由OP MN ⊥，得

2451102k k k -??

?-=- ?-??

，化简得2

245k =

，从而5

k =±

. 所以，直线PB

或. 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力.

（2019上海）10．如图，已知正方形OABC ，其中(1)OA a a =>，函数2

3y x =交于点，函数12

y x -

=交于点，当

||||AQ CP +最小时，则a 的值为．

【解答】解：由题意得：点坐标为(

a ，，点坐标为1

(,)a a ，

11||||233

a AQ CP a

+=+…，

当且仅当3a =时，取最小值，故答案为：．

（2019上海）11．在椭圆22

142x y +=上任意一点，与关于x 轴对称，若有121F P F P u u u r u u u u r g ?，则与的夹角范围为．

【解答】解：设(,)P x y ，则点(,)x y -，

椭圆22

142x y +=的焦点坐标为，

，，， Q 121F P F P u u u r u u u u r

g ?，

2221x y ∴-+?，

结合22

142x y +=

可得：2[1y ∈，

故与的夹角θ满足： 2221222222212238

cos 3[122(2)8F P F Q y y y F P F Q x y x θ-==

==-+∈-++++-u u u r u u u u r g u u u r u u u u r g ，故1

[arccos 3θπ∈-，

故答案为：1

[arccos 3

π-，

（2019上海）20．已知抛物线方程24y x =，为焦点，为抛物线准线上一点，为线段与抛物线的交点，定义：||

()||

PF d P FQ =

．（1）当8

(1,)3

P --时，求；

（2）证明：存在常数a ，使得2()||d P PF a =+；

（3），，为抛物线准线上三点，且1223||||PP P P =，判断13()()d P d P +与22()d P 的关系．

【解答】解：（1）抛物线方程24y x =的焦点(1,0)F ，8

(1,)3P --，

4323PF

k ==，的方程为4(1)3y x =-，代入抛物线的方程，解得14

Q x =，抛物线的准线方程为1x =-

，可得10

||3

PF ==

， 15

||144

QF =

+=，||8()||3PF d P QF ==；（2）证明：当(1,0)P -时，2()||2222a d P PF =-=?-=，设(1,)P P y -，0P y >，:1PF x my =+，则2P my =-，

联立1x my =+和2

4y x =，可得2

440y my --=

，2Q y m =

2()||22P P Q y d P PF y -==

22=-=，

则存在常数a ，使得2()||d P PF a =+；（3）设11(1,)P y -，22(1,)P y -，33(1,)P y -，则

1321322[()()]4()||||2||d P d p d P PF P F P F +-=+-

由221313[()16]28y y y y -++=-，

22222

21313131313(4)(4(4)4()84()0y y y y y y y y y y ++-+=+-=->，

则132()()2()d P d P d P +>．

（2019江苏）10.在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4

(0)y x x x

=+>上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距

离的最小值是_____.

【答案】4

【解析】

【分析】

将原问题转化为切点与直线之间的距离，然后利用导函数确定切点坐标可得最小距离

【详解】当直线

平移到与曲线

y x

=+相切位置时，切点

Q即为点P到直线

的距离最小.

由

'=-=-，得2(2)

x=-舍，32

y=，

即切点(2,32)

Q，

则切点Q到直线

的距离为

232

，

故答案为：4．

【点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法和公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题.

（2019江苏）17.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:

1(0)

x y

a b

+=>>的焦点为F1（–1、0），

F2（1，0）．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2:222

(1)4

x y a

-+=交于点A，与椭圆C交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C于点E，连结DF1．已知DF1=

．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）求点E的坐标．

【答案】（1）

x y

+=；

（2）

(1,)

E--.

【解析】

【分析】

(1)由题意分别求得a,b的值即可确定椭圆方程；

(2)解法一：由题意首先确定直线1

AF的方程，联立直线方程与圆的方程，确定点B的坐标，联立直线BF2与椭圆

的方程即可确定点E的坐标；

解法二：由题意利用几何关系确定点E的纵坐标，然后代入椭圆方程可得点E的坐标.【详解】（1）设椭圆C的焦距为2c.

因为F1(－1，0)，F2(1，0)，所以F1F2=2，c=1.

又因为DF1=5

，AF2⊥

x轴，所以DF2=2222

112

()2

DF F F

-=-=，

因此2a=DF1+DF2=4，从而a=2

由b2=a2-c2，得b2=3.

因此，椭圆C的标准方程为

x y

+=.

（2）解法一：

由（1）知，椭圆C：

x y

+=，a=2，

因为AF2⊥x轴，所以点A的横坐标为1.

将x=1代入圆F2的方程(x-1) 2+y2=16，解得y=±4.

因为点A在x轴上方，所以A(1，4).

又F1(-1，0)，所以直线AF1：y=2x+2.

由

()22

116

y x

x y

-+=

，得2

56110

x x

+-=，

解得1

x=或

x=-.

将

x=-代入22

y x

=+，得

y=-，

因此

1112

(,)

B--.又F2(1，0)，所以直线BF2：

(1)

y x

=-.

由

(1)

y x

x y

?+=

，得2

76130

x x

--=，解得1

x=-或13

x=.

又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以1

x=-.

将1

x=-代入

(1)

y x

=-，得3

y=-.因此

(1,)

E--.

解法二：

由（1）知，椭圆C ：

143

x y +=.如图，连结EF 1.

因为BF 2=2a ，EF 1+EF 2=2a ，所以EF 1=EB ，

从而∠BF 1E =∠B .

因为F 2A =F 2B ，所以∠A =∠B ，所以∠A =∠BF 1E ，从而EF 1∥F 2A . 因为AF 2⊥x 轴，所以EF 1⊥x 轴.

因为F 1(-1，0)，由221

143

x x y =-??

=??，得32y =±.

又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以32

y =-. 因此3(1,)2

E --.

【点睛】本题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.

（2019浙江）2.渐近线方程为0x y ±=的双曲线的离心率是（）

B. 1

C. 2

D. 2

【答案】C 【解析】【分析】

本题根据双曲线的渐近线方程可求得1a b ==，进一步可得离心率.容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查.

【详解】因为双曲线的渐近线为0x y ±=，所以==1a b ，则222c a b =+=

e a

= 【点睛】理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误.

（2019浙江）15.已知椭圆

x y

+=的左焦点为F，点P在椭圆上且在

x轴的上方，若线段PF的中点在以原点O为圆心，OF为半径的圆上，则直线PF的斜率是_______.

【答案】15

【解析】

【分析】

结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用坐标表示考点圆的方程，与椭圆方程联立可进一步求解.利用焦半径及三角形中位线定理，则更为简洁.

【详解】方法1：由题意可知||=|2

OF OM|=c=，

由中位线定理可得

2||4

PF OM

==，设(,)

P x y可得22

(2)16

x y

-+=，

联立方程

x y

可解得

321

x x

=-=（舍），点P在椭圆上且在x轴的上方，

求得

315

，所以

215

k==

方法2：焦半径公式应用

解析1：由题意可知|2

OF|=|OM|=c=，

由中位线定理可得

2||4

PF OM

==，即

p p

a ex x

-=?=-

求得315,2P ??- ? ???

，所以15

21512

k ==.

【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与圆的位置关系，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径.

（2019浙江）21.如图，已知点(1

0)F ，为抛物线22(0)y px p =>，点F 为焦点，过点F 的直线交抛物线于,A B 两点，点C 在抛物线上，使得V ABC 的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 右侧.记

,AFG CQG △△的面积为12,S S .

（1）求p 的值及抛物线的标准方程；

（2）求1

S S 的最小值及此时点G 的坐标.

【答案】（1）1，1x =-；（2）3

+，()2,0G . 【解析】【分析】

(1)由焦点坐标确定p 的值和准线方程即可；

(2)设出直线方程，联立直线方程和抛物线方程，结合韦达定理求得面积的表达式，最后结合均值不等式的结论

即可求得1

S S 的最小值和点G 的坐标.

【详解】(1)由题意可得

=，则2,24p p ==，抛物线方程为24y x =，准线方程为1x =-. (2)设()()1122,,,A x y B x y ，

设直线AB 的方程为()1,0y k x k =->，与抛物线方程2

4y x =联立可得：

()2222240k x k x k -++=，故：22222

2,1k x x x x +=+=， ()(

)()

121212124

2,444y y k x x y y x x k

+=+-==-

=-，

设点C 的坐标为()33,C x y ，由重心坐标公式可得：

1233G x x x x ++=

321423x k ??++ ?=??，1233G y y y y ++=3143y k =??

+ ???

，

令0G y =可得：34y k =-，则2

3324

4y x k

==.即222144123382G k x k k ????+++ ? ????=?=，

由斜率公式可得：

13132

23113134

AC y y y y k y y x x y y --=

==-+-，

直线AC 的方程为：()3313

y y x x y y -=

-+，

令0y =可得：()()2

31331331334444

Q y y y y y y y y y

x x -+-+=+=+=-，

故()11112218121323118223G F y S x x y y k k ??

????+-?=?- ?=

?-? ??????=????，且()()32213311822423Q G y y y S x x y k ??+ ?????=

?-?-=---????，由于34

y k

，代入上式可得：12222833y S k k k ??=-- ???，

由12124,4y y y y k

+==-可得1144y y k -=，则12144y k y =-，

则

()()()2211122121112281233222284433y y S y S y y k k k y k -==??-+--??

?- ?

??()

212142488168y y =--++-

21≥=+

当且仅当2

14888

y -=

-，即2

y =+

此时12144y k y =

=-，281223G x k ??

+= ???

=，则点G 的坐标为()2,0G . 【点睛】直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系，本题主要考查了抛物线准线方程的求解，直线与抛物线的位置关系，三角形重心公式的应用，基本不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

2020高考数学圆锥曲线试题(含答案)

2020高考虽然延期，但是每天练习一定要跟上，加油！圆锥曲线一．选择题： 1.（福建卷11)又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、 F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （4 1 ，－1） B. （4 1，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④ 1 1 c a ＜2 2 c a . 其中正确式子的序号是B

A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.（湖南卷8）若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32 a 的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞) 5.（江西卷7）已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ?=u u u u r u u u u r 的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是C A ．(0,1) B ．1 (0,]2 C ．(0, 2 D ．,1)2 6.（辽宁卷10）已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ A ） A B ．3 C D ．92 7.（全国二9）设1a >，则双曲线22 22 1(1)x y a a - =+的离心率e 的取值范围是（ B ） A ． B ． C ．(25)， D ．(2 8.（山东卷(10)设椭圆C 1的离心率为 13 5 ，焦点在X 轴上且长轴长为 A B C D -

历年圆锥曲线高考题附答案

数学圆锥曲线高考题选讲一、选择题： 1. （2006全国II ）已知双曲线x 2a 2－y 2b 2 ＝1的一条渐近线方程为y ＝4 3x ，则双曲线的离心率为（）（A ）53 (B )43 (C )54 (D )32 2. （2006全国II ）已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 2 3＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是（）（A ）2 3 （B ）6 （C ）4 3 （D ）12 3.（2006全国卷I ）抛物线2 y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是（） A ． 43 B ．7 5 C ．85 D ．3 4．（2006广东高考卷）已知双曲线2239x y -=，则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于（） A.2 B. 22 3 C. 2 D. 4 5.（2006辽宁卷）方程22520x x -+=的两个根可分别作为（）Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率Ｂ．两抛物线的离心率Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率Ｄ．两椭圆的离心率 6.（2006辽宁卷）曲线 22 1(6)106x y m m m +=<--与曲线221(59)59x y m m m +=<<--的（） (A)焦距相等 (B) 离心率相等 (C)焦点相同 (D)准线相同 7．（2006安徽高考卷）若抛物线2 2y px =的焦点与椭圆22 162 x y +=的右焦点重合，则p 的值为（） A ．2- B ．2 C ．4- D ．4 8.（2006辽宁卷）直线2y k =与曲线2222 918k x y k x += (,)k R ∈≠且k 0的公共点的个数为（） (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 二、填空题： 9. （2006全国卷I ）双曲线2 2 1mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m = 。 10. (2006上海卷)已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为(3,0)F -,右顶点为(2,0)D ,设点11, 2A ?? ??? ，则求该椭圆的标准方程为。 11. (20XX 年高考全国新课标卷理科14) 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在 x 轴上，离心率为 2 2 。过l 的直线交于,A B 两点，且2ABF 的周长为16，那么C 的方程为。

2019年高考试题汇编理科数学--圆锥曲线

(2019全国1)10.已知椭圆C 的焦点为)0,1(1-F ，)0,1(2F ，过2F 的直线与C 交于A ，B 两点.若||2||22B F AF =， ||||1BF AB =，则C 的方程为（） A.1222=+y x B. 12322=+y x C.13422=+y x D.14 522=+y x 答案： B 解答：由椭圆C 的焦点为)0,1(1-F ，)0,1(2F 可知1=c ，又Θ||2||22B F AF =，||||1BF AB =，可设m BF =||2，则 m AF 2||2=，m AB BF 3||||1==，根据椭圆的定义可知a m m BF BF 23||||21=+=+，得a m 2 1 = ，所以a BF 21||2=，a AF =||2，可知),0(b A -，根据相似可得)21,23(b B 代入椭圆的标准方程122 22=+b y a x ，得32=a ， 22 22=-=c a b ，∴椭圆C 的方程为12 32 2=+ y x . (2019全国1)16.已知双曲线C:22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线与C 的两条渐近线分别交于,A B 两点.若112,0F A AB F B F B =?=u u u r u u u r u u u r u u u r ，则C 的离心率为 . 答案： 2 解答：由112,0F A AB F B F B =?=u u u r u u u r u u u r u u u r 知A 是1BF 的中点，12F B F B ⊥uuu r uuu r ，又O 是12,F F 的中点，所以OA 为中位线且1OA BF ⊥，所以1OB OF =，因此1FOA BOA ∠=∠，又根据两渐近线对称，12FOA F OB ∠=∠，所以260F OB ∠=?，221()1tan 602b e a =+=+?=.

(完整版)高考圆锥曲线经典真题

高考圆锥曲线经典真题知识整合：直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次”，有利于选拔的功能. 1.（江西卷15）过抛物线22(0)x py p =>的焦点F 作倾角为30o 的直线，与抛物线分别交于A 、B 两点（A 在y 轴左侧），则 AF FB = ．1 3 2 (2008年安徽卷)若过点A(4,0)的直线l 与曲线 22 (2)1x y -+=有公共点,则直线l 的斜率的取值范围为 ( ) A. [3,3] B. (3,3) C. 33[33- D. 33 (,33- 3(2008年海南---宁夏卷)设双曲线22 1916x y -=的右顶点为A,右焦点为F,过点F 平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,则三角形AFB 的面积为-___________. 热点考点探究：考点一：直线与曲线交点问题例1.已知双曲线C ：2x2－y2=2与点P(1，2) (1)求过P(1，2)点的直线l 的斜率取值范围，使l 与C 分别有一个交点，两个交点，没有交点. 解：(1)当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x=1,与曲线C 有一个交点.当l

的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2=k(x －1),代入C 的方程，并整理得 (2－k2)x2+2(k2－2k)x －k2+4k －6=0 (*) (ⅰ)当2－k2=0,即k=± 2 时，方程(*)有一个根，l 与C 有一个交点 (ⅱ)当2－k2≠0,即k ≠±2 时 Δ=［2(k2－2k)］2－4(2－k2)(－k2+4k －6)=16(3－2k) ①当Δ=0,即 3－2k=0,k=23 时，方程(*)有一个实根，l 与C 有一个交点. ②当Δ＞0,即k ＜23 ,又 k ≠± 2 ,故当k ＜－ 2 或－2 ＜k ＜ 2 或 2＜k ＜2 3 时，方程(*)有两不等实根，l 与C 有两个交点. ③当Δ＜0，即 k ＞23 时，方程(*)无解，l 与C 无交点. 综上知：当k=±2,或k=23 ，或 k 不存在时，l 与C 只有一个交点；当2＜k ＜23 ,或－2＜k ＜2,或k ＜－ 2 时，l 与C 有两个交点；当 k ＞23 时，l 与C 没有交点. (2)假设以Q 为中点的弦存在，设为AB ，且A(x1,y1),B(x2,y2)，则2x12－y12=2,2x22－y22=2两式相减得：2(x1－x2)(x1+x2)=(y1－y2)(y1+y2) 又∵x1+x2=2,y1+y2=2 ∴2(x1－x2)=y1－y1 即kAB= 2 121x x y y --=2 但渐近线斜率为±2,结合图形知直线 AB 与C 无交点，所以假设不正确，即以 Q 为中点的弦不存在.

历年高考数学圆锥曲线试题汇总

高考数学试题分类详解——圆锥曲线一、选择题 1.设双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线y=x 2 +1相切，则该双曲线的离心率等于( C ) （A （B ）2 （C （D 2.已知椭圆2 2:12 x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B ，若3F A F B =,则||AF = (A). (B). 2 (D). 3 3.过双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C ．若1 2 AB BC =，则双曲线的离心率是 ( ) A B C D 4.已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF x ⊥轴，直线AB 交y 轴于点P ．若2AP PB =，则椭圆的离心率是（） A B ．2 C ．13 D ．12 5.点P 在直线:1l y x =-上，若存在过P 的直线交抛物线2 y x =于,A B 两点，且 |||PA AB =，则称点P 为“ 点”，那么下列结论中正确的是（） A ．直线l 上的所有点都是“点” B ．直线l 上仅有有限个点是“点” C ．直线l 上的所有点都不是“ 点” D ．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点）是“ 点” 6.设双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线与抛物线y=x 2 +1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为 ( ). A. 4 5 B. 5 C. 25 D.5 7.设斜率为2的直线l 过抛物线2 (0)y ax a =≠的焦点F,且和y 轴交于点A,若△OAF(O 为坐标原点)

最新全国高考(理科)数学试题分类汇编：圆锥曲线

全国高考理科数学试题分类汇编9：圆锥曲线一、选择题 1 （高考江西卷（理））过点引直线l 与曲线y A,B 两点,O 为坐标原点,当?AOB 的面积取最大值时,直线l 的斜率等于（） A ．y E B B C CD =+ +3 B ．3 C ．3 ± D ． B 2 （福建数学（理）试题）双曲线2 214 x y -=的顶点到其渐近线的距离等于（） A ． 25 B ． 45 C D C 3 （广东省数学（理）卷）已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于3 2, 在双曲线C 的方程是（） A ．2214x = B ．221 45x y -= C ．22 125x y -= D ．22 12x =*B 4 （高考新课标1（理））已知双曲线C :22221x y a b -=(0,0a b >>) 则C 的渐近线方程为（） A ．1 4y x =± B ．13 y x =± C ．12 y x =± D ．y x =±*C 5 （高考湖北卷（理））已知04 π θ<<,则双曲线22 122: 1cos sin x y C θθ-=与22 2222 :1sin sin tan y x C θθθ -=的（） A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等 C ．焦距相等 D ．离心率相等*D 6 （高考四川卷（理））抛物线2 4y x =的焦点到双曲线2 2 13 y x -=的渐近线的距离是（）

A ． 12 B C ．1 D B 7 （浙江数学（理）试题）如图,21,F F 是椭圆14 :22 1=+y x C 与双曲线2C 的公共焦点,B A ,分别是1C ,2C 在第二、四象限的公共点.若四边形21BF AF 为矩形,则2C 的离心率是（） A ．2 B ．3 C ． 2 3 D ． 2 6 *D 8 （天津数学（理）试题）已知双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线与抛物线 22(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △ AOB 则p = （） A ．1 B ． 3 2 C ．2 D ．3*C 9 （大纲版数学（理））椭圆22 :143 x y C +=的左、右顶点分别为12,A A ,点P 在C 上且直线2PA 的斜率的取值范围是[]2,1--,那么直线1PA 斜率的取值范围是（） A ．1324 ?????? ， B ．3384 ?????? ， C ．112?? ???? ， D ．314?? ???? ，*B 10（大纲版数学（理））已知抛物线2 :8C y x =与点()2,2M -,过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于,A B 两点,若0MA MB =,则k = （） A ． 1 2 B ． 2 C D ．2*D 11（高考北京卷（理））若双曲线22 221x y a b -=,则其渐近线方程为（）

高考数学圆锥曲线历年高考真题

浙江省高考数学圆锥曲线真题 22 04. 若椭圆 x 2 y 2 ab 1（a > b > 0）的左、右焦点分别为 F 1、F 2, 线段 F 1F 2被抛物线 y 2=2 bx 的焦点分成 5∶ 3的两段 , 则此椭圆的离心率为 16 (A) 1167 05．过双曲线 2 x 2 a 4 17 (B) 17 2 b y 2 1(a b 4 (C)45 (D) 255 5 0,b 0）的左焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线相交于 M 、 N 两点 , 以 MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点则双曲线的离心率等于 07. 已知双曲线 2 x 2 a 2 y 2 1(a 0,b b 2 0）的左、右焦点分别为 F 1,F 2, P 是准线上一点 , PF 1 PF 2,|PF 1| |PF 2| 4ab , 则双曲线的离心率是 B ） 3 （C ） 2 （D ） 3 △ ABP 的面积为定则动点 P 的轨迹是A ．圆 B ．椭圆 C ．一条直线 D ．两条平行直线 09. 2 x 过双曲线 2 a 2 y b 2 1(a 0,b 0）的右顶点条渐近线的交点分别为 B,C uuur ．若 AB 1 uuur BC , 2 A ． 2 B ．3 C 08．如图 , AB 是平面的斜．线．段．） B A P 第 10 题） A 作斜率为 1的直线 , 该直线与双曲线的两则双曲线的离心率是 ( ) ．5 D ． 10 A 为斜足 , 若点 P 在平面内运动 , 使得点 A （0,2）。若线段 FA 的中点 B 在抛物线上 2 10. （13）设抛物线 y 2 2px （p 0）的焦点为 F, 则 B 到该抛物线准线的距离为近线与以 C 1 的长轴为直径的圆相交于 A, B 两点 ( ) 13 2 B ． a 2＝ 13 1 D ． A ．a 2＝ C ．b 2＝ b 2＝2 2 2 2 11. 设 F 1, F 2分别为椭圆 x 2 3 y 2 1的左、右焦点 22 x y 2 11. 已知椭圆 C 1： 2 2 =1 (a > b > 0)与双曲线 C 2： x 2 ab 则点 A 的坐标是 _______ 2 y 1有公共的焦点 , C 2 的一条渐 4 若 C 1 恰好将线段 AB 三等分 , 则 uuur uuuur 点 A, B 在椭圆上．若 F 1A 5F 2B ,

高中数学圆锥曲线知识点总结

高中数学知识点大全—圆锥曲线一、考点（限考）概要： 1、椭圆：（1）轨迹定义： ①定义一：在平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆，两定点是焦点，两定点间距离是焦距，且定长2a大于焦距2c。用集合表示为：； ②定义二：在平面内到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆。其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数e是离心率。用集合表示为：；（2）标准方程和性质：

注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。（3）参数方程：（θ为参数）； 3、双曲线：（1）轨迹定义： ①定义一：在平面内到两定点的距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹是双曲线，两定点是焦点，两定点间距离是焦距。用集合表示为： ②定义二：到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做双曲线。其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数e是离心率。用集合表示为：

（2）标准方程和性质：注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。

4、抛物线：（1）轨迹定义：在平面内到定点和定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线，定点是焦点，定直线是准线，定点与定直线间的距离叫焦参数p。用集合表示为：（2）标准方程和性质： ①焦点坐标的符号与方程符号一致，与准线方程的符号相反； ②标准方程中一次项的字母与对称轴和准线方程的字母一

致； ③标准方程的顶点在原点，对称轴是坐标轴，有别于一元二次函数的图像；二、复习点睛： 1、平面解析几何的知识结构： 2、椭圆各参数间的关系请记熟“六点六线，一个三角形”，即六点：四个顶点，两个焦点；六线：两条准线，长轴短轴，焦点线和垂线PQ；三角形：焦点三角形。则椭圆的各性质（除切线外）均可在这个图中找到。

圆锥曲线历年高考题附答案解析

数学圆锥曲线测试高考题一、选择题： 1. （2006全国II ）已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2 ＝1的一条渐近线方程为y ＝43x ，则双曲线的离心率为（）（A ）53 (B )43 (C )54 (D )32 2. （2006全国II ）已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆 x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是（）（A ）2 3 （B ）6 （C ）4 3 （D ）12 3.（2006全国卷I ）抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是（） A ．43 B ．75 C ．85 D ．3 4．（2006高考卷）已知双曲线2239x y -=，则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于（） B. C. 2 D. 4 5.（2006卷）方程22520x x -+=的两个根可分别作为（）Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率Ｂ．两抛物线的离心率Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率Ｄ．两椭圆的离心率 6.（2006卷）曲线221(6)106x y m m m +=<--与曲线22 1(59)59x y m m m +=<<--的（） (A)焦距相等 (B) 离心率相等 (C)焦点相同 (D)准线相同 7．（2006高考卷）若抛物线2 2y px =的焦点与椭圆22 162x y +=的右焦点重合，则p 的值为（） A ．2- B ．2 C ．4- D ．4 8.（2006卷）直线2y k =与曲线2222 918k x y k x += (,)k R ∈≠且k 0的公共点的个数为（） (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 二、填空题： 9. （2006全国卷I ）双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m = 。 10. (2006卷)已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为(F ,右顶点为(2,0)D ,设

2013高考试题分类汇编(理科)：圆锥曲线

2013年全国高考理科数学试题分类汇编9：圆锥曲线一、选择题 1 ．引直线l 与曲线y =A,B 两点,O 为坐标原点,当?AOB 的面积取最大值时,直线l 的斜率等于（） A ． 3 B ．3 - C ．3 ± D ．2 ．双曲线2 214 x y -=的顶点到其渐近线的距离等于（） A ． 25 B ． 45 C D 3 ．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于3 2 ,在双曲线C 的方程是（） A ．22 14x = B ．22145x y - = C ． 22 125 x y -= D ．22 12x -= 4 ．已知双曲线C :22221x y a b -=(0,0a b >>) ,则C 的渐近线方程为（） A ．14 y x =± B ．13 y x =± C ．12 y x =± D ．y x =± 5 ．已知04π θ<<,则双曲线22122:1cos sin x y C θθ-=与22 2222 :1sin sin tan y x C θθθ -=的（） A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等 C ．焦距相等 D ．离心率相等 6 ．抛物线2 4y x =的焦点到双曲线2 2 13 y x -=的渐近线的距离是（） A ．12 B C ．1 D 7 ．如图,21,F F 是椭圆14 :22 1=+y x C 与双曲线2C 的公共焦点,B A ,分别是1C ,2C 在第二、四象限的公共点.若四边形21BF AF 为矩形,则2C 的离心率是（） A ．2 B ．3 C ． 2 3 D ． 2 6 8 ．已知双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB 则p =（） A ．1 B ． 3 2 C ．2 D ．3 9 ．椭圆22 :143 x y C +=的左、右顶点分别为12,A A ,点P 在C 上且直线2PA 的斜率的取值范围是[]2,1--,那么直线1PA 斜率的取值范围是（） A ．1324 ?????? ， B ．3384 ?????? ， C ．112?? ???? ， D ．314?? ???? ， 10．已知抛物线2:8C y x =与点()2,2M -,过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于,A B 两点,若 0MA MB =uuu r uuu r g ,则k =（） A ． 12 B C D ．2 11．若双曲线22 221x y a b -= 则其渐近线方程为（） A ．y =±2x B ．y = C ．12 y x =± D ．2 y x =±

2020年高考理科数学原创专题卷：《圆锥曲线与方程》

原创理科数学专题卷专题圆锥曲线与方程考点40：椭圆及其性质(1-5题，13,14题) 考点41：双曲线及其性质（6-10题，15题）考点42：抛物线及其性质（11,12题）考点43：直线与圆锥曲线的位置关系（17-22题）考点44：圆锥曲线的综合问题（16题，17-22题）考试时间：120分钟满分：150分说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上第I 卷（选择题）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．【来源】2017届湖南省长沙市高三上学期统一模拟考试考点40 易椭圆E 的焦点在x 轴上，中心在原点，其短轴上的两个顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点，则椭圆E 的标准方程为（） A. 2212x += B. 22 12x y += C. 22142x y += D. 22142y x += 2．【2017课标3，理10】考点40 易已知椭圆C ：22 2 21x y a b +=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（） A ． B ． C ． D ．13 3．【来源】重庆市第一中学2016-2017学年高二月考考点40 中难已知椭圆 2 21(0)1 x y m m +=>+的两个焦点是12,F F ， E 是直线2y x =+与椭圆的一个公共点，当12EF EF +取得最小值时椭圆的离心率为（） A. 2 3 4．【来源】湖南省湘潭市2017第三次高考模拟考点40 难如图， 12,A A 为椭圆22 195 x y +=长轴的左、右端点， O 为坐标原点， ,,S Q T 为椭圆上不同于12,A A 的三点，直线12,,,QA QA OS OT 围成一个平行四边形OPQR ，则

圆锥曲线高考真题

圆锥曲线高考真题 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

（1）求M 的方程（2）C ，D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 的面积最大值. 2.设1F ,2F 分别是椭圆()222210y x a b a b +=>>的左右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N. （1）若直线MN 的斜率为34 ，求C 的离心率；（2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求a,b . 3.已知椭圆C ：，直线不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M . (1) 证明：直线OM 的斜率与的斜率的乘积为定值；（2）若过点（）,延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否平行四边行若能，求此时的斜率，若不能，说明理由. 4.已知抛物线C ：22y x = 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点. （1）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；（2）若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程. 5.已知抛物线C ：y 2=2x ，过点（2,0）的直线l 交C 与A ,B 两点，圆M 是以线段 AB 为直径的圆．（1）证明：坐标原点O 在圆M 上；

（2）设圆M 过点P （4，-2），求直线l 与圆M 的方程． 6.已知斜率为k 的直线l 与椭圆22 143 x y C +=：交于A ，B 两点，线段AB 的中点为 ()()10M m m >，．（1）证明：1 2 k <-；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP FA FB ++=0．证明：FA ， FP ，FB 成等差数列，并求该数列的公差． 7.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>> ，且经过点(0,1)，圆 22221:C x y a b +=+。（1）求椭圆C 的方程；（2）直线:(0)l y km m k =+≠与椭圆C 有且只有一个公共点M ，且l 与圆1C 相交于,A B 两点，问是否存在这样的直线l ，使得AM MB =若存在，求出l 的方程，若不存在，请说明理由。 8.已知椭圆1C 的中心和抛物线2C 的顶点都在坐标原点O ，1C 和2C 有公共焦点 F ，点F 在x 轴正半轴上，且1C 的长轴长、短轴长及点F 到1C 右准线的距离成等比数列。（1）当2C 的准线与1C 的右准线间的距离为15时，求1C 及2C 的方程；（2）设过点F 且斜率为1的直线l 交1C 于P,Q 两点，交2C 于M,N 两点。当 36 7 PQ =时，求MN 的值。 9.如图，椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的一个焦点是F （1，0），O 为坐标原点．（1）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；（2）设过点F 的直线l 交椭圆于A ，B 222 OA OB AB +<，求a 的取值范围． 10.设椭圆中心在坐标原点，(20)(01)A B ，，，)0(>k kx 与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点．

高中数学圆锥曲线解题技巧总结

高中数学圆锥曲线解题技巧总结 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

解圆锥曲线问题的常用方法大全 1、定义法（1）椭圆有两种定义。第一定义中，r 1+r 2=2a 。第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。（2）双曲线有两种定义。第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将半径与“点到准线距离”互相转化。（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。 2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。 3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：（1）)0(122 22>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有 020 20=+k b y a x 。（2）)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02 020 =-k b y a x （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. 【典型例题】例1、(1)抛物线C:y 2=4x 上一点P 到点A(3,42)与到准线的距离和最小,则点 P 的坐标为______________ (2)抛物线C: y 2=4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 分析：（1）A 在抛物线外，如图，连PF ，则PF PH =现，当A 、P 、F 三点共线时，距离和最小。

高考数学圆锥曲线及解题技巧

椭圆与双曲线的性质椭圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122 tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则2 2OM AB b k k a ?=-，即020 2y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+. 双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）

高考数学真题分类汇编专题圆锥曲线理科及答案

专题九圆锥曲线 1.【2015高考福建，理3】若双曲线22 :1916 x y E -= 的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线E 上，且13PF =，则2PF 等于（） A ．11 B ．9 C ．5 D ．3 【答案】B 【解析】由双曲线定义得1226PF PF a -==，即236PF -=，解得29PF =，故选B ．【考点定位】双曲线的标准方程和定义．【名师点睛】本题考查了双曲线的定义和标准方程，利用双曲线的定义列方程求解，属于基础题，注意运算的准确性． 2.【2015高考四川，理5】过双曲线22 13 y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则AB =（） (C)6 （D ）【答案】D 【解析】双曲线的右焦点为(2,0)F ，过F 与x 轴垂直的直线为2x =，渐近线方程为2 2 03 y x -=，将 2x =代入2 2 03 y x -=得：212,||y y AB ==±∴=.选D. 【考点定位】双曲线. 【名师点睛】双曲线22221x y a b -=的渐近线方程为22 220x y a b -=，将直线2x =代入这个渐近线方程，便可得交点A 、B 的纵坐标，从而快速得出||AB 的值. 3.【2015高考广东，理7】已知双曲线C ：12222=-b y a x 的离心率5 4 e =，且其右焦点()25,0F ，则双曲线C 的方程为（） A ．13422=-y x B. 191622=-y x C. 116922=-y x D. 14 32 2=-y x

【答案】B ．【解析】因为所求双曲线的右焦点为()25,0F 且离心率为5 4 c e a = =，所以5c =，4a =，2 2 2 9b c a =-=所以所求双曲线方程为22 1169 x y - =，故选B ．【考点定位】双曲线的标准方程及其简单几何性质．【名师点睛】本题主要考查学生利用双曲线的简单几何性质求双曲线的标准方程和运算求解能力，由离心率和其右焦点易得a ，c 值，再结合双曲线222b c a =-可求，此题学生易忽略右焦点信息而做错，属于容易题． 4.【2015高考新课标1，理5】已知M （00,x y ）是双曲线C ：2 212 x y -=上的一点，12,F F 是 C 上的两个焦点，若120MF MF ?<，则0y 的取值范围是( ) （A ）（- 33，3 3 ）（B ）（- 36，3 6 ）（C ）（223-，223）（D ）（233-，23 3 ）【答案】A 【考点定位】双曲线的标准方程；向量数量积坐标表示；一元二次不等式解法. 【名师点睛】本题考查利用向量数量积的坐标形式将12MF MF ?表示为关于点M 坐标的函数，利用点M 在双曲线上，消去x 0，根据题意化为关于0y 的不等式，即可解出0y 的范围，是基础题，将12MF MF ?表示为0y 的函数是解本题的关键. 5.【2015高考湖北，理8】将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（） A ．对任意的,a b ，12e e > B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e < C ．对任意的,a b ，12e e < D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e > 【答案】D 【解析】依题意，2 221)(1a b a b a e +=+=，2222)(1)()(m a m b m a m b m a e +++=++++=，

全国卷高考数学圆锥曲线大题集大全

高考二轮复习专项：圆锥曲线大题集 1. 如图，直线l 1与l 2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是A ，点B 、D 在直线l 1上 (B 、D 位于点A 右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M 是该平面上的一个动点，M 在l 1上的射影点是N ，且|BN|=2|DM|. (Ⅰ) 建立适当的坐标系，求动点M 的轨迹C 的方程． (Ⅱ)过点D 且不与l 1、l 2垂直的直线l 交(Ⅰ)中的轨迹C 于E 、F 两点；另外平面上的点G 、H 满足： ①(R);AG AD λλ=∈②2;GE GF GH +=③0.GH EF ?= 求点G 的横坐标的取值范围． 2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在x 轴上，离心率23 = e ，已知点)3,0(P 到这个椭圆上的点的最远距离是4，求这个椭圆的方程. 3. 已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的一条准线方程是 , 425=x 其左、右顶点分别 B A D M B N l 2 l 1

是A、B；双曲线 1 : 2 2 2 2 2 = - b y a x C 的一条渐近线方程为3x－5y=0. （Ⅰ）求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率；（Ⅱ）在第一象限内取双曲线C2上一点P，连结AP交椭圆C1于点M，连结PB并延长交椭圆C1于点N，若MP AM=. 求证：.0 = ?AB MN 4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F（c,0）到相应准线的距离为1，倾斜角为45°的直线交椭圆于A，B两点.设AB中点为M，直线AB与OM的夹角为αa. （1）用半焦距c表示椭圆的方程及tanα; （2）若2

圆锥曲线高考真题浙江卷(原卷版)-2021年高考数学圆锥曲线中必考知识专练

专题21：圆锥曲线高考真题浙江卷（原卷版）一、单选题 1．渐近线方程为0x y ±=的双曲线的离心率是（） A ．22 B ．1 C ．2 D ．2 2．已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|PA |–|PB |=2，且P 为函数y =2 34x -图像上的点，则|OP |=（） A ．222 B ．4105 C ．7 D ．10 3．椭圆2x 9+2 y 4 =1的离心率是（） A ．13 B ．5 C ．23 D ．59 4．双曲线2 21 3 x y -=的焦点坐标是（） A ．()2,0-，()2,0 B ．()2,0-，()2,0 C ．()0,2-，() 0,2 D ．()0,2-，()0,2 5．如图，设抛物线24y x =的焦点为 F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ， B ，C ，其中点 A ，B 在抛物线上，点 C 在y 轴上，则 BCF ?与ACF ?的面积之比是（）

A ．11BF AF -- B ．2211BF AF -- C ．11BF AF ++ D ．2211BF AF ++ 6．双曲线2 214 y x -=的焦距是（） A ．3 B ．23 C ．5 D ．25 【答案】D 7．双曲线2221y x -=的一个顶点坐标是（） A ．( 2，0) B ．( －22，0) C ．(0，2) D ．(0 ，22 ) 8．已知双曲线22 22:1x y C a a -=，则C 的离心率是（） A ．5 B ．2 C ．2 D ．5 9．已知(1,3)P 是双曲线22 22:1(0,0)x y C a b a b -=>>渐近线上的点，则双曲线C 的离心率是（） A ．2 B ．2 C ．5 D ．5 二、双空题 10．设直线:(0)l y kx b k =+>与圆221x y +=和圆22(4)1x y -+=均相切，则k =_______；b =______．三、解答题 11．如图，已知点(1 0)F ，为抛物线22(0)y px p =>的焦点，过点F 的直线交抛物线于,A B 两点，点C 在抛物线上，使得ABC 的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 右侧.记,AFG CQG △△的面积为12,S S .