高考理科圆锥曲线大题

高考理科圆锥曲线大题
高考理科圆锥曲线大题

1. (新课标Ⅰ理数)设圆222150x y x ++-=的圆心为A ,直线l 过点1,0B ()且与x 轴不重合,l 交圆A 于C D ,两点,过B 作AC 的平行线交AD 于点E . (I )证明EA EB +为定值,并写出点E 的轨迹方程;

(II )设点E 的轨迹为曲线1C ,直线l 交1C 于,M N 两点,过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于,P Q 两点,求四边形MPNQ 面积的取值范围.

2. (新课标Ⅱ理数)已知椭圆E :22

13

x y t +=的焦点在x 轴上,A 是E 的左顶点,斜率

为()0k k >的直线交E 于,A M 两点,点N 在E 上,MA NA ⊥. (I)当4t =,AM AN =时,求△AMN 的面积; (II)当2AM AN =时,求k 的取值范围.

3. (新课标Ⅲ理数)已知抛物线C :

22y x =的焦点为F ,平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于A B ,两点,交C 的准线于P Q ,两点.

(I )若F 在线段AB 上,R 是PQ 的中点,证明AR FQ P ;

(II )若PQF △的面积是ABF △的面积的两倍,求AB 中点的轨迹方程.

4. (2016年北京理数)已知椭圆C :22221x y a b +=a b 0>>()

A a,0,()()

B 0,b ,O 00(,),OAB △的面积为

1.

(I )求椭圆C 的方程;

(II )设P 是椭圆C 上一点,直线PA 与y 轴交于点M ,直线PB 与x 轴交于点N 。 求证:AN BM g 为定值。

5. (2016年江苏理数)如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知以M 为圆心的圆

:M 22

1214600x y x y +--+=及其上一点(24)A ,

(1) 设圆N 与x 轴相切,与圆M 外切,且圆心N 在直线6x =上,求圆N 的标准方程; (2)

设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B C 、两点,且BC OA =,求直线l 的方程;

(3)

设点,0T t ()

满足:存在圆M 上的两点P 和Q ,使得,TA TP TQ +=u u r u u r u u u r

,求实数t 的取值范围。

6. (2016年山东理数)平面直角坐标系xOy 中,椭圆C :()22

2210x y a b a b

+=>>的离心率

2

,抛物线E :22x y =的焦点F 是C 的一个顶点。 (I )求椭圆C 的方程;

(II )设P 是E 上的动点,且位于第一象限,E 在点P 处的切线l 与C 交与不同的两点A B ,,

线段AB 的中点为D ,直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M . (i )求证:点M 在定直线上;

(ii )直线l 与y 轴交于点G ,记PFG ?的面积为1S ,PDM ?的面积为2S ,求1

2

S S 的最大值及取得最大值时点P 的坐标.

7. (2016年上海理数)双曲线2

2

21(0)y x b b

-=>的左、右焦点分别为12F F 、,直线l 过2

F 且与双曲线交于A B 、两点。

(1)若l 的倾斜角为2

π,1F AB ?是等边三角形,求双曲线的渐近线方程;

(2

)设b =l 的斜率存在,且11()0F A F B AB +?=u u u r u u u r u u u r

,求l 的斜率.

8. (2016

年四川理数)已知椭圆()22

22

10x y E a b a b +=>>:

的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点,直线:3l y x =-+与椭圆E 有且只有一个公共点.T (I )求椭圆E 的方程及点T 的坐标;

(II )设O 是坐标原点,直线'l 平行于,OT 与椭圆E 交于不同的两点A B 、,且与直线l 交于点.P 证明:存在常数λ,使得2

PT

PA PB

λ=g ,并求λ的值.

9. (2016年天津理数)设椭圆13

2

22=+y a x )3(>a 的右焦点为F ,右顶点为A .已知

FA

e

OA OF 311=

+,其中O 为原点,e 为椭圆的离心率.学.科.网

(Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)设过点A 的直线l 与椭圆交于点B (B 不在x 轴上),垂直于l 的直线与l 交于点M ,与y 轴交于点H .若HF BF ⊥,且MOA ∠≤MAO ∠,求直线l 的斜率的取值范 围. 10.

(2016年浙江理数)如图,设椭圆2

221(1)x y a a

+=>

(Ⅰ)求直线1y kx =+被椭圆截得到的弦长(用a,k 表示)

(Ⅱ)若任意以点(0,1)A 为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点,求椭圆离心率的取值范围.

答案

1. 因为||||AC AD =,AC EB //,故ADC ACD EBD ∠=∠=∠, 所以||||ED EB =,故||||||||||AD ED EA EB EA =+=+.

又圆A 的标准方程为16)1(22=++y x ,从而4||=AD ,所以4||||=+EB EA . 由题设得)0,1(-A ,)0,1(B ,2||=AB ,由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为:

13

42

2=+y x (0≠y ). (Ⅱ)当l 与x 轴不垂直时,设l 的方程为)0)(1(≠-=k x k y ,),(11y x M ,),(22y x N .

由?????=+-=134

)1(2

2y x x k y 得01248)34(2222=-+-+k x k x k . 则3482221+=+k k x x ,3412

42221+-=k k x x .

所以3

4)

1(12||1||22212

++=-+=k k x x k MN .

过点)0,1(B 且与l 垂直的直线m :)1(1

--=x k

y ,A 到m 的距离为

1

22

+k ,所以

13

44)1

2

(42||222

22

++=+-=k k k PQ .故四边形MPNQ 的面积

3

41112||||212++==

k PQ MN S . 可得当l 与x 轴不垂直时,四边形MPNQ

面积的取值范围为.

当l 与x 轴垂直时,其方程为1=x ,3||=MN ,8||=PQ ,四边形MPNQ 的面积为12. 综上,四边形MPNQ 面积的取值范围为)38,12[. 2. 【答案】(Ⅰ)144

49

;(Ⅱ

))

2.

【解析】

试题分析:(Ⅰ)先求直线AM 的方程,再求点M 的纵坐标,最后求AMN ?的面积;(Ⅱ)设()11,M x y ,,将直线AM 的方程与椭圆方程组成方程组,消去y ,用k 表示1x ,从而表示||AM ,同理用k 表示||AN ,再由2AM AN =求k .

试题解析:(I)设()11,M x y ,则由题意知10y >,当4t =时,E 的方程为22

143

x y +

=,()2,0A -. 由已知及椭圆的对称性知,直线AM 的倾斜角为4

π

.因此直线AM 的方程为2y x =+.

将2x y =-代入22143x y +=得27120y y -=.解得0y =或127y =,所以112

7

y =.

因此AMN ?的面积AMN S ?11212144

227749

=??

?=

. (II)由题意3t >,0k >

,()A .

将直线AM

的方程(y k x =+代入22

13

x y t +=得(

)22222330tk x tk x t k t +++-=.

由(221233t k t

x tk -?=+

得)

212

33tk x tk

-=+

,故

1AM x =+=

由题设,直线AN 的方程为(1

y x k

=-+

,故同理可得AN ==,

由2AM AN =得22

233k

tk k t

=++,即()()32321k t k k -

=-. 当k =

因此()33212k k t k -=-.3t >等价于()()

2

323321

32022

k k k k k k k -+-+-=<--,

3202k k -<-.由此得32020k k ->??-

2020

k k -?

2k <. 因此k

的取值范围是)2.

3. 解:由题设)0,2

1

(F .设b y l a y l ==:,:21,则0≠ab ,且

22111(,),(,),(,),(,),(,)222222

a b a b A a B b P a Q b R +---. 记过B A ,两点的直线为l ,则l 的方程为0)(2=++-ab y b a x ......3分 (Ⅰ)由于F 在线段AB 上,故01=+ab . 记AR 的斜率为1k ,FQ 的斜率为2k ,则

22

2111k b a

ab

a a

b a b a a b a k =-=-==--=+-=

. 所以FQ AR ∥.......5分

(Ⅱ)设l 与x 轴的交点为)0,(1x D , 则2

,2

12

12

1

1b a S x a b FD a b S PQF ABF -=

--=-=??.

由题设可得2

21211b

a x a

b -=--,所以01=x (舍去),11=x .

设满足条件的AB 的中点为),(y x E . 当AB 与x 轴不垂直时,由DE AB k k =可得)1(1

2≠-=+x x y

b a . 而

y b

a =+2

,所以)1(12≠-=x x y . 当AB 与x 轴垂直时,E 与D 重合.所以,所求轨迹方程为12-=x y .....12分

解:(Ⅰ)由题意得???????

??+===,,121

,23

222c b a ab a

c 解得1,2==b a .

所以椭圆C 的方程为14

22

=+y x .

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,)1,0(),0,2(B A ,

设),(00y x P ,则442020=+y x . 当00≠x 时,直线PA 的方程为)2(2

00

--=x x y y . 令0=x ,得2200--

=x y y M .从而221100-+=-=x y

y BM M . 直线PB 的方程为11

0+-=x x y y . 令0=y ,得100--

=y x x N .从而1

2200-+=-=y x

x AN N . 所以2

211200

00-+

?-+

=?x y y x BM AN 4=.

当00=x 时,10-=y ,,2,2==AN BM 所以4=?BM AN . 综上,BM AN ?为定值.

4. 解:圆M 的标准方程为()()226725x y -+-=,所以圆心M(6,7),半径为5,. (1)由圆心N 在直线x=6上,可设()06,N y .因为圆N 与x 轴相切,与圆M 外切, 所以007y <<,于是圆N 的半径为0y ,从而0075y y -=+,解得01y =. 因此,圆N 的标准方程为()()22611x y -+-=. (2)因为直线l ∥OA ,所以直线l 的斜率为

40

220

-=-. 设直线l 的方程为y=2x+m ,即2x-y+m=0, 则圆心M 到直线l 的距离

因为

BC OA ===

而2

22,2BC MC d ??

=+ ???

所以()2

52555

m +=

+,解得m=5或m=-15.

故直线l 的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.

(3)设()()1122,,Q ,.P x y x y

因为()()2,4,,0,A T t TA TP TQ +=u u r u u r u u u r ,所以2121

24x x t

y y =+-??=+?……①

因为点Q 在圆M 上,所以()()22226725.x y -+-=…….② 将①代入②,得()()22114325x t y --+-=.

于是点()11,P x y 既在圆M 上,又在圆()()22

4325x t y -++-=????上, 从而圆()()226725x y -+-=与圆()()22

4325x t y -++-=????有公共点, 所以

5555,-≤+

解得22t -≤≤+

.

因此,实数t

的取值范围是22?-+?. 5. (Ⅰ)由题意知2

3

22=-a b a ,可得:b a 2=. 因为抛物线E 的焦点为)21,0(F ,所以2

1,1==b a , 所以椭圆C 的方程为1422=+y x .

(Ⅱ)(i )设)0)(2

,(2

>m m m P ,由y x 22=可得x y =/,

所以直线l 的斜率为m ,

因此直线l 的方程为)(22m x m m y -=-,即2

2

m mx y -=. 设),(),,(),,(002211y x D y x B y x A ,联立方程2

22241m y mx x y ?=-

??

?+=?

得014)14(4322=-+-+m x m x m ,

由0>?

,得2002m m <<<<或

且14423

21+=+m m x x ,

因此1

4222

3

210+=+=m m x x x ,

将其代入22m mx y -=得)

14(22

2

0+-=m m y , 因为

m x y 41

00-=,所以直线OD 方程为x m

y 41-=. 联立方程??

?

??

=-=m x x m y 41,得点M 的纵坐标为M

14y =-, 即点M 在定直线4

1

-=y 上.

(ii )由(i )知直线l 方程为22

m mx y -=,

令0=x 得22

m y -=,所以)2,0(2m G -,

又21(,),(0,),22m P m F D ))

14(2,142(2

2

23+-+m m m m , 所以)1(4

1||21

21+==m m m GF S ,

)14(8)12(||||2122

202++=

-?=m m m x m PM S , 所以2

22221)

12()1)(14(2+++=m m m S S , 令122+=m t ,则

211)1)(12(2221++-=+-=t t

t t t S S , 当2

11=t

,即2=t 时,21S S 取得最大值4

9,此时22

=m ,满足0>?, 所以点P 的坐标为)41,22(

,因此12S

S 的最大值为4

9,此时点P 的坐标为)41,22(. 6. 由题意,()2F ,0c

,c ,()2

2241y b c b A =-=,

因为1F ?AB

是等边三角形,所以2c y A =, 即()24413b b +=,解得22b =.

故双曲线的渐近线方程为y =.

(2)由已知,()1F 2,0-,()2F 2,0.

设()11,x y A ,()22,x y B ,直线:l ()2y k x =-.显然0k ≠.

由()2

213

2y x y k x ?-

=???=-?

,得()222234430k x k x k --++=. 因为l 与双曲线交于两点,所以230k -≠,且()23610k ?=+>. 设AB 的中点为(),x y M M M .

由()

11F F 0A +B ?AB =u u u r u u u r u u u r

即1F 0M?AB =u u u u r u u u r ,知1F M ⊥AB ,故1F 1k k M ?=-.

而2122223x x k x k M +==-,()2623k y k x k M M =-=-,1F 2323

k

k k M =-, 所以

2

3123k k k ?=--,得2

35

k =,故l

的斜率为5±. 7. (I

)由已知,a =,则椭圆E 的方程为22

2212x y b b

+=.

有方程组22

221,23,x y b b y x ?+=???=-+?

得22312(182)0x x b -+-=.① 方程①的判别式为2=24(3)b ?-,由=0?,得2=3b , 此时方程①的解为=2x ,

所以椭圆E 的方程为22

163

x y +=.

点T 坐标为(2,1).

(II )由已知可设直线l '的方程为1

(0)2

y x m m =+≠,

有方程组123y x m y x ?=+???=-+?,,可得223

21.3m x m y ?

=-????=+??

所以P 点坐标为(222,133m m -

+

),2

289

PT m =. 设点A ,B 的坐标分别为1122(,)(,)A x y B x y ,.

由方程组22

16312

x y y x m ?+=????=+??,,可得2234(412)0x mx m ++-=.② 方程②的判别式为2=16(92)m ?-,由>0?

,解得22

m -

<<. 由②得212124412

=,33

m m x x x x -+-=.

所以123

m

PA x ==--,

同理223

m PB x =

--, 所以125

22(2)(2)4

33

m m

PA PB x x ?=-

--- 2

109m =.

故存在常数45

λ=,使得2

PT PA PB λ=?.

8. 【答案】(Ⅰ)22143x y +=(Ⅱ)),4

6

[]46,(+∞--∞Y

【解析】

试题分析:(Ⅰ)求椭圆标准方程,只需确定量,由

113||||||c OF OA FA +=,得113()c

c a a a c +=-,

再利用2223a c b -==,可解得21c =,24a =(Ⅱ)先化简条件:

MOA MAO ∠=∠?||||MA MO =,即M 再OA 中垂线上,1M x =,再利用直线与椭圆位置关

系,联立方程组求B ;利用两直线方程组求H ,最后根据HF BF ⊥,列等量关系解出直线斜率.取值范围

试题解析:(1)解:设(,0)F c ,由

113||||||c OF OA FA +=,即113()

c

c a a a c +=-,可得2223a c c -=,又2

2

2

3a c b -==,所以2

1c =,因此2

4a =,所以椭圆的方程为22

143

x y +=.

(2)(Ⅱ)解:设直线l 的斜率为k (0≠k ),则直线l 的方程为)2(-=x k y .设),(B B y x B ,

由方程组??

???-==+)2(1

34

2

2x k y y x ,消去y ,整理得0121616)34(2222=-+-+k x k x k . 解得2=x ,或346822+-=k k x ,由题意得346822+-=k k x B ,从而3

4122+-=k k

y B .

由(Ⅰ)知,)0,1(F ,设),0(H y H ,有),1(H y FH -=,)3412,3449(222++-=k k

k k BF .由HF BF ⊥,

得0=?,所以034123449222=+++-k ky k k H ,解得k k y H 12492

-=.因此直线MH 的方程为

k

k x k y 124912

-+-=.

设),(M M y x M ,由方程组??

???-=-+

-=)

2(124912

x k y k k x k y 消去y ,解得)1(129202

2++=k k x M .在MAO ?中,||||MO MA MAO MOA ≤?∠≤∠,即2222

)2(M

M

M

M y x y x +≤+-,化简得1≥M x ,即1)

1(129

202

2≥++k k ,解得46-

≤k 或4

6≥k . 所以,直线l 的斜率的取值范围为),4

6

[]46,(+∞-

-∞Y . 9. (I )设直线1y kx =+被椭圆截得的线段为AP ,由22

21

1y kx x y a

=+???+=??得 ()2

2

2

2120a k x

a kx ++=,

10x =,2222

21a k

x a k

=-+. 因此

21222

21a k x a k

AP =-=+

(II )假设圆与椭圆的公共点有4个,由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P ,Q ,满足

Q AP =A .

记直线AP ,Q A 的斜率分别为1k ,2k ,且1k ,20k >,12k k ≠. 由(I )知,

1

AP =

,2

Q A =

12

=

所以()()22222222

121212120k k k k a a k k ??-+++-=??.

由于12k k ≠,1k ,20k >得

()222222

1212120k k a a k k +++-=,

因此

()22

2212111112a a k k ????++=+- ???????

,① 因为①式关于1k ,2k 的方程有解的充要条件是

()22121a a +->,

所以

a >

因此,任意以点()0,1A 为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为

1a <≤

由c e a ==

得,所求离心率的取值范围为02

e <≤.

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