高考理科圆锥曲线大题
1. (新课标Ⅰ理数)设圆222150x y x ++-=的圆心为A ,直线l 过点1,0B ()且与x 轴不重合,l 交圆A 于C D ,两点,过B 作AC 的平行线交AD 于点E . (I )证明EA EB +为定值,并写出点E 的轨迹方程;
(II )设点E 的轨迹为曲线1C ,直线l 交1C 于,M N 两点,过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于,P Q 两点,求四边形MPNQ 面积的取值范围.
2. (新课标Ⅱ理数)已知椭圆E :22
13
x y t +=的焦点在x 轴上,A 是E 的左顶点,斜率
为()0k k >的直线交E 于,A M 两点,点N 在E 上,MA NA ⊥. (I)当4t =,AM AN =时,求△AMN 的面积; (II)当2AM AN =时,求k 的取值范围.
3. (新课标Ⅲ理数)已知抛物线C :
22y x =的焦点为F ,平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于A B ,两点,交C 的准线于P Q ,两点.
(I )若F 在线段AB 上,R 是PQ 的中点,证明AR FQ P ;
(II )若PQF △的面积是ABF △的面积的两倍,求AB 中点的轨迹方程.
4. (2016年北京理数)已知椭圆C :22221x y a b +=a b 0>>()
A a,0,()()
B 0,b ,O 00(,),OAB △的面积为
1.
(I )求椭圆C 的方程;
(II )设P 是椭圆C 上一点,直线PA 与y 轴交于点M ,直线PB 与x 轴交于点N 。 求证:AN BM g 为定值。
5. (2016年江苏理数)如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知以M 为圆心的圆
:M 22
1214600x y x y +--+=及其上一点(24)A ,
(1) 设圆N 与x 轴相切,与圆M 外切,且圆心N 在直线6x =上,求圆N 的标准方程; (2)
设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B C 、两点,且BC OA =,求直线l 的方程;
(3)
设点,0T t ()
满足:存在圆M 上的两点P 和Q ,使得,TA TP TQ +=u u r u u r u u u r
,求实数t 的取值范围。
6. (2016年山东理数)平面直角坐标系xOy 中,椭圆C :()22
2210x y a b a b
+=>>的离心率
是
2
,抛物线E :22x y =的焦点F 是C 的一个顶点。 (I )求椭圆C 的方程;
(II )设P 是E 上的动点,且位于第一象限,E 在点P 处的切线l 与C 交与不同的两点A B ,,
线段AB 的中点为D ,直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M . (i )求证:点M 在定直线上;
(ii )直线l 与y 轴交于点G ,记PFG ?的面积为1S ,PDM ?的面积为2S ,求1
2
S S 的最大值及取得最大值时点P 的坐标.
7. (2016年上海理数)双曲线2
2
21(0)y x b b
-=>的左、右焦点分别为12F F 、,直线l 过2
F 且与双曲线交于A B 、两点。
(1)若l 的倾斜角为2
π,1F AB ?是等边三角形,求双曲线的渐近线方程;
(2
)设b =l 的斜率存在,且11()0F A F B AB +?=u u u r u u u r u u u r
,求l 的斜率.
8. (2016
年四川理数)已知椭圆()22
22
10x y E a b a b +=>>:
的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点,直线:3l y x =-+与椭圆E 有且只有一个公共点.T (I )求椭圆E 的方程及点T 的坐标;
(II )设O 是坐标原点,直线'l 平行于,OT 与椭圆E 交于不同的两点A B 、,且与直线l 交于点.P 证明:存在常数λ,使得2
PT
PA PB
λ=g ,并求λ的值.
9. (2016年天津理数)设椭圆13
2
22=+y a x )3(>a 的右焦点为F ,右顶点为A .已知
FA
e
OA OF 311=
+,其中O 为原点,e 为椭圆的离心率.学.科.网
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设过点A 的直线l 与椭圆交于点B (B 不在x 轴上),垂直于l 的直线与l 交于点M ,与y 轴交于点H .若HF BF ⊥,且MOA ∠≤MAO ∠,求直线l 的斜率的取值范 围. 10.
(2016年浙江理数)如图,设椭圆2
221(1)x y a a
+=>
(Ⅰ)求直线1y kx =+被椭圆截得到的弦长(用a,k 表示)
(Ⅱ)若任意以点(0,1)A 为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点,求椭圆离心率的取值范围.
答案
1. 因为||||AC AD =,AC EB //,故ADC ACD EBD ∠=∠=∠, 所以||||ED EB =,故||||||||||AD ED EA EB EA =+=+.
又圆A 的标准方程为16)1(22=++y x ,从而4||=AD ,所以4||||=+EB EA . 由题设得)0,1(-A ,)0,1(B ,2||=AB ,由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为:
13
42
2=+y x (0≠y ). (Ⅱ)当l 与x 轴不垂直时,设l 的方程为)0)(1(≠-=k x k y ,),(11y x M ,),(22y x N .
由?????=+-=134
)1(2
2y x x k y 得01248)34(2222=-+-+k x k x k . 则3482221+=+k k x x ,3412
42221+-=k k x x .
所以3
4)
1(12||1||22212
++=-+=k k x x k MN .
过点)0,1(B 且与l 垂直的直线m :)1(1
--=x k
y ,A 到m 的距离为
1
22
+k ,所以
13
44)1
2
(42||222
22
++=+-=k k k PQ .故四边形MPNQ 的面积
3
41112||||212++==
k PQ MN S . 可得当l 与x 轴不垂直时,四边形MPNQ
面积的取值范围为.
当l 与x 轴垂直时,其方程为1=x ,3||=MN ,8||=PQ ,四边形MPNQ 的面积为12. 综上,四边形MPNQ 面积的取值范围为)38,12[. 2. 【答案】(Ⅰ)144
49
;(Ⅱ
))
2.
【解析】
试题分析:(Ⅰ)先求直线AM 的方程,再求点M 的纵坐标,最后求AMN ?的面积;(Ⅱ)设()11,M x y ,,将直线AM 的方程与椭圆方程组成方程组,消去y ,用k 表示1x ,从而表示||AM ,同理用k 表示||AN ,再由2AM AN =求k .
试题解析:(I)设()11,M x y ,则由题意知10y >,当4t =时,E 的方程为22
143
x y +
=,()2,0A -. 由已知及椭圆的对称性知,直线AM 的倾斜角为4
π
.因此直线AM 的方程为2y x =+.
将2x y =-代入22143x y +=得27120y y -=.解得0y =或127y =,所以112
7
y =.
因此AMN ?的面积AMN S ?11212144
227749
=??
?=
. (II)由题意3t >,0k >
,()A .
将直线AM
的方程(y k x =+代入22
13
x y t +=得(
)22222330tk x tk x t k t +++-=.
由(221233t k t
x tk -?=+
得)
212
33tk x tk
-=+
,故
1AM x =+=
由题设,直线AN 的方程为(1
y x k
=-+
,故同理可得AN ==,
由2AM AN =得22
233k
tk k t
=++,即()()32321k t k k -
=-. 当k =
因此()33212k k t k -=-.3t >等价于()()
2
323321
32022
k k k k k k k -+-+-=<--,
即
3202k k -<-.由此得32020k k ->??-,或3
2020
k k -?->?
2k <. 因此k
的取值范围是)2.
3. 解:由题设)0,2
1
(F .设b y l a y l ==:,:21,则0≠ab ,且
22111(,),(,),(,),(,),(,)222222
a b a b A a B b P a Q b R +---. 记过B A ,两点的直线为l ,则l 的方程为0)(2=++-ab y b a x ......3分 (Ⅰ)由于F 在线段AB 上,故01=+ab . 记AR 的斜率为1k ,FQ 的斜率为2k ,则
22
2111k b a
ab
a a
b a b a a b a k =-=-==--=+-=
. 所以FQ AR ∥.......5分
(Ⅱ)设l 与x 轴的交点为)0,(1x D , 则2
,2
12
12
1
1b a S x a b FD a b S PQF ABF -=
--=-=??.
由题设可得2
21211b
a x a
b -=--,所以01=x (舍去),11=x .
设满足条件的AB 的中点为),(y x E . 当AB 与x 轴不垂直时,由DE AB k k =可得)1(1
2≠-=+x x y
b a . 而
y b
a =+2
,所以)1(12≠-=x x y . 当AB 与x 轴垂直时,E 与D 重合.所以,所求轨迹方程为12-=x y .....12分
解:(Ⅰ)由题意得???????
??+===,,121
,23
222c b a ab a
c 解得1,2==b a .
所以椭圆C 的方程为14
22
=+y x .
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,)1,0(),0,2(B A ,
设),(00y x P ,则442020=+y x . 当00≠x 时,直线PA 的方程为)2(2
00
--=x x y y . 令0=x ,得2200--
=x y y M .从而221100-+=-=x y
y BM M . 直线PB 的方程为11
0+-=x x y y . 令0=y ,得100--
=y x x N .从而1
2200-+=-=y x
x AN N . 所以2
211200
00-+
?-+
=?x y y x BM AN 4=.
当00=x 时,10-=y ,,2,2==AN BM 所以4=?BM AN . 综上,BM AN ?为定值.
4. 解:圆M 的标准方程为()()226725x y -+-=,所以圆心M(6,7),半径为5,. (1)由圆心N 在直线x=6上,可设()06,N y .因为圆N 与x 轴相切,与圆M 外切, 所以007y <<,于是圆N 的半径为0y ,从而0075y y -=+,解得01y =. 因此,圆N 的标准方程为()()22611x y -+-=. (2)因为直线l ∥OA ,所以直线l 的斜率为
40
220
-=-. 设直线l 的方程为y=2x+m ,即2x-y+m=0, 则圆心M 到直线l 的距离
因为
BC OA ===
而2
22,2BC MC d ??
=+ ???
所以()2
52555
m +=
+,解得m=5或m=-15.
故直线l 的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.
(3)设()()1122,,Q ,.P x y x y
因为()()2,4,,0,A T t TA TP TQ +=u u r u u r u u u r ,所以2121
24x x t
y y =+-??=+?……①
因为点Q 在圆M 上,所以()()22226725.x y -+-=…….② 将①代入②,得()()22114325x t y --+-=.
于是点()11,P x y 既在圆M 上,又在圆()()22
4325x t y -++-=????上, 从而圆()()226725x y -+-=与圆()()22
4325x t y -++-=????有公共点, 所以
5555,-≤+
解得22t -≤≤+
.
因此,实数t
的取值范围是22?-+?. 5. (Ⅰ)由题意知2
3
22=-a b a ,可得:b a 2=. 因为抛物线E 的焦点为)21,0(F ,所以2
1,1==b a , 所以椭圆C 的方程为1422=+y x .
(Ⅱ)(i )设)0)(2
,(2
>m m m P ,由y x 22=可得x y =/,
所以直线l 的斜率为m ,
因此直线l 的方程为)(22m x m m y -=-,即2
2
m mx y -=. 设),(),,(),,(002211y x D y x B y x A ,联立方程2
22241m y mx x y ?=-
??
?+=?
得014)14(4322=-+-+m x m x m ,
由0>?
,得2002m m <<<<或
且14423
21+=+m m x x ,
因此1
4222
3
210+=+=m m x x x ,
将其代入22m mx y -=得)
14(22
2
0+-=m m y , 因为
m x y 41
00-=,所以直线OD 方程为x m
y 41-=. 联立方程??
?
??
=-=m x x m y 41,得点M 的纵坐标为M
14y =-, 即点M 在定直线4
1
-=y 上.
(ii )由(i )知直线l 方程为22
m mx y -=,
令0=x 得22
m y -=,所以)2,0(2m G -,
又21(,),(0,),22m P m F D ))
14(2,142(2
2
23+-+m m m m , 所以)1(4
1||21
21+==m m m GF S ,
)14(8)12(||||2122
202++=
-?=m m m x m PM S , 所以2
22221)
12()1)(14(2+++=m m m S S , 令122+=m t ,则
211)1)(12(2221++-=+-=t t
t t t S S , 当2
11=t
,即2=t 时,21S S 取得最大值4
9,此时22
=m ,满足0>?, 所以点P 的坐标为)41,22(
,因此12S
S 的最大值为4
9,此时点P 的坐标为)41,22(. 6. 由题意,()2F ,0c
,c ,()2
2241y b c b A =-=,
因为1F ?AB
是等边三角形,所以2c y A =, 即()24413b b +=,解得22b =.
故双曲线的渐近线方程为y =.
(2)由已知,()1F 2,0-,()2F 2,0.
设()11,x y A ,()22,x y B ,直线:l ()2y k x =-.显然0k ≠.
由()2
213
2y x y k x ?-
=???=-?
,得()222234430k x k x k --++=. 因为l 与双曲线交于两点,所以230k -≠,且()23610k ?=+>. 设AB 的中点为(),x y M M M .
由()
11F F 0A +B ?AB =u u u r u u u r u u u r
即1F 0M?AB =u u u u r u u u r ,知1F M ⊥AB ,故1F 1k k M ?=-.
而2122223x x k x k M +==-,()2623k y k x k M M =-=-,1F 2323
k
k k M =-, 所以
2
3123k k k ?=--,得2
35
k =,故l
的斜率为5±. 7. (I
)由已知,a =,则椭圆E 的方程为22
2212x y b b
+=.
有方程组22
221,23,x y b b y x ?+=???=-+?
得22312(182)0x x b -+-=.① 方程①的判别式为2=24(3)b ?-,由=0?,得2=3b , 此时方程①的解为=2x ,
所以椭圆E 的方程为22
163
x y +=.
点T 坐标为(2,1).
(II )由已知可设直线l '的方程为1
(0)2
y x m m =+≠,
有方程组123y x m y x ?=+???=-+?,,可得223
21.3m x m y ?
=-????=+??
,
所以P 点坐标为(222,133m m -
+
),2
289
PT m =. 设点A ,B 的坐标分别为1122(,)(,)A x y B x y ,.
由方程组22
16312
x y y x m ?+=????=+??,,可得2234(412)0x mx m ++-=.② 方程②的判别式为2=16(92)m ?-,由>0?
,解得22
m -
<<. 由②得212124412
=,33
m m x x x x -+-=.
所以123
m
PA x ==--,
同理223
m PB x =
--, 所以125
22(2)(2)4
33
m m
PA PB x x ?=-
--- 2
109m =.
故存在常数45
λ=,使得2
PT PA PB λ=?.
8. 【答案】(Ⅰ)22143x y +=(Ⅱ)),4
6
[]46,(+∞--∞Y
【解析】
试题分析:(Ⅰ)求椭圆标准方程,只需确定量,由
113||||||c OF OA FA +=,得113()c
c a a a c +=-,
再利用2223a c b -==,可解得21c =,24a =(Ⅱ)先化简条件:
MOA MAO ∠=∠?||||MA MO =,即M 再OA 中垂线上,1M x =,再利用直线与椭圆位置关
系,联立方程组求B ;利用两直线方程组求H ,最后根据HF BF ⊥,列等量关系解出直线斜率.取值范围
试题解析:(1)解:设(,0)F c ,由
113||||||c OF OA FA +=,即113()
c
c a a a c +=-,可得2223a c c -=,又2
2
2
3a c b -==,所以2
1c =,因此2
4a =,所以椭圆的方程为22
143
x y +=.
(2)(Ⅱ)解:设直线l 的斜率为k (0≠k ),则直线l 的方程为)2(-=x k y .设),(B B y x B ,
由方程组??
???-==+)2(1
34
2
2x k y y x ,消去y ,整理得0121616)34(2222=-+-+k x k x k . 解得2=x ,或346822+-=k k x ,由题意得346822+-=k k x B ,从而3
4122+-=k k
y B .
由(Ⅰ)知,)0,1(F ,设),0(H y H ,有),1(H y FH -=,)3412,3449(222++-=k k
k k BF .由HF BF ⊥,
得0=?,所以034123449222=+++-k ky k k H ,解得k k y H 12492
-=.因此直线MH 的方程为
k
k x k y 124912
-+-=.
设),(M M y x M ,由方程组??
???-=-+
-=)
2(124912
x k y k k x k y 消去y ,解得)1(129202
2++=k k x M .在MAO ?中,||||MO MA MAO MOA ≤?∠≤∠,即2222
)2(M
M
M
M y x y x +≤+-,化简得1≥M x ,即1)
1(129
202
2≥++k k ,解得46-
≤k 或4
6≥k . 所以,直线l 的斜率的取值范围为),4
6
[]46,(+∞-
-∞Y . 9. (I )设直线1y kx =+被椭圆截得的线段为AP ,由22
21
1y kx x y a
=+???+=??得 ()2
2
2
2120a k x
a kx ++=,
故
10x =,2222
21a k
x a k
=-+. 因此
21222
21a k x a k
AP =-=+
(II )假设圆与椭圆的公共点有4个,由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P ,Q ,满足
Q AP =A .
记直线AP ,Q A 的斜率分别为1k ,2k ,且1k ,20k >,12k k ≠. 由(I )知,
1
AP =
,2
Q A =
,
故
12
=
,
所以()()22222222
121212120k k k k a a k k ??-+++-=??.
由于12k k ≠,1k ,20k >得
()222222
1212120k k a a k k +++-=,
因此
()22
2212111112a a k k ????++=+- ???????
,① 因为①式关于1k ,2k 的方程有解的充要条件是
()22121a a +->,
所以
a >
因此,任意以点()0,1A 为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为
1a <≤
由c e a ==
得,所求离心率的取值范围为02
e <≤.