直线与椭圆的位置关系PPT课件.ppt
合集下载
直线和椭圆的位置关系
2
2
总结：直线的斜率为k，被圆锥曲线截得弦AB两端 点坐标为（x1, y1 ）、（x2, y2），则有弦长公式：
| AB | ( x1 x2 ) ＋( y1 y2 )
2
2
y1 y2 2 ( x1 x2 ) [1 ( ) ] x1 x2
2
( x1 x2 ) (1 k ) 1 k |x1 x2|
2 2
练习 x y 3. 已知椭圆 1, 过右焦点F2的直 5 4 16 5 线l交椭圆于A, B两点，若 AB ， 5 求直线l的方程。
2 2
小结：
1 判别式法求直线和椭圆的关系， 将两个方程式联立．
消去y则得到关于x的一元二次方程 Ax Bx C 0 算 △＞０：相交于两点； 判 △＝０：相切； 别 △＜０：相离． 式
2
2 弦长公式：| AB |
1 k | x1 x2 |
2
作业：
1、直线l：y=x+n与椭圆 数n的取值范围。 2、在椭圆
x2 y2 1 没有交点，求实 3 2
x y 1 上求一点P使得该点到直线 3 2
2
2
l：y=x+4的距离最近。
所以： m 5 或 m 5 时，l 与 c 相离；
m 5 时，l 与 c 相切；
5 m 5 时，l 与 c 相交；
思考
直线与椭圆相交时
如何求其弦长？
例2、已知直线 l：y=x+1与椭圆
x + y2 =1相交于A、B两点，求弦AB的长。 4
2
分析：先求出交点，再用两点间距离公 式。
直线与椭圆的位置关系
3.1.2椭圆的几何性质(直线与椭圆的位置关系)课件(人教版)
讲
课
人
：
邢
启
强
15
高中数学
课堂小结
方程
选择性必修第一册
y2
x2
2 1
2
a
b
x2
y2
1
a 2 b2
RJ·A
图形
(, )
(, )
(−, )
o
对称性
顶点
离心率
讲
课
人
：
邢
启
强
(−, )
(, )
(, )
(, −)
范围
a x a,b y b
c
e (0 e 1)
a
16
后研究圆锥曲线的统一性等性质带来
方便。
讲
课
人
：
邢
启
强
4
题型：直线与椭圆的位置关系
2 2
例：已知直线l:y=2x+m,椭圆：4 + 2 = 1，试问当m取何
值时，直线l与椭圆C：
（1）有两个公共点；
（2）有且只有一个公共点；
（3）没有公共点。
解题提示：联立方程
式判断根的个数
讲
课
人
：
邢
启
强
消元得一元二次方程
得出结论
利用根的判别
5
题型：直线与椭圆的位置关系
= 2 +
解：直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组ቐ 2
2
+
4
2
讲
课
人
：
邢
启
强
=1
,
直线与椭圆的位置关系讲解(全面)
求 △F1 AB 的面积.
分析:先画图熟悉题意, 点 F1 到直线 AB 的距离易知,
要求 S△F1AB ,关键是求弦长 AB. 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) . 由直线方程和椭圆方程联立方程组
解 例焦:2∵:点已椭，圆知过点x2F2 F21作y、2倾F斜21分的角别两为个 是4焦椭的点圆直坐2x线标2 ，F11y求(21△,10F)的1, AF左2B(1、 的, 0右 面) 积. ∴直线 AB 的方程为 y x 1 设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 )
是否存在一点，它到直线l的距离最小？ y 最小距离是多少？
解：设直线m平行于l，
则l可写成：4x 5y k 0
x o
4x 5y k 0
由方程组
x2
y2
消去y，得25x2 8kx k 2 - 225 0
25 9 1
由 0，得64k 2 - 4 2（5 k 2 - 225） 0
平分，求此弦所在直线的方程.
点
作差
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造 出中点坐标和斜率．
知识点3：中点弦问题
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作 差构造出中点坐标和斜率．
设A(x1, y1), B(x2 , y2 ), AB中点M (x0 , y0 )，
则有：2x0 x1 x2 , 2 y0 y1 y2
1 a2
1 b2
1
a2
b2
a2b2
题型一：直线与椭圆的位置关系
练习1.K为何值时,直线y=kx+2和曲线2x2+3y2=6有 两个公共点?有一个公共点?没有公共点?
当k= 6 时有一个交点 3
当k> 6 或k<- 6 时有两个交点
分析:先画图熟悉题意, 点 F1 到直线 AB 的距离易知,
要求 S△F1AB ,关键是求弦长 AB. 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) . 由直线方程和椭圆方程联立方程组
解 例焦:2∵:点已椭，圆知过点x2F2 F21作y、2倾F斜21分的角别两为个 是4焦椭的点圆直坐2x线标2 ，F11y求(21△,10F)的1, AF左2B(1、 的, 0右 面) 积. ∴直线 AB 的方程为 y x 1 设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 )
是否存在一点，它到直线l的距离最小？ y 最小距离是多少？
解：设直线m平行于l，
则l可写成：4x 5y k 0
x o
4x 5y k 0
由方程组
x2
y2
消去y，得25x2 8kx k 2 - 225 0
25 9 1
由 0，得64k 2 - 4 2（5 k 2 - 225） 0
平分，求此弦所在直线的方程.
点
作差
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造 出中点坐标和斜率．
知识点3：中点弦问题
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作 差构造出中点坐标和斜率．
设A(x1, y1), B(x2 , y2 ), AB中点M (x0 , y0 )，
则有：2x0 x1 x2 , 2 y0 y1 y2
1 a2
1 b2
1
a2
b2
a2b2
题型一：直线与椭圆的位置关系
练习1.K为何值时,直线y=kx+2和曲线2x2+3y2=6有 两个公共点?有一个公共点?没有公共点?
当k= 6 时有一个交点 3
当k> 6 或k<- 6 时有两个交点
椭圆的简单几何性质(3) 直线与椭圆位置关系 课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
本节课,我们来学习几个有关直线与椭圆的综合问题.
知识巩固
回忆：直线与圆的位置关系
问题1：直线与圆的位置关系有哪几种？
问题2：怎么判断它们之间的位置关系？
几何法： d>r
d=r
d<r
代数法： ∆<0
∆=0
∆>0
探究新知
点与椭圆的位置关系
·
·
·
直线与椭圆的位置关系
B
A
C
种类:
点在椭圆内
点在椭圆上
点在椭圆外
d
4 x0 5 y0 40
42 52
4 x0 5 y0 40
41
尝试遇到困难怎么办?
作出直线 l 及椭圆,
观察图形,数形结合思考.
且
x0 2
25
y0 2
9
1
l
m
m
பைடு நூலகம்
直线与椭圆的位置关系
x2 y 2
练1：已知椭圆
1，直线l：
4 x - 5 y 40 0.椭圆上是否存在一点，它到直线l的距
16
4
方程.
x 2y 4 0
x2 y2
10
2.椭圆
1 上的点到直线 x 2 y 2 0 最大距离是________.
16
4
3.已知椭圆的焦点 F1 ( 3, 0), F2 (3, 0) 且和直线 x y 9 0 有公共点,则其中长轴最短
的椭圆方程为______.
△0
m x 2 nx p 0(m 0)
△ =n 2 4m p
方程组有两解
两个交点
相交
知识巩固
回忆：直线与圆的位置关系
问题1：直线与圆的位置关系有哪几种？
问题2：怎么判断它们之间的位置关系？
几何法： d>r
d=r
d<r
代数法： ∆<0
∆=0
∆>0
探究新知
点与椭圆的位置关系
·
·
·
直线与椭圆的位置关系
B
A
C
种类:
点在椭圆内
点在椭圆上
点在椭圆外
d
4 x0 5 y0 40
42 52
4 x0 5 y0 40
41
尝试遇到困难怎么办?
作出直线 l 及椭圆,
观察图形,数形结合思考.
且
x0 2
25
y0 2
9
1
l
m
m
பைடு நூலகம்
直线与椭圆的位置关系
x2 y 2
练1：已知椭圆
1，直线l：
4 x - 5 y 40 0.椭圆上是否存在一点，它到直线l的距
16
4
方程.
x 2y 4 0
x2 y2
10
2.椭圆
1 上的点到直线 x 2 y 2 0 最大距离是________.
16
4
3.已知椭圆的焦点 F1 ( 3, 0), F2 (3, 0) 且和直线 x y 9 0 有公共点,则其中长轴最短
的椭圆方程为______.
△0
m x 2 nx p 0(m 0)
△ =n 2 4m p
方程组有两解
两个交点
相交
新高考数学椭圆-第2课时 直线与椭圆的位置关系精品课件
课堂考点探究
解:易知F1(-1,0),F2(1,0).①当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x-1),设A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0,∴x1+x2=,x1·x2=.∵A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆C上,∴=1-,=1-,∴|AF1|===,
课堂考点探究
解:将直线l的方程与椭圆C的方程联立,得方程组将①代入②,整理得7x2+8mx+4m2-12=0③.方程③根的判别式Δ=(8m)2-4×7×(4m2-12)=-48m2+336.(1)当Δ>0,即-<m<时,方程③有两个不同的实数根,可知原方程组有两组不同的实数解,这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点.(2)当Δ=0,即m=±时,方程③有两个相同的实数根,可知原方程组有两组相同的实数解,这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点,即直线l与椭圆C有且只有一个公共点.
课堂考点探究
例3 已知椭圆M:+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A,B,左焦点为F,椭圆M的离心率为,且过点.(2)若过点N(1,1)的直线与椭圆M交于P,Q两点,且线段PQ的中点恰为点N,求直线PQ的方程.
解:设P(xP,yP),Q(xQ,yQ),∵线段PQ的中点恰为点N,∴xP+xQ=2,yP+yQ=2.由题知+=1,+=1,两式相减可得(xP+xQ)(xP-xQ)+(yP+yQ)·(yP-yQ)=0,∴=-,即直线PQ的斜率为-,∴直线PQ的方程为y-1=-(x-1),即3x+4y-7=0.
课堂考点探究
例2 [2021·辽宁辽阳一模] 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,且点在C上.(2)设过F2的直线l与C交于A,B两点,若|AF1|·|BF1|=,求|AB|.
解:易知F1(-1,0),F2(1,0).①当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x-1),设A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0,∴x1+x2=,x1·x2=.∵A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆C上,∴=1-,=1-,∴|AF1|===,
课堂考点探究
解:将直线l的方程与椭圆C的方程联立,得方程组将①代入②,整理得7x2+8mx+4m2-12=0③.方程③根的判别式Δ=(8m)2-4×7×(4m2-12)=-48m2+336.(1)当Δ>0,即-<m<时,方程③有两个不同的实数根,可知原方程组有两组不同的实数解,这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点.(2)当Δ=0,即m=±时,方程③有两个相同的实数根,可知原方程组有两组相同的实数解,这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点,即直线l与椭圆C有且只有一个公共点.
课堂考点探究
例3 已知椭圆M:+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A,B,左焦点为F,椭圆M的离心率为,且过点.(2)若过点N(1,1)的直线与椭圆M交于P,Q两点,且线段PQ的中点恰为点N,求直线PQ的方程.
解:设P(xP,yP),Q(xQ,yQ),∵线段PQ的中点恰为点N,∴xP+xQ=2,yP+yQ=2.由题知+=1,+=1,两式相减可得(xP+xQ)(xP-xQ)+(yP+yQ)·(yP-yQ)=0,∴=-,即直线PQ的斜率为-,∴直线PQ的方程为y-1=-(x-1),即3x+4y-7=0.
课堂考点探究
例2 [2021·辽宁辽阳一模] 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,且点在C上.(2)设过F2的直线l与C交于A,B两点,若|AF1|·|BF1|=,求|AB|.
3.1直线与椭圆的位置关系
分析:先画图熟悉题意,
点 F1 到直线 AB 的距离易知,
要求 S△F1 AB ,关键是求弦长 AB. 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) . 由直线方程和椭圆方程联立方程组
解:∵椭圆
x 例 4.已知点 F1 、F2 分别是椭圆 y 2 1 的左、右 2 焦点，过 F2 作倾斜角为 的直线，求 △F1 AB 的面积. 4 x2 2
法二:(数形结合)以 F1 F2 为直径的圆交椭圆于 P 1，P 2
x2 y2 5 2 xP1 xP xP2，而P1、P2 的坐标可由 x y2 1 4 9 3 5 3 5 解得x P1 ，x P2 5 5
x y 例2.若点O和点F分别是椭圆 1的中心 4 3 和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,求OP FP 的最大值. 2 2 x y 类题 :已知A(0, 3), 点P为椭圆 1上的 4 3 任意一点,求AP的最大值.
变题 :已知A为圆x 2 ( y 3)2 1上一点, 点P x y 为椭圆 1上的任意一点,求AP的最 4 3 大值.
练习巩固:
x2 y2 1.过椭圆 1 内一点 M (2,1) 引一条弦, 使弦被点 M 16 4 平分,求这条弦所在的直线方程. x2 y2 2. 椭圆 1 上的点到直线 x 2 y 2 0 最大距离 16 4 是________. 3.已知椭圆的焦点 F1 (3,0), F2 (3,0) 且和直线 x y 9 0 有 公共点,则其中长轴最短的椭圆方程为______.
运用韦达定理来进行计算. 当直线斜率不存在是,则 AB y1 y2 .
x2 2 例 4.已知点 F1 、F2 分别是椭圆 y 1 的左、右 2 焦点，过 F2 作倾斜角为 的直线交椭圆于 A、B 两点， 4 求 △F1 AB 的面积.
第47讲 椭圆 第2课时 直线与椭圆的位置关系
课堂考点探究
[解析] 易知直线l的斜率存在, 设为k.设A(x1,y1),B(x2,y2),则两式相减得+=0,因为x1+x2=2,y1+y2=2,x1≠x2,所以+×=0,得k==-,所以直线l的方程为y-1=-(x-1),即3x+4y-7=0.故选B.
B
[总结反思]处理中点弦问题常用的方法:(1)点差法,设出弦的两端点坐标后,代入圆锥曲线方程,并将两式相减,式中含有x1+x2,y1+y2,三个未知量,这样就直接联系了中点坐标和直线的斜率,借助中点坐标公式即可求得斜率;(2)根与系数的关系,联立直线的方程与椭圆的方程得到方程组,化为一元二次方程后由根与系数的关系求解.特别要注意的是,中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端:根与系数的关系在解题过程中易产生漏解,需关注直线的斜率问题;点差法在确定范围方面略显不足.
练习3 [2022·福建三明一中模拟] 过点P(1,1)的直线l与椭圆+=1交于A,B两点,且P为AB的中点,则l的方程是 ( )A.4x+3y-7=0 B.3x+4y-7=0C.x+2y-(2+)=0 D.2x+y-(2+)=0
[总结反思]解决直线与椭圆相切问题,关键是抓住切点,一般有两种方法,一种是判别式法,另一种是利用导数的几何意义求解.判别式法的优点是思路较为简单,但运算量较大,而运用导数法有一定的局限性,并非通用.如果作为选填题,记住一些二级结论有助于快速解题.
课堂考点探究
【备选理由】例1考查中点弦问题;例2考查椭圆的定义、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率),考查逻辑思维能力、运算求解能力,解题的关键是利用点差法,结合已知条件表示出点M的坐标,然后将其代入椭圆方程可求出离心率,属于中档题;例3考查求直线与椭圆的交点坐标、椭圆中三角形面积的求法,属中档题;例4考查椭圆的标准方程、弦长问题及基本不等式的应用,属中档题;例5考查求椭圆的切线方程,并根据切线方程求直线的方程及直线过定点问题,属中档题;例6是多选题,考查新定义问题,难度适中.
[解析] 易知直线l的斜率存在, 设为k.设A(x1,y1),B(x2,y2),则两式相减得+=0,因为x1+x2=2,y1+y2=2,x1≠x2,所以+×=0,得k==-,所以直线l的方程为y-1=-(x-1),即3x+4y-7=0.故选B.
B
[总结反思]处理中点弦问题常用的方法:(1)点差法,设出弦的两端点坐标后,代入圆锥曲线方程,并将两式相减,式中含有x1+x2,y1+y2,三个未知量,这样就直接联系了中点坐标和直线的斜率,借助中点坐标公式即可求得斜率;(2)根与系数的关系,联立直线的方程与椭圆的方程得到方程组,化为一元二次方程后由根与系数的关系求解.特别要注意的是,中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端:根与系数的关系在解题过程中易产生漏解,需关注直线的斜率问题;点差法在确定范围方面略显不足.
练习3 [2022·福建三明一中模拟] 过点P(1,1)的直线l与椭圆+=1交于A,B两点,且P为AB的中点,则l的方程是 ( )A.4x+3y-7=0 B.3x+4y-7=0C.x+2y-(2+)=0 D.2x+y-(2+)=0
[总结反思]解决直线与椭圆相切问题,关键是抓住切点,一般有两种方法,一种是判别式法,另一种是利用导数的几何意义求解.判别式法的优点是思路较为简单,但运算量较大,而运用导数法有一定的局限性,并非通用.如果作为选填题,记住一些二级结论有助于快速解题.
课堂考点探究
【备选理由】例1考查中点弦问题;例2考查椭圆的定义、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率),考查逻辑思维能力、运算求解能力,解题的关键是利用点差法,结合已知条件表示出点M的坐标,然后将其代入椭圆方程可求出离心率,属于中档题;例3考查求直线与椭圆的交点坐标、椭圆中三角形面积的求法,属中档题;例4考查椭圆的标准方程、弦长问题及基本不等式的应用,属中档题;例5考查求椭圆的切线方程,并根据切线方程求直线的方程及直线过定点问题,属中档题;例6是多选题,考查新定义问题,难度适中.
直线与椭圆的位置关系
2.椭圆 x2 y2 1 上的点 到直线 x 2 y 2 0 最大距 离 16 4
是_____1_0__.
3. 已知椭圆5x2+9y2=45，椭圆的右焦点为F，
(1)求过点F且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长.
(2)判断点A(1,1)与椭圆的位置关系,并求以A为中点的
椭圆的弦所在的直线方程.
若要求弦长,韦达来帮忙.
5.对称问题
有关椭圆关于直线l的对称问题中，若A，A′是对称点，则应 抓住AA′的中点在l上及kAA′·kl=－1这两个关键条件解决问 题.
例：若椭圆x2 y2 1上存在两点关于直线 43
y 2x m对称，求m的取值范围。
6.存在性问题
有关直线与椭圆的位置关系中的存在性问题，一般采用 “假设反证法”或“假设验证法”来解决.
计算.
2.弦长问题
若直线 l
:
y
kx
m与椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 的
交点为 A(x1, y1), B(x2 , y2 )则|AB|叫做弦长。
弦长公式：
AB x1 x2 2 y1 y2 2
1 k 2 x1 x2 2 4x1x2
2.弦长问题
1.过椭圆
x2 13
y2 12
1
的右焦点F2与x轴垂直的直线与椭
圆交于A,B两点，求弦长|AB|,AF1的长
2.已知椭圆5x2+9y2=45，椭圆的右焦点为F，求过点F 且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长.
3.中点弦问题
例、椭圆 x2 y2 1,设直线y 1 x 1与椭圆交于
是_____1_0__.
3. 已知椭圆5x2+9y2=45，椭圆的右焦点为F，
(1)求过点F且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长.
(2)判断点A(1,1)与椭圆的位置关系,并求以A为中点的
椭圆的弦所在的直线方程.
若要求弦长,韦达来帮忙.
5.对称问题
有关椭圆关于直线l的对称问题中，若A，A′是对称点，则应 抓住AA′的中点在l上及kAA′·kl=－1这两个关键条件解决问 题.
例：若椭圆x2 y2 1上存在两点关于直线 43
y 2x m对称，求m的取值范围。
6.存在性问题
有关直线与椭圆的位置关系中的存在性问题，一般采用 “假设反证法”或“假设验证法”来解决.
计算.
2.弦长问题
若直线 l
:
y
kx
m与椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 的
交点为 A(x1, y1), B(x2 , y2 )则|AB|叫做弦长。
弦长公式：
AB x1 x2 2 y1 y2 2
1 k 2 x1 x2 2 4x1x2
2.弦长问题
1.过椭圆
x2 13
y2 12
1
的右焦点F2与x轴垂直的直线与椭
圆交于A,B两点，求弦长|AB|,AF1的长
2.已知椭圆5x2+9y2=45，椭圆的右焦点为F，求过点F 且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长.
3.中点弦问题
例、椭圆 x2 y2 1,设直线y 1 x 1与椭圆交于
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（2）弦长公式：
|AB|= 1 k 2 ·（x1 x2）2 4x1 x2
=
1
1 k2
·Hale Waihona Puke y1y2）4 y1
y2
（适用于任何曲线）
3、弦中点问题的两种处理方法：
（1）联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理；
（2）设两端点坐标，代入曲线方程相减可求出弦的斜率。
2
OA⊥OB，求椭圆方程。
变式
OA⊥OB
| AB | 2 2
练习：
1、如果椭圆被
x2
y2 1
的弦被（4，2）平分，那
36 9
么这弦所在直线方程为（ D ）
A、x-2y=0 B、x+2y- 4=0 C、2x+3y-12=0 D、x+2y-8=0
2、y=kx+1与椭圆 x2 y2 1 恰有公共点，则m的范围
那么，相交所得的弦的弦长是多少？
弦长公式：
| AB | 1 k 2 | xA xB | 1 k 2 （xA xB )2 4xA xB
小结：椭圆与直线的位置关系及判断方法
判断方法
（1）联立方程组 （2）消去一个未知数
（3） ∆<0
∆=0
∆>0
这是求解直线与二次曲线有关问题的通法。
直线与椭圆的位置关系
04.09.23
问题1：直线与圆的位置关系有哪几种？
怎么判断它们之间的位置关系？
几何法： d>r
d=r
d<r
代数法：∆<0
∆=0
∆>0
问题2：椭圆与直线的位置关系？
问题3：怎么判断它们之间的位置关系？能用几何法吗？
不能！ 因为他们不像圆一样有统一的半径。
所以只能用代数法 ----求解直线与二次曲线有关问题的通法。
（）
5m
C
A、（0，1） B、（0，5 ）
C、[ 1，5）∪（5，+ ∞ ） D、（1，+ ∞ ）
3、过椭圆 x2-2y2=4 的左焦点作倾斜角为300的直线，
则弦长 |AB|= _______ , 通径长是 _______
小结
1、直线与椭圆的三种位置关系及等价条件；
2、弦长的计算方法：
（1）垂径定理：|AB|= 2 r 2 d 2 （只适用于圆）
小结：直线与二次曲线相交弦长的求法
1、直线与圆相交的弦长
2、直线与其它二次曲线相交的弦长
（1）联立方程组 （2）消去一个未知数 （3）利用弦长公式:
|AB| =
1
k2
·（x1
x
）2
2
4x1x 2
通法
=
1
1 k2
·（ y1
y2）
y1
y2
k 表示弦的斜率，x1、x2、y1、y2表示弦的端点 坐标，一般由韦达定理求得 x1+ x2 与 y1+ y2
例1：已知直线y=x- 1 与椭圆x2+4y2=2 ，判断它们的位置关系。
2
解：联立方程组
y x1 2
消去y
由韦达定理
x1 x1
x2 x2
4
5 1
5
5x2 4x 1 0 ----- (1)
x2+4y2=2
因为 ∆>0 所以，方程（１）有两个根， 则原方程组有两组解….
45 20
的两个焦点为F1 、F2 ，过左焦点作
直线与椭圆交于A，B 两点，若△ AB F2 的面积为20，
求直线的方程。
y
A（x1 , y1）
o
F1
F2
x
B（x2 , y2）
变题：假如直线是过原点， 其它条件不变，求直线的方程。
例3
若椭圆 ax2+by2=1 与直线 x+y=1 交于A、B两点，M 为AB中点，直线0M（0为原点）的斜率为 2 ，且
l 2
r d A（x1,y1）
B（x2,y2）
设而不求
练习
1、求椭圆 x2 y2 1 被过右焦点且垂直于x轴 4
的直线所截得的弦长。
通径 2b 2
a
2、中心在原点，一个焦点为F（0， 50）的椭圆被 直线 y=3x-2所截得弦的中点横坐标是1/2，求椭圆 方程。
例2
椭圆 x2 y2 1
|AB|= 1 k 2 ·（x1 x2）2 4x1 x2
=
1
1 k2
·Hale Waihona Puke y1y2）4 y1
y2
（适用于任何曲线）
3、弦中点问题的两种处理方法：
（1）联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理；
（2）设两端点坐标，代入曲线方程相减可求出弦的斜率。
2
OA⊥OB，求椭圆方程。
变式
OA⊥OB
| AB | 2 2
练习：
1、如果椭圆被
x2
y2 1
的弦被（4，2）平分，那
36 9
么这弦所在直线方程为（ D ）
A、x-2y=0 B、x+2y- 4=0 C、2x+3y-12=0 D、x+2y-8=0
2、y=kx+1与椭圆 x2 y2 1 恰有公共点，则m的范围
那么，相交所得的弦的弦长是多少？
弦长公式：
| AB | 1 k 2 | xA xB | 1 k 2 （xA xB )2 4xA xB
小结：椭圆与直线的位置关系及判断方法
判断方法
（1）联立方程组 （2）消去一个未知数
（3） ∆<0
∆=0
∆>0
这是求解直线与二次曲线有关问题的通法。
直线与椭圆的位置关系
04.09.23
问题1：直线与圆的位置关系有哪几种？
怎么判断它们之间的位置关系？
几何法： d>r
d=r
d<r
代数法：∆<0
∆=0
∆>0
问题2：椭圆与直线的位置关系？
问题3：怎么判断它们之间的位置关系？能用几何法吗？
不能！ 因为他们不像圆一样有统一的半径。
所以只能用代数法 ----求解直线与二次曲线有关问题的通法。
（）
5m
C
A、（0，1） B、（0，5 ）
C、[ 1，5）∪（5，+ ∞ ） D、（1，+ ∞ ）
3、过椭圆 x2-2y2=4 的左焦点作倾斜角为300的直线，
则弦长 |AB|= _______ , 通径长是 _______
小结
1、直线与椭圆的三种位置关系及等价条件；
2、弦长的计算方法：
（1）垂径定理：|AB|= 2 r 2 d 2 （只适用于圆）
小结：直线与二次曲线相交弦长的求法
1、直线与圆相交的弦长
2、直线与其它二次曲线相交的弦长
（1）联立方程组 （2）消去一个未知数 （3）利用弦长公式:
|AB| =
1
k2
·（x1
x
）2
2
4x1x 2
通法
=
1
1 k2
·（ y1
y2）
y1
y2
k 表示弦的斜率，x1、x2、y1、y2表示弦的端点 坐标，一般由韦达定理求得 x1+ x2 与 y1+ y2
例1：已知直线y=x- 1 与椭圆x2+4y2=2 ，判断它们的位置关系。
2
解：联立方程组
y x1 2
消去y
由韦达定理
x1 x1
x2 x2
4
5 1
5
5x2 4x 1 0 ----- (1)
x2+4y2=2
因为 ∆>0 所以，方程（１）有两个根， 则原方程组有两组解….
45 20
的两个焦点为F1 、F2 ，过左焦点作
直线与椭圆交于A，B 两点，若△ AB F2 的面积为20，
求直线的方程。
y
A（x1 , y1）
o
F1
F2
x
B（x2 , y2）
变题：假如直线是过原点， 其它条件不变，求直线的方程。
例3
若椭圆 ax2+by2=1 与直线 x+y=1 交于A、B两点，M 为AB中点，直线0M（0为原点）的斜率为 2 ，且
l 2
r d A（x1,y1）
B（x2,y2）
设而不求
练习
1、求椭圆 x2 y2 1 被过右焦点且垂直于x轴 4
的直线所截得的弦长。
通径 2b 2
a
2、中心在原点，一个焦点为F（0， 50）的椭圆被 直线 y=3x-2所截得弦的中点横坐标是1/2，求椭圆 方程。
例2
椭圆 x2 y2 1