2018年山东省青岛市胶州市高二上学期数学期中试卷和解析(理科)
山东省青岛市数学高二上学期理数期中考试试卷
山东省青岛市数学高二上学期理数期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共12分)1. （1分）如图所示，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是（）A . 2B . 6C . 3D . 22. （1分）若直线kx-y-2=0与曲线有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（）A .B .C .D .3. （1分）正四面体（四个面都为正三角形）ABCD中，异面直线AB与CD所成的角为（）A . 90°B . 60°C . 45°D . 30°4. （1分） (2016高三上·洛宁期中) 一个几何体的三视图都是边长为1的正方形，如图，则该几何体的体积是（）A .B .C .D .5. （1分）若a,b为两条不同的直线，,为两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A . 若a、b与α所成的角相等，则a bB . 若α⊥β，mα，则m⊥βC . 若a⊥α，aβ，则α⊥βD . 若aα，bβ，则a b6. （1分）椭圆的长轴为，短轴为，将椭圆沿y轴折成一个二面角，使得点在平面上的射影恰好为椭圆的右焦点，则该二面角的大小为（）.A . 75°B . 60°C . 45°D . 30°7. （1分）设是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列四个命题中假命题的是（）A . 若则B . 若则C . 若则D . 若，则8. （1分） (2016高二上·射洪期中) 过点P（﹣1，0）作圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1的两切线，设两切点为A、B，圆心为C，则过A、B、C的圆方程是（）A . x2+（y﹣1）2=2B . x2+（y﹣1）2=1C . （x﹣1）2+y2=4D . （x﹣1）2+y2=19. （1分） (2017高二上·海淀期中) 如图，四面体的三条棱，，两两垂直，，，为四面体外一点，给出下列命题．①不存在点，使四面体有三个面是直角三角形；②不存在点，使四面体是正三棱锥；③存在点，使与垂直并且相等；④存在无数个点，使点在四面体的外接球面上．其中真命题的序号是（）．A . ①②B . ②③C . ③D . ③④10. （1分）(2017·兰州模拟) 某几何体三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A . （9+ ）πB . （9+2 ）πC . （10+ ）πD . （10+2 ）π11. （1分） (2016高三上·嘉兴期末) 已知圆心在原点，半径为R的圆与△ABC的边有公共点，其中A（4，0），B（6，8），C（2，4），则R的取值范围是（）A .B . [4，10]C .D .12. （1分）已知直线l、m、n与平面α、β，则下列叙述错误的是（）A . 若m∥l，n∥l，则m∥nB . 若m⊥α，m∥β，则α⊥βC . 若m∥α，n∥α，则m∥nD . 若m⊥β，α⊥β，则m∥α或m⊂α二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高二下·桂林开学考) 棱长均为1的正三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球表面积为________．14. （1分） (2016高三上·湖北期中) 设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为3，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为________．15. （1分） (2016高三上·闵行期中) 已知函数f（x）= 若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a 的取值范围为________16. （1分） (2016高二上·自贡期中) 直线x+2y=0被曲线x2+y2﹣6x﹣2y﹣15=0所截得的弦长等于________．三、解答题 (共6题；共11分)17. （1分）已知△ABC中，A(1，－4)，B(6，6)，C(－2，0)．求：（1）△ABC中平行于BC边的中位线所在直线的一般式方程和截距式方程；（2） BC边的中线所在直线的一般式方程，并化为截距式方程．18. （2分）已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0．（1）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；（2）从圆C外一点P（x1 ， y1）向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．19. （1分） (2016高二下·金堂开学考) 如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD= ，AB=BC=1，AD=2，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到图2中△A1BE的位置，得到四棱锥A1﹣BCDE．（Ⅰ）证明：CD⊥平面A1OC；（Ⅱ）若平面A1BE⊥平面BCDE，求平面A1BC与平面A1CD夹角（锐角）的余弦值．20. （2分） (2016高二上·温州期中) 如图，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，PA⊥平面ABCD，N是PC的中点．（Ⅰ）若PA=1，求二面角B﹣PC﹣D的大小；（Ⅱ）求AN与平面PCD所成角的正弦值的最大值．21. （2分） (2016高一下·武邑期中) 已知几何体A﹣BCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．（1）求此几何体的体积V的大小；（2）求异面直线DE与AB所成角的余弦值；（3）求二面角A﹣ED﹣B的正弦值．22. （3分） (2018高二上·铜梁月考) 如图，在三棱锥P-ABC中，且底面，D是PC的中点，已知 ,AB=2，AC= ,PA=2.（1）求三棱锥P-ABC的体积（2）求异面直线BC与AD所成角的余弦值。
高二2018年上期中期考试数学 理答案2
2018年上期中期考试高二数学试卷（理）考试时间：120分钟；注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、单选题(每小题5分，共60分）1．求函数()sin cos f x a x =+的导数（ ）A. cos sin a x +B. cos sin a x -C. 0D. sin x - 2．若则且,//),6,,2(),3,1,(y x =-=（ ）． A. 1x =， 2y =- B. 1x =， 2y =C. 12x =， 2y =- D. 1x =-， 2y =- 3．抛物线24x y =的焦点坐标是( )A. ()0,4B.⎪⎭⎫ ⎝⎛0,161C. 1,08⎛⎫⎪⎝⎭D. ⎪⎭⎫ ⎝⎛161,04．已知f(x)=ln(2x+1)-x,x ∈(21-,1]，则f(x)的最大值为（ ）A. 3135ln +B. ln2-21C. ln3-1D. 05．下列结论正确的是（ ）A. 若y=cosx,则y ’=sinxB. 若x e y =，则1-='x xe yC. 若x y 1=，则21x y -=' D. 若x y =，则x y 21=' 6．若函数()f x 在R 上可导，x f x x f ln )1(2)(+'=，则)1(f '＝（ ）A. 1B. －1C. 1e- D. e - 7．若x x x f ln 221)(2-=，则 ()0f x '>的解集为( ) A. ()2,+∞ B.),2(+∞C. ),2()2,(+∞⋃--∞D. )2,(--∞8．如图所示，正方体'ABCD B C D '''-中， M 是AB 的中点，则sin ',DB CM 为（ ）A. 31B.1521C. 15D. 159．如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，1,21===BC AB AA ，点P 在侧面A 1ABB 1上，满足到直线AA 1和CD 的距离相等的点P （ ）A. 不存在B. 恰有1个C. 恰有2个D. 有无数个10.已知12,F F 分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，P 为双曲线右支上的任意一点，若212PFPF 的最小值为8a ，则双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）A.⎤⎦B. (C.(]1,3D.[)3,+∞11．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别是12,F F ，焦距为2c ，若直线)(33c x y +=与椭圆交于点，且满足122121F MF F MF ∠=∠ ，则椭圆的离心率是（ ）A. 33B.C.D. 1 12．若函数1()sin 2sin 3f x x x a x =-+在(),-∞+∞上单调递增，则a 的取值范围是（ ）A ．11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C ．11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]1,1-二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知抛物线22(0)y px p =>的过焦点的弦为AB ，且|AB|=10， 6A B x x +=，则p =_________14．已知复数i,则432i i i i +++=15．空间向量()2,3,2a =-,)1,,2(m -= ,且a b ⊥，则b =________．16．设x ， y R ∈，定义()x y x a y ⊗=-（a R ∈，且a 为常数），若()xf x e =，()22x g x e x -=+， ()()()F x f x g x =⊗．①()g x 存在极值；②若()f x 的反函数为()h x ，且函数y kx =与函数()y h x =有两个交点，则1k e=；③若()F x 在R 上是减函数，则实数a 的取值范围是(],2-∞-；④若3a =-，在()F x 的曲线上存在两点，使得过这两点的切线互相垂直．其中真命题的序号有_______（把所有真命题序号写上）．三、解答题（每小题12分，共60分，每小题必须写出必要的解题过程，否则不得分。
2018高二上期中数学试卷解析版
高二（上）期中数学试卷一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1．在等差数列{a n}中，a1+a5=8，a4=7，则a5=（）A．11 B．10 C．7 D．32．满足条件a=6，b=5，B=120°的△ABC的个数是（）A．零个B．一个C．两个D．无数个3．已知a，b，c∈R，且a＞b，则一定成立的是（）A．a2＞b2B．C．ac2＞bc2 D．4．下列函数中，最小值为2的函数是（）A．y=x+B．y=sinθ+（0＜θ＜）C．y=sinθ+（0＜θ＜π）D．5．△ABC中，若=，则该三角形一定是（）A．等腰三角形但不是直角三角形B．直角三角形但不是等腰三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形6．不等式ax2+5x﹣2＞0的解集是{x|＜x＜2}，则关于x的不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）B．（﹣，1）C．（﹣∞﹣3）∪（，+∞）D．（﹣3，）7．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于（）A．m B．m C．m D．m8．数列的前n项和为S n，且满足a1=1，a n=a n+n，（n≥2），则S n等于（）﹣1A．B．C．D．9．已知a＞0，实数x，y满足：，若z=2x+y的最小值为1，则a=（）A．2 B．1 C．D．10．已知S n是等差数列{a n}的前n项和，公差为d，且S2015＞S2016＞S2014，下列五个命题：①d＞0 ②S4029＞0 ③S4030＜0 ④数列{S n}中的最大项为S4029，其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．411．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，若S△ABC=2，a+b=6，=2cosC，则c=（）A．2 B．4 C．2 D．312．把数列{2n+1}依次按一项、二项、三项、四项循环分为（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27，），（29，31，33），（35，37，39，41），…，在第100个括号内各数之和为（）A．1992 B．1990 C．1873 D．1891二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13．（文科做）命题“若a，b都是偶数，则a+b是偶数”的否命题是．14．两等差数列{a n}和{b n}，前n项和分别为S n，T n，且，则等于．15．方程x2﹣2kx﹣3k=0一根大于1，一根小于﹣1，则实数k的取值范围．16．设M是，定义f（M）=（m，n，p），其中m、n、p分别是△MBC，△MCA，△MAB的面积，的最小值是．三、解答题17．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，S3，S2成等差数列，求{a n}的公比q．18．变量x，y满足（1）设z=，求z的最小值；（2）设z=x2+y2+6x﹣4y+13，求z的取值范围．19．已知△ABC的外接圆的半径为，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，向量，，且．（I）求角C；（II）求△ABC的面积S的最大值，并判断此时△ABC的形状．20．已知函数y=的定义域为R．（1）求a的取值范围．（2）若函数的最小值为，解关于x的不等式x2﹣x﹣a2﹣a＜0．21．已知关于x的不等式x2﹣（a2+3a+2）x+3a（a2+2）＜0（a∈R）．（Ⅰ）解该不等式；（Ⅱ）定义区间（m，n）的长度为d=n﹣m，若a∈[0，4]，求该不等式解集表示的区间长度的最大值．22．已知等比数列{a n}的前n项和为S n=2•3n+k（k∈R，n∈N*）（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}满足a n=4，T n为数列{b n}的前n项和，试比较3﹣16T n与4（n+1）b n的大小，并证明你的结论．+1高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1．在等差数列{a n}中，a1+a5=8，a4=7，则a5=（）A．11 B．10 C．7 D．3【考点】8F：等差数列的性质．【分析】利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1+a5=8，a4=7，∴2a1+4d=8，a1+3d=7，解得a1=﹣2，d=3．则a5=﹣2+4×3=10．故选：B．2．满足条件a=6，b=5，B=120°的△ABC的个数是（）A．零个B．一个C．两个D．无数个【考点】HP：正弦定理．【分析】由余弦定理可得：52=62+c2﹣12ccos120°，化简解出即可判断出结论．【解答】解：由余弦定理可得：52=62+c2﹣12ccos120°，化为：c2+6c+11=0，△=62﹣44=﹣8＜0，因此方程无解．∴满足条件a=6，b=5，B=120°的△ABC的个数是0．故选；A．3．已知a，b，c∈R，且a＞b，则一定成立的是（）A．a2＞b2B．C．ac2＞bc2 D．【考点】R3：不等式的基本性质．【分析】A、当a=﹣1，b=﹣2，显然不成立；B、∵由于ab符号不确定，故与的大小不能确定；C、当c=0时，则ac2=bc2，；D、由c2+1≥1可判断．【解答】解：对于A、当a=﹣1，b=﹣2，显然不成立，故A项不一定成立；对于B、∵由于ab符号不确定，故与的大小不能确定，故B项不一定成立；对于C、当c=0时，则ac2=bc2，故C不一定成立；对于D、由c2+1≥1，故D项一定成立；故选：D4．下列函数中，最小值为2的函数是（）A．y=x+B．y=sinθ+（0＜θ＜）C．y=sinθ+（0＜θ＜π）D．【考点】7F：基本不等式．【分析】A．x＜0时，y＜0．B.0＜θ＜，可得1＞sinθ＞0，利用基本不等式的性质即可判断出结论．C.0＜θ＜π，可得1≥sinθ＞0利用基本不等式的性质即可判断出结论．D．利用基本不等式的性质即可判断出结论．．【解答】解：A．x＜0时，y＜0．B．∵0＜θ＜，可得1＞sinθ＞0，∴y=sinθ+=2，最小值不可能为2．C..∵0＜θ＜π，可得1≥sinθ＞0，∴y=sinθ+≥=2，当且仅当sinθ=1时取等号，最小值为2．D. +＞=2，最小值不可能为2．故选：C．5．△ABC中，若=，则该三角形一定是（）A．等腰三角形但不是直角三角形B．直角三角形但不是等腰三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形【考点】HP：正弦定理．【分析】已知等式变形后，利用正弦定理化简，再利用二倍角的正弦函数公式化简，即可确定出三角形形状．【解答】解：由已知等式变形得：acosA=bcosB，利用正弦定理化简得：sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B．∴2A=2B或2A+2B=180°，∴A=B或A+B=90°，则△ABC为等腰三角形或直角三角形．故选：D．6．不等式ax2+5x﹣2＞0的解集是{x|＜x＜2}，则关于x的不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）B．（﹣，1）C．（﹣∞﹣3）∪（，+∞）D．（﹣3，）【考点】74：一元二次不等式的解法．【分析】由不等式的解集与方程的关系，可知，2是相应方程的两个根，利用韦达定理求出a的值，再代入不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0易解出其解集．【解答】解：由已知条件可知a＜0，且，2是方程ax2+5x﹣2=0的两个根，由根与系数的关系得：×2=﹣解得a=﹣2所以ax2﹣5x+a2﹣1＞0化为2x2+5x﹣3＜0，化为：（2x﹣1）（x+3）＜0解得﹣3＜x＜，所以不等式解集为：（﹣3，）故选：D．7．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于（）A．m B．m C．m D．m 【考点】HU：解三角形的实际应用．【分析】由题意画出图形，由两角差的正切求出15°的正切值，然后通过求解两个直角三角形得到DC和DB的长度，作差后可得答案．【解答】解：如图，∠DAB=15°，∵tan15°=tan（45°﹣30°）==2﹣．在Rt△ADB中，又AD=60，∴DB=AD•tan15°=60×（2﹣）=120﹣60．在Rt△ADC中，∠DAC=60°，AD=60，∴DC=AD•tan60°=60．∴BC=DC﹣DB=60﹣=120（﹣1）（m）．∴河流的宽度BC等于120（﹣1）m．故选：B．8．数列的前n项和为S n，且满足a1=1，a n=a n+n，（n≥2），则S n等于（）﹣1A．B．C．D．【考点】8E：数列的求和．【分析】由a n=a n﹣1+n（n≥2）得a n﹣a n﹣1=n，利用累加法求出a n，代入化简后，由等差数列的前n项和公式求出则数列的前n项和为S n．【解答】解：由题意得，a n=a n﹣1+n（n≥2），则a n﹣a n﹣1=n，所以a2﹣a1=2，a3﹣a2=3，…，a n﹣a n﹣1=n，以上（n﹣1）个式子相加得，a n﹣a1=2+3+…+n，又a1=1，则a n=1+2+3+…+n=，所以=，则数列的前n项和为S n= [2+3+…+（n+1）]==，故选：B．9．已知a＞0，实数x，y满足：，若z=2x+y的最小值为1，则a=（）A．2 B．1 C．D．【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即先确定z的最优解，然后确定a的值即可．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，（阴影部分）由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C时，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小．即2x+y=1，由，解得，即C（1，﹣1），∵点C也在直线y=a（x﹣3）上，∴﹣1=﹣2a，解得a=．故选：C．10．已知S n是等差数列{a n}的前n项和，公差为d，且S2015＞S2016＞S2014，下列五个命题：①d＞0 ②S4029＞0 ③S4030＜0 ④数列{S n}中的最大项为S4029，其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】推导出等差数列的前2015项和最大，a1＞0，d＜0，且前2015项为正数，从第2016项开始为负数，由S2016＞S2014，得S2016﹣S2014=a2016+a2015＞0，由此求出S4029＞0，S4030＞0．【解答】解：∵S n是等差数列{a n}的前n项和，公差为d，且S2015＞S2016＞S2014，∴等差数列的前2015项和最大，∴a1＞0，d＜0，且前2015项为正数，从第2016项开始为负数，故①和④错误；再由S2016＞S2014，得S2016﹣S2014=a2016+a2015＞0，S4029=（a1+a4029）=×2a2015＞0，故②正确；S4030==2015（a2015+a2016）＞0，故③错误．故选：A．11．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，若S△ABC=2，a+b=6，=2cosC，则c=（）A．2 B．4 C．2 D．3【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【分析】运用正弦定理和两角和的正弦公式和诱导公式，化简可得角C，再由面积公式和余弦定理，计算即可得到c的值．【解答】解：===1，即有2cosC=1，可得C=60°，=2，则absinC=2，若S△ABC即为ab=8，又a+b=6，由c2=a2+b2﹣2abcosC=（a+b）2﹣2ab﹣ab=（a+b）2﹣3ab=62﹣3×8=12，解得c=2．故选C．12．把数列{2n+1}依次按一项、二项、三项、四项循环分为（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27，），（29，31，33），（35，37，39，41），…，在第100个括号内各数之和为（）A．1992 B．1990 C．1873 D．1891【考点】F1：归纳推理．【分析】由a n=2n+可得数列{a n}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27，），（29，31，33），（35，37，39，41），…，每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号，故第100个括号内各数之和是第25组中第4个括号内各数之和．由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数，所有第2个数、所有第3个数、所有第4个所有第4个数分别组成都是等差数列，公差均为20．故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80．代入可求【解答】解：由已知可知：原数列按1、2、3、4项循环分组，每组中有4个括号，每组中共有10项，因此第100个括号应在第25组第4个括号，该括号内四项分别为a247、a248、a249、a250，因此在第100个括号内各数之和=a247+a248+a249+a250=495+497+499+501=1992，故选A．二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13．（文科做）命题“若a，b都是偶数，则a+b是偶数”的否命题是若a，b不都是偶数，则a+b不是偶数．【考点】21：四种命题．【分析】欲写出它的否命题，须同时对条件和结论同时进行否定即可．【解答】解：条件和结论同时进行否定，则否命题为：若a，b不都是偶数，则a+b不是偶数．故答案为：若a，b不都是偶数，则a+b不是偶数．14．两等差数列{a n}和{b n}，前n项和分别为S n，T n，且，则等于．【考点】8F：等差数列的性质．【分析】利用==，即可得出结论．【解答】解：====．故答案为：．15．方程x2﹣2kx﹣3k=0一根大于1，一根小于﹣1，则实数k的取值范围（1，+∞）．【考点】7H：一元二次方程的根的分布与系数的关系．【分析】设（x）=x2﹣2kx﹣3k，令f（1）＜0且f（﹣1）＜0即可解出k的范围．【解答】解：设f（x）=x2﹣2kx﹣3k，由题意可知，即，解得k＞1．故答案为：（1，+∞）．16．设M是，定义f（M）=（m，n，p），其中m、n、p分别是△MBC，△MCA，△MAB的面积，的最小值是18．【考点】HP：正弦定理；7F：基本不等式；9R：平面向量数量积的运算．【分析】由平面向量的数量积运算法则及∠ABC的度数，求出的值，再由sinA的值，利用三角形的面积公式求出三角形ABC的面积为1，即△MBC，△MCA，△MAB的面积之和为1，根据题中定义的，得出x+y=，利用此关系式对所求式子进行变形后，利用基本不等式即可求出所求式子的最小值．【解答】解：由，得，所以，∴x+y=，则，当且仅当时，的最小值为18．故答案为：18三、解答题17．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，S3，S2成等差数列，求{a n}的公比q．【考点】89：等比数列的前n项和；84：等差数列的通项公式．【分析】由题意可得2（a1+a1•q+）=a1+（a1+a1•q），再根据a1≠0，q≠0，从而求出公比q的值．【解答】解依题意有2S3=S1+S2，即2（a1+a1•q+）=a1+（a1+a1•q），由于a1≠0，∴2q2+q=0，又q≠0，∴q=﹣．18．变量x，y满足（1）设z=，求z的最小值；（2）设z=x2+y2+6x﹣4y+13，求z的取值范围．【考点】7C：简单线性规划．【分析】（1）先画出满足条件的平面区域，求出A，B，C的坐标，根据z=的几何意义，从而求出z的最小值；（2）z=（x+3）2+（y﹣2）2的几何意义是可行域上的点到点（﹣3，2）的距离的平方，结合图形求出即可．【解答】解由约束条件作出（x，y）的可行域，如图阴影部分所示：由，解得A（1，），由，解得C（1，1），由，可得B（5，2），（1）∵z==，∴z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率，观察图形可知z min=k OB=；（2）z=x2+y2+6x﹣4y+13=（x+3）2+（y﹣2）2的几何意义是可行域上的点到点（﹣3，2）的距离的平方，结合图形可知，可行域上的点到（﹣3，2）的距离中，d min=4，d max=8．故z的取值范围是[16，64]．19．已知△ABC的外接圆的半径为，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，向量，，且．（I）求角C；（II）求△ABC的面积S的最大值，并判断此时△ABC的形状．【考点】HT：三角形中的几何计算；9R：平面向量数量积的运算．【分析】（I）根据建立等式关系，利用正余弦定理即可求角C；（II）根据△ABC的面积S=absinC，利用余弦定理和基本不等式求最大，即可判断此时△ABC的形状．【解答】解：向量，，且．（I）∵，∴sin2A﹣sin2C=（a﹣b）sinB．由正弦定理可得：sinA=，sinB=，sinC=，∴a2﹣c2=（a﹣b）b．由余弦定理：cosC=．∵0＜C＜π，∴C=．（II）△ABC的面积S=absinC，∵C=，R=，∴c=2RsinC=．由余弦定理：得a2+b2=6+ab．∵a2+b2≥2ab，（当且仅当a=b是取等）∴ab≤6．故得△ABC的面积S=absinC=．∵C=，a=b．此时△ABC为等边三角形．20．已知函数y=的定义域为R．（1）求a的取值范围．（2）若函数的最小值为，解关于x的不等式x2﹣x﹣a2﹣a＜0．【考点】74：一元二次不等式的解法；33：函数的定义域及其求法．【分析】（1）由函数y=的定义域是R，得出ax2+2ax+1≥0恒成立，求出a的取值范围；（2）由题意得ax2+2ax+1的最小值是，求出a的值，代入不等式x2﹣x﹣a2﹣a ＜0，求解集即可．【解答】解：（1）函数y=的定义域为R，∴ax2+2ax+1≥0恒成立，当a=0时，1＞0恒成立，满足题意；当a≠0时，须，即，解得0＜a≤1；综上，a的取值范围是{a|0≤a≤1}；（2）∵函数y的最小值为，∴≥，a∈[0，1]；∴ax2+2ax+1≥；当a=0时，不满足条件；当1≥a＞0时，ax2+2ax+1的最小值是=，∴a=；∴不等式x2﹣x﹣a2﹣a＜0可化为x2﹣x﹣＜0，解得﹣＜x＜；∴不等式的解集是{x|﹣＜x＜}．21．已知关于x的不等式x2﹣（a2+3a+2）x+3a（a2+2）＜0（a∈R）．（Ⅰ）解该不等式；（Ⅱ）定义区间（m，n）的长度为d=n﹣m，若a∈[0，4]，求该不等式解集表示的区间长度的最大值．【考点】74：一元二次不等式的解法．【分析】（Ⅰ）原不等式化为[x﹣（a2+2）]（x﹣3a）＜0，根据1＜a＜2，a=1或a=2分类讨论，能求出原不等式的解集．（Ⅱ）当a≠1且a≠2时，，a∈[0，4]，由此能求出该不等式解集表示的区间长度的最大值．【解答】解：（Ⅰ）原不等式可化为[x﹣（a2+2）]（x﹣3a）＜0，…当a2+2＜3a，即1＜a＜2时，原不等式的解为a2+2＜x＜3a；…当a2+2=3a，即a=1或a=2时，原不等式的解集为∅；…当a2+2＞3a，即a＜1或a＞2时，原不等式的解为3a＜x＜a2+2．…综上所述，当1＜a＜2时，原不等式的解为a2+2＜x＜3a，当a=1或a=2时，原不等式的解集为∅，当a＜1或a＞2时，原不等式的解为3a＜x＜a2+2．（Ⅱ）当a=1或a=2时，该不等式解集表示的区间长度不可能最大．…当a≠1且a≠2时，，a∈[0，4]．…设t=a2+2﹣3a，a∈[0，4]，则当a=0时，t=2，当时，，当a=4时，t=6，…∴当a=4时，d max=6．…22．已知等比数列{a n}的前n项和为S n=2•3n+k（k∈R，n∈N*）（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}满足a n=4，T n为数列{b n}的前n项和，试比较3﹣16T n与4（n+1）b n的大小，并证明你的结论．+1【考点】89：等比数列的前n项和；8K：数列与不等式的综合．【分析】（I）利用递推关系可得，n≥2 时，a n=S n﹣S n﹣1=4×3n﹣1由{a n}是等比数列可得a1=S1=6+k=4从而苛求得k=﹣2，代入可求通项公式（II）结合（I）可求得，根据通项公式的特点求和时可利用错位相减可求T n，要比较3﹣16T n与4（n+1）b n的大小，可通过作差法可得，4（n+1）b n+1﹣（3﹣16T n）+1=通过讨论n的范围判断两式的大小【解答】解：（Ⅰ）由S n=2﹣3n+k可得=4×3n﹣1n≥2 时，a n=S n﹣S n﹣1∵{a n}是等比数列∴a1=S1=6+k=4∴k=﹣2，a n=4×3n﹣1（Ⅱ）由和a n=4×3n﹣1得T n=b1+b2+…+b n=两式相减可得，=4（n+1）b n﹣（3﹣16T n）=+1而n（n+1）﹣3（2n+1）=n2﹣5n﹣3当或＜0时，有n（n+1）＞3（2n+1）所以当n＞5时有3﹣16T n＜4（n+1）b n+1那么同理可得：当时有n（n+1）＜3（2n+1），所以当1≤n≤5时有3﹣16T n＞4（n+1）b n+1综上：当n＞5时有3﹣16T n＜4（n+1）b n；+1当1≤n≤5时有3﹣16T n＞4（n+1）b n+1。
山东省胶州市普通高中2017-2018学年高二上学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案
2017-2018学年数学（理科）试题 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知倾斜角为45的直线经过(2,4)A ，(1,)B m 两点，则m =（ ） A ． 3 B ．-3 C ． 5 D ．-12.下列条件中，能判断两个平面平行的是（ ） A ．一个平面内的一条直线平行于另一个平面 B ．一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C ．一个平面内的无数条直线平行于另一个平面 D ．一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面3.两条异面直线,a b 在平面α上的投影不可能的是（ ）A ．一点和一条直线B ．两条平行线C ．两条相交直线D ． 两个点 4.已知两条直线(1)10a x y +-+=与(21)210a x y -+-=互相垂直，则a 的值为（ ） A ．1 B ． 1或32-C. -1或32- D ．-1或325.棱长为a 的正方体所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积与正方体的表面积之比为（ ）A ．2π B ．3π C. 4π D ．6π6.原点O 和点(1,1)P 在直线0x y a +-=的两侧，则a 的取值范围是（ ）A ．0a <或2a >B ．0a =或2a = C. 02a << D ．02a ≤≤ 7.六个棱长为1的正方体在桌面上堆叠成一个几何体，该几何体的正视图与俯视图如下图所示，则其左视图不可能为（ ）8.已知圆锥的母线长为4，侧面展开图的中心角为2π，那么它的体积为（ ）A ．2 B ．3D ．4π 9.设,αβ是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是（ ） A ．若,l ααβ⊥⊥，则l β⊂ B ．若//,//l ααβ，则l β⊂ C. 若,//l ααβ⊥，则l β⊥ D ．若//,l ααβ⊥，则l β⊥10.正方体1111ABCD A BC D -中，,M N 分别是1,CC BC 的中点，则过,,A M N 三点的正方体1111ABCD A BC D -的截面形状是（ ）A ． 平行四边形B ．直角梯形 C. 等腰梯形 D ．以上都不对 11.直三棱柱111ABC A B C -中，90BCA ∠=，,M N 分别是1111,A B AC 的中点，1BC CA CC ==，则BM 与AN 所成的角的余弦值为（ ）A ．10 B ．110 C. 25 D ．212.如图，已知六棱锥P ABCDEF -的底面是正六边形，PA ⊥平面ABC ，2PA AB =，则下列结论正确的是（ ）A ．PB AD ⊥ B ．平面PAB ⊥平面PBCC. 直线//BC 平面PAE D ．直线PD 与ABC 所成的角为45第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.30y --=的倾斜角是 ． 14.若//,//a αβα，则α与β的关系是 ．15.一个三角形在其直观图中对应一个边长为1的正三角形，原三角形的面积为 ． 16.如图，正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点,E F ，且12EF =，则下列结论中正确的是 ． ①AC BE ⊥； ②//EF 平面ABCD ；③三棱锥A BEF -的体积为定值； ④AEF ∆的面积与BEF ∆的面积相等.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分10分）在平面直角坐标系中，有三个点的坐标分别是(4,0),(0,6),(1,2)A B C -. （1）求：过,A B 的中点且与直线20x y +-=平行的直线方程；（2）设过C 且与AB 所在的直线垂直的直线为l ，求l 与两坐标轴围成的三角形的面积. 18. （本小题满分12分）三棱柱111ABC A B C -中，侧棱与底面垂直，90ABC ∠=，1AB BC BB ==，M 是11A B 的中点，N 是1AC 与1AC 的交点. （1）求证：//MN 平面11BCC B ； （2）求证：MN ⊥平面1ABC.19. （本小题满分12分）若,x y 满足3010350x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩.求：（1）2z x y =+的最小值； （2）y xz x+=的最大值； （3）22z x y =+的范围. 20. （本小题满分12分）如图，在矩形ABCD 中，点E 为边AD 上的点，点F 为边CD 的中点，243AB AE AD ===，现将ABE ∆沿BE 边折至PBE ∆位置，且平面PBE ⊥平面BCDE . （1）求证：平面PBE ⊥平面PEF ； （2）求四棱锥P BCFE -的体积.21. （本小题满分12分）如图，矩形ABCD 所在的半平面和直角梯形CDEF 所在的半平面成60的二面角，//DE CF ，CD DE ⊥，2AD =，EF =5CF =，45CFE ∠=.（1）求证：//BF 平面ADE ；（2）求直线AF 与平面CDEF 所成角的正切值.22. （本小题满分12分）梯形BDEF 所在平面垂直于平面ABCD 于BD ，//EF BD ，12EF DE BD ==，2BD BC CD =====，DE BC ⊥.（1）求证：DE ⊥平面ABCD ；（2）求平面AEF 与平面CEF 所成的锐二面角的余弦值.试卷答案一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的． ACDBAD DBCCAD二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案写在答题纸上 13. 60︒； 14. //a β或a β⊂； 15.26; 16. ①②③； 三、解答题：本题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，将解答过程写在答题纸对应题的题框内 17．（本题满分10分）解：（Ⅰ）因为(4,0)A -，(0,6)B所以,A B 的中点坐标为(2,3)M -…………………………………………2分所以与AB 所在直线垂直的直线的斜率为223k =-……………………………………6分 所以满足条件的直线l 的方程为22(1)3y x -=--， 即2380x y +-=．……………………………………………8分 因为直线l 在,x y 轴上的截距分别为4和83所以l 与两坐标轴围成的三角形的面积为18164233S =⨯⨯=．………………………10分 18．（本题满分12分） 证明：（Ⅰ）连结1B C因为M 是11A B 的中点，N 是1AC 与1AC 交点, 所以N 是1AC 的中点．所以1//MN B C …………………………………3分 又因为MN ⊄平面11BCC B ，1B C ⊂平面11BCC B所以//MN 平面11BCC B ……………………………………………6分（Ⅱ）因为1BB ⊥底面ABC ， 所以1AB BB ⊥又AB BC ⊥， 所以AB ⊥平面11BB C C ，1AB B C ⊥……………………………………………9分由正方形11BB C C ，可知11B C C B ⊥ 由（Ⅰ）知1//MN B C ， 所以MN AB ⊥，1MN C B ⊥ 因为1,AB C B ⊂平面1ABC ，1ABC B B =所以MN ⊥平面1ABC ……………………………………………12分19．（本题满分12分）解：如图，作出满足已知条件的可行域为ABC ∆内（及边界）区域，其中(1,2)A ，(2,1)B ，(3,4)C ．……………………………………………4分（Ⅰ）目标函数2z x y =+，表示直线:2l y x z =-+，z 表示该直线纵截距，当l 过点(1,2)A 时纵截距有最小值，故min 4z =．……………………………………………6分 （Ⅱ）目标函数1y x y z x x +==+，记yk x=． 则k 表示区域中的点与坐标原点连线的斜率，当直线过点A 时，斜率最大，即max 2k =， 即max max ()3y xz x+==．……………………………………………9分 （Ⅲ）目标函数22z x y =+表示区域内的点到坐标系点的距离的平方，又原点O 到AB 的距离2d ==， 且垂足是33(,)22D 在线段AB 上， 故22OD z OC ≤≤，即9[,25]2z ∈……………………………………………12分 20．（本题满分12分） （Ⅰ）证明：在Rt DEF ∆中 因为ED DF = 所以45DEF ∠= 在Rt ABE ∆中， 因为AE AB = 所以45AEB ∠= 所以90BEF ∠=︒所以EF BE ⊥……………………………………………3分因为平面PBE ⊥平面BCDE 且平面PBE平面BCDE BE =，EF BCDE ⊂所以EF ⊥平面PBE ……………………………………………5分 因为EF ⊂平面PEF所以平面PBE ⊥平面PEF ．……………………………………………6分 （Ⅱ）解：过P 做PO BE ⊥ 因为PO ⊂平面PBE 平面PBE ⊥平面BCDE 且平面PBE平面BCDE BE =所以PO ⊥平面BCDE ……………………………………………9分四棱锥P BCFE —的高h PO ==10分BCFE ABCD ABE DEFS S S S ∆∆=--11=6444221422⨯-⨯⨯-⨯⨯=则111433P BCFE BCFE V S h =⋅=⨯⨯=—．……………………………………12分21．（本题满分12分）（Ⅰ）因为//BC AD ,BC ⊄平面ADE ，所以//BC 平面ADE …………………………………………2分 同理//CF 平面ADE …………………………………………3分 又因为BC CF C =I 所以平面//BCF 平面ADE 而BF ⊂平面BCF ，所以//BF 平面ADE ．…………………………………5分（Ⅱ）因为CD DE CD AD CD AD DE D ⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪=⎭面ADE又CD ⊂面CDEF 所以面ADE ⊥面CDEF 因为CD AD ⊥,CD DE ⊥，所以ADE ∠就是二面角A CD F --的平面角，即=60ADE ∠o……………………………………………7分 因为平面CDEF ⊥平面ADE ,作AO DE ⊥于O ，则AO CDEF ⊥平面,连接OF ，所以AFO ∠就是直线AF 与平面CDEF 所成角θ………………………………………9分 在AOD RT ∆中，可算出3=AO在直角梯形CDEF，可算出OF = 所以1015tan ==OF AO θ 所以直线AF 与平面CDEF 所成角的正切值为1015…………………………………12分 22．（本题满分12分） 解：（Ⅰ）连接AC 交BD 于O 因为BD BC CD ==且AB AD =所以AC BD ⊥ …………………………………………2分因为平面BDEF ⊥平面ABCD ，交线为BD ，且AC ⊂平面ABCD 所以AC ⊥平面BDEF 因为DE ⊂平面BDEF所以DE AC ⊥……………………………………………4分又因为DE BC ⊥且AC BC C =所以DE ⊥平面ABCD ……………………………………………6分 （Ⅱ）因为//EF BD ，12EF BD =，且O 是BD 中点， 所以ODEF 是平行四边形所以//OF DE所以OF ⊥平面ABCD ……………………………………………8分 分别以,,OA OB OF 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系(1,0,0),((0,1,1),(0,01)A C E F -，设平面AEF 的法向量111(,,)m x y z =，由00m AF m EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得(1,0,1)m = ……………………………9分 设平面CEF 的法向量222(,,)n x y z =，由00n CF n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得(1,0,n =……………………………………………10分所以2cos ,4m nm n m n ⋅-<>==⋅ 即平面AEF 与平面CEF …………………12分。
2018年山东省青岛二中高三上学期期中数学试卷含解析答案(理科)
2017-2018学年山东省青岛二中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A={x|}，B={x|ln（x﹣）＜0}，则A∩∁R B=（）A．∅B．（﹣1，1）C．（，1）D．（﹣1，]2．（5分）设（i为虚数单位），Z为复数，则|Z|=（）A．B．2 C．D．13．（5分）已知等差数列{a n}满足a1+a2+a3+…+a2017=0，则有（）A．a1+a2017＞0 B．a1008+a1010＜0C．a4+a2014=0 D．a1009=10094．（5分）化简（）A．B．1 C．D．5．（5分）设a=，，，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c6．（5分）函数f（x）是R上的偶函数且在（﹣∞，0）上是增函数，又f（3）=1，则不等式f（x﹣1）＜1的解集为（）A．{x|x＜2}B．{x|﹣2＜x＜4}C．{x|x＜﹣2或x＞4}D．{x|x＞3} 7．（5分）已知实数x，y满足，则x+y的取值范围是（）A．（﹣1，1]B．（﹣，1]C．[﹣]D．（﹣1，]8．（5分）在△ABC中，三个内角A、B、C所对的边为a、b、c，若，a+b=6，cosC=，则c=（）A．B．C．2 D．9．（5分）若[x]表示不超过x的最大整数，则关于x的不等式|3x+1|﹣[x]﹣3≤0解集为（）A．{x|﹣1≤x≤1}B．{x|﹣1≤x≤或x=1}C．{x|0≤x≤或x=1}D．{x|﹣1≤x≤}10．（5分）设函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R），若函数y=f（x）e x在x=﹣1处取得极值，则下列图象不可能为y=f（x）的图象是（）A．B．C．D．11．（5分）函数f（x）是定义在区间（0，+∞）上的可导函数，其导函数为f'（x），且满足f'（x）+f（x）＞0，则不等式的解集为（）A．{x|x＞﹣2015}B．{x|x＜﹣2015}C．{x|﹣2018＜x＜0}D．{x|﹣2018＜x＜﹣2015}12．（5分）如图，在边长为4的正六边形ABCDEF中，动圆M的半径为1，圆心在线段CD（含端点）上运动，P是圆M上及内部的动点，设向量=m+n（m，n为实数），则m+n的取值范围是（）A．（1，2]B．[，3]C．[，]D．[3，5]二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a n+1=2S n（n≥1，n∈N*），则a5=．14．（5分）已知集合A={x|x=3m+2n，m＞n且m，n∈N}，若将集合A中的数按从小到大排成数列{a n}，则有a1=31+2×0=3，a2=32+2×0=9，a3=32+2×1=11，a4=33=27，…依此类推，将数列依次排成如图所示的三角形数阵，则第n行所有数的和为．15．（5分）如图，正弦曲线y=sin2x，余弦曲线y=cos2x与两直线x=0，x=所围成的阴影部分的面积为16．（5分）给出以下命题：①已知，为两个非零向量，则“与共线”是“•=|•|”的必要不充分条件；②已知函数f（x）=5|x|﹣，若a＜﹣2，b＞2，则“f（a）＞f（b）”是“a+b＜0”的充要条件；③命题“∃x0∈R，”的否定是“∀x∈R，x2+x﹣1≥0”；④“a+b≠4”是“a≠1或b≠3”的充分不必要条件；⑤“φ=kπ+（k∈Z）”是“函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω≠0）是偶函数”的充要条件，其中正确命题的序号为．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知关于x的不等式|x+a|＜b的解集为{x|0＜x＜8}．（Ⅰ）求实数a，b的值；（Ⅱ）求的最大值，并求出此时t的值．18．（12分）已知，若不等式2n+1＞na n+n+2在n≥n0时恒成立，求最小正整数n0，并给出证明．19．（12分）已知函数f（x）=．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移单位，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在[，]上的值域．20．（12分）已知数列{a n}是首项为，公比q=的等比数列，设}满足c n=a n•b n．（n∈N*），数列{c（Ⅰ）求数列{c n}的前n项和S n；（Ⅱ）若对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围．21．（12分）如图，某城市有一条公路正西方AO通过市中心O后转向东偏北α角方向的OB，位于该市的某大学M与市中心O的距离OM=3km，且∠AOM=β，现要修筑一条铁路L，L在OA上设一站A，在OB上设一站B，铁路在AB部分为直线段，且经过大学M，其中tanα=2，cosβ=，AO=15km．（1）求大学M在站A的距离AM；（2）求铁路AB段的长AB．22．（12分）已知函数f（x）=+xlnx（m＞0），g（x）=lnx﹣2．（1）当m=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）设函数h（x）=f（x）﹣xg（x）﹣，x＞0．若函数y=h（h（x））的最小值是，求m的值；（3）若函数f（x），g（x）的定义域都是[1，e]，对于函数f（x）的图象上的任意一点A，在函数g（x）的图象上都存在一点B，使得OA⊥OB，其中e是自然对数的底数，O为坐标原点，求m的取值范围．2017-2018学年山东省青岛二中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A={x|}，B={x|ln（x﹣）＜0}，则A∩∁R B=（）A．∅B．（﹣1，1）C．（，1）D．（﹣1，]【解答】解：集合A={x|}={x|﹣1＜x＜1}，B={x|ln（x﹣）＜0}={x|0＜x﹣＜1}={x|＜x＜}，∴∁R B={x|x≤或x≥}，∴A∩∁R B={x|﹣1＜x≤}=（﹣1，]．故选：D．2．（5分）设（i为虚数单位），Z为复数，则|Z|=（）A．B．2 C．D．1【解答】解：∵==（﹣1+i）（﹣1﹣i）=2．∴|Z|=||=2．故选：B．3．（5分）已知等差数列{a n}满足a1+a2+a3+…+a2017=0，则有（）A．a1+a2017＞0 B．a1008+a1010＜0C．a4+a2014=0 D．a1009=1009【解答】解：在等差数列{a n}中，由a1+a2+a3+…+a2017=0，得，结合等差数列的性质可得a1+a2017=a4+a2014=0．故选：C．4．（5分）化简（）A．B．1 C．D．【解答】解：==．故选：A．5．（5分）设a=，，，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c【解答】解：∵0=log31＜a==log32＜log33=1，a=log32＜=ln2＜lne=1，=＞20=1，∴a，b，c的大小关系为a＜b＜c．故选：A．6．（5分）函数f（x）是R上的偶函数且在（﹣∞，0）上是增函数，又f（3）=1，则不等式f（x﹣1）＜1的解集为（）A．{x|x＜2}B．{x|﹣2＜x＜4}C．{x|x＜﹣2或x＞4}D．{x|x＞3}【解答】解：函数f（x）是R上的偶函数且在（﹣∞，0）上是增函数，可得f（x）=f（|x|），且f（x）在（0，+∞）上是减函数，不等式f（x﹣1）＜1=f（3），即为f（|x﹣1|）＜f（3），可得|x﹣1|＞3，即为x﹣1＞3或x﹣1＜﹣3，解得x＞4或x＜﹣2，即解集为{x|x＞4或x＜﹣2}，故选：C．7．（5分）已知实数x，y满足，则x+y的取值范围是（）A．（﹣1，1]B．（﹣，1]C．[﹣]D．（﹣1，]【解答】解先根据约束条件画出实数x，y满足，表示的可行域，z=x+y的几何意义为直线在y轴上的截距．由图知，当直线z=x+y过点A（﹣1，0）时，z最小值为﹣1．因为A不在可行域内，所以z＞﹣1．当直线z=x+y过点B时，即直线与圆相切时，z最大值为．故选：D．8．（5分）在△ABC中，三个内角A、B、C所对的边为a、b、c，若，a+b=6，cosC=，则c=（）A．B．C．2 D．【解答】解：由于，则：2ccosC=acosB+bcosA，利用正弦定理得：2sinCcosC=sinAcosB+sinBcosA=sin（A+B）=sinC，由于：0＜C＜π，则：sinC≠0，则：cosC=，则：C=．已知：，则：，解得：ab=8，由于：a+b=6以：c2=a2+b2﹣2abcosC，=（a+b）2﹣2ab﹣ab，=36﹣24，=12，所以：c=2．故选：B．9．（5分）若[x]表示不超过x的最大整数，则关于x的不等式|3x+1|﹣[x]﹣3≤0解集为（）A．{x|﹣1≤x≤1}B．{x|﹣1≤x≤或x=1}C．{x|0≤x≤或x=1}D．{x|﹣1≤x≤}【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①当x≥﹣时，原不等式为（3x+1）﹣[x]﹣3≤0，变形可得3x﹣2≤[x]，又由x≥[x]，则有3x﹣2≤x，解可得x≤1，此时有﹣≤x≤1；当x=1时，[x]=1，原不等式即为1﹣1≤0显然成立；当0≤x＜1，[x]=0，原不等式即为3x﹣2≤0，解可得x≤，此时有0≤x≤，当﹣≤x＜0，[x]=﹣1，原不等式即为3x﹣2≤﹣1，解可得x≤，此时有﹣≤x＜0，故：此时不等式的解集为{x|﹣≤x≤或x=1}②当x≥﹣时，原不等式为﹣（3x+1）﹣[x]﹣3≤0，变形可得﹣3x﹣4≤[x]；又由x≥[x]，则有﹣3x﹣4≤x，解可得x≥﹣1，此时有﹣1≤x＜﹣，又由﹣1≤x＜﹣，此时[x]=﹣1，原不等式即为﹣3x﹣4≤﹣1，解可得x≥﹣1，此时不等式的解集为{x|﹣1≤x＜﹣}；综合可得：原不等式的解集为{x|﹣1≤x≤或x=1}；故选：B．10．（5分）设函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R），若函数y=f（x）e x在x=﹣1处取得极值，则下列图象不可能为y=f（x）的图象是（）A．B．C．D．【解答】解：由y=f（x）e x=e x（ax2+bx+c）⇒y′=f′（x）e x+e x f（x）=e x[ax2+（b+2a）x+b+c]，由x=﹣1为函数f（x）e x的一个极值点可得，﹣1是方程ax2+（b+2a）x+b+c=0的一个根，所以有a﹣（b+2a）+b+c=0⇒c=a．所以函数f（x）=ax2+bx+a，对称轴为x=﹣，且f（﹣1）=2a﹣b，f（0）=a．对于A，由图得a＞0，f（0）＞0，f（﹣1）=0，不矛盾，对于B，由图得a＜0，f（0）＜0，f（﹣1）=0，不矛盾，对于C，由图得a＜0，f（0）＜0，x=﹣＞0⇒b＞0⇒f（﹣1）＜0，不矛盾，对于D，由图得a＞0，f（0）＞0，x=﹣＜﹣1⇒b＞2a⇒f（﹣1）＜0与原图中f（﹣1）＞0矛盾，D不对．故选：D．11．（5分）函数f（x）是定义在区间（0，+∞）上的可导函数，其导函数为f'（x），且满足f'（x）+f（x）＞0，则不等式的解集为（）A．{x|x＞﹣2015}B．{x|x＜﹣2015}C．{x|﹣2018＜x＜0}D．{x|﹣2018＜x＜﹣2015}【解答】解：根据题意，设g（x）=x2f（x），（x＞0），则导数g′（x）=（x2）′f（x）+x2f′（x）=x2f′（x）+2xf（x）；函数f（x）在区间（0，+∞）上，满足f'（x）+f（x）＞0，则有x2f′（x）+2xf （x）＞0，则有g′（x）＞0，即函数g（x）在区间（0，+∞）上为增函数；⇒（x+2018）2fx+2018）＜32f（3）⇒g（2018）＜g（3），则有0＜x+2018＜3，解可得：﹣2018＜x＜﹣2015；即不等式的解集为{x|﹣2018＜x＜﹣2015}；故选：D．12．（5分）如图，在边长为4的正六边形ABCDEF中，动圆M的半径为1，圆心在线段CD（含端点）上运动，P是圆M上及内部的动点，设向量=m+n（m，n为实数），则m+n的取值范围是（）A．（1，2]B．[，3]C．[，]D．[3，5]【解答】解：如图所示，连接AE，AC，AD，CE，交点设为O，•=（m+n）•=m•+n•=0+n•4•4•=24n，同理可得•=24m，即有•（+）=24（m+n），+=2，2•=24（m+n），则m+n=•，•=||•6cos∠PAO，可得m+n=||cos∠PAO，即为向量在向量上的投影，当和同向共线时，圆M的圆心M与D重合，P在射线AD延长线上，可得向量在向量上的投影为4+4+1=9，此时m+n取得最大值；当圆M的圆心M与C重合，可得P在BC上，此时向量在向量上的投影为4+1=5，此时m+n取得最小值；综上可得m+n的取值范围是[，]．故选：C．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a n+1=2S n（n≥1，n∈N*），则a5= 54．【解答】解：数列{a n}的前n项和为S n，a n+1=2S n（n≥1，n∈N*），则：a n=2S n﹣1，a n+1﹣a n=2（S n﹣S n﹣1）（n≥2），=3a n，整理得：a n+1即：（常数），所以：数列{a n}是以首项a2=2，公比为3的等比数列．，则：．故答案为：5414．（5分）已知集合A={x|x=3m+2n，m＞n且m，n∈N}，若将集合A中的数按从小到大排成数列{a n}，则有a1=31+2×0=3，a2=32+2×0=9，a3=32+2×1=11，a4=33=27，…依此类推，将数列依次排成如图所示的三角形数阵，则第n行所有数的和为n•3n+n2﹣n．【解答】解：由已知可得：第n行的数为：3n+2×0=3，3n+2×1，3n+2×2，…，3n+2（n﹣1），∴第n行所有数的和为：n•3n+n2﹣n，故答案为：n•3n+n2﹣n．15．（5分）如图，正弦曲线y=sin2x，余弦曲线y=cos2x与两直线x=0，x=所围成的阴影部分的面积为【解答】解：联立，解得：x=，y=，∴阴影部分分为两部分，则S1=（cos2x﹣sin2x）dx=（sin2x+cos2x）=[（sin+cos）﹣（sin0+cos0）]=﹣，S2=（sin2x﹣cos2x）dx=（﹣cos2x﹣sin2x）=[（﹣cosπ﹣sinπ）﹣（﹣cos﹣sin）]=+，∴阴影部分的面积S=S1+S2=，故答案为：．16．（5分）给出以下命题：①已知，为两个非零向量，则“与共线”是“•=|•|”的必要不充分条件；②已知函数f（x）=5|x|﹣，若a＜﹣2，b＞2，则“f（a）＞f（b）”是“a+b ＜0”的充要条件；③命题“∃x0∈R，”的否定是“∀x∈R，x2+x﹣1≥0”；④“a+b≠4”是“a≠1或b≠3”的充分不必要条件；⑤“φ=kπ+（k∈Z）”是“函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω≠0）是偶函数”的充要条件，其中正确命题的序号为②③④⑤．【解答】解：对于①，，为两个非零向量，当与夹角为180°时，向量共线，但•=﹣||•||，充分性不成立；|•|=•，、不一定共线，如⊥时，•=0，∴必要性也不成立；是既不充分也不必要条件，①错误；对于②，函数f（x）=5|x|﹣，由2|x|﹣4＞0，解得x＞2或x＜﹣2，关于原点对称；又f（﹣x）=f（x），可得函数f（x）在定义域内为偶函数；当x＞2时，f（x）=5x﹣在（2，+∞）上单调递增，∴a+b＜0⇔2＜b＜﹣a⇔f（b）＜f（﹣a）=f（a），∴“f（a）＞f（b）”是“a+b＜0”的充要条件，②正确；对于③，根据特称命题的否定是全称命题知，命题“∃x0∈R，”的否定是“∀x∈R，x2+x﹣1≥0”，③正确；对于④，命题若a+b≠4则a≠1或b≠3与命题若a=1且b=3则a+b=4互为逆否命题，因为a=1且b=3是a+b=4的充分不必要条件，∴“a+b≠4”是“a≠1或b≠3”的充分不必要条件，④正确；对于⑤，φ=kπ+（k∈Z）时，函数f（x）=sin（ωx+kπ+）=cos（ωx+kπ）（ω≠0）是偶函数，函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω≠0）是偶函数时，φ=kπ+（k∈Z），是充要条件，⑤正确．综上，正确的命题是②③④⑤．故答案为：②③④⑤．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知关于x的不等式|x+a|＜b的解集为{x|0＜x＜8}．（Ⅰ）求实数a，b的值；（Ⅱ）求的最大值，并求出此时t的值．【解答】解：（Ⅰ）关于x的不等式|x+a|＜b可化为﹣b﹣a＜x＜b﹣a，又∵原不等式的解集为{x|0＜x＜8}，∴，解方程组可得；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得+=+≤=8，当且仅当﹣4t+16=4t即t=2时取等号，∴所求最大值为8，此时t=2．18．（12分）已知，若不等式2n+1＞na n+n+2在n≥n0时恒成立，求最小正整数n0，并给出证明．【解答】解：2n+1＞na n+n+2即2n＞n2+1，当n=1时，左边=21=2，右边=1+1=2，不等式不成立；当n=2时，左边=22=4，右边=22+1=5，不等式不成立；当n=3时，左边=23=8，右边=32+1=10，不等式不成立；当n=4时，左边=24=16，右边=42+1=17，不等式不成立；当n=5时，左边=25=32，右边=52+1=2，不等式成立；当n=6时，左边=25=32，右边=52+1=2，不等式成立；故猜想最小正整数n0=5，下面证明n≥5时2n＞n2+1成立：证法一：（数学归纳法）①当n=5时，左边=25=32，右边=52+1=26，不等式成立，②假设当n=k（k≥5，且k∈N*）时，不等式成立，即2k＞k2+1，则当n=k+1时，2k+1=2×2k＞2×（k2+1）=（k+1）2+1+k（k﹣2），当k≥5时，显然k（k﹣2）＞0故2k+1＞（k+1）2+1即n=k+1时不等式成立，综上，不等式2n+1＞na n+n+2在n≥n0时恒成立，且最小正整数n0等于5．证法二：当n≥5时，由2n=（1+1）n=+++…+++，得2n≥++++…+++=2（++），即2n≥n2+n+2＞n2+1，所以，不等式2n+1＞na n+n+2在n≥n0时恒成立，且最小正整数n0等于5．19．（12分）已知函数f（x）=．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移单位，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在[，]上的值域．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）∵f（x）==1+sin2x﹣（1+cos2x）+=sin2x﹣cos2x+=sin（2x﹣）+，∴f（x）的最小正周期T==π，由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，即可解得f（x）的单调递增区间为：[kπ﹣，kπ+]，（k∈Z），…6分（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，得到g（x）=sin[2（x+）﹣]+=sin（2x﹣）+，∵x∈[，]，可得：2x﹣∈[，]，∴sin（2x﹣）∈[﹣，1]，可得：g（x）=sin（2x﹣）+∈[0，]． (12)分20．（12分）已知数列{a n}是首项为，公比q=的等比数列，设（n∈N*），数列{c}满足c n=a n•b n．（Ⅰ）求数列{c n}的前n项和S n；（Ⅱ）若对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，a n=×（）n﹣1=（）n，又（n∈N*）=﹣2+3n∴b n=3n﹣2，∴c n=a n•b n=（3n﹣2）•（）n，∴S n=1×（）1+4×（）2+7×（）3+…+（3n﹣2）•（）n，∴S n=1×（）2+4×（）3+7×（）4+…+（3n﹣2）•（）n+1，∴S n=+3×（）2+3×（）3+3×（）4+…+3×（）n﹣（3n﹣2）•（）n+1，∴S n=+（）2+（）3+（）4+…+（）n﹣•（）n+1，∴S n=﹣+1+（）1+（）2+（）3+…+（）n﹣1﹣•（）n=﹣+﹣•（）n，=﹣+（1﹣）﹣•（）n，=﹣•﹣•（）n，=﹣•（）n，（Ⅱ）由（Ⅰ）c n﹣c n（3n+1）•（）n+1﹣（3n﹣2）•（）n=（9﹣n）•（）+1n+1，∴当n=1时，c2=c1=，当n≥2时，c2=c1＞c3＞c4＞c5＞…＞c n，则当n=1或2时，c n的最大值是，∵对一切正整数n恒成立，∴≤m2+m﹣，即m2+6m﹣7≥0，解得m≥1或m≤﹣7，故实数m的取值范围是m≥1或m≤﹣721．（12分）如图，某城市有一条公路正西方AO通过市中心O后转向东偏北α角方向的OB，位于该市的某大学M与市中心O的距离OM=3km，且∠AOM=β，现要修筑一条铁路L，L在OA上设一站A，在OB上设一站B，铁路在AB部分为直线段，且经过大学M，其中tanα=2，cosβ=，AO=15km．（1）求大学M在站A的距离AM；（2）求铁路AB段的长AB．【解答】（本题满分为12分）解：（1）在△AOM中，A0=15，∠AOM=β，且cosβ=，OM=3，由余弦定理可得：AM2=OA2+OM2﹣2OA•OM•cos∠AOM=（3）2+152﹣2××15×=72．所以可得：AM=6，大学M在站A的距离AM为6km．…6分（2）∵cos，且β为锐角，∴sinβ=，在△AOM中，由正弦定理可得：=，即=，∴sin∠MAO=，∴∠MAO=，∴∠ABO=α﹣，∵tanα=2，∴sin，cosα=，∴sin∠ABO=sin（）=，又∵∠AOB=π﹣α，∴sin∠AOB=sin（π﹣α）=．在△AOB中，AO=15，由正弦定理可得：=，即，∴解得AB=30，即铁路AB段的长AB为30km．…12分22．（12分）已知函数f（x）=+xlnx（m＞0），g（x）=lnx﹣2．（1）当m=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）设函数h（x）=f（x）﹣xg（x）﹣，x＞0．若函数y=h（h（x））的最小值是，求m的值；（3）若函数f（x），g（x）的定义域都是[1，e]，对于函数f（x）的图象上的任意一点A，在函数g（x）的图象上都存在一点B，使得OA⊥OB，其中e是自然对数的底数，O为坐标原点，求m的取值范围．【解答】解：（1）当m=1时，f（x）=+xlnx，f′（x）=+lnx+1，因为f′（x）在（0，+∞）上单调增，且f′（1）=0，所以当x＞1时，f′（x）＞0；当0＜x＜1时，f′（x）＜0，所以函数f（x）的单调增区间是（1，+∞）．（2）h（x）=+2x﹣，则h′（x）=，令h′（x）=0，得x=，当0＜x＜时，h′（x）＜0，函数h（x）在（0，）上单调减；当x＞时，h′（x）＞0，函数h（x）在（，+∞）上单调增．所以[h（x）]min=h（）=2m﹣，①当（2m﹣1）≥，即m≥时，函数y=h（h（x））的最小值h（2m﹣）=[+2（2﹣1）﹣1]=，即17m﹣26+9=0，解得=1或=（舍），所以m=1；②当0＜（2﹣1）＜，即＜m＜时，函数y=h （h （x ））的最小值h （）=（2﹣1）=，解得=（舍），综上所述，m 的值为1． （3）由题意知，K OA =+lnx ，K OB =，考虑函数y=，因为y′=在[1，e ]上恒成立，所以函数y=在[1，e ]上单调增，故K OB ∈[﹣2，﹣]，所以K OA ∈[，e ]，即≤+lnx ≤e 在[1，e ]上恒成立，即﹣x 2lnx ≤m ≤x 2（e ﹣lnx ）在[1，e ]上恒成立，设p （x ）=﹣x 2lnx ，则p′（x ）=﹣2lnx ≤0在[1，e ]上恒成立，所以p （x ）在[1，e ]上单调减，所以m ≥p （1）=， 设q （x ）=x 2（e ﹣lnx ），则q′（x ）=x （2e ﹣1﹣2lnx ）≥x （2e ﹣1﹣2lne ）＞0在[1，e ]上恒成立， 所以q （x ）在[1，e ]上单调增，所以m ≤q （1）=e ， 综上所述，m 的取值范围为[，e ]．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m na a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质 （4）指数函数〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质。
2017-2018年山东省青岛三中高二上学期数学期中试卷带答案.
2017-2018学年山东省青岛三中高二（上）期中数学试卷.一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题四个选项中，只有一项是符合要求的，请将答案填涂在答题卡相应的答题栏内．）1．（5分）直线x+y+1=0的倾斜角是（）A．30°B．60°C．120° D．150°2．（5分）高三某班有学生56人，现将所有同学随机编号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、33号、47号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号为（）A．13 B．17 C．19 D．213．（5分）过点P（1，1）且倾斜角为45°的直线被圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=2所截的弦长是（）A．B．C．D．4．（5分）两个圆C1：x2+y2+2x+2y﹣2=0与C2：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的公切线有且仅有（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条5．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出S的结果为（）A．2 B．﹣1 C．D．6．（5分）圆x2+y2﹣4x﹣4y+6=0上的点到直线x+y﹣8=0的最大距离与最小距离的差是（）A．B．2 C．4 D．47．（5分）若直线Ax+By+C=0（A2+B2≠0）经过第一、二、三象限，则系数A，B，C满足的条件为（）A．A，B，C同号B．AC＞0，BC＜0 C．AC＜0，BC＞0 D．AB＞0，AC＜0 8．（5分）已知直线l1：2x+3my﹣m+2=0和l2：mx+6y﹣4=0，若l1∥l2，则l1与l2之间的距离为（）A．B．C．D．9．（5分）已知一组数据x1，x2，x3…x n的平均数，方差s2=4，则数据3x1+7，3x2+7，3x3+7…3x n+7的平均数和标准差分别为（）A．15，36 B．22，6 C．15，6 D．22，3610．（5分）点A（1，2）关于直线y=kx+b对称的点是B（﹣1，6），则直线y=kx+b 在x轴上的截距是（）A．4 B．﹣4 C．8 D．﹣811．（5分）已知正数x，y满足2x+y＜4，则的取值范围是（）A．（，5）B．[，5]C．（﹣∞，）∪（5，+∞）D．（﹣∞，]∪[5，+∞）12．（5分）已知点P（x，y）是直线kx+y+4=0（k＞0）上一动点，PA、PB是圆C：x2+y2﹣2y=0的两条切线，A、B为切点，若四边形PACB面积的最小值是2，则k 的值是（）A．B．C．2 D．2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题纸的横线上，填在试卷上的答案无效）13．（5分）过点（﹣3，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是．14．（5分）如图是一次数学考试成绩的样本频率分布直方图（样本容量n=200），若成绩不低于60分为及格，则样本中的及格人数是．15．（5分）若按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数M的值是．16．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x﹣y的最小值是．三、解答题：（共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）．17．（10分）已知直线l的方程为x+2y﹣6=0．（Ⅰ）直线l1与l垂直，且过点（1，﹣3），求直线l1的方程；（Ⅱ）直线l2与l平行，且直线l2与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l2的方程．18．（12分）已知圆C经过两点A（3，3），B（4，2），且圆心C在直线x+y﹣5=0上．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）直线l过点D（2，4），且与圆C相切，求直线l的方程．19．（12分）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用水3吨、煤2吨；生产每吨乙产品要用水1吨、煤3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元，销售每吨乙产品可获得利润3万元，若该企业在一个生产周期内消耗水不超过13吨，煤不超过18吨，则该企业可获得的最大利润是多少万元．20．（12分）某公司近年来科研费用支出x万元与公司所获利润y万元之间有如右表的统计数据：参考公式：用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程为：=x+，其中：=，=﹣，参考数值：2×18+3×27+4×32+5×35=420．（Ⅰ）求出，；（Ⅱ）根据上表提供的数据可知公司所获利润y万元与科研费用支出x万元线性相关，请用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程=x+；（Ⅲ）试根据（Ⅱ）求出的线性回归方程，预测该公司科研费用支出为10万元时公司所获得的利润．21．（12分）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200.220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]分组的频率分布直方图如图示．（Ⅰ）求直方图中x的值；（Ⅱ）求月平均用电量的众数和中位数；（Ⅲ）在月平均用电量为[220，240），[240，260），[260，280）的三组用户中，用分层抽样的方法抽取10户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？22．（12分）已知圆C：（x﹣1）2+（y+2）2=4，直线l；y=kx﹣1﹣2k．（Ⅰ）求证：直线l与圆C恒有两个交点；（Ⅱ）求出直线l被圆C截得的最短弦长，并求出截得最短弦长时的k的值；（Ⅲ）设直线l与圆C的两个交点为M，N，且•=﹣2（点C为圆C的圆心），求直线l的方程．2017-2018学年山东省青岛三中高二（上）期中数学试卷.参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题四个选项中，只有一项是符合要求的，请将答案填涂在答题卡相应的答题栏内．）1．（5分）直线x+y+1=0的倾斜角是（）A．30°B．60°C．120° D．150°【解答】解：设其倾斜角为α，∵直线x+y+1=0的斜率为k=﹣，∴tanα=﹣，又α∈[0°，180°），∴α=120°．故选：C．2．（5分）高三某班有学生56人，现将所有同学随机编号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、33号、47号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号为（）A．13 B．17 C．19 D．21【解答】解：∵高三某班有学生56人，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，∴样本组距为56÷4=14，则5+14=19，即样本中还有一个学生的编号为19，故选：C．3．（5分）过点P（1，1）且倾斜角为45°的直线被圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=2所截的弦长是（）A．B．C．D．【解答】解：过点P（1，1）且倾斜角为45°的直线方程为：y﹣1=tan45°（x﹣1），即x﹣y=0，圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=2的圆心C（2，1），半径r=，圆心C（2，1）到直线x﹣y=0的距离d==，∴直线被圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=2所截的弦长：|AB|=2=2=．故选：C．4．（5分）两个圆C1：x2+y2+2x+2y﹣2=0与C2：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的公切线有且仅有（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【解答】解：两圆的圆心分别是（﹣1，﹣1），（2，1），半径分别是2，2两圆圆心距离：，说明两圆相交，因而公切线只有两条．故选：B．5．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出S的结果为（）A．2 B．﹣1 C．D．【解答】解：S=2，k=1＜5，则S=1﹣=，k=2＜5，则S=1﹣2=﹣1，k=3＜5，则S=1﹣（﹣1）=2，k=4＜5则S=1﹣=，k=5，不小于5，输出S=，故选：C．6．（5分）圆x2+y2﹣4x﹣4y+6=0上的点到直线x+y﹣8=0的最大距离与最小距离的差是（）A．B．2 C．4 D．4【解答】解：圆x2+y2﹣4x﹣4y+6=0的圆心C（2，2），半径r==，圆心C到直线x+y﹣8=0的距离d==2，∴圆x2+y2﹣4x﹣4y+6=0上的点到直线x+y﹣8=0的最大距离与最小距离的差是：（2+）﹣（2）=2．故选：B．7．（5分）若直线Ax+By+C=0（A2+B2≠0）经过第一、二、三象限，则系数A，B，C满足的条件为（）A．A，B，C同号B．AC＞0，BC＜0 C．AC＜0，BC＞0 D．AB＞0，AC＜0【解答】解：∵直线Ax+By+C=0（A2+B2≠0）经过第一、二、三象限，∴斜率，在y轴上的截距＞0，∴AC＞0，BC＜0．故选：B．8．（5分）已知直线l1：2x+3my﹣m+2=0和l2：mx+6y﹣4=0，若l1∥l2，则l1与l2之间的距离为（）A．B．C．D．【解答】解：由，解得m=±2，m=﹣2时舍去，∴m=2，因此两条直线方程分别化为：x+3y=0，x+3y﹣2=0．则l1与l2之间的距离==．故选：B．9．（5分）已知一组数据x1，x2，x3…x n的平均数，方差s2=4，则数据3x1+7，3x2+7，3x3+7…3x n+7的平均数和标准差分别为（）A．15，36 B．22，6 C．15，6 D．22，36【解答】解：∵x1，x2，x3，…，x n的平均数为5，∴=5，∴+7==3×5+7=22，∵x1，x2，x3，…，x n的方差为4，∴3x1+7，3x2+7，3x3+7，…，3x n+7的方差是32×4=36．∴3x1+7，3x2+7，3x3+7，…，3x n+7的标准差是6．答案为：22；6．故选：B．10．（5分）点A（1，2）关于直线y=kx+b对称的点是B（﹣1，6），则直线y=kx+b 在x轴上的截距是（）A．4 B．﹣4 C．8 D．﹣8【解答】解：由题意知，解得k=，b=4，∴直线方程为y=x+4，其在x轴上的截距为：﹣8．故选：D．11．（5分）已知正数x，y满足2x+y＜4，则的取值范围是（）A．（，5）B．[，5]C．（﹣∞，）∪（5，+∞）D．（﹣∞，]∪[5，+∞）【解答】解：作出表示的可行域为△ABC，解方程组，得B（2，0），解方程组，得C（0，4），设z=，∵A（0，0），∴z A==1，∵B（2，0），∴z B==，∵C（0，4），∴z C==5．∴则的取值范围是（，5）．故选：A．12．（5分）已知点P（x，y）是直线kx+y+4=0（k＞0）上一动点，PA、PB是圆C：x2+y2﹣2y=0的两条切线，A、B为切点，若四边形PACB面积的最小值是2，则k 的值是（）A．B．C．2 D．2【解答】解：∵圆的方程为：x2+（y﹣1）2=1，∴圆心C（0，1），半径r=1．根据题意，若四边形面积最小，当圆心与点P的距离最小时，即距离为圆心到直线l的距离最小时，切线长PA，PB最小．切线长为2，∴PA=PB=2，∴圆心到直线l的距离为d=．直线方程为y+4=kx，即kx﹣y﹣4=0，∴=，解得k=±2，∵k＞0，∴所求直线的斜率为：2．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题纸的横线上，填在试卷上的答案无效）13．（5分）过点（﹣3，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是x+y+1=0或2x+3y=0．【解答】解：当横截距a=0时，纵截距b=a=0，此时直线方程过点P（﹣3，2）和原点（0，0），直线方程为：y=﹣x，整理，得2x+3y=0；当横截距a≠0时，纵截距b=a，此时直线方程为x+y=a，把P（﹣3，2）代入﹣3+2=a，解得a=﹣1，∴直线方程为x+y+1=0．∴过点P（3，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是x+y+1=0或2x+3y=0，故答案为：x+y+1=0或2x+3y=0．14．（5分）如图是一次数学考试成绩的样本频率分布直方图（样本容量n=200），若成绩不低于60分为及格，则样本中的及格人数是120．【解答】解：样本中的及格人数为：200×（1﹣0.005×20+0.006×20+0.009×20）=120．故答案为：120．15．（5分）若按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数M的值是6．【解答】解：由图知运算规则是对S=2S+1，执行程序框图，可得A=1，S=1满足条件A＜M，第1次进入循环体S=2×1+1=3，满足条件A＜M，第2次进入循环体S=2×3+1=7，满足条件A＜M，第3次进入循环体S=2×7+1=15，满足条件A＜M，第4次进入循环体S=2×15+1=31，满足条件A＜M，第5次进入循环体S=2×31+1=63，由于A的初值为1，每进入1次循环体其值增大1，第5次进入循环体后A=5；所以判断框中的整数M的值应为6，这样可保证循环体只能运行5次．故答案为：6．16．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x﹣y的最小值是﹣2．【解答】解：作出变量x，y满足约束条件所表示的平面区域，如图所示：由于z=2x﹣y可得y=2x﹣z，则﹣z表示目标函数在y轴上的截距，截距越大，z 越小作直线L：y=2x，然后把直线l向平域平移，由题意可得，直线平移到A时，z 最小，由可得A（，3），此时z=﹣2．故答案为：﹣2三、解答题：（共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）．17．（10分）已知直线l的方程为x+2y﹣6=0．（Ⅰ）直线l1与l垂直，且过点（1，﹣3），求直线l1的方程；（Ⅱ）直线l2与l平行，且直线l2与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l2的方程．【解答】解：（Ⅰ）设直线l1的方程为：2x﹣y+c=0∵直线l1过点（1，﹣3），∴2×1﹣（﹣3）+c=0解得c=﹣5∴直线l1的方程为：2x﹣y﹣5=0．（Ⅱ）设直线l2的方程为：x+2y+c=0令x=0，得y=﹣；令y=0，得x=﹣c则S=|﹣||﹣c|=c2=4，得c2=16，即c=±4∴直线l2的方程为：x+2y+4=0或x+2y﹣4=0．18．（12分）已知圆C经过两点A（3，3），B（4，2），且圆心C在直线x+y﹣5=0上．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）直线l过点D（2，4），且与圆C相切，求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）因为圆C与x轴交于两点A（3，3），B（4，2），所以圆心在直线x﹣y﹣1=0上，由，得，即圆心C的坐标为（3，2），半径r=|BC|==1，∴圆C的方程为（x﹣3）2+（y﹣2）2=1．（Ⅱ）①当直线l的斜率存在时，设斜率为k，则直线方程为y﹣4=k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k+4=0，∵直线l与圆相切，∴d==1，解得k=﹣，∴直线l的方程为3x+4y﹣22=0．②当直线l的斜率不存在时，直线l方程为x=2．此时直线l与圆心的距离为1（等于半径）∴x=2符合题意．综上所述，直线l的方程为3x+4y﹣22=0或x=2．19．（12分）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用水3吨、煤2吨；生产每吨乙产品要用水1吨、煤3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元，销售每吨乙产品可获得利润3万元，若该企业在一个生产周期内消耗水不超过13吨，煤不超过18吨，则该企业可获得的最大利润是多少万元．【解答】解析：设生产甲产品x吨，生产乙产品y吨，由题意知，利润z=5x+3y，作出可行域如图中阴影部分所示，联立，解得A（3，4），化目标函数z=5x+3y为y=，由图可知，当直线y=过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为27，即生产甲产品3吨，乙产品4吨时可获得最大利润27万元．20．（12分）某公司近年来科研费用支出x万元与公司所获利润y万元之间有如右表的统计数据：参考公式：用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程为：=x+，其中：=，=﹣，参考数值：2×18+3×27+4×32+5×35=420．（Ⅰ）求出，；（Ⅱ）根据上表提供的数据可知公司所获利润y万元与科研费用支出x万元线性相关，请用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程=x+；（Ⅲ）试根据（Ⅱ）求出的线性回归方程，预测该公司科研费用支出为10万元时公司所获得的利润．【解答】解：（Ⅰ）根据表中数据，计算=×（2+3+4+5）=3.5，=×（18+27+32+35）=28；（Ⅱ）x i y i=2×18+3×27+3×32+5×35=420，=22+32+42+52=54，∴===5.6，=﹣=28﹣5.6×3.5=8.4，∴回归方程为：=5.6x+8.4；（Ⅲ）当x=10时，=5.6×10+8.4=64.4（万元），故预测该公司科研费用支出为10万元时公司所获得的利润为64.4万元．21．（12分）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200.220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]分组的频率分布直方图如图示．（Ⅰ）求直方图中x的值；（Ⅱ）求月平均用电量的众数和中位数；（Ⅲ）在月平均用电量为[220，240），[240，260），[260，280）的三组用户中，用分层抽样的方法抽取10户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？【解答】（本小题10分）解：（Ⅰ）由直方图的性质，可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1得：x=0.0075，所以直方图中x的值是0.0075．…（3分）（Ⅱ）月平均用电量的众数是=230．…（4分）因为（0.002+0.0095+0.011）×20=0.45＜0.5，所以月平均用电量的中位数在[220，240）内，设中位数为a，由（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a﹣220）=0.5得：a=224，所以月平均用电量的中位数是224．…（6分）（Ⅲ）月平均用电量为[220，240]的用户有0.0125×20×100=25户，月平均用电量为[240，260）的用户有0.0075×20×100=15户，月平均用电量为[260，280）的用户有0.005×20×100=10户，…（8分）抽取比例==，所以月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取25×=5户．…（10分）22．（12分）已知圆C：（x﹣1）2+（y+2）2=4，直线l；y=kx﹣1﹣2k．（Ⅰ）求证：直线l与圆C恒有两个交点；（Ⅱ）求出直线l被圆C截得的最短弦长，并求出截得最短弦长时的k的值；（Ⅲ）设直线l与圆C的两个交点为M，N，且•=﹣2（点C为圆C的圆心），求直线l 的方程．【解答】证明：（Ⅰ）直线l ：y=kx ﹣1﹣2k 可化为y +1=k （x ﹣2）， 因此直线过定点A （2，﹣1），该点A 在圆C （x ﹣1）2+（y +2）2=4的内部， 所以直线l 与圆C 恒有两个交点．解：（Ⅱ）圆心C （1，﹣2），半径r=2，|AC |==，∴最短弦长为：2=2，此时=1，解得k=﹣1． （Ⅲ）设与的夹角为θ，∵=||•||•cosθ=4cosθ=﹣2，∴cosθ=﹣，解得θ=120°． ∵点C 到直线l 的距离为1， 即=1，解得k=0．∴直线l 的方程是y=﹣1．赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：AB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD 推导说明：1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠FAE ＝45°，求证：EF ＝BE +DFE-a1.2在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且EF＝BE+DF，求证：∠FAE＝45°DEa+b-aa45°A BE挖掘图形特征：a+bx-aa 45°DBa+b-a45°A运用举例：1．正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点,且∠EDF =45°.将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM . （1）求证：EF =FM（2）当AE =1时，求EF 的长．E3．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C ＝90°，BC ＝CD ＝2AD ＝4，E 为线段CD 上一点，∠ABE＝45°.（1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．F第21页（共21页）。
山东省胶州市普通高中2018学年高二上学期期中考试数学
文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知倾斜角为45 的直线经过(2,4)A ，(1,)B m 两点，则m =（ ）A ． 3B ．-3C ． 5D ．-12. 下列条件中，能判断两个平面平行的是（ ）A ．一个平面内的一条直线平行于另一个平面B ．一个平面内的两条直线平行于另一个平面C ．一个平面内的无数条直线平行于另一个平面D ．一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面3. 两条异面直线,a b 在平面α上的投影不可能的是（ ）A ．一点和一条直线B ．两条平行线C ．两条相交直线D ． 两个点4. 已知两条直线(1)10a x y +-+=与(21)210a x y -+-=互相垂直，则a 的值为（ ）A ．1B ． 1或32- C. -1或32- D ．-1或325. 棱长为a 的正方体所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积与正方体的表面积之比为（ ）A ．2πB ．3π C. 4π D ．6π 6. 原点O 和点(1,1)P 在直线0x y a +-=的两侧，则a 的取值范围是（ ）A ．0a <或2a >B ．0a =或2a = C. 02a << D ．02a ≤≤7. 六个棱长为1的正方体在桌面上堆叠成一个几何体，该几何体的正视图与俯视图如下图所示，则其左视图不可能为（ ）8. 已知圆锥的母线长为4，侧面展开图的中心角为2π，那么它的体积为（ ）A ．2B ．3D ．4π 9.正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，则点1A 到平面11ABC D的距离为（ ）A ．12B ．4 C. 2 D ．210. 设,αβ是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是（ ）A ．若,l ααβ⊥⊥，则l β⊂B ．若//,//l ααβ，则l β⊂C. 若,//l ααβ⊥，则l β⊥ D ．若//,l ααβ⊥，则l β⊥11. 正方体1111ABCD A BC D -中，,M N 分别是1,CC BC 的中点，则过,,A M N 三点的正方体1111ABCD A BC D -的截面形状是（ ）A ． 平行四边形B ．直角梯形 C. 等腰梯形 D ．以上都不对12. 如图，已知六棱锥P ABCDEF -的底面是正六边形，PA ⊥平面ABC ，2PA AB =，则下列结论正确的是（ ）A ．PB AD ⊥ B ．平面PAB ⊥平面PBCC. 直线//BC 平面PAE D ．直线PD 与ABC 所成的角为45第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 30y --=的倾斜角是 ．14. 若//,//a αβα，则α与β的关系是 ．15.已知水平放置的四边形ABCD 的平面直观图''''A B C D 是边长为1的正方形，那么四边形ABCD 的面积为 ．16. 如图，正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点,E F ，且12EF =，则下列结论中正确的是 ．①AC BE ⊥；②//EF 平面ABCD ；③三棱锥A BEF -的体积为定值；④AEF ∆的面积与BEF ∆的面积相等.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分10分）在平面直角坐标系中，有三个点的坐标分别是(4,0),(0,6),(1,2)A B C -.（1）求：过,A B 的中点且与直线20x y +-=平行的直线方程；（2）设过C 且与AB 所在的直线垂直的直线为l ，求l 与两坐标轴围成的三角形的面积.18. （本小题满分12分）在正四面体S ABC -中，,,,E F G H 分别是棱,,,SB SA AC CB 的中点.（1）求证：四边形EFGH 是平行四边形；（2）求证：//SC 平面EFGH ；（3）求证：BC ⊥平面SAH.19. （本小题满分12分）若,x y 满足3010350x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩.求：（1）2z x y =+的最小值；（2）y x z x+=的最大值； （3）22z x y =+的范围.20. （本小题满分12分）三棱柱111ABC A B C -中，侧棱与底面垂直，90ABC ∠=，1AB BC BB ==，M 是11A B 的中点，N 是1AC 与1AC 的交点.（1）求证：//MN 平面11BCC B ；（2）求证：MN ⊥平面1ABC .21. （本小题满分12分）如图，在矩形ABCD 中，点E 为边AD 上的点，点F 为边CD 的中点，243AB AE AD ===，现将ABE ∆沿BE 边折至PBE ∆位置，且平面PBE ⊥平面BCDE .（1）求证：平面PBE ⊥平面PEF ；（2）求四棱锥P BCFE -的体积.22. （本小题满分12分）如图，在四棱锥E ABCD -中，AE DE ⊥，CD ⊥平面ADE ，AB ⊥平面ADE ，6CD DA ==，2AB =，3DE =.（1）求证：平面ACE ⊥平面CDE ；（2）在线段DE 上是否存在一点F ，使//AF 平面BCE ？若存在，求出EF ED的值；若不存在，说明理由；（3）求点D 到平面ACE 的距离.试卷答案一、选择题：本题共10个小题，每小题5分，共50分；在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的．ACDBAD DBCCAD二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案写在答题纸上13. 60︒; 14. //a β或a β⊂； 15. 16. ①②③；三、解答题：本题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，将解答过程写在答题纸对应题的题框内17．（本题满分10分）解：（Ⅰ）因为(4,0)A -，(0,6)B所以,A B 的中点坐标为(2,3)M -…………………………………………2分而直线20x y +-=的斜率11k =-所以满足条件的直线方程为3(2)y x -=-+……………………………………4分即10x y +-=为所求．……………………………………………5分 （Ⅱ）因为32AB K =， 所以与AB 所在直线垂直的直线的斜率为223k =-……………………………………6分 所以满足条件的直线l 的方程为22(1)3y x -=--，18．（本题满分12分）证明：（Ⅰ）因为,,,E F G H 分别是棱,,,SB SA AC CB 的中点，所以//,//FG SC EH SC ，…………………………………………2分 且11,22FG SC EH SC == 所以//FG EH 且FG EH =…………………………………4分所以四边形EFGH 是平行四边形．……………………………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，//FG SC ，且FG ⊂平面EFGH ，SC ⊄平面EFGH ，所以//SC 平面EFGH ．……………………………………………8分（Ⅲ）因为S ABC -是正四面体，所以它的四个面是全等的等边三角形．因为H 是BC 的中点，所以BC SH ⊥，BC AH ⊥……………………………………………10分又SH ⊂平面SAH ，AH ⊂平面SAH ，且SH AH H = ，所以BC ⊥平面SAH ．……………………………………………12分19．（本题满分12分）解：如图，作出满足已知条件的可行域为ABC ∆内（及边界）区域，其中(1,2)A ，(2,1)B ，(3,4)C ．……………………………………………4分 （Ⅰ）目标函数2z x y =+，表示直线:2l y x z =-+，z 表示该直线纵截距， 当l 过点(1,2)A 时纵截距有最小值，故min 4z =．……………………………………………6分 （Ⅱ）目标函数1y x y z x x +==+，记y k x=． 则k 表示区域中的点与坐标原点连线的斜率，当直线过点A 时，斜率最大，即max 2k =， 即max max ()3y x z x+==．……………………………………………9分 （Ⅲ）目标函数22z x y =+表示区域内的点到坐标系点的距离的平方，又原点O 到AB 的距离2d ==， 且垂足是33(,)22D 在线段AB 上，故22OD z OC ≤≤， 即9[,25]2z ∈……………………………………………12分20．（本题满分12分）证明：（Ⅰ）连结1B C因为M 是11A B 的中点，N 是1AC 与1AC 交点,所以N 是1AC 的中点．所以1//MN B C …………………………………3分又因为MN ⊄平面11BCC B ，1B C ⊂平面11BCC B所以//MN 平面11BCC B ……………………………………………6分（Ⅱ）因为1BB ⊥底面ABC ，所以1AB BB ⊥又AB BC ⊥，所以AB ⊥平面11BB C C ，1AB B C ⊥……………………………………………9分由正方形11BB C C ，可知11B C C B ⊥由（Ⅰ）知1//MN B C ，所以MN AB ⊥，1MN C B ⊥因为1,AB C B ⊂平面1ABC ，1AB C B B =所以MN ⊥平面1ABC ……………………………………………12分21．（本题满分12分）（Ⅰ）证明：在Rt DEF ∆中因为ED DF =所以45DEF ∠=在Rt ABE ∆中，因为AE AB =所以45AEB ∠=所以90BEF ∠=︒所以EF BE ⊥……………………………………………3分因为平面PBE ⊥平面BCDE且平面PBE 平面BCDE BE =所以EF ⊥平面PBE ……………………………………………5分因为EF ⊂平面PEF所以平面PBE ⊥平面PEF ．……………………………………………6分（Ⅱ）解：过P 做PO BE ⊥因为PO ⊂平面PBE平面PBE ⊥平面BCDE且平面PBE 平面BCDE BE =所以PO ⊥平面BCDE ……………………………………………9分四棱锥P BCFE —的高h PO ==10分 BCFE ABCD ABE DEF S S S S ∆∆=--11=6444221422⨯-⨯⨯-⨯⨯=则111433P BCFE BCFE V S h =⋅=⨯⨯=—．……………………………………12分 22．（本题满分12分）（Ⅰ）证明：因为CD ⊥平面ADE ，AE ⊂平面ADE ，所以CD AE ⊥．又因为AE DE ⊥，CD DE D =所以AE ⊥平面CDE又因为AE ⊂平面ACE ，所以平面ACE ⊥平面CDE ．……………………………………………4分（Ⅱ）结论：在线段DE 上存在一点F ，且13EF ED =，使//AF 平面BCE ．…………………………5分解：设F 为线段DE 上一点, 且13EF DE =， 过点F 作//FM CD 交CE 于M ，则13FM CD =． 因为CD ⊥平面A D E ，AB ⊥平面ADE所以//CD AB ．又因为3C D A B =所以MF AB =，//MF AB所以四边形ABMF 是平行四边形，…………………………………………7分 则//AF BM ．又因为AF ⊄平面BCE ，BM ⊂平面BCE ，所以//AF 平面BCE ．……………………………………………9分（Ⅲ）解：在Rt ADE ∆中，AE ==又6CD =CD ⊥平面A D E所以棱锥C A D E -的体积为13C ADE ADE V S CD -∆=⨯=又因为Rt ACE ∆，AE =CE =所以ΔS 12ACE AE CE =⨯⨯= 设D 到平面A C E 的距离为h由C ADE D ACE V V --=11分所以Δ11=33D ACE ACE V S h h -⨯⨯==所以h =……………………………………12分。
最新-山东省胶州市2018届高三上学期期末考试理科数学
二中高三模块测试数学（理）试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数11iz i-=+（i 为虚数单位），则z 的共轭复数是 A. i B. 1+i C. -i D. 1i -2.已知集合{}{|21,|M x x N x y =-<==，则MNA. ()12，B. (]12，C. ()23，D. [)23， 3.已知函数()y f x x =-是偶函数，且()2=1f ，则()-2f A. -1 B. 1 C. -3 D. 24.直线()1+10a x y ++=与2220x y x +-=圆相切，则a 的值为A. 1-1，B. 2-2，C. 1D. -1 5.四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱的长度是A. 5B.C. D.6.将奇函数()()sin 0,22f x A x ππωϕωϕ⎛⎫=+>-<<⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位得到的图象关于原点对称，则ω的值可以为A. 2B. 3C. 4D.6 7.已知函数()21=cos 4f x x x +，()f x '是函数()f x 的导函数，则()f x '的图象大致是8.设αβγ，，为不同的平面，,,m n l 为不同的直线，则m β⊥的一个充分条件为 A. =,l m l αβαβ⊥⊥， B. =,m αγαγβγ⊥⊥，C. ,m αγβγα⊥⊥⊥，D. ,,n n m αβα⊥⊥⊥ 9.在ABC ∆内随机取一点P ，使AP xAB y AC =+，则23x ≤在的条件下13y ≥的概率A.79 B. 49 C. 12 D. 2310．如图，12F F ，是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于点A,B.若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线的离心率为A. 4B.C.D.第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11.设随机变量()2,N ξμδ且()()11P P ξξ<-=>，()20.3P ξ>=,则()20P ξ-<<= .12.执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为 . 13. 0sin ,t m td π=⎰则31mx mx ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项为 . 14.已知函数1y x=的图象的对称中心为()0,0，函数11+1y x x =+的图象的对称中心为1-,02⎛⎫⎪⎝⎭，函数111++12y x x x =++的图象的对称中心为()-1,0，，由此推测函数1111++++12y x x x x n=+++的图象的对称中心为 .15.一位数学老师希望找到一个函数()y f x =，其导函数()=ln f x x '，请您帮助他找一个这样的函数 .（写出表达式即可，不需写定义域）三、解答题:本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角A,B,C 的对边分别为a,b,c，满足1tan2tan 2C C += （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）已知ABC ∆不是钝角三角形，且()sin 2sin 2.c B A A =+-=，求ABC ∆的面积.17.（本小题满分12分）某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个篮球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球张红球与篮球的个数，设一、二、三等奖如下：（Ⅰ）求一次摸奖恰好摸到一个红球的概率；（Ⅱ）求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X 的分布列与数学期望()E X .18.（本小题满分12分）如图，四棱锥中P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，AB//CD ，60,2,DAB AB AD CD ∠===侧面PAD ⊥ABCD 底面，且PAD 为等腰直角三角形，90APD ∠=.（Ⅰ）求证：;AD PB ⊥（Ⅱ）求平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值.19. （本题满分12分）设数列{}n a 的前项和为n S ，且n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，已知32411, 6.234S S S a =++=， （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若1221,n n n n n a a b a a ++++=+数列{}n b 的前项和为n T ，求证：122n T n <+.20. （本题满分13分）已知O 为坐标原点，焦点为F 的抛物线()2:20E x py p =>上两不同点A,B 均在第一象限内，B 点关于y 轴的对称点为C ，OFA ∆的外接圆的圆心为Q ，且1.32OQ OF ⋅= （Ⅰ）求抛物线E 的标准方程；（Ⅱ）设直线OA,OB 的倾斜角分别为,αβ，且.2παβ+=①证明：直线AC 过定点；②若A,B,C 三点的横坐标依次成等差数列，求ABC ∆的外接圆方程.21. （本题满分14分）已知函数()()2=-33x f x x x e +的定义域为[]-2t ，，设()-2=f m ，()f t n =.（Ⅰ）试确定t 的取值范围，使得函数()f x 在[]-2t ，上为单调函数； （Ⅱ）求证：m n <； （Ⅲ）若不等式()()()72ln 1xf x x k x x k e+->-为正整数对任意正实数恒成立，求的最大值，并证明14ln .9x <（解答过程可参考使用以下数据ln 7 1.95ln 8 2.08≈≈，）高三数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分． A B C D B D A D C B二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 0.2； 12.1112 13. 52- 14. (,0)2n-15．)(ln )(R C C x x x x f ∈+-=三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由1tan2tan 2C C +=得cossin 22sin cos 22C CC C += ……………………………2分所以1sin cos 22C C =⋅所以sin C =……………………………4分 又(0,)C π∈ 所以3C π=或23C π=……………………………5分 （Ⅱ）由题意得sin()sin()4sin cos B A B A A A ++-=⋅即sin cos 2sin cos B A A A ⋅=⋅ ……………………………7分 当cos 0A =时，,,236A B C πππ===2c b ==所以ABC S ∆= ……………………………9分当cos 0A ≠时，得sin 2sin B A =，由正弦定理得2b a = …………………………10分 由题意，3C π=，c =，所以22223c a b ab a =+-= 解得2,4a b ==，所以2B π=，ABC S ∆=12分17．（本小题满分12分）解：设i A 表示摸到i 个红球，j B 表示摸到j 个蓝球，则(0,1,2,3)i A i =与(0,1)j B j ==相互独立．（Ⅰ）恰好摸到1个红球的概率为123413718()35C C P A C ==．……………………………4分 （Ⅱ）X 的所有可能值为：0，10，50，200 ……………………………6分3331313711(200)()()()3105C P X P A B P A P B C ====⋅=3330303722(50)()()()3105C P X P A B P A P B C ====⋅=21342121371124(10)()()()310535C C P X P A B P A P B C ====⋅== 1246(0)1105105357P X ==---= 所以X 的分布列为……………………………10分所以X 的数学期望6421()010502004735105105E X =⨯+⨯+⨯+⨯=……………………………12分18. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）取AD 的中点G ，连结PG GB BD 、、．PA PD =，PG AD ∴⊥……………………………2分AB AD =，且60DAB ∠=︒， ABD ∴∆是正三角形，AD BG ⊥,又PGBG G =,AD ∴⊥平面PGB ．AD PB ∴⊥． ……………………………5分（Ⅱ） ∵侧面PAD ⊥底面ABCD ，又PG AD ⊥，PG ∴⊥底面ABCD ．PG BG ∴⊥．∴直线GA GB GP 、、两两互相垂直，故以G 为原点,直线GA GB GP 、、所在直线为x 轴、y 轴和z 轴建立 如图所示的空间直角坐标系G xyz -．设PG a =，则可求得(0,0,),(,0,0),P a Aa ,0)B ，(,0,0)D a -，)0,23,23(a a C -．…………………………………………………7分3(,,0)2BC a ∴=-．,)PB a ∴=-设000(,,)n x y z =是平面PBC 的法向量，则0n BC ⋅=且0n PB ⋅=．000030,20.ax az ⎧--=⎪∴-=0000,.x y z ⎧=⎪⇒⎨⎪=⎩取0y =(1,3,3)n =-． …………………………………………9分又平面PAD的法向量1,0)n GB ==， 设平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角为θ,则1cos 1n nn n θ⋅==+⋅, 所以平面PAD 与平面PBC 12分 19．（本小题满分12分） 解: （Ⅰ）由题意可得3363S ⋅=， 所以323S = 所以11122n S n n n -+=+=所以(1)2n n n S +=………………………………………………………………3分 所以1(2)n n n a S S n n -=-=≥ 当1=n 时也成立,所以所以n a n = ……………………………………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知1221n n n b n n ++=+++ 又因为121111112212112n n n b n n n n n n ++=+=-++=+-++++++…………………9分 所以12111111(222)[()()()]233412n n T b b b n n =+++=++++-+-++-++ 所以1211122222n n T b b b n n n =+++=+-<++…………………………………12分20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题知：Q 必在线段OF 的中垂线上，可设)4,(px Q Q 则21832p OQ OF ⋅==…………………………2分 所以21=p ，故抛物线E 的标准方程：y x =2…………………………4分 （Ⅱ）若2πβα=+，结合图象知：OC OA ⊥…………………………6分①设),(),(2211y x C y x A 、，直线:AC y kx b =+代入抛物线y x =2方程得：20x kx b --=所以12x x k +=，12x x b =-…………………………7分又因为222121212110OA OC x x y y x x x x b b ⋅=+=+=-+= 所以1b =或0=b （舍）所以直线AC 方程为1y kx =+…………………………9分 所以直线AC 恒过定点)1,0(…………………………10分②若11(,)A x y ，22(,)C x y （20x <），又因为B 点关于y 轴的对称点为C ， 所以22(,)B x y -因为C B A 、、三点的横坐标依次成等差数列 所以1222()x x x +=-即：123x x =-…………………………11分 因为121x x =-所以2x =，1x =所以A 、1)3B 、1()3C …………………………12分所以线段AC 中垂线为：136y x =+，线段BC 中垂线为y 轴， 所以ABC ∆的外接圆心W 为），（6130，半径为36133=WC ………………………12分 所以ABC ∆的外接圆方程为2213133636x y +-=（）…………………………13分 21．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为xx x e x x e x e x x x f ⋅-=⋅-+⋅+-=')1()32()33()(2 ………………1分 令()0f x '>，得：1x >或0x <；令()0f x '<，得：01x <<所以()f x 在(,0),(1,)-∞+∞上递增，在(0,1)上递减………………………………3分 要使()f x 在[2,]t -为单调函数，则20t -<≤所以t 的取值范围为(2,0]- …………………………………………………4分 （Ⅱ）证：因为()f x 在(,0),(1,)-∞+∞上递增，在(0,1)上递减， 所以()f x 在1x =处取得极小值e又213(2)f e e -=<，所以()f x 在[2,)-+∞的最小值为(2)f -………………………6分 从而当2t >-时，)()2(t f f <-，即m n < ………………………………………8分（Ⅲ）()72(ln 1)x f x x k x x e +->-等价于241(ln 1)x x k x x ++>- 即14ln 0k x k x x+++->………………………………………9分记1()4ln k g x x k x x+=++-，则221(1)(1)()1k k x x k g x x x x++--'=--=， 由()0g x '=，得1x k =+，所以()g x 在(0,1)k +上单调递减，在(1,)k ++∞上单调递增， 所以()(1)6ln(1)g x g k k k ≥+=+-+()0g x >对任意正实数x 恒成立，等价于6ln(1)0k k +-+>，即61ln(1)0k k+-+>………………………………11分 记6()1ln(1)h k k k =+-+， 则261()01h x x x =--<+，所以()h x 在(0,)+∞上单调递减， 又(6)2ln 70h =->，13(7)ln 807h =-<， 所以k 的最大值为6………………………………………12分 当6k =时，由2416(ln 1)x x x x ++>-令3x =，则14ln 39<………………………………………14分。
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2017-2018学年山东省青岛市胶州市高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）铜钱：古代铜质辅币，俗称铜钱，是指秦汉以后的各类方孔圆钱，方孔圆钱的铸期一直延伸到清末民国初年．请问铜钱形成的几何体的三视图中不可能有下列那种图形（）A．正方形B．圆C．三角形D．矩形2．（5分）点在圆C：x2+y2=1内部，则实数a的取值范围是（）A．（﹣2，2）B．[﹣2，2]C．D．3．（5分）已知方程x2+y2﹣2mx﹣4y+5m=0所表示的曲线是圆C，则实数m的取值范围（）A．1＜m＜4 B．m＜1或m＞4 C．m＞4 D．m＜14．（5分）圆x2+y2=25内过点（3，0）的弦中最短弦长是（）A．10 B．8 C．4 D．25．（5分）在空间直角坐标系中，已知M（﹣1，0，2），N（3，2，﹣4），则MN的中点Q到坐标原点O的距离为（）A．B．C．2 D．36．（5分）点（2，0）到圆C：x2+（y﹣1）2=1上的点的最大距离是（）A．B．C．3 D．27．（5分）圆C1：（x+1）2+（y﹣1）2=9与圆C2：（x﹣3）2+（y+4）2=25的位置关系（）A．外离B．相交C．外切D．内切8．（5分）垂直于同一条直线的两条直线一定（）A．平行B．相交C．异面D．以上都有可能9．（5分）已知平面α和直线l，则α内至少有一条直线与l（）A．异面B．相交C．平行D．垂直10．（5分）圆心在直线x﹣y+2=0上，且与两坐标轴都相切的圆的方程为（）A．（x+1）2+（y﹣1）2=1 B．（x﹣1）2+（y+1）2=1 C．（x﹣1）2+（y+1）2=2 D．（x﹣1）2+（y﹣1）2=111．（5分）某几何体的三视图均为完全相同的半径为1的直角扇形，则该几何体的表面积S（）A．B．S=πC．D．12．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，则直线AB1与直线BC1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若点P（2，﹣1）为圆（x﹣1）2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB 的方程是．14．（5分）如图，正方形O'A'B'C'的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积是．15．（5分）求过点（2，0）、（0，2）、（0，0）的圆的标准方程．16．（5分）有人由“追求”联想到“锥、球”并构造了一道名为《追求2017》的题目，请你解答此题：球O的球心为点O，球O内切于底面半径为、高为3的圆锥，三棱锥V﹣ABC 内接于球O，已知OA⊥OB，AC⊥BC，则三棱锥V﹣ABC的体积的最大值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）如图，在底面是菱形的四棱锥P﹣ABCD中，，E、F分别为PD、AB的中点，△PAB为等腰直角三角形，PA⊥平面ABCD，PA=1．（1）求证：直线AE∥平面PFC；（2）求证：PB⊥FC．18．（12分）设坐标原点为O，已知圆O：x2+y2=2与直线l：y=x+b相交于A、B 两不同点．（1）求实数b的取值范围；（2）若∠AOB=，求实数b的值．19．（12分）设坐标原点为O，过点P（x0，y0）做圆O：x2+y2=2的切线，切点为Q，．（1）求|OP|的值；（2）已知点A（1，0）、B（0，1），点W（x，y）满足：，求点W的轨迹方程．20．（12分）如图所示的几何体是由以等边三角形ABC为底面的棱柱被平面DEF 所截而得，已知FA⊥平面ABC，AB=2，AF=2，BD=1，CE=3，O为BC的中点．（1）求证：面EFD⊥面BCED；（2）求平面DEF与平面ACEF所成锐二面角的余弦值．21．（12分）如图1所示，在边长为12的正方形AA'A1'A1中，BB1∥CC1∥AA1，且AB=3，BC=4，AA1'分别交BB1，CC1于点P，Q，将该正方形沿BB1、CC1折叠，使得A'A1'与AA1重合，构成如图2所示的三棱柱ABC﹣A1B1C1．（1）求三棱锥P﹣ABC与三棱锥Q﹣PAC的体积之和；（2）求直线AQ与平面BCC1B1所成角的正弦值；（3）求三棱锥Q﹣ABC的外接球半径r．22．（12分）“把你的心我的心串一串，串一株幸运草串一个同心圆…”一位数学老师一这句歌词为灵感构造了一道名为《爱2017》的题目，请你解答此题：设O为坐标原点，直线l与圆C1：x2+y2=1相切且与圆C2：x2+y2=r2（r＞1）相交于A、B两不同点，已知，E（x1，y1）、F（x2，y2）分别是圆C1、圆C2上的点．（1）求r的值；（2）求△OEF面积的最大值；（3）若△OEF的外接圆圆心P在圆C1上，已知点D（3，0），求|DE|2+|DF|2的取值范围．2017-2018学年山东省青岛市胶州市高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）铜钱：古代铜质辅币，俗称铜钱，是指秦汉以后的各类方孔圆钱，方孔圆钱的铸期一直延伸到清末民国初年．请问铜钱形成的几何体的三视图中不可能有下列那种图形（）A．正方形B．圆C．三角形D．矩形【解答】解：铜钱看以看成一个圆柱挖去一个底面为正方形的四棱柱所得的组合体，其三视图中有两个是矩形，一个是圆和正方形组成，故铜钱形成的几何体的三视图中不可能有三角形，故选：C．2．（5分）点在圆C：x2+y2=1内部，则实数a的取值范围是（）A．（﹣2，2）B．[﹣2，2]C．D．【解答】解：点在圆C：x2+y2=1内部，则：，解得：．故选：C．3．（5分）已知方程x2+y2﹣2mx﹣4y+5m=0所表示的曲线是圆C，则实数m的取值范围（）A．1＜m＜4 B．m＜1或m＞4 C．m＞4 D．m＜1【解答】解：方程x2+y2﹣2mx﹣4y+5m=0化为：（x﹣m）2+（y﹣2）2=m2﹣5m+4，方程表示圆的方程，所以m2﹣5m+4＞0，解得：m＜1或m＞4．故选：B．4．（5分）圆x2+y2=25内过点（3，0）的弦中最短弦长是（）A．10 B．8 C．4 D．2【解答】解：如图，圆x2+y2=25内过点M（3，0）的弦中最短弦长是2．故选：B．5．（5分）在空间直角坐标系中，已知M（﹣1，0，2），N（3，2，﹣4），则MN的中点Q到坐标原点O的距离为（）A．B．C．2 D．3【解答】解：∵M（﹣1，0，2），N（3，2，﹣4），∴MN的中点Q（1，1，﹣1），∴Q到坐标原点O的距离|QO|==．故选：A．6．（5分）点（2，0）到圆C：x2+（y﹣1）2=1上的点的最大距离是（）A．B．C．3 D．2【解答】解：设（2，0）为点A的坐标，圆C：x2+（y﹣1）2=1的圆心C（0，1），半径r=1，|AC|=，∴点A（2，0）到圆C：x2+（y﹣1）2=1上一点的距离的最大值：d=|AC|+r=+1．故选：A．7．（5分）圆C1：（x+1）2+（y﹣1）2=9与圆C2：（x﹣3）2+（y+4）2=25的位置关系（）A．外离B．相交C．外切D．内切【解答】解：圆C1：（x+1）2+（y﹣1）2=9，圆心坐标为（﹣1，1），半径为3，圆C 2：（x﹣3）2+（y+4）2=25，圆心坐标为（3，﹣4）半径为5，则：圆心距为：O1O2=，则：2=5﹣3＜O1O2＜3+5=8，所以两圆的位置关系为相交．故选：B．8．（5分）垂直于同一条直线的两条直线一定（）A．平行B．相交C．异面D．以上都有可能【解答】解：分两种情况：①在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；②在空间内垂直于同一条直线的两条直线可以平行、相交或异面．故选：D．9．（5分）已知平面α和直线l，则α内至少有一条直线与l（）A．异面B．相交C．平行D．垂直【解答】解：若直线l∥α，α内至少有一条直线与l垂直，当l与α相交时，α内至少有一条直线与l垂直．当l⊂α，α内至少有一条直线与l垂直．故选：D．10．（5分）圆心在直线x﹣y+2=0上，且与两坐标轴都相切的圆的方程为（）A．（x+1）2+（y﹣1）2=1 B．（x﹣1）2+（y+1）2=1 C．（x﹣1）2+（y+1）2=2 D．（x﹣1）2+（y﹣1）2=1【解答】解：设圆心坐标为（x，﹣x）代入直线x﹣y+2=0得x=﹣1，故圆的标准方程为：（x+1）2+（y﹣1）2=1．故选：A．11．（5分）某几何体的三视图均为完全相同的半径为1的直角扇形，则该几何体的表面积S（）A．B．S=πC．D．【解答】解：由已知中几何体的三视图均为完全相同的半径为1的直角扇形，则该几何体是八分之一球，故几何体的表面积S==，故选：D．12．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，则直线AB1与直线BC1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，以A为原点，在平面ABC内过A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，设三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都为2，则A（0，0，0），B1（，1，2），B（，1，0），C1（0，2，2），=（），=（﹣，1，2），设直线AB1与直线BC1所成角为θ，则cosθ===．∴直线AB1与直线BC1所成角的余弦值为．故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若点P（2，﹣1）为圆（x﹣1）2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB 的方程是x﹣y﹣3=0．【解答】解：圆（x﹣1）2+y2=25的圆心C（1，0），点P（2，﹣1）为弦AB的中点，PC的斜率为=﹣1，∴直线AB的斜率为1，点斜式写出直线AB的方程y+1=1×（x﹣2），即x﹣y﹣3=0，故答案为：x﹣y﹣3=0．14．（5分）如图，正方形O'A'B'C'的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积是．【解答】解：由于原几何图形的面积：直观图的面积=2：1又∵正方形O1A1B1C1的边长为1，∴S O1A1B1C1=1原图形的面积S=2故答案为：215．（5分）求过点（2，0）、（0，2）、（0，0）的圆的标准方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．【解答】解：由于所求的圆经过三点A（2，0），B（0，2）和原点O（0，0），故圆心在直线y=x上，又在y+x﹣2=0上，故圆心的坐标为M（1，1），半径为MO=，故要求的圆的标准方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，故答案是：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．16．（5分）有人由“追求”联想到“锥、球”并构造了一道名为《追求2017》的题目，请你解答此题：球O的球心为点O，球O内切于底面半径为、高为3的圆锥，三棱锥V﹣ABC 内接于球O，已知OA⊥OB，AC⊥BC，则三棱锥V﹣ABC的体积的最大值为．【解答】解：圆锥的母线长为=2，设球O的半径为r，则，解得r=1．∵OA⊥OB，OA=OB=1，∴AB=，∵AC⊥BC，∴C在以AB为直径的圆上，∴平面OAB⊥平面ABC，∴O到平面ABC的距离为，故V到平面ABC的最大距离为．又C到AB的最大距离为，∴三棱锥V﹣ABC的体积的最大值为=．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）如图，在底面是菱形的四棱锥P﹣ABCD中，，E、F分别为PD、AB的中点，△PAB为等腰直角三角形，PA⊥平面ABCD，PA=1．（1）求证：直线AE∥平面PFC；（2）求证：PB⊥FC．【解答】证明：（1）取PC的中点M，连接EM，FM．又E点为PD的中点，∴ME CD，又AF CD，∴AF EM，∴四边形AFME是平行四边形，∴AE∥FM，又AE⊄平面PFC，FM⊂平面PFC，∴直线AE∥平面PFC．（2）∵△PAB为等腰直角三角形，PA⊥平面ABCD，PA=1．∴PA⊥FC，PA⊥AB，PA=AB=1，∵F为AB的中点，BF=，∴在底面是菱形的四棱锥P﹣ABCD中，，可得：BC=1，CF=，∴△BFC中，CF2+BF2=BC2，可得：CF⊥BF，又∵PA∩BA=A，∴CF⊥平面PAB，∵PB⊂平面PAB，∴PB⊥FC．18．（12分）设坐标原点为O，已知圆O：x2+y2=2与直线l：y=x+b相交于A、B 两不同点．（1）求实数b的取值范围；（2）若∠AOB=，求实数b的值．【解答】解：（1）设y=x+b与圆x2+y2=2相切，则=，∴b=±2．∵已知圆O：x2+y2=2与直线l：y=x+b相交于A、B两不同点，∴﹣2＜b＜2．（2）圆O的半径为r=，∵∠AOB=，∴O到直线l的距离d=rcos=．∴=．解得b=±．19．（12分）设坐标原点为O，过点P（x0，y0）做圆O：x2+y2=2的切线，切点为Q，．（1）求|OP|的值；（2）已知点A（1，0）、B（0，1），点W（x，y）满足：，求点W的轨迹方程．【解答】解：（1）∵PQ与圆相切，∴PQ⊥OQ，又|OQ|=|PQ|=，∴|OP|=2．（2）设W（x，y），则=（x，y﹣1），又=（x0+1，y0），∴x0=x﹣1，y0=y﹣1．由（1）可知|OP|=2，∴（x﹣1）2+（y﹣1）2=4．即点W的轨迹方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=4．20．（12分）如图所示的几何体是由以等边三角形ABC为底面的棱柱被平面DEF 所截而得，已知FA⊥平面ABC，AB=2，AF=2，BD=1，CE=3，O为BC的中点．（1）求证：面EFD⊥面BCED；（2）求平面DEF与平面ACEF所成锐二面角的余弦值．【解答】证明：（1）取DE的中点G，以O为原点，OC为x轴，OA为y轴，OG 为z轴，建立空间直角坐标系，如图，则A（0，，0）、B（0，﹣1，0）、C（1，0，0）、D（﹣1，0，1），E（1，0，3）、F（0，，2）、G（0，0，2），=（2，0，2），=（1，，1），设平面DEF的一法向量=（x，y，z），则，取x=1，则y=0，z=﹣1，∴=（1，0，﹣1），平面BCED的一法向量为=（0，1，0），∵=0，∴平面DEF⊥平面BCED．（2）由（1）知平面DEF的一法向量=（1，0，﹣1），设平面ACEF的一法向量=（a，b，c），=（1，﹣，0），=（0，0，2），则，取b=1，得=（），cos＜＞===，∴平面DEF与平面ACEF相交所成锐角二面角的余弦值为．21．（12分）如图1所示，在边长为12的正方形AA'A1'A1中，BB1∥CC1∥AA1，且AB=3，BC=4，AA1'分别交BB1，CC1于点P，Q，将该正方形沿BB1、CC1折叠，使得A'A1'与AA1重合，构成如图2所示的三棱柱ABC﹣A1B1C1．（1）求三棱锥P﹣ABC与三棱锥Q﹣PAC的体积之和；（2）求直线AQ与平面BCC1B1所成角的正弦值；（3）求三棱锥Q﹣ABC的外接球半径r．【解答】解：（1）在图1中，∵△PAB，△ACQ是等腰直角三角形，∴PB=3，CQ=7，∵AB=3，BC=4，AC=12﹣3﹣4=5，∴AB⊥BC，∴B到AC的距离d==．∴V P===6，﹣ABCV Q﹣PAC=V P﹣QAC===14，∴三棱锥P﹣ABC与三棱锥Q﹣PAC的体积之和为6+14=20．（2）连接BQ，∵BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥AB，又AB⊥BC，BC∩BB1=B，∴AB⊥平面BCC1B1，∴∠AQB是直线AQ与平面BCC1B1所成角．∵AQ==，∴sin∠AQB==．（3）设AQ的中点为M，∵△ABQ和△ACQ是直角三角形，∴MA=MB=MC=MQ，∴三棱锥Q﹣ABC的外接球球心为M．∴三棱锥Q﹣ABC的外接球半径r=AQ=．22．（12分）“把你的心我的心串一串，串一株幸运草串一个同心圆…”一位数学老师一这句歌词为灵感构造了一道名为《爱2017》的题目，请你解答此题：设O为坐标原点，直线l与圆C1：x2+y2=1相切且与圆C2：x2+y2=r2（r＞1）相交于A、B两不同点，已知，E（x1，y1）、F（x2，y2）分别是圆C1、圆C2上的点．（1）求r的值；（2）求△OEF面积的最大值；（3）若△OEF的外接圆圆心P在圆C1上，已知点D（3，0），求|DE|2+|DF|2的取值范围．【解答】解：（1）如图所示，直线l与圆C1：x2+y2=1相切的切点P是弦AB的中点，且OP⊥AB，AB=2AP=2，解得r=2；（2）△OEF的面积S=|OE|×|OF|•sin∠EOF，故当OE⊥OF时，△OEF面积的最大值为：S=|OE|×|OF|=×1×2=1；（3）△OEF的外接圆圆心P在圆C1上，即PE=PF=PO=1，则△OEF的外接圆与C2内切，且∠EOP=60°，不妨令P（cosα，sinα），则F（2cosα，2sinα），E（cos（α+60°），sin（α+60°）），∵点D（3，0），∴=（cos（α+60°）﹣3，sin（α+60°）），=（2cosα﹣3，2sinα），|DE|2+|DF|2=[cos（α+60°）﹣3]2+sin2（α+60°）+（2cosα﹣3）2+（2sinα）2=23﹣15cosα+3sinα=6sin（α﹣φ）+23，其中tanφ=，故|DE|2+|DF|2的取值范围为[23﹣6，23+6]赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC.（1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=APBC的面积是36，求△ACB的周长.2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。