2018届苏教版(理) 抛物线单元测试

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高中物理《抛体运动》单元测试

高中物理《抛体运动》单元测试学校:________ 班级:________ 姓名:________ 学号:________一、单选题（共13小题）1.取水平地面为重力势能零点，一物块从某一高度水平抛出，在抛出点其动能与重力势能恰好相等．不计空气阻力，该物块落地时的速度方向与水平方向的夹角为（）A．B．C．D．2.距地面高5m的水平直轨道上A、B两点相距2m，在B点用细线悬挂一小球，离地高度为h，如图．小车始终以4m/s的速度沿轨道匀速运动，经过A点时将随车携带的小球由轨道高度自由卸下，小车运动至B点时细线被轧断，最后两球同时落地．不计空气阻力，取重力加速度的大小g=10m/s2．可求得h 等于（）A．1.25m B．2.25m C．3.75m D．4.75m3.如图所示为足球球门，球门宽为L，一个球员在球门中心正前方距离球门s处高高跃起，将足球顶入球门的左下方死角（图中P点），球员顶球点的高度为h，足球做平抛运动（足球可看成质点，忽略空气阻力），则（）A．足球位移的大小x＝B．足球初速度的大小v0＝C．足球末速度的大小v＝D．足球初速度的方向与球门线夹角的正切值tanθ＝4.在同一位置以相同的速率把三个小球分别沿水平、斜向上、斜向下方向抛出，不计空气阻力，则落在同一水平地面时的速度大小（）A．一样大B．水平抛出的最大C．斜向上抛的最大D．斜向下抛的最大5.如图所示，帆板在海面上以速度v朝正西方向运动，帆船以速度v朝正北方向航行，以帆板为参照物（）A．帆船朝正东方向航行，速度大小为vB．帆船朝正西方向航行，速度大小为vC．帆船朝南偏东45°方向航行，速度大小为vD．帆船朝北偏东45°方向航行，速度大小为v6.一水平抛出的小球落到一倾角为θ的斜面上时，其速度方向与斜面垂直，运动轨迹如图中虚线所示．小球在竖直方向下落的距离与在水平方向通过的距离之比为（）A．B．C．tanθD．2tanθ7.在离地高h处，沿竖直方向向上和向下抛出两个小球，它们的初速度大小均为v，不计空气阻力，两球落地的时间差为（）A．B．C．D．8.一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示，水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为h，发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h，不计空气的作用，重力加速度大小为g，若乒乓球的发射速率v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，v的取值范围是（）A．＜v＜L1B．＜v＜C．＜v＜D．＜v＜9.有一条两岸平直、河水均匀流动、流速恒为v的大河。

苏教版高中数学选修电子题库抛物线含答案

1.已知抛物线的准线方程是x ＝－7，则抛物线的标准方程是________．解析：由题意，设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)，准线方程是x ＝－p 2，则－p2＝－7，解得p ＝14，故所求抛物线的标准方程为y 2＝28x .答案：y 2＝28x2.抛物线y ＝1ax 2(a ≠0)的焦点坐标是________．解析：y ＝1ax 2(a ≠0)化为标准方程x 2＝ay ，故焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，a 4. 答案：⎝⎛⎭⎫0，a 4 3.已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆x 2＋y 2－6x －7＝0相切，则p 的值为________．解析：抛物线的准线为x ＝－p2，将圆的方程化简得到(x －3)2＋y 2＝16，准线与圆相切，则－p2＝－1⇒p ＝2.答案：2 4.(2010·高考上海卷)动点P 到点F (2，0)的距离与它到直线x ＋2＝0的距离相等，则点P 的轨迹方程为________．解析：由题意知，点P 的轨迹是以点F (2，0)为焦点，以直线x ＋2＝0为准线的抛物线，所以p ＝4，得出抛物线方程为y 2＝8x ，即为所求．答案：y 2＝8x[A 级基础达标]1.以双曲线x 216－y 29＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为________．解析：∵双曲线的方程为x 216－y 29＝1，∴右顶点为(4，0)．设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)，则p2＝4，即p ＝8，∴抛物线的标准方程为y 2＝16x .故填y 2＝16x .答案：y 2＝16x2.抛物线x 2＝4ay (a ≠0)的准线方程为________．解析：抛物线x 2＝4ay (a ≠0)的焦点坐标及准线方程与a 的符号无关，只与焦点所在的坐标轴有关．∵抛物线的焦点在y 轴上，∴准线方程为y ＝－4a4，即y ＝－a .答案：y ＝－a3.抛物线y ＝12x 2的焦点到准线的距离为________．解析：将方程化为标准形式是x 2＝112y ，因为2p ＝112，所以p ＝124，故焦点到准线的距离为124. 答案：1244.已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，AF ＋BF ＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为________．解析：如图，由抛物线的定义知，AM ＋BN ＝AF ＋BF ＝3.CD ＝32，所以中点C 的横坐标为32－14＝54，即线段AB 的中点到y 轴的距离为54.答案：545.动圆M 经过点A (3，0)且与直线l ：x ＝－3相切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________．解析：设动圆圆心M 到直线l 的距离为d ，则MA ＝d .由抛物线的定义，M 的轨迹为抛物线，以A (3，0)为焦点、直线l 为准线，方程为y 2＝12x .答案：y 2＝12x6.(1)抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，又知抛物线经过点P (4，2)，求抛物线的方程；(2)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)上一点A (m ，4)到其焦点的距离为174，求p 与m 的值．解：(1)∵抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴， ∴抛物线的方程为标准方程．又∵点P (4，2)在第一象限，∴抛物线的方程设为y 2＝2px ，x 2＝2py (p >0)．当抛物线为y 2＝2px 时，则有22＝2p ×4，故2p ＝1，y 2＝x ；当抛物线为x 2＝2py 时，则有42＝2p ×2，故2p ＝8，x 2＝8y . 综上，所求的抛物线的方程为y 2＝x 或x 2＝8y .(2)由抛物线方程得其准线方程y ＝－p2，根据抛物线定义，点A (m ，4)到焦点的距离等于它到准线的距离，即4＋p 2＝174，解得p ＝12；∴抛物线方程为：x 2＝y ，将A (m ，4)代入抛物线方程，解得m ＝±2.7.抛物线的顶点是椭圆16x 2＋25y 2＝400的中心，而焦点是椭圆的右焦点，求此抛物线的方程．解：椭圆方程可化为x 225＋y 216＝1，c 2＝25－16＝9，c ＝3，故中心(0，0)，右焦点为(3，0)．设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，则p2＝3，故p ＝6，所以抛物线方程为y 2＝12x .[B 级能力提升]8.(2010·高考浙江卷)设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (0，2)．若线段F A 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为________．解析：利用抛物线的定义结合题设条件可得出p 的值为2，B 点坐标为⎝⎛⎭⎫24，1，所以点B 到抛物线准线的距离为342.答案：3429.若双曲线x 23－16y 2p2＝1的左焦点在抛物线y 2＝2px 的准线上，则p 的值为________．解析：把双曲线x 23－16y 2p 2＝1化为标准形式x 23－y 2p 216＝1，故c 2＝3＋p 216，c ＝3＋p 216＝48＋p 24，左焦点⎝ ⎛⎭⎪⎫－48＋p 24，0，由题意知，抛物线的准线方程为x ＝－48＋p 24，又抛物线y 2＝2px 的准线方程为x ＝－p 2，所以－48＋p 24＝－p 2，解得，p ＝4或p ＝－4(舍去)．故p ＝4.答案：410.抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，并与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为⎝⎛⎭⎫32，6，求抛物线与双曲线的方程．解：由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，∴p ＝2c .设抛物线方程为y 2＝4c ·x ，∵抛物线过点⎝⎛⎭⎫32，6，∴6＝4c ·32.∴c ＝1，故抛物线方程为y 2＝4x . 又双曲线x 2a 2－y 2b2＝1过点⎝⎛⎭⎫32，6， ∴94a 2－6b 2＝1.又a 2＋b 2＝c 2＝1，∴ 94a 2－61－a 2＝1. ∴a 2＝14或a 2＝9(舍去)．∴b 2＝34，故双曲线方程为：4x 2－4y 23＝1.11.(创新题)已知抛物线x 2＝4y ，点P 是抛物线上的动点，点A 的坐标为(12，6)，求点P 到点A 的距离与到x 轴的距离之和的最小值．解：将x ＝12代入x 2＝4y ，得y ＝36>6，所以点A 在抛物线外部．抛物线焦点为F (0，1)，准线l ：y ＝－1.如图所示，过P 点作PB ⊥l 于点B ，交x 轴于点C ，则P A ＋PC ＝P A ＋PB －1＝P A ＋PF －1.由图可知，当A 、P 、F 三点共线时，P A ＋PF 的值最小，所以P A ＋PF 的最小值为F A ＝13，故P A ＋PC 的最小值为12.。

2018届高中数学苏教版圆锥曲线的综合问题单元测试 Word版含答案

考点25 圆锥曲线的综合问题一、填空题1.（2016²重庆高考理科²Ｔ14）过抛物线x y 22=的焦点F 作直线交抛物线于B A ,两点,若BF AF AB <=,1225,则=AF . 【解题指南】设出两点的坐标,根据焦点弦的性质进行求解. 【解析】由题意可设))(,(),,(212211x x y x B y x A <,直线AB 的方程为)21(-=x k y联立⎪⎩⎪⎨⎧-==)21(22x k y xy ,消去y 整理得04)2(2222=++-k x k x k 所以4121=x x ,又由焦点弦的性质可知,1225121=++=x x AB 联立解得311=x ,所以652131=+=AF . 【答案】652.（2016²重庆高考文科²Ｔ14）设P 为直线x aby 3=与双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 左支的交点,1F 是左焦点,1PF 垂直于x 轴,则双曲线的离心率=e .【解析】由题意可知点P 的横坐标为c -,代入双曲线的方程可得12222=-b y a c解得a b y 2±=,由条件可知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b c P 2,,因为点P 在直线x a b y 3=上所以)(32c a b a b -⨯=-,解得b c 3=,所以b a 22=,423==a c e【答案】423 二、解答题3.（2016²大纲版全国卷高考文科²Ｔ22）与（2016²大纲版全国卷高考理科² Ｔ21）相同已知抛物线2)1(:+=x y C 与圆:M )0()21()1(222>=-+-r r y x 有一个公共点A ，且在A 处两曲线的切线为同一直线l . （Ⅰ）求r ；（Ⅱ）设m 、n 是异于l 且与C 及M 都相切的两条直线，m 、n 的交点为D ，求D 到l 的距离.【解题指南】解决本题要抓住公共点A 这个关键，设出切点坐标，对2)1(:+=x y C 进行求导，写出切线方程，利用圆的切线垂直经过切点的半径这一性质列出等量关系. 【解析】（Ⅰ）设)12,(0200++x x x A ，12)1(22++=+=x x x y ，y 2x 2'∴=+，则直线l 的斜率2201+=x k ，又圆:M )0()21()1(222>=-+-r r y x ，则)21,1(M ,则直线AM 的斜率1211200202--++=x x x k ，121-=⋅∴k k即112112)22(00200-=--++⋅+x x x x ，整理得03302030=++x x x ，0)33(0200=++x x x ，解得00=x 或033020=++x x而方程033020=++x x 无解，2000x 0,x 2x 11,∴=++=即切点)1,0(A25)121()01(22=-+-=r . （Ⅱ）设)12,(2++t t t 为C 上一点，则在该点处的切线方程为：))(1(2)12(2t x t t t y -+=++-，整理得1)1(22+-+=t x t y .若该直线与圆M 相切，则圆心到该切线的距离为25，21|2(t 1)1t 1|+⨯--+=，化简得，0)64(22=--t t t . 解得00=t 或1021+=t 或1022-=t .抛物线C 在点2i i (t ,(t 1)(i 0,1,2)+=）处的切线分别为n m l ,,，其方程分别为12+=x y ①1)1(2211+-+=t x t y ②1)1(2222+-+=t x t y ③②-③得2221=+=t t x .将2=x 代入②得1-=y ，故)1,2(-D , 所以D 到l 的距离为556)1(2|1)1(22|22=-++--⨯=d . 4.（2016²重庆高考理科²Ｔ20）如图，设椭圆的中心为原点O ,长轴在x 轴上,上顶点为A ,左、右焦点分别为21,F F ,线段21,OF OF 的中点分别为21,B B ,且21B AB ∆是面积为4的直角三角形. (1)求该椭圆的离心率和标准方程;(2)过1B 作直线l 交椭圆于Q P ,两点,使22QB PB ⊥,求直线l 的方程.【解题指南】利用椭圆的定义和性质,可根据已知条件求出椭圆的离心率和标准方程.根据直线和椭圆的位置关系可求解直线l 的方程.【解析】(1)如图,设所求椭圆的标准方程为)0(12222>>=+b a by a x ，右焦点)0,(2c F .因为21B AB ∆是直角三角形,且21AB AB =，21AB B ∠为直角，从而2OB OA =，即2c b =，结合222b a c -=得2224b a b -=，故225b a =,224b c =，所以离心率552==a c e . 在21B AB Rt ∆中,21B B OA ⊥,故。

抛物线考试题(理科班)

修文县华驿私立中学2013-2014学年度第一学期数学单元测试卷（抛物线）学号：姓名：得分：一、选择题（以下每小题均有A,B,C,D 四个选项，其中只有一个选项正确，请把你的正确答案在答题卡中按要求涂黑，每小题4分，共40分）1．顶点在原点，焦点为F (0,5)的抛物线方程是 ( )A ．y 2＝20xB ．x 2＝20yC ．y 2＝120xD ．x 2＝120y 2. 抛物线22x y =的焦点坐标是（）A ．)0,1(B ．)0,41(C ．)81,0(D ． )41,0( 3．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则实数a 的值为 ( )A.18 B ．－18 C ．8 D ．－84．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆x 2＋y 2－6x －7＝0相切，则p 的值为 ( )A.12B ．1C ．2D ．4 5. 点)0,1(P 到曲线⎩⎨⎧==ty t x 22（其中参数R t ∈）上的点的最短距离为（）A ．0B ．1C ．2D ．26. 以x 轴为对称轴的抛物线的通径长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为 ( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝8x 或y 2＝－8xD ．x 2＝8y 或x 2＝－8y 7. 已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F ，点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)、P 3(x 3，y 3)在抛物线上，且2x 2＝x 1＋x 3，则有 ( )A ．|FP 1|＋|FP 2|＝|FP 3|B ．|FP 1|2＋|FP 2|2＝|FP 3|2C ．|FP 1|＋|FP 3|＝2|FP 2|D ．|FP 1|·|FP 3|＝|FP 2|28. 抛物线y 2＝12x 截直线y ＝2x ＋1所得弦长等于 ( )A.15 B ．215 C.152D ．159. 已知抛物线)0(22>=p px y 的焦点弦AB 的两端点为),(),,(2211y x B y x A , 则关系式2121x x y y 的值一定等于（）A ．4B ．－4C ．p 2D ．－p 10. 若点A 的坐标为（3，2），F 为抛物线x y 22=的焦点，点P 是抛物线上的一动点，则当点P 到A 点与到F 点距离之和取得最小值时点P 的坐标是（）A ．（0，0）B ．（1，1）C ．（2，2）D ．)1,21(二、填空题(每题4分，共20分，把答案填在对应横线上)11．抛物线y 2＝4x 上的点P 到焦点F 的距离是5，则P 点的坐标是________．12．已知直线x －y －1＝0与抛物线y ＝ax 2相切，则a ＝________.13．抛物线y 2＝4x 与直线2x ＋y －4＝0交于两点A 与B ，F 是抛物线的焦点，则|FA |＋|FB |＝________.14. 如果过两点)0,(a A 和),0(a B 的直线与抛物线322--=x x y 没有交点，那么实数a 的取值范围是．15. 直线x －2y －2=0与抛物线x=2y 2交于A 、B 两点，F 是抛物线的焦点，则△ABF 的面积为。

2018届苏教版抛物线单元测试

抛物线基础巩固组1.已知抛物线x 2=ay 的焦点恰好为双曲线y 2-x 2=2的上焦点,则a=( ).A.1B.4C.8D.16答案:C解析:根据抛物线方程可得其焦点坐标为 0,a4 ,双曲线的上焦点为(0,2),依题意则有a4=2,解得a=8.2.已知点A (-2,3)在抛物线C :y 2=2px 的准线上,记C 的焦点为F ,则直线AF 的斜率为( ). A.-43 B.-1C.-34D.-12答案:C解析:由已知,得准线方程为x=-2,∴F 的坐标为(2,0).又A (-2,3),∴直线AF 的斜率为k=3-0-2-2=-34.故选C.3.若抛物线y=-4x 2上的一点M 到焦点的距离为1,则点M 的纵坐标是( ). A.-1716B.-1516C .1716D .1516答案:B解析:抛物线方程可化为x 2=-y 4,其准线方程为y=116.设M (x 0,y 0),则由抛物线的定义,可知116-y 0=1⇒y 0=-1516.4.已知抛物线C 的顶点为原点,焦点在x 轴上,直线x-y=0与抛物线C 交于A ,B 两点,若P (1,1)为线段AB 的中点,则抛物线C 的方程为( ). A.y=2x 2 B.y 2=2x C.x 2=2y D.y 2=-2x答案:B解析:设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),抛物线方程为y 2=2px ,则 y 12=2px 1,y 22=2px 2,两式相减可得2p=y 1-y 2x 1-x 2×(y 1+y 2)=k AB ×2=2,即可得p=1,故抛物线C 的方程为y 2=2x.5.已知抛物线C :y 2=8x 的焦点为F ,准线与x 轴的交点为K ,点A 在C 上,且|AK|= 2|AF|,则△AFK 的面积为 ( ).A.4B.8C.16D.32答案:B解析:∵抛物线C :y 2=8x 的焦点为F (2,0),准线为x=-2,∴K (-2,0).设A (x 0,y 0),过点A 向准线作垂线AB ,垂足为B ,则B (-2,y 0).∵|AK|= 2|AF|,又|AF|=|AB|=x 0-(-2)=x 0+2,∴由|BK|2=|AK|2-|AB|2,得y 02=(x 0+2)2,即8x 0=(x 0+2)2,解得A (2,±4).故△AFK 的面积为12|KF|·|y 0| =12×4×4=8.6.已知抛物线x 2=2py (p 为常数,p ≠0)上不同两点A ,B 的横坐标恰好是关于x 的方程x 2+6x+4q=0(q 为常数)的两个根,则直线AB 的方程为 . 答案:3x+py+2q=0解析:由题意知,直线AB 与x 轴不垂直.设直线AB 的方程为y=kx+m ,与抛物线方程联立,得x 2-2pkx-2pm=0, 此方程与x 2+6x+4q=0同解, 则 -2pk =6,-2pm =4q ,解得 k =-3p ,m =-2q . 故直线AB 的方程为y=-3px-2q p , 即3x+py+2q=0.7.(2015课标全国高考Ⅰ)在直角坐标系xOy 中,曲线C :y=x 24与直线l :y=kx+a (a>0)交于M ,N 两点. (1)当k=0时,分别求C 在点M 和N 处的切线方程;(2)y 轴上是否存在点P ,使得当k 变动时,总有∠OPM=∠OPN ?说明理由. 解:(1)由题设可得M (2 a ,a ),N (-2 a ,a ),或M (-2 a ,a ),N (2 a ,a ).又y'=x2,故y=x 24在x=2 a 处的导数值为 a ,C 在点(2 a ,a )处的切线方程为y-a= a (x-2 a ),即 a x-y-a=0.y=x 24在x=-2 a 处的导数值为- a ,C 在点(-2 a ,a )处的切线方程为y-a=- a (x+2 a ),即 a x+y+a=0.故所求切线方程为 a x-y-a=0和 a x+y+a=0. (2)存在符合题意的点,证明如下:设P (0,b )为符合题意的点,M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),直线PM ,PN 的斜率分别为k 1,k 2. 将y=kx+a 代入C 的方程得x 2-4kx-4a=0. 故x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-4a. 从而k 1+k 2=y 1-b x 1+y 2-b x 2=2kx 1x 2+(a -b )(x 1+x 2)x 1x 2=k (a +b )a. 当b=-a 时,有k 1+k 2=0,则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补, 故∠OPM=∠OPN ,所以点P (0,-a )符合题意.能力提升组8.(2015四川高考)设直线l 与抛物线y 2=4x 相交于A ,B 两点,与圆(x-5)2+y 2=r 2(r>0)相切于点M ,且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条,则r 的取值范围是 ( ).A.(1,3)B.(1,4)C.(2,3)D.(2,4)答案:D解析:如图所示,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (x 0,y 0),则 y 12=4x 1,y 22=4x 2,两式相减,得(y 1+y 2)(y 1-y 2)=4(x 1-x 2).当l 的斜率不存在,即x 1=x 2时,符合条件的直线l 必有两条. 当l 的斜率k 存在,即x 1≠x 2时,有2y 0(y 1-y 2)=4(x 1-x 2),即k=2y 0.由CM ⊥AB ,得k CM =y 0x 0-5=-y02,即x 0=3.因为点M 在抛物线内部,所以y 02<4x 0=12, 又x 1≠x 2,所以y 1+y 2≠0,即0<y 02<12.因为点M 在圆上,所以(x 0-5)2+y 02=r 2,即r 2=y 02+4.所以4<r 2<16,即2<r<4,故选D .9.已知抛物线y 2=2px ,以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是( ). A.相离 B.相交 C.相切 D.不确定答案:C解析:设抛物线焦点弦为AB ,中点为M ,准线l ,A 1,B 1分别为A ,B 在直线l 上的射影,则|AA 1|=|AF|,|BB 1|=|BF|,于是点M 到l 的距离d=12(|AA 1|+|BB 1|) =12(|AF|+|BF|)=12|AB|=半径,故相切.10.设x 1,x 2∈R ,常数a>0,定义运算“*”,x 1*x 2=(x 1+x 2)2-(x 1-x 2)2,若x ≥0,则动点P (x , x *a )的轨迹是 ( ).A.圆B.椭圆的一部分C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分答案:D解析:由x*a=(x+a )2-(x-a )2=4ax ,则 x *a = 4ax .即y 2=4ax (x ≥0,y ≥0).11.(2014课标全国高考Ⅰ)已知抛物线C :y 2=8x 的焦点为F ,准线为l ,P 是l 上一点,Q 是直线PF 与C 的一个交点.若FP =4FQ ,则|QF|=( ). A .72B.3 C .52D.2答案:B解析:如图,由抛物线的定义知焦点到准线的距离p=|FM|=4.过Q 作QH ⊥l 于H ,则|QH|=|QF|. 由题意,得△PHQ ∽△PMF , 则有|HQ ||MF |=|PQ ||PF |=34,∴|HQ|=3. ∴|QF|=3.12.已知过抛物线x 2=2py (p>0)的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A ,B 两点,A ,B 在x 轴上的正射影分别为D ,C.若梯形ABCD 的面积为12 2,则p= . 答案:2解析:设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则|AB|=y 1+y 2+p ,|AD|+|BC|=|AB|-p ,直线AB 方程为y=x+p2,代入x 2=2py ,得y 2-3py+p 24=0, 则y 1+y 2=3p ,|AB|=y 1+y 2+p=4p. 因为梯形ABCD 的面积为12 2, 所以S 梯形=12(|AD|+|BC|)·|CD| =12×3p ×2=12 解得p=2(负值舍去).13.(2015湖南高考)已知抛物线C 1:x 2=4y 的焦点F 也是椭圆C 2:y 2a2+x 2b 2=1(a>b>0)的一个焦点,C 1与C 2的公共弦的长为2 6. (1)求C 2的方程;(2)过点F 的直线l 与C 1相交于A ,B 两点,与C 2相交于C ,D 两点,且AC与BD 同向. ①若|AC|=|BD|,求直线l 的斜率;②设C 1在点A 处的切线与x 轴的交点为M.证明:直线l 绕点F 旋转时,△MFD 总是钝角三角形.解:(1)由C 1:x 2=4y 知其焦点F 的坐标为(0,1).因为F 也是椭圆C 2的一个焦点, 所以a 2-b 2=1.①又C 1与C 2的公共弦的长为2 6,C 1与C 2都关于y 轴对称,且C 1的方程为x 2=4y ,由此易知C 1与C 2的公共点的坐标为 ± 6,32 ,所以94a 2+6b2=1.②联立①,②得a 2=9,b 2=8.故C 2的方程为y 29+x 28=1. (2)如图,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),C (x 3,y 3),D (x 4,y 4).①因AC 与BD 同向,且|AC|=|BD|, 所以AC =BD,从而x 3-x 1=x 4-x 2, 即x 1-x 2=x 3-x 4,于是(x 1+x 2)2-4x 1x 2=(x 3+x 4)2-4x 3x 4. ③设直线l 的斜率为k ,则l 的方程为y=kx+1. 由 y =kx +1,x 2=4y 得x 2-4kx-4=0. 而x 1,x 2是这个方程的两根,所以x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-4. ④由 y =kx +1,x 28+y 29=1得(9+8k 2)x 2+16kx-64=0. 而x 3,x 4是这个方程的两根, 所以x 3+x 4=-16k9+8k2,x 3x 4=-649+8k 2.⑤将④,⑤代入③,得16(k 2+1)=162k 2(9+8k 2)2+4×649+8k 2,即16(k 2+1)=162×9(k 2+1)(9+8k 2)2,所以(9+8k 2)2=16×9,解得k=± 64,即直线l 的斜率为± 64.②由x 2=4y 得y'=x 2,所以C 1在点A 处的切线方程为y-y 1=x12(x-x 1),即y=x 1x 2−x 124. 令y=0得x=x12,即M x12,0 , 所以FM = x 12,-1 . 而FA =(x 1,y 1-1),于是FA ·FM =x 122-y 1+1=x 124+1>0,因此∠AFM 是锐角,从而∠MFD=180°-∠AFM 是钝角.故直线l 绕点F 旋转时,△MFD 总是钝角三角形.。

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考点34 抛物线一、选择题1.(2016·全国卷Ⅰ高考理科·T10)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A,B 两点,交C 的准线于D,E 两点.已知|AB|=4,则C 的焦点到准线的距离为 ( )A.2B.4C.6D.8【解析】选B.以开口向右的抛物线为例来解答,其他开口同理可得. 设抛物线为y 2=2px(p>0),设圆的方程为x 2+y 2=r 2,题目条件翻译如图:设A(x 0,2p2⎛-⎝,点A(x 0,2在抛物线y 2=2px 上,所以8=2px 0. ①点D p 2⎛- ⎝在圆x 2+y 2=r 2上,所以5+2p 2⎛⎫- ⎪⎝⎭=r 2. ②点A(x 0,2在圆x 2+y 2=r 2上,所以20x +8=r 2. ③ 联立①②③解得:p=4,焦点到准线的距离为p=4.2.(2016·全国卷Ⅱ文科·T5)设F 为抛物线C:y 2=4x 的焦点,曲线y=kx(k>0)与C 交于点P,PF ⊥x 轴,则k= ( )A.12 B .1 C.32D.2【解题指南】P 是两条曲线的交点,先利用抛物线方程y 2=4x 求出交点坐标,再代入曲线方程y=k x.【解析】选D.因为抛物线方程是y 2=4x,所以F(1,0). 又因为PF ⊥x 轴,所以P(1,2),把P 点坐标代入曲线方程y=k x(k>0), 即k 1=2,所以k=2.3.(2016·四川高考理科·T8)设O 为坐标原点,P 是以F 为焦点的抛物线y 2=2px(p>0)上任意一点,M 是线段PF 上的点,且|PM|=2|MF|,则直线OM 斜率的最大值为 ( )B.23 C.D.1 【解题指南】设出点P 的坐标,表示出点M 坐标,从而表示出直线OM 的斜率,进而求出其最大值.【解析】选C.如图,由题可知F p ,02⎛⎫ ⎪⎝⎭,设P 点坐标为200y ,y 2p ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭显然,当y 0<0时,k OM <0;y 0>0时,k OM >0,要求k OM 的最大值,不妨设y 0>0.则()11OM OF FM OF F =+=+=+-P OF OP OF =33200y y 12p OP OF ,336p 33+=⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭2y23==y2py pp y6p3=OMk≤++,当且仅当2y=2p2时等号成立.4.(2016·四川高考文科·T3)抛物线y2=4x的焦点坐标是()A.(0,2)B.(0,1)C.(2,0)D.(1,0)【解题指南】根据抛物线的标准方程求解.【解析】选D.由题意,y2=4x的焦点坐标为(1,0).二、填空题5.(2016·浙江高考理科·T9)若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y 轴的距离是.【解题指南】根据抛物线的定义求解.【解析】x M+1=10⇒x M=9.答案:9三、解答题6.(2016·浙江高考文科·T19)如图,设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|-1.(1)求p的值.(2)若直线AF交抛物线于另一点B,过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N,AN与x轴交于点M.求M的横坐标的取值范围.【解题指南】根据抛物线的几何性质及直线与抛物线的位置关系求解.【解析】(1)由题意知抛物线上的点A 到焦点F 的距离等于点A 到直线x=-1的距离,由抛物线的定义得p2=1,所以p=2.(2)由(1)得抛物线的方程为y 2=4x,F(1,0),可设A(t 2,2t),t ≠0,t ≠±1.因为AF 不垂直于y 轴,可设直线AF:x=sy+1(s ≠0),由2y 4x,x sy 1⎧=⎨=+⎩消去x 得y 2-4sy-4=0,故y 1y 2=-4,所以B 212,t t ⎛⎫-⎪⎝⎭, 又直线AB 的斜率为22tt 1-,故直线FN 的斜率为-2t 12t -,从而得直线FN:y=-2t 12t- (x-1),直线BN:y=-2t ,所以N 22t 32,t t 1⎛⎫+- ⎪-⎝⎭. 设M(m,0),由A,M,N 三点共线,得222222t 2t t t m t 3t t 1+=-+--, 所以m=2222t 21t 11t=--,所以m<0或m>2,经检验m<0或m>2满足题意.综上,点M 的横坐标的取值范围是(-∞,0)∪(2,+∞).关闭Word 文档返回原板块。

2019届苏教版(理科数学) 抛物线单元测试

（四十七）抛物线一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．抛物线y ＝2x 2的准线方程为________．解析：因为x 2＝12y ，所以2p ＝12，p ＝14，所以准线方程为y ＝－18.答案：y ＝－182．(2018·扬州期末)若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点也是双曲线x 2－y 2＝8的一个焦点，则p ＝________.解析：抛物线y 2＝2px 的焦点为⎝⎛⎭⎫p 2，0，双曲线x 2－y 2＝8的右焦点为(4,0)，故p2＝4，即p ＝8.答案：83．已知AB 是抛物线y 2＝2x 的一条焦点弦，AB ＝4，则AB 中点C 的横坐标是________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB ＝x 1＋x 2＋p ＝4，又p ＝1，所以x 1＋x 2＝3，所以点C 的横坐标是x 1＋x 22＝32.答案：324．(2018·前黄中学检测)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为________．解析：由于抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线方程为x ＝－p 2，由题意得－p2＝－1，p ＝2，所以焦点坐标为()1，0. 答案：()1，05．已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，且点P 到y 轴的距离与其到焦点的距离之比为12，则点P 到x 轴的距离为________．解析：设点P 的坐标为(x P ，y P )，抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，根据抛物线的定义，点P 到焦点的距离等于点P 到准线的距离，故x P x P －(－1)＝12，解得x P ＝1，所以y 2P ＝4，所以|y P |＝2.答案：26．一个顶点在原点，另外两点在抛物线y 2＝2x 上的正三角形的面积为________．解析：如图，根据对称性：A ，B 关于x 轴对称，故∠AOx ＝30°.直线OA 的方程y ＝33x ，代入y 2＝2x ，得x 2－6x ＝0，解得x ＝0或x ＝6. 即得A 的坐标为(6,23)．所以AB ＝43，正三角形OAB 的面积为12×43×6＝12 3.答案：12 3二保高考，全练题型做到高考达标1．抛物线y ＝4ax 2(a ≠0)的焦点坐标是________．解析：将y ＝4ax 2(a ≠0)化为标准方程得x 2＝14a y (a ≠0)，所以焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，116a . 答案：⎝⎛⎭⎫0，116a 2．过抛物线x 2＝－12y 的焦点F 作直线垂直于y 轴，交抛物线于A ，B 两点，O 为抛物线的顶点，则△OAB 的面积是________．解析：由题意F (0，－3)，将y ＝－3代入抛物线方程得x ＝±6，所以AB ＝12，所以S△OAB＝12×12×3＝18. 答案：183．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为60°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A ，B 两点，则AFBF ＝________.解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知AB 所在的直线方程为y ＝3⎝⎛⎭⎫x －p 2，联立⎩⎨⎧y 2＝2px ， y ＝3⎝⎛⎭⎫x －p 2得x 2－5p 3x ＋p24＝0，解得x 1＝3p 2，x 2＝p6，所以AF BF ＝32p ＋p 2p 2＋p 6＝3.答案：34．已知抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M 到焦点F 的距离等于2p ，则直线MF 的斜率为________．解析：由题意F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，设M (x ，y )，由抛物线的定义可知x ＋p 2＝2p ，故x ＝32p ，由于M 在抛物线上，所以y 2＝2p ·32p ＝3p 2，得y ＝±3p .当M ⎝⎛⎭⎫32p ，3p 时， MF ＝3p －032p －p 2＝3；当M ⎝⎛⎭⎫32p ，－3p 时， MF ＝－3p －032p －p2＝－3，所以 MF ＝±3. 答案：±35．已知抛物线y 2＝2x 的弦AB 的中点的横坐标为32，则AB 的最大值为________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝3，由抛物线的定义可知，AF ＋BF ＝x 1＋x 2＋1＝4，由图可知AF ＋BF ≥AB ，AB ≤4，当且仅当直线AB 过焦点F 时，AB 取得最大值4.答案：46．抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________.解析：在等边三角形ABF 中，AB 边上的高为p ，AB 2＝33p ，所以B ⎝⎛⎭⎫±33p ，－p 2.又因为点B 在双曲线上，故p 233－p 243＝1，解得p ＝6. 答案：67．(2018·无锡调研)过点P (－2,0)的直线与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，且PA ＝12AB ，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，分别过点A ，B 作直线x ＝－2的垂线，垂足分别为D ，E (图略)，因为PA ＝12AB ，所以{ 3(x 1＋2)＝x 2＋2， 3y 1＝y 2，又{ y 21＝4x 1， y 22＝4x 2，得x 1＝23，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为1＋23＝53.答案：538．抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且MF ＝4OF ，△MFO 的面积为43，则抛物线的方程为________．解析：设M (x ，y )，因为OF ＝p 2，MF ＝4OF ，所以MF ＝2p ，由抛物线定义知x ＋p2＝2p ，所以x ＝32p ，所以y ＝±3p .又△MFO 的面积为43，所以12×p2×3p ＝43，解得p ＝4(p ＝－4舍去)．所以抛物线的方程为y 2＝8x .答案：y 2＝8x9．已知抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，点P 是抛物线上的动点，点A (3,2)，求PA ＋PF 的最小值，并求取最小值时点P 的坐标．解：将x ＝3代入抛物线方程y 2＝2x ，得y ＝±6. 因为6＞2，所以A 在抛物线内部．设抛物线上的点P 到准线l ：x ＝－12的距离为d ，由定义知PA ＋PF ＝PA ＋d .当PA ⊥l 时，PA ＋d 最小，最小值为72，即PA ＋PF 的最小值为72，此时P 点纵坐标为2，代入y 2＝2x ，得x ＝2，所以点P 的坐标为(2,2)．10．(2018·扬州中学检测)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点．(1)如果直线l 过抛物线的焦点，求OA ―→·OB ―→的值；(2)如果OA ―→·OB ―→＝－4，证明直线l 必过一定点，并求出该定点．解：(1)由题意：抛物线焦点为(1,0)，设l ：x ＝ty ＋1，代入抛物线y 2＝4x ，消去x ，得y 2－4ty －4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4，所以OA ―→·OB ―→＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋1)(ty 2＋1)＋y 1y 2 ＝t 2y 1y 2＋t (y 1＋y 2)＋1＋y 1y 2＝－4t 2＋4t 2＋1－4＝－3. (2)证明：设l ：x ＝ty ＋b ，代入抛物线y 2＝4x ，消去x ，得 y 2－4ty －4b ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4b ，所以OA ―→·OB ―→＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋b )(ty 2＋b )＋y 1y 2＝t 2y 1y 2＋bt (y 1＋y 2)＋b 2＋y 1y 2＝－4bt 2＋4bt 2＋b 2－4b ＝b 2－4b . 令b 2－4b ＝－4，得b 2－4b ＋4＝0，解得b ＝2. 所以直线l 过定点(2,0)．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)，P ，Q 是C 上任意两点，点M (0，－1)满足MP ―→·MQ ―→≥0，则p 的取值范围是________．解析：过M 点作抛物线的两条切线，设切线方程为y ＝ x －1，切点坐标为A (x 0，y 0)，B (－x 0，y 0)，由y ＝x 22p，得y ′＝1p x ，则⎩⎪⎨⎪⎧x 20＝2py 0，y 0＝kx 0－1， x 0p ＝k ，解得＝±2p. 因为MP ―→·MQ ―→≥0恒成立，所以∠AMB ≤90°，即∠AMO ≤45°，所以| |≥tan 45°＝1，即2p≥1，解得p ≤2，由p ＞0，则0＜p ≤2，所以p 的取值范围为(0,2]．答案：(0,2]2．过抛物线x 2＝4y 的焦点F 作直线AB ，CD 与抛物线交于A ，B ，C ，D 四点，且AB ⊥CD ，则FA ―→·FB ―→＋FC ―→·FD ―→的最大值等于________．解析：依题意可得，FA ―→·FB ―→＝－(|FA ―→|·|FB ―→|)．又因为|FA ―→|＝y A ＋1，|FB ―→|＝y B ＋1，所以FA ―→·FB ―→＝－(y A y B ＋y A ＋y B ＋1)．设直线AB 的方程为y ＝ x ＋1( ≠0)，联立x 2＝4y ，可得x 2－4 x －4＝0，所以x A ＋x B ＝4 ，x A x B ＝－4. 所以y A y B ＝1，y A ＋y B ＝4 2＋2. 所以FA ―→·FB ―→＝－(4 2＋4)．同理FC ―→·FD ―→＝－⎝⎛⎭⎫4k 2＋4.所以FA ―→·FB ―→＋FC ―→·FD ―→＝－⎝⎛⎭⎫4k 2＋4k 2＋8≤－16. 当且仅当＝±1时等号成立．答案：－163.如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1,2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程．(2)当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率．解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)．因为点P (1,2)在抛物线上，所以22＝2p ×1，解得p ＝2.故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1. (2)设直线PA 的斜率为 PA ，直线PB 的斜率为 PB . 则 PA ＝y 1－2x 1－1(x 1≠1)， PB ＝y 2－2x 2－1(x 2≠1)，因为PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补，所以 PA ＝－ PB .由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上，得⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1， ① y 22＝4x 2， ② 所以y 1－214y 21－1＝－y 2－214y 22－1，所以y 1＋2＝－(y 2＋2)．所以y 1＋y 2＝－4.由①－②得，y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，所以 AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝－1(x 1≠x 2)．。

高中数学《抛物线》单元测试

一、选择题1．(2017·广东汕头质检)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，则cos ∠AFB ＝( )A.45B.35 C ．－35 D ．－45[解析 ∵抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，∴点F 的坐标为(1,0)．又∵直线y ＝2x －4与C 交于A ，B两点，∴A ，B 两点坐标分别为(1，－2)，(4,4)，则FA →＝(0，－2)，FB →＝(3,4)，∴cos ∠AFB ＝FA →·FB→|FA →||FB →|＝－810＝－45.故选D. [答案 D2．(2017·北京东城期末)过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A ，B 两点，它们的横坐标之和等于3，则这样的直线( )A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在[解析过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A ，B 两点，若直线AB 的斜率不存在，则横坐标之和等于2，不符合题意．设直线AB 的斜率为，则直线AB 的方程为y ＝ (x －1)，代入抛物线方程y 2＝4x ，得 2x 2－2( 2＋2)x ＋ 2＝0.∵A ，B 两点的横坐标之和等于3，∴2k 2＋2k 2＝3.解得＝±2，∴符合题意的直线有且仅有两条．故选B.[答案 B3．(2017·湖南长沙调研)设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝±4x B ．y 2＝4x C ．y 2＝±8x D ．y 2＝8x[解析 ∵抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，∴直线l 的方程为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a4.∵直线l与y 轴的交点为A ⎝⎛⎭⎪⎫0，－a 2，∴△OAF 的面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 4·⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2＝4，解得a ＝±8.∴抛物线的方程为y 2＝±8x ，故选C.[答案 C4．(2017·河南三门峡灵宝期末)已知抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，过该抛物线焦点F 且不与x 轴垂直的直线交抛物线于A ，B 两点，过点A ，点B 分别作AM ，BN 垂直于抛物线的准线，分别交准线于M ，N 两点，那么∠MFN 必是( )A ．锐角B ．直角C ．钝角D ．以上皆有可能[解析由题意画出图象，如图．由抛物线的定义，可知|NB |＝|BF |.所以△BNF 是等腰三角形．因为BN ∥OF ，所以NF 平分∠OFB .同理MF 平分∠OFA ，所以∠NFM ＝90°.故选B.[答案 B5．(2017·黑龙江七台河期末)已知抛物线C ：y 2＝－8x 的焦点为F ，直线l ：x ＝1，点A 是l 上的一动点，直线AF 与抛物线C 的一个交点为B .若FA →＝－3FB →，则|AB |＝( )A ．20B ．16C ．10D ．5[解析由抛物线C ：y 2＝－8x ，得F (－2,0)．设A (1，a )，B (m ，n )，且n 2＝－8m .∵FA →＝－3FB →，∴1＋2＝－3(m ＋2)，解得m ＝－3，∴n ＝±2 6.∵a ＝－3n ，∴a ＝±66， ∴|AB |＝1＋32＋26＋662＝20.故选A.[答案 A6．(2017·湖北襄阳月考)已知抛物线y ＝12x 2的焦点为F ，准线为l ，M 在l 上，线段MF 与抛物线交于N 点，若|MN |＝2|NF |，则|MF |＝( )A ．2B ．3 C. 2 D. 3 [解析如图，过N 作准线的垂线NH ，垂足为H .根据抛物线的定义可知|NH |＝|NF |，在△NHM 中，|NM |＝2|NH |，则∠NMH ＝45°.在△MF 中，∠FM ＝45°，所以|MF |＝2|F |.而|F |＝1. 所以|MF |＝ 2.故选C. [答案 C7．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与曲线x 2＋y 2－4x －5＝0相切，则p 的值为__________． [解析曲线的标准方程为(x －2)2＋y 2＝9，其表示圆心为(2,0)，半径为3的圆，又抛物线的准线方程为x ＝－p 2，∴由抛物线的准线与圆相切得2＋p2＝3，解得p ＝2.[答案 2 二、填空题8．(2018·武汉模拟)抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，倾斜角等于45°的直线过F 交该抛物线于A ，B 两点，则|AB |＝__________.[解析由抛物线焦点弦的性质，得|AB |＝2p sin 2α＝2×2sin 245°＝8. [答案 89．(2017·黑龙江绥化期末)设抛物线y 2＝16x 的焦点为F ，经过点P ( 1,0)的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，且2BP →＝PA →，则|AF |＋2|BF |＝________.[解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．∵P (1,0)，∴BP →＝(1－x 2，－y 2)，PA →＝(x 1－1，y 1)．∵2BP →＝PA →，∴2(1－x 2，－y 2)＝(x 1－1，y 1)，∴x 1＋2x 2＝3，－2y 2＝y 1. 将A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)代入抛物线方程y 2＝16x ，得y 21＝16x 1，y 22＝16x 2.又∵－2y 2＝y 1，∴4x 2＝x 1.又∵x 1＋2x 2＝3，解得x 2＝12，x 1＝2.∴|AF |＋2|BF |＝x 1＋4＋2(x 2＋4)＝2＋4＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋4＝15. [答案 15 三、解答题10．(2017·河北沧州百校联盟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，抛物线上一点P 的横坐标为2，|PF |＝3.(1)求抛物线C 的方程；(2)过点F 且倾斜角为30°的直线交抛物线C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，求△OAB 的面积． [解 (1)由抛物线定义可知，|PF |＝2＋p2＝3，∴p ＝2，∴抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)由y 2＝4x ，得F (1,0)，∴过点F 且倾斜角为30°的直线方程为y ＝33(x －1)．联立y 2＝4x ，消去x 得y 2－43y －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝43，y 1y 2＝－4. ∴S △OAB ＝S △OAF ＋S △OFB ＝12|y 1－y 2|＝12×48＋16＝4.[能力提升11．(2017·辽宁沈阳二中期中)抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，斜率为的直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点．若线段MN 的垂直平分线与x 轴交点的横坐标为a (a >0)，n ＝|MF |＋|NF |，则2a －n ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5[解析由题意得F (1,0)，准线方程为x ＝－1.线段MN 的中点坐标为(x 0，y 0)．由抛物线的定义，得n ＝|MF |＋|NF |＝x M ＋1＋x N ＋1＝x M ＋x N ＋2＝2x 0＋2.因为线段MN 的垂直平分线方程为y －y 0＝－1k(x －x 0)，令y ＝0，得x ＝ y 0＋x 0，即a ＝ y 0＋x 0.由点差法可得 y 0＝2，所以x 0＝a －2，所以2a －n ＝2x 0＋4－(2x 0＋2)＝2.故选A.[答案 A12．(2017·北京昌平期末)已知△ABC 的三个顶点均在抛物线y 2＝x 上，边AC 的中线BM ∥x 轴，|BM |＝2，则△ABC 的面积为________．[解析根据题意设A (a 2，a )，B (b 2，b )，C (c 2，c )，不妨设a >c .∵M 为边AC 的中点，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋c 22，a ＋c 2.又∵BM ∥x 轴，∴b ＝a ＋c2. ∴|BM |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2＋c 22－b 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2＋c 22－a ＋c 24＝2，∴(a －c )2＝8，∴a －c ＝2 2.作AH ⊥BM 交BM 的延长线于H ，故S △ABC ＝2S △ABM ＝2×12|BM |·|AN |＝2|a －b |＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －a ＋c 2＝a －c ＝2 2.[答案 2 213．(2017·福建厦门期中)设抛物线C ：y 2＝4x ，F 为C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点．(1)若l 的斜率为1，求|AB |的大小； (2)求证：OA →·OB →是一个定值． [解 (1)∵直线l 的斜率为1且过点F (1,0)，∴直线l 的方程为y ＝x －1.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y 2＝4x ，消去y 得x 2－6x ＋1＝0.Δ>0，∴x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝1，∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝8.(2)证明：设直线l的方程为x ＝ y ＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky ＋1，y 2＝4x ，消去x 得y 2－4 y －4＝0，Δ>0.设A ＝(x 1，y 1)，B ＝(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4 ，y 1y 2＝－4，OA →＝(x 1，y 1)，OB →＝(x 2，y 2)．∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝( y 1＋1)( y 2＋1)＋y 1y 2＝ 2y 1y 2＋ (y 1＋y 2)＋1＋y 1y 2＝－4 2＋4 2＋1－4＝－3. ∴OA →·OB →＝－3是一个定值．14．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过点C (－2,0)的直线l 交抛物线于A 、B 两点，坐标原点为O ，OA →·OB →＝12.(1)求抛物线的方程；(2)当以AB 为直径的圆与y 轴相切时，求直线l 的方程．[解 (1)设l ：x ＝my －2，代入y 2＝2px ，得y 2－2pmy ＋4p ＝0.( )设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝4p ，则x 1x 2＝y 21y 224p2＝4.因为OA →·OB →＝12，所以x 1x 2＋y 1y 2＝12，即4＋4p ＝12，得p ＝2，抛物线的方程为y 2＝4x .(2)(1)中( )式可化为y 2－4my ＋8＝0，y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝8. 设AB 的中点为M ，则|AB |＝2x M ＝x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝4m 2－4，① 又|AB |＝1＋m 2|y 1－y 2|＝1＋m216m 2－32，②由①②得(1＋m 2)(16m 2－32)＝(4m 2－4)2，解得m 2＝3，m ＝± 3. 所以直线l 的方程为x ＋3y ＋2＝0或x －3y ＋2＝0.15.已知过点A (－4,0)的动直线l 与抛物线G ：x 2＝2py (p >0)相交于B 、C 两点．当直线l 的斜率是12时，AC →＝4AB →.(1)求抛物线G 的方程；(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围． [解 (1)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，当直线l 的斜率是12时，l 的方程为y ＝12(x ＋4)，即x ＝2y －4.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，x ＝2y －4得2y 2－(8＋p )y ＋8＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1y 2＝4， ①y 1＋y 2＝8＋p 2. ②又∵AC →＝4AB →，∴y 2＝4y 1，③由①②③及p >0得：y 1＝1，y 2＝4，p ＝2，则抛物线G 的方程为x 2＝4y . (2)设l ：y ＝ (x ＋4)，BC 的中点坐标为(x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝k x ＋4得x 2－4 x －16 ＝0，④∴x 0＝x C ＋x B2＝2 ，y 0＝ (x 0＋4)＝2 2＋4 .∴线段BC 的中垂线方程为y －2 2－4 ＝－1k(x －2 )，∴线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为：b ＝2 2＋4 ＋2＝2( ＋1)2，对于方程④，由Δ＝16 2＋64 >0得： >0或 <－4. ∴b ∈(2，＋∞)．。

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专题51抛物线1．抛物线x 2＝12y 的焦点坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫12，0 B.⎝⎛⎭⎫0，12 C.⎝⎛⎭⎫18，0 D.⎝⎛⎭⎫0，18 解析：抛物线x 2＝12y 的焦点坐标是⎝⎛⎭⎫0，18. 答案：D2．设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5。

所以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为( )A ．y 2＝4x 或y 2＝8xB ．y 2＝2x 或y 2＝8xC ．y 2＝4x 或y 2＝16xD ．y 2＝2x 或y 2＝16x3．已知直线l ：x －y －m ＝0经过抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点，l 与C 交于A 、B 两点．若|AB|＝6，则p 的值为( )A.12B.32C ．1D ．2 解析：因为直线l 过抛物线的焦点，所以m ＝p 2. 联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y －p 2＝0y 2＝2px得，x 2－3px ＋p 24＝0. 设A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝3p ，故|AB|＝x 1＋x 2＋p ＝4p ＝6，p ＝32. 答案：B4．O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF|＝42，则△POF 的面积为( )A ．2B ．2 2C ．2 3D ．4解析：如图，设点P 的坐标为(x 0，y 0)，由|PF|＝x 0＋2＝42，得x 0＝32，代入抛物线方程得，y 20＝42×32＝24，所以|y 0|＝26，所以S △POF ＝12|OF||y 0| ＝12×2×26＝2 3. 答案：C5．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，则抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( ) A.355 B ．2 C.115D ．3 解析：由题可知l 2： x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线，设抛物线的焦点F 为(1，0)，则动点P 到l 2的距离等于|PF|，则动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值即为焦点F 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，所以最小值是|4－0＋6|5＝2. 答案：B6．如图，已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 恰好是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，且两条曲线交点的连线过点F ，则该双曲线的离心率为( )A. 2 B ．2C.2＋1D.2－1解析：由题意，因为两条曲线交点的连线过点F ，所以两条曲线的一个交点为⎝⎛⎭⎫p 2，p ，代入双曲线方程得p 24a 2－p 2b 2＝1，又p 2＝c ，所以c 2a 2－4×c 2b 2＝1，化简得c 4－6a 2c 2＋a 4＝0，所以e 4－6e 2＋1＝0，所以e 2＝3＋22＝(1＋2)2，所以e ＝2＋1，故选C 。

答案：C7．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上的点P (a ，－2)到焦点的距离为3，则抛物线的方程是________。

解析：由题意可设抛物线的方程为x 2＝－2py (p >0)，抛物线上的点P (a ，－2)到焦点的距离即为点P 到准线y ＝p 2的距离，所以p 2＋2＝3，解得p ＝2，所以抛物线的方程为x 2＝－4y 。

答案：x 2＝－4y8．已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点。

若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为________。

9．已知抛物线y 2＝4x 的准线与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)交于A ，B 两点，点F 为抛物线的焦点，若△F AB 为直角三角形，则双曲线离心率的取值范围是________。

解析：抛物线焦点F (1,0)，由题意0<a <1，且∠AFB ＝90°并被x 轴平分，所以点(－1,2)在双曲线上，得1a 2－4b 2＝1，即b 2＝4a 21－a 2＝c 2－a 2，即c 2＝4a 21－a 2＋a 2＝5a 2－a 41－a 2，所以e 2＝c 2a 2＝5－a 21－a 2＝1＋41－a 2，因为0<a <1，所以e 2>5，故e >5。

答案： (5，＋∞)10．已知曲线C 上的动点P (x ，y )满足到点F (0,1)的距离比到直线l ：y ＝－2的距离小1。

(1)求曲线C 的方程；(2)动点E 在直线l 上，过点E 分别作曲线C 的切线EA ，EB ，切点为A ，B 。

直线AB 是否恒过定点，若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由。

解析：(1)因为动点P (x ，y )满足到点F (0,1)的距离比到直线l ：y ＝－2的距离小1，所以动点P (x ，y )满足到点F (0,1)的距离与直线l ′：y ＝－1的距离相等。

所以曲线C 是以F (0,1)为焦点，y ＝－1为准线的抛物线，所以曲线C 的方程是：x 2＝4y 。

11．已知顶点在原点，焦点在y 轴上的抛物线过点P (2,1)。

(1)求抛物线的标准方程。

(2)过点P 作直线l 与抛物线有且只有一个公共点，求直线l 的方程。

(3)过点Q (1,1)作直线交抛物线于A ，B 两点，使得Q 恰好平分线段AB ，求直线AB 的方程。

解析：(1)设抛物线的标准方程为x 2＝2py ，把点P (2,1)代入可得4＝2p ，所以p ＝2，故所求的抛物线的标准方程为x 2＝4y 。

(2)①当斜率不存在时，直线方程为x ＝2，符合题意；②当斜率存在时，设直线方程为y －1＝k (x －2)，即y ＝kx －2k ＋1，联立方程可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2k ＋1x 2＝4y ，整理可得x 2－4kx ＋8k －4＝0。

因为直线与抛物线只有一个公共点，所以Δ＝16k 2－32k ＋16＝0，所以k ＝1。

综上可得，直线l 的方程为x －y －1＝0或x ＝2。

(3)由题意可知，AB 的斜率存在，设AB 的方程为y －1＝k ′(x －1)，代入抛物线的标准方程x 2＝4y 可得x 2－4k ′x ＋4k ′－4＝0，所以x 1＋x 2＝4k ′＝2，所以k ′＝12，所以AB 的方程为y －1＝12(x －1)，即x －2y ＋1＝0。

12．已知抛物线C ：y 2＝2px 的焦点坐标为F (1,0)，过F 的直线交抛物线C 于A ，B 两点，直线AO ，BO 分别与直线m ：x ＝－2相交于M ，N 两点。

(1)求抛物线C 的方程。

(2)证明△ABO 与△MNO 的面积之比为定值。

解析：(1)由焦点坐标为(1,0)，可知p 2＝1，所以p ＝2，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x 。

(2)当直线AB 垂直于x 轴时，△ABO 与△MNO 相似，所以S △ABO S △MNO ＝⎝⎛⎭⎫|OF |22＝14，当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 方程为y ＝k (x －1)，设M (－2，y M )，N (－2，y N )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由{ y ＝k x －1 ， y 2＝4x ，整理得k 2x 2－(4＋2k 2)x ＋k 2＝0，所以x 1·x 2＝1，所以S △ABO S △MNO ＝12·AO ·BO ·sin ∠AOB 12·MO ·NO ·sin ∠MON ＝AO MO ·BO NO ＝|x 1|cos ∠AOF |－2|cos ∠AOF ·|x 2|cos ∠BOF |－2|cos ∠BOF＝x 12·x 22＝14，综上S △ABO S △MNO ＝14。

13．抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，它与圆x 2＋y 2＝9相交，公共弦MN 的长为25，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程．解：由题意，设抛物线方程为x 2＝2ay(a≠0)．设公共弦MN 交y 轴于A ，则|MA|＝|AN|，且AN ＝ 5.∵|ON|＝3，∴|OA|＝32－（5）2＝2，∴N(5，±2)．∵N 点在抛物线上，∴5＝2a·(±2)，即2a ＝±52，故抛物线的方程为x 2＝52y 或x 2＝－52y. 抛物线x 2＝52y 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，58，准线方程为y ＝－58. 抛物线x 2＝－52y 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－58，准线方程为y ＝58. 14．已知抛物线y 2＝2px(p>0)，过点C(－2，0)的直线l 交抛物线于A 、B 两点，坐标原点为O ，OA →·OB →＝12.(1)求抛物线的方程；(2)当以|AB|为直径的圆与y 轴相切时，求直线l 的方程．(2)由(1)知y 2＝4x ，p ＝2，可知y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝8.设AB 的中点为M ，则|AB|＝2x M ＝x 1＋x 2＝m(y 1＋y 2)－4＝4m 2－4，①又|AB|＝1＋m 2|y 1－y 2|＝（1＋m 2）（16m 2－32），②由①②得(1＋m 2)(16m 2－32)＝(4m 2－4)2，解得m 2＝3，m ＝±3，所以，直线l 的方程为x ＋3y ＋2＝0或x －3y ＋2＝0.15．过点P (a ，－2)作抛物线C ：x 2＝4y 的两条切线，切点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．(1)证明：x 1x 2＋y 1y 2为定值；(2)记△P AB 的外接圆的圆心为点M ，点F 是抛物线C 的焦点，对任意实数a ，试判断以PM 为直径的圆是否恒过点F ？并说明理由．解析：(1)设过点P (a ，－2)且与抛物线C 相切的切线方程为y ＋2＝k (x －a )，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2＝k （x －a ），x 2＝4y ，消去y 得x 2－4kx ＋4ka ＋8＝0，由Δ＝16k 2－4(4ak ＋8)＝0，化简得k 2－ak －2＝0.所以k 1k 2＝－2.由x 2＝4y ，得y ＝14x 2，所以y ′＝12x . 所以直线P A 的斜率为k 1＝12x 1，直线PB 的斜率为k 2＝12x 2. 所以14x 1x 2＝－2，即x 1x 2＝－8. 又y 1y 2＝14x 21·14x 22＝116(x 1x 2)2＝4，所以x 1x 2＋y 1y 2＝－4为定值．(2)直线P A 的垂直平分线方程为y －y 1－22＝－2x 1⎝⎛⎭⎫x －x 1＋a 2，由于y 1＝14x 21，代入切线方程可得x 21－8＝2ax 1，所以直线P A 的垂直平分线方程为y －ax 14＝－2x 1⎝⎛⎭⎫x －x 1＋a 2.① 同理直线PB 的垂直平分线方程为y －ax 24＝－2x 2⎝⎛⎭⎫x －x 2＋a 2② 由①②解得x ＝32a ，y ＝1＋a 22，所以点M ⎝⎛⎭⎫32a ，1＋a 22，抛物线C 的焦点为F (0，1)，则MF →＝⎝⎛⎭⎫－32a ，－a 22，PF →＝(－a ，3)，由于MF →·PF →＝3a 22－3a 22＝0，所以MF →⊥PF →，所以以PM 为直径的圆恒过点F .。

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