安徽省寿县安丰高级中学高中数学2.3.4平面向量共线的坐标表示导学案(无答案)新人教版必修4
高中数学必修4(人教A版)教案—2.3.4平面向量共线的坐标表示
2. 3.4平面向量共线的坐标表示【教学目标】1．会推导并熟记两向量共线时坐标表示的充要条件； 2．能利用两向量共线的坐标表示解决有关综合问题。
3．通过学习向量共线的坐标表示，使学生认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力.【教学重难点】教学重点： 向量共线的坐标表示及直线上点的坐标的求解． 教学难点： 定比分点的理解和应用． 【教学过程】一、〖创设情境〗前面，我们学习了平面向量可以用坐标来表示，并且向量之间可以进行坐标运算。
这就为解决问题提供了方便。
我们又知道共线向量的条件是当且仅当有一个实数λ使得b =λa，那么这个条件是否也能用坐标来表示呢？因此，我们有必要探究一下这个问题：两向量共线的坐标表示。
二、〖新知探究〗思考：共线向量的条件是当且仅当有一个实数λ使得a=λb ，那么这个条件是否也能用坐标来表示呢？设a=(x 1, y 1) b =(x 2, y 2)（ b 0） 其中b a由a=λb ， (x 1, y 1) =λ(x 2, y 2) 2121y y x x 消去λ：x 1y 2－x 2y 1=0结论：a ∥b (b0) x 1y 2-x 2y 1=0注意：1 消去λ时不能两式相除，∵y 1, y 2有可能为0， ∵b0，∴x 2, y 2中至少有一个不为0. 2 充要条件不能写成2211x y x y ∵x 1, x 2有可能为0. 3 从而向量共线的充要条件有两种形式：a ∥b (b0)01221y x y x三、〖典型例题〗例1. 已知(4,2)a r ，(6,)b y r，且//a b r r ，求y ．解：∵//a b r r，∴4260y ．∴3y ．点评：利用平面向量共线的充要条件直接求解.变式训练1：已知平面向量)2,1( ，),2(m ，且b a //，则32 等于_________.例2: 已知(1,1)A ，(1,3)B ，(2,5)C ，求证:A 、B 、C 三点共线．证明：(1(1),3(1))(2,4)AB u u u r ，(2(1),5(1))(3,6)AC u u u r，又26340 ，∴//AB AC u u u r u u u r.∵直线AB 、直线AC 有公共点A ， ∴A ，B ，C 三点共线。
安徽省寿县安丰高级中学高中数学 2.3.4平面向量共线的坐标表示导学案(无答案)新人教版必修4
2.3.4平面向量共线的坐标表示【学习目标】1．会推导并熟记两向量共线时坐标表示的充要条件；2．能利用两向量共线的坐标表示解决有关综合问题。
3．通过学习向量共线的坐标表示，使学生认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力.【教学重点】 向量共线的坐标表示及直线上点的坐标的求解．【教学难点】 定比分点的理解和应用自主学习案【复习引入】前面，我们学习了平面向量可以用坐标来表示，并且向量之间可以进行坐标运算。
这就为解决问题提供了方便。
我们又知道共线向量的条件是当且仅当有一个实数λ使得b =λa ，那么这个条件是否也能用坐标来表示呢？因此，我们有必要探究一下这个问题：两向量共线的坐标表示。
【自主探究】思考：共线向量的条件是当且仅当有一个实数λ使得a =λb ，那么这个条件是否也能用坐标来表示呢？设a =(x 1, y 1) b =(x 2, y 2)（ b ≠） 其中b ≠a结论：a ∥b (b ≠0)⇔x 1y 2-x 2y 1=0注意：1︒消去λ时不能两式相除，∵y 1, y 2有可能为0， ∵b ≠0，∴x 2, y 2中至少有一个不为0.2︒充要条件不能写成2211x y x y = ∵x 1, x 2有可能为0. 3︒从而向量共线的充要条件有两种形式：a ∥b (b ≠)01221=-=⇔y x y x λ 合作探究案【课内探究】例1. 已知(4,2)a =，(6,)b y =，且//a b ，求y ．解：变式训练1：已知平面向量)2,1(= ，),2(m -= ，且//，则32+等于_________.例2: 已知(1,1)A --，(1,3)B ，(2,5)C ，求证:A 、B 、C 三点共线．证明：点评:若从同一点出发的两个向量共线,则这两个向量的三个顶点共线.变式训练2：若A (x ，-1)，B (1，3)，C (2，5)三点共线，则x 的值为_________.例3:设点P 是线段P 1P 2上的一点， P 1、P 2的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2).当点P 是线段P 1P 2的中点时，求点P 的坐标；当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时，求点P 的坐标.解：点评:此题实际上给出了线段的中点坐标公式和线段三等分点坐标公式.变式训练3：当21PP P λ=时,点P 的坐标是什么？【当堂检测】：1、已知=a +5b ，=－2a +8b ，=3（a －b ），则（ ）A. A 、B 、D 三点共线 B .A 、B 、C 三点共线C. B 、C 、D 三点共线D. A 、C 、D 三点共线2、若向量a =(-1，x)与b =(-x ， 2)共线且方向相同，则x 为________.3、设3(,sin )2a α=，1(cos ,)3b α=，(0,2)απ∈，且//a b ，求角α．4、已知a=(3,-1),b=(-1,2),则-3a-2b 等于（ ）A.(7,1)B.(-7,-1)C.(-7,1)D.(7,-1)5、已知A(1,1), B(-1,0),C(0,1),D(x,y),若AB 和CD 是相反向量,则D 点的坐标是（ ）A.(-2,0)B.(2,2)C.(2,0)D.(-2,-2)6、若点A(-1,-1),B(1,3),C(x,5)共线,则使=λ的实数λ的值为（ ）A.1B.-2C.0D.27、设a=(23,sin α),b=(cos α,31),且a ∥b,则α的值是（ ） A.α=2k π+4π(k ∈Z) B.α=2k π-4π(k ∈Z) C.α=k π+4π(k ∈Z) D.α=k π-4π(k ∈Z) 7、已知A 、B 、C 三点共线,且A(3,-6),B(-5,2),若C 点的横坐标为6,则C 点的纵坐标为（ ）A.-2B.9C.-9D.138、若A(2,3),B(x,4),C(3,y),且AB =2AC ,则x=_______,y=________.9、已知ABCD 中,=(3,7), =(-2,1),则的坐标(O 为对角线的交点)为_________.10、向量=(k,12),=(4,5),=(10,k),当k 为何值时,A 、B 、C 三点共线?11.A(2,3),B(5,4),C(7,10),若=+λ(λ∈R),试问:当λ为何值时,点P 在第一与第三象限的角平分线上?当λ在什么范围内取值时,点P 在第三象限内?12.边形ABCD 是正方形,BE ∥AC,AC=CE,EC 的延长线交BA 的延长线于点F,求证:AF=AE.【我的小结】【我的疑问】课后练习案1. 教材P100练习1-7.2. 同步作业P61练习题.3.。
高中数学新人教版A版精品教案《2.3.4 平面向量共线的坐标表示》
平面向量共线的坐标表示教学设计点评导学案：做的比较好的个人，小组予以表扬加分。
首先带领大家解读本节课的学习目标：1.掌握向量共线的坐标表示；学会根据向量的坐标判断向量是否共线；了解中点坐标公式.2.在理解向量共线的概念的基础上，学习用坐标表示向量共线的条件.3.了解数学知识体系的延伸、变迁与发展，并体会运用数学知识解决实际问题的方法. 学习重难点使用坐标方法判断向量的共线.运用向量共线的坐标表示，用向量解决等分点的有关问题.复习回顾，知识梳理：1. 在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两单位向量i 、j 作为基底，对于平面内的任一向量a，由平面向量基本定理可得，有且只有一对实数x、y，使得a=xi+yj。
这样，平面内的任一向量a都可以由x、y唯一确定，我们把有序数对（x，y）叫做向量a的坐标，记作a=（x，y）y上式叫做向量的坐标表示。
其中的x 叫做向量a 在x 轴上的坐标，y 叫做向量a 在y 轴上的坐标。
2. 向量的坐标运算：， 探究环节：探究一：向量共线的坐标表示向量的运算以及相等关系都可以用坐标表示，向量共线关系（向量共线定理）能否用坐标表示？若能，请写出表示过程设a =（x 1, y 1），b =（x 2, y 2），其中b ≠a ∥b ⇔问题: 上述过程中，λ是怎样消去的？当用坐标表示向量共线时，是否要求b ≠0？向量共线的两种表示形式各有什么特点？例1: 已知a =（4，2），b =（6，y ），且a ∥b ，求y22()b x y =，11()a x y =，12121212()()(,)a b x x y y a b x x y y a x y λλλ+=++-=--=，，11222121(,),(,),(,).A x yB x y AB x x y y =--若则思考 1: 本题中的a ，b 是同向还是反向？说出你的理由.2: 已知a =（2，-1），b =（x, 2）,c =(-3, y), 且a ∥b ∥c ，求x, y探究二：三点共线的判断例2 已知A （-1，-1），B （1，3），C （2，5），试判断A ，B ，C 之间的位置关系三点共线有哪些证法？请写下归纳小结：变式：判断下列各组的点是否共线：（1）7(1,2) (3,4)2,2A B C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭、、； （2）1(9,1) Q(1,3)8,2P R ⎛⎫- ⎪⎝⎭、、探究三：中点坐标公式例3： 设点P 是线段P 1 P 2上的一点，P 1，P 2 的坐标分别是（x 1，y 1），（x 2（1）当P 是线段P 1 P 2的中点时，求点P 的坐标；（2）当P 是线段P 1 P 2的一个三等分点时，求点P 的坐标。
高中数学必修四2.3.4 平面向量共线的坐标表示导学案
高中数学必修四2.3.4 平面向量共线的坐标表示导学案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址www.5ykj.com 2.3.4平面向量共线的坐标表示【学习目标】．理解平面向量共线的坐标表示；2．掌握平面上两点间的中点坐标公式及定点坐标公式；3．会根据向量的坐标，判断向量是否共线.【新知自学】知识回顾：．平面向量基本定理：2．平面向量的坐标表示:=x+y，=3．平面向量的坐标运算（1）若=,=，则，（2）若，，则4．什么是共线向量？新知梳理：、两个向量共线的坐标表示设=，=共线，其中.由=λ得，=λ消去λ即可所以∥的等价条件是思考感悟：（1）上式在消去λ时能不能两式相除？（2）条件x1y2-x2y1=0能不能写成？向量共线的几种表示形式：∥x1y2-x2y1=0对点练习：．若=，=，且∥，则y=（）A.6B.5c.7D.82.若A，B，c三点共线，则x的值为（）A.-3B.-1c.1D.33.若=+2，=+.与共线，则x、y的值可能分别为（）A.1，2B.2，2c.3，2D.2，4【合作探究】典例精析：例1：已知=，=，且∥，求y.变式1：若向量=与=共线且方向相同，求x变式2：已知A，B，c，D，向量与平行吗？直线AB平行于直线cD吗？例2：已知A，B，c，试判断A，B，c三点之间的位置关系.（你有几种方法）变式3：已知：四点A，B，c，D，如何求证：四边形ABcD是梯形.？规律总结：要注意向量的平行与线段的平行之间的区别和联系例3：设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是，.当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标.思考探究：本例在（1）中P1P：PP2= ；在（2）中P1P：PP2=；若P1P：PP2=，如何求点P的坐标？【课堂小结】、知识2.方法3.思想【当堂达标】.若=与=共线且方向相同，则x=．2.已知=，=，若与平行，则x的值为3.设=，=，=，若+=，则（x，y）=．4、若A，B，c三点共线，则x=．【课时作业】.已知=，c，=2，则点D坐标A．B．c．D．2、若向量=，||=4||，且，共线，则可能是A．B．c．D．3*、在平面直角坐标系中，o为坐标原点，已知两点A，B．若点c满足oc→＝αoA→＋βoB→，其中α，β∈R且α＋β＝1，则x，y所满足的关系式为A．3x＋2y－11＝0B．2＋2＝5c．2x－y＝0D．x＋2y－5＝04、已知=，=，若λ+与+λ（λ∈R）平行，则λ=．5、已知||=10，=（4，－3），且∥，则向量的坐标是．*6．已知a＝，b＝．当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？若AB→＝2a＋3b，Bc→＝a＋mb且A，B，c三点共线，求m的值．7.如图所示，在你四边形ABcD中，已知，求直线Ac与BD交点P的坐标。
高中数学最新-平面向量共线的坐标表示导学案2 精品
第二章 2.3.4 平面向量共线的坐标表示 编号040【学习目标】1、在理解向量共线的概念的基础上，学习用坐标表示向量共线的条件。
2、利用向量共线的坐标表示解决有关问题。
【学习重点】通过学习向量共线的坐标表示，使学生认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力.课上导学案【例题讲解】例1.已知()2,4-=，()6,b y =，且//a b ，求y .变式：判断下列向量a 与b 是否共线①(2,3) (3,4)a b == ②8(2,3) (,4)3a b ==例2.已知A(-1，-1),B(1，3),C(2，5)，试判断A,B,C 三点之间的位置关系.例3.已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 平行？平行时它们是同向还是反向？例4.向量OA ＝(k,12)，OB ＝(4,5)，OC ＝(10，k )，当k 为何值时，A ，B ，C 三点共线？例5.设点P 是线段21P P 上的一点，21P P ，的坐标分别是),(),,(2211y x y x .（1） 当点P 是线段21P P 的中点时，求点P 的坐标.（2） 当点P 是线段21P P 的一个三等分点时，求点P 的坐标.【当堂检测】1.若错误！未找到引用源。
=i +2j ， 错误！未找到引用源。
=(3-x )i +(4-y )j (其中i 、j 的方向分别与x 、y 轴正方向相同且为单位向量). 错误！未找到引用源。
与错误！未找到引用源。
共线，则x 、y 的值可能分别为（ ）A.1，2 B .2，2 C.3，2 D.2，42.已知错误！未找到引用源。
= (1，2)，错误！未找到引用源。
=(x ，1)，若错误！未找到引用源。
+2错误！未找到引用源。
与2错误！未找到引用源。
-错误！未找到引用源。
平行，则x 的值为3.已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)．若a －2b 与c 共线，则k ＝______．4.已知向量a ＝(2x,7)，b ＝(6，x ＋4)，当x ＝__________时，a ＝b ；当x ＝__________时，a ∥b 且a ≠b ．【问题与收获】例3. 解：因为a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，k a＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，又∵(k a ＋b )∥(a －3b )，∴－4(k －3)＝10(2k ＋2)，∴k ＝－13． 这时k a ＋b ＝⎝⎛⎭⎫－103，43，且a －3b 与－13a ＋b 的对应坐标异号， ∴当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，并且是反向的． 例4 解：方法一：∵AB ＝OB －OA ＝(4,5)－(k,12) ＝(4－k ，－7)， BC ＝OC －OB ＝(10，k )－(4,5)＝(6，k －5)， ∵A ，B ，C 三点共线，∴AB ＝λBC ，即(4－k ，－7)＝λ(6，k －5)＝(6λ，(k －5)λ)．∴46,7(5).k k λλ-=⎧⎨-=-⎩ 解得k ＝11，或k ＝－2． 方法二：同方法一，∵A ，B ，C 三点共线，∴(4－k )(k －5)＝6×(－7)，解得k ＝11，或k ＝－2．当堂检测C C 0.5B 3解析：a －2b ＝(3，1)－(0，－2)＝(3，3)， ∵a －2b 与c 共线，∴存在实数λ使λ(3，3)＝(k，3)，即(3λ，3λ)＝(k ，3)，∴,3k λ==⎪⎩∴31,k λ⎧=⎪⎨⎪=⎩解析：若a ＝b ，则26,74,x x =⎧⎨=+⎩⇒x ＝3． 若a ∥b ，则2x (x ＋4)－42＝0，解得x ＝－7或x ＝3．当x ＝3时，a ＝b ，∴x ＝－7时，a ∥b 且a ≠b ． 平行。
人教版高一数学(必修4)导学案：2.3.4-平面向量共线的坐标表示(无答案)
2.3.4 平面向量共线的坐标表示
班级： 姓名： 编者： 高一数学备课组 问题引航
1. 两向量共线用坐标表示应满足什么条件？
2. 如何进行向量共线的判定和坐标运算？
3. 如何利用向量共线的坐标表示来解决三点共线问题？ 自主探究
（1）条件定义：11(,)a x y = , 22(,)b x y =,其中
（2）结论：当且仅当 时，向量,(0)a b b ≠共线。
2.平面向量共线条件的表示方法
已知：11(,)a x y =，22(,)b x y =
（1）当0b ≠时，___a b =
（2）1221_____x y x y -=或者1221____x y x y
（3）当220x y ≠时，12
_____x x = 3、三点共线问题的解决方法
判断三点共线问题，先将问题转化到两个向量的 问题，然后再判断三点共线。
互动探究
例1. 已知a =(6,2), b =(－9, y ),且//a b 求y .
例2. 已知(1,1),(1,3),(2,5)A B C --,试判断A,B,C 三点的位置关系。
当堂检测
课本100页练习第4，5题。
2. 课本101页练习第6题。
3．课本101页练习第7题。
作业
课本101页习题第5,6,7题
自我评价
你对本节课知识掌握的如何（）
A.较好
B.好
C.一般
D.差。
高中数学 2.3.4平面向量共线的坐标表示学案 新人教A版必修4 学案
某某省某某市开滦第二中学高中数学 平面向量共线的坐标表示学案新人教A 版必修4【学习目标】1、理解平面向量的坐标的概念；2、掌握平面向量的坐标运算；3、会根据向量的坐标,判断向量是否共线.【重点难点】教学重点：平面向量的坐标运算教学难点：向量共线的坐标表示及直线上点的坐标的求解。
【学习内容】平面向量的坐标运算一、预习导航：预习时完成下列题目,试试你的身手.(一)温故而知新：1、平面向量基本定理：如果1e ,2e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a ,有且只有一对实数λ1,λ2使a =.(1) 我们把向量1e ,2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2) 基底不惟一,关键是不共线；(3) 由定理可将任一向量a 在给出基底1e ,2e 的条件下进行分解；(4) 基底给定时,分解形式. λ1,λ2是被a ,1e ,2e 唯一确定的数量.(二)阅读课本,完成下列题目1)若11(,)a x y =22(,)b x y =,则a b +=,a b -=语言叙述：(2)若),(y x a = 和实数λ,则=aλ(3)若),(11y x A ,),(22y x B ,则()1212,y y x x --=语言描述：(三)试试你的自学能力 1、已知向量a ,b 的坐标,求b a +,b a -的坐标： (1)、)4,2(-=a ,)2,5(=b (2)、)3,4(=a ,)8,3(-=b2、已知)2,3(=a ,)1,0(-=b ,求b a 42+-,b a 34+的坐标3、已知A (1,2)、B (－1,3)两点的坐标,求,的坐标二、课堂听评：你能掌握要领,提高能力吗？例1：已知a =(2,1),b =(－3,4),求a +b ,a －b ,3a +4b 的坐标.例2：已知平面上三点的坐标分别为A(-2,1),B(-1,3),C(3,4),求点D 的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.例4：已知点A(2,3)、B(5,4)、C(7,10),若AC AB AP λ+=(λ∈R),试求λ为何值时,点P 在第三象限内?。
高中数学 第二章 平面向量 2.3.4 平面向量共线的坐标表示导学案 新人教A版必修4-新人教A版高
2.3.4 平面向量共线的坐标表示学习目标 1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.2.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线.3.掌握三点共线的判断方法.知识点 平面向量共线的坐标表示 已知下列几组向量： (1)a ＝(0，3)，b ＝(0，6)； (2)a ＝(2，3)，b ＝(4，6)； (3)a ＝(－1，4)，b ＝(3，－12)； (4)a ＝(12，1)，b ＝(－12，－1).思考1 上面几组向量中，a ，b 有什么关系？答案 (1)(2)中b ＝2a ，(3)中b ＝－3a ，(4)中b ＝－a . 思考2 以上几组向量中，a ，b 共线吗？ 答案 共线.思考3 当a ∥b 时，a ，b 的坐标成比例吗？ 答案 坐标不为0时成正比例.思考4 如果两个非零向量共线，你能通过其坐标判断它们是同向还是反向吗？ 答案 能.将b 写成λa 形式，λ>0时，b 与a 同向，λ<0时，b 与a 反向.梳理 (1)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，a ，b 共线，当且仅当存在实数λ，使a ＝λb .(2)如果用坐标表示，可写为(x 1，y 1)＝λ(x 2，y 2)，当且仅当x 1y 2－x 2y 1＝0时，向量a ，b (b ≠0)共线.注意：对于(2)的形式极易写错，如写成x 1y 1－x 2y 2＝0或x 1x 2－y 1y 2＝0都是不对的，因此要理解并熟记这一公式，可简记为：纵横交错积相减.类型一 向量共线的判定与证明例1 (1)下列各组向量中，共线的是( )A.a ＝(－2，3)，b ＝(4，6)B.a ＝(2，3)，b ＝(3，2)C.a ＝(1，－2)，b ＝(7，14)D.a ＝(－3，2)，b ＝(6，－4) 答案 D解析 A 选项，(－2)×6－3×4＝－24≠0， ∴a 与b 不平行；B 选项，2×2－3×3＝4－9＝－5≠0，∴a 与b 不平行；C 选项，1×14－(－2)×7＝28≠0，∴a 与b 不平行；D 选项，(－3)×(－4)－2×6＝12－12＝0， ∴a ∥b ，故选D.(2)已知A (2，1)，B (0，4)，C (1，3)，D (5，－3).判断AB →与CD →是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？解 AB →＝(0，4)－(2，1)＝(－2，3)， CD →＝(5，－3)－(1，3)＝(4，－6).方法一 ∵(－2)×(－6)－3×4＝0且(－2)×4<0， ∴AB →与CD →共线且方向相反.方法二 ∵CD →＝－2AB →，∴AB →与CD →共线且方向相反.反思与感悟 此类题目应充分利用向量共线定理或向量共线坐标的条件进行判断，特别是利用向量共线坐标的条件进行判断时，要注意坐标之间的搭配.跟踪训练1 已知A ，B ，C 三点的坐标分别为(－1，0)，(3，－1)，(1，2)，AE →＝13AC →，BF →＝13BC →，求证：EF →∥AB →. 证明 设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2).∵AC →＝(2，2)，BC →＝(－2，3)，AB →＝(4，－1)， ∴AE →＝13AC →＝(23，23)，BF →＝13BC →＝(－23，1).∴(x 1，y 1)－(－1，0)＝(23，23)，(x 2，y 2)－(3，－1)＝(－23，1)，∴(x 1，y 1)＝(－13，23)，(x 2，y 2)＝(73，0).∴EF →＝(x 2，y 2)－(x 1，y 1)＝(83，－23).∵4×(－23)－(－1)×83＝0，∴EF →∥AB →.类型二 利用向量共线求参数例2 已知a ＝(1，2)，b ＝(－3，2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 平行？ 解 方法一 k a ＋b ＝k (1，2)＋(－3，2)＝(k －3，2k ＋2)，a －3b ＝(1，2)－3(－3，2)＝(10，－4)，当k a ＋b 与a －3b 平行时，存在唯一实数λ， 使k a ＋b ＝λ(a －3b ).由(k －3，2k ＋2)＝λ(10，－4).得⎩⎪⎨⎪⎧k －3＝10λ，2k ＋2＝－4λ，解得k ＝λ＝－13.方法二 由方法一知k a ＋b ＝(k －3，2k ＋2)，a －3b ＝(10，－4)，∵k a ＋b 与a －3b 平行，∴(k －3)×(－4)－10(2k ＋2)＝0，解得k ＝－13.引申探究1.若例2条件不变，判断当k a ＋b 与a －3b 平行时，它们是同向还是反向？ 解 由例2知当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，这时k a ＋b ＝－13a ＋b ＝－13(a －3b )，∵λ＝－13<0，∴k a ＋b 与a －3b 反向.2.在本例中已知条件不变，若问题改为“当k 为何值时，a ＋k b 与3a －b 平行？”，又如何求k 的值？解 a ＋k b ＝(1，2)＋k (－3，2)＝(1－3k ，2＋2k )，3a －b ＝3(1，2)－(－3，2)＝(6，4)， ∵a ＋k b 与3a －b 平行， ∴(1－3k )×4－(2＋2k )×6＝0， 解得k ＝－13.反思与感悟 根据向量共线条件求参数问题，一般有两种思路，一是利用向量共线定理a ＝λb (b ≠0)，列方程组求解，二是利用向量共线的坐标表达式x 1y 2－x 2y 1＝0求解.跟踪训练2 设向量a ＝(1，2)，b ＝(2，3)，若向量λa ＋b 与向量c ＝(－4，－7)共线，则λ＝________.答案 2解析 λa ＋b ＝λ(1，2)＋(2，3)＝(λ＋2，2λ＋3)， ∵λa ＋b 与c 共线，∴(λ＋2)×(－7)－(2λ＋3)×(－4)＝λ－2＝0， ∴λ＝2.类型三 三点共线问题例3 已知向量OA →＝(k ，12)，OB →＝(4，5)，OC →＝(10，k ).当k 为何值时，A ，B ，C 三点共线？ 解 AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)， AC →＝OC →－OA →＝(10－k ，k －12)， 若A ，B ，C 三点共线，则AB →∥AC →， ∴(4－k )(k －12)＝－7×(10－k )， 解得k ＝－2或11， 又AB →，AC →有公共点A ，∴当k ＝－2或11时，A ，B ，C 三点共线.反思与感悟 (1)三点共线问题的实质是向量共线问题，两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的，利用向量平行证明三点共线需分两步完成：①证明向量平行；②证明两个向量有公共点.(2)若A ，B ，C 三点共线，即由这三个点组成的任意两个向量共线.跟踪训练3 已知A (1，－3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫8，12，C (9，1)，求证：A ，B ，C 三点共线.证明 AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8－1，12＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7，72，AC →＝(9－1，1＋3)＝(8，4)，∵7×4－72×8＝0，∴AB →∥AC →，且AB ，AC →有公共点A ， ∴A ，B ，C 三点共线.1.已知a ＝(－1，2)，b ＝(2，y )，若a ∥b ，则y 的值是( ) A.1 B.－1 C.4 D.－4 答案 D解析 ∵a ∥b ，∴(－1)×y －2×2＝0，∴y ＝－4. 2.与a ＝(12，5)平行的单位向量为( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫1213，－513B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213，－513C.⎝⎛⎭⎪⎫1213，513或⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213，－513 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫±1213，±513答案 C解析 设与a 平行的单位向量为e ＝(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，12y －5x ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1213，y ＝513或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1213，y ＝－513.3.已知三点A (1，2)，B (2，4)，C (3，m )共线，则m 的值为________. 答案 6解析 AB →＝(2，4)－(1，2)＝(1，2).AC →＝(3，m )－(1，2)＝(2，m －2).∵A ，B ，C 三点共线，即向量AB →，AC →共线， ∴存在实数λ使得AB →＝λAC →，即(1，2)＝λ(2，m －2)＝(2λ，λm －2λ).∴⎩⎪⎨⎪⎧2λ＝1，λm －2λ＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，m ＝6.即m ＝6时，A ，B ，C 三点共线.4.已知四边形ABCD 的四个顶点A ，B ，C ，D 的坐标依次是(3，－1)，(1，2)，(－1，1)，(3，－5).求证：四边形ABCD 是梯形.证明 ∵A (3，－1)，B (1，2)，C (－1，1)，D (3，－5). ∴AB →＝(－2，3)，CD →＝(4，－6). ∴CD →＝－2AB →，即|AB →|＝12|CD →|，∴AB ∥CD ，且AB ≠CD ，∴四边形ABCD 是梯形.5.已知A (3，5)，B (6，9)，M 是直线AB 上一点，且|AM →|＝3|MB →|，求点M 的坐标. 解 设点M 的坐标为(x ，y ).由|AM →|＝3|MB →|，得AM →＝3 MB →或AM →＝－3MB →. 由题意，得AM →＝(x －3，y －5)，MB →＝(6－x ，9－y ). 当AM →＝3 MB →时，(x －3，y －5)＝3(6－x ，9－y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝3(6－x )，y －5＝3(9－y )，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝214，y ＝8.当AM →＝－3MB →时，(x －3，y －5)＝－3(6－x ，9－y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－3(6－x )，y －5＝－3(9－y )，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝152，y ＝11.故点M 的坐标是⎝⎛⎭⎪⎫214，8或⎝ ⎛⎭⎪⎫152，11.1.两个向量共线条件的表示方法 已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，(1)当b ≠0，a ＝λb . (2)x 1y 2－x 2y 1＝0.(3)当x 2y 2≠0时，x 1x 2＝y 1y 2，即两向量的相应坐标成比例. 2.向量共线的坐标表示的应用(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线.联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题.要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行.(2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨迹方程.要注意方程思想的应用，向量共线的条件，向量相等的条件等都可作为列方程的依据.课时作业一、选择题1.设k ∈R ，下列向量中，与向量a ＝(1，－1)一定不平行的向量是( ) A.b ＝(k ，k ) B.c ＝(－k ，－k ) C.d ＝(k 2＋1，k 2＋1) D.e ＝(k 2－1，k 2－1)答案 C解析 由向量共线的判定条件知，当k ＝0时，向量b ，c 与a 平行；当k ＝±1时，向量e 与a 平行.对任意k ∈R ，1·(k 2＋1)＋1·(k 2＋1)≠0，∴a 与d 不平行，故选C. 2.已知向量a ＝(1，－2)，|b |＝4|a |，a ∥b ，则b 可能是( ) A.(4，8) B.(8，4) C.(－4，－8) D.(－4，8)答案 D3.已知三点A (－1，1)，B (0，2)，C (2，0)，若AB →和CD →是相反向量，则D 点坐标是( ) A.(1，0) B.(－1，0) C.(1，－1) D.(－1，1) 答案 C4.已知向量a ＝(2，3)，b ＝(－1，2)，若(m a ＋n b )∥(a －2b )，则mn等于( ) A.－2 B.2 C.－12 D.12答案 C解析 由题意得m a ＋n b ＝(2m －n ，3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1)，∵(m a ＋n b )∥(a －2b )， ∴－(2m －n )－4(3m ＋2n )＝0，∴m n ＝－12，故选C.5.下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是( ) A.e 1＝(0，0)，e 2＝(1，－2) B.e 1＝(－1，2)，e 2＝(5，7) C.e 1＝(3，5)，e 2＝(6，10) D.e 1＝(2，－3)，e 2＝(12，－34)答案 B解析 A 选项，∵e 1＝0，e 1∥e 2，∴不可以作为基底；B 选项，∵－1×7－2×5＝－17≠0，∴e 1与e 2不共线，故可以作为基底；C 选项，3×10－5×6＝0，e 1∥e 2，故不可以作为基底；D 选项，2×(－34)－(－3)×12＝0，∴e 1∥e 2，不可以作为基底.故选B.6.已知e 1＝(1，0)，e 2＝(0，1)，a ＝2e 1＋e 2，b ＝λe 1－e 2，当a ∥b 时，实数λ等于( ) A.－1 B.0 C.－12 D.－2答案 D解析 ∵e 1＝(1，0)，e 2＝(0，1)，a ＝2e 1＋e 2，b ＝λe 1－e 2， ∴a ＝2(1，0)＋(0，1)＝(2，1)，b ＝λ(1，0)－(0，1)＝(λ，－1). 又∵a ∥b ，∴2×(－1)－1×λ＝0，解得λ＝－2.故选D.7.已知向量a ＝(x ，3)，b ＝(－3，x )，则下列叙述中，正确的个数为( ) ①存在实数x ，使a ∥b ； ②存在实数x ，使(a ＋b )∥a ； ③存在实数x ，m ，使(m a ＋b )∥a ； ④存在实数x ，m ，使(m a ＋b )∥b . A.0 B.1 C.2 D.3 答案 B解析 只有④正确，可令m ＝0，则m a ＋b ＝b ，无论x 为何值，都有b ∥b .8.已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(－1，0)，(3，0)，(1，－5)，则第四个顶点坐标是( ) A.(1，5)或(5，5) B.(1，5)或(－3，－5) C.(5，－5)或(－3，－5) D.(1，5)或(5，－5)或(－3，－5) 答案 D 二、填空题9.已知向量a ＝(m ，4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________. 答案 －6解析 因为a ∥b ，所以由(－2)×m －4×3＝0，解得m ＝－6.10.已知A (－1，4)，B (x ，－2)，若C (3，3)在直线AB 上，则x ＝________. 答案 2311.已知向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，3)，若λa ＋μb 与a ＋b 共线，则λ与μ的关系是________. 答案 λ＝μ12.设OA →＝(2，－1)，OB →＝(3，0)，OC →＝(m ，3)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数m 的取值范围是________. 答案 {m |m ∈R 且m ≠6}解析 ∵A ，B ，C 三点能构成三角形. ∴AB →，AC →不共线.又∵AB →＝OB →－OA →＝(1，1)， AC →＝(m －2，4)，∴1×4－1×(m －2)≠0. 解得m ≠6.∴m 的取值范围是m ∈R 且m ≠6.13.已知直角坐标平面内的两个向量a ＝(1，3)，b ＝(m ，2m －3)，使得平面内的任意一个向量c 都可以唯一的表示成c ＝λa ＋b ，则m 的取值范围是________. 答案 {m |m ∈R 且m ≠－3}解析 根据平面向量的基本定理知，a 与b 不共线，即2m －3－3m ≠0，解得m ≠－3. 所以m 的取值范围是m ∈R 且m ≠－3.三、解答题14.已知向量AB →＝(6，1)，CD →＝(－2，－3)，BC →＝(x ，y )且|BC →|＝5，BC →∥DA →，求x ，y 的值. 解 由题意得DA →＝－AD →＝－(AB →＋BC →＋CD →) ＝－[(6，1)＋(x ，y )＋(－2，－3)] ＝(－x －4，－y ＋2)， 又BC →＝(x ，y )，BC →∥DA →， ∴x (－y ＋2)－y (－x －4)＝0. 化简得x ＋2y ＝0.即x ，y 应满足的关系为x ＋2y ＝0. ① 又∵|BC →|＝5，∴x 2＋y 2＝5.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1.四、探究与拓展15.如图所示，已知在△AOB 中，A (0，5)，O (0，0)，B (4，3)，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC相交于点M ，求点M 的坐标.解 ∵OC →＝14OA →＝14(0，5)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，54，∴C (0，54).∵OD →＝12OB →＝12(4，3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32.设M (x ，y )，则AM →＝(x ，y －5)， AD →＝⎝⎛⎭⎪⎫2－0，32－5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－72.∵AM →∥AD →，∴－72x －2(y －5)＝0，即7x ＋4y ＝20.①又∵CM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，y －54，CB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4，74， CM →∥CB →，∴74x －4⎝ ⎛⎭⎪⎫y －54＝0， 即7x －16y ＝－20.② 联立①②，解得x ＝127，y ＝2， 故点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫127，2.。
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2.3.4平面向量共线的坐标表示
【学习目标】
1．会推导并熟记两向量共线时坐标表示的充要条件；
2．能利用两向量共线的坐标表示解决有关综合问题。
3．通过学习向量共线的坐标表示，使学生认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力.
【教学重点】 向量共线的坐标表示及直线上点的坐标的求解．
【教学难点】 定比分点的理解和应用
自主学习案
【复习引入】
前面，我们学习了平面向量可以用坐标来表示，并且向量之间可以进行坐标运算。
这就为解
决问题提供了方便。
我们又知道共线向量的条件是当且仅当有一个实数λ使得b =λa ，那么这个
条件是否也能用坐标来表示呢？因此，我们有必要探究一下这个问题：两向量共线的坐标表示。
【自主探究】
思考：共线向量的条件是当且仅当有一个实数λ使得a =λb ，那么这个条件是否也能用坐标来表
示呢？
设a =(x 1, y 1) b =(x 2, y 2)（ b ≠） 其中b ≠a
结论：a ∥b (b ≠0)⇔x 1y 2-x 2y 1=0
注意：1︒消去λ时不能两式相除，∵y 1, y 2有可能为0， ∵b ≠0，
∴x 2, y 2中至少有一个不为0.
2︒充要条件不能写成2
211x y x y = ∵x 1, x 2有可能为0. 3︒从而向量共线的充要条件有两种形式：a ∥b (b ≠)01221=-=⇔
y x y x λ 合作探究案
【课内探究】
例1. 已知(4,2)a =，(6,)b y =，且//a b ，求y ．
解：
变式训练1：已知平面向量)2,1(= ，),2(m -= ，且//，则32+等于_________.
例2: 已知(1,1)A --，(1,3)B ，(2,5)C ，求证:A 、B 、C 三点共线．
证明：
点评:若从同一点出发的两个向量共线,则这两个向量的三个顶点共线.
变式训练2：若A (x ，-1)，B (1，3)，C (2，5)三点共线，则x 的值为_________.
例3:设点P 是线段P 1P 2上的一点， P 1、P 2的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2).
当点P 是线段P 1P 2的中点时，求点P 的坐标；
当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时，求点P 的坐标.
解：
点评:此题实际上给出了线段的中点坐标公式和线段三等分点坐标公式.
变式训练3：当21PP P λ=时,点P 的坐标是什么？
【当堂检测】：
1、已知=a +5b ，=－2a +8b ，=3（a －b ），则（ ）
A. A 、B 、D 三点共线 B .A 、B 、C 三点共线
C. B 、C 、D 三点共线
D. A 、C 、D 三点共线
2、若向量a =(-1，x)与b =(-x ， 2)共线且方向相同，则x 为________.
3、设3(,sin )2a α=，1
(cos ,)3b α=，(0,2)απ∈，且//a b ，求角α．
4、已知a=(3,-1),b=(-1,2),则-3a-2b 等于（ ）
A.(7,1)
B.(-7,-1)
C.(-7,1)
D.(7,-1)
5、已知A(1,1),B(-1,0),C(0,1),D(x,y),若AB 和CD 是相反向量,则D 点的坐标是（
）
A.(-2,0)
B.(2,2)
C.(2,0)
D.(-2,-2)
6、若点A(-1,-1),B(1,3),C(x,5)共线,则使=λ的实数λ的值为（ ）
A.1
B.-2
C.0
D.2
7、设a=(23,s in α),b=(cos α,31),且a ∥b,则α的值是（ ） A.α=2k π+
4π(k ∈Z) B.α=2k π-4
π(k ∈Z) C.α=k π+4π(k ∈Z) D.α=k π-4π(k ∈Z) 7、已知A 、B 、C 三点共线,且A(3,-6),B(-5,2),若C 点的横坐标为6,则C 点的纵坐标为（ ） A.-2 B.9 C.-9 D.13
8、若A(2,3),B(x,4),C(3,y),且AB =2AC ,则x=_______,y=________.
9、已知ABCD 中,=(3,7), =(-2,1),则的坐标(O 为对角线的交点)为_________.
10、向量=(k,12),=(4,5),=(10,k),当k 为何值时,A 、B 、C 三点共线?
11.A(2,3),B(5,4),C(7,10),若=+λ(λ∈R),试问:当λ为何值时,点P 在第一与第三象限的角平分线上?当λ在什么范围内取值时,点P 在第三象限内?
12.边形ABCD 是正方形,BE ∥AC,AC=CE,EC 的延长线交BA 的延长线于点F,求证:AF=AE.
【我的小结】
【我的疑问】
课后练习案
1. 教材P100练习1-7.
2. 同步作业P61练习题.
3.。