高等数学下册配套习题册

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高等数学教材配套作业

高等数学教材配套作业一、微分和导数在高等数学中，微分和导数是重要的概念。

微分描述的是函数在某一点的局部变化情况，而导数则表示函数在某一点的变化率。

为了帮助同学们更好地理解微分和导数，以下是一些配套作业题目：1. 求下列函数的导数：a) f(x) = 2x^3 + 5x^2 - 4x + 3b) g(x) = 3sin(2x) + 4cos(x)c) h(x) = ln(3x^2 + 2x + 1)2. 计算下列函数在给定点的导数：a) f(x) = x^2 + 3x - 2, 当 x = 2b) g(x) = e^x - 2x, 当 x = 0c) h(x) = tan(x) - 1/x, 当x = π/43. 求下列函数的高阶导数：a) f(x) = 4x^3 - 2x^2 + 5x - 1b) g(x) = e^xsin(x)c) h(x) = ln(x^2 + 2x + 1)二、积分和定积分积分是求函数的反导数，而定积分则是确定函数在给定区间上的面积。

学习积分和定积分需要通过练习来加深理解，以下是一些配套作业题目：1. 计算下列函数的不定积分：a) ∫(2x^3 + 5x^2 - 4x + 3) dxb) ∫(3sin(2x) + 4cos(x)) dxc) ∫(ln(3x^2 + 2x + 1)) dx2. 计算下列定积分：a) ∫[0, 2] (x^2 + 3x - 2) dxb) ∫[0, π] (sin(x) + cos(x)) dxc) ∫[1, e] (1/x) dx3. 求下列函数的定积分：a) ∫[0, 1] (4x^3 - 2x^2 + 5x - 1) dxb) ∫[0, π/2] (e^xsin(x)) dxc) ∫[1, 2] (ln(x^2 + 2x + 1)) dx三、微分方程微分方程是描述函数及其导数之间关系的方程，对于解微分方程需要掌握一系列技巧和方法。

以下是一些配套作业题目：1. 求解下列常微分方程：a) y' = 2xb) y' = e^xc) y'' + y = 02. 求下列常微分方程的特解：a) y' = 3sin(x) + 4cos(x), y(0) = 1b) y' + 2y = e^x, y(0) = 0c) y'' - 4y' + 4y = x^2, y(0) = 1, y'(0) = 23. 解下列二阶常系数齐次微分方程：a) y'' - 4y' + 4y = 0b) y'' + 2y' + y = 0c) y'' - 9y = 0通过完成以上作业题目，同学们能够更好地掌握微分和导数、积分和定积分以及微分方程的相关知识。

高等数学下课后习题及答案

高等数学下课后习题及答案
《高等数学下课后习题及答案》
在学习高等数学的过程中，课堂上的知识点讲解只是一个方面，更重要的是通过课后习题的练习来加深对知识的理解和掌握。

下面我们将介绍一些高等数学下课后习题及答案，希望能够帮助大家更好地学习和掌握这门学科。

1. 求下列函数的极限：
(a) lim(x→0) (sinx/x)
(b) lim(x→∞) (1+1/x)^x
答案：
(a) lim(x→0) (sinx/x) = 1
(b) lim(x→∞) (1+1/x)^x = e
2. 求函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x的极值点。

答案：
f'(x) = 3x^2 - 6x + 2
令f'(x) = 0，解得x=1或x=2
再求f''(x)，得f''(1) = 6，f''(2) = 6
所以x=1或x=2时，f(x)取极小值。

3. 求曲线y = x^3 - 3x^2 + 2x的渐近线方程。

答案：
当x→±∞时，y→±∞
所以y = x^3 - 3x^2 + 2x没有水平渐近线
当x→±∞时，y = x^3 - 3x^2 + 2x与y = x^3相似
所以y = x^3是y = x^3 - 3x^2 + 2x的斜渐近线。

以上就是一些高等数学下课后习题及答案的介绍，希望能够对大家的学习有所帮助。

在学习过程中，多做习题，多总结规律，相信大家一定能够掌握好这门学科。

高数练习册(下)答案

第1节
1．（1）发散；（2）收敛, 1 . 2．（1）发散；（2）收敛， 3 ；（3）发散；（4）发散.
.
4. 4 (x2 2 y2 1)d 36
D
2.（1）
1
x
dx f (x, y)dy
3
dx
1 (3x)
2 f (x, y)dy ，
1
dy
32y f (x, y)dx ；
0
0
1
0
0
y
r
r2 x2
r
r2 y2
（2） dx
r
0
f (x, y)dy ， dy
f (x, y)dx ；
高等数学(理工科)标准化作业 I-2 参考答案
第七章多元函数微分学及其应用第1节
1. (1) D (x, y, z) | z2 x2 y2, x2 y2 0 ； (2) D (x, y) | x 0, y x, x2 y2 1 .
2. f (x, y) x2 (1 y) y 1 .
2.
dz
(1,1)
2 dx 5
2 dy 5
2 (dx dy) . 5
3.
z
z
dz ( , ) 4
x
dx
( , ) 4
y
dy
( , ) 4
第4节
2 (4 7 ). 8
4. 略.
1. ea x sin x .
2. 略.
3. zx ye x2 y2 1, zy xe x2 y2
4. 略.
16
z 1 1
16
,
x 1+ 9 y 1 1 z 1 0 .
16
16
3. x y 2z 22 0 . 2

高等数学同济第七版下册习题与答案完整版

高等数学同济第七版下册习题与答案完整版引言在学习高等数学课程中，习题是提高理解和掌握知识的重要方式。

然而，有时候我们在学习的过程中可能会遇到一些难题，不知道如何解答。

为了帮助同学们更好地学习和掌握高等数学知识，我们整理了高等数学同济第七版下册的习题与答案完整版，供大家参考。

第一章无穷级数习题1.11.讨论级数 $\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{n^3 +2n}{(2n^2 + 3n - 4)^2}$ 的敛散性。

2.求级数 $\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{(-1)^n}{n^2}$ 的和。

答案1.首先，我们将这个级数进行比较审敛法。

考虑到n3+2n的最高次项为n3，而(2n2+3n−4)2的最高次项为(2n2)2=4n4，因此我们可以得到 $\\frac{n^3 +2n}{(2n^2 + 3n - 4)^2} < \\frac{n^3 + 2n}{4n^4}$。

根据比较审敛法的基本原理，只需讨论 $\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{n^3 + 2n}{4n^4}$ 的敛散性。

根据级数的性质，我们可以分别求前两项、前三项的和，并观察和的变化规律。

经过计算，可得前两项的和为 $\\frac{1}{16}$，前三项的和为 $\\frac{5}{96}$。

观察可以发现，当 n 的值逐渐增大时，和逐渐减小，并且趋于一个有限值。

因此，根据比较审敛法，原级数$\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{n^3 + 2n}{(2n^2 + 3n - 4)^2}$ 也收敛。

2.我们可以使用交错级数的性质求解这个问题。

根据交错级数的性质，交错级数 $\\sum_{n=1}^{\\infty}\\frac{(-1)^n}{n^p}$ 的和为 $S = \\ln 2$，其中n=1。

对于这个问题，我们可以发现，级数$\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{(-1)^n}{n^2}$ 的形式和交错级数一样，只是n=2。

高数下册练习题

高等数学（第二册）练习题1一、选择题1、函数()y x f z ,=在()0,0y x 处的偏导数x z 、y z 存在是函数()y x f z ,=在该点连续的（）A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 2、微分方程x e y y y y x 342=-'-''是（）A. 二阶线性微分方程 B.二阶齐次微分方程C.二阶非齐次线性微分方程 D.二阶非齐次非线性微分方程3、下列说法中不正确的是（）A. 若0=⋅b a ，则向量b a ,垂直 B. 若0 =⨯b a ，则向量b a,平行C. 若平面π过x 轴，则平面π方程的形式为：0=++D Cz ByD. 若平面垂直与x 轴，则平面方程的形式为0=+D x ；4、设⎪⎭⎫⎝⎛+=x y xF xy z ，其中()u F 为可微函数，则=∂∂+∂∂y z yx z x ( ) A.xz y + B. xy z + C. yz x + D.xy z - 5、设二重积分()⎰⎰=+Ddxdy y x 2（）其中D 是区域(){}20,11,≤≤≤≤-y x y x A.5 B.6 C.7 D.86、无穷级数()∑∞=-113n nn n x 的收敛半径（） A. 3 B. 0.3 C. 32 D. 31 7、若∑∞=-1)5(n n nx a在x=3处收敛，则它在x=-3处（） A 发散 B 条件收敛 C 绝对收敛 D 不能确定二、填空题1.二阶齐次线性微分方程0106=+'+''y y y 的通解是__________； 2、函数xy e z =的全微分_______________ 3、交换二次积分I 的积分次序，=I ()=⎰⎰--dy y x f dx x 21011,_____________ ； 4、过点()2,0,1-且与平面012752=+-+z y x 垂直的直线方程__________ ；5、以点()2,3,1-为球心，2为半径的球面方程_________________ ；6、函数x e y =的麦克劳林级数_____________________________ 。

中北大学高等数学(下)习题册答案

1. 第五章向量代数与空间解析几何5.2向量及其线性运算 r 1 r 2 r 2r不存在 e a -i - j -k 3. 3 3 3ox 轴 :<34 ；o y 轴阳；oz 轴： uuu ruuu (1)P rj ；AB 1; ⑵i ； ⑶ AB r dur°A B 2( 1,1方向角：一 2 3 3 ‘45.3数量积向量积 *混合积 2 : 26 3(1) J — (2)—3 3 2(1) a b 3 ； a b (5,1,7）； 11b 5a 7c 2. 4. 2； 5. ⑷1. 5 2u 3v 5. x y 2z 46.x z2 05.5空间直线及其方程1.x 3 y 2z 1421x 1 2tx 1y 1 z 1 ，丄2.——；y 1 t213z 1 3t35 2 23.J3 3,34.x3 y 2 z 13915.6 曲面及其方程4. 2x 3y z 6 0 1. （1）球面（2）椭圆抛物面（3）椭球面(2) 18 ；(10,2,14)(3) 238 ；(4) 5 r 3(5) (5,1,7) (6) 0 3. 24.405. B (18,17, 17)2. 5.4平面及其方程1. 3x 7 y 5z 4 02. x 3y 2z 03. x 26y 3z 3 0 或 x 26y 3z 30 .（4）单叶双曲面（5）双曲抛物面22. yz 2 5x3. z 22 2y z2c4.(略)5.7空间曲线及其方程1.x 8cost,y 4-2 si nt,z4 2 si nt21 2 2 1 22x 4(y -) 1 2x 4(z 一)12. 2 2z 0y 0y z 1(0 y 1) x 03. H : x 2 2x C: zy 2 1 012 •见课件13.提示：从第一条直线上的点 1, 1,0到第二 2 2 4. 5x 3y 综合练习题五1.C C A D C2. 1 .192 3•提示：先证明 AB与再证条直线上任意点2 t, 12t,1 t 的距离为d ,取d 的最小值即为两条平行直线之间的距离14.直线方程为x 33 y 12第六章多元函数微分学6.1多元函数的基本概念与B 夹角的.2 4. x 1.( 1)x 2 1y 2 1 4x .(2)2y2x y 2 15. 1, y 24; x 2z(3) x1 2 2y1,3J x2. xy 2y 26.提示: 设所求平面方程为5y z 2 0,3. (1) D :定出 2。

高等数学同济第七版下册习题与答案完整版

高等数学同济第七版下册习题与答案完整版引言《高等数学同济第七版下册》是同济大学数学系编写的一本面向高等数学教育的教材。

本书作为高等数学的下册，涵盖了积分学、无穷级数、多元函数微分学等重要内容。

为了帮助学生更好地理解和学习这些知识点，本文档整理了该教材下册的所有习题及其答案，以供学生参考和练习。

目录•第一章积分学•第二章无穷级数•第三章多元函数微分学第一章积分学积分学是高等数学的重要分支，它研究函数的积分与定积分等相关概念和性质。

本章的习题主要围绕定积分、不定积分和定积分的应用展开。

习题11.计算定积分 $\\int_0^1 (3x^2 - 2x + 1) dx$。

答案：$\\frac{2}{3}$2.计算不定积分 $\\int (x^3 - 2x^2 + x - 1) dx$。

答案：$\\frac{1}{4}x^4 - \\frac{2}{3}x^3 + \\frac{1}{2}x^2 - x + C$习题21.计算定积分 $\\int_1^e \\frac{dx}{x}$。

答案：12.计算不定积分 $\\int \\frac{1}{x} dx$。

答案：$\\ln|x| + C$…第二章无穷级数无穷级数是数列求和的一种常见方法，它在数学和物理等领域中有广泛的应用。

本章的习题主要涉及级数的概念、级数的性质和级数的求和等内容。

习题11.判断级数$\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{1}{n^2}$ 的敛散性。

答案：该级数收敛。

2.计算级数 $\\sum_{n=0}^{\\infty} \\frac{1}{2^n}$ 的和。

答案：该级数的和为2。

…习题21.判断级数$\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{n!}{n^n}$ 的敛散性。

答案：该级数收敛。

2.计算级数 $\\sum_{n=1}^{\\infty} (-1)^{n+1} \\frac{1}{n}$ 的和。

华南理工大学高数(下)习题册答案汇总

第七章多元函数微分学作业1 多元函数1．填空题（1）已知函数22,y f x y x y x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则(),f x y =()()22211x y y -+；（2）49arcsin2222-+++=y x y x z 的定义域是(){}22,49x y x y ≤+≤；（3）)]ln(ln[x y x z -=的定义域是(){}(){},,0,1,0,1x y x y x x y x x y x >>+⋃<<≤+；（4）函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,0,sin ),(x y x x xyy x f 的连续范围是全平面；（5）函数2222y x z y x+=-在22y x =处间断.2．求下列极限`（1）00x y →→；解：000031lim 6x t t y t →→→→===-（2）22()lim (ex y x y x y -+→+∞→+∞+）.解：3y x =22()2()lim (e lim (e 2x y x y x yx x y y x y x y xe ye -+-+--→+∞→+∞→+∞→+∞⎡⎤+=+-⎣⎦））由于1lim e lim lim 0tt t t t t t t e e-→+∞→+∞→+∞===，2222lim e lim lim lim 0tt t t t t t t t t t e e e -→+∞→+∞→+∞→+∞====，故22()2()lim (elim (e 20x y x y x y x x y y x y x y xe ye -+-+--→+∞→+∞→+∞→+∞⎡⎤+=+-=⎣⎦）） 3．讨论极限26300lim y x yx y x +→→是否存在.解：沿着曲线()()3,,0,0y kx x y =→,有336626262000lim lim 1x x y kx x y kx kx y x k x k →→=→==+++因k 而异，从而极限26300lim y x yx y x +→→不存在 !4．证明⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,2),(222222y x y x y x xyy x f 在点)0,0(分别对于每个自变量x 或y都连续，但作为二元函数在点)0,0(却不连续.解：由于(,0)0,(0,)0,f x f y ≡≡从而可知在点)0,0(分别对于每个自变量x 或y 都连续，但沿着曲线()(),,0,0y kx x y =→,有2222222000222lim lim 1x x y kx xy kx kx y x k x k →→=→==+++因k 而异，从而极限()0lim ,x y f x y →→不存在，故作为二元函数在点)0,0(却不连续.；作业2 偏导数1．填空题（1）设22),(y x y x y x f +-+=，则=)4,3(x f 25；（2）（3）设(),ln 2y f x y x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则1x y f y==∂=∂12；（3）设2sin x u xz y =+，则42ux y z∂=∂∂∂ 0 ；（4）曲线22:44x y z y ⎧+=⎪Γ⎨⎪=⎩在点()2,4,5处的切线与Ox 轴正向的倾角是4π. ￥2．设2exy u =，证明 02=∂∂+∂∂yu y x u x.证:因为222312,xxy yu ux e e x y y y ∂∂-==∂∂ 所以222223*********x x x xy y y y u u x x x x y xe ye e e x y y y y y∂∂--+=+=+=∂∂3. 设xyz ln =，求22x z ∂∂，yx z∂∂∂2.解：ln ln x yz e⋅=，从而222ln ln ln ln ln ln ln 222ln ln ln ln ln ,,x y x y x y x z y z y y y y e e e y x x x x x x ⋅⋅⋅∂∂--⎛⎫=⋅=⋅+⋅= ⎪∂∂⎝⎭—2ln ln ln ln ln ln ln 11ln ln 1x y x y x z y x y x e e y x y x y x y xy⋅⋅∂⋅+=⋅⋅+⋅⋅=∂∂4．设y x z u arctan =，证明 0222222=∂∂+∂∂+∂∂zuy u x u . 解：因为()()2222222222211022,1uyz u yz x xyzz xy x y x x x y x y y ∂∂-⋅-=⋅⋅===∂+∂⎛⎫+++ ⎪⎝⎭()()2222222222221022,1u x xz u xz y xyzz yy x y y x x y x y y ∂--∂-⋅=⋅⋅==-=∂+∂⎛⎫+++ ⎪⎝⎭22arctan ,0,u x uz y x∂∂==∂∂ 所以()()2222222222222200u u u xyz xyzx y z x y x y ∂∂∂-++=++=∂∂∂++ 5．设函数()()2221sin ,0,0,x x y x f x y xx ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩.（1）试求(),f x y 的偏导函数；解：当()()()3222221110,,42sin cos x x f x y x xyx x y xx x-≠=+++⋅()21,2sin y f x y x y x =，()()()322211,42sin cos x f x y x xy x y x x=+-+(当()()()()222001sin 0,0,0,0,lim lim 00x x x x x y f x y f y x x f y x x→→+--≠===-()()()000,0,000,limlim 00y y y f y y f y f y y y ∆→→+∆--===∆-∆，()()()322211,42sin cos x f x y x xy x y x x=+-+（2）考察偏导函数在()0,3点处是否连续.()()200331lim ,lim 2sin00,3y y x x y y f x y x y f x→→→→===，故(),y f x y 在()0,3点处连续， ()()()3222003311lim ,lim 42sin cos x x x y y f x y x xy x y x x →→→→⎡⎤=+-+⎢⎥⎣⎦不存在，从而(),x f x y 在()0,3点处不连续作业3 全微分及其应用1．填空题（1）),(y x f z =在点),(00y x 处偏导数存在是),(y x f z =在该点可微的必要条件；（2）函数23z x y =在点()2,1-处，当0.02,0.01x y ∆=∆=-时有全增量）z ∆=0.2040402004-，全微分d z =0.20-；（3）设),(y x f z =在点),(00y x 处的全增量为z ∆，全微分为dz ，则),(y x f 在点),(00y x 处的全增量与全微分的关系式是()z dz o dz ∆=+；（4）22yx x u +=在点)1,0(处的d u =dx ；（5）xy u cos )(ln =,则d u =cos cos (ln )ln ln sin ln x x y y xdx dy y y ⎡⎤-⋅+⎢⎥⎣⎦；（6）zyx u )(=,则d u =()ln z x z z x dx dy dz y x y y ⎛⎫-+⎪⎝⎭；（7）2221zy x u ++=,则d u = ()()3222212x y z -++ .2．证明：(),f x y =在点()0,0处连续，()0,0x f 与()0,0y f 存在，但在()0,0处不可微.证：由于(0,)0,(,0)0,f y f x ==从而(0,0)0,(0,0)0.y x f f ==但是limlimx x y y ∆→∆→∆→∆→=不存在，从而在()0,0处不可微.;3．设函数()()222222221sin ,0,0,0x y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩试证：（1）函数(),f x y 在点()0,0处是可微的；证：因为 ()()()()2201sin0,00,00,0limlim 0,0,000x y x x x f x f x f f x x →→--====--又()()()22221sinlimlim0x x y y x y x y ∆→∆→∆→∆→∆+∆∆+∆==）所以函数(),f x y 在点()0,0处是可微的（2）函数(),x f x y 在点()0,0处不连续.证：当()222222221210,,2sincos x x x y f x y x x y x y x y +≠=-+++()2222220000121lim ,lim 2sin cos x x x y y x f x y x x y x y x y ∆→∆→∆→∆→⎛⎫=- ⎪+++⎝⎭不存在，故(),x f x y 在点()0,0处不连续作业4 多元复合函数的求导法则1．填空题（1）设2ln ,,32yz u v u v y x x===-，则 z x ∂=∂()()223222ln 3232y y y x x x y x ----； |（2）设22,cos ,sin z x y xy x u v y u v =-==，则zv∂=∂()333sin cos sin 2sin sin 2cos u v v v v v v +--；（3）设()22,zu x y z x y =-=+，则u x ∂=∂()()222ln z x y x y x x y x y ⎡⎤+--+⎢⎥-⎣⎦；（4）设2sin z x y x ==，则dd zx =2x . 2．求下列函数的偏导数（1）设,,x y u f y z ⎛⎫=⎪⎝⎭其中f 具有一阶连续偏导数，求,u x ∂∂u y ∂∂和uz ∂∂；解：111,f u f x y y ∂=⋅=∂121222222211,u x x u y yf f f f f f y y z y z z z z∂--∂--=⋅+⋅=+=⋅=∂∂ （2）设(),,,u f x y z =()(),,,z y t t y x ϕψ==，其中,,f ϕψ均可微，求u x ∂∂和uy∂∂. 解：因为1231212,,du f dx f dy f dz dz dy dt dt dy dx ϕϕψψ=++=+=+ 从而()1231212du f dx f dy f dy dy dx ϕϕψψ=++++⎡⎤⎣⎦~()()1322231321f f dx f f f ϕψϕϕψ=+++++所以1322231321,u u f f f f f x yϕψϕϕψ∂∂=+=++∂∂ 3．验证下列各式（1）设()22yz f x y =-，其中()f u 可微，则211z z z x x y y y ∂∂+=∂∂；证：因为222212,z xyf z y f x f y f f''∂-∂==+∂∂ 所以222211121121z z z xyf y f zx x y y x x f y f f yf y''⎛⎫∂∂∂-+=++== ⎪∂∂∂⎝⎭ （2）设()23y z xy x ϕ=+，其中ϕ可微，则220z zx xy y x y ∂∂-+=∂∂. 证：因为()()222,33z y z y y xy x xy x x y xϕϕ∂∂''=-+=+∂∂ 所以22z z x xy y x y ∂∂-+=∂∂()()2222233y y x y xy xy x xy y x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫''-+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()22222033y y x y xy y x y xy y ϕϕ''=-+--+=-4．设22,,y z xf x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭其中函数f 具有二阶连续偏导数，求2z x y ∂∂∂.解：因为221212222,z y y f x f f f xf f x x x ⎛⎫∂-=++⋅=+- ⎪∂⎝⎭所以22212212222222222z y y y y y y f xf f f xf f f x y y x x x x x x⎡⎤∂∂=+-=+⋅--⋅⎢⎥∂∂∂⎣⎦ 31222224y yf f x=-4．设)()(xy x x y u ψϕ+=其中函数ψϕ,具有二阶连续偏导数，试证：022222222=∂∂+∂∂∂+∂∂y u y y x u xy x u x . 证：因为222223432,u y y u y y y x x x x x x x ϕψψϕϕψ∂-∂'''''''=+-=++∂∂222322211,,u y y u u x y x x x y x y x xϕψϕϕψϕψ''''∂∂∂'''''''=---=+=+∂∂∂∂ 从而左边222234323222120y y y y y x xy y x x x x x x x x ϕψϕϕψϕϕψ''''⎛⎫⎛⎫⎛⎫''''''''''=+++---++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭作业5 隐函数求导法1．填空题*（1）已知3330x y xy +-=，则d d y x =22x yx y --；（2）已知20x y z ++-=，则x y ∂=∂（3）已知xzz y =，则d z =2ln ln z dy yz zdxxy yz y--；（4）已知222cos cos cos 1x y z ++=，则d z =sin 2sin 2sin 2xdx ydyz+-；（5）已知(),z f xz z y =-，其中f 具有一阶连续偏导数，则d z =12121zf dx f dyxf f ---.2．设(),0,F y z xy yz ++=其中F 具有二阶连续偏导数，求22zx∂∂．解：212120,yF z z z F F y y x x x F yF -∂∂∂⎛⎫+⋅+=⇒= ⎪∂∂∂+⎝⎭ ()()[]()22122122122221212x x x F z F y yz F yF F F yF F z y y x x F yF F yF '⋅+++-+⎡⎤⎛⎫∂∂⎣⎦=-=- ⎪∂∂++⎝⎭()()()()()2222112111222212221231212y F F F yF F F yF y F F F F F yF F yF -+++⎡⎤-⎣⎦=+++3．求由方程组222222320z x yx y z ⎧=+⎪⎨++=⎪⎩所确定的()y x 及()z x 的导数d d y x 及d d z x .$解：由已知()2222222602460dz xdx ydy dz xdx ydy xdx dz xdx zdz xdx ydy zdz -=⎧=+⎧⎪⇒⎨⎨+-+=++=⎪⎩⎩ ()()22606,132623220xdx z dz dz x dy x xy dx z dxy yz xdx ydy z xdx ydy -++=⎧+⎪⇒⇒==-⎨+++++=⎪⎩4．设函数()z f u =，又方程()()d xy u u P t t ϕ=+⎰确定u 是,x y 的函数，其中()f u 与()u ϕ均可微；()(),P t u ϕ'连续，且()1u ϕ'≠. 试证：()()0z zP y P x x y∂∂+=∂∂. 证：因为()(),z u z uf u f u x x y y∂∂∂∂''=⋅=⋅∂∂∂∂， ()()()(),1P x u u u u P x x x x u ϕϕ∂∂∂'=⋅+='∂∂∂- ()()()(),1P y u u uu P y y y y u ϕϕ-∂∂∂'=⋅-='∂∂∂- ()()()()()()()()()()011P x P y z zP y P x P y f u P x f u x y u u ϕϕ-∂∂''+=+=''∂∂--5．设函数()f u 具有二阶连续偏导数，而()e sin x zf y =满足方程22222e x z zz x y∂∂+=∂∂，求()f u . 】解：因为()()()()222sin ,sin sin x xx z z f u e y f u e y f u e y x x∂∂''''==+∂∂()()()()222cos ,cos (sin )x xx z z f u e y f u e y f u e y y y∂∂''''==+-∂∂()()222222()e ,()0x x z zf u e f u f u f u x y∂∂''''+==⇒-=∂∂ 特征方程为()2121210,1,1,u u r r r f u c e c e --===-=+作业6 方向导数与梯度1．填空题（1）在梯度向量的方向上，函数的变化率最大；（2）函数在给定点的方向导数的最大值就是梯度的模；（3）函数2249z x y =+在点()2,1的梯度为grad z ={16,18}；（4）函数xyz u =在点)1,1,1(处沿方向}cos ,cos ,{cos γβα=l的方向导数是@cos cos cos αβγ++，且函数u 在该点的梯度是{1,1,1}；（5）函数e cos()xu yz =在点)0,0,0(处沿方向}2,1,2{-=l 的方向导数是23；（6）函数)ln(22z y x u ++=在点)1,0,1(A 处沿A 指向点)2,2,3(-B 方向的方向导数是12. 2．求222z y x u -+=在点)0,0,(a A 及点)0,,0(a B 处的梯度间的夹角.解：{}2,2,2{2,0,0}AAgradux y z a =-={}2,2,2{0,2,0}B Bgradu x y z a =-=夹角余弦为cos 02A B A Bgradu gradu gradu gradu πϕϕ⋅==⇒=⋅3．求二元函数22z x xy y =-+在点()1,1-沿方向{}2,1l =的方向导数及梯度，并指出z 在该点沿那个方向减少得最快沿那个方向z 的值不变解：(){}(){}1,11,12,23,3gradz x y y x --=--=-5l =⎨⎩，{3,3}zl∂=-⋅=∂ )z 在该点沿梯度相反方向，即方向减少得最快；沿与梯度垂直的那个方向，即±方向z 的值不变 4．设x轴正向到l 得转角为α，求函数()22220,0,x y f x y x y +>=+=⎩在点()0,0处沿着方向l 的方向导数.解：{}cos ,sin ,cos l αααα===由于该函数在点()0,0处不可微，从而不能用公式，只能由定义得出沿着方向l 的方向导数：()()00,0,0lim x y f x y f fl ρρρ→→→→-∂===∂1cos sin sin 22ααα==作业7 偏导数的几何应用1．填空题（1）已知曲面224z x y =--上点P 的切平面平行于平面221x y z ++=，则点P的坐标是(1,1,2)； !（2）曲面e 23zz xy -+=在点()1,2,0处的切平面方程是24x y +=；（3）由曲线223212x y z ⎧+=⎨=⎩绕y轴旋转一周所得到的旋转曲面在点(M处的指向内侧的单位法向量为0,⎧⎪⎨⎪⎩；（4）曲面2222321x y z ++=在点()1,2,2-处的法线方程是122146x y y -+-==-；（5）已知曲线23,,x t y t z t ===上点P 的切线平行于平面24x y z ++=，则点P的坐标是()1,1,1--或111,,3927⎛⎫--⎪⎝⎭． 2．求曲线22sin ,sin cos ,cos x t y t t z t ===在对应于的点π4t =处的切线和法平面方程.解：切点为{}224111,,,2sin cos ,cos sin ,2cos sin {1,0,1}222T t t t t t tπ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，从而切线为11110222,11012x z x y z y +-=⎧---⎪==⎨-=⎪⎩，法平面为110,022x z x z ⎛⎫---=-= ⎪⎝⎭3．求两个圆柱面的交线22221:1x y x z ⎧+=⎪Γ⎨+=⎪⎩在点M 处的切线和法平面的方程.解：1{2,2,0}|//{1,1,0}M n x y =，2{2,0,2}|//{1,0,1}M n x z =&{}{}1,1,01,0,1{1,1,1}T =⨯=--==，法平面为0x y z --+= 4．求曲面()22210ax by cz abc ++=≠在点()000,,x y z 处的切平面及法线的方程. 解：000000{2,2,2}//{,,}n ax by cz ax by cz =切平面为0001ax x by y cz z ++=，法线为000000x x y y z z ax by cz ---== 5．求函数22221x y z ab ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在点M 处沿曲线22221x y a b +=在此点的外法线方向的方向导数.解：2222,,MM x y gradza b a b ⎧⎪⎧⎫=--=--⎨⎬⎨⎩⎭⎪⎪⎩⎭2222,M x y n a b a b ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭指向外侧为此点的外法线方向，方向导数为(2a z ngradz n n ∂=⋅=-∂6．证明：曲面y z xf x ⎛⎫=⎪⎝⎭在任意点处的切平面都通过原点，其中f 具有连续导数. —证：设切点为()000,,x y z ，则000000000000,,1,y y y y y n f f f z x f x x x x x ⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪''=--=⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩⎭切平面为()()()000000000000y y y y f f x x f y y z z x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫''--+---=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦令0x y z ===，得左边等于右边，从而原点在任意点处的切平面上，也即任意点处的切平面都通过原点。

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高等数学(下册)
配套习题册
姓名：＿＿＿＿＿＿专业：＿＿＿＿＿＿班级：＿＿＿＿＿＿
综合练习题（一）
1. 求过点P(1，0，-2),Q(3，-1，1),R(2，1，0)三点的平面方程。

2. 已知三角形三个顶点坐标是A(2，-1，3),B(1，2，3),C(0，1，4),求△ABC 的面积。

3. 求函数f （y x ,）=y x +-2
2y x +在（3,4）处的偏导数。

4. 设方程xy
e +x y sin +2
z -2z=1,确定函数z=(y x ,)，求x ∂∂x ，y
z
∂∂。

5. 求空间曲线x=t cos ,y=t sin ,z=t 在点（22，2
2，4∏）处的切线方程。

6. 计算二重积分I=
⎰⎰-D
y x )2(dxdy ,其中D 是顶点分别在（0,0）
，（-1,0），（-1，-1）的三角形区域。

7. 计算三重积分
dxdydz Z ⎰⎰⎰Ω
2
3，其中Ω是旋转抛物面22y x z +=及平面z=1所围成的闭区域。

8. 计算对弧长的曲线积分[]
d s y L
⎰-+1)(x
222
，其中L 是圆周22y x +=9.
9. 求曲面222z y x +=和2226y x z --=所围成立体的体积。

10. 求函数y x xy y x y x f 311381021),(22-----=的极值。

综合练习题（二）
1. 求过点)0,1,3(-p 并且与直线0
321-=-=z y x 垂直的平面方程。

2. 设函数y
z
x f y x x f z ∂∂∂∂-=,z ),,3(是可微函数，求其中。

3.dz ),,(ln 求全微分确定函数设方程y x z z x
y
x ==。

4.求的方向导数。

角的方向轴正向成）沿与，在点（函数l x xy y x y x f
3011),(2
2
-+=
5. 求空间曲线x=t cos ,y=t sin ,z=t 在点（
22，2
2，4∏）处的切线方程。

6.计算二重积分0,4,22)
(22
≥≤+=+-⎰⎰
y y x D dxdy e I y x
D
：其中区域。

7.计算对弧长的曲线积分,1
32ds y x L ⎰
+-）（其中L 是直线2-=x y 上从点）的直线段，到点（11)3,1(---。

8.
计算对坐标的曲线积分
）的一段弧。

，）到点（上从点（为抛物线其中4,24,2x y ,2-=+⎰
L
L ydx xdy
9.判断级数∑
∞
=-+-1
3
132)1(n n n
n 是否收敛，如果收敛，是条件收敛还是绝对收敛？
10.将函数2
31
)(2
+-=x x x f 展开为（x+1）的幂级数。

综合练习题（三）
1. 求点P （3，-2,2）在平面上的投影点的坐标。

032=+-z y x
2. 设函数y
z x f y x y x f ∂∂∂∂-+=,z ),2,2(z 为可微函数，求其中。

3. 求函数)0,1()cos(),(2gradf y x xy y x f 的梯度-+=
4. 求曲线程。

所对应的点处的切线方在1t 2,1,1==+=+=t z t
t
y t t x
5. 计算二重积分⎰⎰=+==D
y x x y D xdxdy I 2,,由直线其中积分区域及x 轴围成。

6. 计算三重积分,)(22
dxdy y x
I ⎰⎰⎰Ω
+=其中积分区域Ω是有锥面22y x z +=及平面
Z=1所围成。

7.计算对坐标的曲线积分⎰
-L
ydx xdy ,其中L 是椭圆)20(sin ,cos ∏≤≤==y t b y t a x
的逆时针方向。

8.已知x y 21
811-=
*
是微分方程x y y y 2345-=+'+''的一个特解，求该方程满足初始条件2
7
)0(,83)0(='=y y 的特解。

9.求幂级数n n n x n
∑
∞
=--1
1
)1(的收敛半径和收敛区间。

10求由平面2
2
2360,1,1,0,0y x z z y x y x --==-=-===及抛物线所围成的立体体积。

综合练习题（四）
1. 求过点（3,3，-2）并且与平面032=-+-z y x 垂直的直线方程。

2. 求空间曲线L ：32,,2t z t y t x ===在点（2,1,1）处的法平面方程。

3. 求函数22),,(z y x z y x f +-=在点P （2，-1，2）处沿方向L={2，-1,2}的方向导数。

4. 已知函数)3,2(y x y x f z -+=，其中f 具有连续的一阶偏导数，求y
z ∂∂。

5. 计算积分dy y
y
dx I x ⎰
⎰
=1
1
sin 。

6. 计算三重积分
dxdydz y x ⎰⎰⎰
Ω
+22，其中积分区域Ω是由2,0,222===+z z y x 所
围成。

7. 计算对坐标的曲线积分2
2,)(x y C dy y x ydx x C
=-+⎰
为曲线其中从点（0,0）到（1,1）
的一段弧。

8. 求微分方程032=-'-''y y y 的通解。

9. 判断无穷级数∑∞
=+13
1
n n
n 的敛散性。

10. 将函数x
x f -=31
)(展开为x 的幂级数。

综合练习题（五）
1. 求过点P （4,2，1），Q （2,3,0），R （0,1,0）的平面方程。

2. 设函数y
x z y x x y z ∂∂∂-+=22
2,23cos 求。

3. 已知方程y
z x z y x z z e z y x z
∂∂∂∂==-++,),,(02
2
2
求确定了函数
5. 计算二重积分⎰⎰=D
y
dxdy e x I 2，其中D 是顶点为（1,3），（2,3），（1,4），（2,4）的四边形闭区域。

6. 计算三重积分dxdydz y x I ⎰⎰⎰
Ω
+=）（2
2，其中1,0,122===+Ωz z y x 及是由曲面所围成的闭区域。

7. 求微分方程2
11
x y dx dy x +=+的通解。

8. 求幂级数∑∞
=----1
1
2112)1(n n n x
n 的和函数。

10.将函数）展开成（2-x 4)(x
x
x f -=
的幂级数。