2.4.2等比数列2
等比数列(2)
5、等比数列常用性质 (1) 若 m n p q，则 am an a p aq .
(2) ak ，akm ，ak2m ， 组成的数列仍然是等比数列， 且公比为 qm .
(3) 若 {an} 与{bn} 均为等比数列，
说 明：
本题揭示了等差数列与等比数列之间的一种代数变换 关系.不失一般性，设c＞0，c≠1, 则：
若数列{an}是等差数列，那么数列{can }是等比数列；
反之,若{an}是等比数列且an ＞0,则数列{logc an }是等差数列.
例2：已知{an }和{bn }是项数相同的等 比数列，求证{an • bn}是等比数列。
an 0 a3 a5 5 .
(2) 在等比数列{an }中，a3a4a5 3 , a6a7a8 24 , 求 a9a10a11 的值.
解： {an} 是等比数列 ，
a3a4a5 a43 3 , a6a7a8 a73 24 , a9a10a11 a130
又 a4 , a7 , a10 成等比数列，a43 , a73 , a130成等比数列，
则数列{man
bn
}
与
{
man bn
}
(m
0
常数)
仍为等比数列.
(4) 单调性 ：由 an a1qn1 知
an1 q an
若 a1 0 q 1
或
a1 0 0 q
1
，则
{an }
是递增数列 ；
若 0a1q0 1或 qa110 ，则 {an } 是递减数列 ；
若 q 1 ，则{an } 是常数列； 若 q 0 ，则{an } 是摆动数列.
高中数学 第二章 数列 2.4 等比数列(二)课件 新人教A版必修5
名师点评
抓住各项序号的数字特征，灵活运用等比数列的性质，可以顺利地 解决问题．
1234
4.an＝2n＋3n，判断数列{an}是不是等比数列？ 不是等比数列. ∵a1＝21＋31＝5，a2＝22＋32＝13，a3＝23＋33＝35， ∴a1a3≠a22， ∴数列{an}不是等比数列.
1234
课堂小结
1.解题时，应该首先考虑通式通法，而不是花费大量时间找简便方法. 2.所谓通式通法，指应用通项公式，前n项和公式，等差中项，等比中 项等列出方程(组)，求出根本量. 3.巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要.
探究点2 等比数列的性质
命题角度1 序号的数字特征 例2 {an}为等比数列． (1)假设an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；
a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a23＋2a3a5＋a25 ＝(a3＋a5)2＝25， ∵an>0， ∴a3＋a5>0， ∴a3＋a5＝5.
(2)假设an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．
方法二 设这四个数依次为2qa－a，aq，a，aq(q≠0)，
2qa－a＋aq＝16， 由条件得aq＋a＝12，
解得aq＝＝82，
a＝3， 或q＝13.
当a＝8，q＝2时，所求的四个数为0，4，8，16；
当 a＝3，q＝13时，所求的四个数为 15，9，3，1. 故所求的四个数为0，4，8，16或15，9，3，1.
2．等比数列项的运算性质 在等比数列{an}中，若 m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则 am·an＝ ap·aq . ①特别地，当 m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am·an＝ a2k . ②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的 积 ，
人教A版高中数学高二必修5课件2.4等比数列(二)
2.4 等比数列(二)
6
(6)等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项
“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝
2.4 等比数列(二)
29
规律方法 (1)在等差数列与等比数列的综合问题中， 特别要注意它们的区别，避免用错公式.(2)方程思想的 应用往往是破题的关键.
2.4 等比数列(二)
30
跟踪演练4 已知{an}是首项为19，公差为－2的等差数列， Sn为{an}的前n项和. (1)求通项公式an及Sn； 解 因为{an}是首项为19，公差为－2的等差数列，所以an ＝19－2(n－1)＝－2n＋21，
的m的个数；若不存在，请说明理由.
解 若存在m，使b1，b4，bt成等差数列， 则2b4＝b1＋bt，
∴ 7 ×2＝ 1 ＋ 2t－1 ，
7＋m
1＋m 2t－1＋m
2.4 等比数列(二)
28
7m＋1 7m－5＋36
∴t＝
＝
＝7＋
36
，
m－5
m－5
m－5
由于m、t∈N*且t≥5. 令m－5＝36,18,9,6,4,3,2,1， 即m＝41,23,14,11,9,8,7,6时，t均为大于5的整数. ∴存在符合题意的m值，且共有8个.
2.4 等比数列(二)
26
(1)由 bn＝an＋an m(m∈N*)知 b1＝1＋1 m，b2＝3＋3 m，b8＝151＋5 m，
∵b1，b2，b8成等比数列，
2.4.2等比数列的基本性质及其应用
2.4.2 等比数列的基本性质及其应用三维目标一、知识与技能1.了解等比数列更多的性质2.能将学过的知识和思想方法运用于对等比数列性质的进一步思考和有关等比数列的实际问题的解决中3.能在生活实际的问题情境中，抽象出等比数列关系，并能用有关的知识解决相应的实际问题二、过程与方法1.继续采用观察、思考、类比、归纳、探究、得出结论的方法进行教学2.对生活实际中的问题采用合作交流的方法，发挥学生的主体作用，引导学生探究问题的解决方法，经历解决问题的全过程3.当好学生学习的合作者的角色三、情感态度与价值观1.通过对等比数列更多性质的探究，培养学生的良好的思维品质和思维习惯，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力2.通过生活实际中有关问题的分析和解决，培养学生认识社会、了解社会的意识，更多地知道数学的社会价值和应用价值重难点教学重点1.探究等比数列更多的性质2.解决生活实际中的等比数列的问题教学难点渗透重要的数学思想教具准备多媒体课件、投影胶片、投影仪等教学过程导入新课师教材中第59页练习第3题、第4题，请学生课外进行活动探究，现在请同学们把你们的探究结果展示一下生 由学习小组汇报探究结果 师 对各组的汇报给予评价师 出示多媒体幻灯片一：第3题、第4题详细解答： 第3题解答：(1)将数列{a n }的前k 项去掉，剩余的数列为a k+1，a k+2,….令b i =a k+i则数列a k+1,a k+2,…,可视为b 1,b 2，因为q a a b b ik i k i i ==++++11 (i≥1),所以，{b n }是等比数列，即a k+1，a k+2,…是等比数列 (2){a n }中每隔10项取出一项组成的数列是a 1,a 11,a 21，…,则109101101121111......q a a a a a a k k =====-+所以数列a 1,a 11,a 21,…是以a 1为首项，q 10为公比的等比数列猜想：在数列{a n }中每隔m(m 是一个正整数)取出一项，组成一个新数列，这个数列是以a 1为首项、q m为公比的等比数列◇本题可以让学生认识到，等比数列中下标为等差数列的子数列也构成等比数列，可以让学生再探究几种由原等比数列构成的新等比数列的方法第4题解答：(1)设{a n }的公比是q ，则a 52=(a 1q 4)2=a 12q 8而a 3·a 7=a 1q 2·a 1q 6=a 12q 8所以a 52=a 3·a 7同理,a 52=a 1·a 9(2)用上面的方法不难证明a n 2=a n -1·a n +1(n ＞1).由此得出，a n 是a n -1和a n +1的等比中项，同理可证a n 2=a n -k ·a n +k (n ＞k ＞0).a n 是a n -k 和a n +k 的等比中项(n ＞k ＞师 和等差数列一样，等比数列中蕴涵着许多的性质，如果我们想知道的更多，就要对它作进一步的探究推进新课 ［合作探究］ 师 出示投影胶片1例题1 (教材P 61B 组第3题)就任一等差数列{a n }，计算a 7+a 10，a 8+a 9和a 10+a 40，a 20+a 30，你发现了什么一般规律，能把你发现的规律用一般化的推广吗？从等差数列和函数之间的联系的角度来分析这个问题.在等比数列中会有怎样的类似结论？师 注意题目中“就任一等差数列{a n }”，你打算用一个什么样的等差数列来计算？ 生 用等差数列1，2，3，师 很好，这个数列最便于计算，那么发现了什么样的一般规律呢？ 生 在等差数列{a n }中，若k+s=p+q(k,s,p,q∈N *)，则a k +a s =a p +a q师 题目要我们“从等差数列与函数之间的联系的角度来分析这个问题”，如何做？生 思考、讨论、交流师 出示多媒体课件一：等差数列与函数之间的联系［教师精讲］师 从等差数列与函数之间的联系的角度来分析这个问题：由等差数列{a n }的图象，可以看出qs a a p k a a q s p k ==,根据等式的性质，有1=++=++qp sk a a a a q p s k所以a k +a s =a p +a q师 在等比数列中会有怎样的类似结论？生 猜想对于等比数列{a n }，类似的性质为：k+s=p+t(k,s,p,t∈N *)，则a k ·a s =a p ·a t师 让学生给出上述猜想的证明证明：设等比数列{a n }公比为q ，则有a k ·a s =a 1q k-1·a 1q s-1=a 12·qk+s-2a p ·a t =a 1q p-1·a 1q t-1=a 12·q p+t-2因为所以有a k ·a s =a p ·a t师 指出：经过上述猜想和证明的过程，已经得到了等比数列的一个新的性质即等比数列{a n }中，若k+s=p+t(k,s,p,t∈N *)，则有a k ·a s =a p ·a t师 下面有两个结论：(1)与首末两项等距离的两项之积等于首末两项的积； (2)与某一项距离相等的两项之积等于这一项的平方你能将这两个结论与上述性质联系起来吗？生 思考、列式、合作交流，得到：结论(1)就是上述性质中1+n =(1+t)+(n -t)时的情形； 结论(2)就是上述性质中k+k=(k+t)+(k-t)时的情形 师 引导学生思考，得出上述联系，并给予肯定的评价 师 上述性质有着广泛的应用师 出示投影胶片2：例题2例题（1）在等比数列{a n }中，已知a 1=5,a 9a 10=100,求a 18（2）在等比数列{b n }中，b 4=3,求该数列前七项之积； （3）在等比数列{a n }中，a 2=-2,a 5=54,求a 8.例题2 三个小题由师生合作交流完成，充分让学生思考，展示将问题与所学的性质联系到一起的思维过程解答：(1)在等比数列{a n }中，已知a 1=5，a 9a 10=100，求a 18解：∵a 1a 18=a 9a 10，∴a 18=51001109=a a a(2)在等比数列{b n }中，b 4=3，求该数列前七项之积解：b 1b 2b 3b 4b 5b 6b 7=(b 1b 7)(b 2b 6)(b 3b 5)b 4∵b 42=b 1b 7=b 2b 6=b 3b 5，∴前七项之积(32)3×3=37(3)在等比数列{a n }中，a 2=-2，a 5=54，求a 8解：.∵a 5是a 2与a 8的等比中项，∴542=a 8×(-∴a 8=-另解：a 8=a 5q 3=a 5·2545425-⨯=a a =-［合作探究］师 判断一个数列是否成等比数列的方法：1、定义法；2、中项法；3、通项公式法例题3：已知{a n }{b n }是两个项数相同的等比数列，仿照下表中的例子填写表格.从中你能得出什么结论？证明你的结论师 请同学们自己完成上面的表师 根据这个表格，我们可以得到什么样的结论？如何证明？生 得到：如果{a n }、{b n }是两个项数相同的等比数列，那么{a n ·b n }也是等比数列证明如下：设数列{a n }的公比是p ，{b n }公比是q ，那么数列{a n ·b n }的第n 项与第n ＋1项分别为a 1pn -1b 1q n -1与a 1p n b 1q n ，因为pq qb p a q b p a b a b a n n nn n n n n ==∙--++11111111它是一个与n 无关的常数，所以{a n ·b n }是一个以pq 为公比的等比数列［教师精讲］除了上面的证法外，我们还可以考虑如下证明思路： 证法二：设数列{a n }的公比是p ，{b n}公比是q ，那么数列{a n ·b n }的第n 项、第n -1项与第n ＋1项(n ＞1,n ∈N *)分别为a 1p n -1b 1q n -1、a1pn -2b 1q n -2与a 1p n b 1q n ，因为(a n b n )2=(a 1pn -1b 1q n -1)2=(a 1b 1)2(pq) 2(n -1)(a n -1·b n -1)(a n +1·b n +1)=(a 1p n -2b 1q n -2)(a 1p nb 1q n)=(a 1b 1)2(pq)2(n -1)即有(a n b n )2=(a n -1·b n -1)(a n +1·b n +1)(n ＞1,n ∈N *所以{a n ·b n }是一个等比数列师 根据对等比数列的认识，我们还可以直接对数列的通项公式考察：证法三：设数列{a n }的公比是p ，{b n }公比是q ，那么数列{a n ·b n }的通项公式为a nb n =a 1p n -1b 1q n -1=(a 1b 1)(pq) n-1设c n =a n b n ,则c n =(a 1b 1)(p q)n-1所以{a n ·b n }是一个等比数列课堂小结本节学习了如下内容： 1.等比数列的性质的探究2.证明等比数列的常用方法布置作业课本第60页习题2.4 A 组第3题、B 组第1题.板书设计习题详解（课本第60页习题2.4）组1.(1)a 7=a 4·q 3=27×(-3)3=-(2)设等比数列{a n }的公比是⎪⎩⎪⎨⎧=-=-⇔⎩⎨⎧=-=-②①.6)1(,15)1(61521412415q q a q aa a a a ②÷①，整理得6q 2- 解方程得q=2或21=q由a 4-a 2=6，得a 3(q-q -1)=6,所以，当q=2时，由③得，a 3=4当21=q 时，由③得a 3=-2.设n 年后，需退耕a n ，则{a n }是一个等比数列，其中a 1=8,q=0.1.那么2005年需退耕a 5=a 1(1+q)5=8(1+0.1)5=13(万公顷3.若{a n }是各项均为正数的等比数列，则首项a 1和公比q 都是正数， 由a n =a 1qn -1，得121121111)(---===n n n n q a qa qa a ，所以数列{a n }是以a 1为首项，21=q 为公比的等比数列4.这张报纸的厚度为0.05 mm ，对折一次后厚度为0.05×2 mm，再对折后厚度为0.05×22mm ，再对折后厚度为0.05×23mm ，设a 0=0.05，对折n 次后报纸的厚度为a n ，则{a n }是一个等比数列，公比q=2，对折50次后，报纸的厚度为a50=a 0q 50=0.05×250≈5.63×1013=5.63×1010这时报纸的厚度已经超过地球和月球之间的平均距离(约3.84×108m)，所以能够在地球和月球之间建一座桥5.设年平均增长率为q ，a 1＝105，n 年后空气质量为良的天数为a n ，则{a n }是一个等比数列，由a 3=240，得a 3=a 1(1+q)2=105(1+q)2=240,解得q=105240-6.由已知条件，知2b a A +=,G=ab，且2)(222b a ab b a ab b a G A -=-+=-+=-≥0， 所以有A ≥G，等号成立的条件是a =b .而a ,b 是互异正数，所以一定有A ＞7.(1)±2 (2)±ab (a 2+b 28.略组1.证明略2.(1)设生物死亡时，体内每克组织中的碳14的含量为1，每年的衰变率为q ，n 年后的残留量为a n ，则{a n }是一个等比数列，由碳14的半衰期为5 730，则a n =a 1q5 730=q5 730=21，解得57301)21(=q(2)设动物约在距今n 年前死亡，由a n =0.6，得a n =a 1q n=0.999 879n解得n ≈4 221，所以动物约在距今4 221年前死亡3.略备课资料备用例题1.已知无穷数列5010,5110,5210 ,…, 5110-n求证：(1)这个数列成等比数列；(2)这个数列中的任一项是它后面第五项的101； (3)这个数列的任意两项的积仍在这个数列中证明：(1)101101010154511===-+--n n n n a a (常数)，∴该数列成等比数列(2)101101010154515===-+-+n n n n a a ,即：5101+=n n aa(3)a p a q =525151101010-+--=q p q p ，∵p,q∈N，∴p+q -1≥1且(p+q-1)∈N .∴5210-+q p ∈⎭⎬⎫⎩⎨⎧-5110n (第p+q-1项2.设a ,b ,c,d 均为非零实数，(a 2+b 2)d 2-2b (a +c)d +b 2+c2求证：a ,b ,c 成等比数列且公比为d证法一：关于d 的二次方程(a 2+b 2)d 2-2b (a +c)d +b 2+c 2=0有实根， ∴Δ=4b 2(a +c)2-4(a 2+b 2)(b 2+c 2)≥0.∴-4(b 2-a c)2≥0.∴-(b 2-a c)2则必有：b 2-a c=0，即b 2=a c ，∴a ,b ,c成等比数列设公比为q ，则b =a q,c=a q 2代入 (a 2+a 2q 2)d 2-2a q(a +a q 2)d +a 2q 2+a 2q4∵(q 2+1)a 2≠0，∴d 2-2q d +q 2=0，即d证法二：∵(a 2+b 2)d 2-2b (a +c)d +b 2+c 2=0, ∴(a 2d 2-2abd +b 2)+(b 2d 2-2b c d +c2∴(ad -b )2+(bd -c)2=0.∴ad =b ，且bd∵a ,b ,c,d 非零，∴d bca b ==d .∴a ,b ,c 成等比数列且公比为d。
2.4.2等比数列的性质
【注】等式两边相乘的项数必须一样多！
追 利用等比数列的性质填空： 踪 练 在等比数列{an}中： 习 (1)若a =2，a =10，则a =＿＿，
5 10 15
a6· a9=＿＿。
(2)若a13· a22=14，a10=4 ，则a25=＿＿＿。
(3)若a2· a4=4，则a3=＿＿＿。
提 利用等比数列的性质填空： 升 练 (4)若a · a6· a10=＿＿＿。 4 a8=30，则a2· 习
在等比数列{an}中，若a3· a5=9，
求a2·a6和a4。
2、等比数列性质二：
• 在等比数列{an}中，若m+n=p+q，m、n、p、
an=ap· aq 。 q∈N*，则 am·
2 a · a =(a ) k k k 。 • 特别地，若m+n=2k，则am· an=＿＿＿＿＿
• 由1+5=6，则a1· a5=a6吗？
(5) 若 an>0 ， a2a4+2a3a5+a4a6=25 ，
则a3+a5=＿＿。
知识盘点
等 差 数 列 等 比 数 列 an=amqn-m 若 m+n=p+q ， 则am· an=ap· aq。
性质一
性质二
an=am+(n-m)d
若 m+n=p+q ， 则 am+an=ap+aq 。
课后作业
2.4.2 等比数列的性质
Yesterday once more
等 差 数 列 定 义 an+1-an=d d an=an-1+d an= a1+(n-1)d q an=an-1 q 等 比 数 列
高中数学 2.4.2 等比数列的性质课件 新人教A版必修5
6-2log 8 = 0,
= 2,
∴
= 11.
2 + 3log 8 = m.
故存在常数 c=2,使得对任意 n∈N*,an+logcbn 恒为常数 11.
第二十一页，共30页。
问题
(wèntí)导
学
课前预习导学
课堂合作探究
KEQIAN YUXI DAOXUE
KETANG HEZUO TANJIU
KETANG HEZUO TANJIU
当堂(dānɡ
tánɡ)检测
三个数或四个数成等比数列的设元技巧:
(1)若三个数成等比数列,可设三个数为 a,aq,aq2 或,a,aq;
(2)若四个数成等比数列,可设 a,aq,aq2,aq3;若四个数均为正(负)数,
可设 3 , ,aq,aq3.
第 2 课时
等比数列的性质
第一页，共30页。
目标(mùbiāo)
导航
课前预习导学
课堂合作探究
KEQIAN YUXI DAOXUE
KETANG HEZUO TANJIU
预习(yùxí)
引导
学习目
记住等比数列的常见性质,并会用这些性质解答一些简单的等比数
标
列问题.
重点难
重点:等比数列的性质及应用;
点
难点:对等比数列性质的理解.
已知条件进行推理,从而得出结论.
第十八页，共30页。
问题(wèntí)
导学
课前预习导学
课堂合作探究
KEQIAN YUXI DAOXUE
KETANG HEZUO TANJIU
当堂(dānɡ
tánɡ)检测
高中数学第二章数列2.4等比数列第2课时等比数列的性质优化练习新人教A版必修5(2021年整理)
2017-2018学年高中数学第二章数列2.4 等比数列第2课时等比数列的性质优化练习新人教A版必修5编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017-2018学年高中数学第二章数列2.4 等比数列第2课时等比数列的性质优化练习新人教A版必修5）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第2课时等比数列的性质[课时作业]［A组基础巩固］1．如果数列{a n｝是等比数列，那么（）A．数列{a错误!｝是等比数列B．数列｛2a n｝是等比数列C．数列{lg a n}是等比数列D．数列｛na n｝是等比数列解析：设b n＝a错误!，则错误!＝错误!＝错误!2＝q2，∴｛b n｝为等比数列；2a n＋12a n＝2a n＋1－a n≠常数；当a n〈0时，lg a n无意义；设c n＝na n,则错误!＝错误!＝错误!·q≠常数．答案:A2．已知等差数列{a n}的公差为3，若a1，a3,a4成等比数列,则a2等于( ）A．9 B．3C．－3 D．－9解析：a1＝a2－3,a3＝a2＋3，a4＝a2＋3×2＝a2＋6，由于a1，a3,a4成等比数列，a错误!＝a1a4，即 (a2＋3)2＝(a2－3)（a2＋6）,解得a2＝－9。
答案：D3．在正项等比数列｛a n｝中,a1和a19为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a8·a10·a12等于( ）A．16 B．32C．64 D．256解析：由已知，得a1a19＝16。
2.4.2《等比数列(第二课时)》
a1 1, q 2或a1 4, q
1 2
3.1《等比数列》 （第二课时）
教学目标
• • • • • • • • • • • 知识与技能目标 等比中项的概念； 掌握＂判断数列是否为等比数列＂常用的方法； 进一步熟练掌握等比数列的通项公式、性质及应用． 过程与能力目标 明确等比中项的概念； 进一步熟练掌握等比数列的通项公式、性质及应用． 教学重点 等比数列的通项公式、性质及应用． 教学难点 灵活应用等比数列的定义及性质解决一些相关问题．
an amq
nm
试比较 a n =a1qn-1 与上式
练习
已知等比数列an , a5 20, a15 5, 求a20.
解：由a15 =a 5q
5
10
2 5 5 5 a20 a15 q 或 2 2
变式：已知等比数列
q
1 得 q 4 1
10
an, a2010 8a2007 , 求公比q
等比数列的通项公式：
an=a1qn-1 （n∈N﹡,q≠0）
特别地，等比数列{an}中，a1≠0,q≠0
二.学以致用
已知等比数列的公比为q,第m项为 am ,求 an .
解：由等比数列的通项公式可知 an a1q n 1 am a1q m 1
an 两式相除，得 q n m am
详见P25
等比数列的判定
在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*. (1)证明：数列{an－n}是等比数列； 【思路点拨】 证明一个数列是等比数列常用定义法，
即 an＋1 ＝
an
q，对于本例(1)适当变形即
可求证
四、判断等比数列的方法
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例3、在正项等比数列{an }中，a3 a7 25，a6 a8 =125 求an
思考： 若{an }是等比数列,m n p q, 是否具有等差数列 类似的结论
若{an }是等比数列,m n p q, 则am an a p aq
例3、在正项等比数列{an }中，a3 +a5 20，a2 a6 =64, 求an
例4、已知{an },{bn }是项数相同的等比数列，判断下列是否 为等比数列
(1){an bn } (2){an bn } (3){c an }( c 0) (4){c an bn }(c 0) an (5){ } bn
an 等比数列判定方法： q an 1
例5、已知数列{an }中，a1 1, an 2an1 1
ab 思考:若a , A, b成等差数列，则有A ; 2 那么若a , G , b成等比数列，这三者有什么关系？
一、等比中项 1、若G是a , b的等比中项，则G 2 ab,
2、等比数列{an }性质：从第二项起每一项都是它的前一项
2 和它的后一项的等比中项，即an an1 an1 ( n 2)
第二节
一、知识回顾
二、等比数列的增减性
对公比q的探究： (a1 0) (1)当0 q 1时， {an }是递减数列 (2)当q =1时， {an }是常数数列 (3)当q 1时， {an }是递增数列 (4)当q 0时， {an }是摆动数列
等比数列通项公式的图象表示:
在 右 边 的 直 角 坐 标 系， 中 画出通项公式为 a n 2 n 1 的数列的图象和函数 y2 的 图 象 ， 你 会 发 现 什？ 么
3、等比数列判定方法：a an1 an (n 2)
2 n
例2：有四个数，前三个成等比数列，其积为216， 后三个数成等差数列，其平方和为56，求这四个数
Tips : 利用等比中项可设三个连续的等比数列分 别为aq 1 , a , aq
思考：已知a , b是互异的正数，A是a , b的等差中项， G是a , b的等比中项，试问A与G有无确定的大小关系
四、本课总结
1、等比中项的概念，以及与等差中项的区别 2、若m n p q ,{an }是等差数列，则am an a p aq 若m n p q ,{an }是等比数列，则am an a p aq 3、判断等比数列的方法 an (1)定义法： 是否是一个与n无关的常数 an 1 (2)中项法：判断an 1 an 1与an的关系 (3)通项公式法：判断an b c n (b, c为常数)
变式、已知数列{an }的前n项和为Sn，a1 4, Sn 3an1 1 求数列{an }的通项公式
三、判断等比数列的方法：
an (1)定义法： 是否是一个与n无关的常数 an 1 (2)中项法：判断an1 an1与an的关系 (3)通项公式法：判断an b c n (b, c为常数)
4、类比思想
x 1
8 7
y
y2
x 1
6
5 4 3
a n 2 n 1
从图象的对比可以看： 出 1 等比数列 an关 于n的 图 象 o 1 2 3 4 5 6 x 是指数函数图象上的一 n a 例1、在等比数列{an }中，a3 a1 4, a6 a8 212 , 求an
(1)求证： {an 1}是等比数列 (2)求数列{an }的通项公式
例6、已知数列{an }中，a1 a 1 , an pan 1 q q (1)求证： {an }是等比数列 p1 (2)求数列{an }的通项公式
例7、已知数列{an }的前n项和为Sn，Sn 3an 1 求数列{an }的通项公式