角的概念的推广课件
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[精]高三第一轮复习全套课件4三角函数：角的概念的推广和弧度制
![[精]高三第一轮复习全套课件4三角函数：角的概念的推广和弧度制](https://img.taocdn.com/s3/m/e43617513c1ec5da50e27046.png)
720 45 k 360 0 ，
得 765 k 360 45 解得
765 360 k 45 360
从而 k 2 或 k 1 代回 675 或 315
（2） 因为 M x | x ( 2 k 1) 45 , k Z 表示的是终边落在四个象限的 平分线上的角的集合；而集合 N x | x ( k 1) 45 , k Z 表示终边落 在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而： M Ø N
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@
/wxc/
的区域即为
3
的终边所在的区域
3
新疆 源头学子小屋
/wxc/
特级教师 王新敞
wxckt@
新疆 源头学子小屋
/wxc/
1 2 r
2
rad
180
rad ( 2 )
2
65 19
,
1 2
( 2 ) r
例 5 已知“ 是第三象限角，则
3
是第几象限角?
3
分析 由 是第三象限角，可得到 角的范围，进而可得到 再根据范围确定其象限即可 也可用几何法来确定
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
511 6
， 3 9 ， 4 855 ；
（1）其中是第三象限的角是 （2）将它们化为另一种度量制下的数量分别是多少？
分析： 1） （ 先将已知角对应化为 2 k 或 y k 360 ( k Z ) 的形式后， 再根据终边相同来判断角所在象限； （2）根据换算公式解第二问；
得 765 k 360 45 解得
765 360 k 45 360
从而 k 2 或 k 1 代回 675 或 315
（2） 因为 M x | x ( 2 k 1) 45 , k Z 表示的是终边落在四个象限的 平分线上的角的集合；而集合 N x | x ( k 1) 45 , k Z 表示终边落 在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而： M Ø N
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的区域即为
3
的终边所在的区域
3
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1 2 r
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2
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,
1 2
( 2 ) r
例 5 已知“ 是第三象限角，则
3
是第几象限角?
3
分析 由 是第三象限角，可得到 角的范围，进而可得到 再根据范围确定其象限即可 也可用几何法来确定
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
511 6
， 3 9 ， 4 855 ；
（1）其中是第三象限的角是 （2）将它们化为另一种度量制下的数量分别是多少？
分析： 1） （ 先将已知角对应化为 2 k 或 y k 360 ( k Z ) 的形式后， 再根据终边相同来判断角所在象限； （2）根据换算公式解第二问；
角的概念的推广(课件)
在0°~360°之间，找出与下列各角终边相同的角， 并分别指出它们是第几象限角： （1）480°； （2）-760°； （3）932°； 跟踪训练：(1) 你能用集合表示象限角吗？ (2) 锐角是第几象限角？第一象限的角都是锐角吗？
导引探究
例2 写出与60°终边相同的角的集合S，并把S中适合不 等式-360°≤β<720°的元素写出来.
跟踪训练：(3) 在直角坐标系中，写出终边在y轴上的 角的集合（用0°~360°表示）
当堂检测
活动：当堂完成导学案巩固提高部分的第1，2， 5，8，9题 要求：独立完成，时间：5分钟
课堂小结
1. 正角、负角、零角 2. 象限角和终边相同的角 3. 角所在象限的判定方法 4. 终边相同的角的表示方法
角的概念的推广
1.初中学过的角是如何定义的，角的范围又 是怎样的？ 2.跳水运动员在空中身体的旋转周数如何用 角度来表示？ 3.汽车在前进和后退中，车轮转动的角度如 何表示才合理？ 4.工人师傅在拧紧或拧松螺丝时，扳手转动 的角度如何表示比较合适？
展示评价
展示活动：各组推荐代表展示导学案的完成情况， 并回答如下问题： 本节课中学习了哪些新概念，这些概念分别 是如何定义的？ 评价活动：其他同学补充完善，不同组别之间展 开交流点评 任意角的概念
导引探究
例2 写出与60°终边相同的角的集合S，并把S中适合不 等式-360°≤β<720°的元素写出来.
跟踪训练：(3) 在直角坐标系中，写出终边在y轴上的 角的集合（用0°~360°表示）
当堂检测
活动：当堂完成导学案巩固提高部分的第1，2， 5，8，9题 要求：独立完成，时间：5分钟
课堂小结
1. 正角、负角、零角 2. 象限角和终边相同的角 3. 角所在象限的判定方法 4. 终边相同的角的表示方法
角的概念的推广
1.初中学过的角是如何定义的，角的范围又 是怎样的？ 2.跳水运动员在空中身体的旋转周数如何用 角度来表示？ 3.汽车在前进和后退中，车轮转动的角度如 何表示才合理？ 4.工人师傅在拧紧或拧松螺丝时，扳手转动 的角度如何表示比较合适？
展示评价
展示活动：各组推荐代表展示导学案的完成情况， 并回答如下问题： 本节课中学习了哪些新概念，这些概念分别 是如何定义的？ 评价活动：其他同学补充完善，不同组别之间展 开交流点评 任意角的概念
《角的概念的推广》ppt课件
我们以前所学过的角都是大于0度，小于或等于360 度的角.
生活中很多实例不在0°～360°范围内. 像体操运动员转体720º，跳水运动员向内、向外转
体1 080º.
本节课我们进一步研究更广泛的角.
地球绕太阳旋转，角的范围如何来表示？
角
这就是这节课我们所要学习的内容——角
1.通过实例深刻理解推广后角的概念.(重点) 2.理解正角、负角和零角的定义及任意角、象限角
思考2：类比数系的扩充，思考角的概念是否 也可以推广?
提示：类比正负数可表示具有相反意义的量，对 于旋转方向不同的角，我们猜想：也可以用正负 来表示.
任意角定义：
逆时针
注意角的
顺时针
旋转方向和 旋转量.
正角：按逆时针方向旋转形成的角
任 负角：按顺时针方向旋转形成的角
意 角
零角：一条射线从起始位置OA 没有作任何旋转，终止位置OB与
角的终边可能落在哪些位置？
提示：如图，可以是坐标轴、
y
第一象限、第二象限、
第三象限、第四象限
o
x
象限角 1.角的顶点与原点重合; 2.角的始边重合于x轴的非负半轴; 则角的终边（除端点外）在第几象限，就是第 几象限角.
象限角的图形表示
终边
y 终边
ⅡⅠ
x Ⅰ Ⅱ
O ⅢⅣ
始边 Ⅲ Ⅳ
终边
§2 角的概念的推广
1.在初中角是如何定义的？ 定义1：有公共端点的两条射线组成的几何图形叫作 角. 顶点
边
边
定义2：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋 转到另一个位置所形成的图形叫作角.
B 终边
顶点
O
A 始边
2.角是如何度量的? 角的单位是度.规定:周角的 为1 1度的角.
生活中很多实例不在0°～360°范围内. 像体操运动员转体720º，跳水运动员向内、向外转
体1 080º.
本节课我们进一步研究更广泛的角.
地球绕太阳旋转，角的范围如何来表示？
角
这就是这节课我们所要学习的内容——角
1.通过实例深刻理解推广后角的概念.(重点) 2.理解正角、负角和零角的定义及任意角、象限角
思考2：类比数系的扩充，思考角的概念是否 也可以推广?
提示：类比正负数可表示具有相反意义的量，对 于旋转方向不同的角，我们猜想：也可以用正负 来表示.
任意角定义：
逆时针
注意角的
顺时针
旋转方向和 旋转量.
正角：按逆时针方向旋转形成的角
任 负角：按顺时针方向旋转形成的角
意 角
零角：一条射线从起始位置OA 没有作任何旋转，终止位置OB与
角的终边可能落在哪些位置？
提示：如图，可以是坐标轴、
y
第一象限、第二象限、
第三象限、第四象限
o
x
象限角 1.角的顶点与原点重合; 2.角的始边重合于x轴的非负半轴; 则角的终边（除端点外）在第几象限，就是第 几象限角.
象限角的图形表示
终边
y 终边
ⅡⅠ
x Ⅰ Ⅱ
O ⅢⅣ
始边 Ⅲ Ⅳ
终边
§2 角的概念的推广
1.在初中角是如何定义的？ 定义1：有公共端点的两条射线组成的几何图形叫作 角. 顶点
边
边
定义2：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋 转到另一个位置所形成的图形叫作角.
B 终边
顶点
O
A 始边
2.角是如何度量的? 角的单位是度.规定:周角的 为1 1度的角.
角的概念的推广
角的概念的推广§2角的概念的推广一、教学目标1、知识与技能：（1）推广角的概念，理解并掌握正角、负角、零角的定义；（2）理解象限角、坐标轴上的角的概念；（3）理解任意角的概念，掌握所有与角终边相同的角（包括角）的表示方法；（4）能表示特殊位置（或给定区域内）的角的集合；（5）能进行简单的角的集合之间运算。
2、过程与方法：类比初中所学的角的概念，以前所学角的概念是从静止的观点阐述，现在是从运动的观点阐述，进行角的概念推广，引入正角、负角和零角的概念；由于角本身是一个平面图形，因此，在角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引出象限角、非象限角的概念，以及象限角的判定方法；通过几个特殊的角，画出终边所在的位置，归纳总结出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；讲解例题，总结方法，巩固练习。
3、情感态度与价值观：通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识；树立运动变化观点，学会运用运动变化的观点认识事物；揭示知识背景，引发学生学习兴趣；创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度；让学生感受图形的对称美、运动美，培养学生对美的追求。
二、教学重、难点重点:理解正角、负角和零角和象限角的定义，掌握终边相同角的表示法及判断。
难点:把终边相同的角用集合和符号语言正确地表示出来。
三、学法与教法在初中，我们知道最大的角是周角，最小的角是零角；通过回忆和类比初中所学角的概念,把角的概念进行了推广；角是一个平面图形，把角放入平面直角坐标系中以后,了解象限角的概念；通过角终边的旋转掌握终边相同角的表示方法；我们在学习这部分内容时,首先要弄清楚角的表示符号,以及正负角的表示，另外还有相同终边角的集合的表示等。
教法:类比探究交流法。
四、教学过程（一）、创设情境，揭示课题同学们，我们在拧螺丝时，按逆时针方向旋转会越拧越松，按顺时针方向旋转会越拧越紧。
但不知同学们有没有注意到，在这两个过程中，扳手分别所组成的两个角之间又有什么关系呢？请几个同学畅谈一下，教师控制好时间，2-3分钟为宜。
角的概念推广说课课件
950 与130 角的终边相同
当k 1时， 640 (1) 360 280
它是第二象限的角.
它是第四象限的角.
Hale Waihona Puke 小结：1.任意角的概念
正角：射线按逆时针方向旋转 形成的角 负角：射线按顺时针方向旋转 形成的角 零角：射线不作旋转形成的角
1)置角的顶点于原点
2.象限角 2)始边重合于X轴的正半轴 终边落在第几象限就是第几象限角
与300终边相同的角的一般形
与 终边相同的角的一般形式为
式为300＋K· 3600，K ∈ Z
S | k 360，k Z
k 360，k Z
注意:
(1)k Z
(2) 是任意角； (3)k 3600 与之间是“+”号，如 k 3600 k 3600 30°, 应看成 +(-30°)； (4)终边相同的角不一定相等，但相等的 角，终边一定相同，终边相同的角有无 数多个，它们相差360°的整数倍．
练习： ① -572 o ② 2581 o
1与 120 角终边相同的角的集合 解： 是
S1 | 120 k 360 , k Z
当k 1时， 120 1 360 240
120 与240 角的终边相同 3与 950 角终边相同的角的集合 解： 是
四、教学方法：
1、以学生为主体，教师为主导的”启发式、提 问式”教学方法。
2、营造民主的教学氛围，使学生或显性（答问、 板演等）或隐性（聆听，苦思等）地参与全教学 过程，学生在教师设计的问题下，积极思考、动 手演练、步步深入，掌握终边相同角的表示方法。
五、教学程序： （一）新课引入：
高中数学第一章三角函数2角的概念的推广课件北师大版必修4
[典例] 有下列说法： ①相差 360°的整数倍的两个角，其终边不一定相同； ②{α|α 是锐角} {β|0°≤β＜90°}； ③第二象限角都是钝角； ④小于 90°的角不一定都是锐角； ⑤三角形的内角必是第一、二象限角． 其中，正确的说法是________(填上所有正确的序号)．
[解析]
题号 正误
[针对训练]
1．下列说法正确的是 A．锐角不一定是第一象限的角 B．终边相同的角一定相等 C．终边与始边重合的角是零角 D．钟表的时针旋转而成的角是负角
()
解析：选 D 锐角大于 0°且小于 90°，一定是第一象限角， A 不正确；30°与 390°角的终边相同，但不相等，B 不正确； 360°角的终边也与始边重合，C 不正确；只有 D 正确．
考点二 求与角 α 终边相同的角
[典例] 写出与 25°角终边相同的角的集合，并求出该集 合中满足不等式－1 080°≤β＜－360°的角 β.
[解] [法一 赋值法] 与 25°角终边相同的角的集合为 S＝{β|β＝k·360°＋25°，k∈Z}．
令 k＝－3，则有 β＝－3×360°＋25°＝－1 055°，符合条件； 令 k＝－2，则有 β＝－2×360°＋25°＝－695°，符合条件； 令 k＝－1，则有 β＝－1×360°＋25°＝－335°，不符合条件； 故符合条件的角有－1 055°，－695°.
复习课件
高中数学第一章三角函数2角的概念的推广课件北师大版必修4
2021/4/17
高中数学第一章三角函数2角的概念的推广课件北师大版必 修4
§2 角的概念的推广 一、预习教材·问题导入
1．正角、负角、零角是如何定义的？ 2．象限角的含义是什么？ 3．终边相同角的含义是什么？
[解析]
题号 正误
[针对训练]
1．下列说法正确的是 A．锐角不一定是第一象限的角 B．终边相同的角一定相等 C．终边与始边重合的角是零角 D．钟表的时针旋转而成的角是负角
()
解析：选 D 锐角大于 0°且小于 90°，一定是第一象限角， A 不正确；30°与 390°角的终边相同，但不相等，B 不正确； 360°角的终边也与始边重合，C 不正确；只有 D 正确．
考点二 求与角 α 终边相同的角
[典例] 写出与 25°角终边相同的角的集合，并求出该集 合中满足不等式－1 080°≤β＜－360°的角 β.
[解] [法一 赋值法] 与 25°角终边相同的角的集合为 S＝{β|β＝k·360°＋25°，k∈Z}．
令 k＝－3，则有 β＝－3×360°＋25°＝－1 055°，符合条件； 令 k＝－2，则有 β＝－2×360°＋25°＝－695°，符合条件； 令 k＝－1，则有 β＝－1×360°＋25°＝－335°，不符合条件； 故符合条件的角有－1 055°，－695°.
复习课件
高中数学第一章三角函数2角的概念的推广课件北师大版必修4
2021/4/17
高中数学第一章三角函数2角的概念的推广课件北师大版必 修4
§2 角的概念的推广 一、预习教材·问题导入
1．正角、负角、零角是如何定义的？ 2．象限角的含义是什么？ 3．终边相同角的含义是什么？
【中职专用】(高教版2021十四五基础模块上册)数学4.1角的概念的推广 课件
4.1 角的概念的推广
4.1 角的概念的推广
在义务教育阶段我们学习过，角是有公共端点的两条射 线构成的图形.
4.1 角的概念的推广
角是平面内由一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一 个位置所形成的图形.
4.1 角的概念的推广
已经学习过的角包括锐角、直角、钝角、平角 、周角等， 它们都在0° ~ 360°范围内.
4.1.1 任意角
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
规定：一条射线绕其端点按逆时 针方向旋转形成的角称为正角,如图(1) 所示；按顺时针方向旋转形成的角称 为负角,如图(2)所示．
如果一条射线没有做任何旋转,也 认为形成了一个角,这个角称为零角.
4.1.1 任意角
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
4.1.2 终边相同的角
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
若角α是第一象限角，试写出角 α 的集合.
4.1.2 终边相同的角
练习
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
1.已知角α是第一象限角，则角−α的终边在第_______象限. 2 .与1560°角终边相同的角的集合中，最小的正角是_____.
GO
4.1.1 任意角
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
例2 求时钟从8点到9点15分, 如图 所示, 分针和时针旋转所成的角.
解 时钟8点到9点15分, 分针顺时针旋转450° , 因此, 分针旋 转形成的角为−450°；而时针顺时针旋转了37.5° , 因此, 时针 旋转形成的角为−37.5°.
分针按逆时针方向旋转2周形成的角，记作720°，如图(1)所示； 分针按顺时针方向旋转2周形成的角，记作-720°，如图(2)所示.
4.1 角的概念的推广
在义务教育阶段我们学习过，角是有公共端点的两条射 线构成的图形.
4.1 角的概念的推广
角是平面内由一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一 个位置所形成的图形.
4.1 角的概念的推广
已经学习过的角包括锐角、直角、钝角、平角 、周角等， 它们都在0° ~ 360°范围内.
4.1.1 任意角
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
规定：一条射线绕其端点按逆时 针方向旋转形成的角称为正角,如图(1) 所示；按顺时针方向旋转形成的角称 为负角,如图(2)所示．
如果一条射线没有做任何旋转,也 认为形成了一个角,这个角称为零角.
4.1.1 任意角
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
4.1.2 终边相同的角
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
若角α是第一象限角，试写出角 α 的集合.
4.1.2 终边相同的角
练习
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
1.已知角α是第一象限角，则角−α的终边在第_______象限. 2 .与1560°角终边相同的角的集合中，最小的正角是_____.
GO
4.1.1 任意角
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
例2 求时钟从8点到9点15分, 如图 所示, 分针和时针旋转所成的角.
解 时钟8点到9点15分, 分针顺时针旋转450° , 因此, 分针旋 转形成的角为−450°；而时针顺时针旋转了37.5° , 因此, 时针 旋转形成的角为−37.5°.
分针按逆时针方向旋转2周形成的角，记作720°，如图(1)所示； 分针按顺时针方向旋转2周形成的角，记作-720°，如图(2)所示.
高中数学必修四课件：《任意角的概念》课件
R
解得 R 2 L 4 故该扇形的圆心角 的弧度数为
L 4 2 R 2
4、用弧度来度量角，实际上角的集合 与实数集R之间建立一一对应的关系：
正角 正实数 对应角的 弧度数
零角
负角
零
负实数
角的集合
实数集R
练习 如图 ,已知角的终边区域 , 求出角的范围 .
y
0 (1) y
45
1770=305×360 (k=－5)
⑶ 结论： 所有与终边相同的角连同在内可以构 成一个集合：{β| β=α+k· 360º ， k∈Z} 即：任何一个与角终边相同的角，都可 以表示成角与整数个周角的和。
所有与终边相同的角连同在内可 以构成一个集合： ⑷注意以下四点： {β| β=α+k·360º ， k∈Z} ① k∈Z， 即：任何一个与角终边相同的角，都 可以表示成角与整数个周角的和。 K > 0，表示逆时针旋转， K < 0,表示顺时针旋转. ② 是任意角；
+K · 360° 90 ° y
180°+K·360° o
+ K · 360 ° 0 ° x 或360°+ K · 360°
270° +K·360°
• 第一象限的角表示为 {|k360<< 90 + k360,kZ}； • 第二象限的角表示为 {| 90 + k360<<180 +k360，kZ}； • 第三象限的角表示为 {| 180 + k360<< 270 + k360，kZ} • 第四象限的角表示为 {| 270 + k360<< 360 + k360，kZ}
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角的概念有较为完善的认识,为学习今后的
知识奠定了良好的基础.中学数理化 Fra bibliotek布置作业
1．阅读作业: 预习4.2节 2．书面作业: 习题4.1第3,4题 3．弹性作业: 若为第一象限角，试判断 所在象限。
2
作业分为三种形式,体现作业的巩固性和发展性原则.阅 读作业中的问题思考是后续课堂的铺垫,而弹性作业不做统 一要求,供学有余力的学生课后研究.同时,这也是新课标里 研究性学习的一部分.
角的概念的推广
中学数理化
2006、4
一．教材分析
（1） 教材地位、作用 （２）教学目的 （３）教学重点、难点
中学数理化
教材地位、作用
本节课选自全日制普通高级中学教科书人教版 第一册(下)第四章第一节.
角 角的概念的推广 三角函数
(1)培养学生观察,分析,运用所学知识解决问题的能力. (2)提高学生的记忆能力,计算能力,归纳概括能力. (3)向学生渗透数形结合的思想方法.
3.情感目标：
培养学生对数学的兴趣,体现数学美,体现数学知识在各个领域的渗透.
中学数理化
教学重点、难点
重点
任意角的概念 象限角的概念 把终边相同的角用集合和符号语言正确表示出来
难点 关键
会在平面内建立适当的坐标系 通过数形结合来认识角的几何表示和终边相同的角的集合
中学数理化
二．教法分析
教学过程分为问题呈现阶段、探索与发现阶段、应用知识
阶段。 探索与发现新知识是教学的重点。如果直接引出角的概念 和象限角的概念，无疑就象波利亚所说的“帽子里跳出兔子” 。 所以在教学中采用以问题驱动、层层铺垫，从特殊到一般启发 学生获得新知识。
y
中学数理化
O
x
问题.但是,大多数学生 还是处于直觉上的判断 或是模仿定义得到这个 结果.
问题呈现
通过这个问题，使学生从
根本上理解第一象限角不
都是锐角，体会角的概念，
问题6
y
进一步探讨终边相同的角。
O
x
体现数形结合的思想 运用从特殊到一般的 归纳方法
中学数理化 k 360 , k z |
中学数理化
三．学法分析
建构主义学习理论认为，学习是学生积极主动的建构知 识的过程，学习应该与学生熟悉的知识背景相联系。 在教学中，让学生在问题情境中，经历知识的形成和发 展，通过观察、操作、归纳、思考、探索、交流、反思参与学习， 认识和理解数学知识，学会学习，发展能力。
中学数理化
四．教学过程
问题呈现阶段 知识应用阶段
中学数理化
情境创设
中学数理化
问题呈现
问题1：大于360的角如何出现？
问题2：旋转方向对角有没有影响？ 问题3：零度角是否存在？ 问题4：把角放入平面直角坐标系时有没有要求？ 问题5：第一象限角都是锐角么？ 很多学生都能回答这个
例题2: 写出终边在Y 轴上的角的集合 0 360的角表示） （用 练习2 : 写出终边在坐标轴上的角的集合（用0 360的角表示）
思考： 第二象限角如何表示？
中学数理化
归纳小结
本环节的设计把学生知识的”昨天,今 天,明天”有机结合在一起,发展学生应用 知 识,发现并解决问题的能力,同时让学生对
中学数理化
教师板书,规范解题格式,提炼求解步骤 关注学生的数学表达,提供反馈的素材, 知识应用 揭示教与学的一致性
例题1: 在0 360 范围内，找出与下列各角终边相同的角 并判断他们是第几象限的角。 （） 120 1 （2） 640 （3） 95012’ 练习 写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中 1: 适合不等式 360 720的元素 写出来。 （） 1 60 （2） 21 （3） 14’ 363
中学数理化
教学目标
1.知识目标:
(1)使学生理解任意角的概念,学会在平面内建立适当的坐标系来讨论任意角. (2)能在 0 360 范围内,找出与此范围外每一个已知角终边相同的角, 判定其为第几象限角. (3)能写出与任一已知角终边相同角的集合.
2.能力目标：