角的概念的推广00
角的概念的推广
一般地，所有与角α终边相同的角，连同角 α在内，可构成一个集合 S={β|β=α+k۰360°，K∈Z}，
即任一与角α终边相同的角，都可以表示成 角α与整数个周角的和。
针对性练习一：
1、在0 o ～ 360 o之间，找出与下列各角终边相同的角，并判断各角所在的象限： ① -20 o 解： ② 740 o ③ -950 o 48′
660o
二、在坐标系中讨论任意角的大小
y
α= 30 o
o
x
y
α 300
B
y
300
B
oα
o
x
x
OB逆时针转后所得的角为： 3900 =300+3600 与300 终边相同的角分别为： 30+360 30+1*360 30+2*360 …..
OB顺时针转后所得角为：
-330 0=30-2*360
30-360 30-1*360 30-2*360 …..
如果使角的顶点与坐标原点重合, 角的的始边与x轴的非负半轴重合. 那么,角的终边(除端点外)在第几象限, 我们就说这个角是第几象限角
说出600，1500 ，2700 ，-2100 ，-3100是第几象限角
y
B1
o
B2
60 o 150 o A
x
OA顺时针旋转一周再转到OB1处： OA顺时针旋转OB2处： 150o OA逆时针旋转OB2处： 210o
120+360
120+1*360 120+2*360
120-360
120-1*360 120-2*360
300+2*360
…..
300-2*360
《角的概念的推广》课件
相关角和同位角
相关角和同位角是角度之间重要 的关系，它们常常在几何证明和 角度测量中发挥重要的作用。
角的应用
1
三角函数中的角
角在三角函数中起着关键的作用，它是计
圆周角和弧度制
2
算三角比例和解决三角问题的基础。
圆周角是一种特殊的角度，并且弧度制是
用于测量角度的一种更准确的方法。
3
角的测量技巧
了解角的测量技巧可以帮助我们更准确地 计算和描述角，并在几何证明中运用它们。
结语
角的重要性再强调
角在几何学和实际应用中具有广泛的重要性，深入理解 角的概念对于数学学习和问题解决至关重要。
角的前景展望
随着科学技术的发展和应用的拓展，对角的研究和应用 将不断深入，为人们创造更多的可能性。
角的度量可以用角度或弧度表 示，不同的测量方法在不同的 应用中具有重要的意义。
角的分类
角可以根据其大小和特性进行 分类，如锐角、直角和钝角等有独特的性 质，这些性质对于解决几何问题 和应用中的角起着重要的作用。
互补角和补角
互补角和补角是角度的重要概念， 它们与角的大小和关系有着密切 的联系。
《角的概念的推广》PPT 课件
通过简洁明了的介绍，本课件旨在深入浅出地推广角的应用和提高受众对角 的认识。
引言
角是几何学中重要的概念之一，在数学和实际生活中具有广泛的应用。本节 将介绍角的含义以及角在几何中的重要性。
角的基本概念
角定义
角是由两条射线共同确定的图 形，它是标志性的几何元素之 一。
角的度量和表示方法
角的概念的推广概念
角的概念的推广概念角是数学中非常重要的概念，它是指由一个初始点出发，以一定的角度旋转后所形成的图形。
它可以帮助我们理解和描述事物之间的关系以及解决各种实际问题。
然而，角的概念可以进一步推广到更复杂的形式，从而应用于更广泛的领域。
首先，角可以分为几何角和平面角。
几何角是指由两条射线构成的图形，其中初始射线称为边，旋转的射线称为腿。
平面角则是指在一个平面上的角。
几何角和平面角可以相互转换，并且可以按照大小进行比较。
角的概念可以推广到三维空间中。
在三维空间中，角可以由两个非共线的向量构成，并且可以通过点乘和向量的模运算来计算角度。
三维空间中的角可以用来描述物体之间的关系，例如两个平面的夹角或者两个直线的夹角。
角的概念也可以推广到曲线上。
在曲线上，可以定义曲率角，它是指曲线在某一点上的切线与某一特定方向的夹角。
曲率角可以用来描述曲线的弯曲程度，例如在数学和物理学中常用来描述曲线运动的轨迹。
此外，角的概念还可以应用于三角函数中。
三角函数是以角作为自变量的函数，它们描述了角和直角三角形之间的关系。
三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等，它们在数学和物理学中有广泛的应用，例如在解决三角形的边长和角度问题中。
在物理学中，角的概念也有广泛的应用。
例如，角动量是物体旋转运动的重要物理量，在刚体力学和量子力学中都有非常关键的作用。
角速度也是用来描述物体旋转运动的重要概念，它是物体单位时间内旋转的角度。
在计算机图形学和计算机游戏中，角的概念也有重要的应用。
例如，计算机游戏中的角色会随着玩家操作而改变角度，而计算机图形学中的三维模型也是由许多角所构成的。
因此，理解和运用角的概念对于计算机图形学和游戏开发非常关键。
总之，角是数学中的重要概念，它可以被推广到几何角、平面角、三维空间角、曲线上的角、三角函数中的角，甚至在物理学和计算机科学中有广泛的应用。
理解和掌握角的概念，可以帮助我们更好地理解和解决各种实际问题。
角的概念的推广
第三象限角的集合：
第三象限角的集合：
{x | k 360 180 x k 360 270, k Z}
第三象限角的集合：
{x | k 360 180 x k 360 270, k Z}
第四象限角的集合：
第三象限角的集合：
{x | k 360 180 x k 360 270, k Z}
例1. 在 - 720到720之间，写 出与60角终边相同的角的集合M.
例1. 在 - 720到720之间，写 出与60角终边相同的角的集合M. 例2. 求终边为直线y x的角的集合.
例3. 已知 是第二象限角，
问：12 是第几象限角？ 2 是第几象限角？
2
3 是第几象限角？
3
课堂练习
1. A {小于90的角}，B {第一象限
的角}，则A B （ ）
A.{锐角}
B.{小于90的角}
C.{第一象限的角} D.以上都不对
2. 若90 135, 则 的范围是______, 的范围是_______ .
3. 与- 457角终边相同的角的集合是：
A.{ | k 360 457, k Z} B.{ | k 360 97, k Z} C.{ | k 360 263, k Z} D.{ | k 360 263, k Z}
角的概念的推广
一、复习
1.初中是如何定义角的？
二、角的概念的推广：
二、角的概念的推广： 1.“旋转”形成角.
二、角的概念的推广： 1.“旋转”形成角.
B
O
A
二、角的概念的推广： 1.“旋转”形成角.
B
O
A
二、角的概念的推广： 1.“旋转”形成角.
B
角概念的推广
角概念的推广一、知识点归纳1．角概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。
按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。
射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。
2．象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。
如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限，它叫轴线角。
3．终边相同的角的表示：终边与终边相同(的终边在终边所在射线上)，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等。
4. 几种终边在特殊位置时对应角的集合为：角的终边所在位置 角的集合X 轴正半轴{}Z k k ∈︒⨯=,360|ααY 轴正半轴{}Z k k ∈︒+︒⨯=,90360|αα X 轴负半轴{}Z k k ∈︒+︒⨯=,180360|αα Y 轴负半轴{}Z k k ∈︒+︒⨯=,270360|ααX 轴{}Z k k ∈︒⨯=,180|ααY 轴{}Z k k ∈︒+︒⨯=,90180|αα坐标轴{}Z k k ∈︒⨯=,90|αα5、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z第二象限角的集合为{}36090360180,k k kαα⋅+<<⋅+∈Z第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z二、例题解析例1、自上午8点整上学到中午11点40分放学，时钟的时针和分针各转了多少度？上午8点整和中午11点40分两针所成的最小正角各是多少度？例2、给出下列命题：①小于90的角是锐角；②第二象限的角是钝角；③相等的角必是终边相同的角；④若角α和β有相同的终边，则βα-的终边必在x 轴的正半轴上.其中正确的命题序号是______________ 例3、已知 1845-=θ，在与终边相同的角中，求满足下列条件的角：（1）最小的正角 （2）最大的负角 （3）在720~360-内的角例4、若α为第三象限角，则α-，α2的终边落在何处？练习4.1、已知α为第一象限角，求α21-180是第几象限角.例5、已知α为第三象限角，求32αα，所在的象限 例6、已知集合{}Zk k k A ∈+⋅<<+⋅=,9018030180 αα，集合{}Zk k k A ∈+⋅<<-⋅=,4536045360 αα。
角的概念的推广
已：射线OA绕端点O旋转900到射线OB,接着再旋转-300到OC
求：角AOC.
B
-300
C
900 600
AOC = AOB + BOC
= 900 + (-300)
=
A 600
O
各角和的旋转量等于各角旋转量的和.
例 题 1:
已知：射线OA绕端点O顺时针旋转800到OB位置,接 着逆时针旋转2500到OC位置,然后再顺时针旋转2700 到OD位置, 求 AOD的大小.
方法：作图
二.象限角：
角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴 的正半轴重合，那角的终边在第几象限，就说 这个角是第几象限角． y
B 注： 当角的终边
落在坐标轴上时， 它不属于任何象限. o 它叫轴线角 . A
Ｏ
x
口答：
说出以下角各属于第几象限：
(1). 450 (2). 300 1400 3900 -2300 -3300 3400
0
2. 与的终边关于y轴对称，则 (2k 1) 180 k Z
3. 与的终边关于原点对称，则 (2k 1) 180 k Z
0
0
4. 与的终边在一条直线上，则 k 180 ，k Z
0
问：观察第(2)题各角有何特点？
能否把(2)题这些角用一个集合表示出来呢？ 是不是任意一个角都与0０到360０内的某一 角终边相同呢？
三．终边相同角的表示方法：
所有与角 终边相同的角，连同角
在内可构成一个集合
S | k 360 , k Z
0
即任意与角 终边相同的角，都可以表示 成 与整数个周角的和．
初中角的概念:
角的概念推广
【引入】
经过30分钟，时针，分针，秒针各旋转了多少度？
【结论】：
1.旋转产生了角；
2.方向不同体现在角上应有什么不同？
3.角的大小不能限定为周角，需要扩大。
【新课】：
1.概念：
（1）角的概念的推广：
由一条射线绕端点按逆时针方向旋转所形成的角为正角，其度量值是正的。
按顺时针方向旋转所形成的角为负角，其度量值是负的。
特别地，当一条射线没有旋转时，我们也认为形成了一个角，这个角叫做零角
1）范围扩大
2）过程
3）正负角的形成
4）任意大小的角都有意义
2.象限角：
端点在原点，始边为x 轴的正半轴，则终边在第几象限，则角为第几象限角。
【练习】
指出下列的角是第几象限角？
30,60,90,280,315︒︒︒︒︒
【注】终边在坐标轴上的角不属于任何象限
3.终边相同角的表示：
360()k k Z βα=+⋅︒∈
4.练习：
（1）判断下列角是第几象限角，写出与下列角终边相同的角的集合
︒︒-︒︒-︒
45,405,200,1450,630
（2）α为锐角是α为第一象限角的________条件；（3）写出终边落在下列各处的角的集合：
①终边在x轴的正半轴上的所有角的集合;
②终边在x轴的负半轴上的所有角的集合;
③终边在y轴的正半轴上的所有角的集合;
④终边在y轴的负半轴上的所有角的集合;
⑤角所在象限表示：
第1象限
第2象限
第3象限
第4象限
课堂小结：
1.角的概念的推广；
2.象限角的概念；
3.终边相同的角的表示。
角的概念与推广
30°＋K·360°，K ∈ Z
与 终边相同的角的一般形式为
＋K · 360°，K ∈ Z 注:
（1）K ∈ Z
（2）是任意角
（3）K·360°与 之间是“+”号，如 K·360°－30 °，应看成K·360 °+（－30 °）
（4）终边相同的角不一定相等，但相等 的角终边一定相同，终边相同的角有无数 多个，它们相差360°的整数倍。
Ⅱ y Ⅰ
终边
x
o
始边
终边
Ⅲ
终 边
终
Ⅳ
边
象限角
置角的顶点于原点
始边重合于X轴的非负半轴
终边落在第几象限就是第几象限角
y 终边
x
o
始边
终边
坐标轴上的角
终边
置角的顶点于原点
始边重合于X轴的非负半轴
终边落在坐标轴上
例如，0°、90°、180°、270°、360°、−90°、−270°等都是界限角．
练习：
（1）请用集合表示下列各角;
①0°～90°间的角 ②第一象限角
③锐角
④小于90°角．
（2）分别写出： ①终边落在x轴负半轴上的角的集合； ②终边落在y轴上的角的集合； ③终边落在第一、三象限角平分线上的角 的集合；
④终边落在四象限角平分线上的角的集 合．
小结：
1.任意角 的概念
正角：射线按逆时针方向旋转 形成的角 负角：射线按顺时针方向旋转 形成的角 零角：射线不作旋转形成的角
练习：判定下列角是第几象限的角？
30°，120°，-60°，390°， -100°， 200°，-460°
y
-330° 390°
o
30°
x
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练习：第5页第5题
例3、写出终边落在Y轴上的角的集合。
解：终边落在ｙ轴正半轴上的角的集合为
S1={β| β=900+k∙3600,k∈Z} ={β| β=900+2k· 1800 ,k∈Z} 终边落在ｙ轴负半轴上的角的集合为 S2={β| β=2700+k∙3600,k∈Z} ={β| β=900+(2k+1) · 1800 ,k∈Z} 所以 终边落在ｙ轴上的角的集合为
角演示
巩固练习：
1、锐角是第几象限的角？ 答：锐角是第一象限的角。 2、第一象限的角是否都是锐角？ 答：第一象限的角并不都是锐角。
3、小于90°的角都是锐角吗？
答：小于90°的角并不都是锐角，它也 有可能是零角或负角。
巩固练习：
4.在坐标平面内作出下列各角：30°， 390°，-330°;它们是第一
与300终边相同的角的
300 x
…… …,
一般形式为300＋K〃3600，K ∈ Z
三.终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内， 可构成一个集合
S={ β| β=α+k360° ,k∈ Z} 即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α 与整数个周角的和。
注意: （1 ） K ∈ Z
（2） α是任意角
1.1.1
角的概念的推广
回顾：1、在初中角是如何定义的？
定义：有公共端点的两条射线组成的几 何图形叫做角。
顶 点 边 边
回顾： 2.角是如何度量的?
角的单位是度.规定:周角的1/360为1度的角.
3.我们学过那些角?它们的大小是多少?
锐角:大于0度小于90度
钝角:大于90度小于180度 直角等于90度 平角等于180度 我们以前所学过的角 都是大于0度小于或等 于360度的角.
Ⅱ
y
Ⅰ
终边 终 边 x
o
始边
终边
Ⅲ
终 边
终 边
Ⅳ
二、象限角的定义
1)置角的顶点于原点
2)始边重合于X轴的正半轴
终边落在第几象限就是第几象限角
坐标轴上的角：
如果角的终边落在了坐标轴上，就 认为这个角不属于任何象限。
例如：角的终边落在X轴或Y轴上。 轴线角:终边落在坐标轴上的角
巩固练习：
下列命题： ①一个角的终边在第几限，就说这个角是第 几象限的角； ②1400°的角是第四象限的角； ③-300°的角与160°的角的终边相同 ④相等的角的终边一定相同； ⑤终边相同的角一定相等. 其中正确命题的序号是 (1).(2).(4). .
例1、在0到360度范围内，找出与下列各角 终边相同的角，并判断它是哪个象限的角？ （1）-120°（2）640 °
S=S1∪S2 ={β| β=900+n∙1800 ，n∈Z}
终边落在坐标轴上的情形
900 +K · 3600 y 00 +K ·3600
1800 +K·3600
o
x
2700
+K·3600
思考：第一象限角如何用集合表示？
{ k 360 90 k 360 , k z}
解：（1）-120°=-360 °+240 °
所以与-120 °角终边相同的角是240 °角，它是第三 象限角。 （2）640°=360°+280°
所以与640°角终边相同的角是280°角，它是第四象 限角。
练习：第5页第4题
例2：写出与下列各角终边相同的角的集合 S，并把S中 适合不等式-3600≤ ＜7200 的元素 写出来
1.任意角
正角：射线按逆时针方向旋转形成的角 负角：射线按顺时针方向旋转形成的角 零角：射线不作旋转形成的角
2.象限角
1)置角的顶点于原点
2)始边重合于X轴的非负半轴
终边落在第几象限就是第几象限角 3.终边与角ａ相同的角
α＋K· 3600，K∈Z
4.判断一个角是第几象限角，方法是：所给角ａ改 写成α0+k 〃3600 ( K∈Z,00≤α0＜3600)的形式， α0在第几象限α就是第几象限角
运动
平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另 一个位置所成的图形叫做角。
终边
B
顶点
o
A
始边
新
课
逆时针
一、任意角定义：
任 意 角
顺时针
正角：按逆时针方向旋转形成的角 负角：按顺时针方向旋转形成的角
零角：射线不作旋转时形成的角
记法：角 或 ，可简记为
说明：
1：角的正负由旋转方向决定 2：角可以任意大小，大小由旋转次数及 终边位置决定
（3）K· 360°与α 之间是“+”号， 如K· 360°-30 °应看成K· 360 °+（-30） °
(4)k的两层含义： 特殊性：每对k赋一个值可得一个具体角； 一般性：表示了所有与 终边重合的角的集合.
（５）终边相同的角不一定相等，但相等的角 终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它 们相差360°的整数倍
动手实践:将本题中涉及的角在同一直 角坐标系中作出，观察它们有何特点？
猜想:与300终边 相同的角可表示
-3300
y 3900 o 300 x
为什么?
300 =300+0x3600 3900=300+3600 =300+1x3600 -3300=300-3600 =300 -1x3600 300+2x3600 , y 0 0 0 -330 30 －2x360 0 0 0 390 30 +3x360 , o 0 0 30 －3x360
思考:
1 若是第二象限的角，则1800-是（ ） A 第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限
α α 讨论：若是第二象限角时，则2， , 2 3 是第几象限的角？
作业：
分别
P9 A组 1（1）（2）; 3（1）（2）; 5
思考：终边落在其他三个象限的角如 何用集合表示？
巩固练习：
1.写出终边在下列位置上的角的集合
y
o y
x
| k 90 , k z | 45 k 180 , k z | 45 k 90 , k z
o y
x
o
x
课堂小结：
周角等于360度
思考: 生活中的角是不是都在范围[00 ,3600 ]内？
“程菲跳”—“踺子后手翻转体180度接前直空翻540度
跳水运动员向内、向外转体1080º
体操运动员转体1260度
观察主动轮和从动轮的例子所提到的角不仅不在范围[00 ,3600 ] 中， 而且方向不同，有必要将角的概念推广到任意角， 想想用什么办法才能推广到任意角？