(新)教案1：5.1角的概念的推广

5.1 角的概念的推广

【教学目标】

1．理解正角、负角、终边相同的角、第几象限的角等概念，掌握角的加减运算．

2．通过观察实例，使学生认识角的概念推广的可能性和必要性，树立运动变化的观点，并由此深刻理解任意角的概念．

3．通过教学，使学生进一步体会数形结合的思想．

【教学重点】

理解任意角（正角、负角、零角）、终边相同的角、第几象限的角的概念，掌握终边相同的角的表示方法和判定方法．

【教学难点】

任意角和终边相同的角的概念．

【教学方法】

本节采用教师引导下的讨论法，结合多媒体课件，带领学生发现旧概念的不足之处，进而探索新的概念．讲课过程中，紧扣“旋转”两个字，让学生在动手画图的过程中深刻理解任意角的概念．

环节教学内容师生互动设计意图

复习导入1．复习初中学习过的角的定义．

2．提出新问题：

运动员掷链球时，旋转方向可以

是逆时针也可以是顺时针，旋转量也不

止一个平角，那如何来度量角的大小

呢？

师：初中学过的角的定义是

什么？

生：在平面内，角可以看作

一条射线绕着它的端点旋转而

成的图形．

师：如图：

∠AOB=∠BOA=120 ，

B

初中时的角不考虑旋转方

向，只考虑旋转的绝对量

而且角的范围在0~360°．

复习旧知，使学生

发现旧知识的局限性，

激发学习新知识的兴

趣．

新课1．任意角的概念．

（1）射线的旋转方向：

逆时针方向——正角；

顺时针方向——负角；

没有旋转——零角．

画图时，常用带箭头的弧来表示旋

转的方向和旋转的绝对量．旋转生成的

角，又常称为转角．

教师画图说明正角，负角，

零角，以及角的始边、终边.

教师小结：由旋转方向的

不同定义正负角，由旋转量的不

同得到任意范围内的角．

新课

例如，

∠AOB＝120°，∠BOA＝－120°．

（2）射线的旋转量：

当射线绕端点旋转时，旋转量可以

超过一个周角，形成任意大小的角.角的

度数表示旋转量的大小．

例如450°，－630°．

2．角的加减运算．

90°－30°

＝90°＋（－30°）

＝60°．

各角和的旋转量等于各角旋转量

的和．

3．终边相同的角．

所有与α终边相同的角构成的集合

可记为

S＝{x|x＝α ＋k·360°，k?Z}．

例1（1）写出与下列各角终边相同的角

的集合．

(1) 45°；(2) 135°；

1．教师画图，学生说角的度数．

2．学生练习：画出下列各角：

（1）0，360°，720°，

1 080°，－360°，－720°；

（2）90°，450°，－270°，

－630°．

学生练习：求和并作图表示：

30°＋45°，60°－180°．

师：观察我们刚画过的角，

（1）0，360°，720°，1080°，－

360°，－720°；

（2）90°，450°，－270°，

－630°．

思考：始边、终边相同的

两个角的度数有什么关系？

学生讨论后回答：终边相同

的两个角的度数相差360°的整数

倍．

师：与30°始边、终边都相

同的角有哪些？有多少个？它们

能不能统一用一个集合来表示？

得出结论．

例1（1）由学生口答，教

师给出规范的书写格式．

学生通过自己练

习画图，深刻体会

“旋转”两个字的含

义，加深对任意角的

概念的理解．

学生自己动手画

图求和，加深对旋转

变化的理解．

将例1分解为两个小

题，边讲边练，小步

子，低台阶，学生容

新课

(3) 240°；(4) 330°．

解略．

4．第几象限的角．

在直角坐标系中讨论角时，通常使

角的顶点和坐标原点重合，角的始边与x

轴的正半轴重合.这样角的大小和方向可

确定终边在坐标系中的位置.这样放置的

角，我们说它在坐标系中处于标准位置．

处于标准位置的角的终边落在第

几象限，就把这个角叫做第几象限的

角．如果角的终边落在坐标轴上，就认

为这个角不属于任何象限．

例1（2）指出下列各角分别是第几象限

的角．

(1) 45°；(2) 135°；(3) 240°；(4) 330°．

例2写出终边在y轴上的角的集合．

解终边在y轴正半轴上的一个角

为90°，终边在y轴负半轴上的一个角

为－90°，因此，终边在y轴正半轴和负

半轴上的角的集合分别是

S1＝{α|α＝90°＋k·360°，k?Z}

S2＝{α|α＝－90°＋k·360°，k?Z}

所以终边在y轴上的角的集合为

S1∪S2＝{α|α＝90°＋k ·360°，k?Z}

∪{α|α＝－90°＋k·360°，k?Z}

＝{α|α＝90°＋k ·180°，k?Z}．

模仿练习：

写出终边在x轴上的角的集合．

例3在0～360°之间，找出与下列各角终

边相同的角，并分别判定各是第几象限

的角？

（1）－120°；（2）640°；（3）－950°．

例4写出第一象限的角的集合．

解在0～360°之间，第一象限的角

的取值范围是0°＜α＜90°，所以第一象

限角的集合是

{α|k ·360°＜α＜90°＋k ·360°，k?Z}．

例1（2）学生口答．

讲解例2时，教师结合教材

图示的平面直角坐标系，带领学

生分析题意．

师：角的终边落在y轴上

包含哪两种情况？

生：终边落在y轴正半轴

上或者落在y轴负半轴上．

师：90°的角终边落在y轴

的正半轴上吗？与它终边相同

的角的集合是什么？

－90°的角终边落在y轴的

负半轴上吗？与它终边相同的

角的集合是什么？

这两个集合的并集怎么求？

例3引导学生画图解决，或

者用计算器解答．

教师结合平面直角坐标系

讲解例4．

学生分组练习：

（1）写出第二象限角的集合；

（2）写出第三象限角的集合；

（3）写出第四象限角的集合．

易消化吸收．

例2难度较大，教

师应详细讲解两个集

合如何求并集．

本模仿练习意在

渗透B组练习的解题

思路．