兴义市天赋中学数学必修一教案4.1角的概念推广(1)
高一数学教案下学期4.1角的概念的推广
下学期4.1角的概念的推广教学目标1．理解引入大于角和负角的意义．2．理解并掌握正、负、零角的定义．3．掌握终边相同角的表示法．4．理解象限角的概念、意义及其表示方法．重点难点1．理解并掌握正、负、零角的定义．2．掌握终边相同角的表示法．教学用具直尺、投影仪教学过程1．设置情境设置实例（1）用扳手拧螺母（课件）；（2）跳水运动员身体旋转（视频）．说明旋转第二周、第三周……，则形成了更大范围内的角，这些角显然超出了我们已有的认识范围。
本节课将在已掌握～角的范围基础上，重新给出角的定义，并研究这些角的分类及记法．2．探索研究（1）正角、负角、零角概念①一条射线由原来位置，绕着它的端点，按逆时针方向旋转转到形成的角规定为正角，如图中角；把按顺时方向旋转所形成的角规定为负角，如图中的；射线没作任何旋转时，我们认为它这时也形成了一个角，并把这个角规定为零角，与初中所学角概念一样，、，点分别叫该角的始边、终边、角顶点．②如果把角顶点与直角坐标系原点重合，角的始边在轴的正半轴上，这时，角的终边落在第几象限，就称这个角是第几象限角，特别地，如果角的终边落在坐标轴上，就说该角不属于任何象限，习惯上称其为轴上角．③我们作出及三个角，易知，它们的终边相同。
还可以看出，，的终边也是与角终边重合的，而且可以理解，与角终边相同的角，连同在内，可以构成一个集合，记作．一般地，我们把所有与角终边相同的角，连同角在内的一切角，记成，或写成集合形式．（2）例题分析【例1】在～间，找出与列列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角（1）；（2）；（3．解：（1）∵∴与角终边相同的角是角，它是第三象限的角；（2）∵∴与终边相同的角是，它是第四象限的角；（3）所以与角终边相同的角是，它是第二象限角．总结：草式写在草稿纸上，正的角度除以，按通常除去进行；负的角度除以，商是负数，它的绝对值应比被除数为其相反数时相应的商大1，以使余数为正值．练习：（学生板演，可用投影给题）（1）一角为，其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为_______．（2）集合中，各角的终边都在（）A．轴正半轴上，B．轴正半轴上，C．轴或轴上，D．轴正半轴或轴正半轴上解答：（1）（2）C【例2】写出与下列各角终边相同的角的集合，并把中适合不等式的元素写出来：（1）；（2）；（3）．解：（1）中适合的元素是（2）满足条件的元素是（3）中适合元素是说明：与角终边相同的角，连同在内可记为，这里（1）；（2）是任意角；（3）与之间是“＋”连接，如应看做；（4）终边相同角不一定相等，但相等的角终边必相同，终边相同的角有无数个，它们彼此相差的整数倍；（5）检查两角，终边是否相同，只要看是否为整数．练习：（学生口答：用投影给出题）（1）请用集合表示下列各角．①～间的角②第一象限角③锐角④小于角．（2）分别写出：①终边落在轴负半轴上的角的集合；②终边落在轴上的角的集合；③终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合；④终边落在四象限角平分线上的角的集合．解答（1）①；②；③（2）①；②；③；④．说明：第一象限角未必是锐角，小于的角不一定是锐角，～间的角，根据课本约定它包括，但不包含．【例3】用集合表示：（1）第三象限角的集合．（2）终边落在轴右侧的角的集合．解：（1～中，第三象限角范围为，而与每个角终边相同的角可记为，，故该范围中每个角适合，，故第三象限角集合为．（2）在～中，轴右侧的角可记为，同样把该范围“旋转”后，得，，故轴右侧角的集合为．说明：一个角按顺、逆时针旋转（）后与原来角终边重合，同样一个“区间”内的角，按顺逆时针旋转（）角后，所得“区间”仍与原区间重叠．3．练习反馈1）与的终边相同且绝对值最小的角是______________．（2）若角与角的终边重合，则与的关系是___________，若角与角的终边在一条直线上，则与的关系是____________．（3）若是第四象限角，则是（）．A．第一象限角．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角答案：（1）；（2），，；（3）C4．总结提炼判断一个角是第几象限角，只要把改写成，，那么在第几象限，就是第几象限角，若角适合关系：，，则、终边相同；若角与适合关系：，，则、终边互为反向延长线．判断一个角所有象限或不同角之间的终边关系，可首先把它们化为：，这种模式（），然后只要考查的相关问题即可．另外，数形结合思想、运动变化观点都是学习本课内容的重要思想方法．课时作业1．在到范围内，找出与下列各角终边相同角，并指出它们是哪个象限角（1）（2）3）（4）2．写出终边在轴上的角的集合（用～的角表示）3．写出与终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式的元素写出来．4．时针走过3小时20分，则分钟所转过的角的度数为______________，时针所转过的角的度数为______________．5．写出终边在直线上的角的集合，并给出集合中介于之间的角．6．角是～中的一个角，若角与角有相同始边，且又有相同终边，则角．参考答案：1．（1）（2）（3）（4）2．3．，4．，5．，或6．下学期4.1角的概念的推广教学目标1．理解引入大于角和负角的意义．2．理解并掌握正、负、零角的定义．3．掌握终边相同角的表示法．4．理解象限角的概念、意义及其表示方法．重点难点1．理解并掌握正、负、零角的定义．2．掌握终边相同角的表示法．教学用具直尺、投影仪教学过程．设置情境设置实例（1）用扳手拧螺母（课件）；（2）跳水运动员身体旋转（视频）．说明旋转第二周、第三周……，则形成了更大范围内的角，这些角显然超出了我们已有的认识范围。
高一数学高效课堂资料学案一 角的概念的推广
如图所示:
B
B
450°
O
A
－630°
O
A
射线OA绕端点O旋转时,旋转的角超过了周角, 按照图中箭头所指的旋转方向和弧线所表示的周数,
可知: α=450o,β=-630o.
B
C
30 90
60
O
A
在上图中,射线OA绕端点O旋转90°到射线OB位置,接
着再旋转-30°到OC位置,则∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°
3.∵∠AOB=-120°，∠BOC=350°，∠COD=-110°，
∠AOD=∠AOB+∠BOC+∠COD=-120°+350°-110°=120°.
【规律总结】任意角的和差作图的一个关键及三个步骤 (1)一个关键 解决此类问题的关键是明确旋转方向和旋转的绝对量，因此可 以通过图形的直观性帮助我们解答．
1.如图所示的角α ，角β 是第几象限角？怎样判断一个角是第 几象限角？ 提示：角α是第一象限角，角β是第三象限角，判断方法是将 角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合， 角的终边落在第几象限，就说该角是第几象限的角.
象限角 Y
Ⅱ Ⅰ 如果终边落OOO在O 坐标
轴上怎么办呢？
O
X
Ⅲ
1.已知下列各角：①-120°；②-240°；③180°；④495°，
其中是第二象限角的是( )
(A)①② (B)①③
(C)②③
(D)②④
2.若β 是第四象限角，则180°-β 是第_______象限角. 3.已知α 为第二象限角，判断 是第几象限角.
2
【解题指南】1.根据角的概念及终边相同的角的表示逐一判断.
高一数学教案
高一数学《角的概念的推广》教案一、板书课题师：同学们，这节课我们要在初中所学角的基础上，把角作更大范围的推广。
（板书课题）二、出示目标师：这节课的学习目标是什么呢？请看——（投影）了解任意角的概念，能判断象限角，能表示终边相同的角。
三、自学指导师：学习目标怎样才能达到呢？主要靠大家自学。
今天自学的内容和要求是（投影）：自学指导认真看课本(P6 -8)的内容。
想一想：①什么是正角、负角、零角？②象限角怎样定义，思考终边落在坐标轴上的角是不是象限角。
③和角a终边相同的角怎样表示？8分钟后，比谁能做对与例题类似的习题。
四、先学1．学生看书、思考。
教师巡视：确保每个学生认真专注；5分钟后提醒学生：如有不理解的问题可以伺桌讨论，也可以举手问老师。
2．检测（5分钟）。
师：(1)对这节课自学的内容看完并看懂的请举手。
（若都举手，则师表扬：好，自学的很好。
）（若有人不举手，则提问：某某同学，你还有哪一点不明白？谁能帮他解决一下？能讲的举手？）(2)同学们是不是真的学会了？能不能运用，还要通过练习来检测。
下面，请3位同学来黑板上板演，其他同学做到练习本上。
注意书写工整，过程规范，板演的同学字要写得大一些，在规定范围内书写。
3．板演练习。
教师巡视，收集学生做题中的错误，用红笔板书在黑板上。
五、后教1．更正。
师：同学们仔细看黑板上的题，发现错误的请举手。
学生找错误、更正。
2．讨论。
师：同学们，下面我们共同来看练习的结果。
①首先看第1题“锐角是第一象限角”。
（若没人更正，说：看这个答案对不对？为什么？）（若有人更正，说：大家看两种答案哪一个正确？为什么？）学生回答，教师板书：象限角：顶点与远点重合，始边在z轴非负半轴上，终边在第几象限，就是第几象限角。
同时，投影显示锐角在坐标系中的直观图形。
下面看“直角不是象限角”对不对？为什么？学生回答：因直角的终边在y轴上。
教师投影呈现直角。
再看“钝角是第二象限角”对不对？学生答“对”，教师投影呈现钝角。
兴义市天赋中学数学必修一教案4.3任意角的三角函数(1)
2 .比值y 叫做的正弦记作：sin y rr 比值x 叫做的余弦记作：cosx rr 比值y 叫做的正切记作：tan/ xxJ/P （x, y ） r / /兴义市天赋中学数学必修一教案: 4.3任意角的三角函数（1）教学目的：1. 理解并掌握任意角三角函数的定义 .2. 理解三角函数是以实数为自变量的函数3. 掌握正弦、余弦、正切函数的定义域教学重点： 任意角三角函数的定义. 教学难点： 授课类型：课时安排： 正弦、余弦、正切函数的定义域 • 新授课*1课时”教 具：多媒体、实物投影仪* 内容分析：通过三角函数定义的变化：从锐角三角函数到任意角三角函数，由边的比变为坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比，使学生在理解掌握定义的基础上，加深特殊与一般关系的理解 .通过对定义的 剖析，使学生对正弦、余弦、正切函数的定义域有比较深刻的认识，达到突破难点之目的•使学生通过任意角三角函数的定义，认识锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例，加深特殊与一般关系的理解.教学过程： 、复习引入:1. 在初中我们学习了锐角三角函数，它是以锐角为自变量，边的比值为函数值的三角函数2. 前面我们对角的概念进行了扩充，并学习了弧 数集是一一对应的，在这个基础上，今天我们来研究 二、讲解新课：对于锐角三角函数，我们是在直角三角形中定义 三角函数，我们利用平面直角坐标系来进行研究1.设 是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点 P （ x,y ）b a sin— cosc cb , a tancotab度制，知道角的集合与实 任意角的三角函数.的，今天，对于任意角的a则P 与原点的距离r Jl x l 2l y 2v'x 2y 2比值 x 叫做的余切记作：cotxyy比值 L 叫做的正割记作：secrxx比值 匚叫做的余割记作：cscryy根据相似三角形的知识，对于终边不在坐标轴上确定的角(1)以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与 x 轴的非负半轴重合.⑵0P 是角的终边，至于是转了几圈，按什么方向旋转的不清楚，也只有这样，才能说明角是任意的.(3)sin是个整体符号，不能认为是“sin ”与“ ”的积.其余五个符号也是这样.⑷定义中只说怎样的比值叫做的什么函数，并没有说的终边在什么位置(终边在坐标轴上的除外)，，上述六个比值都不会随P 点在的终边上的位置的改变而改变•当角 的终边在纵轴上时，即标x 都为0,所以 tan 、sec 无意义;当角(k Z)时，终边上任意一点 P 的横坐 2的终边在横轴上时，即=kn(k € Z )时，终边上任意一点P 的纵坐标 是惟一确定的实数, 值的函数•y 都为0,所以cot 这就是说，正弦、余弦、 以上六种函数，统称为三角函数•CSC 正切、 无意义，除此之外，对于确定的角余切、正割、余割都是以角为自变量,，上面的六个比值都 以比值为函数3.突出探究的几个问题:+ (k Z)时,① 角是“任意角”，当=2k值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相 ② 实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用 ③三角函数是以“比值”为函数值的函数④r 0而x,y 的正负是随象限的变化而不同，故三角函数的符号应由象限确定 上恒有意义,r⑤定义域：对于正弦函数 sin -，因为r> 0，所以-恒有意义，即取任意实数，r r就是说sin恒有意义，所以正弦函数的定义域是R ;类似地可写出余弦函数的定义域；对于正切函数tan—，因为x = 0时，—无意义，即tan 无意义,x x又当且仅当角的终边落在纵轴上时，才有x =所以当 的终边不在纵轴上时,y恒有意义，即tan恒有意义，所以正切函数的定义域是y sin Ry coty cos Ry sec y tank(k Z) y csc2k (k Z) k (k Z)2 k (k Z)与 同名三角函 等2(k z ).从而有4.注意 :sin n = 0 cos n =—1 tan n — 0 cotn 不存在sec n =— 1 cscn 不存在⑶ 因为当3时，x - 0,y -- r ,所以23 ,3 c丄3sin 1cos 0tan不存在22 23 一亠亠3 sec 不存在 csc 122cot 3 2即函数的定义与的终边位置无关•(5) 比值只与角的大小有关.(6) 任意角的三角函数的定义与锐角三角函数的定义的联系与区别任意角的三角函数就包含锐角三角函数，实质上锐角三角函数的定义与任意角的三角函数的定义是 致的，锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例 •所不同的是，锐角三角函数是以边的比来定义的，任意角的三角函数是以坐标与距离、 坐标与坐标、距离与坐标的比来定义的.即正弦函数值是纵坐标比距离, 余弦函数值是横坐标比距离，正切函数值是纵坐标比横坐标，余切函数值是横坐标比纵坐标，正割函数值是距离比横坐标，余割函数值是距离比纵坐标(7)为了便于记忆，我们可以利用两种三角函数定义的一致性，将直角三角形置于平面直角坐标系的第一 象限，使一锐角顶点与原点重合，一直角边与x 轴的非负半轴重合，禾U 用我们熟悉的锐角三角函数类比记忆.x 2 2心3 cosr J1313y 3x 2 tan— cotx2y3r .13r.13sec—csc—x 2y3例2求下列各角的六个三角函数值(1)0 (2) n (3)(4) -22解: (1) 因为当 =0 时，x =r , y = 0，所以sin0=0 cos0=1 tanO=O cot0不存在sec0=1 csc0 不存在三、讲解范例:例1 已知角 的终边经过点P (2 , —3)(如图)，求解: •- x = 2, y =- 3二 r(3)2.13于是siny3 3 13r.13131III"--01K i 23\ -z '\-3'測痉边的六个三角函数值Fl(2)因为当 =n 时，x =- r , y = 0,所以53例3填表:又T tanx 0• x 的终边不在 y 轴上四、课堂练习21.若点P ( — 3, y )是角a 终边上一点，且sin，则y 的值是sin—=1cos —=0 tan22一不存在 cot — =02 2sec —不存在2csc—=12例4⑴已知角的终边经过P(4, 3),求 2sin +cos 的值 0)求 2sin +cos 的值3 4 解：⑴由定义:r 5 sin=cos =• 2sin5 5⑵若a 0r 5a则sin3 =cos=4• 2sin55若a 0 r5a 则sin3 =cos=:4 • 2si n552 5 _ 25 2 5例5 求函数ycosx cosxtanx j------ 的值域tanx解： 定义域：的终边不在轴上 当x 是第I 象限角时, x 0, y 0 cosx=|cosx| tanx=|tanx|• y=2当x 是第n 象限角时，x 0, y 0 |cosx|=cosx |ta nx|=tanx • y= 2当x 是第川象限角时x 0, y 0 |cosx|=cosx |ta nx|=ta nx• y=0当x 是第"象限角时x 0, y 0 |cosx|=cosx |tanx|=-tanx• y=0答案:⑷当=2时x 0y r ，所以⑵已知角 的终边经过P(4a,3a),(a+cos+cos+cos2525 352.角 的终边上一个点 P 的坐标为(5a ,-12 a )( 0)，求sin +2cos 的值.解：依题意得：x =5a , y =-12 a ,•- r 厂£(5a)2—「12a)213|a|(1)当a >0时，角a 是第四象限角，贝yy12a12x 5 sin,cos — — r 13a13r 13/• sin +2cos=- 2513(2)当 a <0 时， 角 是第二象限角， 则y12a 12 x5 sin,cos —— r 13a13 r13••• cos +2cos=213五、小结本节课我们给出了任意角三角函数的定义并且讨论了正弦、余弦、正切函数的定义域，任意 角的三角函数实质上是锐角三角函数的扩展，是将锐角三角函数中边的比变为坐标与距离、坐标与坐标、 距离与坐标的比，记忆方法可用锐角三角函数类比记忆，至于三角函数的定义域可由三角函数的定义分析 得到• 已知角 e 的终边上一点 P 的坐标是( x ，- 2) (x 半 0) 分析： / 2 r x 4，又 cos x x 即 r x = 3x 3 r 由于x 工 0, • r 2=3 •- x + 4= 9 2 x = 5, x =± 当x = 5时，P 点的坐标是( 5 , —2)siny 2 2 * ,tany 22 5r3 3x55当x = -5时， P 点的坐标是 (-5 ,- -2： )sin y 22 + ,tany225六、课后作业：课本P 习题 ，且 cosx 3，求 sin e 和tan 。
兴义天赋中学数学必修一教案41角的概念推广
兴义市天赋中学数学必修一教案：4.1 角的概念推广（2）教学目的：1．巩固角的形成，正角、负角、零角等概念，熟练掌握掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）、象限角、区间角、终边在坐标轴上的角的表示方法；2．掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）、象限角、终边在坐标轴上的角的表示方法；3．体会运动变化观点，逐渐学会用动态观点分析解决问题；教学重点：象限角、终边在坐标轴上的角的表示方法；教学难点：终边在坐标轴上的角的集合表示；授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪内容分析：通过复习回顾，使学生进一步理解角的概念，象限角的概念.通过具体的例子，使学生掌握终边在坐标轴上的角和终边不在坐标轴上的角的集合表示以及符号语言的运用.教学过程：一、复习引入：1．角的概念的推广⑴“旋转”形成角 ABαO一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到另一位置OB ，就形成角α．旋转开始时的射线OA 叫做角α的始边，旋转终止的射线OB 叫做角α的终边，射线的端点O 叫做角α的顶点． ⑵．“正角”与“负角”“0角”我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以2100-15006600特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零角．记法：角α或α∠ 可以简记成α⑶意义用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了 3 还有零角 一条射线，没有旋转 角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角和零角．2．“象限角”角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x 轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限） 3．终边相同的角结论：所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合： {}Z k k S ∈⋅+==,360|οαββ即：任何一个与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和⑷注意以下四点：(1)Z k ∈(2) 是任意角；(3)0360⋅k 与之间是“+”号，如0360⋅k -30°，应看成0360⋅k +(-30°)；(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍．二、讲解新课：例1写出终边在y 轴上的角的集合（用0到360度的角表示）.解：∵ 在0°～360°间，终边在y 轴的正半轴上的角为90°，终边在y 轴的负半轴上的角为270°， ∴终边在y 正半轴、负半轴上所有角分别是：S1={|=k 360+90,k Z}；S2={|=k 360+270,k Z}探究：怎么将二者写成统一表达式？∵S1={|=k 360+90,k Z}={|=2k 180+90,k Z}；S2={|=k 360+270,k Z}={|=2k 180+180+90,k Z}={|=(2k+1)180+90,k Z}；∴终边在y 轴上的角的集合是：S=S1Y S2={|=2k 180+90,k Z}Y {|=(2k+1)180+90,k Z}={|=180的偶数倍+90,k Z}Y {|=180的奇数倍+90,k Z}={|=180的整数倍+90,k Z}={|=n 180+90,n Z}引申：写出所有轴上角的集合O x y O x y O xy{|=k 360, k Z} {|=k 360+180,k Z} {|=k 180,kZ}O xyO xyO xy{|=k360+90,k Z} {|=k360+270,k Z} {|=k180+90 ,k Z}O xyO xyO xy{|=k90, k Z} {|=k90+45, k Z} {|=k45, k Z} (最后两个可以根据实际情况处理)例2．用集合的形式表示象限角第一象限的角表示为{|k360<<k360+90，（k Z）}；第二象限的角表示为{|k360+90<<k360+180，（k Z）}；第三象限的角表示为{|k360+180<<k360+270，（k Z）}；第四象限的角表示为{|k360+270<<k360+360，（k Z）}；或{|k36090<<k360，（k Z）}例3写出角的终边在图中阴影区域内的角的集合(不包括边界)解：.(1)｛α｜60°＋k·360°＜α＜255°＋k·360°，k∈Z}(2)｛α｜－120°＋k·360°＜α＜45°＋k·360°，k∈Z}例4已知是第二象限角，问2α是第几象限角？2是第几象限角？分别加以说明解：∵在第二象限，∴k⋅360+90＜＜k⋅360+180，k Z于是，k⋅180+45＜2α＜k⋅180+90, ∵k Z, ∴k=2n或k=2n+1当k=2n时，n⋅360+45＜2α＜n⋅360+90, ∴2α在第一象限；当k=2n+1时，n⋅360+225＜2α＜n⋅360+270, ∴2α在第三象限；∴当在第二象限时，∴2α可能在第一象限，也可能在第三象限类似地，2可能在第三、四象限或y轴负半轴上三、课堂练习：1.若Ａ＝｛α｜α＝ｋ·360°，ｋ∈Ｚ｝；B ＝｛α｜α＝ｋ·180°，ｋ∈Ｚ｝；C ＝｛α｜α＝ｋ·90°，ｋ∈Ｚ｝，则下列关系中正确的是( )A.Ａ＝Ｂ＝ＣB.Ａ＝ＢI ＣC.ＡY Ｂ＝ＣD.ＡＢＣ2.若α是第四象限角，则180°－α是( )A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角3.若α与β的终边互为反向延长线，则有( )A.α＝β＋180°B.α＝β－180°C.α＝－βD.α＝β＋（2ｋ＋1）180°，ｋ∈Ｚ4.终边在第一或第三象限角的集合是 .5.α为第四象限角，则2α在 .6.角α＝45°＋ｋ·90°的终边在第 象限.参考答案：1.D2.C3.D4.｛α｜k ·180°＜α＜90°＋k ·180°，k ∈Z ｝5.第三或第四象限或终边在y 轴的非正半轴上6.一 二 三 四四、小结用集合的形式表示象限角以及轴线角（终边在坐标轴上的角）（1）象限角：第一象限的角表示为{|k 360＜＜k 360+90，（k Z ）}；第二象限的角表示为{|k 360+90＜＜k 360+180，（k Z ）}；第三象限的角表示为{|k 360+180＜＜k 360+270，（k Z ）}；第四象限的角表示为{|k 360+270＜＜k 360+360，（k Z ）}；或{|k 36090＜＜k 360，（k Z ）}（2）轴线角：终边在x 轴正半轴上的角的集合：{|=k 360， k Z}；终边在x 轴负半轴上的角的集合：{|=k 360+180，k Z}；终边在x 轴上的角的集合：{|=k 180，k Z}；终边在y 轴正半轴上的角的集合：{|=k 360+90，k Z}；终边在y 轴负半轴上的角的集合：{|=k 360+270，k Z}；终边在y 轴上的角的集合：{|=k 180+90，k Z}；终边在坐标轴上的角的集合：{|=k 90，k Z}5．区间角：锐角：(0,90)，钝角：(90,180)，注意区间(α,β)与(k 360+α, k 360+β)的区别五、课后作业：1.写出与370°23′终边相同角的集合S ，并把S 中在－720°～360°间的角写出来.2.在直角坐标系中作出角Z k 60180∈︒+︒⋅=，k α，Z k 6090∈︒+︒⋅=，k β角的终边.3.写出角的终边在图中阴影区域内的角的集合(不包括边界)参考答案：1.Ｓ＝｛α｜α＝10°23′＋k·360°，k∈Z｝在－720°～360°之间的角分别是10°23′－349°37′－709°37′.2.3.(1)｛α｜45°＋k·180°＜α＜90°＋k·180°，k∈Z}(2)｛α｜－150°＋k·360°＜α＜150°＋k·360°，k∈Z}六、板书设计（略）七、课后记：1.在［360°，1440°］中与－21°16′终边相同的角有( )A.1个B.2个C.3个D.4个2.在［360°，1620°］中与21°16′终边相同的角有( )A.2个B.3个C.4个D.5个3.角α＝45°＋ｋ·180°，ｋ∈Ｚ的终边落在( )A.第一或第三象限B.第一或第二象限C.第二或第四象限D.第三或第四象限4.第二象限角的集合可表示为.5.角α的终边落在一、三象限角平分线上，则角α的集合是6.角α是第二象限角，则180°＋α是第象限角；－α是第象限角；180°－α是第________象限角．参考答案：1.C 2.C 3.A4.｛α｜90°＋k·360°＜α＜180°＋k·360°，k∈Z｝5.｛α｜α＝45°＋k·180°，k∈Z｝6. 四三一。
人教版高一数学角的概念的推广 教案
高一数学角的概念的推广课题：§4.1角的概念的推广教材分析：（一）知识教学点1.推广角的概念，引入大于360度的角和负角；2.正角、负角、零角的定义；3.象限角的概念；4.终边系统的角的表示法；（二）能力训练点1.了解并掌握正角、负角、零角定义；2.重点掌握所有与α角终边系统的角（包括α角）的表示方法；3.树立运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念；课型：新授课课时计划：本课题共安排1课时教学目的：角和大于360度角的推广，象限角的概念及终边相同角的集合表示。
教学重点：终边相同的角的表示；教学难点：终边在y轴上的角的集合表示；教具使用：常规教学教学过程：一、温故知新，引入课题1.0到360度角的概念：如何定义？角的始边、终边和角的顶点；2.背景：钟表的指针、螺丝扳手按不同方向旋转所成的角。
3.经过1小时时针、分针转了多少度？4.正角和负角是表示具有相反意义的旋转量，它的正负规定纯系习惯，就好象正数和负数的规定一样，零角无正负，就好象数零无正负一样。
二、新课教学（板书课题：角的概念的推广）1.在日常生活中，在生产和科学实验中，还要经常遇到大于360度的角，以及按照不同方向旋转而成的角，你能否举实例说明？2.按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转的角叫做负角，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成一个角，这个角叫做零角。
4.象限角及终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合},360|{Z k k S ∈︒⋅+==αββ即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和；5.例题分析1：在0到360度X 围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角'12950)3(640)2(120)1(︒-︒︒-。
6.写出终边在y 轴上的角的集合（用0到360度的角表示）.7.写出与下列各角终边相同的角的集合S ，并把S 中在︒︒-720~360间的角写出来：'14363)3(21)2(60)1(︒︒-︒。
高中数学 1.1.1角的概念的推广1教案 新人教A版必修4
1.1.1角的概念的推广
一、学习目标：
1、掌握用“旋转”定义角的概念，理解并掌握“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义
2、掌握所有与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法
3、体会运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念；
二、教学重点、难点
重点：理解并掌握正角负角零角的定义，掌握终边相同的角的表示方法.
难点：终边相同的角的表示.
三、教学方法：
讲授法、讨论法、媒体课件演示
四、内容分析：
本节主要介绍推广角的概念，引入正角、负角、零角的定义，象限角的概念以及终边相同的角的表示方法.树立运动变化的观点，理解静是相对的，动是绝对的，并由此深刻理解推广后的角的概念.教学方法可以选用讨论法，通过实际问题，教师抽象并通过用几何画板多媒体课件演示角的形成更加形象直观，如螺丝扳手紧固螺丝、时针与分针、车轮的旋转等等，都能形成角的概念，给学生以直观的印象，形成正角、负角、零角的概念，明确“规定”的实际意义，突出角的概念的理解与掌握.通过具体问题，让学生从不同角度作答，理解终边相同的角的概念，并给以表示，从特殊到一般，归纳出终边相同的角的表示方法，达到突破难点之目的.
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5.1.1角的概念的推广教学设计-2024-2025学年高一上学期数学湘教版(2019)必修第一册
教学资源
-观察学生参与度：教师在课堂上观察学生的参与情况，包括学生上课的注意力、积极参与讨论和回答问题的积极性等。了解学生在课堂上的学习态度和积极性。
-测试：教师可以设计一些课堂测试题目，测试学生对角的概念和计算方法的掌握程度。通过测试结果，了解学生的学习情况，及时发现问题并进行解决。
2.作业评价：
-认真批改作业：教师对学生提交的作业进行认真批改，关注学生的解题思路、答案的准确性以及解题方法的合理性。
本节课的核心素养目标包括数学抽象、逻辑推理、数学建模和数学运算。学生将通过学习角的概念的推广，提高数学抽象能力，能够从具体的情境中抽象出角的本质特征。同时，学生将运用逻辑推理能力，理解并证明角的性质。在课程的实践环节，学生将运用数学建模能力，解决实际问题中的角的问题。通过角的计算和运算，学生将提高数学运算能力，熟练掌握角的运算方法。
在教学过程中，我也尝试了一些创新的教学资源和手段，如PPT、几何模型等。这些资源的运用使得课堂更加生动有趣，也提高了学生的学习效果。
针对这节课的教学，我认为还有一些地方可以改进。首先，在讲授新课时，我可以增加一些互动环节，让学生更加积极参与到课堂中来。比如，可以让学生自己尝试解释角的性质和分类，然后大家一起讨论和总结。这样既能提高学生的理解程度，也能培养他们的表达能力和合作精神。
六、教学反思
1.学生的学习兴趣和参与度是否充分激发，学生的学习积极性如何？
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兴义市天赋中学数学必修一教案：4.1角的概念推广（1）教学目的：1•掌握用“旋转”定义角的概念，理解并掌握“正角”“负角” “象限角” “终边相同的角”的含义■2.掌握所有与a角终边相同的角（包括a角）的表示方法3 •体会运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念；教学重点：理解并掌握正角负角零角的定义，掌握终边相同的角的表示方法.教学难点：终边相同的角的表示.授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：本节主要介绍推广角的概念，引入正角、负角、零角的定义，象限角的概念，终边相同的角的表示方法.树立运动变化的观点，理解静是相对的，动是绝对的，并由此深刻理解推广后的角的概念.教学方法方法可以选为讨论法，通过实际问题，教师抽象并通过用几何画板多媒体课件演示角的形成更加形象直观，如螺丝扳手紧固螺丝、时针与分针、车轮的旋转等等，都能形成角的概念，给学生以直观的印象，形成正角、负角、零角的概念，明确“规定”的实际意义，突出角的概念的理解与掌握.通过具体问题，让学生从不同角度作答，理解终边相同的角的概念，并给以表示，从特殊到一般，归纳出终边相同的角的表示方法，达到突破难点之目的.教学过程：一、复习引入：1 •复习：初中是如何定义角的？从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形+这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它是从图形形状来定义角，因此角的范围是[0°,360°],这种定义称为静态定义，其弊端在于“狭隘”H2 •生活中很多实例会不在改范围[0°,360°]体操运动员转体720o,跳水运动员向内、向外转体1080。
经过1小时时针、分针、秒针转了多少度？这些例子不仅不在范围[0°,360°]，而且方向不同，有必要将角的概念推广到任意角，想想用什么办法才能推广到任意角？（运动）二、讲解新课：1. 角的概念的推广⑴“旋转”形成角BaAO1 23样一条射线由原来的位置 0A 绕着它的端点 0按逆时针方向旋转到另一位置 0B 就形成角a.旋转开突出“旋转”注意：“顶点”“始边”“终边”⑵•“正角”与“负角”“ 0角”我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做 负角，如图，以0A 为始边的角 a =210°,3 =-150 °，丫 =660特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角， 并把这个角叫做零角. 记法:⑶意义实例：体操动作：旋转2周(360 X 2=720 ) 3周(360 X 3=1080 )角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角和零角•要注意，正角和负角是表示具有相反意义 的旋转量，它的正负规定纯系习惯，就好象与正数、负数的规定一样，零角无正负，就好象数零无正负一 2 •“象限角为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角 角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x 轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角(角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限)川象限角，2000 是第n 象限角等”3 .终边相同的角始时的射线0A 叫做角a 的始边，旋转终止的射线0B 叫做角a 的终边，射线的端点 0叫做角a 的顶点.660 0角或可以简记成用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了角可以任意大还有零角 一条射线，没有旋转60 是第"象限角，585 、1180 是第⑴观察：390,330 角，它们的终边都与 30角的终边相同⑵探究：终边相同的角都可以表示成一个0 到360的角与k(k Z)个周角的和:210 0角有正负之分 女口： =210例如：30 、390330 是第I 象限角，300 150 =660390 =30 +360 (k 1)330 =30 360 (k 1)30 =30 +0X 360 (k 0)1470 =30 +4X 360 (k 4)1770 =30 5X 360 (k 5)⑶结论：所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合：S | k 360 ,k Z即:任何一个与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和”⑷注意以下四点：(1) k Z(2) 是任意角；(3) k 3600与之间是“ +”号，如k 3600-30。
，应看成k 3600+(-30 ° )；(4) 终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360° 的整数倍.三、讲解范例：例1在0到360度范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角(1) 120 (2)640 (3) 950 12'解：⑴T -120o=-360o+240o,••• 240o的角与-140o的角终边相同，它是第三象限角.⑵•••640o=360o+280o,•280o的角与640o的角终边相同，它是第四象限角.⑶••• -950o12'=-3 360o+129o48',•129o48 '的角与-950 o12'的角终边相同，它是第三象限角.例2写出与下列各角终边相同的角的集合S,并把S中在360 ~ 720间的角写出来：⑴60⑵21 ⑶ 363 14*解：(1) S | 60 k 360 , k ZS中在-360。
〜720间的角是-1 X 360°+60 °=-2800X 360°+60°=601X 360° +60° =420⑵ S | 21 k 360 , k ZS 中在-360。
〜720间的角是 0 X 360° -21 ° =-21 °； 1 X 360° -21 ° =339 °； 2 X 360° -21 ° =699°.⑶S |363 14 k 360 , k ZS 中在-360 °〜720°间的角是 -2 X 360° +363014'=-356 046'; -1 X 360° +363014' =3o14'; 0 X 360° +363014' =363o14'.四、课堂练习：1 •锐角是第几象限的角？第一象限的角是否都是锐角？小于 角吗？（答：锐角是第一象限角；第一象限角不一定是锐角；小于90°的角可能是零角或负角，故它不一定是锐角；0°〜90°的角可能是零角，故它也不一定是锐角.）总结有关角的集合表示. 锐角：{ 0 |0 ° <0< 90° },0 °〜90° 的角：{ 0 |0 °90° };小于 90° 角：{ 0 | 0< 90° }.2. 已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在 象限的角？（1）420 ° , （2）-75 ° , （3）855 ° , （4）-510 ° .（答：（1）第一象限角，（2）第四象限角，（3）第二象限角，（4）第三象限角）420 0-510 0-75。
\ 53855 0：；・厂五、小结 本节课我们学习了正角、负角和零角的概念，象限角的概念，要注意如果角的终边在坐标 轴上，就认为这个角不属于任何象限.本节课重点是学习终边相同的角的表示法.严格区分“终边相同” 和“角相等”；“轴线角” “象限角”和“区间角”;“小于90°的角” “第一象限角” “0°到90°的角”和 “锐角”的不同意义• 六、课后作业：1.下列命题中正确的是（ ）A.终边在y 轴非负半轴上的角是直角90°的角是锐角吗？ 0。
〜90。
的角是锐 x 轴的正半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个B. 第二象限角一定是钝角C. 第四象限角一定是负角D.若卩=a +k • 360°( k €Z ),则a 与卩终边相同2.与120°角终边相冋的角是 ( )A. — 600°+ k • 360 °, k € ZB. — 1 20°+ k • 360° ,k € ZC.120 °+ (2k + 1) • 180 °, k € ZD.660° + k •360 ° ,k€Z 3.若角a 与卩终边相冋，则 定有 ()A. a + 3 = 180°B. a + 3 = 0°C. a — 3 = k ・ 360 °, k€ ZD. a + 3= k • 360° ,k € Z4.与1840 °终边相同的最小正角为，与一1840 ° 终边相同的最小正角是5•今天是星期一，100天后的那一天是星期 _______________ ，100天前的那一天是星期 ________ .6•钟表经过4小时，时针与分针各转了 __________________ (填度). 7•在直角坐标系中，作出下列各角 (1)360 ° (2)720°(3)1080 °(4)1440 °8•已知A =｛锐角｝,B =｛ 0°到90°的角｝ ,C =｛第一象限角｝ ,D =｛小于90°的角｝.求 A n B , A U C , C Q D , A U D .9•将下列各角表示为 a + k • 360°( k € Z , 0°< a v 360° )的形式，并判断角在第几象限(1)560 ° 24'(2)— 560° 24' (3) 2903 ° 15' ⑷ —2903° 15'(5) 3900°(6)— 3900°参考答案： 1.D 2.A 3.C 4.40° 320 ° 5.三六 6. —120°— 1440°7.8. AB A AC CC nD ={ a | k • 360 ° V a v 90°+ k • 360 ° , k € Z , k < 0 = A U D =D 9. (1) •/ 560 ° 24'= 200° 24 ' + 360 °••• 560° 24'与200° 24'终边相同在第三象限⑵ T — 560° 24 ' = 159° 36'+ (— 2) • 360 °•••— 560° 24'与159° 36'终边相同在第二象限(3) •/ 2903 ° 15'= 23 ° 15'+ 8 • 360°• 2903° 15'与23° 15'终边相同在第一象限⑷ T — 2903° 15'= 336° 45 ' + (— 9) • 360°•••— 2903° 15'与336° 45'终边相同在第四象限(5) •/ 3900 ° = 300 ° + 10 • 360 °• 3900° 与 300°终边相同在第四象限⑹•••— 3900°= 60°+ (— 11) • 360°•••— 3900 °与60°终边相同在第一象限七、板书设计(略) 1•掌握用“旋转”定义角的概念，理解并掌握“正角”“负角” “象限角” “终边相同的角”的含义.八、课后记：课教学目的：题：4.1角的概念推广(一)2. 掌握所有与a角终边相同的角（包括a角）的表示方法3 •体会运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念；教学重点：理解并掌握正角负角零角的定义，掌握终边相同的角的表示方法•教学难点：终边相同的角的表示.授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：本节主要介绍推广角的概念，引入正角、负角、零角的定义，象限角的概念，终边相同的角的表示方法•树立运动变化的观点，理解静是相对的，动是绝对的，并由此深刻理解推广后的角的概念•教学方法方法可以选为讨论法，通过实际问题，教师抽象并通过用几何画板多媒体课件演示角的形成更加形象直观，如螺丝扳手紧固螺丝、时针与分针、车轮的旋转等等，都能形成角的概念，给学生以直观的印象，形成正角、负角、零角的概念，明确“规定”的实际意义，突出角的概念的理解与掌握•通过具体问题，让学生从不同角度作答，理解终边相同的角的概念，并给以表示，从特殊到一般，归纳出终边相同的角的表示方法，达到突破难点之目的•教学过程：一、复习引入：1 •复习：初中是如何定义角的？从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形+这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它是从图形形状来定义角，因此角的范围是[0°,360°], 这种定义称为静态定义，其弊端在于“狭隘”，2 •生活中很多实例会不在改范围[0°,360°]体操运动员转体720o,跳水运动员向内、向外转体1080。