角的概念的推广42页PPT
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角的概念的推广及其度量课件(共28张PPT)
探索研究 角的概念推广之后，利用转角给出60°+90°与90°-
30°的几何意义. 利用转角，可以给出角的加减运算的一个几何意义，
例如，对于60°+90°来说，如图5-4（1）所示：
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
问题情境：相传，我们在初中已经学过平面内的角，在平面 内，角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形 （图5-1).当时，不考虑旋转方向，不论从射线OA旋转到OB， 还是从射线OB旋转到OA，它们的旋转量都是一样的，而且 旋转量不超过一个周角，在现实生活中， 有很多角的大小超过这个范围，例如，运 动员掷链球时旋转过的角．
在平面内，一条射线绕着它的端点旋转有两个相反 的转向：顺时针方向和逆时针方向，习惯上，如图5-2 所示，
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
值得注意的是，上述角的定义中，当射线绕其端点按 逆时针方向或按顺时针方向旋转时，旋转量可以是任意的. 因此，角的概念经过以上的推广以后，就包括正角、负角、 零角.也就是说，角的大小是任意的.由此，我们把角的概 念推广到了任意角．
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
30°的几何意义. 利用转角，可以给出角的加减运算的一个几何意义，
例如，对于60°+90°来说，如图5-4（1）所示：
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
问题情境：相传，我们在初中已经学过平面内的角，在平面 内，角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形 （图5-1).当时，不考虑旋转方向，不论从射线OA旋转到OB， 还是从射线OB旋转到OA，它们的旋转量都是一样的，而且 旋转量不超过一个周角，在现实生活中， 有很多角的大小超过这个范围，例如，运 动员掷链球时旋转过的角．
在平面内，一条射线绕着它的端点旋转有两个相反 的转向：顺时针方向和逆时针方向，习惯上，如图5-2 所示，
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
值得注意的是，上述角的定义中，当射线绕其端点按 逆时针方向或按顺时针方向旋转时，旋转量可以是任意的. 因此，角的概念经过以上的推广以后，就包括正角、负角、 零角.也就是说，角的大小是任意的.由此，我们把角的概 念推广到了任意角．
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
《角概念的推广》课件
计算机视觉：用于图像识 别和跟踪
机器人技术：用于导航和 路径规划
机器学习：用于特征提取 和分类
Part Five
角的概念推广
角度的推广：极坐标系中的角度概念
极坐标系：以原点为中心，两个正交轴为极轴和极角轴 极角：从极轴正方向到直线与极轴的夹角 极角范围：0到360度 极角表示：用弧度或度数表示极角大小
添加标题
角的性质：对称性、周期性、可加 性等
角概念在现代科学中的应用和影响
几何学：角的概念是几何学的基础，用 于描述形状、位置和运动
计算机科学：角的概念在计算机科学中 用于描述图形、图像和动画
物理学：角的概念在物理学中用于描述 力、运动和能量
天文学：角的概念在天文学中用于描述 天体位置和运动
工程学：角的概念在工程学中用于设计、 制造和维护各种设备和系统
角概念的推广
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汇报人：PPT
目录
01 添 加 目 录 项 标 题
02 角 的 基 本 概 念
03 角 的 分 类
04 角 的 应 用
05 角 的 概 念 推 广
06 角 的 概 念 在 数 学 中 的发展历程
Part One
辐角θ，满足 θ=arctan(b/a)， 可以推广到更广 泛的数学领域。
角度的泛化：在向量空间中的角度概念
添加标题
向量空间中的角度概念：将平 面几何中的角度概念推广到向 量空间中，使得向量之间的夹 角可以定义为两个向量的余弦 值。
添加标题
向量空间中的角度计算：通过 计算两个向量的余弦值，可以 得出两个向量之间的夹角。
古埃及：最早 使用角的概念， 用于测量土地
角的概念的推广yong(上课正式稿)精品PPT课件
1.如果 是第一象限角,那么 的取值
范围可以表示为怎样的不等式?
2.如果 是第一象限角,那么 是第几
2
象限角?
为更好满足学习和使用需求，课件在下载后 可以自由编辑，请根据实际情况进行调整
In order to better meet the needs of learning and using, the courseware is freely edited after downloading
并把 S中适合不等式 360720的元素
写出来：
（1） 6 0 ；（2） 21；（3）363 14．
三．终边相同角的表示方法： 所有与角 终边相同的角，连同角
在内可构成一个集合
S | k3 6 0 0 ,k Z
即任意与角 终边相同的角，都可 以表示成 与整数个周角的和．
练习1:
( 1 ) . 把 1 4 8 5 0 化 成 k3 6 0 00 0 3 6 0 0 ,k Z
能否把(2)题这些角用一个集合表示出来呢？ 是不是任意一个角都与0０到360０内的某一 角终边相同呢？
y
-3300 3900
300
x
o
300
=300+0x3600
3900=300+3600=300+1x3600
－3300=300－3600 =300－1x3600 300+2x3600 , 300－2x3600
角的顶点与坐标原点重合,角的始边
与x轴的正半轴重合，那角的终边在第
几象限，就说这个角是第几象限角．
y
注B ：当角的终边
落在坐标轴上时，
它不属于任何象限.
它叫轴o线角. A
Ｏ
范围可以表示为怎样的不等式?
2.如果 是第一象限角,那么 是第几
2
象限角?
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并把 S中适合不等式 360720的元素
写出来：
（1） 6 0 ；（2） 21；（3）363 14．
三．终边相同角的表示方法： 所有与角 终边相同的角，连同角
在内可构成一个集合
S | k3 6 0 0 ,k Z
即任意与角 终边相同的角，都可 以表示成 与整数个周角的和．
练习1:
( 1 ) . 把 1 4 8 5 0 化 成 k3 6 0 00 0 3 6 0 0 ,k Z
能否把(2)题这些角用一个集合表示出来呢？ 是不是任意一个角都与0０到360０内的某一 角终边相同呢？
y
-3300 3900
300
x
o
300
=300+0x3600
3900=300+3600=300+1x3600
－3300=300－3600 =300－1x3600 300+2x3600 , 300－2x3600
角的顶点与坐标原点重合,角的始边
与x轴的正半轴重合，那角的终边在第
几象限，就说这个角是第几象限角．
y
注B ：当角的终边
落在坐标轴上时，
它不属于任何象限.
它叫轴o线角. A
Ｏ
角的概念的推广_ppt课件(上课正式稿)
0
即任意与角 终边相同的角， 都可以表示成 与整数个周角的 和．
【例２】
在 00～3600 间，找出与下列各角终边相同的 角，并判定它们是第几象限角．
150 （1） ；（2）650 ；（3）950 15' ．
【例3】写出与下列各角终边相同的角的集合S ，
360 720 并把 S 中适合不等式 的元素
0 0
y
y
y
o
0
x
o
x
o
x
| k 360 , k Z
y
y
y
o
x
o
x
o
x
课堂练习
1．锐角是第几象限的角？第一象限的角是否 都是锐角？小于90º的角是锐角吗？区间 (0º,90º)内的角是锐角吗？ 答：锐角是第一象限角；第一象限角不一定 是锐角；小于90º的角可能是零角或负角，故 它不一定是锐角；区间(0º,90º)内的角是锐
9、若β的终边与60º角的终边相同，那么在 [0º,360º]范围内，终边与角 的终边相同的
3
角为______________; 解：β=k〃360º+60º，k∈Z. 所以
3
=k〃120º+20º， k∈Z.
当k=0时，得角为20º，
当k=1时，得角为140º，
当k=2时，得角为260º.
6、若α是第四象限角，则180º－α是（ A 第一象限角 C 第三象限角 B 第二象限角 D 第四象限角
7、在直角坐标系中，若α与β终边互相垂直，
那么α与β之间的关系是（
A. β=α+90o
）D
B β=α〒90o
C β=k〃360o+90o+α,k∈Z
即任意与角 终边相同的角， 都可以表示成 与整数个周角的 和．
【例２】
在 00～3600 间，找出与下列各角终边相同的 角，并判定它们是第几象限角．
150 （1） ；（2）650 ；（3）950 15' ．
【例3】写出与下列各角终边相同的角的集合S ，
360 720 并把 S 中适合不等式 的元素
0 0
y
y
y
o
0
x
o
x
o
x
| k 360 , k Z
y
y
y
o
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o
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课堂练习
1．锐角是第几象限的角？第一象限的角是否 都是锐角？小于90º的角是锐角吗？区间 (0º,90º)内的角是锐角吗？ 答：锐角是第一象限角；第一象限角不一定 是锐角；小于90º的角可能是零角或负角，故 它不一定是锐角；区间(0º,90º)内的角是锐
9、若β的终边与60º角的终边相同，那么在 [0º,360º]范围内，终边与角 的终边相同的
3
角为______________; 解：β=k〃360º+60º，k∈Z. 所以
3
=k〃120º+20º， k∈Z.
当k=0时，得角为20º，
当k=1时，得角为140º，
当k=2时，得角为260º.
6、若α是第四象限角，则180º－α是（ A 第一象限角 C 第三象限角 B 第二象限角 D 第四象限角
7、在直角坐标系中，若α与β终边互相垂直，
那么α与β之间的关系是（
A. β=α+90o
）D
B β=α〒90o
C β=k〃360o+90o+α,k∈Z
角的概念的推广课件（PPT34页)
（1） 70° （2） 210 ° （3） -60°
70°
Y 第一象 限角哦！
210 °
Y
第三象 限角哦！
O
O
X
X
第四象
Y
限角哦！
-60°
X O
画出30，390，330角，观察它们的终边 有什么特点.
y -3300
3900 o
300 x
300
=300+0x3600
3900=300+3600 =300+1x3600
•
13、乍见翻疑梦，相悲各问年。。22.1.522.1.509:30:3509:30:35January 5, 2022
•
14、他乡生白发，旧国见青山。。2022年1月5日星期三上午9时30分35秒09:30:3522.1.5
•
15、比不了得就不比，得不到的就不要。。。2022年1月上午9时30分22.1.509:30January 5, 2022
•
10、雨中黄叶树，灯下白头人。。09:30:3509:30:3509:301/5/2022 9:30:35 AM
•
11、以我独沈久，愧君相见频。。22.1.509:30:3509:30Jan-225-Jan-22
•
12、故人江海别，几度隔山川。。09:30:3509:30:3509:30Wednesday, January 05, 2022
要注意，正角和负角是表示具有相反意义 的旋转量，它的正负规定纯属于习惯，就好象 与正数、负数的规定一样，零角无正负，就好 象数零无正负一样．
用旋转来描述角，需要注意三个要素（旋 转中心、旋转方向和旋转量） （1）旋转中心：作为角的顶点.
（2）旋转方向：旋转变换的方向分为逆时针 和顺时针两种，这是一对意义相反的量，
70°
Y 第一象 限角哦！
210 °
Y
第三象 限角哦！
O
O
X
X
第四象
Y
限角哦！
-60°
X O
画出30，390，330角，观察它们的终边 有什么特点.
y -3300
3900 o
300 x
300
=300+0x3600
3900=300+3600 =300+1x3600
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13、乍见翻疑梦，相悲各问年。。22.1.522.1.509:30:3509:30:35January 5, 2022
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14、他乡生白发，旧国见青山。。2022年1月5日星期三上午9时30分35秒09:30:3522.1.5
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15、比不了得就不比，得不到的就不要。。。2022年1月上午9时30分22.1.509:30January 5, 2022
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10、雨中黄叶树，灯下白头人。。09:30:3509:30:3509:301/5/2022 9:30:35 AM
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11、以我独沈久，愧君相见频。。22.1.509:30:3509:30Jan-225-Jan-22
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12、故人江海别，几度隔山川。。09:30:3509:30:3509:30Wednesday, January 05, 2022
要注意，正角和负角是表示具有相反意义 的旋转量，它的正负规定纯属于习惯，就好象 与正数、负数的规定一样，零角无正负，就好 象数零无正负一样．
用旋转来描述角，需要注意三个要素（旋 转中心、旋转方向和旋转量） （1）旋转中心：作为角的顶点.
（2）旋转方向：旋转变换的方向分为逆时针 和顺时针两种，这是一对意义相反的量，
角的概念的推广PPT教学课件
x 00 +K ·3600 或3600＋K ·3600
2700 +K·3600
例2 写出终边落在y轴上的角的集合。
❖ 解：终边落在ｙ轴正半轴上的角的集合为 S1={β| β=900+K∙3600,K∈Z} ={β| β=900+2K∙1800,K∈Z} ={β| β=900+1800 的偶数倍}
终边落在ｙ轴负半轴上的角的集合为
经过1小时时针、分针、秒针转了多少度？
这些例子所提到的角不仅不在范围 [00 ,3600 ] 中，而且方向不同，有必要 将角的概念推广到任意角，想想用什么 办法才能推广到任意角？
运动
逆时针
定义：
顺时针
任 正角：按逆时针方向旋转形成的角 意 负角：按顺时针方向旋转形成的角 角 零角：射线不作旋转时形成的角
值。
5：判断一个角是第几象限角，方法是： 所给角ａ改写成ａ0+k ·3600
( K∈Z,00≤ａ0＜3600)的形式，ａ0在第 几象限ａ就是第几象限角
作业：课本习题4.1 1、3
例2 写出终边落在Y轴上的角的集合。
❖ 终边落在坐标轴上的情形
900 +K ·3600 y
1800 +K·3600 o
ａ＋K ·3600，K ∈ Z 注:（1） K ∈ Z
（2） a 是任意角
（3）K·360°与a 之间是“+”号，如
K·360°-30 °，应看成K·360 °+（-30 ° ）
（4）终边相同的角不一定相等，但相等的角终 边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们 相差360°的整数倍
例1、在0到360度范围内，找出与下列各 角终边相同的角，并判断它是哪个象限 的角？
高一数学角的概念的推广.ppt
四、小结
正角：射线按逆时针方向旋
1.任意角
转形成的角 负角：射线按顺时针方向
的概念 旋转形成的角
零角：射线不作旋转形成的角
2.象限角
1)置角的顶点于原点
2)始边重合于X轴的非负半轴
终边落在第几象限就是第几象限角
终边与始边重合的角是零角吗大了。
⑴角有正角，负角，零角。
⑵角可任意大。可大于360º，也可小于0º
三：象限角
由于角是一个平面图形，所以 为研究方便，我们往往放在 平面直角坐标系中来讨论角。
Y
Y
O
X
Ⅰ
Y
O
X
Ⅱ
Y
O
X
O
X
Ⅲ
1)置角的顶点于原点
Ⅳ
2)始边与X轴的非负半轴重合
终边落在第几象限就是第几象限角
坐标轴上的角：（ 轴线角 ）
如果角的终边落在了坐标轴上，就认为 这个角不属于任何象限。 例如：角的终边落在X轴或Y轴上。
象限角的例子flash演示
❖ 判断下列各角是哪个象限的角？
(1) 420°，(2) 75 (3) 855°，(4) 510
思考：
1、锐角是第几象限的角？ 答：锐角是第一象限的角。 2、第一象限的角是否都是锐角？ 答：第一象限的角并不都是锐角。 3、 小于90°的角都是锐角吗？ 答： 小于90°的角并不都是锐角， 它也有可能是零角或负角。
角的概念推广
一、复习
在初中是如何定义角的？
有公共端点的两条射线组成的几何
图形叫做角。
顶
边
点
边
二、角的概念与推广
1、定义：平面内一条射线绕着端点从一
个位置旋转到另一个位置所成的图形
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44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
角的概念的推广
51、没有哪个社会可以制订一部永远 适用的 宪法， 甚至一 条永远 适用的 法 格索尔
53、人们通常会发现，法律就是这样 一种的 网，触 犯法律 的人， 小的可 以穿网 而过， 大的可 以破网 而出， 只有中 等的才 会坠入 网中。 ——申 斯通 54、法律就是法律它是一座雄伟的大 夏，庇 护着我 们大家 ；它的 每一块 砖石都 垒在另 一块砖 石上。 ——高 尔斯华 绥 55、今天的法律未必明天仍是法律。 ——罗·伯顿
45、自己的饭量自己知道。——苏联
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
角的概念的推广
51、没有哪个社会可以制订一部永远 适用的 宪法， 甚至一 条永远 适用的 法 格索尔
53、人们通常会发现，法律就是这样 一种的 网，触 犯法律 的人， 小的可 以穿网 而过， 大的可 以破网 而出， 只有中 等的才 会坠入 网中。 ——申 斯通 54、法律就是法律它是一座雄伟的大 夏，庇 护着我 们大家 ；它的 每一块 砖石都 垒在另 一块砖 石上。 ——高 尔斯华 绥 55、今天的法律未必明天仍是法律。 ——罗·伯顿