随机过程内容提要
通信原理 第三章 随机过程 学习要点及习题解答
第三章 随机过程学习目标通过对本章的学习，应该掌握以下要点： 随机过程的基本概念随机过程的数字特征（均值、方差、相关函数）；平稳过程的定义、各态历经性、相关函数和功率谱密度；高斯过程的定义和性质、一维概率密度函数；随机过程通过线性系统、输出和输入的关系；窄带随机过程的表达式和统计特性；正弦波加窄带高斯过程的统计特性；高斯白噪声及其通过理想低通信道和理想带通滤波器。
3.1 内容概要3.1.1 随机过程的基本概念随机过程是一类随时间作随机变化的过程，具有不可预知性，不能用确切的时间函数来描述。
1.定义角度一：随机过程ξ(t )是随机试验的全体样本函数{ξ1 (t ), ξ2 (t ), …, ξn (t )}的集合。
角度二：随机过程ξ(t )是在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。
这说明，在任一观察时刻t 1，ξ(t 1)是一个不含t 变化的随机变量。
可见，随机过程具有随机变量和时间函数的特点。
研究随机过程正是利用了它的这两个特点。
2.分布函数和概率密度函数 一维分布函数：ξ(t )在11111(,)[()]F x t P t x ξ=≤含义：随机过程ξ(t )在t 1时刻的取值ξ(t 1)小于或等于某一数值x 1的概率。
如果存在1111111),(),(x t x F t x f ∂∂=则称111(,)f x t 为ξ(t )的一维概率密度函数。
同理，任意给定12n t t t T ∈ ，，，，则ξ(t )的n 维分布函数为{}12121122(,,,;,,)(),(),,()n n n n n F x x x t t t P t x t x t x ξξξ=≤≤≤如果此能在n21n 21n 21n n n 21n 21n x )t x ()t x (∂∂∂∂= x x t t x x F t t x x f ，，，；，，，，，，；，，，则称其为ξ(t )的n 维概率密度函数。
显然，n 越大，对随机过程统计特性的描述就越充分。
随机过程-第二章 随机过程
同样地， k 维随机过程的
n 维联合分布函数具有对称性和相容性。
i 1 i
k
例 2.1 设随机变量 X b(n, p) ，求 X 的特征函数
解：当 n 1 时， X 服从 0-1 分布，
P( X k ) p k (1 p)1k , k 0,1
所以
(t ) eitk P( X k ) peit (1 p)
自协方差函数与自相关函数之间的关系：
CX (s, t ) RX (s, t ) X (s) X (t )
注：自相关函数与自协方差函数均具有对称性和非负定性的性质。
2.3.2 二维随机过程
两个随机过程 X (t ), t T 和 Y (t ), t T 的互协方差函数
n
Ft1 ,,tm ,tm1 ,,tn ( x1 ,, xm , ,, ) Ft1 ,,tm ( x1 ,, xm )
对应具有有限分布族的随机过程 X (t ), t T 的特征函数
t ,,t (u1 ,, un ) E (ei (u X (t )u X (t )) ) ei (u X (t )u X (t )) dFt ,,t ( x1 ,, xn )
解：先求 Y
X
的特征函数。因为 Y N (0,1) ，所以
2 2
Y (t ) e
由于 ixe
itx x2 2
itx
x itx 1 x2 1 2 e dx e dx 2 2
x2 2
xe
，且
2
xe
x2 2
dx ห้องสมุดไป่ตู้ ，所以
随机过程教学大纲
《随机过程》教学大纲一、课程信息课程代码：060148课程名称：随机过程英文名称：Stochastic Processes课程类别：专业核心课适用专业: 应用统计学总学时：48 学时理论学时：40 学时实践学时：8学时学分：3 学分（理论2.5学分，实践0.5学分）开设学期：第4学期考核方式：考试先修课程：概率论、高等数学二、课程简介《随机过程》是统计学专业的专业必修课程。
随机过程通常被视为概率论的动态部分，即研究的是随机现象的动态特征。
着重对随时间和空间变化的随机现象提出各种不同的模型并研究其内在的性质与相互联系，具有较强的理论性。
该学科在社会科学、自然科学、经济和管理等各个领域中都有广泛的应用。
课程性质为选修课，主要讲述随机过程的基本知识，课程的主要教学教学目的是培养学生运用随机过程分析和解决问题的能力，使学生掌握主要几种随机过程的基本概念与处理随机现象的方法。
课程内容包括：随机过程基本概念、Poisson过程、更新过程、Markov链、鞅、布朗运动。
三、教学内容及要求第一章预备知识教学重点和难点：重点和难点是概率空间，矩母函数和特征函数的定义及性质、条件期望、收敛性、极限定理等。
实践环节：无建议使用的教学方法与手段：多媒体与板书结合教学学时：（理论学时3学时）（实践学时0学时）教学目标和要求：通过本章的学习，复习并扩展概率论课程的内容，为学习随机过程打下良好的基础，提供必备的数学工具。
第一节概率空间1. 概率空间定义2. 概率的性质第二节随机变量与分布函数1. 随机变量2. 常见概率分布第三节数字特征、矩母函数与特征函数1. Riemann-Stieltjes积分2. 数字特征3. 关于概率测度的积分4. 矩母函数5. 特征函数第四节收敛性1. 收敛性2. 积分号下取极限的定理第五节独立性与条件期望1. 独立性2. 独立随机变量和的分布3. 条件期望第二章随机过程的基本概念和基本类型教学重点和难点：重点和难点是随机过程的概念，有限维分布族，柯尔莫哥洛夫存在定理。
随机过程
1953年，J.L.杜布的名著《随机过程论》问世，它系统且严格地叙述了随机过程的基本理论。
人们研究这种过程，是因为它是实际随机过程的数学模型，或者是因为它的内在数学意义以及它在概率论领 域之外的应用。
发展概况
1907年前后，Α.Α.马尔可夫研究过一列有特定相依性的随机变量，后人称之为 马尔可夫链。
1923年N.维纳给出了布朗运动的数学定义，这种过程仍是重要的研究对象。虽然如此，随机过程一般理论的 研究通常认为开始于30年代。
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的统计特征
对于随机过程{X (t); t∈T}，其统计特征有均值函数、方差函数、协方差函数和相关函数。它们的定义如 下：
上述统计特征之间的关系为：
的分类
按照统计特征 分类
按照参数集和 状态空间的特 征分类
以统计特征进行分类，一般可分类以下一些：
参数集T可分为两类：（1）T可列；（2）T不可列。 状态空间S也可分为两类：（1）连续状态空间；（2）离散状态空间。 由此将随机过程分为以下四类:
随机过程 整个学科的理论基础是由柯尔莫哥洛夫和杜布奠定的。这一学科最早源于对物理学的研究，如吉 布斯、玻尔兹曼、庞加莱等人对统计力学的研究，及后来爱因斯坦、维纳、莱维等人对布朗运动的开创性工作。
的研究
研究方法
研究内容
研究随机过程的方法多种多样，主要可以分为两大类： 一类是概率方法，其中用到轨道性质、停时和随机微分方程等；另一类是分析的方法，其中用到测度 论、 微分方程、半群理论、函数堆和希尔伯特空间等。 实际研究中常常两种方法并用。另外，组合方法和代数方法在某些特殊随机过程的研究中也有一定作用。
概论与数理统计之随机过程
定义：设T 是一无限实数集，X (e, t ), e S , t T 是对应于e和t的实数， 即为定义在S 和T 上的二元函数。 若此函数对任意固定的t T , X e, t 是一个随机变量， 则称 X (e, t ), e S , t T 是随机过程；
对于随机过程 X (e, t ), e S , t T 进行一次试验，即e给定， 它是t的函数，称为随机过程的样本函数。
分布函数 两种描述 特征数
FX ( x, t ) P X (t ) x，x R，称为随机过程 X (t ), t T 的一维分布函数
FX ( x, t ), t T 称为一维分布函数族
一般地，对任意n(n 2,3,)个不同的时刻，t1 , t2 , tn T n维随机变量 X (t1 ), X (t2 ), X (tn ) 的分布函数：xi R, i 1, 2, n FX ( x1 , x2 , xn；t1 , t2 , tn ) P X (t1 ) x1 , X (t2 ) x2 , X (tn ) xn ， 称为随机变量 X (t ), t T 的n维分布函数
2 X t RX t , t
各数字特征之间的关系如下：
C X t1 , t2 RX t1 , t2 X t1 X t2
2 X
t C X t , t RX t , t t
2 X
14
2 X (t ) DX (t ) E [ X (t ) X (t )]2 ---方差函数 2 X (t ) X (t ) ---标准差函数 2 X (t ) E[ X (t )] 均值函数 X (t ) E[ X 2 (t )] 均方值函数
随机过程名词解释
随机过程名词解释
随机过程是一种统计学，它研究与时间无关的概率模型。
一、定义：随机过程是随机事件的序列，该序列取自某一个随机变量。
由于这些变量都可以用来描述随机过程，所以又把随机过程称为过程。
对于同一个随机过程，其“出现”的可能性总是相等的，故我们也说“可能性是相等的”。
有序的随机变量的集合称为概率空间，即具有某种特定形式的函数空间。
对于任何一个随机过程，它可以定义在这个空间内的每一点上，并且这个过程的概率与函数的局部值无关。
二、内容：①在随机过程中，系统的状态转移的结果(结果的概率)是随机变量(状态)的取值，而这些随机变量的取值是独立的; ②在随机过程中，系统状态转移的过程不是事先确定的，它们都是随机发生的; ③随机过程中的结果之间彼此独立，但并不一定完全独立。
①在随机过程中，任意两个系统的状态转移必然是相互独立的，因为随机过程中状态的转移是按照一定的概率规律进行的。
但是，这种状态的独立性不是绝对的，只要存在着某种随机干扰，则系统的状态就会从独立变成不独立。
所以，在随机过程中，状态的转移不一定是相互独立的。
②在随机过程中，系统的状态转移是随机变量序列，是一个取自随机变量集合的概率分布。
这些随机变量的取值是不相同的，或者说这些随机变量是以不同的概率出现的。
③随机过程中的结果之间彼此独立，但并不一定完全独立。
如在某随机过程X0=x+y的结果集中，
已知某两个结果Y=-0.6和Y=-0.08，那么无论对哪个结果Y，人们都知道它对应着概率P=0.08。
第2章 随机过程概述
(功率有限),且
2
则称
R(t1 , t2 ) E[ X (t ) X (t )] R( )
(t ), t T X为广义平稳随机过程。
t1 t2
用高阶矩来判断广义平稳随机过程是否是狭义平稳随机过程
二者没有关系,但如果狭义平稳随机过程且功率有限,则必为广义平稳的
RX (t1 , t2 ) E[ X (t1 ) X (t2 )]
x1 x2 f ( x1 , x2 ; t1 , t2 )dx1dx2
RXY (t1 , t2 ) E[ X (t1 )Y (t2 )]
xyf ( x, t1; y, t2 )dxdy
一、随机过程的概念
1、随机过程的定义 随机过程 样本函数
X (t ) X (t , e)
X i (t ) X (t , ei ) X (ti ) X (ti , e)
X i (t j ) X (t j , ei )
随机变量
标量
一、随机过程的概念
1、随机过程的定义
随机过程一般表示为{ X (t), t T }。
自相关函数各态历经
T
lim P{| X (t ) X (t ) RX ( ) | } 1
各态历经性-----同时满足以上两条!
平稳随机过程均值各态历经的充要条件
C (0) R(0) m2 2
自相关函数连续的充要条件
R( )在 0点处连续
二、平稳随机过程
4、平稳随机过程自相关函数的性质 非负定性
i , j 1
R(
n
随机过程的基本概念和分类
随机过程的基本概念和分类随机过程是概率论中重要的概念之一，广泛应用于各个领域，包括金融、电信、工程等。
本文将介绍随机过程的基本概念和分类，以帮助读者更好地理解和应用随机过程。
一、基本概念随机过程是指一簇随机变量的集合，其中每个随机变量代表某个时间点的取值。
随机过程可以用数学形式表示为{X(t), t∈T}，其中X(t)表示时间t时刻的取值，T表示时间的取值范围。
在随机过程中，时间是一个重要的概念。
时间可以是离散的，也可以是连续的。
当时间是离散的时候，随机过程称为离散随机过程；当时间是连续的时候，随机过程称为连续随机过程。
离散随机过程常用于描述离散事件，如投掷硬币的结果；而连续随机过程常用于描述连续变化的现象，如股票价格的变动。
二、分类随机过程可以根据其状态空间和时间的特性进行分类。
下面将介绍常见的几种分类方式。
1. 马尔可夫过程(Markov Process)马尔可夫过程是一种具有"无记忆性"的随机过程，即在给定当前状态下，未来的发展仅依赖于当前状态，而与过去的状态无关。
马尔可夫过程可以是离散的或连续的，常用于建模和分析具有动态特性的系统，如排队论、信道传输等。
2. 马尔可夫链(Markov Chain)马尔可夫链是马尔可夫过程的特例，它具有离散的状态空间和离散的时间。
马尔可夫链是一种时间齐次的马尔可夫过程，即系统的转移概率在不同的时间点保持不变。
马尔可夫链常用于描述离散状态的随机系统，如天气的转变、赌博游戏的输赢等。
3. 马尔可夫跳过程(Markov Jump Process)马尔可夫跳过程是一种具有离散和连续混合特性的随机过程。
它在连续时间间隔内可能发生状态的跳跃，并且在一个状态下停留的时间是指数分布的。
马尔可夫跳过程广泛应用于电信系统、金融市场等领域。
4. 广义随机过程(Generalized Stochastic Process)广义随机过程是一种对传统随机过程进行扩展的概念。
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随机过程复习纲要
编辑：陈伟
第一章，概率论知识提要，P4
1.1概率论的基本概念p9（1.独立事件；
2.n维随机变量及其联合分布函数）
1.2随机变量及其分布
1.3随机变量的数字特征p 14（1.数学期望和均值；方差和标准差；相关和正交；协方差和相关系数；p 18独立，正交，不相关之间的图像关系；p 19矩的概念；协方差矩阵；
P21 常见的连续函数的期望和方差数值表；
1.4特征函数p 23 (特征函数的定义)
1.5正态分布p 25（n 维正态分布；
1.6条件概率与条件期望p26
第二章，随机过程的概念与基本类型P29
2.1随机过程的基本概念P 32（状态空间和样本函数；
2.2随机过程的分布律p 34 (一维分布函数，一维概率密度函数；一维特征函数；n 维分布函数；p 39 联合分布函数以及联合概率密度，
2.3随机过程的数字特征p 40(1.二阶矩过程；2. 均值函数，均方值；方差函数；
3.自相关函数，协方差函数；相关系数；p 42上述几个数字特征的几种关系；互相关函数，互协方差函数；
2.4复随机过程p 46 (复随机过程的几个数学特征；
2.5几种重要的随机过程p 50(
独立过程；二阶矩过程；平稳过程；独立增量过程；正交增量过程；马尔可夫过程；高斯过程和维纳过程
第三章，泊松过程P62
3.1泊松过程的定义P 63 (几种简单的分布以及泊松分布；服从泊松分布的特
征P66
3.2泊松过程的基本性质p 69 (泊松分布的特征函数以及性质；泊松分布的数
字特征；p 72等待过程中的时间间隔T的函数分布；到达时间的分布；
到达时间的条件分布；
3.3非齐次泊松过程p 80( 具有跳跃强度的非齐次泊松分布的过程；均值和
方差；非齐次泊松分布的典型例题等车时间（p 83;）
3.4复合泊松过程p86(复合泊松分布的性质以及计算)
第四章，马尔可夫链P87
4.1马尔可夫链的概念及转移概率p 91（马尔可夫的无后效性公式；一步转移概率；当与时间无关时为平稳转移概率；一步转移概率矩阵；n 步转移概率的性质p 96;
4.2马尔可夫链的状态分类p 106(状态的周期性和非周期性；首次到达的概率；常返性的定义，遍历状态p 109；首次到达的概率与转移概率之间的关系；首次到达概率的例题；分析各状态的类型的例题p 114;
4.3状态空间的分解p 115 (闭集加上状态互通就等于不可约；吸收态，
4.4pij(n) 的渐近性质与平稳分布p 132 (平稳分布的平均返回时间)
第五章随机分析（随机过程的微积分）P134
5.1 收敛性的概念（随机过程的收敛性；2.以概率1收敛；依概率收敛；均方收敛；）
均方收敛的性质p 141 二阶矩收敛的充要条件，随机过程的极限，p 143
5.2 均方连续p 144（均方连续的定义；）
5.3均方导数P146 （均方可微的定义；均方可微准则的一些推导公式P148；
5.4 均方积分p 149 (均方积分性质p151; ；)
第六章平稳随机过程p155
6.1平稳过程的概念与性质( 严平稳过程的定义；宽平稳过程定义；判断平稳随机序列的例题P158 ；平稳随机过程相关函数的性质，)
6.2联合平稳过程P161（判断平稳随机过程，联合平稳随机过程的一些表述方法；互相关函数的性质；判断延迟是否是平稳过程p 164）
6.3平稳过程的各态历经性（p 167,时间均值和时间相关函数；均值具有各态历经性，相关函数具有各态历经性，两者都有各态历经性，则称之为遍历性；典
型例题p 172;
第七章平稳过程的谱分析P175
7.1平稳过程的谱密度p176（能谱密度函数；平均功率；功率密度；p 179求解平均功率的典型例题；）
7.2谱密度的性质（p 180,傅立叶变换（维纳-辛钦定理）；求解谱密度的例题p 183;
7.3窄带过程和白噪声过程p 186(冲击函数的性质；白噪声过程的定义；
7.4联合平稳过程的互谱密度p 188（互谱密度的定义和性质；联合平稳过程的谱密度，P191 求延迟的联合谱密度）
7.5平稳过程通过线性系统的分析P192，（线性系统和是不变系统的定义；线性输出的均值；相关函数；输出相关函数，输出与输入的互相关函数；）输出平稳过程的谱密度，。