第十九中学数学九年级下导学稿1.3

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2021年春人教版九年级数学下册全册导学案

第二十六章反比例函数26.1 反比例函数26.1.1 反比例函数——反比例函数的概念和解析式一、新课导入1.课题导入情景：如图，舞台灯光可以瞬间将黑夜变成如白昼般明亮,这样的效果是如何实现的？是通过改变电阻来控制电流的变化实现的.因为当电流I较小时,灯光较暗;反之,当电流I较大时,灯光较亮.问题：电流I，电阻R，电压U之间满足关系式U=IR，当U=220V时，你能用含有R的代数式表示I吗？那么I是R的函数吗？I是R的什么函数呢？本节课我们开始学习反比例函数.(板书课题)2.学习目标（1）理解反比例函数的概念.（2）会求反比例函数式.3.学习重、难点重点：反比例函数的概念，能求反比例函数式.难点：反比例函数的概念.二、分层学习1.自学指导（1）自学内容：教材P2.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：探究、思考、归纳、总结.（4）自学参考提纲：①形如y=kx(k为常数，k≠0)的函数叫做反比例函数，自变量x的取值范围是x≠0.②由y=kx可得，xy=k,若y=kx-n是反比例函数,则n=1.③反比例函数y=212mx--的比例系数k是122m-2.自学：学生可结合自学指导进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：了解学生是否会列函数关系式，是否会判断反比例函数.②差异指导：指导学生从形式和自变量的取值范围两个方面对比正比例函数理解反比例函数.（2）生助生：同桌之间、小组内交流、研讨.4.强化（1）反比例函数的定义；反比例函数式的变式;自变量x的取值范围；k的值.（2）练习：①写出下列问题中两个变量之间的函数关系式，并指出比例系数k的值.a.一个游泳池的容积为2000 m3，游泳池注满水所用的时间t(单位：h)随注水速度v(单位：m3/h) 的变化而变化；答案：2000,2000. t kv==b.某长方体的体积为1000 m3，长方体的高h(单位：m)随底面积S(单位：m2) 的变化而变化；答案：1000,1000.h kS==c.一个物体重100 N，物体对地面的压强p（N/m2）随该物体与地面的接触面积S（m2）的变化而变化.答案：100,100.p k S== ②下列函数中哪些是反比例函数?哪些是正比例函数?并指出比例系数. y=4xy x =3 y=2x - y=6x+1 y=x 2-1 y=21xxy=123 答案：反比例函数：y=2x-，比例系数为-2；xy=123，比例系数为123. 正比例函数：y=4x ，比例系数为4；yx=3，比例系数为3. ③若函数y=63mx- 是反比例函数，则m 的取值范围是m≠2.1.自学指导(1)自学内容：教材P3例1. (2)自学时间：5分钟.(3)自学方法：先学习例题的方法，然后模仿例题解答自学参考提纲中的问题.(4)自学参考提纲：①已知y 是x 的反比例函数，求其解析式时，一般先设y=kx,再由已知条件求出k 即可.②已知y 是x 的反比例函数，则y 与x 成反比例吗？如果y 与x 2成反比例，怎样设其解析式？y 与x 成反比例.可设y=2k x . ③已知y 与x2成反比例，并且当x=3时，y=4.a.写出y 关于x 的函数解析式；236y x ⎛=⎫ ⎪⎝⎭b.当x=1.5时，求y 的值；（y=16）c.当y=6时，求x 的值.（x=±6） 2.自学：学生可结合自学指导进行自学. 3.助学（1）师助生：①明了学情：关注学生对成反比例与反比例函数的理解. ②差异指导：指导学生辨析反比例函数与成反比例. （2）生助生：同桌之间、小组内交流、研讨. 4.强化：用待定系数法求反比例函数式的要点. 三、评价 1.学生自我评价.2.教师对学生的评价：（1）表现性评价；（2）纸笔评价（评价检测）.3.教师的自我评价（教学反思）.在学习了一次函数和二次函数后，反比例函数是初中学习阶段的第三种函数类型.在反比例函数教学过程中，应注意将反比例函数和正比例函数进行类比，帮助学生区分其异同，真正理解反比例函数的概念.另外要辨析反比例函数与成反比例的区别，引导学生通过交流研讨来弄清其区别.本节的教学重点是理解反比例函数的概念和求解函数解析式，教学过程中应强调自变量的取值范围以及反比例函数与实际问题的联系.教师最好能够多举实例，联系生活实际，将抽象问题具体化，从而帮助学生理解新知.一、基础巩固（70分）1.(10分)下列等式中，y 是x 的反比例函数的是（B ） A.y=21x 3 C.y=5x+6 D.x=1y2.(10分) 矩形的面积为4，一条边的长为x ，另一条边的长为y ，则y 与x 的函数解析式为4y x=3.(10分) 面积为30 cm 2的三角形的底y （cm ）与底边上的高x （cm ）的函数关系式是60y x=4.(10分) 指出下列函数中哪些是反比例函数，并指出k 的值. （1）y=2x（2）y=53x - （3）y=x 2 （4）y=2x+1解：（2）y=53x -是反比例函数，k=53-. 5.(10分) 写出下列函数解析式，并指出它们各是什么函数. (1)体积是常数V 时，圆柱的底面积S 与高h 的关系；(2)柳树乡共有耕地S 公顷，该乡人均耕地面积y 与全乡总人口x 的关系. 解：（1）S=V h ，反比例函数.（2）y=Sx,反比例函数. 6.(10分) 已知y 与x2成反比例，并且当x=6时y=5. （1）写出y 与x 之间的函数解析式；（2）求当x=12时y 的值. 解：（1）设y=2k x ,当x=6时，y=5，∴5=26k ,解得k=180，∴y=2180x. (2)把x=12代入y=2180x ，得y=218012=54 7.(10分) 已知y 与x 的部分取值满足下表：试猜想y 与x 的函数关系可能是你们学过的哪类函数，并写出这个函数的解析式．解：猜想：y 是x 的反比例函数，解析式为y=6x-. 二、综合应用（20分）8.(10分) 如果y 是z 的反比例函数，z 是x 的反比例函数，则y 是x 的什么函数？正比例函数.9.(10分) 如果y 是z 的反比例函数，z 是x 的正比例函数，则y 是x 的什么函数？反比例函数.三、拓展延伸（10分）10.(10分) 已知函数y=y 1+y 2，y 1与x 成正比例，y 2与x 成反比例，且当x=1时，y=4；当x=2时，y=5．（1）求y 与x 的函数关系式；（2）当x=4时，求y 的值．解：（1）设y1=k1x,y2=2k x,则y=k1x+2k x，∵当x=1时，y=4;当x=2时，y=5,∴k1+k2=4,2k1+2k x=5,∴k1=k2=2,∴y=2x+2x.(2)当x=4时，y=2×4+24=172.26.1.2 反比例函数的图象和性质第1课时反比例函数的图象和性质（1）——反比例函数的图象和性质一、新课导入1.课题导入我们都知道一次函数的图象是一条直线，二次函数的图象是抛物线，那么反比例函数的图象是什么样的呢？这节课我们一起来学习反比例函数的图象.2.学习目标（1）会用描点法画反比例函数的图象.（2）根据反比例函数的图象探究其性质.3.学习重、难点反比例函数的图象和性质.二、分层学习1.自学指导（1）自学内容：教材P4例2~P5思考.（2）自学时间：10分钟.（3）自学方法：学生观察、分析及归纳，通过对比理解进行总结.（4）自学参考提纲：①画出反比例函数y=6x与y=12x的图象.列表：描点连线：②观察反比例函数y=6x和y=12x的图象.a.两个函数的图象分别位于哪些象限？b.在每一个象限内，随着x的增大，y如何变化？你能由它们的解析式说明理由吗？③k>0函数y=kx的图象分别位于第一、第三象限在每一个象限内，y随x的增大而减小.2.自学：学生可结合自学指导进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：了解学生是否会列表，是否理解表中数据的意义以及画图中存在的问题.②差异指导：根据学情分类指导.（2）生助生：同桌之间、小组内交流、研讨.4.强化：k>0函数的图象分别位于第一、第三象限在每一个象限内，y随x的增大而减小.1.自学指导（1）自学内容：教材P5探究~P6归纳.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：学生回顾、分析、对比及归纳，进行总结.（4）自学参考提纲：①在平面直角坐标系中画出反比例函数y=3x的图象a.函数的图象位于哪些象限？b.在每一象限内，随着x的增大，y如何变化？你能用它们的解析式说明理由吗？②k<0函数y=kx的图象分别位于第二、第四象限在每个象限内,y都随x的增大而增大.③总结反比例函数y=kx的图象和性质.2.自学：学生可结合自学指导进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：了解学生是否会列表，是否理解表中的数据的意义以及画图中存在的问题.②差异指导：根据学情分类指导.（2）生助生：同桌之间、小组内交流、研讨.4.强化：总结反比例函数的图象和性质.三、评价1.学生自我评价.2.教师对学生的评价：（1）表现性评价；（2）纸笔评价（评价检测）.3.教师的自我评价（教学反思）.教学过程中指导学生用描点法画出反比例函数图象，学生通过观察图象总结出函数的性质.在教学条件允许的情况下，可借助计算机进行动态演示.这样，学生能够更直观、更清楚地看清函数的变化，从而使学生加深对函数性质的理解、自己总结规律、更好地帮助记忆.通过本课的教学，教师可深刻地体会到运用信息技术可加强数学课堂教学中的灵活性、直观性.虽然制作起来比较麻烦，但能使课堂教学达到预想不到的效果，使课堂教学效率也明显提高一、基础巩固（70分）1.(10分)下列图象中是反比例函数的图象的是（D）2.(10分) 函数y=-2x的图象大致是(A)3.(10分) 如图是下列四个函数中哪一个函数的图象（C）A.y=5xB.y=2x+3C.y=4xD.y=-3x4.(10分) 反比例函数y=5x的图象位于第一、第三象限.5.(10分) 反比例函数y=kx的图象如图所示，则k＜0;在图象的每一支上，y随x的增大而增大.6.(20分) 在同一坐标系上画出函数y=4x与y=4x的图象.二、综合应用（20分）7.(20分) 指出下列函数对应的图象：(1)y=2x; (2)y=2x; (3)y=-2x; (4)y=-2x.解：（1）y=2x的图象是D;(2)y=2x的图象是A；(3)y=-2x的图象是C；(4)y=-2x的图象是B.三、拓展延伸（10分）8.(10分) 下表反映了y与x之间存在某种函数关系，现给出了几种可能的函数关系式：y=x+7，y=x-5，y=-6x，y=13x-1.（1）从所给出的几个式子中选出一个你认为满足上表数据关系的函数表达式6yx=-；（2）请说明你选择这个函数表达式的理由．解：∵-6×1=-5×1.2=3×（-2）=4×（-1.5）=-6,∴6yx=-.26.1.2 反比例函数的图象和性质第2课时反比例函数的图象和性质（2）——反比例函数的图象和性质的运用一、新课导入1.课题导入问题：反比例函数的图象是什么？它有哪些性质？在学生回答问题后，提出本节任务，由此导入课题.2.学习目标（1）能灵活运用反比例函数的图象和性质解决一些较综合的问题.（2）领会函数解析式与函数图象之间的联系，体会数形结合及转化的思想方法.3.学习重、难点重点：利用反比例函数的图象和性质解决综合问题.难点：学会从图象上分析、解决问题.二、分层学习1.自学指导（1）自学内容：教材P7例3.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：结合自学参考提纲自学.（4）自学参考提纲：①已知反比例函数的图象上一点的坐标，怎样判断其图象位于哪些象限？②若点(a,b)在y=kx的图象上,则ab=k.③怎样运用待定系数法求反比例函数的解析式？④练习：已知一个反比例函数的图象经过点A(3，-4).a.这个函数的图象位于哪些象限？在图象的每一支上，y随x的增大如何变化？这个函数的图象位于第二、第四象限；在图象的每一支上，y随x的增大而增大.b.点B(-3，4),C(-2，6),D(3，4)是否在这个函数的图象上？点B、C在这个函数图象上，点D不在这个函数的图象上.2.自学：学生可结合自学指导进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：了解学生是否会通过观察图象理解反比例函数的性质.②差异指导：关注学困生和中间层的学生对性质的认识.（2）生助生：同桌之间、小组内交流、研讨.4.强化（1）反比例函数的图象上一点的坐标判断其图象所在的象限根据图象说性质.（2）若点(a,b)满足解析式y=kx（即ab=k），则点（a，b）在此函数的图象上.1.自学指导（1）自学内容：教材P7例4.（2）自学时间：6分钟.（3）自学方法：先学习例题中的方法，然后模仿例题解答自学参考提纲中的问题.（4）自学参考提纲：①反比例函数y=kx的图象既是中心对称图形，其对称中心是原点，又是轴对称图形，其对称轴是直线y=x和y=-x②怎样比较反比例函数y=kx的图象上横坐标已知的两点的纵坐标的大小？举例说明.③右图是反比例函数7nyx+=的图象的一支，根据图象回答下列问题：a.图象的另一支位于哪个象限？常数n的取值范围是什么？图象的另一支位于第四象限，n＜-7.b.在这个函数图象的某一支上任取点A (a，b）和点B (a′，b′）.如果a<a′，那么b和b′有怎样的大小关系？（b＜b′）2.自学：学生可结合自学指导进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：了解学生是否会顺利进行图象的位置、k的符号和函数的增减性之间的转换.②差异指导：根据学情分类指导.（2）生助生：同桌之间、小组内交流、研讨.4.强化（1）反比例函数图象上点的横纵坐标的积与k的关系；比较两个点的纵坐标的大小的方法.（2）练习：已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)在反比例函数1yx=的图象上，如果x1<x2,而且x1，x2同号，那么y1和y2有怎样的大小关系？为什么？答案：y1＞y2.因为函数1yx=的图象位于第一、第三象限，所以在每个象限内，y随x的增大而减小.因为x1<x2，所以y1＞y2.三、评价1.学生自我评价.2.教师对学生的评价：（1）表现性评价；（2）纸笔评价（评价检测）.3.教师的自我评价（教学反思）.反比例函数的图象和性质是反比例函数的教学重点，本课时的学习让学生掌握反比例函数的图象和性质的应用.学生在学习过程中会存在一些问题，应引导学生类比一次函数和二次函数进行学习，课堂上多一些比较，多一些交流，让学生领会函数解析式与函数图象之间的联系，体会数形结合及转化的思想方法.一、基础巩固（70分）1.(10分)已知反比例函数2kyx-=的图象位于第一、第三象限，则k的取值范围是（A）A.k＞2B.k≥2C.k≤2D.k＜22.(10分)如果点（3，-4）在反比例函数y=kx的图象上，那么下列各点中，在此图象上的是（C）A.(3,4)B.(-2，-6)C.(-2，6)D.(-3，-4)3.(10分)关于反比例函数2yx=-的图象，下列说法正确的是（C）A.经过点（-1，-2）B.y随x的增大而增大C.当x＜0时，图象在第二象限D.y随x的增大而减小4.(10分)已知函数3yx=（x＞0），那么（A）A.函数图象在第一象限内，且y随x的增大而减小B.函数图象在第一象限内，且y随x的增大而增大C.函数图象在第二象限内，且y随x的增大而减小D.函数图象在第二象限内，且y随x的增大而增大5.(10分)（多选）函数y kx=和y=kx(k≠0)的图象在同一平面直角坐标系中大致是（BD）6.(10分)反比例函数23kyx-=的图象在每个象限内，y随x的增大而增大，则k32＜．7.(10分)正比例函数y=x 的图象与反比例函数y=kx的图象有一个交点的纵坐标是2，求：（1）当x=-3时，反比例函数y 的值；（2）当-3＜x ＜-1时，反比例函数y 的取值范围解：（1）由题意知：正比例函数与反比例函数图象的一个交点是（2，2）,则k=2×2=4,即反比例函数的解析式为4y x =.当x=-3时，4433y ==--. （2）当-3＜x ＜-1时，反比例函数的图象在第三象限，y 随x 的增大而减小，又∵当x=-1时，y=-4,∴-4＜y ＜43-.二、综合应用（20分）8.(20分) 已知反比例函数w y x-=的图象的一支位于第一象限. （1）图象的另一支位于哪个象限？常数w 的取值范围是什么？（2）在这个函数图象的某一支上任取点A(a ，b ）和点B(a′，b′）.如果b ＞b′，那么a 和a′有怎样的大小关系？解：（1）图象的另一支位于第三象限，w ＞2.（2）a ＜a′. 三、拓展延伸（10分）9.(10分) 已知点A （x 1,y 1）、B （x 2,y 2）是反比例函数y=kx（k ＞0）图象上的两点，若x 1＜0＜x 2，则有（A ）A.y 1＜0＜y 2B.y 2＜0＜y 1C.y 1＜y 2＜0D.y 2＜y 1＜026.2 实际问题与反比例函数第1课时实际问题与反比例函数（1）——面积问题与装卸货物问题一、新课导入1.课题导入前面我们结合实际问题讨论了反比例函数，看到了反比例函数在分析和解决问题中所起的作用.这节课我们进一步探讨如何利用反比例函数解决实际问题.2.学习目标(1)掌握常见几何图形的面积（体积）公式.(2)能利用工作总量、工作效率和工作时间的关系列反比例函数解析式.(3)从实际问题中抽象出数学问题，建立函数模型，运用所学的数学知识解决实际问题.3.学习重、难点重点：面积问题与装卸货物问题.难点：分析实际问题中的数量关系，正确写出函数解析式.二、分层学习1.自学指导（1）自学内容：教材P12例1.（2）自学时间：8分钟.（3）自学指导：抓住问题的本质和关键，寻求实际问题中某些变量之间的关系.（4）自学参考提纲：①圆柱的体积=底面积×高，教材P12例1中，圆柱的高即是d，故底面积410Sd .②P12例1的第(2)问实际是已知S=500，求d.③例1的第(3)问实际是已知d=15，求S.④如图，科技小组准备用材料围建一个面积为60 m2的矩形科技园ABCD，其中一边AB靠墙，墙长为12 m，设AD的长为x m，DC的长为y m.a.求y与x之间的函数关系式；60 yx ⎛=⎫ ⎪⎝⎭b.若围成矩形科技园ABCD的三边材料总长不超过26 m，材料AD和DC 的长都是整米数，求出满足条件的所有围建方案.(AD=5 m,DC=12 m;AD=6m,DC=10 m;AD=10 m,DC=6 m.)2.自学：学生可结合自学指导进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：了解学生是否掌握利用面积（体积）公式列反比例函数关系式.②差异指导：辅导关注学困生.（2）生助生：同桌之间、小组内交流、研讨.4.强化(1)教材例1的解题思路和解答过程.(2)面积公式与体积公式中的反比例关系.(3)练习：已知某矩形的面积为20 cm2.①写出其长y与宽x之间的函数表达式；②当矩形的长为12 cm时，宽为多少?当矩形的宽为4 cm，长为多少?③如果要求矩形的长不小于8 cm，其宽最多是多少？答案：①20yx=②53cm;5 cm③52cm1.自学指导（1）自学内容：教材P13例2.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：认真分析例题，积极思考，结合自学参考提纲自学. （4）自学参考提纲：①工作总量、工作时间和工作效率（或速度）之间的关系是怎样的？②教材例2中这艘船共装载货物240吨，卸货速度v（吨/天）与卸货时间t（天）的关系是240 vt =.③如果列不等式求“平均每天至少要卸载多少吨”，你会怎样做？写出你的解答过程.④一司机驾汽车从甲地去乙地，以80千米/小时的平均速度用6小时到达目的地.a.当他按原路匀速返回时，汽车速度v（千米/小时）与时间t（小时）有怎样的函数关系？480 vt⎛=⎫ ⎪⎝⎭b.如果该司机必须在4小时之内返回甲地，则返程时的速度不得低于多少？(120千米/小时)c.若返回时，司机全程走高速公路，且匀速行驶，根据规定：最高车速不得超过120千米/小时，最低车速不得低于60千米/小时，试问返程所用时间的范围是多少？（4~8小时）2.自学：学生可结合自学指导进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：了解学生是否会列函数关系式，是否会根据反比例函数关系解决实际问题.②差异指导：指导学生从形式和自变量的取值范围两个方面对比正比例函数理解反比例函数.（2）生助生：同桌之间、小组内交流、研讨.4.强化（1）教材例2的解题思路和解答过程.（2）练习：某学校食堂为方便学生就餐，同时又节约成本，常根据学生多少决定开放多少售饭窗口，假定每个窗口平均每分钟可以售饭给3个学生，开放10个窗口时，需1小时才能对全部学生售饭完毕.①共有多少学生就餐？②设开放x个窗口时，需要y小时才能让当天就餐的同学全部买上饭，试求出y 与x 之间的函数关系式；③已知该学校最多可以同时开放20个窗口，那么最少多长时间可以让当天就餐的学生全部买上饭？答案：①1800个；②10y x=;③30分钟. 三、评价1.学生自我评价.2.教师对学生的评价：（1）表现性评价；（2）纸笔评价（评价检测）.3.教师的自我评价（教学反思）.函数是初中数学的难点之一，当函数遇到实际应用，可谓是难上加难，但也使解题多了几种途径.对于这些实际问题，要善于运用函数的观点去处理.因此在教学过程要注意培养学生的审题能力，理解文字中隐藏的已知条件，合理地建立函数模型，然后根据模型找出实际生活中的数据与模型中的哪些量相对应.将实际问题置于已有的知识背景中，用数学知识重新解释这是什么，可以是什么，逐步培养解决实际问题的能力.一、基础巩固（70分）1.(10分)某轮船装载货物300吨，到港后，要求船上货物必须不超过5日卸载完毕，则平均每天至少要卸载（B ）A.50吨B.60吨C.70吨D.80吨2.(10分) 用规格为50 cm×50 cm 的地板砖密铺客厅恰好需要60块．如果改用规格为a cm×a cm 的地板砖y 块也恰好能密铺该客厅，那么y 与a 之间的关系为（A ） A.2150000y a = B.150000y a = C.y=150000a 2 D.y=150000a3.(10分) 如果以12 m 3/h 的速度向水箱注水，5 h 可以注满.为了赶时间，现增加进水管，使进水速度达到Q （m 3/h ），那么此时注满水箱所需要的时间t （h ）与Q （m 3/h ）之间的函数关系为（A ） A.60t Q = B.t=60QC. 6012t Q =- D.6012t Q=+ 4.(10分) 如果等腰三角形的底边长为x ，底边上的高为y ，当它的面积为10时，x 与y 的函数关系式为（D ）A.10yx= B.5yx= C.20xy= D.20yx=5.(10分) 已知圆锥的体积V＝13Sh（其中S表示圆锥的底面积，h表示圆锥的高）．若圆锥的体积不变，当h为10 cm时，底面积为30 cm2，则h关于S的函数解析式为300 hS =.6.(10分)小艳家用购电卡购买了1000度电，那么这些电能够使用的天数m 与小艳家平均每天的用电度数n有怎样的函数关系？如果平均每天用电4度，这些电可以用多长时间？解：1000mn=;250天.7.(10分)某农业大学计划修建一块面积为2×106 m2的长方形试验田.（1）试验田的长y（单位：m）关于宽x（单位：m）的函数关系式是什么？（2）如果试验田的长与宽的比为2∶1，则试验田的长与宽分别是多少？解：（1）6210yx⨯=;(2)长：2×103 m，宽：103 m.二、综合应用（20分）8. (10分)某地计划用120~180天（含120天与180天）的时间建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为360万立方米.（1）写出运输公司完成任务所需的时间y（单位：天）与平均每天的工作量x（单位：万立方米）之间的函数关系式，并给出自变量x的取值范围；（2）由于工程进度的需要，实际平均每天运送土石方比原计划多5000立方米，工期比原计划减少了24天，原计划和实际平均每天运送土石方各是多少万立方米？解：（1）360yx=(2≤x≤3);（2）设原计划每天运送土石方x万立方米，实际每天运送土石方（x+0.5）万立方米.则360360240.5x x+=+（）.解得x=2.5.因此，原计划每天运送土石方2.5万立方米，实际每天运送土石方3万立方米.9.(10分)正在新建中的住宅楼主体工程已经竣工，只剩下楼体外表面需要贴瓷砖，已知楼体外表面的面积为5×103 m2.(1)所需瓷砖的块数n与每块瓷砖的面积S有怎样的函数关系？(2)为了使住宅楼的外观更漂亮，开发商决定采用灰、白和蓝三种颜色的瓷砖，每块砖的面积都是80 cm2，灰、白、蓝瓷砖使用比例为2∶2∶1，则需三种瓷砖各多少块？解：（1）n=5×103S；（2）设需灰、白、蓝三种瓷砖分别为2x、2x、x块.（2x+2x+x）·80=5×103×104x=1.25×105因此，需灰、白、蓝三种瓷砖分别为2.5×105块、2.5×105块、1.25×105块.三、拓展延伸（10分）10.(10分) 水产公司有一种海产品共2104千克，为寻求合适的销售价格，进行了8天试销，试销情况如下：观察表中数据，发现这种海产品每天的销售量y（千克）是销售价格x（元/千克）的函数，且这种函数是反比例函数、一次函数中的一种.（1）请你选择一种合适的函数，求出它的函数关系式，并简要说明不选择另外一种函数的理由；（2）在试销8天后，公司决定将这种海产品的销售价格定为150元/千克，并且以后每天都按这个价格销售，那么余下的这些海产品预计再用多少天可以全部售出？（3）在按（2）中定价继续销售15天后，公司发现剩余的这些海产品必须在不超过2天内全部售出，此时需要重新确定一个销售价格，使后面两天都按新的价格销售，那么新确定的价格最高不超过每千克多少元才能完成销售任务？解：（1）12000yx；不选一次函数是因为y与x之间不成正比例关系.（2）30+40+48+12000240+60+80+96+100=504(千克)，（2104-504）÷12000150=20（天）. （3）（20-15）×12000150÷2=200（千克），12000÷200=60（元/千克）.26.2 实际问题与反比例函数第2课时实际问题与反比例函数（2）——杠杆问题和电学问题一、新课导入1.课题导入古希腊科学家阿基米德曾说过：“给我一个支点，我可以把地球撬动.”你认为这可能吗？为什么？2.学习目标（1）探索运用反比例函数来解决物理中的实际问题.（2）能综合运用物理杠杆知识、电学知识和反比例函数的知识解决一些实际问题.3.学习重、难点运用反比例函数的知识解释物理现象.二、分层学习1.自学指导（1）自学内容：教材P14例3.（2）自学时间：10分钟.（3）自学方法：紧扣物理公式建立反比例函数模型.（4）自学参考提纲：①什么是杠杆定律？②教材例3第（2）问如何用不等关系来解决？③用反比例函数的知识解释：在我们使用撬棍时，为什么动力臂越长就越省力？④现在要求取消市场上使用杆秤的呼声越来越高.原因在于，一些不法商贩在卖货时将秤砣挖空或更换较小秤砣，使秤砣变轻，从而欺骗顾客.a.如图1,2所示，对于同一物体，哪个用了较轻的秤砣？b.在称同一物体时，秤砣到支点的距离y与所用秤砣质量x之间满足反比例关系；c.当秤砣变轻时，称得的物体变重，这正好符合哪个函数的哪些性质？。

九年级数学导学案全册

九年级数学导学案全册一、整体介绍九年级数学导学案全册是为了帮助九年级学生系统地学习和掌握数学知识而设计的教学辅助材料。

本导学案旨在以清晰的结构和详细的内容，帮助学生理解和掌握每个知识点，并培养学生的问题解决能力和数学思维。

二、导学目标本导学案的目标是帮助学生在九年级学习阶段掌握以下内容：1. 复习和巩固七、八年级学到的数学知识；2. 学习并理解九年级新引入的数学概念和方法；3. 培养学生的问题解决能力和逻辑思维。

三、具体内容1. 单元一：代数运算本单元将复习和巩固整数、有理数的加减乘除运算，并引入一次、二次方程的解法。

通过练习提高学生的计算能力和代数运算技巧。

2. 单元二：平面几何本单元将复习和巩固平面图形的性质和计算方法，包括三角形、四边形和圆的周长、面积计算。

同时引入椭圆、双曲线等二次曲线的基本性质和计算方法。

3. 单元三：立体几何本单元将复习和巩固立体图形的性质和计算方法，包括球体、圆柱体、圆锥体和棱柱、棱锥的体积和表面积计算。

同时引入三角锥、圆锥、三角棱柱等复杂立体图形的计算方法。

4. 单元四：数据统计与概率本单元将复习和巩固数据统计中的表格、图表的制作和分析方法，同时引入概率的基本概念和计算方法。

通过实际案例和练习，培养学生的数据分析和概率计算能力。

四、学习方法和建议1. 在学习过程中，学生应注意理解每个知识点的定义、性质和计算方法。

2. 学生可以通过课堂讲解、课后习题练习以及自主学习的方式来巩固所学内容。

3. 遇到困难和疑惑时，学生可以寻求老师和同学的帮助，或参考相关的数学学习资料。

五、总结九年级数学导学案全册是九年级学生学习数学的重要辅助材料。

通过学习和掌握本导学案中的知识，学生将能够提高数学思维能力，解决实际问题，并为高中数学的学习打下坚实的基础。

希望本导学案能够帮助九年级学生在数学学习中取得优秀的成绩，为未来的学习和发展打下坚实的基础。

勾股定理导学案一

结论 2：等腰直角三角形三边之间的特殊关系：斜腰直角三角形有上述性质，其它直角三角形也有这个性质吗？观察下面两幅图：
C A B B
填表： A 的面积左图右图
C A
B 的面积
C 的面积
你是怎样得到正方形 C 的面积的？与同伴交流．
2
鸡西市第十九中学初三数学组
B
（3）已知 c=17,b=8, 求 a。
（4）已知 a：b=1：2,c=5, 求 a。
（5）已知 b=15，∠A=30°，求 a，c。
2、已知 ABC ，AB=17 AC=10,BC 边上高 AD=8，则 BC 长为
3
。
鸡西市第十九中学初三数学组
3、以直角三角形的两条直角边为边向外作正方形，他们它们面积分别是 6 和 3.则斜边长是。。 BC= ．
【实验探究】（1）、同学们画一个直角边为 3cm 和 4cm 的直角△ABC，用刻度尺量出 AB 的长。
（2）、再画一个两直角边为 5 和 12 的直角△ABC，用刻度尺量 AB 的长
问题：发现 32 + 42 与 52 ，52 + 122 和 132 的关系吗？，即 32 + 4 2
鸡西市第十九中学初三数学组
鸡西市第十九中学学案
班级姓名
学科时间学习目标重点难点
课题勾股定理课型 2014 年月日人教版 1．探索勾股定理，记住勾股定理的内容. 2．能运用勾股定理由直角三角形的已知两边求第三边. 3．能运用勾股定理解一些简单的实际问题勾股定理的内容及证明。勾股定理的证明
猜想命题：如果直角三角形的两条直角边分别为 a 、 b ，斜边为 c ，那么 _________________ 【试着填一填】在 Rt△ABC 中，∠C=90°①若 a=6，b=8，则 c=______； ②若 a=15，c=25，则 b=______； ③若 c=61，b=60，则 a=____ _。【勾股定理的验证】（赵爽弦图）已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C 的对边为 a、b、c。

人教版九年级数学下册全册导学案

学科数学课题26.1.2反比例函数的图象和性质班级授课者时间审核者课型学习目标1.通过画反比例函数图象，训练作图能力 2.通过从图象中获取信息.训练识图能力.3.通过对图象性质的研究，训练探索能力和语言组织能力.重点会确定一个单项式的系数和次数；难点会确定一个单项式的系数和次数；探究新知（一）小组合作学习自学主题一：自学教材P4页．做—做观察反比例函数y=x2，y=x4,y=x6的图象它们有什么共同点? 总结它们的共同特征.(1)函数图象分别位于哪几个象限?(2)在每一个象限内，随着x值的增大.y的值是怎样变化的?能说明这是为什么吗？(3)反比例函数的图象可能与x轴相交吗?可能与y轴相交吗？为什么？请大家先独立思考，再互相交流得出结论.对于问题 (3)，可能会有学生认为图象在逐渐接近x轴,y轴，所以当自变量取很小或很大的数时，图象能与x轴y轴相交.可以从函数式的定义域、函数与方程等角度进行解释。

总结：当k>0时，函数图象分别位于第象限内，并且在每一个象限内，y随x 的增大而 .主题二：议一议用类推的方法来研究y＝-x2，y＝-x4,y=-x6的图象有哪些共同特征?结论：反比例函数y ＝xk的图象，当k>0时，在每一象限内，y 的值随x 值的增大而；当k<0时，在每一象限内，y 的值随x 值的增大而 . 对学对子间检查自学内容并相互讨论群学 1、组长带领组员进行讨论上述的相关问题，并检查本组成员的完成情况。

2、组长组织好本组要展示的内容和展示人员的安排。

（二）展示展示一：主题一：反比例函数的图像展示二：主题一：反比例函数的性质课堂练习1．已知反比例函数xky -=3，分别根据下列条件求出字母k 的取值范围：（1）函数图象位于第一、三象限（2）在第二象限内，y 随x 的增大而增大2．函数y ＝－ax ＋a 与xay -=（a ≠0）在同一坐标系中的图象可能是（）3．在平面直角坐标系内，过反比例函数xky =（k ＞0）的图象上的一点分别作x 轴、y 轴的垂线段，与x 轴、y 轴所围成的矩形面积是6，则函数分析式为课堂小结通过本节课的学习，你有什么收获和体会？还有什么疑惑？课后练习1．若函数x m y )12(-=与xmy -=3的图象交于第一、三象限，则m 的取值范围是 2．反比例函数xy 2-=，当x ＝－2时，y ＝；当x ＜－2时；y 的取值范围是；当x ＞－2时；y 的取值范围是学科数学课题27.1图形的相似班级授课者时间审核者课型学习目标1.通过对生活中的事物或图形的观察，从而加以识别相似的图形．2.通过观察、归纳等数学活动，能用所学的知识去解决问题。

北师大版数学九年级下册导学案

解：甲梯中，tan =
乙梯中，tan =
，
∵ tan
tan ，∴
5m
梯更陡．
α 8m
甲
13m 5m
β
乙
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北师大版九年级数学学案九年级下册数学
例 2:在△ACB 中，∠C = 90°，AC = 6， tan B 3 ，求 BC、AB 的长．
4
分析：通过正切函数的定义求直角三角形其它边的长．
∴△AB1C1∽
∴ B1C1 = AC1
从而说明当锐角 A 大小不变时，∠A 的对边与其邻
边的比值
.
3．正切定义：把∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作 tanA，即
tan
A
A的( A的(
) )=
a b
B
B1
A C1
第 2 题图
B
斜边c
A的对边a
α
h
CA
A的邻边b C
l 第 5 题图
第 3 题图
O
B
C
D
A
四、课堂检测
1．某商场有一自动扶梯，其倾斜角为 30°.高为 7 m，扶梯的长度
是
.
2．Rt△ABC 中，∠C=90°,∠A、∠B、∠C 的对边分别为 a、b、c，则当 a=5、
c=13 时，有 sinA= ，cosA= .
3．Rt△ABC 中，∠C=90°若 sinA= 1 时，tanA=
S
A
O
B
8．如图，某阶梯的形状如图所示，其中线段 AB=BC,AB 部分的坡角为 45，
BC 部分的坡角为 30，AD=1.5m．如果每个台阶的高不超过 20 ㎝，那么教学反思这一阶梯至少有多少个台阶？（最后一个台阶的高不足 20 ㎝时，按一个

初三数学导学案(全集)

第一章一元二次方程§1.1 一元二次方程（1）一、学习目标：1．在具体情境中，理解一元二次方程相关概念及其解的概念；2．通过自主探索和小组合作，会列出问题情境中的方程，并学会估算一元二次方程的解；3．积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲，在数学活动中，获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。

二、学习重点：一元二次方程的概念.难点：如何把实际问题转化为数学方程.三、学习导航：A、预习感知1.回忆并说出一元一次方程的概念及特征.2.按要求完成下列问题.(1)剪一块面积是150cm2的矩形铁片,使它的长比宽多5cm,这块铁片应该怎样剪?如果设这块铁片的宽为xcm,则长为cm,则可得方程为①(2)一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如图所示，它的长为8m,宽为5m, 如果地毯中央长方形图案的面积为18㎡,那么花边有多宽?如果设草坪的宽度为xm,则可得方程为②（3）要组织一次排球邀请赛，参赛的每两队之间都要比赛一场，依据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，请问全校有多少个队参赛？如果设有x个队参加,则可得方程为③B、探索新知：1.整理上述问题中的方程①、②、③并回答下列问题:(1)方程左右两边的代数式是整式吗?(2)分析整理的方程与一元一次方程的异同点.(3)你能类比一元二次方程的定义得到一元二次方程的定义吗?2.一元二次方程的概念：像这样的等号两边都是_____,只含有___个未知数，并且未知数的最高次数是___的方程叫做一元二次方程。

3.一元二次方程的特征: 4．一元二次方程的一般形式为:其中ax 2,bx,c 分别叫二次项,一次项和常数项;a,b 分别称为二次项系数和一次项系数. 5.注意：①任何一个一元二次方程都可以化为一般形式：二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号。

②二次项系数0a ≠是一个重要条件，不能漏掉，为什么？ C 、典型例题[例1] 判断下列方程是否是一元二次方程？并说明理由。

人教版九年级数学下册《导学案》全套

人教版九年级数学下册《导学案》全套第二十六章反比例函数26.1 反比例函数26.1.1 反比例函数学习目标：1. 理解并掌握反比例函数的概念. (重点)2. 从实际问题中抽象出反比例函数的概念，能根据已知条件确定反比例函数的解析式. (重点、难点)一、知识链接下列问题中，变量间具有函数关系吗？如果有，请写出它们的解析式.(1) 京沪线铁路全程为1463 km，某次列车的平均速度v (单位：km/h) 随此次列车的全程运行时间t (单位：h) 的变化而变化；(2) 某住宅小区要种植一块面积为1000 m2的矩形草坪，草坪的长y (单位：m) 随宽x (单位：m)的变化而变化；(3) 已知北京市的总面积为1.68×104 km2，人均占有面积S (km2/人) 随全市总人口n (单位：人) 的变化而变化.一、要点探究探究点1：反比例函数的概念问题：观察以上三个解析式，你觉得它们有什么共同特点？【要点归纳】一般地，形如xky=(k为常数，k ≠0) 的函数，叫做反比例函数，其中x 是自变量，y 是函数.思考1：反比例函数xky=(k≠0) 的自变量x的取值范围是什么？思考2：反比例函数除了可以用xky=(k ≠0) 的形式表示，还有没有其他表达方式？【要点归纳】反比例函数有三种表达方式：①xky=(k ≠0)；②1-=kxy(k ≠0)；③xy=k(k ≠0).【针对训练】下列函数是不是反比例函数？若是，请指出k 的值.①y=3x-1；②13-=xy；③3xy-=；④xy111-=；⑤21xy=.合作探究【典例精析】已知函数()4221-+-=m m x m y 是反比例函数，求 m 的值.【方法总结】已知某个函数为反比例函数，只需要根据反比例函数的 x 的次数为－1，且系数不等于0.【针对训练】1. 当m= 时，22-=m x y 是反比例函数.2. 已知函数()()xk k y 12+-=是反比例函数，则k 必须满足 .探究点2：确定反比例函数的解析式已知 y 是 x 的反比例函数，并且当 x=2时，y=6. (1) 写出 y 关于 x 的函数解析式； (2) 当 x=4 时，求 y 的值.【方法总结】用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤：①设出含有待定系数的反比例函数解析式，②将已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式，得到关于待定系数的方程；③解方程，求出待定系数； ④写出反比例函数解析式.【针对训练】已知 y 与 x+1 成反比例，并且当 x = 3 时，y = 4. (1) 写出 y 关于 x 的函数解析式； (2) 当 x = 7 时，求 y 的值．探究点3：建立简单的反比例函数模型例3 人的视觉机能受运动速度的影响很大，行驶中司机在驾驶室内观察前方物体是动态的，车速增加，视野变窄. 当车速为50 km/h 时，视野为80 度，如果视野f (度) 是车速v (km/h) 的反比例函数，求f 关于v 的函数解析式，并计算当车速为100 km/h 时,视野的度数.例4 如图，已知菱形ABCD 的面积为180平方厘米，设它的两条对角线AC，BD的长分别为x，y. 写出变量y与x 之间的函数关系式，并指出它是什么函数.二、课堂小结1. 下列函数中，y 是 x 的反比例函数的是 ( ) A.x y 21-= B.21x y -= C.x y +=21 D.xy 11-= 2. 下列实例中，x 和 y 成反比例函数关系的有 ( ) ① x 人共饮水10 kg ，平均每人饮水 y kg ；②底面半径为 x m ，高为 y m 的圆柱形水桶的体积为10 m ³；③用铁丝做一个圆，铁丝的长为 x cm ，做成圆的半径为 y cm ；④在水龙头前放满一桶水，出水的速度为 x ，放满一桶水的时间 yA. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 3. 填空：(1) 若x m y 1-=是反比例函数，则 m 的取值范围是 . (2) 若()xm m y 2+=是反比例函数，则m 的取值范围是 .(3) 若122---=m m xm y 是反比例函数，则m 的值是 . 4. 已知变量 y 与 x 成反比例，且当 x = 3时，y =－4. (1) 写出 y 关于 x 的函数解析式； (2) 当 y=6 时，求 x 的值.5. 小明家离学校 1000 m ，每天他往返于两地之间，有时步行，有时骑车．假设小明每天上学时的平均速度为 v ( m/min )，所用的时间为 t ( min )． (1) 求变量 v 和 t 之间的函数关系式；(2) 小明星期二步行上学用了 25 min ，星期三骑自行车上学用了 8 min ，那么他星期三上学时的平均速度比星期二快多少？参考答案自主学习一、知识链接解：(1) t v 1463= (2)xy 1000= (3) n S 41068.1⨯=合作探究一、要点探究探究点1：反比例函数的概念【针对训练】解：②是，k=3；④是111-=k . 【典例精析】解：因为()4221-+-=m m xm y 是反比例函数，所以⎩⎨⎧≠--=-+01,1422m m m 解得m =－3.【针对训练】1. ±1 2. k ≠2且k ≠-1 .探究点2：确定反比例函数的解析式解：（1）设x k y =. 因为当 x=2时，y=6，所以有26k =，解得 k =12. 因此x y 12=. （2）把 x=4 代入x y 12=，得3412==y .【针对训练】解：(1) 设1+=x ky ，因为当 x = 3 时，y =4 ，所以有134+=k ，解得 k =16，因此116+=x y .(2) 当 x = 7 时，21716=+=y .探究点3：建立简单的反比例函数模型解：设v k f =. 由题意知，当 v =50时，f =80，所以5080k=解得 k =4000. 因此vf 4000=，当 v=100 时，f =40.所以当车速为100 km/h 时视野为40度.解:因为菱形的面积等于两条对角线长乘积的一半，所以18021==xy S ABCD 菱形.所以变量 y 与 x 之间的关系式为xy 360=，它是反比例函数. 当堂检测1. A2.B3.(1) m ≠1 (2) m ≠0且m ≠-2 (3) -14. 解：(1) 设x k y =. 因为当 x = 3时，y =－4，所以有34k=- ，解得 k =－12. 因此，y 关于 x 的函数解析式为xy 12-=(2) 把 y=6 代入x y 12-=，得x126-=，解得 x =－2.5. 解：（1）tv 1000=(t>0)．（2）当 t ＝25 时，40251000==v ；当 t ＝8 时，12581000==v ，.125－40＝85 ( m/min )．∴k 1=1，k 2=－2.∴y = x －11+-x（2）把 x =21-代入 (1) 中函数关系式，得 y =211-.第二十六章反比例函数 26.1.2 反比例函数的图象和性质第1课时反比例函数的图象和性质学习目标：1. 经历画反比例函数的图象、归纳得到反比例函数的图象特征和性质的过程 (重点、难点)2. 会画反比例函数图象，了解和掌握反比例函数的图象和性质. (重点)3. 能够初步应用反比例函数的图象和性质解题. (重点、难点)一、知识链接回顾我们上一课的学习内容，你能写出 200 m 自由泳比赛中，游泳所用的时间 t(s) 和游泳速度v(m/s) 之间的数量关系吗？试一试，你能在坐标轴中画出这个函数的图象吗？二、要点探究探究点1：反比例函数的图象和性质画出反比例函数x y 6=与xy 12=的图象. 【提示】画函数的图象步骤一般分为：列表→描点→连线. 需要注意的是在反比例函数中自变量 x 不能为 0. 解：列表：描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描绘出相应的点．连线：用光滑的曲线顺次连接各点，即可得x y 6=与xy 12=的图象．思考观察这两个函数图象，回答问题：（1）每个函数图象分别位于哪些象限？（2）在每一个象限内，随着x 的增大，y 如何变化？你能由它们的解析式说明理由吗？（3）对于反比例函数xky =(k ＞0)，考虑问题(1)(2)，你能得出同样的结论吗？【要点归纳】反比例函数xky =(k ＞0) 的图象和性质：由两条曲线组成，且分别位于第一、三象限，它们与 x 轴、y 轴都不相交；在每个象限内，y 随 x 的增大而减小. 【针对训练】反比例函数xy 3=的图象大致是 ( )A. B. C. D.例2 反比例函数xy 8=的图象上有两点 A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，且A ，B 均在该函数图象的第一象限部分，若 x 1＞x 2，则 y 1与y 2的大小关系为 ( ) A. y 1 > y 2 B. y 1 = y 2 C. y 1 < y 2 D. 无法确定【提示】因为8＞0，且 A ，B 两点均在该函数图象的第一象限部分，根据 x 1＞x 2，可知y 1，y 2的大小关系观察当 k =－2，－4，－6时，反比例函数xky =的图象，有哪些共同特征？思考回顾上面我们利用函数图象，从特殊到一般研究反比例函数xky =(k ＞0) 的性质的过程，你能用类似的方法研究反比例函数xky =(k ＜0)的图象和性质吗？【要点归纳】反比例函数xky =(k ＜0) 的图象和性质：由两条曲线组成，且分别位于第二、四象限它们与x 轴、y 轴都不相交；在每个象限内，y 随x 的增大而增大. 【针对训练】点(2，y 1)和(3，y 2)在函数xy 2-=的图象上，则y 1 y 2(填“>”“<”或“=”).例 3 已知反比例函数()721-+-=a a x a y ，在每一个象限内，y 随 x 的增大而增大，求a的值.【针对训练】已知反比例函数()10283--=m x m y 在每一个象限内，y 随着 x 的增大而减小，求 m 的值．反比例函数xky =(k ≠0) k k > 0k < 0图象图象位于第一、三象限图象位于第二、四象限性质在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小在每一个象限内，y 随x 的增大而增大1. 反比例函数xy5.1=的图象在 ( )A. 第一、二象限B. 第一、三象限C. 第二、三象限D. 第二、四象限2. 在同一直角坐标系中，函数y = 2x 与xy1-=的图象大致是( )3. 已知反比例函数xmy2-=的图象在第一、三象限内，则m的取值范围是________.4. 下列关于反比例函数xy12-=的图象的三个结论：（1）经过点(－1，12) 和点(10，－1.2)；（2）在每一个象限内，y 随x 的增大而减小；（3）双曲线位于第二、四象限.其中正确的是________(填序号).5. 已知反比例函数xky=的图象过点(－2，－3)，图象上有两点A (x1，y1)，B (x2，y2)，且x1 > x2 > 0，则y1－y2________0.6. 已知反比例函数52-=mmxy，它的两个分支分别在第一、第三象限，求m 的值.能力提升：7. 已知点(a－1，y1)，(a＋1，y2)在反比例函数xky=(k＞0)的图象上，若y1＜y2，求a的取值范围.当堂检测参考答案合作探究一、要点探究探究点1：反比例函数的图象和性质例1 解：列表：-1 -56 -23 -2 -3 -6 6 3 2 23 561 -2 -512 -3 -4 -6 -12 12 6 4 3 512 2 描点、连线如图所示.【针对训练】 C 例2 C 【针对训练】<例3 解：由题意得a 2+a －7=－1，且a －1<0．解得a=－3.【针对训练】解：由题意得 m 2－10=－1，且 3m －8＞0．解得m=3.当堂检测1.B2. D3. m ＞24. （1）（3）5. ＜6. 解：因为反比例函数52-=mmx y 的两个分支分别在第一、第三象限，所以有m 2－5=－1，且m ＞0，解得m=2. 能力提升：7. 解：由题意知，在图象的每一支上，y 随 x 的增大而减小.① 当这两点在图象的同一支上时，∵y 1＜y 2，∴a －1＞a+1，无解； ②当这两点分别位于图象的两支上时， ∵y 1＜y 2，∴必有 y 1＜0＜y 2. ∴a －1＜0，a+1＞0，解得－1＜a ＜1.故 a 的取值范围为－1＜a ＜1．26.1.2 反比例函数的图象和性质第2课时反比例函数的图象和性质的综合运用学习目标：1. 理解反比例函数的系数k 的几何意义，并将其灵活运用于坐标系中图形的面积计算中. (重点、难点)2. 能够解决反比例函数与一次函数的综合性问题. (重点、难点)3. 体会“数”与“形”的相互转化，学习数形结合的思想方法，进一步提高对反比例函数相关知识的综合运用能力. (重点、难点)一、知识链接1.反比例函数的图象是什么？2.反比例函数的性质与k 有怎样的关系？三、要点探究探究点1：用待定系数法求反比例函数的解析式已知反比例函数的图象经过点A (2，6).(1) 这个函数的图象位于哪些象限？y 随x 的增大如何变化？(2) 点B(3，4)，C(212-，544-)，D(2，5)是否在这个函数的图象上？【针对训练】已知反比例函数xky =的图象经过点 A (2，3)．（1）求这个函数的表达式；（2）判断点 B (－1，6)，C(3，2) 是否在这个函数的图象上，并说明理由；（3）当－3< x <－1 时，求 y 的取值范围．探究点2：反比例函数图象和性质的综合例2 如图，是反比例函数xm y 5-=图象的一支. 根据图象，回答下列问题： (1) 图象的另一支位于哪个象限？常数 m 的取值范围是什么？(2) 在这个函数图象的某一支上任取点 A (x 1，y 1) 和点B (x 2，y 2). 如果x 1＞x 2，那么 y 1 和y 2 有怎样的大小关系？【针对训练】如图，是反比例函数xky -=1的图象，则 k 的值可以是（） A ．－1 B ．3 C ．1 D ．0探究点3：反比例函数解析式中 k 的几何意义操作 1. 在反比例函数xy 4=的图象上分别取点P ，Q 向x 轴、y 轴作垂线，围成面积分别为S 1，S 2的矩形，填写下列表格：S 1的值 S 2的值 S 1与S 2的关系猜想 S 1，S 2 与 k 的关系 P (2，2) ，Q (4，1)2. 若在反比例函数xy 4-=中也用同样的方法分别取 P ，Q 两点，填写表格：S 1的值 S 2的值 S 1与S 2的关系猜想 S 1，S 2 与 k 的关系 P (－1，4)，Q (－2，2)猜想由前面的探究过程，可以猜想：若点P 是反比例函数xky =图象上的任意一点，作 PA 垂直于 x 轴，作 PB 垂直于 y 轴，矩形 AOBP 的面积与k 的关系是S 矩形 AOBP =|k|.证明我们就 k < 0 的情况给出证明：【要点归纳】对于反比例函数xky =，点 Q 是其图象上的任意一点，作 QA 垂直于 y 轴，作QB 垂直于x 轴，矩形AOBQ 的面积与 k 的关系是S 矩形AOBQ = |k|.推理：△QAO 与△QBO 的面积和 k 的关系是S △QAO =S △QBO =2k .【针对训练】如图，在函数xy 1=(x ＞0)的图象上有三点A ，B ，C ，过这三点分别向 x 轴、y 轴作垂线，过每一点所作的两条垂线与x 轴、 y 轴围成的矩形的面积分别为S A ，S B ，S C ，则（）A. S A >S B >S CB. S A <S B <S CC. S A =S B =S CD. S A <S C <S B【典例精析】例3 如图，点A 在反比例函数xky =的图象上，AC 垂直 x 轴于点 C ，且 △AOC 的面积为 2，求该反比例函数的表达式．【针对训练】1. 如图，过反比例函数xky =图象上的一点 P ，作PA ⊥x 轴于点A. 若△POA 的面积为 6，则 k = .2. 若点 P 是反比例函数图象上的一点，过点 P 分别向x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为点 M ，N ，若四边形PMON 的面积为 3，则这个反比例函数的关系式是 .例4 如图，P ，C 是函数xy 4=(x>0) 图象上的任意两点，PA ，CD 垂直于 x 轴. 设 △POA 的面积为 S 1，则(1) S 1 = ；(2）梯形CEAD 的面积为 S 2，则 S 1 与 S 2 的大小关系是 S 1 S 2；（3）△POE 的面积 S 3 和 S 2 的大小关系是S 2 S 3. （填“＞”，“＜”或者“＝”）【针对训练】如图，直线与双曲线交于 A ，B 两点，P 是AB 上的点，△ AOC 的面积 S 1、△ BOD 的面积 S 2、 △ POE 的面积 S 3 的大小关系为 .例5 如图，点 A 是反比例函数xy 2=(x ＞0)的图象上任意一点，AB//x 轴交反比例函数xy 3-=(x ＜0) 的图象于点 B ，以 AB 为边作平行四边形 ABCD ，其中点 C ，D 在 x 轴上，则 S ABCD =___.【方法总结】解决反比例函数有关的面积问题，可以把原图形通过切割、平移等变换，转化为较容易求面积的图形.【针对训练】如图，函数 y ＝－x 与函数xy 4-=的图象相交于 A ，B 两点，过点 A ，B 分别作 y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，则四边形ACBD 的面积为（） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8探究点4：反比例函数与一次函数的综合思考在同一坐标系中，函数xk y 1=和 y= k 2 x+b 的图象大致如下，则 k 1 、k 2、b 各应满足什么条件？例6 函数 y=kx －k 与xky =（k ≠0）的图象大致是（）【提示】由于两个函数解析式都含有相同的系数 k ，可对 k 的正负性进行分类讨论，得出符合题意的答案.【针对训练】在同一直角坐标系中，函数xay -=与 y = ax+1 (a ≠0) 的图象可能是（）例7 如图是一次函数 y 1=kx+b 和反比例函数xmy =2的图象，观察图象，当 y 1﹥y 2 时，x 的取值范围为 .【针对训练】如图，一次函数 y 1= k 1x + b (k 1≠0) 的图象与反比例函数xk y 22=的图象交于 A ，B 两点，观察图象，当y 1＞y 2时，x 的取值范围是．例8 已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点 P (－3，4).试求出它们的解析式，并画出图象.想一想：这两个图象有何共同特点？你能求出另外一个交点的坐标吗？说说你发现了什么？【针对训练】反比例函数xy 12=的图象与正比例函数 y = 3x 的图象的交点坐标为．二、课堂小结1. 如图，P 是反比例函数xky=的图象上一点，过点P 作PB ⊥x 轴于点B，连接O P ，且△OBP 的面积为2，则k 的值为（）A. 4B. 2C. －2D.不确定2. 反比例函数xky=的图象与一次函数y = 2x +1 的图象的一个交点是(1，k)，则反比例函数的解析式是____ ___．3. 如图，直线y=k1x + b 与反比例函数xky2=(x＞0)交于A，B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式k1x +b ＞xk2的解集是__________．4. 已知反比例函数xky=的图象经过点A (2，－4).（1）求k 的值；当堂检测（2）这个函数的图象分布在哪些象限？y 随 x 的增大如何变化? （3）画出该函数的图象；（4）点 B (1，－8) ，C (－3，5)是否在该函数的图象上？5. 如图，直线 y=ax + b 与双曲线xky =交于A(1，2)，B(m ，－4)两点，（1）求直线与双曲线的解析式；（2）求不等式 ax + b ＞xk的解集.6. 如图，反比例函数xy 8-=与一次函数 y =－x + 2 的图象交于 A ，B 两点. （1）求 A ，B 两点的坐标；（2）求△AOB 的面积.参考答案自主学习一、知识链接1.解：反比例函数的图象是双曲线2.解：当 k > 0 时，两条曲线分别位于第一、三象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小；当 k < 0 时，两条曲线分别位于第二、四象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大.合作探究一、要点探究探究点1：用待定系数法求反比例函数的解析式解：（1）因为点 A (2，6) 在第一象限，所以这个函数的图象位于第一、三象限；在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小. （2）设这个反比例函数的解析式为x k y =，因为点 A (2，6)在其图象上，所以有26k=，解得 k =12.所以反比例函数的解析式为xy 12=. 因为点 B ，C 的坐标都满足该解析式，而点 D 的坐标不满足，所以点 B ，C 在这个函数的图象上，点 D 不在这个函数的图象上. 【针对训练】解：（1）∵ 反比例函数xky =的图象经过点 A(2，3)， ∴ 把点 A 的坐标代入表达式，得23k =，解得 k = 6.∴ 这个函数的表达式为xy 6=. （2）分别把点 B ，C 的坐标代入反比例函数的解析式，因为点 B 的坐标不满足该解析式，点 C 的坐标满足该解析式，所以点 B 不在该函数的图象上，点 C 在该函数的图象上．（3）∵ 当 x = －3时，y =－2；当 x = －1时，y =－6，且 k > 0，∴ 当 x < 0 时，y 随 x 的增大而减小，∴ 当－3 < x < －1 时，－6 < y < －2. 探究点2：反比例函数图象和性质的综合解：（1）因为这个反比例函数图象的一支位于第一象限，所以另一支必位于第三象限.又因为这个函数图象位于第一、三象限，所以m －5＞0，解得m ＞5.（2）因为 m －5 ＞ 0，所以在这个函数图象的任一支上，y 都随 x 的增大而减小，因此当x 1＞x 2时，y 1＜y 2. 【针对训练】B探究点3：反比例函数解析式中 k 的几何意义证明解：设点 P 的坐标为 (a ，b)，∵点 P (a ，b) 在函数x k y =的图象上，∴ak b =，即 ab=k.若点 P 在第二象限，则 a<0，b>0，∴ S 矩形 AOBP =PB ·PA=－a ·b=－ab=－k ；同理，∴ S 矩形 AOBP =PB ·PA=a · (－b)=－ab=－k.综上，S 矩形 AOBP =|k|. 【针对训练】C 【典例精析】例3 解：设点 A 的坐标为(x A ，y A )，∵点 A 在反比例函数xky =的图象上，∴ x A ·y A ＝k.又∵ S △AOC ＝21 x A ·y A = 21·k ＝2，∴ k ＝4.∴反比例函数的表达式为xy 4=. 【针对训练】1.-12 2. xy x y 33-==或例4 (1) 2 (2） > （3）=【针对训练】S 1 = S 2 < S 3 解析：由反比例函数面积的不变性易知 S 1 = S 2. PE 与双曲线的一支交于点 F ，连接 OF ，易知，S △OFE = S 1 = S 2，而 S 3＞S △OFE ，所以 S 1，S 2，S 3的大小关系为S 1 = S 2 < S 3例5 5 【针对训练】D探究点4：反比例函数与一次函数的综合例6 D 【针对训练】B例7 －2< x <0 或 x >3解析：y1﹥y2 即一次函数图象处于反比例函数图象的上方时. 观察右图，可知－2< x <0 或 x >3.【针对训练】 -1< x <0 或 x >2例8 解：设正比例函数、反比例函数的解析式分别为 y=k 1x 和xk y 2=. 由于这两个函数的图象交于点 P (－3，4)，则点 P (－3，4) 是这两个函数图象上的点，即点 P 的坐标分别满足这两个函数解析式.所以4=-3k 1，342-=k .解得341-=k ，k 2=-12 则这两个函数的解析式分别为x y 34-=和xy 12-=，它们的图象如图所示.【针对训练】（2,6）或（-2,-6）当堂检测1. A2. xy 3=3. 1＜x ＜54. 解：（1）∵ 反比例函数xky =的图象经过点 A (2，－4)，∴ 把点 A 的坐标代入表达式，得24k=-，解得k = －8.（2）这个函数的图象位于第二、四象限，在每一个象限内，y 随 x 的增大而增大. （3）如图所示：（4）该反比例函数的解析式为xy 8-=. 因为点 B 的坐标满足该函数解析式，而点 C 的坐标不满足该函数解析式，所以点 B 在该函数的图象上，点 C 不在该函数的图象上.5. 解：（1）把 A(1，2)代入双曲线解析式中，得 k = 2，故双曲线的解析式为xy 2=. 当y =－4时，m=21-,∴ B （21-，－4）.将A(1，2)，B （21-，－4）代入 y=ax + b ，得，a=4,b=-2;∴直线的解析式为y=4x-2. （2）根据图象可知，若 ax + b ＞x k ，则 x ＞1或21-＜x ＜0. 6. 解:（1）联立两个解析式，解得⎩⎨⎧=-=4,2y x 或⎩⎨⎧-==.2,4y x 所以A(－2，4)，B(4，－2). （2）一次函数与x 轴的交点为M (2，0)，∴OM=2. 作AC ⊥x 轴于C ，BD ⊥x 轴于D ，则AC=4，BD=2. ∴S △OMB =OM ·BD ÷2=2×2÷2=2， ∴S △OMA =OM ·AC ÷2=2×4÷2=4， ∴S △AOB =S △OMB +S △OMA =2+4=6.26.2 实际问题与反比例函数第1课时实际问题中的反比例函数学习目标：1. 体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力.2. 能够通过分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型解决问题，进一步提高运用函数的图象、性质的综合能力. (重点、难点)3. 能够根据实际问题确定自变量的取值范围．一、知识链接、1.如果要把体积为15 cm3的面团做成拉面，你能写出面条的总长度y (单位：cm) 与面条粗细(横截面积) S (单位：cm2)的函数关系式吗？2.你还能举出我们在日常生活、生产或学习中具有反比例函数关系的量的实例吗？四、要点探究探究点1：实际问题与反比例函数【典例精析】市煤气公司要在地下修建一个容积为104m3的圆柱形煤气储存室.(1) 储存室的底面积S (单位：m2) 与其深度d (单位：m)有怎样的函数关系?(2) 公司决定把储存室的底面积S 定为500 m2，施工队施工时应该向下掘进多深?(3) 当施工队按(2) 中的计划掘进到地下15 m 时，公司临时改变计划，把储存室的深度改为15 m. 相应地，储存室的底面积应改为多少(结果保留小数点后两位)?想一想：第(2) 问和第(3) 问与过去所学的解分式方程和求代数式的值的问题有何联系？【针对训练】1. 矩形面积为6，它的长y 与宽x 之间的函数关系用图象可表示为（）2. 如图，某玻璃器皿制造公司要制造一种容积为1升(1升＝1立方分米)的圆锥形漏斗．(1) 漏斗口的面积S (单位：dm2)与漏斗的深d (单位：dm) 有怎样的函数关系?(2) 如果漏斗的深为1 dm，那么漏斗口的面积为多少立方分米？(3) 如果漏斗口的面积为60 cm2，则漏斗的深为多少?码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物，装载完毕恰好用了8天时间.(1) 轮船到达目的地后开始卸货，平均卸货速度v (单位：吨/天)与卸货天数t 之间有怎样的函数关系?(2) 由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过5天卸载完毕，那么平均每天至少要卸载多少吨?【方法总结】在解决反比例函数相关的实际问题中，若题目要求“至多”、“至少”，可以利用反比例函数的增减性来解答.【针对训练】某乡镇要在生活垃圾存放区建一个老年活动中心，这样必须把1200 立方米的生活垃圾运走．(1) 假如每天能运x 立方米，所需时间为y 天，写出y与x 之间的函数关系式；(2) 若每辆拖拉机一天能运12 立方米，则5 辆这样的拖拉机要用多少天才能运完？(3) 在(2) 的情况下，运了8 天后，剩下的任务要在不超过6 天的时间内完成，那么至少需要增加多少辆这样的拖拉机才能按时完成任务？一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80千米/时的平均速度用6 小时达到乙地.(1) 甲、乙两地相距多少千米？(2) 当他按原路匀速返回时，汽车的速度v 与时间t 有怎样的函数关系？二、课堂小结1. 面积为2 的直角三角形一直角边长为x，另一直角边长为y，则y 与x 的变化规律用图象可大致表示为（）2. 体积为20 cm3的滴胶做成圆柱体模型，圆柱体的高度y (单位：cm) 与底面积S (单位：cm2)的函数关系为，若要使做出来的圆柱粗1 cm2，则圆柱的高度是cm.3. A、B两城市相距720千米，一列火车从A城去B城.(1) 火车的速度v (千米/时) 和行驶的时间t (时)之间的函数关系是________．(2) 若到达目的地后，按原路匀速返回，并要求在3 小时内回到A 城，则返回的速度不能低于______．4. 某户现在有若干度电，现在知道：按每天用6度电计算，五个月(按15天计算) 刚好用完. 若每天的耗电量为x 度，那么这些电能维持y 天.(1) 则y 与x 之间有怎样的函数关系？(2) 画出函数的图象；(3) 若每天节约1 度，则这些电能维持多少天？当堂检测5. 王强家离工作单位的距离为3600 米，他每天骑自行车上班时的速度为v 米/分，所需时间为t 分钟．(1) 速度v 与时间t 之间有怎样的函数关系？(2) 若王强到单位用15 分钟，那么他骑车的平均速度是多少？(3) 如果王强骑车的速度最快为300 米/分，那他至少需要几分钟到达单位?6. 在某村河治理工程施工过程中，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数y (天) 与每天完成的工程量x (m/天) 的函数关系图象如图所示.(1) 请根据题意，求y 与x 之间的函数表达式；(2) 若该工程队有2 台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠15 m，问该工程队需用多少天才能完成此项任务？(3) 如果为了防汛工作的紧急需要，必须在一个月内(按30 天计算)完成任务，那么每天至少要完成多少m？参考答案合作探究一、要点探究探究点1：实际问题与反比例函数【典例精析】解：（1）根据圆柱体的体积公式，得Sd =104，∴S 关于d 的函数解析式为dS 410=（2）把 S = 500 代入d S 410=，得d410500=，解得d = 20.如果把储存室的底面积定为 500 m ²，施工时应向地下掘进 20 m 深.（3）根据题意，把 d =15 代入d S 410=，得15104=S 解得S ≈666.67.当储存室的深度为15 m 时，底面积应改为 666.67 m ². 【针对训练】1. B 2. 解：（1）dS 3=. （2）把 d =1 代入解析式，得S =3.所以漏斗口的面积为 3 dm 2.（3）60 cm 2 = 0.6 dm 2，把 S =0.6 代入解析式，得d =5.所以漏斗的深为 5 dm.解：（1）设轮船上的货物总量为 k 吨，根据已知条件得k =30×8=240，所以 v 关于 t 的函数解析式为tv 240=. （2）把 t =5 代入t v 240=，得48240==tv .从结果可以看出，如果全部货物恰好用 5 天卸载完，则平均每天卸载 48 吨. 而观察求得的反比例函数的解析式可知，t 越小，v 越大. 这样若货物不超过 5 天卸载完，则平均每天至少要卸载 48 吨. 【针对训练】解：（1）xy 1200=. （2）x =12×5=60，代入函数解析式得20601200==y 答：若每辆拖拉机一天能运 12 立方米，则 5 辆这样的拖拉机要用 20 天才能运完. （3）运了8天后剩余的垃圾有1200－8×60=720 (立方米)，剩下的任务要在不超过6天的时间完成，则每天至少运720÷6=120 (立方米)，所以需要的拖拉机数量是：120÷12=10 (辆)，即至少需要增加拖拉机10－5=5 (辆). 例3 解：（1）80×6=480 (千米) 答：甲、乙两地相距 480 千米. （2）由题意，得 vt=480，整理得tv 800=(t ＞0). 当堂检测1. C2. S y 20=20 3.(1) tv 720=_____ (2) 240千米/时 4. 解：（1）电的总量为6×15=90 (度)，根据题意有xy 90=(x ＞0). （2）如图所示.（3）∵ 每天节约 1度电，∴ 每天的用电量为 6－1=5 (度)，1859090===x y ， ∴ 这些电能维持 18 天． 5. 解：（1）tv 3600=（2）把 t =15代入函数的解析式，得：240153600==v . 答：他骑车的平均速度是 240 米/分. （3）把 v =300 代入函数解析式得：t3600300=，解得：t =12．答：他至少需要 12 分钟到达单位． 6. 解：（1）xy 1200=（2）由图象可知共需开挖水渠 24×50=1200 (m)，2 台挖掘机需要 1200÷(2×15)=40 (天). （3）1200÷30=40 (m)，故每天至少要完成40 m ．26.2 实际问题与反比例函数第2课时其他学科中的反比例函数学习目标：1. 通过对“杠杆原理”等实际问题与反比例函数关系的探究，使学生体会数学建模思想和学以致用的数学理念，并能从函数的观点来解决一些实际问题. (重点)2. 掌握反比例函数在其他学科中的运用，体验学科的整合思想. (重点、难点)一、知识链接公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现：若杠杆上的两物体与支点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡. 后来人们把它归纳为“杠杆原理”. 通俗地说，杠杆原理为：阻力×阻力臂=动力×动力臂.试在下图中标出对应的量.五、要点探究探究点1：反比例函数在其他学科中的应用【典例精析】例1 小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1200 N 和0.5 m. (1) 动力F 与动力臂l有怎样的函数关系? 当动力臂为1.5 m时，撬动石头至少需要多大的力?(2) 若想使动力F 不超过题(1) 中所用力的一半，则动力臂l至少要加长多少?自主学习课堂探究。

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课题：《1.3. 三角函数的有关计算》
【学习目标】
1．能够使用计算器由已知锐角求出三角函数值；
2．理解俯角、仰角，并借助计算器解决含三角函数的实际问题。

导学过程
【学习过程】
一、自主探究及巩固：
【探究1】利用计算器计算锐角三角函数值（函数值一般都保留三个有效数字）
【自我巩固】
1．用计算器计算（保留三个有效数字）
sin35°=____________；tan46°=_________； sin15°+cos61°+tan76°=__________
2．已知菱形ABCD，AB=10m，∠A=40°，则菱形ABCD的面积为_______
2
cm(结果精确到0.12
cm)
3．亮亮家在盖新房，木工师傅将做好的人字架放在墙边如图所示，亮亮很兴奋，他用尺子量得屋架为等腰三角形，中柱CD=1m，又量得∠A=27°，请你计算跨度AB的长是________。

(结果精确到0.01m)
【探究2】仰角、俯角及其实际应用
【技巧点拨】在解决仰角、俯角有关问题时，一般将问题转化
为由水平线、铅垂线与视线构成的直角三角形的问题，所以在
解题时，应先画出几何图形，辅助线的添助一般是作平行线或
垂线，并借助平行线的性质来转化相等的角，从而进行相关的
计算。

【自我巩固】
4．如图，在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°,则船与观测者之间的水平距离BC＝米．
5．如图，某河道要建造一座公路桥，要求桥面离地面高度AC为3米，引桥的坡角∠ABC为15°，则引桥的水平距离BC的长是米(精确到0.1米
) .
6．如图，为了测量某建筑物的高AB，在距离B点25米的D处安置侧倾器，测得点A的仰角为70°16′，已知侧倾器的高CD=1.52米，求建筑物的高AB(结果精确到0.1m)。

【课内互动】
1．如图，在高80米的瞭望塔顶A处测得其正西两个浮标B、C的俯角分别为27°和
34°，则两浮标间的距离BC≈________米(精确到0.1米)。

2．为倡导“地摊生活”，常选择以自行车作为代步工具，如图1所示是一辆自行车的实物图，车架档
AC 与CD 的长分别为45cm ，60cm ，且它们相互垂直，座杆CE
的长为20cm ，点,,A C E 在同一条直线上，且75CAB ∠=︒，如图2.
（1）求车架档AD 的长
（2）求车座点E 到车架档AB 的距离.
（记过精确到1cm ，参考数据：
sin 750.959cos 750.2588tan 75 3.7321︒≈︒≈︒≈，，）。