Hodge theory in the Sobolev topology for the de Rham complex
光滑闭流形上的Lefschetz不动点定理
南开大学硕士学位论文光滑闭流形上的Lefschetz不动点定理姓名：***申请学位级别：硕士专业：基础数学指导教师：***2012-05中文摘要中文摘要这是一篇读书笔记，参照文献【ｌ】，用热方程的方法证明光滑流形上的Ｌｅｆｓｅｈｅｔｚ不动点定理，并给出计算Ｌｅｆｓｃｈｅｔｚ数的公式。
文章先介绍基本概念，包括傅立叶变换，拟微分算子与象征，椭圆链复形；利用Ｈｏｄｇｅ分解定理将Ｌｅｆｓｃｈｅｔｚ数与椭圆算子的零特征值特征子空间相联系，再联系到固定椭圆算子的所有特征子空间，从而转化为热方程的解的积分核的迹，此热方程有椭圆算子，解由椭圆算子决定，最后利用椭圆算子的象征变形，再积分，得到结果。
关键词：拟微分算子，象征，椭圆算子，热方程，Ｌｅｆｓｃｈｅｔｚ不动点定理ＡｂｓｔｒａｃｔＡｂｓｔｒａｃｔＴｈｉｓｐａｓｓａｇｅｉｓａｒｅａｄｉｎｇｎｏｔｅｏｆｔｈｅｂｏｏｋ【１】ｂｙｔｈｅｍｅｔｈｏｄｏｆｈｅａｔｅｑｕｍｉｏｎ，ｇｉｖｅａｐｒｏｏｆｏｆｔｈｅｃｌａｓｓｉｃａｌＬｅｆｓｃｈｅｔｚＦｉｘｅｄＰｏｉｎｔＴｈｅｏｒｅｍ，ａｎｄｇｉｖｅｔｈｅＬｅｆｓｃｈｅｔｚＦｉｘｅｄＰｏｉｎｔＴｒａｎｓｆｏｒｍ，Ｐｓｅｕｄｏ．Ｆｏｒｍｕｌａ．Ｆｉｒｓｔｗｅｉｎｔｒｏｄｕｃｅｔｈｅｂａｓｉｃｃｏｎｃｅｐｔｓ，ｉｎｃｌｕｄｉｎｇＦｏｕｒｉｅｒＤｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌＯｐｅｒａｔｏｒａｎｄｓｙｍｂｏｌ，ｅｌｌｉｐｔｉｃｃｏｍｐｌｅｘ；ａｓｓｏｃｉａｔｅＬｅｆｓｃｈｅｔｚｎｕｍｂｅｒｔｏｔｈｅｚｅｒｏｅｉｇｅｎｖａｌｕｅｅｉｇｅｎｓｐａｃｅｏｆｅｌｌｉｐｔｉｃｏｐｅｒａｔｏｒｓｂｙＨｅｄｇｅＤｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎＴｈｅｒｅｏｍ，ｍｏｒｅｏｖｅｒ，ｔｏａｌｌｔｈｅｅｉｇｅｎｓｐａｃｅｏｆｅｌｌｉｐｔｉｃｏｐｅｒａｔｏｒｓ，ｔｈｅｎｃｈａｎｇｅｉｎｔｏｔｈｅｔｒａｃｅｏｆｉｎｔｅ－ｇｒａｌｋｅｒｎｅｌｏｆｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆｔｈｅｈｅａｔｅｑｕｍｉｏｎ，ｗｈｉｃｈａｒｅｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄｂｙｅｌｌｉｐｔｉｃｏｐｅｒａｔｏｒｓｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ；ａｔｌａｓｔ，ｕｓｅｔｈｅｓｙｍｂｏｌｏｆｔｈｅｅｌｌｉｐｔｉｃｏｐｅｒａｔｏｒ，ｗｈｉｃｈｗｅｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｔｅａｎｄｃｏｍｂｉｎｅ，ｔｈｅｎｍｕｔｌｉｐｌｙｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅｆａｃｔｏｒａｎｄｉｎｔｅｇｒａｌｔｈｅｍｔｏｇｅｔｔｈｅｒｅｓｕＲ．ＫｅｙＷｏｒｄｓ：Ｐｓｅｕｄｏ－ＤｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌＯｐｅｒａｔｏｒｓ，ｓｙｍｂｏｌ，ｅｌｌｉｐｔｉｃｏｐｅｒａｔｏｒ，ｈｅａｔｅｑｕａｏＴｈｅｏｒｅｍｔｉｏｎ，ＬｅｆｓｃｈｅｔｚＦｉｘｅｄＰｏｉｎｔｎＣｈａｐｔｅｒ１ＩｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎＣｈａｐｔｅｒ１ＩｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎＬｅｔＭｂｅａｃｏｍｐａｃｔｔｏｐｏｌｏｇｙｓｐａｃｅ，ａｓｓｕｍｅＭｈｏｍｅｏｍｏｒｐｈｉｓｍｆｉｎｉｔｅｓｉｍｐｌｅｃｏｍ·ｐｌｅｘｅｓ，ａｍａｐｆ：Ｍ＿÷Ｍｉｎｄｕｃｅｓａｌｉｎｅａｒｍａｐｏｆｔｈｅｈｏｍｏｌｏｇｙｇｒｏｕｐ＾：绋（肘，Ｑ）－－ｔ，炜（肘，Ｑ），ｔｈｅｎＬｅｆｓｃｈｅｔｚｎｕｍｂｅｒｉｓｄｅｆｉｎｅｄｂｙＬ（，）＝∑（一１）ｐＴｒ（ｙ，ｏｎＨｐ（Ｍ，Ｑ））ＰＴｈｅＬｅｆｓｃｈｅｔｚｆｉｘｅｄｐｏｉｎｔｔｈｅｏｒｅｍｉｓ：ｉｆＬ（ｆ）≠０，ｔｈｅｎｆｈａｓｆｉｘｅｄｐｏｉｎｔ．Ｉｎ【７】，ｔｈｅｒｅｉｓａｐｒｏｏｆｂｙｔｏｐｏｌｏｇｙｍｅｔｈｏｄ．Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ＇ｗｅａｓｓｕｍｅＭｔｏｂｅａｓｍｏｏｔｈｃｌｏｓｅｄｍａｎｉｆｏｌｄ，ｍｅａｎｓａｓｍｏｏｔｈｃｏｍｐａｃｔｍａｎｉｆｏｌｄｗｉｔｈｏｕｔｂｏｕｎｄａｒｙ，ａｎｄｆ：Ｍ－－－｝Ｍｂｅａｓｍｏｏｔｈｍａｐ．广ｄｅｆｉｎｅｓａｍａｐｏｎｔｈｅｃｏｈｏｍｏｌｏｇｙｏｆＭａｎｄｔｈｅＬｅｆｓｃｈｅｔｚｎｕｍｂｅｒｏｆｆｉｓｄｅｆｉｎｅｄｂｙ：Ｌ（，）＝∑，（－］）ＰＴｒ（ｆ＂ｏｎｎｐ（肘；ｃ））ＷｅｇｅｔｔｈｅｍａｉｎｒｅｓｕｌｔＴｈｅｏｒｅｍ１．１．（ＬｅｆｉｃｈｅｔｚＦｉｘｅｄＰｏｉｎｔＴｈｅｏｒｅｍ）矿己（力≠Ｏ，ｔｈｅｎｆｈａｓｆｏｃｅｄｐｏｉｎｔ．ｉ．ｅｔｈｅｒｅｅｘｉｓｔｘ∈ｍ，ｓｕｃｈｔｈａｔｆ（ｘ）＝工Ｔｈｅｏｒｅｍ１．２．（ＣｌａｓｓｉｃａｌＬｅｆｓｃｈｅｔｚＦｉｘｅｄＰｏｉｎｔＦｏｒｍｕｌａ）Ｌｅｔｆ：Ｍ—＋Ｍｂｅｓｍｏｏｔｈｗｉｔｈｉｓｏｌａｔｅｄｎｏｎ－ｄｅｇｅｎｅｒａｔｅｆｉｘｅｄｐｏｉｎｔｓ．Ｔｈｅｎ：￡（，）＝Ｅ（－１）ｐＴｒ（ｆ。
学数学的必看GTM经典著作下载三
学数学的必看GTM经典著作下载三202 Introduction to Topological Manifolds,John M.Lee(拓扑流形入门)镜像下载(4874KB，英文版，DJVU格式，支持关键词检索，点击打开下载页面，支持迅雷、快车下载)203 The Symmetric Group,Bruce E.Sagan 204 Galois Theory,Jean-Pierre Escofier 205 Rational Homotopy Theory,Yves Félix,Stephen Halperin,Jean-Claude Thomas(有理同伦论)镜像下载(5220KB，英文版，DJVU格式，支持关键词检索，点击打开下载页面，支持迅雷、快车下载)有理同伦论是由Sullivan创立的。
Felix是新鲁汶大学(法语鲁汶大学)的教授，第二作者是著名的华人逻辑学家王浩的学生。
206 Problems in Analytic Number Theory,M.Ram Murty 207 Algebraic Graph Theory,Godsil,Royle(代数图论)镜像下载(4062KB，英文版，DJVU格式，支持关键词检索，点击打开下载页面，支持迅雷、快车下载)Godsil是加拿大滑铁卢大学的教授，代数组合图论的权威。
曾任JAC的主编，现在是组合学期刊(JC)电子版的主编。
Royle是UWA的副教授。
208 Analysis for Applied Mathematics,Ward Cheney 209 AShort Course on Spectral Theory,William Arveson(谱理论简明教程)镜像下载(4366KB，英文版，DJVU格式，支持关键词检索，点击打开下载页面，支持迅雷、快车下载)本书给读者提供谱论-被称之为解决算子理论基本问题的基本工具，并主要计算了无限维空间特别是希尔伯特空间算子的谱。
sobelev不等式
sobelev不等式
在数学分析中有一类关于Sobolev空间中的范数的Sobolev不等式。
这些不等式可以用于证明Sobolev嵌入定理，给出某些Sobolev 空间的包含关系。
而Rellich-Kondrachov定理指出在稍强的条件下，一些Sobolev空间可以被紧嵌入到另一个空间。
这类不等式得名于谢尔盖·利沃维奇·索博列夫。
令W(R)表示包含R上所有满足前k阶弱导数属于L的实值函数的Sobolev空间。
其中k是非负整数且有1≤p<∞。
Sobolev嵌入定理的第一部分指出如果k>ℓ且满足1≤p<q<∞和(k−ℓ)p<nSobolev嵌入的这个部分可由Morrey不等式直接得出。
直观的说，这种包含关系表示足够高阶的弱导数存在性意味着一些经典导数的连续性并且该嵌入连续。
在k=1且ℓ=0的特殊情形，Sobolev嵌入定理给出其中p是p的Sobolev共轭
这个Sobolev嵌入定理的特例可由Gagliardo–Nirenberg–Sobolev不等式直接得出。
Sobolev嵌入定理的第二部分用于嵌入到Hölder空间C(R)。
Sobolev嵌入的这个部分可由Morrey不等式直接得出。
直观的说，这种包含关系表示足够高阶的弱导数存在性意味着一些经典导数的连续性。
sobolev嵌入定理_概述及解释说明
sobolev嵌入定理概述及解释说明1. 引言1.1 概述：Sobolev嵌入定理是数学分析领域的一个重要结果，它描述了函数在不同强度和光滑度条件下的嵌入关系。
具体来说，该定理关注的是函数空间中的积分指标和偏导数指标之间的关系。
通过该定理，我们可以研究函数在更高阶导数下的性质，并将其应用于许多数学和物理问题的解决。
1.2 文章结构：本文将对Sobolev嵌入定理进行概述及解释说明。
首先，我们将介绍定理的基本概念和背景知识，包括其历史发展和相关定义。
随后，我们将详细探讨Sobolev 空间及其性质，为读者提供对该定理所涉及的函数空间有更加全面深入的认识。
接着，我们将介绍一些关于证明Sobolev嵌入定理的方法与技巧，包括Gagliardo-Nirenberg-Sobolev不等式的应用、逼近理论以及欧几里得域和流形上证明该定理时常用的技巧等。
然后，我们会探讨一些应用与拓展领域,例如偏微分方程解的存在性和唯一性结果的应用、函数空间与调和分析中的应用以及数值计算中的应用与算法发展。
最后，我们将总结文章并对未来关于Sobolev 嵌入定理研究方向进行展望。
1.3 目的：本文的目标是系统介绍和解释Sobolev嵌入定理，使读者了解该定理在数学分析领域中的重要性和广泛应用。
通过本文，读者可以深入理解Sobolev空间及其性质，掌握证明该定理的方法与技巧，并对其在偏微分方程、函数空间与调和分析以及数值计算等领域中的应用有更加全面深入的认识。
同时，我们也希望通过本文对未来关于Sobolev嵌入定理研究方向进行展望，激发读者进一步深入探索该领域并作出新的研究贡献。
2. Sobolev嵌入定理:2.1 定理介绍Sobolev嵌入定理是数学分析领域中的一个重要结果，它描述了函数在Sobolev 空间中的嵌入关系。
具体来说，该定理给出了当函数在某个Sobolev空间中具有一定的偏导数次数时，它也同时属于其他更高阶的函数空间。
Evans PDE Solution Chapter 5 Sobolev
=
u u . 1−t C 0,β
t C 0,1
Remark 0.1. There is a general convexity theorem for Higher-order H¨older norm (due to Ho¨rmander), see Helms [3, chapter 8].
3. Omit.
with
exponents
pair
(p,
p,
p p−2
).
11. Proof. Given K ⊂ U , compact. Then u ∈ L1(K). Note that D(u ∗ ηε) = Du ∗ ηε = 0. Since U is connected, u ∗ ηε = c which converges to u in Lp and hence to u(y) for some y (up to subsequence), and consequently c converges to some constant c. Therefore, u = constant a.e. in K and hence in U .
{un(x)} is decreasing to 0 for each x ∈ U , MCT tells us un p,U → 0. On the other hand,
un p,∂U = 1 p,∂U is a positive constant. Hence
T un p,U = un p,∂U → ∞
10. Proof. (Sketch) (b) is similar to (a). To prove (a), we start with the formula in Hint, do
黎曼洛赫定理
黎曼洛赫定理
黎曼洛赫定理（Riemann-Roch theorem）是代数几何中的一个基本定理，它描述了一个紧黎曼曲面上的某个向量丛的闭截面数和它的曲率的关系。
该定理是由德国数学家贝尔纳·黎曼（Bernhard Riemann）和奥地利数学家阿尔弗雷德·洛赫（Alfred Loewy）在19世纪末、20世纪初独立发现的。
黎曼洛赫定理的形式化陈述如下：
设X是一个紧黎曼曲面，L是一个互异纤维丛上的线丛， K_X是X的基本（光滑）亏格.
那么，L有截面 s_0 ... s_N-1；记 r_i 是 s_i 零点的个数， C是一个代表 L 的曲线，它的亏格为 g_C，γ是X的商映射，其森林为Γ, 那么L的欧拉特征数满足：
χ(L)=deg(L)-r, 其中r=r0+···+rN−1.
其中，deg(L)是L在X上的度，即L在X的所有点上的局部度之和。
r是L的零点数，即L的每个截面s_i在X上的零点数之和。
这个零点数可能是负整数。
黎曼洛赫定理可以看作是代数几何中的一种高深的计数问题。
它表述了在一个紧黎曼曲面上某个向量丛的闭截面数，以及曲率、零点数和亏格之间的关系。
在研究黎曼曲面上的代数流形、奇异点和其他几何结构时，这个公式非常有用。
黎曼洛赫定理是对我们对几何结构的理解做出了贡献的数学定理之一。
在数学和物理的研究中，这个定理依然发挥着重要的作用。
代数几何的发展离不开黎曼洛赫定理这个基础工具，它也是我们在探索自然界的基本现象和理论中的必要工具。
H型群上的Hardy-Littlewood-Sobolev不等式和Stein-Wiess不等式
H型群上的Hardy-Littlewood-Sobolev不等式和Stein-Wiess不等式胡亭曦【摘要】研究了H型群上一类带权的HLS不等式,也就是所谓Stein-Wiess不等式,并由此得到了H型群上的HLS不等式.通过建立H型群上一类积分算子的Lp-Lq有界性,利用此积分算子与Stein-Wiess不等式的关系,得到所求不等式,从而推广了Heisenberg群上的Stein-Wiess不等式.%A Stein-Weiss inequality on H-type groups is studied.By the inequality,the HLS inequality on H-type groups is also derived.By proving the Lp-Lq estimate of an integral operator,the main result is established based on the relationship between the integral operator and the inequality,and this result implies Stein-Weiss inequality on Heisenberg group.【期刊名称】《纺织高校基础科学学报》【年(卷),期】2013(026)002【总页数】5页(P231-235)【关键词】HLS不等式;Stein-Wiess不等式;H型群【作者】胡亭曦【作者单位】西北工业大学应用数学系,陕西西安710129【正文语种】中文【中图分类】O1780 引言欧氏空间上的Hardy-Littlewood-Sobolev不等式［1-4］（简写为HLS不等式）在分析与几何中都有着重要的应用.欧氏空间RN上的HLS不等式为设1＜r，s＜∞，0＜λ＜N，且满足1／r+1／s+λ／N=2，记‖f‖p为函数f的Lp（RN）范数，则存在与函数f，g无关的正常数Cr，λ，N，使得Heisenberg群上的 HLS不等式由Folland和Stein得到［5］.不久前Frank和Lieb［6］又给出了Heisenberg群上r=s条件下HLS不等式的最佳形式，其中的证明没有用到对称递减重排.Stein和Wiess在文献［7］中建立了RN上带权的HLS不等式，即Stein-Wiess 不等式：设1＜r，s＜∞，0＜λ＜N，α+β≥0，且满足λ+α+β≤N，α＜N／r′ （r′为r的共轭数），β＜N／s′ （s′为s的共轭数），1／r+1／s+λ／N=2，则存在与函数f，g无关的正常数Cα，β，r，λ，N，使得最近Han等人［8］将这一结果推广到Heisenberg群上.本文将Stein-Wiess不等式推广到H型群上，由此得到H型群上的HLS不等式.1 H型群和主要结果1.1 H型群关于H型群的更多信息可参见文献［9］.一个H型群N是一个二步Carnot群，其李代数n=V⊕T上的内积记为〈·，·〉；对每个z∈V可以定义V上的自同构映射Jz满足而且〈z，z〉=1时，Jz 是正交映射.记n= （1／2）dimV，m=dimT，在群N 上固定一个坐标u= （z，t），则z∈R2n，t∈Rm，群运算具有形式其中 Uj是适当的反对称矩阵.H型群是齐次群，因此在群N上自然地具有一族各向异性的伸缩δr：群N的齐次维数定义为Q=2n+2m.通过指数映射可以将李代数n上的Lebesgue 测度提升到群N上而获得群上的双不变Haar测度，记为du，且有（d◦δr）（u）=rQdu.群N上任意元素u的齐次模定义为其中 |z|，|t|是z∈R2n，t∈Rm的Euclid范数；与齐次模相关的拟距离记为d（u，v）=|u-1v|.用B（u，r）= ｛v∈N|d（u，v）＜r｝表示以u为圆心，r为半径的拟球；记｛|u|＜1｝为以单位元为圆心，1为半径的拟单位球.在群N上定义带w权的Lp范数为将带w权Lp范数有限的可测函数全体构成的空间记做Lp（N，w）.1.2 主要结果定理1 设1＜r，s＜∞，0＜λ＜Q，α+β≥0且满足则存在与函数f，g 无关的正常数Cα，β，r，λ，Q，使得其中 u= （z，t），v= （z′，t′）.推论1（H型群上的HLS不等式）设1＜r，s＜∞，0＜λ＜Q，满足1／r+1／s+λ／Q=2，则存在与函数f，g 无关的正常数Cr，λ，Q，使得其中 u= （z，t），v= （z′，t′）.2 定理1的证明2.1 等价定理与引理为证明定理1，先给出2个与之等价的定理.定理2 设1＜p≤q＜∞，0＜λ＜Q，α+β≥0且满足α＜Q／q，β＜Q／p′，1／q=1／p+（λ+α+β）／Q-1，那么有其中C=Cα，β，p，λ，Q 是与f 无关的正常数，算子T 形为注意到式（2）等同于选取f（u）=g（u）／|u|β，可得定理2的等价叙述.定理3 设1＜p≤q＜∞，0＜λ＜Q，α+β≥0且满足α＜Q／q，β＜Q／p′，1／q=1／p+（λ+α+β）／Q-1，那么有‖Sg‖q ≤C‖g‖p，其中C=Cα，β，p，λ，Q 是与g 无关的正常数，虽然定理1与定理2、定理3中对参数的要求不一样，但是若选取r=q′，s=p，经计算会发现几个定理对参数的要求是一致的.引理1 定理1和定理3等价.证明设定理1成立，利用对偶讨论得于是定理3的结论成立.设定理3的结论成立，由计算得于是定理1的结论成立.引理1证毕.于记K（u，v）=|u-1v|-λ =d（u，v）-λ，将之代入式（3）中有另外d（u，v）是规范距离，满足三角不等式［10］考虑N上的测度wdu，若存在正常数C，使得对任意一对同心球B和B′，当r （B）=2r（B′）时有则称测度wdu满足二重性质.注意到可知|u|-αqτdu是N 上满足二重性质的测度，同理|u|-βp′τdu也是N 上满足二重性质的测度.文献［11］在齐型空间上建立了与式（4）相关的一类算子的有界性，这里的H 型群是齐型空间，所以可以将之应用到H型群上.引理2［11］（Sawyer-Wheeden）设w1（u）和w2（u）是N上的非负可测函数.由式（5）定义的算子T是Lp（N，w2）到Lq（N，w1）的有界算子的一个充分条件是下面两条成立：（1）∃ε＞0，使得对任意一对球B和B′，若满足B′⊆4B，则有其中 r和r′分别是球B 和B′的半径，这里φ（B）=sup｛K（u，v）|u，v∈B，d（u，v）≥9-1r｝，它对所有半径为r的球B⊆G有定义；Cε是只依赖于ε的正常数.（2）∃τ＞1，使满足二重性质，且对任意的球B⊆G有其中Cτ是只依赖于τ的正常数.2.2 定理2的证明利用引理2可验证定理2.事实上，选取w1（u）=|u|-αq，w2（u）=|u|βp，只需要验证引理2中的条件（7）和（8）对式（5）中定义的算子成立.为验证式（7），注意到 K（u，v）=|u-1v|-λ =d（u，v）-λ，可得φ（B）=9λr-λ，φ（B′）=9λ（r′）-λ，因此因为0＜λ＜Q，可选取足够小的ε＞0，使得Q-λ-ε＞0，那么由B′⊆4B有这验证了条件（7）.为验证条件（8），记M3=，然后分别估计 Mi （i=1，2，3）.设即就有直接计算得若αqτ＜Q，若βp′τ＜Q，由条件α ＜ Q／q，β ＜ Q／p′ 得知 min｛Q／（αq），Q／（βp′）｝＞ 1，此式保证存在τ 满足 1 ＜τ ＜min｛Q／（αq），Q／（βp′）｝，于是αqτ＜Q 和βp′τ＜Q 成立，可知条件（8）左端这验证了条件（8）.最后利用引理2就完成了定理2的证明.2.3 定理1的证明由引理1，定理1与定理3等价.定理2与定理3等价.故可知定理1成立.【相关文献】［1］HARDY G H，LITTLEWOOD J E.Some properties of fractional integrals（1）［J］.Math Z，1928，27（1）：565-606.［2］HARDY G H，LITTLEWOOD J E.On certain inequalities connected with the calculus of variations［J］.J London Math，1930，5（1）：34-39.［3］SOBOLEV S L.On a theorem of functional analysis［J］.Mat Sbornik，1938，4：471-479.［4］LIEB E H.Sharp constants in the Hardy-Littlewood-Sobolev and related inequalities ［J］.Ann of Math，1983，118（2）：349-374.［5］FOLLAND G B，STEIN E M.Estimates for the（∂）bcomplex and analysis on the Heisenberg group［J］.Comm Pure Appl Math，1974，27（4）：429-522.［6］FRANK R L，LIEB E H.Sharp constants in several inequalities on the Heisenberg group［J］.Annals of Mathematics，2012，176（1）：349-381.［7］STEIN E，WEISS G.Fractional integrals on n-dimensional Euclidean space［J］.J Math Mech，1958，7：503-514.［8］HAN X，LU G，ZHU J.Hardy-Littlewood-Sobolev and Stein-Weiss inequalities and integral systems on the Heisenberg group［J］.Nonlinear Anal，2012，75（11）：4 296-4 314.［9］KAPLAN A.Fundamental solutions for a class of hypoelliptic PDE generated by composition of quadratic forms［J］.Trans Amer Math，1980，258（1）：147-153. ［10］HEBISCH W，SIKORA A.A smooth subadditive homogeneous norm on a homogeneous group［J］.Studia Math，1990，96：231-236.［11］SAWYER E，WHEEDEN R.Weighted inequalities for fractional integrals on Euclidean and homogeneous spaces［J］.Amer J Math，1992，114（4）：813-874.。
霍普夫-里诺定理
霍普夫-里诺定理霍普夫-里诺定理（Hopf-Rinow Theorem）是拓扑学中一个关于欧式空间的重要定理。
它的名字来源于两位数学家艾瑞克·霍普夫（Erik Hopf）和约瑟夫·里诺（Joseph Rinow），他们在20世纪50年代分别独立地提出了这个定理。
霍普夫-里诺定理在几何学、微分拓扑学和动力系统等领域有着广泛的应用。
霍普夫-里诺定理的主要内容是：如果一个连通的局部凸空间中的每个点都有一个完全正定的球（即球心到球面上所有点的距离都相等的球），那么这个空间就同胚于一个欧氏空间。
换句话说，如果每个点都有一个内接球，那么这个空间就是一个欧氏空间。
这个定理的关键在于完全正定的球，它提供了空间中点与点之间的一种距离信息，使得空间具有欧几里得结构的性质。
为了证明霍普夫-里诺定理，我们需要引入一些预备知识。
首先，我们需要了解局部凸空间的概念。
局部凸空间是一个拓扑空间，它的每一个点都有一个开邻域，使得邻域中的每个点都有一个半正定二次形式（即满足非负性和对称性的一元二次函数）。
在局部凸空间中，我们可以定义距离和相似等概念。
接下来，我们需要了解欧氏空间的性质。
欧氏空间是一个局部凸空间，它的每个点都有一个完全正定的球。
完全正定的球是指球心到球面上所有点的距离都相等的球。
在欧氏空间中，我们可以使用欧几里得距离来度量点与点之间的距离。
欧氏空间的性质包括相容性、齐性和仿紧性等。
霍普夫-里诺定理的证明过程比较复杂，需要使用到许多拓扑学和几何学的工具和方法。
首先，我们需要证明每个点都有一个完全正定的球的局部凸空间是仿紧的。
然后，我们需要证明仿紧的局部凸空间可以嵌入到一个欧氏空间中。
最后，我们需要证明嵌入后的空间与原空间是同胚的。
霍普夫-里诺定理在许多数学领域都有重要的应用。
例如，在微分拓扑学中，它可以用来证明紧致三维流形的同胚分类问题。
在动力系统中，它可以用来研究离散动力系统的吸引子和奇异点等性质。