江苏省泰州市姜堰区高二数学下学期期中试题 文 新人教A版

2013～2014学年度第二学期期中考试高二数学试题（文科）(考试时间：120分钟 总分160分)命题人：王光华 审题人：孟 太 陈庆华注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效．一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．） 1．设集合{}{}|22,|1A x x B x x =-<<=>，则AB = ▲ ．2．命题“20,320x x x ∀>-+<”的否定是 ▲ ．3．已知复数1z i =-(i 为虚数单位），则复数z 的模z = ▲ ． 4．函数()f x =的定义域是 ▲ ． 5．“3x >”是“5x >”的 ▲ 条件. (请在“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”中选择一个合适的填空)6．若复数z 满足()()325z i --= (i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 为 ▲ ．7．已知:44;:(2)(3)0p a x a q x x -<<+-->，若⌝p 是⌝q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为 ▲ ．8．已知实数0≠a ，函数⎩⎨⎧≥--<+=1,21,2)(x a x x a x x f ，若)1()1(a f a f +=-，则a 的值为 ▲ ．9．有下列四个命题：①“若0x y +=，则,x y 互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若1q ≤，则220x x q ++=有实根”的逆命题；④“若a b >，则22ac bc >”的逆否命题；其中真命题的序号．．为 ▲ ． 10．已知函数)(x f 满足),()(x f x f =- 且当)0,(,-∞∈b a 时总有()()0f a f b a b->-，其中a b ≠.若22(1)(2)f m m f m -+>+，则实数m 的取值范围是 ▲ .11．设ΔABC 的三边长分别为a 、b 、c ，ΔABC 的面积为S ，则ΔABC 的内切圆半径为2Sr a b c=++，将此结论类比到空间四面体：设四面体S —ABCD 的四个面的面积分别为1S ，2S ，3S ，4S ， 体积为V ，则四面体的内切球半径r = ▲ ． 12．蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图. 其中第一个图有1个蜂巢，第二个图 有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律， 以()f n 表示第n 幅图的蜂巢总数，则()f n =___▲____. 13．定义R 上的奇函数()f x 满足51()2()f x f x +=-，若3(1)1,(2014)3t f f t +≥=-，则实数t 的取值范围为 ▲ .14．若函数()f x x a =+-a 的取值范围 ▲ . 二、解答题：（本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）已知复数22(232)(32)z m m m m i =--+-+，(其中i 为虚数单位) （1）当复数z 是纯虚数时，求实数m 的值（2）若复数z 对应的点在第三象限，求实数m 的取值范围。

16．（本小题满分14分）已知函数()11()212xf x x =+- （1）判定并证明函数的奇偶性；（2）试证明()0f x >在定义域内恒成立；（3）当[]1,3x ∈时，12()()02m f x x -⋅<恒成立，求m 的取值范围.17．（本小题满分14分）先解答（1），再通过结构类比解答（2）： （1）请用tanx 表示)4tan(π+x ，并写出函数)4tan(π+=x y 的最小正周期；（2）设a R x ,∈为非零常数，且1()(2)1()f x f x a f x ++=-，试问)(x f 是周期函数吗？证明你的结论。

18．（本小题满分16分）销售甲、乙两种商品所得利润分别为P （单位：万元）和Q （单位：万元），它们与投入资金m （单位：万元）的关系有经验公式15P m =, Q =今将3万元资金投入经营甲、乙两种商品，其中对甲种商品投资x （单位：万元）（1）试建立总利润y （单位：万元）关于x 的函数关系式，并指明函数定义域； （2）如何投资经营甲、乙两种商品，才能使得总利润最大.19．（本小题满分16分）设函数22log (22)y ax x =-+定义域为A ． （1）若R A =，求实数a 的取值范围；（2）若22log (22)2ax x -+>在[1,2]x ∈上恒成立，求实数a 的取值范围．20．（本小题满分16分）对于定义域为D 的函数)(x f y =，若同时满足： ①)(x f 在D 内单调递增或单调递减；②存在区间[b a ,]D ⊆，使)(x f 在],[b a 上的值域为],[b a ； 那么把函数)(x f y =（D x ∈）叫做闭函数． (1) 求闭函数31x y =符合条件②的区间],[b a ；(2)若2y =k 的取值范围．2013～2014学年度第二学期期中考试 高二数学试题（文科）参考答案及评分标准1. {|12}x x <<2.20,320x x x ∃>-+≥{|1}x x >- 5. 必要不充分6. 5i -7. [-1，6]8. 34-9. ①③ 10. 1m >- 11．12343V S S S S +++ 12.133)1(682+-=-++n n n 13. [)0,314. (15.解：（1）由题意有⎪⎩⎪⎨⎧≠+-=--023023222m m m m 时，解得⎪⎩⎪⎨⎧≠≠=-=21221m m m m 且或， --------------------------------5分 即21-=m 时，复数z 为纯虚数. ……………………………7分（2）由题意有：222320320m m m m ⎧--<⎪⎨-+<⎪⎩，解得：12212m m ⎧-<<⎪⎨⎪<<⎩，……………………………12分所以当()1,2m ∈时，复数z 对应的点在第三象限…………………14分16. 解：（1）()11()212xf x x =+-为偶函数，证明如下： ()11()212x f x x =+-定义域为：}{|0x x ≠关于原点对称，对于任意}{|0x x x ∈≠有：------------------------2分()11212111()()()212212212x x xx x f x x x x --+-=-+=-=---- 1111(1)()()212212x xx x f x =+-=+=--成立 所以()11()212xf x x =+-为偶函数--------------------------------5分 （2）因为()11()212xf x x =+-定义域为：}{|0x x ≠， 当0x >时，0221,210x x >=∴->110212x ∴+>-，0x >，11()()0212x f x x ∴=+>-恒成立，------------7分 当0x <时，所以0x ->，由（1）可知：()()0f x f x =->----------------9分综上所述，()0f x >在定义域内恒成立--------------------------------------------10分 （3）12()()02mf x x -⋅<恒成立对[]1,3x ∈恒成立，∴1112()()02122m x x x +-⋅<- ，∴111()2()2212m x >+- ，令()112()212x g x =+-证明()112()212x g x =+-在[1,3]上为减函数（略）（不证明单调性扣．．．．．．．．2．分）．．∴()()112()13212x g x g =+≤=-对[]1,3x ∈恒成立 …………12分∴1()32m > 所以m 的取值范围是12log 3m < …………14分17.解：（1）x x x x x tan 1tan 14tantan 14tantan )4tan(-+=-+=+πππ； …………4分 函数)4tan(π+=x y 的最小正周期为π …………6分（2）)(x f 是以8a 为其一个周期的周期函数．…………8分∵1()11(2)11()(4)((2)2)1()1(2)()11()f x f x a f x f x a f x a a f x f x a f x f x ++++-+=++===-+-+--， …………10分 ∴11(8)((4)4)()1(4)()f x a f x a a f x f x a f x +=++=-=-=+-，…………12分所以)(x f 是周期函数，其中一个周期为8a ．…………14分 18. 解：（1）15y x =分 其定义域为[]0,3-----------------------------------------6分 （2）令t =[]0,3,x t ⎡∈∴∈⎣，有211335555y x t t ==-++----------------------10分 21321()5220t =--+----------------------------------------12分所以当32t ⎡=∈⎣时，即34x =时，max 2120y =------------------14分答：当甲商品投入34万元，乙商品投入94万元时，总利润最大为2120万元.---------16分19.解：（1）因为R A =，所以2220ax x -+>在x R ∈上恒成立. ……………2分① 当0a =时，由220x -+>，得1x <，不成立，舍去，…………4分 ② 当0a ≠时，由0480x a a >⎧⎨∆=-<⎩，得12a >， …………6分综上所述，实数a 的取值范围是12a >. …………………8分（2）依题有2224ax x -+>在[1,2]x ∈上恒成立， …………10分所以2222112()x a x x x +>=+在[1,2]x ∈上恒成立， …………12分 令1t x=，则由[1,2]x ∈，得1[,1]2t ∈，记2211()g t t t x x =+=+，由于2()g t t t =+在1[,1]2t ∈上单调递增，所以()(1)2g t g ≤=， 2112()4x x+≤因此4a > …………16分（使用函数在定义区间上最小值大于0求解可参照给分）20.[解析]（1）由题意，13y x =在[b a ,]上递增，则1313b ba ab a ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪>⎪⎪⎩，解得10a b =-⎧⎨=⎩或⎩⎨⎧=-=11b a 或01a b =⎧⎨=⎩所以，所求的区间为[-1，0]或[-1，1]或[0，1] . …………6分（解得一个区间得2分） （2）若2y =[b a ,]，在区间[b a ,]上，函数)(x f y =的值域为[b a ,] ………………………………………6分 容易证明函数k x y -+=2在定义域内单调递增，∴ ⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=kb b k a a 22…………………………………………………………………8分 ∴ b a ,为方程2x =. ………………………………10分即方程()25402x k x x k x -++=≥≥且有两个不相等的实根.225164045240k k k <⎧⎪∴∆=-->⎨⎪-⋅++≥⎩或522251640540k k k k k ⎧≤<⎪⎪∆=-->⎨⎪-++≥⎪⎩………………………………………14分解得292<≤k ，综上所述，)49,2[∈k ………………………………………………16分。