2016秋新人教A版高中数学必修一1.3.2函数的奇偶性Word精讲精析
人教新课标版数学高一A版必修1 1.3.2 函数的奇偶性 教案
“三四五”高效课堂教学设计：（授课日期：年月日星期班级）区间(,)b a--上单调性相同.区间(,)b a--上单调性相反.最值若在区间[,]a b上的最大（小）值为()(())f b f a，则区间[,]b a--上的最大（小）值为()(())f a f b--.若在区间[,]a b上的最大（小）值为()(())f b f a，则区间[,]b a--上的最大（小）值为()(())f b f a.重要结论定义域内有零，则(0)0f=（二）经典例题1.根据函数的图象判断奇偶性例1根据下列函数的图象，判断函数的奇偶性.图1 图2图3 图4【思路分析】观察函数图象的对称性【解析】☆变式练习1 根据下列函数的图象，判断函数的奇偶性.【解析】2. 函数奇偶性的性质和应用例 2 （1）()y f x =是奇函数，若点(1,2)-在()y f x =图象上，则(1)________f =（2）()y f x =是偶函数，若在区间(1,2)上单调递增，则函数在区间(2,1)--上的单调性是(3)已知()f x x b =+是奇函数，则______b =（4）已知奇函数()y f x =是R 上单调递增，在区间[2,6]上是最大值为12，最小值为4，则(6)________,(2)_______f f -=-= 【解析】3. 抽象函数的奇偶性例3 设函数()g x分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论f x和()恒成立的序号是①()|()|f xg x-是奇函数;③|()|()+是f xg xf xg x+是偶函数;②()|()|偶函数；④|()|()-是奇函数;f xg x【思路分析】利用函数的奇偶性的定义进行判断.【解析】三、总结提升1、本节课你主要学习了四、问题过关1、()g xf x的图象如图11所示，则函数()f x的奇偶是;()的图象如图12所示, 则函数()g x的奇偶是.图11 图122、已知()y f x=图象上，则-在()=是偶函数，若点(1,4)y f xf=(1)________3、()y f x=是奇函数，若在区间(1,2)上单调递增，则函数在区间--上的单调性是(2,1)。
人教新课标版数学高一A版必修1 1.3.2 函数的奇偶性 教案
必修一 1.3.2函数的奇偶性【教学目标】1.知识与技能目标：使学生了解函数奇偶性的概念和奇偶函数图像的对称性 ,并学会运用定义判断函数的奇偶性2.过程与方法目标：通过创设情境，对具体实例的对称性观察、并对具体函数的y与x的关系分析，利用多媒体呈现图像，让学生经历函数奇偶性概念形成的全过程，体验数学概念学习的方法中由特殊到一般、数形结合、类比等方法，积累数学学习的经验。
3.情感、态度与价值观目标：通过绘制和展示优美的函数图象使学生体验数学的对称美；通过组织学生分组讨论,培养学生主动交流的合作精神；通过学生的自主探究,培养学生善于探索的思维品质【重点难点】1.教学重点：函数的奇偶性的概念和奇偶函数的图象特征2.教学难点：函数奇偶性概念的形成及理解【教学策略与方法】1.教学方法：问题引导，主动探究，启发式教学．2.教具准备：多媒体【教学过程】教学流程教师活动学生活动设计意图一、情境引入；1.让学生感受生活中的美：对称美出示一组图片：蝴蝶、建筑物等2.从数学中的对称出发，让学生画出两个已学过的函数图像，（1）y=x2 (2)y=︱x︱问题1：请你观察这两个函数图像有怎样的对称性？让学生观察并回答图片中的对称属于轴对称还是中心对称让学生说说，两个函数图像的共同特征遵循学生的认知规律，从感性的图像入手来体会函数的对称性，进而为抽象出奇偶性的数学概念打下基础。
环节二：二、观察思考，归纳抽象，形成概念；1.以y=x 2函数的图像为例，让学生填表并观察表格特点问题 2.在函数值对应表是如何体现这些特征的？问题3.你能用符号语言描述你的发现吗？ 1偶函数的定义：设函数)(x f y =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有)()(x f x f =-，则这个函数叫做偶函数偶函数的图像关于y 轴对称 概念辨析1.观察下面的函数图象，判断函数是不是偶函数?结论：如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么它的定义域应该关于原点对称.2.下面两个函数是偶函数吗？问题4.你有新的发现吗？问题5.你能由我们推导偶函数的方法和步骤， 归纳出奇函数的定义吗？奇函数的定义：设函数)(x g y =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有)()(x g x g -=-，则这个函数叫做奇函数。
高一数学人教A版必修1教案1.3.2 奇偶性 Word版含解析
奇偶性教学分析本节讨论函数的奇偶性是描述函数整体性质的．教材沿用了处理函数单调性的方法，即先给出几个特殊函数的图象，让学生通过图象直观获得函数奇偶性的认识，然后利用表格探究数量变化特征，通过代数运算，验证发现的数量特征对定义域中的“任意”值都成立，最后在这个基础上建立了奇(偶)函数的概念．因此教学时，充分利用信息技术创设教学情境，会使数与形的结合更加自然．值得注意的问题：对于奇函数，教材在给出的表格中留出大部分空格，旨在让学生自己动手计算填写数据，仿照偶函数概念建立的过程，独立地去经历发现、猜想与证明的全过程，从而建立奇函数的概念．教学时，可以通过具体例子引导学生认识，并不是所有的函数都具有奇偶性，如函数＝与＝－既不是奇函数也不是偶函数，可以通过图象看出也可以用定义去说明．三维目标．理解函数的奇偶性及其几何意义，培养学生观察、抽象的能力，以及从特殊到一般的概括、归纳问题的能力．．学会运用函数图象理解和研究函数的性质，掌握判断函数的奇偶性的方法，渗透数形结合的数学思想．重点难点教学重点：函数的奇偶性及其几何意义．教学难点：判断函数的奇偶性的方法与格式．课时安排课时导入新课思路．同学们，我们生活在美的世界中，有过许多对美的感受，请大家想一下有哪些美呢？(学生回答可能有和谐美、自然美、对称美……)今天，我们就来讨论对称美，请大家想一下哪些事物给过你对称美的感觉呢？(学生举例，再在屏幕上给出一组图片：喜字、蝴蝶、建筑物、麦当劳的标志)生活中的美引入我们的数学领域中，它又是怎样的情况呢？下面，我们以麦当劳的标志为例，给它适当地建立平面直角坐标系，那么大家发现了什么特点呢？(学生发现：图象关于轴对称)数学中对称的形式也很多，这节课我们就同学们谈到的与轴对称的函数展开研究．思路．结合轴对称与中心对称图形的定义，请同学们观察图形，说出函数＝和＝的图象各有怎样的对称性？引出课题：函数的奇偶性．推进新课(\\(新知探究))(\\(提出问题))()如图所示，观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性．图()如何利用函数的解析式描述函数的图象关于轴对称呢？填写表和表，你发现这两个函数的解析式具有什么共同特征？()偶函数的图象有什么特征？()函数()＝，∈[－]是偶函数吗？()偶函数的定义域有什么特征？()观察函数()＝和()＝的图象，类比偶函数的推导过程，给出奇函数的定义和性质？活动：教师从以下几点引导学生：()观察图象的对称性．()学生给出这两个函数的解析式具有什么共同特征后，教师指出：这样的函数称为偶函数．()利用函数的解析式来描述．()偶函数的性质：图象关于轴对称．()函数()＝，∈[－]的图象关于轴不对称；对定义域[－]内＝，(－)不存在，即其函数的定义域中任意一个的相反数－不一定也在定义域内，即(－)＝()不恒成立．()偶函数的定义域中任意一个的相反数－一定也在定义域内，此时称函数的定义域关于原点对称．()先判断它们的图象的共同特征是关于原点对称，再列表格观察自变量互为相反数时，函数值的变化情况，进而抽象出奇函数的概念，再讨论奇函数的性质．给出偶函数和奇函数的定义后，要指明：①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；②由函数的奇偶性定义，可知函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个，则－也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)；③具有奇偶性的函数的图象的特征：偶函数的图象关于轴对称，奇函数的图象关于原点对称；④可以利用图象判断函数的奇偶性，这种方法称为图象法，也可以利用奇偶函数的定义判断函数的奇偶性，这种方法称为定义法；⑤函数的奇偶性是函数在定义域上的性质，是“整体”性质，而函数的单调性是函数在定义域的子集上的性质，是“局部”性质．讨论结果：()这两个函数之间的图象都关于轴对称．()(－)＝()；(－)＝()；(－)＝()．可以发现对于函数定义域内任意的两个相反数，它们对应的函数值相等，也就是说对于函数定义域内任一个，都有(－)＝()．()一般地，如果对于函数()的定义域内的任意一个，都有(－)＝()，那么函数()就叫做偶函数．()偶函数的图象关于轴对称．()不是偶函数．()偶函数的定义域关于原点对称．()一般地，如果对于函数()的定义域内的任意一个，都有(－)＝－()，那么函数()就叫做奇函数．奇函数的图象关于原点中心对称，其定义域关于原点对称．(\\(应用示例))思路例判断下列函数的奇偶性：()()＝；()()＝；。
人教A版数学必修一1.3.2第1课时函数奇偶性的概念.pptx
2．奇偶函数图象特点 (1)奇函数的图象关于对原称点； (2)偶函数的图象关于对y称轴．
(5)奇函数的图象一定过原点吗？ 提示：不一定，若0在定义域内，则图象一定过原点，否则 不过原点．
函数奇偶性的判断
(1) 函 数 根 据 奇 偶 性 分 为 ： 奇 函 数 ， 偶 函 数 ， 既 奇 又 偶 函 数，非奇非偶函数．
2．判断函数 f(x)＝xx＋－5522－－44，，xx∈∈[－1，6，6 －1] 的奇偶性．
解：f(x)的定义域为(－6，－1]∪[1,6)，关于原点对称． 当x∈(－6，－1]时，－x∈[1,6)，f(－x) ＝(－x－5)2－4＝(x＋5)2－4＝f(x)， 当x∈[1,6)时，－x∈(－6，－1]，f(－x) ＝(－x＋5)2－4＝(x－5)2－4＝f(x)，
④一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．
1．判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝x3＋x5； (2)f(x)＝ 1－x2＋ x2－1； (3)f(x)＝|x＋42－|－x22．
解：(1)函数定义域为 R， 又 f(－x)＝(－x)3＋(－x)5＝－(x3＋x5)＝－f(x)． ∴f(x)是奇函数． (2)由1x2－－x12≥≥00 ，得 x＝±1， 此时 f(x)＝0，x∈{－1,1}． ∴f(x)既是奇函数又是偶函数．
6分
又 f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|
＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)，
∴f(x)是偶函数．
8分
(3)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，10分 不关于原点对称， ∴f(x)是非奇非偶函数．12分
【借题发挥】(1)用定义法判断函数的奇偶性时，为了判断
f(－x)与 f(x)的关系，既可以从 f(－x)开始化简，也可以去考虑 f(－
高中数学 1-3-2-1函数的奇偶性 新人教A版必修1
总结：(1)偶函数 一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内 每 一个 x，都有 f(－x)＝f(x) ，那么函数 f(x)就叫做偶函数． (2)奇函数 一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内 每 一个 x，都有 f(－x)＝－f(x) ，那么函数 f(x)就叫做奇函数．
【归纳提升】 (1)奇偶函数的定义域关于原点对称，如 果函数的定义域不关于原点对称，则此函数既不是奇函数也 不是偶函数．
(4)由于 f(－x)＝0＝f(x)，且 f(－x)＝0＝－f(x)， ∴f(x)＝0 既是奇函数，又是偶函数． (5)函数 y＝2x＋1 的定义域为 R，关于原点对称． ∵f(－x)＝－2x＋1，－f(x)＝－2x－1， ∴f(－x)≠f(x)，f(－x)≠－f(x)， ∴y＝2x＋1 既不是奇函数，又不是偶函数．
∴f(x)为偶函数．
判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝1x； (2)f(x)＝－3x2＋1； (3)f(x)＝xx2－＋xx2，，xx<>00，； (4)f(x)＝0；
(5)f(x)＝2x＋1； (6)f(x)＝xx3－－1x2. [分析] 根据函数奇偶性的定义，先看函数的定义域是否 关于原点对称，若是，再检查函数解析式是否满足奇偶性的 条件．
②若奇函数 y＝f(x)的定义域内有零，则由奇函数的定义 知 f(－0)＝－f(0)，即 f(0)＝－f(0)，∴f(0)＝0.
③奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性一致； 偶函数则相反．
通过以上所学，完成下列练习． 判断下列函数的奇偶性 ①f(x)＝x； ②f(x)＝x－1； ③f(x)＝|x|； ④f(x)＝x2 (x≥1)； ⑤f(x)＝|x＋1|－|x－1|； ⑥f(x)＝ 1－x2＋ x2－1.
人教A版数学必修一1.3.2奇偶性第1课时函数奇偶性的概念.pptx
f (x) x 1 (x 1) f (x),
x
x
所以，函数 f (x) x为奇1函数. x
(4)函数 f(x)的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，不关于原点
对称，故函数 f(x)不具有奇偶性.
【变式练习】
（1）判断函数 f (x) 1 x3 5x 的奇偶性.
1.函数f(x)=x2，x∈［-1，2］是( C )
A.奇函数
B.偶函数
C.非奇非偶函数
D.既奇又偶函数
【提示】∵x∈［-1,2］，不关于原点对称.
2.如果定义在区间［3-a，5］上的函数f(x)是偶 函数，则a=____8___. 【解析】∵f(x)是偶函数，∴函数f(x)的定义域关于 原点对称，∴3-a+5=0，∴a=8
.由于
(2)由于奇函数的图象关于 坐标原点对称，只要在函数 图象上找点作出这些点关于 坐标原点的对称点，描点即 可作出函数在整个定义域上 的图象.如图
【提升总结】
用函数奇偶性的定义判断函数奇偶性的一般步骤是： （1）先求函数的定义域，由于在函数奇偶性的定义中都是 x和-x对应出现，故具备奇偶性的函数的定义域区间一定关 于坐标原点对称，如果求出函数的定义域不是关于坐标原 点对称的，则这个函数不具备奇偶性. （2）验证f(-x)=f(x) ，或者f(-x)=-f(x). （3）根据函数奇偶性的定义得出结论.
叫做偶函数. 例如，下图：
对定义域内 任意的自变
量x都有
f (x) f (x)
探究点2 奇函数的定义
已知f(x)=x³, 求f(0),f(-1),f(1), f(-2),f(2)及f(-x),并画出它的图象.
解: f(0)=0,f(-1)=(-1)³=-1，f(1)=1，
高一数学 1.3.2 奇偶性(1) 新人教A版必修1
(3)由1x－ 2－x12≥ ≥0
，得x＝±1，
此时f(x)＝0，x∈{－1,1}．
∴f(x)既是奇函数又是偶函数．
• (4)①当x<0时，－x>0. • f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)－3 • ＝－x2－2x－3＝－f(x)； • ②当x>0时，－x<0， • f(－x)＝(－x)2＋2(－x)＋3 • ＝x2－2x＋3＝－(－x2＋2x－3)＝－f(x)， • 综上可知f(x)为奇函数．
• 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意 一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫 做偶函数．
• (2)奇函数的定义
• 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意 一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就
• 2．奇、偶函数的图象 • (1)偶函数的图象关于y轴对称． • (2)奇函数的图象关于原点中心对称．
• 另外，还有如下性质可判定函数奇偶性：
• 偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为 偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数，奇 (偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇 (偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为 奇函数．(注：利用以上结论时要注意各函 数的定义域)
变式体验1 判断下列函数的奇偶性：
• ①函数f(x)的解析式均已知；
• ②判断奇偶性问题．
• 解答此类题目应先判断函数定义域是否关 于原点对称，然后再验证f(x)与f(－x)之间的 关系来确定奇偶性．
• [解] (1)函数定义域为R. • f(－x)＝(－x)3＋(－x)5＝－(x3＋x5)＝－f(x)． • ∴f(x)是奇函数． • (2)函数的定义域为{x|x≠－1}． • 不关于原点对称， • ∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
高中数学 1.3.2函数奇偶性说课稿课件 新人教A版必修1
§1.3.2奇偶性(说课稿)一、课标要求《普通高中课程标准》对这部分内容的要求是，“结合具体函数，了解奇偶性的含义”，“学会运用函数图象理函数的性质”。
二、教学背景分析1.教材分析函数的奇偶性是继函数的单调性之后学习的函数的另一个重要性质。
对幂函数，三角函数的性质等后续内容起函数的奇偶性的实质就是函数图象的对称性，因而本节既可以继续培养学生数形结合的思想，同时又是数学美的集2.学情分析在学习了函数的单调性之后，学生对于研究函数的性质的过程已经有了一定的了解。
同时，学生在初中已经学的轴对称与中心对称，对图象对称性早已有一定的感性认识，这对函数奇偶性图象特征的理解有一定好处。
但学生又念的抽象概括能力，在这方面需加以引导。
三、教学目标知识与技能通过数与形两方面引导，使学生理解函数奇偶性的概念；能用定义判断简单函数的奇偶性.过程与方法在奇偶性概念形成过程中,培养学生的类比，观察,归纳能力,同时渗透数形结合和特殊到一般的难点情感态度与价值观在学生感受数学美的同时,激发学习的兴趣,培养学生乐于求索的精神教学重点与难点重点：函数奇偶性概念的形成和函数奇偶性的判断。
难点：函数奇偶性概念的理解观察具体函数图象引入直观认识偶(奇)函数四、教学基本流程五、教学情景设计板书设计§1.3.2奇偶性(说课稿)一、课标要求《普通高中课程标准》对这部分内容的要求是，“结合具体函数，了解奇偶性的含义”，“学会运用函数图函数的性质”。
二、教学背景分析1.教材分析函数的奇偶性是继函数的单调性之后学习的函数的另一个重要性质。
对幂函数，三角函数的性质等后续内容函数的奇偶性的实质就是函数图象的对称性，因而本节既可以继续培养学生数形结合的思想，同时又是数学美的2.学情分析在学习了函数的单调性之后，学生对于研究函数的性质的过程已经有了一定的了解。
同时，学生在初中已的轴对称与中心对称，对图象对称性早已有一定的感性认识，这对函数奇偶性图象特征的理解有一定好处。
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课题：学习目标展示1. 使学生理解奇函数、偶函数的概念，会运用定义判断函数的奇偶性；2. 会由函数的图象研究函数的单调区间及了函数的单调性；3. 以能由单调性的定义判断并证明函数的单调性； 衔接性知识1. 画出下列函数的图象（1）()(0)f x kx k =≠ (2)()(0)kf x x x=≠ （3）()||f x x = （4）2()f x x = (5) 2()2f x x x =-+2.上述的函数图象有什么特点？它们有对称轴与对称中心吗？基础知识工具箱典例精讲剖析例1. 判断下列函数的奇偶性 (1)31()f x x x=+；(2)2()1f x x =+；(3)()|1||1|f x x x =++-；(4)()21f x x =+；(5)()f x =6）()f x = (7)2()(1)2f x x x =+-（8）()|2|2f x x =+-解：（1）由已知，得0x ≠，()f x ∴的定义域为(,0)(0,)-∞+∞U3311()()()f x x x f x x x -=-+=--=--Q ，31()f x x x∴=+是奇函数 （2）()f x 的定义域为R ，22()()11()f x x x f x -=-+=+=Q ，2()1f x x ∴=+是偶函数（3）()f x 的定义域为R ，()|1||1||1||1|()f x x x x x f x -=-++--=-++=Q ，()|1||1|f x x x ∴=++-是偶函数（4）()f x 的定义域为R ，(1)2113f =⨯+=Q ，(1)2(1)11f -=⨯-+=-，(1)(1)f f ∴-≠，且(1)(1)f f -≠- ()21f x x ∴=+为非奇非偶函数（5）由1010x x -≥⎧⎨-≥⎩，得1x =，所以()f x 的定义域为{|1}x x =，定义域不关于原点对称，()f x ∴=（6）由2210110x x x ⎧-≥⎪⇔=±⎨-≥⎪⎩，()f x 的定义域为{|1}x x =±，定义域关于原点对称 ()0f x ∴=，()0f x -=()()f x f x ∴-=-，且()()f x f x -=所以()f x =既然是奇函数也是偶函数（7）()f x 的定义域为R ，22()(1)21f x x x x =+-=+22()()11()f x x x f x -=-+=+=Q ，2()(1)2f x x x ∴=+-是偶函数（8）由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0|x ＋2|－2≠0得－1≤x ≤1且x ≠0，定义域关于原点对称，又－1≤x ≤1且x ≠0时，f (x )＝1－x 2x ＋2－2＝1－x 2x ，∵f (－x )＝1－(－x )2－x ＝－1－x2x＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．例2. 已知函数()y f x =的图象关于原点对称，且当0x >时，2()23f x x x =-+.试求()f x 在R 上的表达式，并画出它的图象，根据图象写出它的单调区间 解： ∵函数()f x 的图象关于原点对称． ∴()f x 为奇函数，则(0)0f =，设0x <，则0x ->，∵0x >时，2()23f x x x =-+， ∴22()()[()2()3]23f x f x x x x x =--=----+=---于是有：2223(0)()0(0)23(0)x x x f x x x x x ⎧-+>⎪==⎨⎪--->⎩先画出函数在y 轴右边的图象，再根据对称性 画出y 轴左边的图象．如下图．由图象可知()f x 的单调递增区间是(,1]-∞-、[1,)+∞∞)，单调递减区间是[1,0)-、(0,1]．例3. 如果奇函数f (x )在区间[1,6]上是增函数，且最大值为10，最小值为4，那么f (x )在[－6，－1]上是增函数还是减函数？求f (x )在[－6，－1]上的最大值和最小值解：设1261x x -≤<≤-，则2116x x ≤-<-≤，∵()f x 在[1,6]上是增函数且最大值为10，最小值为4， ∴214(1)()()(6)10f f x f x f =≤-<-≤=， 又∵()f x 为奇函数，∴214()()10f x f x ≤-<-≤， ∴1210()()4f x f x -≤<≤-，即()f x 在[－6，－1]上是增函数，且最小值为－10，最大值为－4.例4. (1)如图①是奇函数()y f x =的部分图象，则(4)(2)f f -⋅-＝ . (2)如图②是偶函数()y f x =的部分图象，比较(1)f 与(3)f 的大小的结果为 ．解：(1)∵奇函数的图象关于原点对称，且奇函数()f x 图象过点(2,1)和(4,2)， ∴必过点(－2，－1)和(－4，－2)， ∴(4)(2)f f -⋅-＝(－2)×(－1)＝ 2 .(2)∵偶函数()f x 满足(3)(1)f f ->-，∴(3)(1)f f >．精练部分A 类试题（普通班用）1．下列四个函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．y ＝x 3B ．y ＝－x 2＋1 C ．y ＝|x |＋1D ．y ＝2－|x |[答案] C[解析] 由偶函数，排除A ；由在(0，＋∞)上为增函数，排除B ，D ，故选C 2. 若函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )为偶函数，则a ＝ [答案] －1[解析] 解法1：f (x )＝x 2＋(a ＋1)x ＋a 为偶函数，∴a ＋1＝0，∴a ＝－1.解法2：∵f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )为偶函数，∴对任意x ∈R ，有f (－x )＝f (x )恒成立，∴f (－1)＝f (1)，即0＝2(1＋a )，∴a ＝－1 3．判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x (x >0)x 2＋x (x ≤0)；(2)f (x )＝1x 2＋x. [解析] (1)f (－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x (x ≥0)－x 2－x (x <0)，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．(2)f (－x )＝1x 2－x≠f (x )，f (－x )≠－f (x )，∴f (x )既不是奇函数，又不是偶函数． 4．函数f (x )＝ax ＋b 1＋x 2是定义在(－1,1)上的奇函数，且12()25f =，求函数f (x )的解析式． [解析] 因为f (x )是奇函数且定义域为(－1,1)，所以f (0)＝0，即b ＝0. 又12()25f =，所以12a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝25，所以a ＝1，所以f (x )＝x 1＋x 25．已知f (x )是奇函数，当x ≥0时，f (x )的图象是经过点(3，－6)，顶点为(1,2)的抛物线的一部分，求f (x )的解析式，并画出其图象．[解析] 设x ≥0时，f (x )＝a (x －1)2＋2，∵过(3，－6)点，∴a (3－1)2＋2＝－6，∴a ＝－2.即f (x )＝－2(x －1)2＋2. 当x <0时，－x >0，f (－x )＝－2(－x －1)2＋2＝－2(x ＋1)2＋2，∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝2(x ＋1)2－2，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2(x －1)2＋2 (x ≥0)2(x ＋1)2－2 (x <0)，其图象如图所示．B 类试题（3+3+4）（尖子班用） 1．下列命题中错误的是( )①图象关于原点成中心对称的函数一定为奇函数②奇函数的图象一定过原点③偶函数的图象与y 轴一定相交④图象关于y 轴对称的函数一定为偶函数 A ．①② B ．③④ C ．①④ D ．②③[答案] D[解析] f (x )＝1x 为奇函数，其图象不过原点，故②错；y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1 x ≥1－x －1 x ≤－1为偶函数，其图象与y 轴不相交，故③错．2．下列四个函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．y ＝x 3B ．y ＝－x 2＋1 C ．y ＝|x |＋1D ．y ＝2－|x |[答案] C[解析] 由偶函数，排除A ；由在(0，＋∞)上为增函数，排除B ，D ，故选C.3．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23[答案] A[解析] 由题意得|2x －1|<13⇒－13<2x －1<13⇒23<2x <43⇒13<x <23，∴选A.4. 若函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )为偶函数，则a ＝ [答案] －1[解析] 解法1：f (x )＝x 2＋(a ＋1)x ＋a 为偶函数，∴a ＋1＝0，∴a ＝－1.解法2：∵f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )为偶函数，∴对任意x ∈R ，有f (－x )＝f (x )恒成立，∴f (－1)＝f (1)，即0＝2(1＋a )，∴a ＝－15. 已知f (x )＝x 7＋ax 5＋bx －5，且f (－3)＝5，则f (3)＝ [答案] －15[解析] 解法1：f (－3)＝(－3)7＋a (－3)5＋(－3)b －5＝－(37＋a ·35＋3b －5)－10＝－f (3)－10＝5，∴f (3)＝－15.解法2：设g (x )＝x 7＋ax 5＋bx ，则g (x )为奇函数，∵f (－3)＝g (－3)－5＝－g (3)－5＝5， ∴g (3)＝－10，∴f (3)＝g (3)－5＝－15.6. 已知f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，且f (x )＋g (x )＝x 2＋x －2，则f (x )＝ ，g (x ) ＝ ．[解析] f (－x )＋g (－x )＝x 2－x －2，由f (x )是偶函数，g (x )是奇函数得，f (x )－g (x )＝x 2－x －2又f (x )＋g (x )＝x 2＋x －2，两式联立得：f (x )＝x 2－2，g (x )＝x . 7．判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x (x >0)x 2＋x (x ≤0)；(2)f (x )＝1x 2＋x. [解析] (1)f (－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x (x ≥0)－x 2－x (x <0)，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．(2)f (－x )＝1x 2－x≠f (x )，f (－x )≠－f (x )，∴f (x )既不是奇函数，又不是偶函数． 8．函数f (x )＝ax ＋b 1＋x 2是定义在(－1,1)上的奇函数，且12()25f =，求函数f (x )的解析式． [解析] 因为f (x )是奇函数且定义域为(－1,1)，所以f (0)＝0，即b ＝0. 又12()25f =，所以12a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝25，所以a ＝1，所以f (x )＝x 1＋x 29．已知b ＞a ＞0，偶函数y ＝f (x )在区间[－b ，－a ]上是增函数，问函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上是增函数还是减函数？[解析]设a ≤x 1＜x 2≤b ，则－b ≤－x 2＜－x 1≤－a .∵f (x )在[－b ，－a ]上是增函数． ∴f (－x 2)＜f (－x 1)又f (x )是偶函数，∴f (－x 1)＝f (x 1) ，f (－x 2)＝f (x 2) 于是 f (x 2)＜f (x 1)，故f (x )在[a ，b ]上是减函数10．已知f (x )是奇函数，当x ≥0时，f (x )的图象是经过点(3，－6)，顶点为(1,2)的抛物线的一部分，求f (x )的解析式，并画出其图象．[解析] 设x ≥0时，f (x )＝a (x －1)2＋2，∵过(3，－6)点，∴a (3－1)2＋2＝－6，∴a ＝－2.即f (x )＝－2(x －1)2＋2. 当x <0时，－x >0，f (－x )＝－2(－x －1)2＋2＝－2(x ＋1)2＋2，∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝2(x ＋1)2－2，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2(x －1)2＋2 (x ≥0)2(x ＋1)2－2 (x <0)，其图象如图所示．。