2019年初中数学-八年级典例解析：分式的基本性质

典例解析：分式的基本性质
例1 下列分式的变形是否正确，为什么？
（1）2a ab a b = （2）ac
bc a b = 例2 写出下列等式中的未知分子或未知分母。

（1）322) (b a ab b a =- （2）)
(111232+=+++a a a a 例3 不改变分式的值，将下列各分式中的分子和分母中的各项系数都化为整数.
（1）y x y x 02.05.03.02.0-+ （2）y x y y x 324112.0--
例4 不改变分式的值，使下列各分式中的分子、分母的最高次项系数为正数.
（1）322
11a
a a a -+-- （2）2332-+-+x x x 例5 已知不论x 取什么数时，分式
53++bx ax （05≠+bx ）都是一个定值，求a 、b 应满足的关系式，并求出这个定值.
例6 已知一个圆台的下底面是上底面的4倍，将圆台放在桌面上，桌面承受压强为P 牛顿/2米，若将圆台倒放，则桌面受到的压强为多少？
例7 不改变分式的值，使下列分式的分子、分母前都不含“－”号：
（1）n m 25-； （2）a b -4； （3）y
x x ---63； （4）b a b a 32+-+． 例8 不改变分式的值，使分式y
x y x 4.05.0312
1-+的分子、分母中的多项式的系数都是整数． 例9 判定下列分式的变形是不是约分变形，变形的结果是否正确，并说明理由：
（1）b b a a +=+11； （2）b
a b a b a +=++122； （3）x x x x x x 22
22323-=--+-； （4）b a a b b a +-=--122． 例10 化简下列各式：
（1）323453b a b a -； （2）b
b a a 821624+-； （3）()()
()()62332222-+-+-+x x x x x x x x
参考答案
例 1 分析 分式恒等变形的根据是分式的基本性质，应该严格地用基本性质去衡量，0≠M 是基本性质的生果组成部分，应特别注意.
解 （1）因为已知分式a b /中已隐含了0≠a ，所以用a 分别乘以分式的分子、分母，分式的值不变，故
（1）是正确的.
（2）因为已知分式b a /中，没限制c ，c 可以取任意数，当然也包括了0=c ，当分式的分子、分母都乘以0=c 时，分式没意义，故（2）是错误的.
例2 分析 （1）式中等号两边的分母都是已知的，所以从观察分母入手，显然，32b a 是由2ab 乘以ab 得到的，由分式的基本性质，b a -也要乘以ab ，所以括号内应填ab b a )(-
（2）式中等号两边分子都已知，所以先观察分子，22)1(12+=++a a a 除以1+a 得到右边分子1+a ，按照分式的基本性质，1)1()1(23+-=+÷+a a a a ，故括号内应填.12+-a a
解：（1）3
22)(b a ab b a ab b a ⋅-=- （2）)
1(1112232+-+=+++a a a a a a 例3 分析 要把分式的分子、分母中各项系数都化为整数，可根据分式的基本性质，将分子、分母都乘以一个恰当的不为零的数，怎样确定这个数呢？
（1）中分子、分母中的各项系数是小数，这个数应是各项系数的最小公倍数.
（2）中分子、分母中各项系数(512.0=
)是分数，这个数应该是各项系数的分母的最小公倍数，即5，2，4，3的最小公倍数60.
解：（1）法1：原式50)02.05.0(50)3.02.0(⨯-⨯+=y x y x y
x y x -+=251510 法2：原式100)02.05.0(100)3.02.0(⨯-⨯+=y x y x y
x y x y x y x -+=-+=2515102503020 （2）原式y x y x y x y x 4015301260)3
241(60)2151(--=⨯-⨯-= 说明 在将分式的分子、分母都乘以（或除以）同一个不为零的数时，要遍乘分子分母的每一项，防止漏乘.
例4 分析 （1）式中分子要变号，分母也要变号，所以应该同时改变分子、分母的符号.
（2）式中分母需要变号，分子不需要变号，所以需要同时改变分母和分式本身的符号.
解：（1）32211a a a a -+--)1()1(322a a a a -+----=1
1232---+=a a a a （2）2332-+-+x x x )23(32-+--+=x x x 2
332+-+=x x x
例5 分析 在研究某些有关特值的数学问题时，我们可以不考虑一般值，而是直接利用取符合条件特殊值代入研究解决，这就是所谓的特殊值法.
解：当0=x 时，
5353=++bx ax ，当1=x 时，5
353++=++b a bx ax 因为不论x 取什么实数，53++bx ax 是一个定值，所以5
353=++b a ，所以153155+==a a 因为b a 35=，所以b a 5
3= 把b a 53=代入原式，得5
35)5(53535353=++=++=++bx bx bx bx bx ax 所以a 、b 的关系为b a 35=；定值为53 例6 解：设圆台的压力为G 牛顿，下底面积为1S 2米，上底面积为2S 2米.则1
S G P =,214S S =所以214PS PS G ==，所以当圆台倒放时，桌面受到的压强为：
P S P S S G 442
22==(牛顿/2米) 答：桌面受到的压强为P 4牛/2米. 说明 运用分式知识，有助于解决物理中问题
例7 分析 根据“分式的变号法则：分子、分母、分式的符号中，同时改变其中任意两个，分式的值不变”．
解：（1）同时改变分子和分式的符号，得
n
m n m 2525-=-； （2）同时改变分母和分式的符号，得 a b a b 44-=-； （3）先确定是分母的符号，再变号，得 ()y
x x y x x y x x +=+--=---636363； （4）先确定是分子的符号，然后变号，得 ()b
a b a b a b a b a b a +--=+--=++-323232． 说明 1．分式中的分数线实际上起到了括号的作用．如果分式的分子或分母是多项式，要把它看成是一个整体，考虑这个整体的符号，如（3），（4）题，千万不可误解成
y x x y x x -=---6363或b a b a b a b a +--=++-3232； 2．对于（4）题，也可处理成b
a a
b b a b a +-=++-2332的形式． 例8 分析 此分式分子中各系数的最小公倍数是6，分母中各系数的最小公倍数是10，而10和6的小公倍数是30．于是可利用分式的基本性质：分子、分母同时乘以30．
解：y x y x y x y x y x y x 1215101530522
13031214.05.03121-+=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+．
说明 1．利用分式基本性质将分式的分子、分母化成整系数形式，体现了数学化繁为简的策略，并为分式作进一步处理，提供了便利条件．
2．操作过程中，用数30的确定是问题的关键所在．因此不仅要考虑到分子、分母，还要考虑分式，使化成整系数一次到位．
例9 分析 约分变形的前提是分子、分母有公因式．
解：（1）、（2）、（3）题的变形都不是约分，结果都是错误的．
（1）分式的分子和分母分别是一个整式，利用分式的基本性质，“除以一个整式a ”是对分子、分母的整体进行的．而只对分子和分母中的某一项进行，就违背了分式基本性质的使用前提，所以是错误的．
（2）分式的分母是个平方和的形式，不能分解．因此分子、分母没有公因式，它是最简分式．故此题的变形是毫无根据的．
（3）当分子、分母都是乘积的形式，才有约分的可能，而这里2
32x x -与2-x 是和的形式，因此不能进行约分．正确的结果解法是：()()222222223--+-=--+-x x x x x x x x ()()12
1222+=-++-=x x x x （4）此题是约分变形．因此分母化成()()b a b a -+-的形式，与分子约去公因式b a -可得．
说明 1．对于代数式的恒等变形形式多样，但每一种变形却是运用定义、定理，并根据法则规范操作，而绝不能随心所欲；
2．对（1）、（2）、（3）题的变形错误，实际上也可以举反例说明．如（1）题：当2=a ，3=b 时，3
11322+≠+．（2）、（3）题同理． 例10 分析 化简就是把分式的分子、分母中的公因式约去使其成为最简公式．因此对分子、分母是单项式时候，先分别化成与公因式的乘积形式；对于多项式仍然要先分解因式．
解：（1）2
222323151533453b a b b a a b a b a b a -=⋅⋅-=-； （2）()()
()b a a b a a b b a a 2442448216222224-=+-+=+-； （3）()()
()()()()()()()()13212136233222
2-=+----+=-+-+-+x x x x x x x x x x x x x x x x ． 说明 1．当分式中分子或分母的系数为负时，处理负号是首先要进行的．
2．约分是实现化简分式的一种手段．通过约分将分式化成最简才是目的．而最简分式为分式间的进一步运算提供了便利条件．
3．把分式的分子、分母因式分解是约分的需要，但也要根据分式的具体情况，而不可盲目进行分解．例
如（2）题，分式b
a 242-已经是最简分式了，因此就没有必要将分子再继续分解了．。