题型方法25

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排列组合题型分析还有21种常用方法的整理

排列组合题型分析还有21种常用方法的整理

排列组合应用题的类型及解题策略一.处理排列组合应用题的一般步骤为:①明确要完成的是一件什么事(审题)②有序还是无序③分步还是分类。

二.处理排列组合应用题的规律(1)两种思路:直接法,间接法。

(2)两种途径:元素分析法,位置分析法。

解决问题的入手点是:特殊元素优先考虑;特殊位置优先考虑。

特殊优先法列组合问题,我们可以从这些特殊的东西入手,先解决特殊元素或特殊位置,再去解决其它元素或位置,这种解法叫做特殊优先法。

例1.电视台连续播放6个广告,其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告,要求首尾必须播放公益广告,则共有种不同的播放方式(结果用数值表示).解:分二步:首尾必须播放公益广告的有A22种;中间4个为不同的商业广告有A44种,从而应当填A22·A44=48. 从而应填48.(3)对排列组合的混合题,一般先选再排,即先组合再排列。

弄清要“完成什么样的事件”是前提。

三.基本题型及方法:1.相邻问题(1)、全相邻问题,捆邦法例2、6名同学排成一排,其中甲,乙两人必须排在一起的不同排法有(C )种。

A)720 B)360 C)240 D)120说明:从上述解法可以看出,所谓“捆邦法”,就是在解决对于某几个元素要求相邻问题时,可以整体考虑将相邻元素视作一个“大”元素。

(2)、全不相邻问题,插空法例3、要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单,任何两个舞蹈节目不得相邻,问有多少不同的排法,解:先将6个歌唱节目排好,其中不同的排法有6!,这6个节目的空隙及两端共有七个位置中再排4个舞蹈节目有47A种排法,由乘法原理可知,任何两个舞蹈节目不得相邻的排法为4676A A种例4高三(一)班学要安排毕业晚会的4各音乐节目,2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序,要求两个舞蹈节目不连排,则不同排法的种数是(A)1800 (B)3600 (C)4320 (D)5040解:不同排法的种数为5256A A=3600,故选B说明:从解题过程可以看出,不相邻问题是指要求某些元素不能相邻,由其它元素将它隔开,此类问题可以先将其它元素排好,再将特殊元素插入,故叫插空法。

高考数学复习考点题型专题讲解25 定值问题

高考数学复习考点题型专题讲解25 定值问题

高考数学复习考点题型专题讲解专题25 定值问题高考定位 在解析几何题目中,有些几何量与参数无关,这类问题被称为定值问题.定值问题是高考的热点问题、难度较大,一般作为压轴题出现.[高考真题](2020·新高考Ⅰ卷改编)已知椭圆C :x 26+y 23=1,点M ,N 在C 上,点A (2,1)且AM ⊥AN ,AD ⊥MN ,D 为垂足,证明:存在定点Q ,使得|DQ |为定值. 证明 设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2). 若直线MN 与x 轴不垂直, 设直线MN 的方程为y =kx +m , 代入x 26+y 23=1,得(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2-6=0. 于是x 1+x 2=-4km 1+2k 2,x 1x 2=2m 2-61+2k 2.①由AM ⊥AN ,得AM →·AN →=0,故(x 1-2)(x 2-2)+(y 1-1)(y 2-1)=0,整理得(k 2+1)x 1x 2+(km -k -2)(x 1+x 2)+(m -1)2+4=0.将①代入上式,可得(k 2+1)2m 2-61+2k 2-(km -k -2)4km 1+2k2+(m -1)2+4=0,整理得(2k +3m +1)(2k +m -1)=0.因为A (2,1)不在直线MN 上, 所以2k +m -1≠0, 所以2k +3m +1=0,k ≠1.所以直线MN 的方程为y =k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -23-13(k ≠1).所以直线MN 过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫23,-13.若直线MN 与x 轴垂直, 可得N (x 1,-y 1). 由AM →·AN →=0,得(x 1-2)(x 1-2)+(y 1-1)(-y 1-1)=0. 又x 216+y 213=1,所以3x 21-8x 1+4=0.解得x 1=2(舍去),或x 1=23.此时直线MN 过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫23,-13.令Q 为AP 的中点,即Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫43,13.若D 与P 不重合,则由题设知AP 是Rt△ADP 的斜边, 故|DQ |=12|AP |=223.若D 与P 重合,则|DQ |=12|AP |.综上,存在点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫43,13,使得|DQ |为定值.样题1(2022·厦门二模改编)已知抛物线C :y 2=4x ,点P (1,2).过点Q (0,1)的直线l 与抛物线C 交于不同两点A ,B ,直线PA 交y 轴于M ,直线PB 交y 轴于N ,设O 为坐标原点,QM →=λQO →,QN →=μQO →,求证:1λ+1μ为定值.证明 由题意,可知直线l 的斜率存在,且不为0,设直线l 的方程为y =kx +1(k ≠0),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2). 由⎩⎨⎧y 2=4x ,y =kx +1,得k 2x 2+(2k -4)x +1=0,Δ=(2k -4)2-4k 2>0,得k <0或0<k <1. 则x 1+x 2=-2k -4k 2,x 1x 2=1k2,直线PA 的方程为y -2=y 1-2x 1-1(x -1), 令x =0,得M 的纵坐标y M =-y 1+2x 1-1+2=-kx 1+1x 1-1+2, 同理得点N 的纵坐标为y N =-kx 2+1x 2-1+2, 由QM →=λQO →,QN →=μQO →,得λ=1-y M ,μ=1-y N , 所以1λ+1μ=11-y M +11-y N =x 1-1(k -1)x 1+x 2-1(k -1)x 2=1k -1·2x 1x 2-(x 1+x 2)x 1x 2=1k -1·2k 2+2k -4k 21k 2=2.所以1λ+1μ为定值.样题2(2022·湖南六校联考改编)已知双曲线C :x 2-y 2=1.已知点A 是C 上一定点,过点B (0,1)的动直线与双曲线C 交于P ,Q 两点,记k AP ,k AQ 分别为直线AP ,AQ 的斜率,若k AP +k AQ 为定值λ,求点A 的坐标及实数λ的值.解 设A (m ,n ),过点B 的动直线为y =tx +1,P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2), 由⎩⎨⎧x 2-y 2=1,y =tx +1,得(1-t 2)x 2-2tx -2=0, 所以⎩⎪⎨⎪⎧1-t 2≠0,Δ=4t 2+8(1-t 2)>0,x 1+x 2=2t 1-t2,x 1x 2=-21-t2, 由1-t 2≠0,且Δ>0,得t 2<2且t 2≠1. 因为k AP +k AQ =λ, 所以y 1-n x 1-m +y 2-nx 2-m=λ, 即tx 1+1-n x 1-m +tx 2+1-nx 2-m=λ,化简得(2t -λ)x 1x 2+(-mt +1-n +λm )(x 1+x 2)-2m +2mn -λm 2=0, 所以(2t -λ)·-21-t 2+(-mt +1-n +λm )·2t 1-t 2-2m +2mn -λm 2=0,化简得m (λm -2n )t 2+2(λm -n -1)t +2λ-2m +2mn -λm 2=0, 由于上式对无穷多个不同的实数t 都成立,所以⎩⎨⎧m (λm -2n )=0,λm -n -1=0,2λ-2m +2mn -λm 2=0.如果m =0,那么n =-1,此时A (0,-1)不在双曲线C 上,舍去, 所以m ≠0,所以λm =2n =n +1, 所以n =1,代入2λ-2m +2mn -λm 2=0, 得2λ=λm 2,因为λ=2nm≠0,所以m 2=2,得m =±2, 此时A (±2,1)在双曲线C 上.综上,A (2,1),λ=2,或者A (-2,1),λ=- 2.样题3(2022·石室中学三诊改编)已知椭圆M :x 24+y 2=1,设O 为坐标原点,A ,B ,C是椭圆M 上不同的三点,且O 为△ABC 的重心,探究△ABC 面积是否为定值,若是,求出这个定值;若不是,说明理由.解 当直线AB 的斜率不存在时,AB ⊥x 轴,点C 在x 轴上,点C 到AB 的距离d =32|a |=3,|AB |=3, 则S △ABC =12|AB |d =332.当直线AB 的斜率存在时,设直线AB :y =kx +m ,联立⎩⎨⎧x 24+y 2=1,y =kx +m ,消去y 得(4k 2+1)x 2+8kmx +4(m 2-1)=0. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则有Δ=16(4k 2+1-m 2)>0,x 1+x 2=-8km 4k 2+1,x 1·x 2=4m 2-44k 2+1.y 1+y 2=k (x 1+x 2)+2m =2m4k 2+1. 因为O 为△ABC 的重心,所以OC →=-(OA →+OB →)=⎝ ⎛⎭⎪⎫8km 4k 2+1,-2m 4k 2+1, 因为点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫8km4k 2+1,-2m 4k 2+1在椭圆上, 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫8km 4k 2+124+⎝ ⎛⎭⎪⎫-2m 4k 2+12=1,即4m 2=4k 2+1.又|AB |=1+k 2|x 1-x 2|=1+k 2·44k 2+1-m 24k 2+1.点O 到直线AB 的距离d =|m |1+k 2, 所以S △ABC =3S △ABO =32·|AB |·d =6|m |4k 2+1-m 24k 2+1=6|m |3m 24m 2=332.综上,S △ABC =332为定值.规律方法 求解定值问题的两大途径(1)可由特例得出一个值(此值一般就是定值),然后证明定值:将问题转化为证明待证式与参数(某些变量)无关.(2)先将式子用动点坐标或动线中的参数表示,再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子与分母约分得定值.训练(2022·湖州调研)已知定点F (0,1),定直线l :y =-1,动圆M 过点F ,且与直线相切.(1)求动圆M 的圆心轨迹E 的方程;(2)过焦点F 的直线l 与抛物线E 交于A ,B 两点,与圆N :x 2+y 2-2y =0交于C ,D 两点(A ,C 在y 轴同侧),求证:|AC |·|BD |是定值. 解 (1)设点M 到直线l 的距离为d ,依题意|MF |=d . 设M (x ,y ),则有x 2+(y -1)2=|y +1|, 化简得x 2=4y .(2)抛物线E :x 2=4y 的焦点F (0,1),设直线l 的方程是y =kx +1,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 由⎩⎨⎧x 2=4y ,y =kx +1, 得x 2-4kx -4=0, 则Δ=16(k 2+1)>0, 且x 1+x 2=4k ,x 1·x 2=-4.由条件可知圆x 2+(y -1)2=1的圆心为N (0,1),半径为1,圆心就是焦点, 由抛物线的定义有|AF |=y 1+1,|BF |=y 2+1, 则|AC |=|AF |-1=y 1,|BD |=|BF |-1=y 2,故|AC |·|BD |=y 1y 2=(kx 1+1)(kx 2+1)=k 2x 1x 2+k (x 1+x 2)+1=-4k 2+4k 2+1=1. 即|AC |·|BD |为定值,定值为1.一、基本技能练1.(2022·合肥模拟改编)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为12,左、右顶点分别为A 1,A 2.点P 是椭圆C 上异于左、右顶点的任意一点,证明:点P 与A 1,A 2连线的斜率的乘积为定值,并求出该定值.证明 设P (x 0,y 0),则x 20a 2+y 20b2=1,所以y 20=b 2(a 2-x 20)a2, 所以kPA 1=y 0x 0+a,kPA 2=y 0x 0-a (x 0≠±a ),所以k PA 1·k PA 2=y 0x 0+a ·y 0x 0-a =y 20x 20-a 2=b 2(a 2-x 20)a 2x 20-a 2=-b 2a 2, 又因为e =c a =12,a 2=b 2+c 2,所以b 2a 2=34,所以-b 2a 2=-34,所以点P 与A 1,A 2连线的斜率的乘积为定值-34.2.(2022·广州调研)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为32,F 1,F 2分别为椭圆C的左、右焦点,M 为椭圆C 上一点,△MF 1F 2的周长为4+2 3. (1)求椭圆C 的方程;(2)若P 为圆x 2+y 2=5上任意一点,过点P 作椭圆C 的两条切线,切点分别为A ,B ,试判断PA →·PB →是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.解 (1)由已知可得⎩⎨⎧2a +2c =4+23,c a =32,a 2=b 2+c 2,解得a =2,b =1,c = 3. 所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1.(2)设P (x 0,y 0),则x 20+y 20=5.当x 0=±2时,y 0=±1,显然PA ⊥PB , 则PA →·PB →=0.当x 0≠±2时,过点P 的切线可设为y =k (x -x 0)+y 0, 联立切线方程与椭圆方程, 得⎩⎨⎧y =kx +(y 0-kx 0),x 2+4y 2=4,消去y ,得(4k 2+1)x 2+8k (y 0-kx 0)x +4[(y 0-kx 0)2-1]=0, 所以Δ=64k 2(y 0-kx 0)2-16(4k 2+1)·[(y 0-kx 0)2-1]=0. 整理成关于k 的方程,得(4-x 20)k 2+2x 0y 0k +1-y 20=0,此方程的两个根k 1,k 2就是切线PA ,PB 的斜率, 所以k 1·k 2=1-y 204-x 20=1-(5-x 20)4-x 20=-1.所以PA ⊥PB ,所以PA →·PB →=0. 综上,PA →·PB →=0,为定值.3.(2022·盐城模拟)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1,F 2,其离心率e =12,P 是椭圆C 上一动点,△PF 1F 2内切圆面积的最大值为π3.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)直线PF 1,PF 2与椭圆C 分别相交于点A ,B ,求证:|PF 1||F 1A |+|PF 2||F 2B |为定值. (1)解 由题意得△PF 1F 2内切圆半径r 的最大值为33,设|F 1F 2|=2c , 则⎩⎪⎨⎪⎧e =c a =12,12×(2a +2c )×33=12×2c ·b ,a 2=b 2+c 2,∴⎩⎨⎧b 2=3,a 2=4, ∴椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1.(2)证明 设P (x 0,y 0),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),当y 0≠0时,设直线PF 1,PF 2的方程分别是x =m 1y -1,x =m 2y +1.联立⎩⎨⎧x =m 1y -1,x 24+y 23=1,消去x 并整理得(3m 21+4)y 2-6m 1y -9=0,∴y 0y 1=-93m 21+4. ∵x 0=m 1y 0-1,∴m 1=x 0+1y 0, 又x 204+y 203=1,∴y 0y 1=-5+2x 03. 联立⎩⎨⎧x =m 2y +1,x 24+y 23=1,同理可得y 0y 2=-5-2x 03,∴|PF 1||F 1A |+|PF 2||F 2B |=-y 0y 1-y 0y 2=103; 当y 0=0时,直线PF 1,PF 2与x 轴重合,易得|PF 1||F 1A |+|PF 2||F 2B |=3+13=103. 综上所述,|PF 1||F 1A |+|PF 2||F 2B |=103. 二、创新拓展练4.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)经过点(2,1),离心率为22. (1)求椭圆C 的方程;(2)设直线l :y =kx +t (t ≠0)与椭圆C 相交于A ,B 两点,若以OA ,OB 为邻边的平行四边形OAPB 的顶点P 在椭圆C 上,求证:平行四边形OAPB 的面积为定值.(1)解 由题意⎩⎪⎨⎪⎧2a 2+1b2=1,c a =22,a 2=b 2+c 2,解得⎩⎨⎧a 2=4,b 2=2, 所以椭圆方程为x 24+y 22=1. (2)证明 联立⎩⎨⎧y =kx +t ,x 24+y 22=1, 得(2k 2+1)x 2+4ktx +2(t 2-2)=0,所以Δ=(4kt )2-8(2k 2+1)(t 2-2)=8[2(2k 2+1)-t 2]>0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=-4kt 2k 2+1,x 1x 2=2(t 2-2)2k 2+1,所以y 1+y 2=k (x 1+x 2)+2t =2t 2k 2+1. 因为四边形OAPB 是平行四边形,所以OP →=OA →+OB →=(x 1+x 2,y 1+y 2)=⎝ ⎛⎭⎪⎫-4kt 2k 2+1,2t 2k 2+1, 则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫-4kt 2k 2+1,2t 2k 2+1. 又因为点P 在椭圆上,所以4k 2t 2(2k 2+1)2+2t 2(2k 2+1)2=1, 即t 2=2k 2+12. 因为|AB |=1+k 2|x 1-x 2|=1+k 2(x 1+x 2)2-4x 1x 2 =221+k 22(2k 2+1)-t 22k 2+1=231+k 22k 2+1. 又点O 到直线l 的距离d =|t |1+k2, 所以平行四边形OAPB 的面积S =2S △OAB =|AB |·d =23|t |2k 2+1=62k 2+12k 2+1= 6. 即平行四边形OAPB 的面积为定值 6.。

数学中考题型(第25题)动点几何题型讲解

数学中考题型(第25题)动点几何题型讲解

(2)在整个运动过程中,所形成的△PEF的面积存在最大值,
当△PEF的面积最大时,求线段BP的长;
(3)是否存在某一时刻t,使△PEF是直角三角形?若存在,
请求出此时刻t的值,若不存在,请说明理由。
A
A
线段运动与四边形问题(特殊平行四边形的判定)
E
F
H
线段运动与函数的综合(二次函数求面积最大值) B
DP C B
C
线段运动与存在性问题(分类思想)
X 广东2015 25.如题25图,在同一平面上,两块斜边相等的直角三角板Rt△ABC与
LOGO
Rt△ADC拼在一起,使斜边AC完全重合,且顶点B,D分别在AC的两旁,∠ABC=
∠ADC=90°∠CAD=30°,AB=BC=4cm.
(1)填空:AD=_________ (cm),DC=_____________(cm);

,交x轴于点E,以线段DE、DB为邻边作矩形BDEF.
(1)填空:点B的坐标为____________ ;
(2)是否存在这样的点D,使得△DEC是等腰三角形?若存在,请求出AD的长度;
若不存在,请说明理由;
(3)①求证:
;②设
,矩形BDEF的面积为y,求关于y的函数关系式
(可利用①的结论),并求出的最小值。
请插入图片
3 作用:考查学生在学习数学中对 动态问题的认识和理解。
4 意义:培养学生在“分类讨论、数形结合、 方程与函数等”数学思想的形成。
5 题型出现的形式: 点动、线动、面动过程中求角、线段、 面积、函数极值问题, 或判定三角形、四边形的形状, 或存在性等问题。
PART ONE
02
以铜为镜,可以正衣冠

牛顿第二定律25种题型

牛顿第二定律25种题型

牛顿第二定律25种题型牛顿第二定律是一个非常重要的物理定律,可以应用到各种不同的题型中。

以下是一些可能的题型:1. 计算给定物体的质量和加速度,求解作用力的大小。

2. 给定物体的质量和作用力的大小,求解加速度。

3. 给定物体的质量和加速度,求解作用力的方向。

4. 考虑多个作用力作用在物体上,求解物体的加速度。

5. 考虑摩擦力对物体运动的影响,求解加速度。

6. 考虑空气阻力对物体自由落体的影响,求解加速度。

7. 考虑弹簧力对物体振动的影响,求解加速度。

8. 考虑物体在斜面上的运动,求解加速度。

9. 考虑物体在圆周运动中的加速度。

10. 考虑物体的质量随时间变化,求解加速度。

11. 考虑非惯性系中的物体运动,求解加速度。

12. 考虑相对论效应对物体运动的影响,求解加速度。

13. 考虑电磁力对带电粒子的影响,求解加速度。

14. 考虑磁场对带电粒子的影响,求解加速度。

15. 考虑引力对天体运动的影响,求解加速度。

16. 考虑光子动量对物体的影响,求解加速度。

17. 考虑量子力学效应对微观粒子的影响,求解加速度。

18. 考虑弯曲时空对物体运动的影响,求解加速度。

19. 考虑黑洞的引力对物体的影响,求解加速度。

20. 考虑物体受到辐射的影响,求解加速度。

21. 考虑物体在非常高温或低温环境中的运动,求解加速度。

22. 考虑物体在高速运动中的加速度。

23. 考虑物体在微重力环境中的运动,求解加速度。

24. 考虑物体受到外部激励力的影响,求解加速度。

25. 考虑物体在复杂场景中的运动,求解加速度。

这些题型涵盖了牛顿第二定律在不同情景下的应用,从基本的直线运动到相对论和量子力学等高级领域。

每种题型都需要根据具体情况进行分析和计算,以求得正确的加速度。

专题25 分式的运算-重难点题型(举一反三)(学生版)

专题25 分式的运算-重难点题型(举一反三)(学生版)

专题5.2 分式的运算-重难点题型【知识点1 分式的加减】同分母分式相加减,分母不变,把分子相加减;异分母分式相加减,先通分,变为同分母的分式,再加减。

①同分母分式的加减:a b a bc c c±±=; ②异分母分式的加法:a c ad bc ad bcb d bd bd bd±±=±=。

注:不论是分式的哪种运算,都要先进行因式分解。

【题型1 分式的加减】【例1】(2021春•盐城月考)化简: (1)a a−b+b b−a; (2)x 2−4x 2−4x+4−4x x 2−2x.【变式1-1】当m >﹣3时,比较m+2m+3与m+3m+4的大小.【变式1-2】(2021•乐山)已知A x−1−B 2−x=2x−6(x−1)(x−2),求A 、B 的值.【变式1-3】(2021春•河南期末)若a >0,M =aa+1,N =a+1a+2 (1)当a =1时,M =12,N =23;当a =3时,M =34,N =45;(2)猜想M 与N 的大小关系,并证明你的猜想.【题型2 分式与整式的混合运算 】 【例2】(2021•嘉兴一模)计算x 2x+2−x +2时,两位同学的解法如下:解法一:x 2x+2−x +2=x 2x+2−x+21=x 2x+2−(x+2)2x+2解法二:x 2x+2−x +2=1x+2[x 2−(x −2)(x +2)] (1)判断:两位同学的解题过程有无计算错误?若有误,请在错误处打“×”. (2)请选择一种你喜欢的方法,完成解答.【变式2-1】(2021•梧州)计算:(x ﹣2)2﹣x (x ﹣1)+x 3−4x 2x 2.【变式2-2】(2021秋•昌平区期中)阅读下列材料,然后回答问题.我们知道,假分数可以化为整数与真分数的和的形式.例如:32=1+12,在分式中,对于只含有一个字母的分式,当分子的次数大于或等于分母的次数时,我们称之为“假分式”;当分子的次数小于分母的次数时,我们称之为“真分式”.例如:x+1x−2,x 2x+2这样的分式是假分式;1x−2,xx 2−1这样的分式是真分式.类似的,假分式也可以化为整式与真分式的和的形式. 例如:x+1x−2=(x−2)+3x−2=1+3x−2,x 2x+2=(x+2)(x−2)+4x+2=x −2+4x+2.解决下列问题: (1)将分式x−2x+3化为整式与真分式的和的形式;(2)如果分式x 2+2x x+3的值为整数,求x 的整数值.【变式2-3】(2021春•玄武区期中)著名数学教育家波利亚曾说:“对一个数学问题,改变它的形式,变换它的结构,直到发现有价值的东西,这是数学解题的一个重要原则.”《见微知著》谈到:从一个简单的经典问题出发,从特殊到一般,由简单到复杂;从部分到整体,由低维到高维,知识与方法上的类比是探索发展的重要途径,是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法.阅读材料:在处理分数和分式的问题时,有时由于分子大于分母,或分子的次数高于分母的次数,在实际运算时难度较大,这时,我们可将分数(分式)拆分成一个整数(整式)与一个真分数(分式)的和(差)的形式,通过对它的简单分析来解决问题,我们称这种方法为分离常数法,此法在处理分式或整除问题时颇为有效. 将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行,如:x 2−2x+3x−1=x(x−1)+x−2x+3x−1=x +−(x−1)+2x−1=x ﹣1+2x−1,这样,分式就拆分成一个分式2x−1与一个整式x ﹣1的和的形式. 根据以上阅读材料,解答下列问题: (1)假分式x+6x+4可化为带分式 形式;(2)利用分离常数法,求分式2x 2+5x 2+1的取值范围;(3)若分式5x 2+9x−3x+2拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和(差)的形式为:5m ﹣11+1n−6,则m 2+n 2+mn 的最小值为 .【知识点2 分式的混合运算】 1.乘法法则:db ca d cb a ⋅⋅=⋅。

中考数学复习考点题型专题讲解25 坐标与新定义问题大题提升训练

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中考数学复习考点题型专题讲解中考数学复习考点题型专题讲解(重难点培优30题)专题25 坐标与新定义问题大题提升训练坐标与新定义问题大题提升训练(小题))解答题((共30小题一.解答题1.(2023秋•埇桥区期中)已知当m、n都是实数,且满足2m=6+n,则称点ܣ(݉−1,݊2)为“智慧点”.(1)判断点P(4,10)是否为“智慧点”,并说明理由.(2)若点M(a,1﹣2a)是“智慧点”.请判断点M在第几象限?并说明理由.【分析】(1)根据P点坐标,代入(݉−1,݊2)中,求出m和n的值,然后代入2m,6+n 检验等号是否成立即可;(2)直接利用“智慧点”的定义得出a的值进而得出答案.【解答】解(1)点P不是“智慧点”,由题意得݉−1=4,݊2=10,∴m=5,n=20,∴2m=2×5=10,6+n=6+20=26,∴2m≠6+n,∴点P(4,10)不是“智慧点”;(2)点M在第四象限,理由∵点M(a,1﹣2a)是“智慧点”,∴݉−1=ܽ,݊2=1−2ܽ,∴m=a+1,n=2﹣4a,∵2n=6+n,∴2(a+1)=6+2﹣4a,解得a=1,∴点M(1,﹣1),∴点M在第四象限.2.(2023春•镇巴县期末)已知a,b都是实数,设点P(a,b),若满足3a=2b+5,则称点P为“新奇点”.(1)判断点A(3,2)是否为“新奇点”,并说明理由;(2)若点M(m﹣1,3m+2)是“新奇点”,请判断点M在第几象限,并说明理由.【分析】(1)直接利用“新奇点”的定义得出a,b的值,进而得出答案;(2)直接利用“新奇点”的定义得出m的值,进而得出答案.【解答】解(1)当A(3,2)时,3×3=9,2×2+5=4+5=9,所以3×3=2×2+5,所以A(3,2)是“新奇点”;(2)点M在第三象限,理由如下∵点M(m﹣1,3m+2)是“新奇点”,∴3(m﹣1)=2(3m+2)+5,解得m=﹣4,∴m﹣1=﹣5,3m+2=﹣10,∴点M在第三象限.3.(2023秋•漳州期末)在平面直角坐标系xOy中,给出如下定义点A到x轴、y轴距离的较大值称为点A的“长距”,当点P的“长距”等于点Q的“长距”时,称P,Q两点为“等距点”.(1)求点A(﹣5,2)的“长距”;(2)若C(﹣1,k+3),D(4,4k﹣3)两点为“等距点”,求k的值.【分析】(1)即可“长距”的定义解答即可;(2)由等距点的定义求出不同情况下的k值即可.【解答】解(1)点A(﹣5,2)的“长距”为|﹣5|=5;(2)由题意可知,|k+3|=4或4k﹣3=±(k+3),解得k=1或k=﹣7(不合题意,舍去)或k=2或k=0(不合题意,舍去),∴k=1或k=2.4.(2023秋•渠县校级期中)在平面直角坐标系中,对于点P(x,y),若点Q的坐标为(ax+y,x+ay)(其中a为常数),则称点Q是点P的“a级关联点”、例如,点P(1,4)的“3级关联点”为点Q(3×1+4,1+3×4),即点Q(7,13).在平面直角坐标系中,已知点A(﹣2,6)的“2级关联点”是点B,求点B的坐标;在平面直角坐标系中,已知点M(m,2m﹣1)的“3级关联点”是点N,且点N位于x 轴上,求点N的坐标.【分析】(1)根据关联点的定义,结合点的坐标即可得出结论;(2)根据关联点的定义和点M(m,2m﹣1)的“3级关联点”是点N位于x轴上,即可求出N的坐标.【解答】解(1)∵点A(﹣2,6)的“2级关联点”是点B,故点B的坐标为(2×(﹣2)+6,﹣2+2×6)∴B的坐标(2,10);(2)∵点M(m,2m﹣1)的“3级关联点”为N(3m+2m﹣1,m+3(2m﹣1)),当N位于x轴上时,m+3(2m﹣1)=0,解得m=37,∴3m+2m﹣1=87,∴点N的坐标为(଼଻,0).5.(2023秋•天长市月考)在平面直角坐标系中,对于点P、Q两点给出如下定义若点P 到x,y轴的距离的较大值等于点Q到x,y轴的距离的较大值,则称P、Q两点为“等距点”.如点P(﹣2,5)和点Q(﹣5,﹣1)就是等距点.(1)已知点B的坐标是(﹣4,2),点C的坐标是(m﹣1,m),若点B与点C是“等距点”,求点C的坐标;(2)若点D(3,4+k)与点E(2k﹣5,6)是“等距点”,求k的值.【分析】(1)根据“等距点”的定义解答即可;(2)根据“等距点”的定义分情况讨论即可.【解答】解(1)由题意,可分两种情况①|m﹣1|=|﹣4|,解得m=﹣3或5(不合题意,舍去);②|m|=|﹣4|,解得m=﹣4(不合题意,舍去)或m=4,综上所述,点C的坐标为(﹣4,﹣3)或(3,4);(2)由题意,可分两种情况①当|2k﹣5|≥6时,|4+k|=|2k﹣5|,∴4+k=2k﹣5或4+k=﹣(2k﹣5),解得k=9或k=13(不合题意,舍去);②当|2k﹣5|<6时,|4+k|=6,∴4+k=6或4+k=﹣6,解得k=2或k=﹣10(不合题意,舍去);综上所述,k=2或k=9.6.(2023秋•蚌山区月考)在平面直角坐标系中,对于点A(x,y),若点B的坐标为(ax+y,x+ay),则称点B是点A的“a级开心点”(其中a为常数,且a≠0),例如,点P(1,4)的“2级开心点”为Q(2×1+4,1+2×4),即Q(6,9).(1)若点P的坐标为(﹣1,5),则点P的“3级开心点”的坐标为(2,14) ;(2)若点P的“2级开心点”是点Q(4,8),求点P的坐标;(3)若点P(m﹣1,2m)的“﹣3级开心点”P'位于坐标轴上,求点P'的坐标.【分析】(1)根据关联点的定义,结合点的坐标即可得出结论.(2)根据关联点的定义,结合点的坐标即可得出结论.(3)根据关联点的定义和点P (m ﹣1,2m )的“﹣3级开心点”P ′位于坐标轴上,即可求出P ′的坐标.【解答】解 (1)3×(﹣1)+5=2;﹣1+3×5=14,∴若点P 的坐标为(﹣1,5),则它的“3级开心点”的坐标为(2,14). 故答案为 (2,14);(2)设点P 的坐标为(x ,y )的“2级开心点”是点Q (4,8), ∴൜2ݔ+ݕ=4ݔ+2ݕ=8 解得൜ݔ=0ݕ=4,∴点P 的坐标为(0,4);(3)∵点P (m ﹣1,2m )的“﹣3级开心点”为P ′(﹣3(m ﹣1)+2m ,m ﹣1+(﹣3)×2m ),①P ′位于x 轴上, ∴m ﹣1+(﹣3)×2m =0, 解得 m =−15,∴﹣3(m ﹣1)+2m =165, ∴P ′(ଵ଺ହ,0).②P ′位于y 轴上, ∴﹣3(m ﹣1)+2m =0, 解得 m =3∴m ﹣1+(﹣3)×2m =﹣16, ∴P ′(0,﹣16).综上所述,点P ′的坐标为(ଵ଺ହ,0)或(0,﹣16).7.(2023春•芜湖期中)在平面直角坐标系中,对于点A (x ,y ),若点B 的坐标为(x +ay ,ax+y),则称点B是点A的a级亲密点.例如点A(﹣2,6)的ଵଶ级亲密点为B(−2+12×6,12×(−2)+6),即点B的坐标为(1,5).(1)已知点C(﹣1,5)的3级亲密点是点D,则点D的坐标为(14,2) .(2)已知点M(m﹣1,2m)的﹣3级亲密点M1位于y轴上,求点M1的坐标.(3)若点E在x轴上,点E不与原点重合,点E的a级亲密点为点F,且EF的长度为OE长度的√3倍,求a的值.【分析】(1)根据题意,应用新定义进行计算即可得出答案;(2)根据新定义进行计算可得点M(m﹣1,2m)的﹣3级亲密点是点M1[m﹣1+(﹣3)×2m,﹣1×(m﹣1)+2m],根据y轴上点的坐标特征进行求解即可得出答案;(3)设E(x,0),则点E的a级亲密点为点F(x,ax),根据平面直角坐标系中距离的计算方法可得,OE=|x|,EF=|ax|,则|ax|=√3|x|,计算即可得出答案.【解答】解(1)根据题意可得,点C(﹣1,5)的3级亲密点是点D(﹣1+3×5,﹣1×3+5),即点D的坐标为(14,2);故答案为(14,2);(2)根据题意可得,点M(m﹣1,2m)的﹣3级亲密点是点M1[m﹣1+(﹣3)×2m,﹣3×(m﹣1)+2m],即点M1的坐标为(﹣5m﹣1,﹣m+3),∵M1位于y轴上,∴﹣5m﹣1=0,∴m=−15,∴M1(0,ଵ଺ହ);(3)设E(x,0),则点E的a级亲密点为点F(x,ax),根据题意可得,OE=|x|,EF=|ax|,则|ax |=√3|x |, 即|a |=√3, 解得 a =±√3.8.(2023秋•舒城县校级月考)点P 坐标为(x ,2x ﹣4),点P 到x 轴、y 轴的距离分别为d 1,d 2.(1)当点P 在坐标轴上时,求d 1+d 2的值; (2)当d 1+d 2=3时,求点P 的坐标; (3)点P 不可能在哪个象限内?【分析】(1)分点P 在x 轴和y 轴两种情况讨论即可;(2)将d 1+d 2用含x 的式子表示出来,根据x 的范围化简即可; (3)根据x 和2x ﹣4的范围即可得出答案.【解答】解 (1)若点P 在x 轴上,则x =0,2x ﹣4=﹣4, ∴点P 的坐标为(0,﹣4),此时d 1+d 2=4, 若点P 在y 轴上,则2x ﹣4=0,得x =2, ∴点P 的坐标为(2,0),此时d 1+d 2=2. (2)若x ≤0,则d 1+d 2=﹣x ﹣2x +4=3, 解得x =13(舍), 若0<x <2,则d 1+d 2=x ﹣2x +4=3,解得x =1, ∴P (1,﹣2),若x ≥2,则d 1+d 2=x +2x ﹣4=3, 解得x =73, ∴P (଻ଷ,ଶଷ);(3)∵当x <0时,2x ﹣4<0,∴点P不可能在第二象限.9.(2023春•新余期末)已知当m,n都是实数,且满足2m=8+n时,就称点P(m﹣1,௡ାଶଶ)为“爱心点”.(1)判断点A(5,3),B(4,8)哪个点为“爱心点”,并说明理由;(2)若点M(a,2a﹣1)是“爱心点”,请判断点M在第几象限?并说明理由.【分析】(1)直接利用“爱心点”的定义得出m,n的值,进而得出答案;(2)直接利用“爱心点”的定义得出a的值进而得出答案.【解答】解(1)当A(5,3)时,m﹣1=5,௡ାଶଶ=3,解得m=6,n=4,则2m=12,8+n=12,所以2m=8+n,所以A(5,3)是“爱心点”;当B(4,8)时,m﹣1=4,௡ାଶଶ=8,解得m=5,n=14,显然2m≠8+n,所以B点不是“爱心点”;(2)点M在第三象限,理由如下∵点M(a,2a﹣1)是“爱心点”,∴m﹣1=a,௡ାଶଶ=2a﹣1,∴m=a+1,n=4a﹣4,代入2m=8+n有2a+2=8+4a﹣4,∴a=﹣1 2a﹣1=﹣3,∴M(﹣1,﹣3)故点M在第三象限.10.(2023春•商南县校级期末)在平面直角坐标系xOy中,给出如下定义点A到x轴、y 轴距离中的较大值称为点A的“长距”,当点P的“长距”等于点Q的“长距”时,称P,Q两点为“等距点”.(1)点A(2,3)的“长距”等于3,点B(﹣7,5)的“长距”等于7.(2)若C(﹣1,2k+3),D(6,k﹣2)两点为“等距点”,求k的值.【分析】(1)根据“长距”的定义解答即可;(2)由等距点的定义求出不同情况下的k值即可.【解答】解(1)点A(2,3)的“长距”为|3|=3;点B(﹣7,5)的“长距”为|﹣7|=7;故答案为3,7.(2)由题意可知,|2k+3|=6或2k+3=±(k﹣2),解得k=32或k=﹣4.5(不合题意,舍去)或k=﹣5或k=−13(不合题意,舍去),∴k=32或k=﹣5.11.(2023春•思明区校级期末)在平面直角坐标系xOy中,给出如下定义点A到x轴、y 轴距离的较大值称为点A的“长距”,当点P的“长距”等于点Q的“长距”时,称P,Q两点为“等距点”.(1)点A(﹣5,2)的“长距”为5;(2)点B(﹣2,﹣2m+1)的“长距”为3,求m的值;(3)若C(﹣1,k+3),D(4,4k﹣3)两点为“等距点”,求k的值.【分析】(1)根据“长距”的定义解答即可;(2)根据“长距”的定义解答即可;(3)由等距点的定义求出不同情况下的k值即可.【解答】解(1)点A(﹣5,2)的“长距”为|﹣5|=5;故答案为5.(2)由题意可知|﹣2m+1|=3,解得m =﹣1或2.(3)由题意可知,|k +3|=4或4k ﹣3=±(k +3),解得k =1或k =﹣7(不合题意,舍去)或k =2或k =0(不合题意,舍去), ∴k =1或k =2.12.(2023•南京模拟)在平面直角坐标系xOy 中,对于点P (x ,y ),若点Q 的坐标为(ax +y ,x +ay ),其中a 为常数,则称点Q 是点P 的“a 级关联点”例如,点P (1,4)的“3级关联点”为Q (3×1+4,1+3×4),即Q (7,13).(1)已知点A (2,﹣6)的“ଵଶ级关联点”是点B ,求点B 的坐标; (2)已知点P 的5级关联点为(9,﹣3),求点P 坐标;(3)已知点M (m ﹣1,2m )的“﹣4级关联点”N 位于坐标轴上,求点N 的坐标. 【分析】(1)根据关联点的定义,结合点的坐标即可得出结论;(2)设点P 的坐标为(a ,b ),根据关联点的定义,结合点的坐标列方程组即可得出结论;(3)根据关联点的定义和点M (m ﹣1,2m )的“﹣4级关联点”N 位于坐标轴上,即可求出N 的坐标.【解答】解(1)∵点A (2,﹣6)的“ଵଶ级关联点”是点B ,故点B 的坐标为(ଵଶ×2−6,2−12×6) ∴B 的坐标(﹣5,﹣1);(2)设点P 的坐标为(a ,b ), ∵点P 的5级关联点为(9,﹣3), ∴ቄ5ܽ+ܾ=9ܽ+5ܾ=−3, 解得ቄܽ=2ܾ=−1,∵P (2,﹣1);(3)∵点M (m ﹣1,2m )的“﹣4级关联点”为M ′(﹣4(m ﹣1)+2m ,m ﹣1+(﹣4)×2m ),当N位于y轴上时,﹣4(m﹣1)+2m=0,解得m=2,∴m﹣1+(﹣4)×2m)=﹣15,∴N(0,﹣15);当N位于x轴上时,m﹣1+(﹣4)×2m=0,解得m=−17,∴﹣4(m﹣1)+2m=307,∴N(ଷ଴଻,0);综上所述,点N的坐标为(0,﹣15)或(ଷ଴଻,0).13.(2023春•上杭县期中)在平面直角坐标系xOy中,对于P,Q两点给出如下定义若点P到x轴、y轴的距离之差的绝对值等于点Q到x轴、y轴的距离之差的绝对值,则称P,Q两点互为“等差点”.例如,点P(1,2)与点Q(﹣2,3)到x轴、y轴的距离之差的绝对值都等于1,它们互为“等差点”.(1)已知点A的坐标为(3,﹣6),在点B(﹣4,1).C(﹣3,7).D(2,﹣5)中,与点A互为等差点的是B与D.(2)若点M(﹣2,4)与点N(1,n+1)互为“等差点”,求点N的坐标.【分析】(1)利用“等差点”的定义,找出到x轴、y轴的距离之差(2)利用“等差点”的定义列方程解答即可.【解答】解(1)∵点A(3,﹣6)到x轴、y轴的距离之差的绝对值等于3,点B(﹣4,1)到x轴、y轴的距离之差的绝对值等于3,点C(﹣3,7)到x轴、y轴的距离之差的绝对值等于4,点D(2,﹣5)到x轴、y轴的距离之差的绝对值等于3,∴与点A互为等差点的是B与D;故答案为B与D;(2)∵点M(﹣2,4)与点N(1,n+1)互为“等差点”,∴n +1﹣1=|4|﹣|﹣2|或4解得n =2或n =﹣4,∴点N 的坐标为(1,3)感14.(2023秋•海淀区校级期中b ),P 2(c ,b ),P 3(c 的“完美间距″.例如 如图是1.(1)点Q 1(4,1),Q 2(2)已知点O (0,0①若点O ,A ,B 的“完美间②点O ,A ,B 的“完美间距③已知点C (0,4),D (m ,0),P (m ,n )的“【分析】(1)分别计算出(2)①分别计算出OA 以“最佳间距”为OA 即可求解y 的值;②由①可得,“最佳间距”﹣|﹣2|=﹣n ﹣1﹣1, )或(1,﹣3).本号资料全部来源于微 信公众号级期中)给出如下定义 在平面直角坐标系xOy 中,,d ),这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点如图,点P 1(﹣1,2),P 2(1,2),P 3(1,3)(5,1),Q 3(5,5)的“完美间距”是 1 ),A (4,0),B (4,y ).完美间距”是2,则y 的值为 ±2 ; 美间距”的最大值为 4 ;(﹣4,0),点P (m ,n )为线段CD 上一动点,“完美间距”取最大值时,求此时点P 的坐标.算出Q 1Q 2,Q 2Q 3,Q 1Q 3的长度,比较得出最小值即可,AB 的长度,由于斜边大于直角边,故OB >或者AB 的长度,由于“最佳间距”为1,而”为OA 或AB 的长度,当OA ≤AB 时,“最佳间距公众号 数学第 六,已知点P 1(a ,称为点P 1,P 2,P 3)的“完美间距”; ,当O (0,0),E .值即可; OA ,OB >AB ,所OA =4,故OB =2,佳间距”为OA =4,当OA >AB 时,“最佳间距③同①,当点O (0,0先求出直线CD 的解析式≥PE 和OE <PE 时,求出各的最大值,进一步求解出【解答】解 (1)如图,∵Q 1(4,1),Q 2(5,∴Q 1Q 2=1,Q 2Q 3=4,在Rt △Q 1Q 2Q 3中,Q 1Q ∵1<4<√17, “最佳距离”为1; 故答案为 1; (2)①如图∵O (0,0),A (4,0∴OA =4,AB =|y |,间距”为AB <4,比较两个“最大间距”,即可解决),E (m ,0),P (m ,n )的“最佳间距”为OE 析式,用m 表示出线段OE 和线段PE 的长度,分两类求出各自条件下的“最佳间距”,比较m 的范围,解出P 点坐标.,在给出图形中标出点Q 1,Q 2,Q 3,1),Q 3(5,5),3=√17,),B (4,y ),解决;或者PE 的长度,分两类讨论,当OE 确定“最佳间距”在直角△ABO 中,OB >又∵点O ,A ,B 的“最佳间且4>2, ∴|y |=2, ∴y =±2, 故答案为 ±2;②由①可得,OB >OA ∴“最佳间距”的值为∵OA =4,AB =|y |,当AB ≥OA 时,“最佳间距当AB <OA 时,“最佳间距∴点O ,A ,B 的“最佳间距故答案为 4;③设直线CD 为y =kx +4,﹣4k +4=0, ∴k =1,∴直线CD 的解析式为 ∵E (m ,0),P (m ,n ,∴PE ∥y 轴,∴OE =﹣m ,PE =n =m Ⅰ、当﹣m ≥m +4时,即OA ,OB >AB , 最佳间距”是2, ,OB >AB ,OA 或者是AB 的长, 间距”为4, 间距”为|y |<4, 佳间距”的最大值为4, ,代入点D 得,如图,y =x +4,),且P 是线段CD 上的一个动点, +4,即OE ≥PE 时,m ≤﹣2,“最佳间距”为m +4,此时此时m +4≤2,Ⅱ、当﹣m <m +4时,即∴点O (0,0),E (m ∴m =﹣2, ∴n =m +4=2, ∴P (﹣2,2).15.(2023春•泗水县期末)对于y )的横坐标与纵坐标的绝对例如,点P (﹣1,2)的折(1)已知点A (﹣3,4(2)若点M 在x 轴的上方标.【分析】(1)根据题意可以(2)根据题意可知y >【解答】解 (1)[A ]=|所以点A ,点B 的折线距离(2)∵点M 在x 轴的上方∴x =±1时,y =1或x ∴点M 的坐标为(﹣116.(2023春•思明区校级期中即OE <PE 时,﹣2<m <0,“最佳间距“为﹣m ,,0),P (m ,n )的“最佳间距”取到最大值时,对于平面直角坐标系中的点P (x ,y )给出如下定义的绝对值之和叫做点P (x ,y )的折线距离,记作[P ]的折线距离为[P ]=|﹣1|+|2|=3.),B (√2,﹣2√2),求点A ,点B 的折线距离.的上方,点M 的横坐标为整数,且满足[M ]=2,直接写意可以求得折线距离[A ],[B ];0,然后根据[M ]=2,即可求得点M 的坐标. −3|+|4|=7,[B ]=|√2|+|﹣2√2|=3√2; 线距离分别为7、3√2;的上方,其横坐标均为整数,且[M ]=2, =0时,y =2,,1),(1,1),(0,2).级期中)在平面直角坐标系中,对于点P (x ,y ),若点,此时﹣m <2, ,m =﹣2, 下定义 把点P (x ,,即[P ]=|x |+|y |,.直接写出点M 的坐若点Q 的坐标为(ax +y ,x +ay ),其中a 为常数,则称点Q 是点P 的“a 级关联点”,例如,点P (1,4)的3级关联点”为Q (3×1+4,1+3×4)即Q (7,13),若点B 的“2级关联点”是B (3,3).(1)求点B 的坐标;(2)已知点M (m ﹣1,2m )的“﹣3级关联点”N 位于y 轴上,求N 的坐标. 【分析】(1)由点B 的“2级关联点”是B '(3,3)得出൜2ݔ+ݕ=3ݔ+2ݕ=3,解之求得x 、y 的值即可得;(2)由点M (m ﹣1,2m )的“﹣3级关联点”N 的坐标为(﹣m +3,﹣5m ﹣1),且点M ′在y 轴上知﹣m +3=0,据此求得m 的值,再进一步求解可得. 【解答】解 ∵点B 的“2级关联点”是B '(3,3), ∴൜2ݔ+ݕ=3ݔ+2ݕ=3, 解得 ൜ݔ=1ݕ=1,则点B 的坐标为(1,1);(2)∵点M (m ﹣1,2m )的“﹣3级关联点”N 的坐标为(﹣m +3,﹣5m ﹣1),且点N 在y 轴上, ∴﹣m +3=0, 解得m =3, 则﹣5m ﹣1=﹣16, ∴点N 坐标为(0,﹣16).17.(2023春•罗山县期末)阅读理解,解答下列问题在平面直角坐标系中,对于点A (x ,y )若点B 的坐标为(kx +y ,x ﹣ky ),则称点B 为A 的“k 级牵挂点”,如点A (2,5)的“2级牵挂点”为B (2×2+5,2﹣2×5),即B (9,5).(1)已知点P (﹣5,1)的“﹣3级牵挂点”为P 1,求点P 1的坐标,并写出点P 1到x 轴的距离;(2)已知点Q 的“4级牵挂点”为Q 1(5,﹣3),求Q 点的坐标及所在象限. 【分析】(1)根据“k 级牵挂点”的定义判定结论;(2)设Q (x ,y ),根据点Q 的“4级牵挂点”为Q 1(5,﹣3)可得关于x 、y 的二元一次方程组,解方程组求出x 、y 的值即可.【解答】解 (1)∵点P (﹣5,1)的“﹣3级牵挂点”为P 1, ∴﹣5×(﹣3)+1=16,﹣5﹣(﹣3)×1=﹣2, 即P 1(16,﹣2), 点P 1到x 轴的距离为2;(2)∵点Q 的“4级牵挂点”为Q 1(5,﹣3), 设Q (x ,y ). 则有൜4ݔ+ݕ=5ݔ−4ݕ=−3,解得൜ݔ=1ݕ=1,∴Q (1,1),点Q 在第一象限.18.(2023秋•东城区校级期中)对有序数对(m ,n )定义“f 运算” f (m ,n )=(ଵଶm +a ,ଵଶn +b ),其中a ,b 为常数,f 运算的结果也是一个有序数对,在此基础上,可对平面直角坐标系中的任意一点A (x ,y )规定“F 变换”;点A (x ,y )在F 的变换下的对应点即为坐标是f (x ,y )的点A '.(1)当a =0,b =0时,f (﹣2,4)= (﹣1,2) .(2)若点P (2,﹣2)在F 变换下的对应点是它本身,求ab 的值. 【分析】(1)根据新定义运算法则解得;(2)根据新定义运算法则得到关于a 、b 的方程,通过解方程求得它们的值即可. 【解答】解 (1)依题意得 f (﹣2,4)=(ଵଶ×(﹣2)+0,ଵଶ×4﹣0)=(﹣1,2). 故答案是 (﹣1,2);(2)依题意得 f (2所以ଵଶ×2+a =2,ଵଶ×(﹣所以a =1,b =﹣1. ∴ab =﹣1.19.(2023春•海门市期末)﹣x 1=y 2﹣y 1≠0,则称点因为2﹣(﹣1)=6﹣3(1)若点A 的坐标是(点A 的“对角点”为点(2)若点A 的坐标是(﹣(3)若点A 的坐标是(求m ,n 的取值范围.【分析】(1)、(2)读懂新定(3)根据新定义和直角坐标【解答】解 (1)根据新定故答案为 B 2(﹣1,﹣7(2)①当点B 在x 轴上时,﹣2)=(ଵଶ×2+a ,ଵଶ×(﹣2)﹣b )=(2,﹣2).(﹣2)+b =﹣2, )在平面直角坐标系xOy 中,点A (x 1,y 1),B 称点A 与点B 互为“对角点”,例如 点A (﹣1,3,≠0,所以点A 与点B 互为“对角点”.4,﹣2),则在点B 1(2,0),B 2(﹣1,﹣7),B 2(﹣1,﹣7),B 3(0,﹣6) ;(﹣2,4)的“对角点”B 在坐标轴上,求点B 的坐(3,﹣1)与点B (m ,n )互为“对角点”,且点懂新定义,根据新定义解题即可;角坐标系中第四象限x 、y 的取值范围确定m 、n 的取据新定义可以得B 2、B 3与A 点互为“对角点”; ),B 3(0,﹣6); 上时,). (x 2,y 2),若x 2),点B (2,6),B 3(0,﹣6)中,的坐标; 且点B 在第四象限,的取值范围即可.设B (t ,0),由题意得t ﹣(﹣2)=0﹣4, 解得t =﹣6, ∴B (﹣6,0). ②当点B 在y 轴上时, 设B (0,b ),由题意得0﹣(﹣2)=b ﹣4, 解得b =6, ∴B (0,6).综上所述 A 的“对角点”点B 的坐标为(﹣6,0)或(0,6). (3)由题意得m ﹣3=n ﹣(﹣1), ∴m =n +4. ∵点B 在第四象限, ∴ቊ݉>0݊<0, ∴ቊ݊+4>0݊<0,解得﹣4<n <0, 此时0<n +4<4, ∴0<m <4.由定义可知 m ≠3,n ≠﹣1,∴0<m <4且m ≠3,﹣4<n <0且n ≠﹣1. 故答案为 0<m <4且m ≠3,﹣4<n <0且n ≠﹣1.20.(2023•朝阳区校级开学)我们规定 在平面直角坐标系xOy 中,任意不重合的两点M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)之间的“折线距离”为d (M ,N )=|x 1﹣x 2|+|y 1﹣y 2|.例如图1中,点M (﹣2,3)与点N (1,﹣1)之间的“折线距离”为d (M ,N )=|﹣2﹣1|+|3﹣(﹣1)|=3+4=7.根据上述知识,解决下面问(1)已知点P (3,﹣4,与点P 之间的“折线距离(2)如图2,已知点P 的值;(3)如图2,已知点P 写出t 的取值范围.【分析】(1)分别求出(2)通过d (P ,Q )=(3)d (P ,Q )=|3﹣t 【解答】解 (1)由题意得d (P ,B )=|3﹣(﹣1d (P ,C )=|3﹣(﹣2d (P ,D )=|3﹣0|+|﹣4故答案为 A ,B ,D .(2)d (P ,Q )=|3﹣t 解得t =﹣1或t =7.(3)d (P ,Q )=|3﹣t 化简得d (P ,Q )=|3当﹣5≤t ≤3时,|3﹣t下面问题),在点A (5,2),B (﹣1,0),C (﹣2,1距离”为8的点是A ,B ,D ;(3,﹣4),若点Q 的坐标为(t ,2),且d (P (3,﹣4),若点Q 的坐标为(t ,t +1),且d (PA ,B ,C ,D 与点P 之间的“折线距离”求解.|3﹣t |+|﹣4﹣(t +1)|=8求解.|+|﹣4﹣(t +1)|=8,分类讨论t 的取值范围去绝对题意得d (P ,A )=|3﹣5|+|﹣4﹣2|=8, )|+|﹣4﹣0|=8, )|+|﹣4﹣1|=10, ﹣1|=8,|+|﹣4﹣2|=10, |+|﹣4﹣(t +1)|, ﹣t |+|5+t |,|+|5+t |=3﹣t +5+t =8,满足题意.),D (0,1)中,,Q )=10,求t ,Q )=8,直接. 去绝对值符号求解.当t <﹣5时,|3﹣t |+|5+t 当t >3时,|3﹣t |+|5+t |∴﹣5≤t ≤3.21.(2023春•丰台区期末)y 2),定义k |x 1﹣x 2|+(1M (1,3),N (﹣2,4)2).(1)若点B (0,4),求点(2)若点B 在x 轴上,且点(3)若点B (a ,b ),且点【分析】(1)根据“k 阶距(2)设出点B 的坐标,点B 的坐标,注意x轴上的|=3﹣t ﹣5﹣t =﹣2﹣2t ,不满足题意. =t ﹣3+5+t =2+2t ,不满足题意. )在平面直角坐标系xOy 中,对于任意两点M (﹣k )|y 1﹣y 2|为点M 和点N 的“k 阶距离”,其中0)的ଵହ阶距离”为ଵହ|1െሺെ2ሻ|൅ସହ|3െ4|ൌ଻ହ.求点A 和点B 的“ଵସ阶距离”;且点A 和点B 的“ଵଷ阶距离”为4,求点B 的坐标且点A 和点B 的“ଵଶ阶距离”为1,直接写出a +阶距离”的定义计算点A 与点B 之间的“ଵସ阶距离,再根据“ଵଷ阶距离”的定义列出方程,求出字母的轴上的点的纵坐标为0.x 1,y 1),N (x 2,≤k ≤1.例如 点.已知点A (﹣1,的坐标;b 的取值范围. 距离”.字母的值,从而确定(3)根据“ଵଶ阶距离”的定义列出关于字母a 和b 的式子,当a 和b 在不同的取值范围内将含有a 和b 的式子中的绝对值去掉,从而求得a +b 的取值范围.【解答】解 (1)由题知,点A (﹣1,2)和点B (0,4)的“ଵସ阶距离”为ଵସ|−1−0|+(1−14)|2﹣4|=14+64=74.(2)∵点B 在x 轴上,∴设点B 的横坐标为m ,则点B 的坐标为(m ,0), ∵点A (﹣1,2)和点B (m ,0)的“ଵଷ阶距离”为4, ∴ଵଷ|−1−݉|+(1−ଵଷ)|2−0|=4,ଵଷ|−1−݉|=଼ଷ,|﹣1﹣m |=8,∴﹣1﹣m =8或﹣1﹣m =﹣8, ∴m =﹣9或7,∴点B 的坐标为(﹣9,0)或(7,0).(3)∵点A (﹣1,2)和点B (a ,b )的“ଵଶ阶距离”为1, ∴.ଵଶ|−1−ܽ|+(1−ଵଶ)|2−ܾ|=1,|﹣1﹣a |+|2﹣b |=2,①当a ≤﹣1,且b ≤2时,得|﹣1﹣a |+|2﹣b |=﹣1﹣a +2﹣b ,由此得出a +b =﹣1, ②当a ≤﹣1,且b >2时,得|﹣1﹣a |+|2﹣b |=﹣1﹣a +b ﹣2,由此得出b =5+a ,则a +b =2a +5, ∵b >2, 即5+a >2, ∴a >﹣3∵a≤﹣1,∴﹣3<a≤﹣1∴﹣1<2a+5≤3,即﹣1<a+b≤3,③当a>﹣1,且b<2时,得|﹣1﹣a|+|2﹣b|=1+a+2﹣b,由此得出a=b﹣1,则a+b=2b﹣1,∵a>﹣1,即b﹣1>﹣1,∴b>0,∵b<2,∴0<b<2,∴﹣1<2b﹣1<3,即﹣1<a+b<3,④当a>﹣1,且b≥2时,得|﹣1﹣a|+|2﹣b|=1+a+b﹣2,由此得出a+b=3,综上所得,﹣1≤a+b≤3.22.(2023春•福州期末)对于平面直角坐标系xOy中的任意一点P(x,y),给出如下定义;a=2x﹣y,b=x+y,将点M(a,b)与N(b,a)称为点P的一对“关联点”.例如P(2,3)的一对“关联点”是点(1,5)与(5,1).(1)点Q(4,3)的一对“关联点”是点(5,7) 与(7,5) .(2)点A(x,8)的一对“关联点”重合,求x的值.(3)点B一个“关联点”的坐标是(﹣1,7),求点B的坐标.【分析】(1)根据“关联点”定义求解;(2)根据“关联点”的定义列方程求解;(3)根据“关联点”的定义列方程组求解,注意分类讨论,不要漏解.【解答】解(1)∵2×4﹣3=5,4+3=7,∴点Q(4,3)的一对“关联点”是点(5,7)与(7,5).故答案为(5,7)与(7,5).(2)由题意得 2x ﹣8=x +8, 解得 x =16. (3)设B (x ,y ),∴൜2ݔ−ݕ=−1ݔ+ݕ=7或൜2ݔ−ݕ=7ݔ+ݕ=−1, ∴൜ݔ=2ݕ=5或൜ݔ=2ݕ=−3, ∴B (2,5)或B (2,﹣3).23.(2023春•雨花区校级期中)对于平面直角坐标系中任一点(a ,b ),规定三种变换如下①f (a ,b )=(﹣a ,b ).如 f (7,3)=(﹣7,3); ②g (a ,b )=(b ,a ).如 g (7,3)=(3,7); ③h (a ,b )=(﹣a ,﹣b ).如 h (7,3)=(﹣7,﹣3); 例如 f (g (2,﹣3))=f (﹣3,2)=(3,2) 规定坐标的部分规则与运算如下①若a =b ,且c =d ,则(a ,c )=(b ,d ),反之若(a ,c )=(b ,d ),则a =b ,且c =d .②(a ,c )+(b ,d )=(a +b ,c +d );(a ,c )﹣(b ,d )=(a ﹣b ,c ﹣d ).例如 f (g (2,﹣3))+h (g (2,﹣3))=f (﹣3,2)+h (﹣3,2)=(3,2)+(3,﹣2)=(6,0). 请回答下列问题(1)化简 f (h (6,﹣3))= (6,3) (填写坐标);(2)化简 h (f (﹣1,﹣2))﹣g (h (﹣1,﹣2))= (﹣3,1) (填写坐标); (3)若f (g (2x ,﹣kx ))﹣h (f (1+y ,﹣2))=h (g (ky ﹣1,﹣1))+f (h (y ,x ))且k 为绝对值不超过5的整数,点P (x ,y )在第三象限,求满足条件的k 的所有可能取值.【分析】(1)根据新定义进行化简即可. (2)根据新定义进行化简即可.(3)根据坐标的变换规则和运算规则,对式子进行化简,得到等式,根据点的坐标特点,列出不等式求解即可.【解答】解 (1)f (h (6,﹣3))=f (﹣6,3)=(6,3), 故答案为 (6,3);(2)h (f (﹣1,﹣2))﹣g (h (﹣1,﹣2))=h (1,﹣2)﹣g (1,2)=(﹣1,2)﹣(2,1)=(﹣3,1), 故答案为 (﹣3,1);(3)f (g (2x ,﹣kx ))﹣h (f (1+y ,﹣2))=f (﹣kx ,2x )﹣h (﹣1﹣y ,﹣2)=(kx ,2x )﹣(1+y ,2)=(kx ﹣1﹣y ,2x ﹣2),h (g (ky ﹣1,﹣1))+f (h (y ,x ))=h (﹣1,ky ﹣1)+f (﹣y ,﹣x )=(1,1﹣ky )+(y ,﹣x )=(y +1,1﹣ky ﹣x ),∵f (g (2x ,﹣kx ))﹣h (f (1+y ,﹣2))=h (g (ky ﹣1,﹣1))+f (h (y ,x )), ∴(kx ﹣1﹣y ,2x ﹣2)=(y +1,1﹣ky ﹣x ), ∴൜݇ݔ−1−ݕ=ݕ+12ݔ−2=1−݇ݕ−ݔ, ∴൜݇ݔ−2ݕ=23ݔ+݇ݕ=3, ∴൞ݔ=2݇+6݇2+6ݕ=3݇−6݇2+6, ∵点P (x ,y )在第三象限, ∴ቊ2݇+6<03݇−6<0,∴k <﹣3,∵k 为绝对值不超过5的整数, ∴k 的所有可能取值为﹣4、﹣5.24.(2023春•嵩县期末)对于平面直角坐标系中的点P (x ,y )给出如下定义 把点P (x ,y )的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点P (x ,y )的折线距离,记作[P ],即[P ]=|x |+|y |,例如,点P (﹣1,2)的折(1)已知点A (﹣3,4(2)若点M 在x 轴的上方标.【分析】(1)根据题意可以(2)根据题意可知y >【解答】解 (1)[A ]=|(2)∵点M 在x 轴的上方∴x =±1时,y =1或x ∴点M 的坐标为(﹣125.(2023春•濠江区期末)我们称点P 为“梦之点”(1)判断点A (3,2)是否(2)若点M (m ﹣1,3【分析】(1)直接利用“(2)直接利用“梦之点”【解答】解 (1)当A 解得a =1,b =1,的折线距离为[P ]=|﹣1|+|2|=3.),B (√2,െ3√2),求点A ,点B 的折线距离.的上方,点M 的横坐标为整数,且满足[M ]=2,直接写意可以求得折线距离[A ],[B ];0,然后根据[M ]=2,即可求得点M 的坐标. −3|+|4|=7,[B ]=|√2|+|−3√2|=4√2; 的上方,其横,纵坐标均为整数,且[M ]=2, =0时,y =2,,1),(1,1),(0,2).)已知a ,b 都是实数,设点P (a +2,௕ାଷଶ),且满”.是否为“梦之点”,并说明理由.m +2)是“梦之点”,请判断点M 在第几象限,并说“梦之点”的定义得出a ,b 的值,进而得出答案”的定义得出m 的值进而得出答案. (3,2)时,a +2=3,௕ାଷଶ=2,.直接写出点M 的坐且满足3a =2+b ,并说明理由. 答案;则3a=3,2+b=3,所以3a=2+b,所以A(3,2),是“梦之点”;(2)点M在第三象限,理由如下∵点M(m﹣1,3m+2)是“梦之点”,∴a+2=m﹣1,௕ାଷଶ=3݉+2,∴a=m﹣3,b=6m+1,∴代入3a=2+b有3(m﹣3)=2+(6m+1),解得m=﹣4,∴m﹣1=﹣5,3m+2=﹣10,∴点M在第三象限.26.(2023秋•兴化市校级期末)在平面直角坐标系xOy中,点A(x1,y1),B(x2,y2),若x2﹣x1=y2﹣y1≠0,则称点A与点B互为“对角点”,例如点A(﹣1,3),点B(2,6),因为2﹣(﹣1)=6﹣3≠0,所以点A与点B互为“对角点”.(1)若点A的坐标是(4,﹣2),则在点B1(2,0),B2(﹣1,﹣7),B3(0,﹣6)中,点A的“对角点”为点B2(﹣1,﹣7),B3(0,﹣6); ;(2)若点A的坐标是(5,﹣3)的“对角点”B在坐标轴上,求点B的坐标;(3)若点A的坐标是(−√3,2√3)与点B(2m,﹣n)互为“对角点”,且m、n互为相反数,求B点的坐标.【分析】(1)、(2)读懂新定(3)根据新定义和直角坐标【解答】解 (1)根据新定故答案为 B 2(﹣1,﹣7(2)①当点B 在x 轴上时设B (t ,0),由题意得解得t =﹣8, ∴B (8,0). ②当点B 在y 轴上时,设B (0,b ),由题意得0﹣5=b ﹣(﹣解得b =﹣8, ∴B (0,﹣8).综上所述 A 的“对角点”(3)由题意得2m +√3=∴2m =﹣n ﹣3√3. ∵m 、n 互为相反数, ∴m +n =0,懂新定义,根据新定义解题即可;角坐标系中第四象限x 、y 的取值范围确定m 、n 的取据新定义可以得B 2、B 3与A 点互为“对角点”; ),B 3(0,﹣6); 上时,t ﹣5=0﹣(﹣3), (﹣3), ”点B 的坐标为(8,0)或(0,﹣8). =−n ﹣2√3,的取值范围即可.解得m +n +m =﹣3√3,∴m =﹣3√3,n =3√3∴2m =﹣6√3, ∴B (﹣6√3,﹣3√3).27.(2023秋•朝阳区校级期末得到射线OY ,如果点示点P 在平面内的位置,那么点M 在平面内的位置记(1)如图3,若点N 在平面内(2)已知点A 在平面内的位①若点B 在平面内的位置记②若点B 在平面内的位置记③若点B 在平面内的位置记【分析】(1)根据新定义直(2)①先根据新定义画图画图,证明△AOB 是等边三△AOB 1是直角三角形,从而【解答】解 (1)点N 在平故答案为 6,30; (2)①如图,.期末)如图①,将射线OX 按逆时针方向旋转β角(P 为射线OY 上的一点,且OP =m ,那么我们规定用,并记为P (m ,β).例如,图2中,如果OM =5,位置记为M (5,110°),根据图形,解答下列问题平面内的位置记为N (6,30°),则ON = 6 ,∠面内的位置记为A (4,30°),位置记为B (3,210°),则A 、B 两点间的距离为位置记为B (m ,90°),且AB =4,则m 的值为 位置记为B (3,α),且AB =5,则a 的值为 定义直接得到答案;画图,证明A ,O ,B 三点共线,从而可得答案;等边三角形,从而可得答案;③先根据新定义画图从而可得答案.在平面内的位置记为N (6,30°),则ON =6,0°≤β<360°),规定用(m ,β)表∠XOM =110°,问题XON = 30 °. 离为 7 . 4 .120°或300° .;②先根据新定义画图,证明△AOB ,,∠XON =30°.∵A(4,30°),B(3,210°),∴OA=4,∠AOX=30°,OB=3,∠BOX=360°﹣210°=150°,∴∠AOX+∠BOX=180°,∴A,O,B三点共线,∴AB=4+3=7;故答案为7;②如图,∵A(4,30°),B(m,90°),∴OA=4,∠AOX=30°,OB=m,∠BOX=90°,∴∠AOB=90°﹣30°=60°,∵AB=4,∴AB=OA,∴△AOB是等边三角形,∴OB=m=4;故答案为4;③如图,∵A (4,30°),B (3,α),∴OA =4,∠AOX =30°,OB =3=OB 1,∠BOX =α或∠B 1OX =360°﹣α, ∵AB =5,∴OB 2+OA 2=25=AB 2, ∴∠AOB =90°=∠AOB 1,∴α=90°+30°=120°或α=120°+180°=300°. 故答案为 120°或300°.28.(2023秋•大兴区期中)在平面直角坐标系xOy 中,点A ,B ,P 不在同一直线上,对于点P 和线段AB 给出如下定义 过点P 向线段AB 所在直线作垂线,若垂足Q 在线段AB 上,则称点P 为线段AB 的内垂点,当垂足Q 满足|AQ ﹣BQ |最小时,称点P 为线段AB 的最佳内垂点.已知点S (﹣3,1),T (1,1).(1)在点P 1(2,4),P 2(﹣4,0),P 3(﹣2,ଵଶ),P 4(1,3)中,线段ST 的内垂点为 P 3,P 4;(2)若点M 是线段ST 的最佳内垂点,则点M 的坐标可以是 (﹣1,4),(﹣1,2) (写出两个满足条件的点M 即可); (3)已知点C (m ﹣2,3),D (m ,3),若线段CD 上的每一个点都是线段ST 的内垂点,直接写出m 的取值范围;(4)已知点E (n +2,0),F (n +4,﹣1),若线段EF 上存在线段ST 的最佳内垂点,直接写出n 的取值范围.【分析】(1)利用图象法画(2)满足条件的点在线段(3)构建不等式组解决问题(4)构建不等式组解决问题【解答】解 (1)如图故答案为 P 3,P 4;(2)如图,点M (﹣1故答案为 (﹣1,4)(3)由题意,ቄ݉−2൒݉൑1解得﹣1≤m ≤1.象法画出图形解决问题即可; 线段ST 的中垂线上; 决问题即可; 决问题即可.1中,观察图象可知,线段ST 的内垂点为P 3,,4),M ′(﹣1,2)是线段ST 的最佳内垂点,,(﹣1,2)(答案不唯一); −3ቄ݉൒−3݉−2൑1,P 4. ,故答案为 ﹣1≤m ≤1.(4)如图2中,观察图象可解得﹣5≤n ≤﹣3.29.(2023春•嘉鱼县期末)以BC 为边在x 轴的上方作(1)点A 的坐标为 (2)将正方形ABCD OMN 重叠的区域(不①当m =3时,区域内整点②若区域W 内恰好有3个整【分析】(1)先求出方形(2)①画出正方形A 'B '②在△OMN 中共有6个整数图象可知,m 满足ቄ݊+4൒െ1݊൅2൑െ1,)如图,在平面直角坐标系xOy 中,点B (1,0,上方作正方形ABCD ,点M (﹣5,0),N (0,5(1,4) ;点D 的坐标为 (5,4) ;向左平移m 个单位,得到正方形A 'B 'C 'D ',记含边界)为W内整点(横,纵坐标都是整数)的个数为 3 ;个整点,请直接写出m 的取值范围.正方形的边长为BC =4,再求点的坐标即可; C 'D ',结合图形求解即可;个整数点,在平移正方形ABCD ,找到恰好有3个整),点C (5,0),). 正方形A 'B 'C 'D '与△ 个整数解的情况即可.【解答】解 (1)∵点∴BC =4,∵四边形ABCD 是正方形∴A (1,4),D (5,4故答案为 (1,4),(5(2)①如图 共有3个,故答案为 3;②在△OMN 中共有6个整数2,2),(﹣3,1),∵区域W 内恰好有3个整点∴2<m ≤3或6≤m <730.(2023春•李沧区期末)补法来求它们的面积.下面如图1,2所示,分别过三角间的距离d 叫做水平宽;BD 的长叫做这个三角形的l 4,l 3,l 4之间的距离h叫做B (1,0),点C (5,0), 方形, ), ,4); , 个整数点,分别是(﹣1,1),(﹣1,2),(﹣1,3(个整点, .)对于某些三角形或四边形,我们可以直接用面积下面我们再研究一种求某些三角形或四边形面的新过三角形或四边形的顶点A ,C 作水平线的铅;如图1所示,过点B 作水平线的铅垂线交形的铅垂高;如图2所示,分别过四边形的顶点B 叫做四边形的铅垂高.),(﹣2,1),(﹣用面积公式或者用割积的新方法 垂线l 1,l 2,l 1,l 2之AC 于点D ,称线段,D 作水平线l 3,【结论提炼】容易证明“三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半”,即“S=12dh”【结论应用】为了便于计算水平宽和铅垂高,我们不妨借助平面直角坐标系.已知如图3,点A(﹣5,2),B(5,0),C(0,5),则△ABC的水平宽为10,铅垂高为4,所以△ABC面积的大小为20.【再探新知】三角形的面积可以用“水平宽与铅垂高乘积的一半”来求,那四边形的面积是不是也可以这样求呢?带着这个问题,我们进行如下探索(1)在图4所示的平面直角坐标系中,取A(﹣4,2),B(1,5),C(4,1),D(﹣2,﹣4)四个点,得到四边形ABCD.运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形ABCD面积的大小是36;用其它的方法进行计算得到其面积的大小是37.5,由此发现用“S=12dh”这一方法对求图4中四边形的面积不合适.(填“适合”或“不适合”)(2)在图5所示的平面直角坐标系中,取A(﹣5,2),B(1,5),C(4,2),D(﹣2,﹣3)四个点,得到了四边形ABCD.运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形ABCD面积的大小是36,用其它的方法进行计算得到面积的大小是36,由此发现用“S=12dh”这一方法对求图5中四边形的面积合适.(“适合”或“不适合”)(3)在图6所示的平面直角坐标系中,取A(﹣4,2),B(1,5),C(5,1),D(1,﹣5)四个点,得到了四边形ABCD.通过计算发现用“S=12dh”这一方法对求图6中四边形的面积合适.(填“适合”或“不适合”)【归纳总结】我们经历上面的探索过程,通过猜想、归纳,验证,便可得到当四边形满足某些条件时,可以用“S=12dh”来求面积.那么,可以用“S=12dh”来求面积的四边。

教师资格证面试结构化真题解析思路——综合分析类(25道题)

教师资格证面试结构化真题解析思路——综合分析类(25道题)

教师资格证面试结构化真题解析思路——综合分析类(25道题)1.如果一个老师上课拖堂了,同学指出应该下课了,老师气呼呼的摔门而去,你怎么看?题型:综合分析—观点类分析:要从教师与学生两方面进行分析,各有合理之处,也存在一定的问题.不能全盘否定,要辩证的看待。

参考答案:点题:老师上课拖堂了,同学指出应该下课了,老师气呼呼的摔门而去,这个教师的作法就欠妥当,同学们直接指出老师问题,也不够礼貌。

析题:作为老师,可能出发点是好的,希望学生多学习知识,取得理想的教学效果,但是不能提倡拖堂,因为首先,占用学生休息时间用来上课,本身会招来学生的反感和抵触情绪。

人在教室,心思早已飘出课堂,不能达到很好的教学效果。

其次教师应该及时反思,自己的教学安排是否恰当可行,在以后的教学计划中,精简内容,突出重点,吸引学生。

最后,当学生指出问题之后,应该虚心接受,不能摔门而出,学生具有向师性,不好的行为,学生也会模仿,不利于学生身心全面发展及良好品行的形成.作为学生,题目中的学生作法也不妥当,应该在课下开诚布公的告诉老师,或者给代课教师写一封信,做到友好交流,共同解决问题才是关键。

总结:总之,这位教师应该多反思,树立终身学习的理念,不断更新教学的内容和方法。

才能适应新时期素质教育要求,形成良好的师生关系,成为受学生欢迎的教师.这些学生也要体会教师的良苦用心,用合适的方法来反映教师的一些问题。

2。

有的老师上课的时候频频使用多媒体,给学生播放电影,学生反映老师讲的内容少,你怎么看?题型:综合分析—现象类分析:本题采用主体分析法进行作答.这道题目中的主体是老师、学生两个,那就从这两个主体进行分析。

从老师的角度看,希望授课时课程生动,但是方法有所欠缺,缺乏必要知识的引导总结;从学生角度讲,学生是学习的主体,学习更多知识是追求,反映学生的成长进步等。

参考答案:点题:有的老师上课的时候频频使用多媒体,给学生播放电影,学生反映老师讲的内容少,对于这种现象,我有以下几点看法:析题:第一,从老师的角度看,老师在课堂上结合多媒体教学,不仅增加了课堂的趣味性,而且偶尔为学生播放电影能提高学生学习的积极性,但是播放电影的前提是老师已经完成了教学任务,在课余时间为学生播放,出现学生反映老师讲的内容少的这种情况,就需要老师做一些必要的知识方面的总结.第二,从学生的角度看,学生是发展中的人,在课堂上对于知识的追求也是反映学生的成长进步,学生在课堂中是学习的主体,要积极主动的学习.总结:总之,要想成为一名合格的人名教师,老师应该引导学生主动地学习,可以在下课时间通过多种多样的方式丰富学生的课余生活.3。

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从材料史实中提取信息,并归纳、辨 别、概括答题项
Hale Waihona Puke 2022年(全国乙卷 41)历史 (3)根据材料并结合所学知识,简析20世纪五六十年代中国科技发展的历 史经验。(5分)
展对资本主义国家的贸易;加强国营对外贸易企业,实行对私营进出口商的社会主义改造。
——摘编自《中华人民共和国经济档案资料选编》
材料三
表2 中国进出口贸易总额计划完成情况
单位:亿元
【解析】第(3)问,根据题中有效信息“我们在
中央和毛主席正确领导下”20世纪50年代前
期”并结合当时的时代背景和阶段特征,从
政治(如党的正确领导、外交政策、突破西
方国家的封锁、政策的原则性与灵活性等)、
经济(如建立对外经贸体制、促进国民经济
恢复和发展、工业化和社会主义改造等)等
角度进行评价。
(3)根据材料并结合所学知识,评价20世纪50年代前期中国的对外贸易政策。(8分)
【得出答案】体现了党的正确领导;逐步建立了适应国内经济建设需要的对外经贸体制;促进了国民经济恢复和 发展,有利于社会主义工业化和社会主义改造;符合独立自主的和平外交政策,有利于突破西方国家的经济封锁; 体现了政策的原则性与灵活性。
求异型:根据材料××××并结合所学知识,指出 或比较……不同之处(区别)求同型:根据材料 ××××并结合所学知识,指出或比较……相同 点(相似之处)
分析、 评价、评述类设问含有这样的词语:
评价
评价、简评、评论、说明、证明、解
(经济) 释、你认为、如何理解、你的看法等
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(2)依据:①市场经济条件下,商品价格应由市场决定,即 价格由价值决定,并受供求关系的影响,能源资源价格要充分 反映环境治理成本、资源稀缺程度。②市场调节的缺陷,需要 政府进行宏观调控,实施价格改革。 如何做:①公平、公正的市场秩序,统一开放、竞争有序 的现代市场体系,是市场在资源配置起决定性作用的基础。② 健全市场价格行为规则。尊重经营者的自主定价权和消费者的 自由选择权,通过市场竞争,由市场形成价格。③价格改革 中,政府还要加强市场价格行为监管,反对和打击垄断、不正 当竞争等行为以维护正常的市场秩序。④加快推进价格诚信信 用体系建设,对构成价格违法的失信行为予以惩戒。
3.(2015· 四川卷)“一带一路”(丝绸之路经济带和21世纪 海上丝绸之路)建设是新形势下我国对外开放的重大战略。阅读 材料,回答问题。 材料 “一带一路”既是经贸之路,也是文化之路。某校 高二(1)班同学围绕“四川省如何增进与‘一带一路’沿线国家 的文化交流”展开讨论,提出了建议(见下表)。
2.2015年以来,A市政府推出“五个养老”孝德工程,推 动全市弘扬孝老爱亲的社会风尚,引发了我们对农村养老困局 的关注。阅读材料,回答问题。 材料一 A市“五个养老”孝德工程的具体内容:一是定 养老事,市政府根据当地经济状况制定了赡养标准;二是签养 老状,各村村委会都与村民签订赡养老人协议书;三是交养老 钱,以村为单位,统计、督促子女主动将养老钱交到父母手 中,对不交或所交低于规定标准的,由村委会监督落实;四是 贴养老榜,在村里显著位置悬挂各家养老情况展板;五是立养 老规,把各项养老事宜添加到《村规民约》中形成制度固定下 来。
答案:①文化与经济相互交融。②依托现代信息技术,大 众传媒能超越时空局限,实现文化的传递、沟通和共享。③创 新是文化富有生机与活力的重要保证。④文化的交流、借鉴与 融合,能推动文化的发展。 解析:本题要求按照示例填写表中的内容,说明“建议” 的《文化生活》依据,这是对理解问题能力的考查。“旅游产 品”对应文化产业、文化与经济相互交融;“网络平台”对应 现代信息技术对文化传播的影响;“流行方式”对应文化创 新;文化年、艺术节、电影周等活动对应文化交流与发展。
材料二 《意见》明确,推进电力、天然气等能源价格改 革,要逐步使能源资源价格充分反映环境治理成本、资源稀缺 程度和修复效益;促进市场主体多元化竞争,还原能源商品属 性;对阶梯电价、气价等涉及民生的价格,要让市场有稳定预 期、给群众吃定心丸。 (1)结合材料一,从公民与政府关系的角度,分析说明如何 使定价科学合理、惠及民生。 (2)结合材料二分析推进价格改革的依据,并结合“市场配 置资源”的知识说明价格改革如何充分发挥市场作用。
[典 题 分 析] (2015· 浙江卷) 近期,“创客空间”“梦想小镇”“创业咖啡馆”等创业 创新平台如雨后春笋破土而出,“大众创业、万众创新”正在 成为社会热词。
材料一 2010年~2014年我国国内生产总值及其增长率
补充说明:我国已成为制造业大国,但劳动密集型产品比 重较大,技术对外依存度仍高于50%。
解析:第(1)问没有明确的知识限定。由“A市政府推出 ‘五个养老’孝德工程”“市政府根据当地经济状况制定了赡 养标准”可知,这是政府履行文化职能、履行加强社会建设职 能的表现。从材料中“五个养老”孝德工程的具体内容来看, 村委会在这一工程推进过程中起了至关重要的作用,涉及了村 民自治中的民主管理和民主监督,故还应从村民自治的本质 ——自我管理、自我教育、自我服务,以及实行村民自治的意 义等角度进行分析。
列出与下表各建议相对应的《文化生活》依据。 建议 依据 示例:文化遗产,是一个国家和民族 合作开展对丝绸之路历 历史文化成就的重要标志,是人类共 史文化遗产的保护 同的文明财富。 联合打造具有丝绸之路 特色的国际精品旅游线 ① 路和旅游产品
建设国际认知度高的文化网络平台 ② 注入时代精神,采用动漫、微电影等流行方式,讲好四川故 ③ 事 积极参与中国政府与沿线国家互办的文化年、艺术节、电影 ④考查政治生活中有关 政府的知识,旨在考查获取和解读信息、调动和运用知识的能 力。本题限定知识范围是政府的知识,要求阐述理论依据,因 此回答国务院下发《就业创业工作意见》的原因,即回答政府 的性质、宗旨、原则以及政府的职能,同时联系材料回答这一 意见带来的意义。
【答案】 国务院即中央人民政府,是我国权力机关的执 行机关。政府的宗旨是为人民服务,其工作的基本原则是对人 民负责,它具有组织社会经济建设、提供社会公共服务等基本 职能。 就业创业事关经济发展和民生改善大局。面对我国经济下 行压力增加、经济质量不高、高校毕业生逐年增加、就业压力 大这一经济社会形势,进一步做好就业创业工作,不仅有助于 我国经济发展方式的转变,而且有助于社会和谐发展。国务院 积极深化行政审批制度和商事制度改革,实施更加积极的就业 政策,着力培育大众创业、万众创新的新引擎,不仅体现了其 组织社会经济建设的职能,而且体现了其提供社会公共服务的 职能。
4.互联网正改变着我们的生活,“互联网+”正成为人们 津津乐道的新词。 在“互联网+”的风口上,互联网与制造业的融合受到越 来越多的关注。有人认为,目前中国“互联网+”的商业模式 大多依靠“用免费拉人气、用刷单求上位、用低价抢市场、用 爆款博利润”,忽略了技术和质量这个根本,而制造业更需要 踏实专注、精益求精的“工匠精神”。其实,“互联网+”与 传统的“工匠精神”并不矛盾,互联网技术的应用,不仅能够 提高生产制造的自动化、信息化水平,而且能够拉近用户和制 造商的距离。从用户的需求、体验出发,继而提升技术水平和 精准程度,产品的功能和质量都有可能跨出一大步。真正的融 合不是彻底的取代或颠覆,而是在冲击和适应的过程中彼此影 响、各取所需、取长补短,最终实现相互促进和提升。
第三步“筛”,即把分解的观点、原理依据材料作出取 舍,比如,如果材料描述的是继承和发展中国的传统文化以及 吸收外来文化,则涉及文化创新的基本途径;如果材料描述的 是把某项工作作为重中之重则涉及抓主要矛盾。 第四步“联”,即把保留下来的观点、原理与相应材料进 行有机联结。按照“理论(观点)+材料中体现或符合(违背)这一 理论(观点)的做法或言论+意义”的模式作答。
2010年~2014年我国高校毕业生人数和就业率 2010年 2011年 2012年 2013年 2014年 631 660 680 699 727 人数(万人) 89.5 90.2 90.9 91.4 — 就业率(%) 补充说明:城镇登记失业率控制在4.5%以内是我国经济社 会发展的主要预期目标之一。
(1)结合材料,运用企业经营的相关知识,说明中国的制造 企业如何在“互联网+”的风口上坚持“工匠精神”。 (2)结合材料,运用矛盾的观点,分析“互联网+”与“工 匠精神”能够实现融合的哲学依据。
[方 法 指 导] 题型特点: 此类题主要是分析党和政府解决某问题的措施的经济学、 哲学或政治生活、文化生活依据。一般来说其设问主要有:第 一,确定某知识范围,要求分析或说明材料对应的某方面的理 论依据;第二,未确定某知识范围,要求从不同角度分析其理 论依据。
解题方法: 第一类:确定某知识范围,要求分析说明材料某方面的理 论依据。 第一步“定”,即确定所要运用的观点、原理,比如“运 用文化创新的有关知识”“运用唯物辩证法的有关知识”等。 第二步“分”,即对确定的观点、原理进行分解,比如把 文化创新分解为根本途径、基本途径(两个)、坚持正确的方向 等方面;把唯物辩证法分解为联系的观点、发展的观点、矛盾 的观点等。
答案:(1)①我国的政府是人民的政府,二者的根本利益是 一致的。②政府定价过程中要履行好管理和服务的职能,坚持 依法行政,做到科学、民主和依法决策,通过调查监审、价格 听证、听取社会意见、专家论证、集体审议、公告等程序,增 强决策透明度和公众参与度,使决策更好地反映民意,使定价 科学合理、惠及民生,真正对人民负责。③公民要通过社情民 意反映制度、重大事项公示制度等,积极参与政府定价,维护 自身合法权益。
答案:(1)①我国政府是人民的政府,必须为人民服务,对 人民负责,履行好社会建设职能,提升农村养老保障水平;履 行好文化建设职能,更好地传承孝老爱亲传统美德,提高村民 的思想道德素质。②“五个养老”孝德工程的实施必须发挥村 委会自我管理、自我教育、自我服务的功能,这有利于扩大基 层民主,保障村民依法直接行使民主权利,管理好基层公共事 务,促进村民自治制度化、规范化,调动村民参与基层民主管 理的积极性,落实人民当家作主的权利,更好地解决农村养老 问题。
[专 题 集 训] 1.《关于推进价格机制改革的若干意见》提出,放开绝大 多数竞争性商品价格,凡是能由市场形成价格的都交给市场。 阅读材料,回答问题。 材料一 《意见》明确,对于仍旧保留的政府指导价和定 价项目,相关部门也要依法履行价格(成本)调查监审、价格听 证、听取社会意见、专家论证、集体审议、公告等程序,力求 定价的过程科学合理、惠及民生。
材料二
材料三 国务院今年4月下发的《关于进一步做好新形势下 就业创业工作的意见》指出,必须积极深化行政审批制度和商 事制度改革,实施更加积极的就业政策,着力培育大众创业、 万众创新的新引擎,催生经济社会发展新动力。该文件就进一 步做好就业创业工作提出27条意见,并明确指出要把高校毕业 生就业摆在就业工作的首位,在有关创业创新扶持和优惠政策 方面对高校毕业生给予倾斜。 结合材料,运用政府的知识阐述国务院下发《关于进一步 做好新形势下就业创业工作的意见》这一政治行为的理论依 据。
第二类:未确定知识范围,要求从不同角度分析材料内容 的理论依据。 第一步“定”,即依据设问,确定答题的范围是经济生 活、政治生活、文化生活,还是生活与哲学。 第二步根据第一步确定的答题范围以及设问中的关键词语 从课本中抽调出所需要的理论观点。 第三步从材料中提取有效信息。 第四步组织答案,按照“理论(观点)+材料中体现或符合 (违背)这一理论(观点)的做法或言论+意义”的模式作答。
材料二 当前我国农村养老问题的突显有两个直接原因: 一是许多青壮年外出打工,无暇赡养老人;二是中年农民收入 来源有限,又大都投在子女教育、住房上,没钱赡养老人。虽 然我国已初步形成个人、单位与政府三位一体的养老保险筹资 体系,但当前国情下,政府所能提供的养老保障水平偏低,农 村养老金短缺,城镇养老金仅能维持基本生活。这让我们不禁 感慨,新时代下应怎样消除农村老人们养老的焦虑? (1)结合材料一,分析A市推出“五个养老”孝德工程的政 治依据。 (2)结合材料二,运用《经济生活》有关知识,分析新时代 下应“怎样消除农村老人们养老的焦虑”。
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