第三章习题课选讲例题
《大学物理AI》课程教学大纲
《大学物理AI》课程教学大纲2016年5月制定 2016年 5 月第 0 次修订制定人：王志萍一、课程名称及代码课程名称：大学物理AI课程代码：BAA012001二、适用教育层次及专业教育层次：高职本科适用专业：机械设计制造及其自动化、机械电子工程、电气工程及其自动化、物联网工程、软件工程三、学分、学时学分数：3.5 学时数：56四、课程类型课程性质：公共课课程类别：纯理论课五、先修课程名称及代码高等数学AI（BAA011001）六、教学目标《大学物理》课程是我院高职本科工科各专业的一门必修的重要公共基础课。
通过这门课程的学习，将为工科各专业课及其技术基础课打好基础，传授必需通用的物理基础知识，培养科学思维和利用物理规律解决实际问题的初步能力。
为学生学习专业理论和专业技术打好必要的物理基础。
由于物理学在自然科学中的基础地位和与社会科学的联系，以及物理科学对人的思维训练和能力形成有很大的影响，因而它在人才培养中起着十分重要和独特的作用，对培养高级工程技术人才起至关重要的作用，必须引起充分的重视。
1．知识目标1）掌握描述质点运动的物理量。
掌握牛顿三定律及其适用条件。
掌握运用守恒定律分析问题的思想和方法。
2）理解刚体绕定轴转动的转动定律和刚体绕定轴转动情况下的角动量守恒定律。
3）通过把力学的研究对象抽象为三个理想模型，质点、刚体和理想流体，学会建立模型的科学研究方法。
4）注意学习矢量运算、微积分运算等方法在物理学中的应用。
5）掌握描述简谐振动和简谐波的各物理量（特别是相位）及各量间的关系。
6）掌握线性运动叠加原理，通过在周期性外力作用下阻尼摆的混沌现象分析了解非线性问题的特征。
7）理解气体动理论和热力学基础的基本概念及基本规律。
8）通过理想气体的压强和气体分子平均自由程等公式的建立，进一步理解科学研究的建模方法。
9）理解和掌握熵增加原理是自然界（包括自然科学和社会科学）最为普遍实用的定律之一。
10）了解物理学原理在现代工程技术中的应用。
稳恒磁场习题课选讲例题
霍耳效应
2.对载流导线
— 安培力：
df Idl B
f Idl B
l
电流单位 A (安培)旳定义
3.对载流线圈 — 磁力矩：
M
m B
m NIS
第十一章 恒定磁场
恒定磁场习题课选讲例题
物理学教程 （第二版）
例 一无限长载流 I 旳导线，中部弯成如图所示旳
四分之一圆周 AB，圆心为O，半径为R，则在O点处旳
设电流都是均匀旳分布在导体旳横截面上，求：（1）
导体圆柱内（r < a）；（2）两导体之间（a < r < b）；
（3）导体圆管内（b < r < c）以及（4）电缆外（r > c）
各点处磁感应强度旳大小.
解 电流如图所示
作半径为 r 旳同心圆回路,
并以逆时针方向为回路正向.
b a +I
c
I
第十一章 恒定磁场
BD
E
第十一章 恒定磁场
恒定磁场习题课选讲例题
物理学教程 （第二版）
例 边长为0.2 m旳正方形线圈，共有50 匝 ，通
以电流 2 A ，把线圈放在磁感应强度为 0.05 T 旳均匀
磁场中. 问在什么方位时， 线圈所受旳磁力矩最大？
磁力矩等于多少？
解 M NBIS sin
得
π 2
,
M
M max
2
+
I
B2
B1
o
I
4
l
+I
3
解 能够用安培环路定理和 叠加原理计算。
每一无限长直线电流在 O 点
旳磁感强度 B B1 B2 B3 B4
第3讲 和差倍问题
第3讲和差问题（一）知识要点1.在解决和差问题时，掌握以下数量关系式尤为重要。
（和＋差）÷2＝大数（和－差）÷2＝小数2.解答“和差问题”就是求一大一小两个数。
解决这类问题通常用假设法，同时结合线段图进行分析。
3.可以假设小数增加到与大数同样多，先求大数，再求小数。
4.也可以假设大数减少到与小数同样多，先求小数，再求大数。
（二）典型例题选讲【典型例题1】两桶牛奶共重136千克，第二桶比第一桶重8千克。
两桶牛奶各重多少千克？变形题训练11.甲、乙两车间共有250人，甲车间比乙车间多6人。
甲、乙两车间各有多少人？2.希希妈妈给希希买了一套衣服，共花了165元，已知裤子比上衣便宜25元，问：希希的上衣和裤子分别多少元？3学校的长方形操场一圈有400米，已知这个长方形的长和宽相差40米，问：操场的长和宽各是多少米？.【典型例题2】有甲、乙两桶油共重50千克，如果从甲桶中取走8千克放入乙桶中，那么两桶油的重量相等。
问甲、乙两桶原来各有几千克油？变形题训练21.有A、B两个粮仓共存粮700吨，如果从A粮仓运送60吨粮食到B粮仓，那么此时两个粮仓存粮一样多。
问A、B两个粮仓原来各存粮多少吨？2.晶晶在一次期中考试中，数学和语文的平均分是95分，数学比语文多4分。
问晶晶的数学和语文各考多少分？3.有甲、乙两筐樱桃共重80千克，如果从甲筐拿走10千克，乙筐放入6千克，则两筐樱桃同样重。
问两筐樱桃原来各重多少千克？【典型例题3】两桶油共重60千克，如果从第一桶中取走6千克倒入第二桶，这时第一桶还比第二桶多4千克。
两桶油各重几千克？变形题训练31.哥弟俩共有邮票80张，如果哥哥给弟弟5张邮票后还比弟弟多2张，那么哥哥和弟弟原来各有多少张？2.姐姐和妹妹共有巧克力48块，如果姐姐给妹妹9块后就比妹妹少4块，那么姐姐和梅妹妹原来各有多少块巧克力？3.甲、乙两筐梨共有115千克，从甲筐取出12千克放入乙筐，这时甲筐的梨比乙筐少1千克。
电路分析教学导案
电路分析教案————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：北京理工大学珠海学院信息科学技术学院教案课程名称：电路分析基础课程性质：专业基础必修主讲教师：吴安岚联系电话：131E-MAIL：课时分配表适用专业: 班级：章节标题分配课时备注1 电路的基本概念和基本定律10 实验课另开2 电路的基本分析方法83 单相正弦交流电路 44 相量分析法 105 谐振电路 46 互感耦合电路与变压器 47 三相电路 48 电路的暂态分析 69 非正弦周期电流电路 210 二端口网络 4课时合计56第1课一．章节名称1.1电路和电路模型；1.2电路的基本物理量二．教学目的1、掌握内容：理想电路元件、电路模型的概念；电流、电压、电位、功率的概念；电流、电压参考方向。
2、了解内容：电路的作用、组成。
三．安排课时：2学时四．教学内容（知识点）1．理想电路元件、电路模型；电流、电压、电位、功率的定义、表达式、单位；电流、电压参考方向。
2．功率的正负,功率平衡。
3．电路的作用、组成、分类。
五．教学重难点重点：1．电流、电压参考方向。
2．功率的正负,功率平衡。
难点：功率的正负,功率平衡。
六．选讲例题重点讲解P8的检查学习结果。
七．作业要求1.2，1.3----------纸质。
八．环境及教具要求多媒体教室、多媒体课件。
九．教学参考资料邱关源《电路》，蔡元宇《电路及磁路》，李瀚荪《电路分析基础》。
一．章节名称1.3 基尔霍夫定理二．教学目的1、掌握内容：基尔霍夫定理；按电流、电压参考方向列KCL、KVL方程。
KCL、KVL定理推广。
2、了解内容：无。
三．安排课时：2学时四．教学内容（知识点）1．基尔霍夫定理；2．按电流、电压参考方向列写KCL、KVL方程。
解方程。
3．KCL、KVL定理推广。
例题。
五．教学重难点重难点：1、按电流、电压参考方向列KCL、KVL方程。
2014年人教A版选修1-1课件 第三章小结(导数及其应用)
例2. 已知函数 f ( x ) a ln x b , 曲线 yf(x) 在点 x 1 x (1, f(1)) 处的切线方程为 x2y30. (1) 求 a, b 的值; (2) 证明: 当 x>0 且 x≠1 时, f(x)> ln x . x 1 分析: (1) 求曲线在点(1, f(1))处的切线方程, 与 x2y30 比较系数即可.
左负右正 左正右负
a b co
d
e
x
左负右正
y 8. 用导数求函数的极值 (1) 求导数 f(x). (2) 解导数不等式 f (x)≥0. (3) 确定极值点和极值: a o b x
如果函数连续, 在 f (x)≥0 的左端点处取 得极小值, 右端点处取得极大值.
9. 函数的最大值与最小值 如果函数在区间 [a, b] 上的图象是一条连 续不断的曲线, 那么它必有最大值和最小值.
3. 导数的意义 (1) 函数 yf(x) 在 x0 处的导数的几何意义是 函数过这点的切线的斜率. (2) 导数为正, 函数增; 导数为负, 函数减.
(3) 导数的绝对值大时, 函数增减变化快, 图 象陡峭; 导数绝对值小时, 函数增减变化慢, 图象 较平缓.
(4) 运动函数的导数是瞬时速度, 速度函数的 导数是加速度.
6. 导数与函数的单调性 在区间 (a, b) 内, 若 f(x)>0, 则 f (x) 在 这个区间内是增函数;
反之, 若 f(x)<0, 则 f(x) 在这个区域内
是减函数.
7. 导数与极值 极值点处的导数 等于0 . 极大值左边的导数 大于0 , 右边的导数 小于0 . 极小值左边的导数 小于0 , 右边的导数 大于0 . y 左正右负 左正右负
置信区间
第三节 置信区间前面讨论了参数的点估计, 它是用样本算出的一个值去估计未知参数. 即点估计值仅仅是未知参数的一个近似值, 它没有给出这个近似值的误差范围.例如, 在估计某湖泊中鱼的数量的问题中, 若根据一个实际样本, 利用最大似然估计法估计出鱼的数量为50000条, 这种估计结果使用起来把握不大. 实际上, 鱼的数量的真值可能大于50000条, 也可能小于50000条.且可能偏差较大.若能给出一个估计区间, 让我们能较大把握地(其程度可用概率来度量之)相信鱼的数量的真值被含在这个区间内, 这样的估计显然更有实用价值.本节将要引入的另一类估计即为区间估计, 在区间估计理论中, 被广泛接受的一种观点是置信区间, 它由奈曼(Neymann)于1934年提出的.内容分布图示★ 引言 ★ 置信区间的概念★ 例1 ★ 例2★ 寻求置信区间的方法 ★ 例3 ★ )10(-分布参数的区间估计 ★ 例4 ★ 单侧置信区间★ 例5 ★ 例6★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题6-3 ★ 返回内容要点：一、置信区间的概念定义1 设θ为总体分布的未知参数, n X X X ,,,21 是取自总体X 的一个样本, 对给定的数)10(1<<-αα, 若存在统计量),,,,(),,,,(2121n n X X X X X X θθθθ==使得,1}{αθθθ-=<<P则称随机区间),(θθ为θ的α-1双侧置信区间, 称α-1为置信度, 又分别称θ与θ为θ的双侧置信下限与双侧置信上限.注: 1. 置信度α-1的含义: 在随机抽样中, 若重复抽样多次, 得到样本n X X X ,,,21 的多个样本值),,,(21n x x x , 对应每个样本值都确定了一个置信区间),(θθ, 每个这样的区间要么包含了θ的真值, 要么不包含θ的真值. 根据伯努利大数定理, 当抽样次数充分大时, 这些区间中包含θ的真值的频率接近于置信度(即概率) α-1, 即在这些区间中包含θ的真值的区间大约有)%1(100α-个,不包含θ的真值的区间大约有%100α个. 例如, 若令95.01=-α, 重复抽样100次, 则其中大约有95个区间包含θ的真值, 大约有5个区间不包含θ的真值.2. 置信区间),(θθ也是对未知参数θ的一种估计, 区间的长度意味着误差, 故区间估计与点估计是互补的两种参数估计.3. 置信度与估计精度是一对矛盾.置信度α-1越大, 置信区间),(θθ包含θ的真值的概率就越大, 但区间),(θθ的长度就越大, 对未知参数θ的估计精度就越差. 反之, 对参数θ的估计精度越高, 置信区间),(θθ长度就越小, ),(θθ包含θ的真值的概率就越低, 置信度α-1越小. 一般准则是: 在保证置信度的条件下尽可能提高估计精度.二、寻求置信区间的方法寻求置信区间的基本思想: 在点估计的基础上, 构造合适的函数, 并针对给定的置信度导出置信区间.一般步骤:(1) 选取未知参数θ的某个较优估计量θˆ;(2) 围绕θˆ构造一个依赖于样本与参数θ的函数);,,,,(21θn X X X u u =(3) 对给定的置信水平α-1,确定1λ与2λ,使,1}{21αλλ-=≤≤u P通常可选取满足2}{}{21αλλ=≥=≤u P u P 的1λ与2λ，在常用分布情况下, 这可由分位数表查得;(4) 对不等式作恒等变形化后为αθθθ-=≤≤1}{P , 则),(θθ就是θ的置信度为α-1的双侧置信区间。
第三章第二节洛必达法则
= e x→+0 cos x 2 x = e 2 .
x→+0
解二 利用两个重要极限.
lim (cos
π
x ) x = lim (1 + cos
π
x −1) x = lim (1 + cos
1 ⋅cos x −1⋅π
x − 1) cos x −1 x
−π
=e 2.
x→+0
x→+0
x→+0
1
例 20 (E14) 求 lim (cot x)ln x . ( ∞0 型)
= 1 lim tan x = 1 . 3 x→0 x 3
注: 洛必达法则虽然是求未定式的一种有效方法, 但若能与其它求极限的方法结合使用,
效果则更好. 例如能化简时应尽可能先化简，可以应用等价无穷小替换或重要极限时，应尽
可能应用，以使运算尽可能简捷.
例 9 (E08) 求 lim 3x − sin 3x . x→0 (1 − cos x) ln(1 + 2x)
x→1
1
解
1
lim x1−x
1 ln x
= lim e1−x
lim ln x
= e x→11− x
lim x
= e x→1 −1
= e−1.
x→1
x→1
1
例 18 (E13) 求 lim sin x 1−cos x . (1∞ 型) x→0 x
解
lim(
sin
x
1
)1−cos
x
1 ln sin x
解
lim
(e3x
−
1
5x) x
=
lim
第三章 行列式
再让j向左移动， 再让 向左移动，依次与 i, ks , ,…, k2 , k1 交换。经过 向左移动 交换。经过s+1次 次 相邻的两个数码的对换后， 相邻的两个数码的对换后，排列变为 . （2） … j, k1, k2 ,…, ks , i,… 对换而得到的排列。因此， 但（2）正是对（1）施行 (i, j) 对换而得到的排列。因此， 正是对（ 相当于连续施行2s+1 2s+1次相邻数码的 对（1）施行对换 相当于连续施行2s+1次相邻数码的 (i, j) 对换。 。，每经过一次相邻两数码的对换 每经过一次相邻两数码的对换， 对换。由1。，每经过一次相邻两数码的对换，排列都改 变奇偶性。由于2s+1是一个奇数，所以（ 2s+1是一个奇数 变奇偶性。由于2s+1是一个奇数，所以（1）与（2）的奇 偶性相反。 偶性相反。
……
…, i, j,…,
其中A与 都代表若干个数码 都代表若干个数码.施行对换 其中 与B都代表若干个数码 施行对换 (i, j), 得
宁波工程学院理学院《高等代数》课程组制作
……
…, j, i,…,
A
B
我们比较这两个排列的反序数.显然经过这个对换 我们比较这两个排列的反序数 显然经过这个对换 属于A或 的数码的位置没有改变 的数码的位置没有改变,因此这些数 后,属于 或B的数码的位置没有改变 因此这些数 属于 码所构成的反序数没有改变.同时 ，j与A或B中的 码所构成的反序数没有改变 同时i， 与 或 中的 同时 数码所构成的反序数也没有改变。 数码所构成的反序数也没有改变。若在给定的排 i 列中， 列中， < j, 那么经过对换 (i, j) 后，i与j就构成一个 与 就构成一个 反序。 反序。因面后一排列的反序比前一排列的反序数 i 增多一个。若在给定的排列中， 增多一个。若在给定的排列中， > j, 那么经过对换 排列的反序数减少一个。不论是哪一种情形， 后，排列的反序数减少一个。不论是哪一种情形， 排列的奇偶性都有改变。 排列的奇偶性都有改变。
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mgh 1 mv2 v 2gh
2
2 .泥球与盘碰撞（动量守恒）
l1 m
mv (m m)V
V
v 2
gh / 2
h
m
L
y
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
动量守恒和能量守恒习题课选讲例题
V
v 2
gh / 2
3 . 泥球与盘一快下落（机械能守恒）
物理学教程 （第三版）
1 2
(2m)V
2
(2m)gL
1 2
kl12
1 2
k(L
l1)2
l1
k mg / l1
V 2 1 gh 2
m
L2 20L 300 0
h
m
L
L 30, 10
Ep 0
y
L 30cm
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
动量守恒和能量守恒习题课选讲例题
例 已知A初始速度 v0，B 静止，k1, k2
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
动量守恒和能量守恒习题课选讲例题
物理学教程 （第三版）
例 甲、乙、丙三物体的质量之比是1：2：3，若它
们的动能相等，并且作用于每一个物体上的制动力都相
同，则它们制动距离之比是：
（A）1：2：3 （C）1：1：1
（B）1：4：9 （D）3：2：1
分析： 由动能定理可知三个制动力对物体所做的功相等； 在这三个相同的制动力作用下，物体的制动距离是相 同的.
直放置，下端悬挂一小球，球的质量为m0，开始时使
弹簧为原长而小球恰好与地接触。今将弹簧上端缓慢
地提起，直到小球刚能脱离地面为止，在此过程中外
力做功为 m2g 2 2k 。
解：小球刚能脱离地面时，弹簧伸长量为 x mg
A弹
mg k
(k x)dx
m2
g
2
0
2k
k
A外
A弹
m2 g 2 2k
（2）内力不能改变系统的总机械能.
（3）摩擦力只能作负功. （4）同一个力做功在不同的参考系中，也不 一定相同.
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
动量守恒和能量守恒习题课选讲例题
物理学教程 （第三版）
例 对机械能守恒和动量守恒的条件，正确的是：
(1) 系统不受外力作用，则动量和机械能必定同 时守恒.
另一端滑出时，摩擦力所做的功.
解: 设圆半径为 R ，
摩擦力 Ff ,
屏障的作用力 Fn .
Fn
dr
WFn 0
v0
v
Ff
m et
en
R
o
Fn
质点动能定理
W
WFf
1 2
m(v2
v02
)
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
动量守恒和能量守恒习题课选讲例题
物理学教程 （第三版）
的速度分别为 vm , vM . 以车和摆球为系统，机械能
l m
守恒，水平方向动量守恒.
mvm MvM 0
M
mgl
1 2
mvm2
1 2
MvM 2
vm
试说明此过程为什么机械能守恒 ?
2gl 1m M
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
动量守恒和能量守恒习题课选讲例题
物理学教程 （第三版）
FP0
重力随位置的变化关系
p (mg gy)
P
W
h
Fdy
h
(mg
gy)dy
0
0
mgh 1gh2 882J
2
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
动量守恒和能量守恒习题课选讲例题
例
一个质量为m的质点，仅受到力
F
物理学教程
（第三版）
kr r3 的
作用，式中 k 为正常数,r 为从某一定点到质点的矢径.
3
3
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
时，小球脱离大球.
动量守恒和能量守恒习题课选讲例题
物理学教程 （第三版）
例 一轻弹簧悬挂一金属盘，弹簧长 l1 10cm
一个质量和盘相同的泥球，从高于盘 h 30cm
处静止下落盘上，求盘向下运动的最大距离 L .
解：本题分为三个过程
1 . 泥球下落（机械能守恒）
物理学教程 （第三版）
例 一人从十米深的井中提水，起始桶中装有10.0kg 的水, 由于水桶漏水, 每升高 1.00m 要漏去 0.20kg 的水, 水桶被匀速的从井中提到井口, 求人所做的功.
已知 h 10m m 10.0kg 0.20kg/m
F
y
解: 水桶匀速 上提, 加速度 a 0 .
物理学教程 （第三版）
一运力动例到F（一0质F，0点2(Rx在i）如位图y置j所)过作示程用的中在坐，质标力点平所上面做，内的求作功质圆. 点运从动 原，点有
y
解:
dFrFd0x(ixi
yj
dyj
)
0
0
R
Wx 0 Fxdx 0 F0xdx 0
o
x
弹簧组成的系统
（A）动量守恒，机械能守恒 . （B）动量不守恒，机械能守恒. （C）动量不守恒，机械能不守恒. （D）动量守恒，机械能不一定守恒.
C
D
C
D
A
B
A
B
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
动量守恒和能量守恒习题课选讲例题
物理学教程 （第三版）
例 以下四种说法中，哪一种是正确的？ （1）作用力与反作用力的功一定是等值异号.
摩擦力 的功
W
1 2
mv02 (e2π
1)
0
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
动量守恒和能量守恒习题课选讲例题
物理学教程 （第三版）
例 一质量为 m，长为 l 的链条置于桌边，一端
下垂长度为 a，若链条与桌面摩擦系数为 ，则：
（1）链条由开始到完全离开桌面的过程中，摩擦
力做的功多少？
（2）链条开始离开桌面的速度为多大？
解：小球在竖直平面内作匀速圆周运动，其动能不 变，势能改变，所以机械能不守恒。
小球在运动过程中，速度方向在改变，所以动量不 守恒.
由于小球作匀速圆周运动，它所受的合力指向圆心， 力矩为零，所以角动量守恒.
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
动量守恒和能量守恒习题课选讲例题
物理学教程 （第三版）
例 今有倔强系数为k的弹簧（质量忽略不计）竖
67 J
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
动量守恒和能量守恒习题课选讲例题
物理学教程 （第三版）
例 一质量为m的小球,以速率为v0、与水平面夹
角为60°的仰角作斜抛运动，不计空气阻力，小球从抛
出点到最高点这一过程中所受合外力的冲量大小
为
3mv0
解：
2 ，冲量的方向是 沿 y 轴负方向 .
I
相对人的速率 u 将球水平向后抛出，问人前进的距离
增加多少？
y v0 u o
设：人在最高点抛球后的速度为v2 抛球前的速度v1 v0 cos
人和球为系统 Fx 0
x Px 守恒
(M m)v1 Mv2 m(v2 u)
v2
v1
m
m M
u
v
v2
v1
m
m M
动量守恒和能量守恒习题课选讲例题 例 对功的概念有以下儿种说法:
物理学教程 （第三版）
(1)保守力做正功时,系统内相应的势能增加.
(2)质点运动经一闭合路径，保守力对质点做的功为零.
(3)作用力和反作用力大小相等、方向相反,两者所做
功的代数和必为零.
（C）
(A)(1)、(2)是正确的 (B)(2)、(3)是正确的
oo x l l-–aa - x
x
a
解 选坐标如图
摩擦力
Ff
mg l
(l a x)
x
dWf Ff dx
Wf
mg l
la
(l a x)dx
0
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
动量守恒和能量守恒习题课选讲例题
物理学教程 （第三版）
o x l–a-x x
a x
Wf
例 在半径为 R 的光滑球面的顶点处， 一质点开始 滑动，取初速度接近于零，试问质点滑到顶点以下何处
时脱离球面？
N
R
mg
N 0
解： 脱离时 N = 0 ，在
此过程中机械能守恒 .取球顶
位置重力势能为零
mg cos N m v2
0
1
mv2
R mgR(1 cos
)
2
cos 2 cos1 2
物理学教程 （第三版）
mA, mB
有摩擦均无，求 A，B 碰后，具有相同速度时，二者
的m相A互作k1用v0力.k2 mB
解： 以A、B 和弹簧为系 统，在碰撞过程中动量和机械 能均守恒. 设 二者速度相同时
A
B 两弹簧的压缩分别为 x1, x2
1 2
mAv02
1 2
k1x12
1 2
mmv12v0miv0m(
1 2
v0