椭圆习题
(完整版)椭圆的简单性质练习题及答案
椭圆一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．下列命题是真命题的是（ ）A ．到两定点距离之和为常数的点的轨迹是椭圆B ．到定直线ca x 2=和定点F(c ，0）的距离之比为ac 的点的轨迹是椭圆C ．到定点F(－c ，0）和定直线ca x 2-=的距离之比为ac （a >c>0）的点的轨迹 是左半个椭圆D ．到定直线ca x 2=和定点F （c ，0）的距离之比为ca (a >c 〉0)的点的轨迹是椭圆2．若椭圆的两焦点为（－2,0）和（2，0），且椭圆过点)23,25(-，则椭圆方程是 ( ）A ．14822=+x yB ．161022=+x yC ．18422=+x yD ．161022=+y x3．若方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围为（ )A ．(0，+∞)B ．（0,2)C ．（1，+∞）D ．(0，1)4．设定点F 1(0，－3)、F 2(0，3),动点P 满足条件)0(921>+=+a aa PF PF ,则点P 的轨迹是（ ）A ．椭圆B ．线段C ．不存在D ．椭圆或线段 5．椭圆12222=+by a x 和k b y a x =+2222()0>k 具有（ ）A ．相同的离心率B ．相同的焦点C ．相同的顶点D ．相同的长、短轴6．若椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，则这个椭圆的离心率为 ( ）A ．41B ．22 C ．42 D ． 217．已知P 是椭圆13610022=+y x 上的一点,若P 到椭圆右准线的距离是217，则点P 到左焦点的距离是（ ）A ．516B ．566C ．875D ．8778．椭圆141622=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是（ ）A ．3B ．11C ．22D ．109．在椭圆13422=+y x 内有一点P （1,－1)，F 为椭圆右焦点，在椭圆上有一点M ，使|MP|+2｜MF|的值最小,则这一最小值是 （ ）A ．25B ．27C ．3D ．410．过点M （－2,0）的直线m 与椭圆1222=+y x 交于P 1,P 2，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1（01≠k ），直线OP 的斜率为k 2,则k 1k 2的值为 ( ）A ．2 B ．－2 C ．21 D ．－21 二、填空题（本题共4小题,每小题6分，共24分） 11．离心率21=e ，一个焦点是()3,0-F 的椭圆标准方程为 ___________ 。
椭圆练习题
椭圆练习题（一）1.对于常数m 、n ，“0mn >”是“方程221mx ny +=的曲线是椭圆”的（ ） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充分必要条件 D 、既不充分也不必要条件2.设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，12PF F ∆是底角为30 的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）()A 12 ()B 23 ()C 34 ()D 453.椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =-，则该椭圆的方程为（A ）2211612x y += （B ）221128x y += （C ）22184x y += （D ）221124x y += 4.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2。
若|AF 1|,|F 1F 2|,|F 1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为A.14 B. C. 12 D.5.椭圆2221(5x y a a +=为定值，且a >的的左焦点为F ，直线x m =与椭圆相交于点A 、B ，FAB ∆的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是______。
6.设椭圆C : ()222210x y a b a b+=>>过点（0，4），离心率为35．（1）求C 的方程；（2）求过点（3，0）且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标．7.已知椭圆221:14x C y +=，椭圆2C 以1C 的长轴为短轴，且与1C 有相同的离心率. （Ⅰ）求椭圆2C 的方程；（Ⅱ）设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆1C 和2C 上，2=求直线AB 的方程.8.已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=（1） 当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围 （2） 求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程。
(完整版)椭圆练习题(含答案)
解析几何——椭圆精炼专题一、 选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中有只有一项是符合题目要求的．） 1．椭圆63222=+y x 的焦距是（ ）A ．2B ．)23(2-C ．52D ．)23(2+2．F 1、F 2是定点，|F 1F 2|=6，动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=6，则点M 的轨迹是（ ） A ．椭圆 B ．直线 C ．线段 D ．圆 3．若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点)23,25(-，则椭圆方程是 （ ）A ．14822=+x yB ．161022=+x yC ．18422=+x yD ．161022=+y x4．方程222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是（ ）A ．),0(+∞B ．（0，2）C ．（1，+∞）D ．（0，1）5． 过椭圆12422=+y x 的一个焦点1F 的直线与椭圆交于A 、B 两点，则A 、B 与椭圆的另一焦点2F 构成2ABF ∆，那么2ABF ∆的周长是（ ）A ． 22B ． 2C ． 2D ． 16．已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为31，长轴长为12，则椭圆方程为（ ） A ．112814422=+y x 或114412822=+y x B ． 14622=+y x C ．1323622=+y x 或1363222=+y x D ． 16422=+y x 或14622=+y x 7． 已知k ＜4，则曲线14922=+y x 和14922=-+-k y k x 有（ ） A ． 相同的短轴 B ． 相同的焦点 C ． 相同的离心率 D ． 相同的长轴8．椭圆192522=+y x 的焦点1F 、2F ，P 为椭圆上的一点，已知21PF PF ⊥，则△21PF F 的面积为（ ） A ．9 B ．12 C ．10 D ．89．椭圆131222=+y x 的焦点为1F 和2F ，点P 在椭圆上，若线段1PF 的中点在y 轴上，那么1PF 是2PF 的（ ）A ．4倍B ．5倍C ．7倍D ．3倍10．椭圆1449422=+y x 内有一点P （3，2）过点P 的弦恰好以P 为中点，那么这弦所在直线的方程为（ ） A ．01223=-+y x B ．01232=-+y xC ．014494=-+y xD ． 014449=-+y x11．椭圆141622=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是（ ）A ．3B ．11C ．22D ．1012．过点M （－2，0）的直线M 与椭圆1222=+y x 交于P 1，P 2，线段P 1P 2的中点为P ，设直线M 的斜率为k 1（01≠k ），直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为（ ）A ．2B ．－2C ．21 D ．－21 二、 填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．）13．椭圆2214x y m +=的离心率为12，则m = ． 14．设P 是椭圆2214x y +=上的一点，12,F F 是椭圆的两个焦点，则12PF PF 的最大值为 ；最小值为 ． 15．直线y =x －21被椭圆x 2+4y 2=4截得的弦长为 ．16．已知圆Q A y x C ),0,1(25)1(:22及点=++为圆上一点，AQ 的垂直平分线交CQ 于M ，则点M 的轨迹方程为 ．三、解答题：（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．） 17．已知三角形ABC 的两顶点为(2,0),(2,0)B C ，它的周长为10,求顶点A 轨迹方程．18．椭圆的一个顶点为A （2，0），其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．19．点P 到定点F （2，0）的距离和它到定直线x =8的距离的比为1：2，求点P 的轨迹方程，并指出轨迹是什么图形．20．中心在原点，一焦点为F 1（0，52）的椭圆被直线y =3x －2截得的弦的中点横坐标是21，求此椭圆的方程．21.已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在坐标轴上，直线y =x +1与椭圆交于P 和Q ，且OP ⊥OQ ，|PQ |=210，求椭圆方程22．椭圆12222=+by a x (a ＞b ＞)0与直线1=+y x 交于P 、Q 两点，且OQ OP ⊥，其中O 为坐标原点．（1）求2211b a +的值； （2）若椭圆的离心率e 满足33≤e ≤22，求椭圆长轴的取值范围．椭圆练习题参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ACDDABD13、3或316 14、 4 ， 1 15、5382 16、121425422=+yx17、3)(x 15922±≠=+y x 18、解：（1）当A (2,0)为长轴端点时，a =2 , b =1，椭圆的标准方程为： ；（2）当为短轴端点时，，，椭圆的标准方程为： ；19．解：设P （x ，y ），根据题意，|PF|=(x-2)2-y 2,d=|x-8|,因为|PF|d =12 ,所以 (x-2)2-y 2 |x-8| = 12 .化简，得3x 2+4y 2=48,整理，得x 216 +y 212=1,所以，点P 的轨迹是椭圆。
完整版)椭圆经典练习题两套(带答案)
完整版)椭圆经典练习题两套(带答案)A组基础过关1.选择题1.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于多少？A。
2B。
2/3C。
1/2D。
1/3解析：由题意得2a=2b，所以a=b，又a²=b²+c²，所以b=c，所以a=2c，e=c/a=1/2，答案为C。
2.中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是什么？A。
(x²/81)+(y²/72)=1B。
(x²/81)+(y²/9)=1C。
(x²/81)+(y²/45)=1D。
(x²/81)+(y²/36)=1解析：依题意知2a=18，所以a=9，2c=3×2a，所以c=3，所以b=a-c=81-9=72，所以椭圆方程为(x²/81)+(y²/72)=1，答案为A。
3.椭圆x²+4y²=1的离心率是多少？A。
2/3B。
2C。
1/2D。
3解析：先将x²+4y²=1化为标准方程，得(x/1)²+(y/(1/2))²=1，所以a=1，b=1/2，所以c=√(a²-b²)=√(3)/2，所以e=c/a=√(3)/2，答案为A。
2.解答题1.设F₁、F₂分别是椭圆4x²+y²=1的左、右焦点，P是第一象限内该椭圆上的一点，且PF₁⊥PF₂，则点P的横坐标为多少？解析：由题意知，点P即为圆x²+y²=3与椭圆4x²+y²=1在第一象限的交点，解方程组x²+y²=3和4x²+y²=1，得点P的横坐标为√(2/3)，答案为√(2/3)。
2.已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为2，且椭圆G上一点到其两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程是什么？解析：依题意设椭圆G的方程为a²x²+b²y²=1(a>b>0)，因为椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为12，所以2a=12，所以a=6，又因为椭圆的离心率为2，所以c=a/2=3，所以b=√(a²-c²)=3√5，所以椭圆G的方程为36x²+45y²=1，答案为C。
椭圆练习题(含答案)
椭圆练习题一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中有只有一项是符合题目要求的．）1．椭圆的焦距是（）A．2 B ．C ．D ．2．F1、F2是定点，|F1F2|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，则点M的轨迹是（）A．椭圆B．直线C．线段D．圆3．若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点，则椭圆方程是（）A ．B ．C ．D ．4．方程暗示焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是（）A ．B．（0，2）C．（1，+∞）D．（0，1）5．过椭圆的一个焦点的直线与椭圆交于、两点，则、与椭圆的另一焦点构成，那么的周长是（）A ． B． 2 C ． D． 16．已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为，长轴长为12，则椭圆方程为（）A ．或B ．C ．或????????????????????????????????D ．或??．??已知＜??，则曲线和有（）A．相同的短轴 B．相同的焦点 C．相同的离心率 D．相同的长轴8．椭圆的焦点、，P 为椭圆上的一点，已知，则△的面积为（）A．9 B．12 C．10 D．89．椭圆的焦点为和，点P 在椭圆上，若线段的中点在y 轴上，那么是的（）A．4倍 B．5倍 C．7倍 D．3倍10．椭圆内有一点P（3，2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为（）A ．B ．C ．D．11．椭圆上的点到直线的最大距离是（）A．3 B ．C ．D ．12．过点M（－2，0）的直线M 与椭圆交于P1，P2，线段P1P2的中点为P，设直线M 的斜率为k1（），直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为（）A．2 B．－2 C ．D ．－二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．）13．椭圆的离心率为，则．14．设是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，则的最大值为；最小值为．15．直线y=x －被椭圆x2+4y2=4截得的弦长为．16．已知圆为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于M，则点M的轨迹方程为．三、解答题：（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步调．）17．已知三角形的两顶点为，它的周长为,求顶点轨迹方程．18．椭圆的一个顶点为A（2，0），其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的尺度方程．19．点P到定点F（2，0）的距离和它到定直线x=8的距离的比为1：2，求点P的轨迹方程，并指出轨迹是什么图形．20．中心在原点，一焦点为F1（0，5）的椭圆被直线y=3x－2截得的弦的中点横坐标是，求此椭圆的方程．21.已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与椭圆交于P和Q，且OP⊥OQ，|PQ|=，求椭圆方程22．椭圆＞＞与直线交于、两点，且，其中为坐标原点． （1）求的值；（2）若椭圆的离心率满足≤≤，求椭圆长轴的取值范围． 椭圆练习题参考答案 题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C D D AB D13、3或 14、 4 ， 1 15、16、17、18、解：（1）当A(2,0)为长轴端点时，a=2 , b=1，椭圆的尺度方程为：；（2）当为短轴端点时，，，椭圆的尺度方程为：；19．解：设P （x ，y ），根据题意，|PF|=(x2)2y2 ,d=|x8|,因为|PF|d =12 ,所以 (x2)2y2 |x8| = 12 .化简，得3x2+4y2=48,整理，得x216 +y212=1,所以，点P 的轨迹是椭圆。
椭圆方程练习题
椭圆方程练习题椭圆方程练习题椭圆方程是数学中的一个重要概念，广泛应用于物理、工程和计算机科学等领域。
它描述了一个平面上所有点的集合，这些点到两个给定点的距离之和等于一个常数。
在本文中，我们将通过一些练习题来加深对椭圆方程的理解和应用。
练习题1：考虑一个椭圆方程：(x/2)^2 + (y/3)^2 = 1。
请回答以下问题：1. 这个椭圆的中心在哪里？2. 椭圆的长轴和短轴分别是多少？3. 椭圆的离心率是多少？解答：1. 这个椭圆的中心在原点(0, 0)。
2. 椭圆的长轴是2，短轴是3。
3. 椭圆的离心率是√(1 - (3/2)^2) ≈ 0.866。
练习题2：给定一个椭圆方程：(x/5)^2 + (y/4)^2 = 1。
请回答以下问题：1. 这个椭圆的中心在哪里？2. 椭圆的长轴和短轴分别是多少？3. 椭圆的离心率是多少？解答：1. 这个椭圆的中心在原点(0, 0)。
2. 椭圆的长轴是5，短轴是4。
3. 椭圆的离心率是√(1 - (4/5)^2) ≈ 0.6。
练习题3：给定一个椭圆方程：(x - 2)^2/4 + (y + 1)^2/9 = 1。
请回答以下问题：1. 这个椭圆的中心在哪里？2. 椭圆的长轴和短轴分别是多少？3. 椭圆的离心率是多少？解答：1. 这个椭圆的中心在点(2, -1)。
2. 椭圆的长轴是6，短轴是4.5。
3. 椭圆的离心率是√(1 - (4.5/6)^2) ≈ 0.75。
通过以上的练习题，我们可以看到椭圆方程的一些特点。
首先，椭圆的中心可以通过方程中的常数项得到。
其次，长轴和短轴的长度可以通过方程中的系数得到。
最后，离心率可以通过长轴和短轴的长度计算得到。
椭圆方程在现实生活中有着广泛的应用。
例如，当我们研究天体运动时，可以使用椭圆方程描述行星绕太阳的轨道。
此外，椭圆方程还可以用于设计汽车、船只和飞机的轨迹，以及计算机图形学中的曲线绘制等。
总结起来，椭圆方程是数学中一个重要的概念，具有广泛的应用价值。
高中数学椭圆练习题(含答案)
椭圆练习题一、 选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中有只有一项是符合题目要求的．） 1．椭圆63222=+y x 的焦距是（ ）A ．2B ．)23(2-C ．52D ．)23(2+2．F 1、F 2是定点，|F 1F 2|=6，动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=6，则点M 的轨迹是（ ） A ．椭圆 B ．直线 C ．线段 D ．圆 3．若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点)23,25(-，则椭圆方程是 （ ）A ．14822=+x yB ．161022=+x yC ．18422=+x yD ．161022=+y x4．方程222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是（ ）A ．),0(+∞B ．（0，2）C ．（1，+∞）D ．（0，1）5． 过椭圆12422=+y x 的一个焦点1F 的直线与椭圆交于A 、B 两点，则A 、B 与椭圆的另一焦点2F 构成2ABF ∆，那么2ABF ∆的周长是（ ）A ． 22B ． 2C ． 2D ． 16．已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为31，长轴长为12，则椭圆方程为（ ） A ．112814422=+y x 或114412822=+y x B ． 14622=+y x C ．1323622=+y x 或1363222=+y x D ． 16422=+y x 或14622=+y x 7． 已知k ＜4，则曲线14922=+y x 和14922=-+-k y k x 有（ ） A ． 相同的短轴 B ． 相同的焦点 C ． 相同的离心率 D ． 相同的长轴8．椭圆192522=+yx 的焦点1F 、2F ，P 为椭圆上的一点，已知21PF PF ⊥，则△21PF F 的面积为（ ） A ．9 B ．12 C ．10 D ．89．椭圆131222=+y x 的焦点为1F 和2F ，点P 在椭圆上，若线段1PF 的中点在y 轴上，那么1PF 是2PF 的（ ）A ．4倍B ．5倍C ．7倍D ．3倍10．椭圆1449422=+y x 内有一点P （3，2）过点P 的弦恰好以P 为中点，那么这弦所在直线的方程为（ ） A ．01223=-+y x B ．01232=-+y xC ．014494=-+y xD ． 014449=-+y x11．椭圆141622=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是（ ）A ．3B ．11C ．22D ．1012．过点M （－2，0）的直线M 与椭圆1222=+y x 交于P 1，P 2，线段P 1P 2的中点为P ，设直线M 的斜率为k 1（01≠k ），直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为（ ） A ．2 B ．－2C ．21 D ．－21 二、 填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．）13．椭圆2214x y m +=的离心率为12，则m = ． 14．设P 是椭圆2214x y +=上的一点，12,F F 是椭圆的两个焦点，则12PF PF 的最大值为 ；最小值为 ．15．直线y =x －21被椭圆x 2+4y 2=4截得的弦长为 ．16．已知圆Q A y x C ),0,1(25)1(:22及点=++为圆上一点，AQ 的垂直平分线交CQ 于M ，则点M 的轨迹方程为 ．三、解答题：（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．） 17．已知三角形ABC 的两顶点为(2,0),(2,0)B C -，它的周长为10,求顶点A 轨迹方程．18．椭圆的一个顶点为A（2，0），其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．19．点P到定点F（2，0）的距离和它到定直线x=8的距离的比为1：2，求点P的轨迹方程，并指出轨迹是什么图形．20．中心在原点，一焦点为F1（0，52）的椭圆被直线y=3x－2截得的弦的中点横坐标是21，求此椭圆的方程．21.已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与椭圆交于P和Q，且OP⊥OQ，|PQ|=210，求椭圆方程22．椭圆12222=+byax(a＞b＞)0与直线1=+yx交于P、Q两点，且OQOP⊥，其中O为坐标原点．（1）求2211ba+的值；（2）若椭圆的离心率e满足33≤e≤22，求椭圆长轴的取值范围．椭圆练习题参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ACDDABD13、3或316 14、 4 ， 1 15、5382 16、121425422=+yx17、3)(x 15922±≠=+y x 18、解：（1）当A (2,0)为长轴端点时，a =2 , b =1，椭圆的标准方程为： ；（2）当为短轴端点时，，，椭圆的标准方程为： ；19．解：设P （x ，y ），根据题意，|PF|=(x-2)2-y 2,d=|x-8|,因为|PF|d =12 ,所以 (x-2)2-y 2 |x-8| = 12.化简，得3x 2+4y 2=48,整理，得x 216 +y 212=1,所以，点P 的轨迹是椭圆。
椭圆的方程练习题
椭圆的方程练习题椭圆是平面上非常重要的几何图形，许多数学问题和应用都与椭圆有关。
为了帮助大家更好地理解椭圆的方程及其相关性质，本文将为大家提供一些椭圆的方程练习题。
通过解决这些练习题，相信对于椭圆的方程会有更深入的理解。
练习题1：给定椭圆的焦点为F₁(-2,0)和F₂(2,0)，离心率为3/4。
求椭圆的方程。
解答：首先，我们可以根据定义得知焦点之间的距离为2ae，离心率e的定义为c/a。
因此，我们可以得到下列方程：2ae = 2 × (3/4)aa = 3/2c/a = 3/4c = (3/4)ac = (3/4) × (3/2)c = 9/8根据椭圆的方程模板（x-h）^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1，我们可以得到以下方程：(x-0)^2/(9/2)^2 + (y-0)^2/(√[(9/2)^2 - (9/8)^2])^2 = 1对上式进行化简，我们得到椭圆的方程为：4x^2/9 + 64y^2/81 = 1练习题2：已知椭圆的焦点为F₁(-1,0)和F₂(1,0)，离心率为√2/2。
求椭圆的方程。
解答：根据定义可得：2ae = 2 ×(√2/2)a = √2a√2a = 2a = 2/√2a = √2c/a = √2/2c = (√2/2)ac = (√2/2) × (√2)c = 1根据椭圆的方程模板，我们有：(x-0)^2/(√2)^2 + (y-0)^2/b^2 = 1化简上式得到：x^2/2 + y^2/b^2 = 1由于焦点位于y轴上，根据对称性可知焦点关于椭圆对称，因此焦点 F₁' 为 (-1, 0)，根据焦点的性质可知 c = 1，因此焦点 F₁'的坐标为 (-1, 0)。
练习题3：已知椭圆的长轴长度为12，焦点到直径的距离为4。
求椭圆的方程。
解答：由于焦点到直径的距离为4，我们可以根据定义得知2ae = 4a，即2e = 4。
高三椭圆练习题含答案
高三椭圆练习题含答案1. 设椭圆的焦距为f，离心率为e，则第一焦点坐标为(-f,0)，第二焦点坐标为(f,0)。
设椭圆的长轴为2a，短轴为2b，则有等式：f =√(a^2 - b^2) = a * e，其中e为离心率。
2. 设椭圆的焦距为f，离心率为e，离心率定义为e = c / a，其中c为焦点到椭圆中心的距离，a为椭圆的半长轴的长度。
根据定义，椭圆的离心率始终小于1。
3. 椭圆的标准方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a为椭圆的半长轴，b为椭圆的半短轴。
4. 已知椭圆的焦点坐标为(-5, 0)和(5, 0)，离心率为2/3。
求该椭圆的半长轴和半短轴长度。
解答：根据离心率的定义，可知椭圆的焦点到椭圆中心的距离为a * e = 5* 2/3 = 10/3。
由于焦点到椭圆中心距离为a * e，而椭圆的焦点坐标为(-5, 0)和(5, 0)，因此椭圆的中心坐标为(0,0)。
由此可知，半长轴的长度为a = 大于等于5 + 10/3 = 25/3，半短轴的长度为b = √(a^2 - c^2) = √((25/3)^2 - (10/3)^2) = √(625/9 - 100/9) =√(525/9) = √175/3 = √(25 * 7)/3 = 5√7/3。
所以，该椭圆的半长轴长度为25/3，半短轴长度为5√7/3。
5. 已知椭圆的离心率为1/2，焦点坐标为(-3, 0)和(3, 0)。
求该椭圆的长轴与短轴的长度之比。
解答：根据焦点的坐标和离心率的定义，可知椭圆的半长轴的长度为 a = 3 * 2 = 6, 离心率为e = c / a = 1/2，其中c为焦点到椭圆中心的距离。
由此可知，焦点到椭圆中心的距离为c = a * e = 6 * 1/2 = 3。
椭圆的中心即为原点，因此椭圆的标准方程为x^2/36 + y^2/b^2 = 1。
根据焦点到椭圆中心的距离c = 3，可知椭圆的焦点坐标为(-3, 0)和(3, 0)。
(完整版)椭圆经典练习题两套(带答案)
椭圆练习题1A 组 基础过关一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2012·厦门模拟)已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于 ( )．A.12B.22C. 2D.32解析 由题意得2a ＝22b ⇒a ＝2b ，又a 2＝b 2＋c 2⇒b ＝c ⇒a ＝2c ⇒e ＝22. 答案 B2．(2012·长沙调研)中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )． A.x 281＋y 272＝1B.x 281＋y 29＝1C.x 281＋y 245＝1D.x 281＋y 236＝1解析 依题意知：2a ＝18，∴a ＝9,2c ＝13×2a ，∴c ＝3， ∴b 2＝a 2－c 2＝81－9＝72，∴椭圆方程为x 281＋y 272＝1.答案 A3．(2012·长春模拟)椭圆x 2＋4y 2＝1的离心率为( )． A.32 B.34 C.22 D.23解析 先将x 2＋4y 2＝1化为标准方程x 21＋y 214＝1，则a ＝1，b ＝12，c ＝a 2－b 2＝32.离心率e ＝c a ＝32. 答案 A4．(2012·佛山月考)设F 1、F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，P 是第一象限内该椭圆上的一点，且PF 1⊥PF 2，则点P 的横坐标为( )． A ．1 B.83 C ．2 2 D.263解析 由题意知，点P 即为圆x 2＋y 2＝3与椭圆x 24＋y 2＝1在第一象限的交点，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝3，x 24＋y 2＝1，得点P 的横坐标为263.答案 D5．(2011·惠州模拟)已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且椭圆G 上一点到其两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为( )． A.x 24＋y 29＝1 B.x 29＋y 24＝1 C.x 236＋y 29＝1 D.x 29＋y 236＝1解析 依题意设椭圆G 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，∵椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为12， ∴2a ＝12，∴a ＝6， ∵椭圆的离心率为32. ∴a 2－b 2a ＝32， ∴36－b 26＝32.解得b 2＝9，∴椭圆G 的方程为：x 236＋y 29＝1. 答案 C二、填空题(每小题4分，共12分)6．若椭圆x 225＋y 216＝1上一点P 到焦点F 1的距离为6，则点P 到另一个焦点F 2的距离是________．解析 由椭圆的定义可知，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以点P 到其另一个焦点F 2的距离为|PF 2|＝2a －|PF 1|＝10－6＝4. 答案 47．(2011·皖南八校联考)已知F 1、F 2是椭圆C 的左、右焦点，点P 在椭圆上，且满足|PF 1|＝2|PF 2|，∠PF 1F 2＝30°，则椭圆的离心率为________． 解析 在三角形PF 1F 2中，由正弦定理得 sin ∠PF 2F 1＝1，即∠PF 2F 1＝π2，设|PF 2|＝1，则|PF 1|＝2，|F 2F 1|＝3， ∴离心率e ＝2c 2a ＝33. 答案 338．(2011·江西)若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________．解析 由题可设斜率存在的切线的方程为y －12＝k (x －1)(k 为切线的斜率)， 即2k x －2y －2k ＋1＝0， 由|－2k ＋1|4k 2＋4＝1，解得k ＝－34， 所以圆x 2＋y 2＝1的一条切线方程为3x ＋4y －5＝0， 求得切点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45，易知另一切点B (1,0)，则直线AB 的方程为y ＝－2x ＋2. 令y ＝0得右焦点为(1,0)，令x ＝0得上顶点为(0,2)．∴a 2＝b 2＋c 2＝5， 故得所求椭圆方程为x 25＋y 24＝1. 答案 x 25＋y 24＝1 三、解答题(共23分)9．(11分)已知点P (3,4)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上的一点，F 1，F 2是椭圆的两焦点，若PF 1⊥PF 2.试求：(1)椭圆的方程；(2)△PF 1F 2的面积． 解 (1)∵P 点在椭圆上， ∴9a 2＋16b 2＝1.① 又PF 1⊥PF 2，∴43＋c ·43－c ＝－1，得：c 2＝25，②又a 2＝b 2＋c 2，③由①②③得a 2＝45，b 2＝20. 椭圆方程为x 245＋y 220＝1.(2)S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|×4＝5×4＝20.10．(12分)(2011·陕西)如图，设P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且|MD |＝45|PD |.(1)当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程； (2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的长度． 解 (1)设M 的坐标为(x ，y )，P 的坐标为(x P ，y P )， 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x P＝x ，y P ＝54y ，∵P 在圆上，∴x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫54y 2＝25，即C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)， 设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程，得 x 225＋(x －3)225＝1，即x 2－3x －8＝0. ∴x 1＝3－412，x 2＝3＋412.∴线段AB 的长度为|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1625(x 1－x 2)2＝ 4125×41＝415.B 级 提高题一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2012·丽水模拟)若P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上的一点，且PF 1→·PF 2→＝0，tan ∠PF 1F 2＝12，则此椭圆的离心率为( )． A.53 B.23 C.13 D.12解析 在Rt △PF 1F 2中，设|PF 2|＝1，则|PF 2|＝2.|F 1F 2|＝5，∴e ＝2c 2a ＝53. 答案 A2．(2011·汕头一模)已知椭圆x 24＋y 22＝1上有一点P ，F 1，F 2是椭圆的左、右焦点，若△F 1PF 2为直角三角形，则这样的点P 有( )． A ．3个 B ．4个 C ．6个 D ．8个解析 当∠PF 1F 2为直角时，根据椭圆的对称性知，这样的点P 有2个；同理当∠PF 2F 1为直角时，这样的点P 有2个；当P 点为椭圆的短轴端点时，∠F 1PF 2最大，且为直角，此时这样的点P 有2个．故符合要求的点P 有6个． 答案 C二、填空题(每小题4分，共8分)3．(2011·镇江调研)已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆上一点且PF 1→·PF 2→＝c 2，则此椭圆离心率的取值范围是________． 解析 设P (x ，y )，则PF 1→·PF 2→＝(－c －x ，－y )· (c －x ，－y )＝x 2－c 2＋y 2＝c 2①将y 2＝b 2－b 2a 2x 2代入①式解得x 2＝(3c 2－a 2)a 2c 2，又x 2∈[0，a 2]，∴2c 2≤a 2≤3c 2，∴e ＝c a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，224．(2011·浙江)设F 1，F 2分别为椭圆x 23＋y 2＝1的左，右焦点，点A ，B 在椭圆上，若F 1A →＝5F 2B →，则点A 的坐标是________．解析 根据题意设A 点坐标为(m ，n )，B 点坐标为(c ，d )．F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，其坐标分别为(－2，0)、(2，0)，可得F 1A →＝(m ＋2，n )，F 2B →＝(c －2，d )，∵F 1A →＝5F 2B →，∴c ＝m ＋625，d ＝n 5.∵点A 、B 都在椭圆上，∴m 23＋n 2＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋62523＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 52＝1.解得m ＝0，n ＝±1，故点A 坐标为(0，±1)．答案 (0，±1) 三、解答题(共22分)5．(10分)(2011·大连模拟)设A ，B 分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右顶点，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32为椭圆上一点，椭圆长半轴的长等于焦距． (1)求椭圆的方程；(2)设P (4，x )(x ≠0)，若直线AP ，BP 分别与椭圆相交异于A ，B 的点M ，N ，求证：∠MBN 为钝角．(1)解 (1)依题意，得a ＝2c ，b 2＝a 2－c 2＝3c 2，设椭圆方程为x 24c 2＋y 23c 2＝1，将⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32代入，得c 2＝1，故椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明 由(1)，知A (－2,0)，B (2,0)，设M (x 0，y 0)，则－2＜x 0＜2，y 20＝34(4－x 20)，由P ，A ，M 三点共线，得x ＝6y 0x 0＋2， BM →＝(x 0－2，y 0)，BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，6y 0x 0＋2， BM →·BP →＝2x 0－4＋6y 20x 0＋2＝52(2－x 0)＞0，即∠MBP 为锐角，则∠MBN 为钝角．6．(★)(12分)(2011·西安五校一模)已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12，且经过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在过点P (2,1)的直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ，满足P A →·PB →＝PM →2若存在，求出直线l 1的方程；若不存在，请说明理由． 解 (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＋94b 2＝1，c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝4，b 2＝3.故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)假设存在直线l 1且由题意得斜率存在，设满足条件的方程为y ＝k 1(x －2)＋1，代入椭圆C 的方程得，(3＋4k 21)x 2－8k 1(2k 1－1)x ＋16k 21－16k 1－8＝0.因为直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ，设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，所以Δ＝[－8k 1(2k 1－1)]2－4(3＋4k 21)(16k 21－16k 1－8)＝32(6k 1＋3)＞0，所以k 1＞－12.又x 1＋x 2＝8k 1(2k 1－1)3＋4k 21，x 1x 2＝16k 21－16k 1－83＋4k 21， 因为P A →·PB→＝PM →2，即(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝54， 所以(x 1－2)·(x 2－2)(1＋k 21)＝|PM |2＝54. 即[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4](1＋k 21)＝54.所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤16k 21－16k 1－83＋4k 21－2·8k 1(2k 1－1)3＋4k 21＋4(1＋k 21)＝4＋4k 213＋4k 21＝54，解得k 1＝±12. 因为k 1＞－12，所以k 1＝12.于是存在直线l 1满足条件，其方程为y ＝12x .【点评】 解决解析几何中的探索性问题的一般步骤为：,第一步：假设结论成立.,第二步：以存在为条件，进行推理求解.,第三步：明确规范结论，若能推出合理结果，经验证成立即可肯定正确.若推出矛盾，即否定假设.,第四步：回顾检验本题若忽略Δ＞0这一隐含条件，结果会造成两解.椭圆练习题2一、填空题1．椭圆63222=+y x 的焦距为______________。