CH1.4运输规划问题
运筹学运输问题相关知识点
运筹学运输问题相关知识点运筹学，旨在通过数学模型和优化方法来解决各种决策问题，其中运输问题是运筹学中的一个重要分支。
运输问题旨在帮助我们确定如何在不同地点之间运输物品以达到最佳效益。
首先，运输问题基于以下几个基本假设：一是物流成本在运输过程中是线性的，二是物品在不同地点之间的运输是无差异的，三是供应和需求之间是平衡的。
在解决运输问题时，需要考虑以下几个关键要素：1.运输网络：此步骤涉及识别和描述供应地点、运输路径和需求地点。
通常使用图形表示来可视化运输网络，以便更好地理解和分析问题。
2.供应量和需求量：确定每个供应地点可提供的物品数量和每个需求地点所需的物品数量。
供应量和需求量之间必须达到平衡。
3.运输成本：每个运输路径的费用是决策的重要因素。
这可以涉及运输距离、运输方式、燃料成本等因素。
通常通过构建费用矩阵来表示各个路径的费用。
4.运输方案：确定如何分配物品以满足需求，并选择最佳的运输路径。
这通常通过使用线性规划模型来实现，以最小化总运输成本为目标。
解决运输问题的常见方法包括：1.西北角规则：该方法从供应和需求具有最大值的角度着手，逐步分配物品，直到达到平衡。
这种方法简单易行，但不一定能够找到全局最优解。
2.最小成本法：该方法根据运输路径的成本递增顺序，逐一分配物品，直到平衡为止。
这种方法能够找到最优解，但可能需要更多的计算量。
3.转运法：该方法通过寻找“供应地点里程+需求地点里程最小”的路径来决策，直至达到平衡。
这种方法在有多个供应地点和多个需求地点时非常实用。
除了基本的运输问题之外，还有其他一些相关的运筹学问题，如多品种运输问题、多目标运输问题和带有时间窗口的运输问题等。
这些问题在实际应用中都有广泛的应用，并且可以通过相应的数学模型和优化方法来解决。
综上所述，运筹学中的运输问题是一个重要的决策问题。
它涉及到寻找最佳的物品配送方案，以最小化总运输成本。
通过合适的数学模型和算法，我们可以有效地解决这类问题，为实际的物流管理提供有力的支持。
运筹学 运输问题
运筹学运输问题
运筹学是一门研究如何最优地规划和管理资源以实现预定目标的学科。
在运筹学中，运输问题是其中一个重要的应用领域。
运输问题主要关注如何有效地分配有限的资源到不同的需求点，以最小化总体运输成本或最大化资源利用效率。
这些资源可以是货物、人员或其他物资。
运输问题通常涉及到多个供应地点和多个需求地点之间的物流调度。
运输问题的目标是找到一种最佳的调度方案，使得满足所有需求的同时，总运输成本达到最小。
为了解决运输问题，可以采用线性规划、网络流和启发式算法等方法。
在运输问题中，需要确定以下要素：
1. 供应地点：确定从哪些地点提供资源，例如仓库或生产基地。
2. 需求地点：确定资源需要分配到哪些地点，例如客户或销售点。
3. 运输量：确定每个供应地点与需求地点之间的运输量。
4. 运输成本：确定不同供应地点与需求地点之间运输的成本，可以
包括距离、时间、燃料消耗等因素。
通过数学建模和优化技术，可以对这些要素进行量化和分析，以求得最佳的资源分配方案。
这样可以降低运输成本、提高物流效率，并且满足不同地点的需求。
总而言之，运输问题是运筹学中的一个重要领域，涉及到如何有效地规划和管理资源的物流调度。
通过数学建模和优化方法，可以找到最优的资源分配方案，从而实现成本最小化和效率最大化。
运筹学 运输问题 伏格尔法 两个差值一样
运筹学是指运用数学、统计学和计算机科学等方法来解决实际管理问题的学科，其目的是帮助组织和企业有效地利用资源，提高效率和降低成本。
其中，运输问题是运筹学中的一个重要问题，它关注如何有效地分配资源进行运输，以最大化效益和最小化成本。
1. 运输问题的定义运输问题是指在有限的供给和需求下，如何安排从供应地到需求地的产品运输问题。
通常情况下，运输问题可以用一个矩阵表示，其中行代表供应地，列代表需求地，矩阵元素表示从供应地到需求地的单位运输成本。
这个问题的目标是找到一种最佳分配方案，使得总运输成本最小。
2. 伏格尔法伏格尔法是一种解决运输问题的经典方法，它是基于线性规划理论的，并且被广泛应用于实际管理中。
在解决运输问题时，伏格尔法的基本思想是通过不断地调整供需地之间的运输量，使得每一次调整能够降低总成本，最终找到最优解。
3. 伏格尔法步骤伏格尔法的具体步骤如下：a. 初始化需要初始化一个基本可行解，通常取所有运输量为0。
b. 进入循环进入循环迭代的过程，每一次迭代都尝试改进当前解，直到找到最优解为止。
c. 选择进入变量在每一次迭代中，需要选择一个进入变量（即不在当前解中的基本变量），这个选择通常是通过计算单位成本的差值来确定的。
d. 计算离开变量需要计算离开变量，即在当前解中的基本变量中，哪一个会使得总成本减小最多。
e. 更新运输量根据进入变量和离开变量，更新对应的运输量，然后重新计算总成本。
f. 判断终止判断当前解是否为最优解，如果满足终止条件，则结束迭代，得到最优解；否则，继续下一轮迭代。
4. 两个差值一样在伏格尔法的迭代过程中，一个关键的问题是如何确定进入变量和离开变量。
如果存在多个单位成本的差值相同的情况，需要进行修正以确保每次迭代能够得到有意义的改进。
一般来说，可以通过一些规则来确定进入变量和离开变量，比如规定进入变量要求单位成本的差值最大，离开变量要求单位成本的差值次大。
这样可以避免出现多个差值相同而导致迭代过程混乱的情况。
运筹学2运输问题及目标规划
A2 的产品供应 B1 。由于A2 每天生产4吨，B1 每天只需要
3吨，即 A2 除每日能满足B1 的需要外还余1吨。因此在产
销平衡表 (A2 , B1) 交叉处填上3，表示 A2 调运3吨给B1 ，
再在单位运价表中将B1 这一列运价划去，表示 B1 的需求
已满足，不需要继续调运 (即x21 =3=min(a2,b1)=min(4 , 3).
对于产销不平衡的情况，我们将在以后讲到。
模型特性：1、运输问题的数学模型，变量从x11到 xmn，共包含 m·个 变量, 约束条件为m + n 个； n 2、它的约束方程组的系数矩阵具有如下形 式，在该矩阵中，每列只有两个元素为1，其余都是0。 （表上作业法既是以此为基础得出）；
x11 , , x1n , x21 , , x2 n , , xm1 , , xmn 1 0 行 A 0 1 行 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1
（2）求各非基变量（空格或非数字格）的检验数。即在表上求空 格的检验数，判别是否达到最优解。如果达到最优解，则停止计算， 否则转入下一步； （3）迭代。确定换入变量和换出变量，找出新的基可行解，在表 上用闭回路法进行调整。 （4）重复（2）、（3）步，直到求得最优解为止。
表上作业法的难点是 1、找出初始基可行解
11
9 4 5
3
2 10 1
10
8 5 3
0
1 1
第二步：填表划线。
从行差额和列差额中选出最大者，选择它所在 的行或列中的 最小元素。比较该元素所在的行和列的产量，取它们最小者填入产 销平衡表相应的位置。同时在单位运价表中划去一行或一列。由表 2—8可知 B2 的列差
管理运筹学运输问题实验报告
管理运筹学运输问题实验报告一、实验目的通过研究和实践，掌握线性规划求解运输问题的基本模型和求解方法，了解运输问题在生产、物流和经济管理中的应用。
二、实验背景运输问题是管理运筹学中的一个重要问题，其主要目的是确定在不同生产或仓库的产量和销售点的需求之间如何进行运输，使得运输成本最小。
运输问题可以通过线性规划模型来解决。
三、实验内容1. 根据实验数据，建立运输问题的线性规划模型。
2. 使用Excel中的“规划求解器”功能求解模型。
3. 对不同情况进行敏感性分析。
四、实验原理运输问题是一种典型的线性规划问题，其目的是求解一组描述生产和需要之间的运输方案，使得总运输费用最小。
运输问题的一般模型如下：min ∑∑CijXijs.t. ∑Xij = ai i = 1,2,...,m∑Xij = bj j = 1,2,...,nXij ≥ 0其中，Cij表示从i生产地到j销售点的运输成本；ai和bj分别表示第i个生产地和第j个销售点的产量和需求量；Xij表示从第i个生产地向第j个销售点运输的物品数量。
五、实验步骤1. 根据实验数据，建立运输问题的线性规划模型。
根据题目所给数据，我们可以列出线性规划模型：min Z =200X11+300X12+450X13+350X21+325X22+475X23+225X31+275X32+400X 33s.t. X11+X12+X13 = 600X21+X22+X23 = 750X31+X32+X33 = 550X11+X21+X31 = 550X12+X22+X32 = 600X13+X23+X33 = 450Xij ≥ 02. 使用Excel中的“规划求解器”功能求解模型。
在Excel中，选择“数据”选项卡中的“规划求解器”，输入线性规划的目标函数和约束条件，并设置求解参数，包括求解方法、求解精度、最大迭代次数等。
3. 对不同情况进行敏感性分析。
敏感度分析是指在有些条件发生变化时，线性规划模型的最优解会如何变化。
管理运筹学04运输问题
例4-1的最小元素法
运价表 1 产
地
B1
A1
3
A2
1
A3
7
销量
3
销 B2
11
9 4 6
地
产
B3
B4
量
3
10
7
2
84
10
59
5
6 20
方案表 1
产
地
B1
A1
A2
3
A3
销量
3
销 B2
6
地
产
B3
B4
量
7
4
9
5
6 20
2020/6/24
例4-1的最小元素法
运价表 2
产
销
地
地
B1
A1
B2
B3
11
3
A2 (3)
9
2
A3
销量
3
4
10
6
5
产
B4
量
10
7
8
4
5
9
6 20
方案表 2
产
销
地
B1
B2
A1
A2 (3)
A3
销量
3
6
地
B3
B4
1
5
6
产 量 7
4 9 20
2020/6/24
例4-1的最小元素法
运价表 3
产
销
地
B1
A1
B2
B3
11
3
A2 (3)
(1)
A3
销量
3
4
10
6
管理运筹学讲义运输问题
管理运筹学讲义运输问题引言在现代社会，运输问题是管理运筹学中的一个重要问题。
无论是物流行业还是供应链管理，运输问题都是必不可少的一环。
运输问题的解决可以帮助企业有效地规划和管理物流流程，降低运输成本，提高运输效率。
本文将介绍管理运筹学中的运输问题，包括问题的定义、数学模型、常用的解决方法以及在实际应用中的案例分析。
运输问题的定义在管理运筹学中，运输问题是指在给定的供应点和需求点之间，如何分配物品的问题。
通常，问题的目标是找到一种分配方案，使得总运输成本最小。
运输问题可以抽象成一个图模型，其中供应点和需求点之间的路径表示运输线路，路径上的边表示运输的数量和成本。
每个供应点和需求点都有一个需求量或供应量。
问题的目标是找到一种分配方案，使得满足所有需求量的同时最小化总运输成本。
数学模型运输问题可以用线性规划来建模。
假设有m个供应点和n个需求点，每个供应点的供应量为si，每个需求点的需求量为dj。
定义xij为从供应点i到需求点j 的运输量，则运输问题的数学模型可以形式化表示为如下线性规划问题：minimize ∑(i=1 to m)∑(j=1 to n) cij * xijsubject to∑(j=1 to n) xij = si, for all i = 1,2,...,m∑(i=1 to m) xij = dj, for all j = 1,2,...,nxij >= 0, for all i = 1,2,...,m and j = 1,2,...,n其中cij表示从供应点i到需求点j的运输成本。
解决方法针对运输问题，常用的解决方法有以下几种：1. 单纯形法单纯形法是一种用于解决线性规划问题的常用方法。
对于运输问题，可以通过将其转化为标准的线性规划问题，然后使用单纯形法来求解最优解。
2. 匈牙利算法匈牙利算法是一种经典的图论算法，可以用于解决运输问题。
算法的核心思想是通过不断寻找增广路径来寻找最大匹配。
运筹学运输问题
销量
b1
b2
…
bn
销地销量
第6页
如果运输问题中，总产量等于总销量，即有
a
i 1
m
i
b
j 1
n
j
则称为产销平衡运输问题。
第7页
若用 xij 表示从 Ai 到 Bj 的运量，要得出总运费最小 的调运方案，可建立如下数学模型：
min z c ij x ij
i 1 j 1 m n
并同时划去一行和一列。
最小元素法的缺点：按某一最小运价优先安排物品调 运时，可能导致其他供销点对之间运费很高，从而使 得总运费很高。
第29页
例：
销地 产地 A1 B1 B2 B3 B4 产量
3
11
3
10
7
1
A2 7 A3 销量 3 6
9
2
8
4
4
10
5 9Leabharlann 56第30页
解：判断：问题为一产销平衡问题。
由此可知：产销平衡的运输问题，存在可行解。
又因为，产销平衡的运输问题的目标函数有下界
，目标函数不会趋于 - ∞，由此可知，运输问题必
有有限最优解。
第18页
例 判断题
运输问题是一种特殊的线性规划模型，因而求解结
果也可能出现下列四种情况之一：唯一最优解，无
穷多最优解，无界解，无可行解。 （×）
第19页
第41页
证明：运输问题中，变量 xij 的系数列向量为
0 1(第 i行 ) 0 （ 1 第m j行 ） 0
第42页
Pij=
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B1
B2 40
B3
B4 20
产量 50 60 50
销量
40
40
60
20
《运筹学》
第4章 运输问题
伏尔格法
销地 产地 A1 A2 A3 列差额 B1 9 7 6 3 B2 12 3 5 9 B3 9 7 9 2 B4 6 7 11 5 行差额 0 0 3
销地 产地 A1 A2 A3
B1
B2 40
B3 30 20 10
左上角法：
西北角法的思想是在确定运输方案时，按照产销地的顺序来进行方 案设计，选元素下标和最小的变量作为基变量。然后尽可能多地满 足它的需要，再划去满足的行(或列,若行列同时满足,也只划去一行 或一列)，接着对未划去的行和列调整供应量和需要量，直到得到初 始可行基解。
《运筹学》
第4章 运输问题
销地 产地 A1 A2 A3 销量 B1 9 7 6 40 B2 12 3 5 40 B3 9 7 9 60 B4 6 7 11 20 产量 50 60 50
《运筹学》
第4章 运输问题
平衡运输问题及数模 运输问题还可用产销平衡表与单位运价表进行描述。 假设某种物资有m个生产地点Ai（i=1，2，…，m），其产量 （供应量）分别为ai（i=1，2，…，m），有n个销地Bj（j=1， 2，…，n），其销量（需求量）分别为bj（j=1，2，…，n）。 从Ai到Bj运输单位物资的运价（单价）为Cij。将这些数据汇总可 以得到产销平衡表和单位运价表
《运筹学》
第4章 运输问题 二、表上作业法 3. 调整基本解（换基和求新解）--闭合回路法
取负检验数中绝对值最大的空格作回路。
从空格开始依次给回路顶点格标“+”和“-” 找出“-”格中运量最小者，作为调整量，将每个“+”格的 运量加上该调整量，每个“-”格的运量减去该调整量。 即得新的基本可行解。 再计算空格检验数和调整基本解，直到检验数非负为止。
《运筹学》
第4章 运输问题
第八节 运输规划问题
三、产销不平衡的运输问题及其解法
min z cij xij
i 1 j 1
m
n
供大于求的情况
n xij si , i 1,2, , m 1 j m s.t. xij d j , j 1,2, , n i 1 xij 0
销地 产地 A1 A2 A3
B1
B2
B3
B4
产量 50 60 50
40
10 30
40
30 30
60
20
20
10 30 20
销量
40
30 左上角法求解初始运输方案的步骤
30
《运筹学》
第4章 运输问题
销地 产地 A1 A2 A3 销量 B1 9 7 6 40 B2 12 3 5 40 B3 9 7 9 60 B4 6 7 11 20 产量 50 60 50
厂 A1 A2 A3 销量
B1
0 3 9 3
B2
2 2 6 6
B3
5 1 12 5
B4
2 1 3 6
产量
7 4 9
《运筹学》
第4章 运输问题
2.4 表上作业法计算中的问题
v
1. 无穷多最优解
销 地 B1 加工厂 A1 2 A2 1 A3 销量 3 B2 B3 5 6 6 3 3 6 B4 产 量 7 4 9
2.最优运输方案的判定：闭回路法
销地
则变量x31的检验系数为： 6-9+12-3+7-9=4
产地
A1 A2 A3 销地
B1 9 7 6
B2 12 3 5
B3 9 7 9
B4 6 7 11
产地 A1 A2 A3
销量
B1
B2
B3
B4
产量 50 60 50
40
10 30
40·Βιβλιοθήκη 4030 3060
20
20
《运筹学》
《运筹学》
第4章 运输问题
二、表上作业法
2.最优运输方案的判定：闭回路法
约定作为起始顶点的非基变量为偶数次顶点， 其它顶点从1 开始顺次排列，那么，该非基变量 xij的检验数：
ij
=（闭回路上偶数次顶点运距或运价之和）（闭回路上奇数次顶点运距或运价之和）
《运筹学》
第4章 运输问题
二、表上作业法
B4 20
产量 50 60 50
40 40 40
销量
60
20
《运筹学》
第4章 运输问题
二、表上作业法
2.最优运输方案的判定
闭回路法 闭回路：以某一空格为起点找一条闭回路，用水平或垂直线 向前划，每碰到一数字格转900后，继续前进，直到回到起始 空格为止。
《运筹学》
第4章 运输问题
二、表上作业法
2.最优运输方案的判定
《运筹学》
第4章 运输问题
二、表上作业法
解得：
v1 9; v2 12; u2 9; v3 16; u3 7; v4 18
因而可计算得
13 c13 u1 v3 7 14 c14 u1 v4 12 21 c21 u2 v1 7 24 2, 31 4, 32 0
第4章 运输问题
1 平衡运输问题及数模 2 表上作业法
3 产销不平衡的运输问题及解法
4 运输问题的应用举例
《运筹学》
第4章 运输问题
平衡运输问题及数模
社会生产活动川流不息、工农之间、地区之间、各生产企业之间、各 企业车间之间，必然产生不间断的，错综复杂的经济联系。这种联系 是由交通运输业的货物运输来实现的。 无论地区范围内的运输或者工地范围内的运输，在组织运输时，必须 选择合理的物资调运方案。选择合理的物资调运方案是运输工作组织 中十分重要的问题，特别是当物资的需要特点（收点）及供应地点 （发点）较多，而需要的供应数量又各不相同时，如何根据具体条件， 各个收发点的分布，交通运输线路的位置及其他条件等，科学地确定 最为合理，经济的调运方案，对于充分发挥运输工具的潜力，降低运 输成本，保证建设任务的完成有着极为重要的作用。
第4章 运输问题
二、表上作业法
2.最优运输方案的判定：位势法 对偶问题的变量为 又因为检验数 基变量的检验数
y (ui , v j ，则约束条件为 ) ui v j cij ij cij yP ij cij ui v j
ij 0
《运筹学》
第4章 运输问题
二、表上作业法
方程
ui v j cij
u1 0
。因此可
共有m+n-1个方程，但有m+n个变量，一般令 求得这些变量。 我们称
ui , v j
分别为产地位势和销地位势。
对于本例：
u1 v1 9, u1 v2 12, u1 0 u2 v2 3, u2 v3 7 u3 v3 9, u3 v4 11
销地
产地
A1 A2 A3 销量
B1
B2
B3
B4
产量 50 60 50
40 40
40 40
30 20 10
60
20
30 20 10
20
最小费用法
40 10
《运筹学》
第4章 运输问题
伏尔格法
销地 产地 A1 A2 A3 列差额 B1 9 7 6 3 B2 12 3 5 9 B3 9 7 9 2 B4 6 7 11 5 行差额 6 4 6
《运筹学》
第4章 运输问题
确定初始方案 ( 初 始 基本可行解)
判定是否 最 优？
是 结 束
否
改进调整 （换基迭代）
最优方案
运输问题求解思路图
《运筹学》
第4章 运输问题
二、表上作业法
1.初始调运方案的编制（初始基可行解的方法） 最小元素法：
最小费用法是尽可能选取单位费最小的变量作为基变量。然后尽可 能多地满足它的需要，再划去满足的行(或列,若行列同时满足,也只 划去一行或一列)，接着对未划去的行和列调整供应量和需要量，直 到得到初始可行基解。
《运筹学》
第4章 运输问题 2.4 表上作业法计算中的问题
v
2. 退化 (2) 在用闭回路法调整时，在闭回路上出现两个和两个以 上的具有(-1)标记的相等的最小值。这时只能选择其中一 个作为调入格。而经调整后，得到退化解。这时另一个数 字格必须填入一个 0 ，表明它是基变量。当出现退化解后， 并作改进调整时，可能在某闭回路上有标记为(-1)的取值 为0的数字格，这时应取调整量θ =0。
销地 产地 A1 A2 A3 B1 9 7 6 B2 12 3 5 B3 9 7 9 B4 6 7 11 产量 50 60 50
销量
40
40
60
20
《运筹学》
第4章 运输问题
平衡运输问题及数模
产销平衡表与单位运价表
销地
产地
1 2 n
产量
1 2 m
销量
c11 c 21 c m1
b1 b2
《运筹学》
第4章 运输问题
2.4 表上作业法计算中的问题
v
1. 无穷多最优解 在本章2.1节中提到，产销平衡的运输问题必定存在最优解。 那么有唯一最优解还是无穷多最优解? 判别依据与第1章3.3 节讲述的相同。即某个非基变量 (空格)的检验数为0时，该 问题有无穷多最优解。表 3-21空格 (1， 1)的检验数是 0 ，表 明例1 有无穷多最优解。可在表 3-20 中以(1， 1)为调入格， 作闭回路,确定θ =min(2,3)=2。经调整后得到另一最优解， 见表3-22。 销地 加工